（应用数学专业论文）某些不具有紧性的变分问题.pdf

福建师范大学曾晶硕士学位论文 记号与约定 d i va ：向量a 的散度 1 i ms u p ，l i mi n f ：上极限，下极限 m a x ( a ) ，r a i n ( a ) ：a 中最大的元素和最小的元素 m e a s ：l e b e s g u e 测度 s p a n ( q o i ：由展开的空间 s u p ( a ) ，i n f ( a ) ：a 的上确界和下确界 s u p p ( a ) ：集合a 的紧支集 b r ( 0 ) ：以零点为圆心，以兄为半径的球 c o b r ( 0 ) ：球b r ( 0 ) 的边界 c k ( f 1 ) ：= 似：f 2 一r1 伊1 “在q 上连续，h k ) ，即k 次连续可微的函数空间 c a ( n ) ：c ( q ) 中所有支集包含在q 内的z t 的全体 d ( r n ) ：= “c 。o ( 酞) is u p p ( u ) 是r 中的紧子集) h 1f r ) ：= w k , 2 ( r ) 嘲( q ) ：= 苫爿( n ) l p ( f 1 ) ：p 次可积函数类，1 p 2 ，m 0 使得当i u i m ，有 0 0 ，f ( x ，u ) c l u l “ ( s q ) 条件是这样表述的： ( s q ) ：l 盐旦案堕= ，对z r 一致地成立 f a r ) 条件出现在大多数超线性问题的研究中，它不仅仅在建立泛函的几何结 构上起着重要作用，而且在证明p s 序列( p a l a i s - s m a l es e q u e n c e ) 的界中起着至关 重要的作用这一章证明了在一定的假设下，( s q ) 条件足以确保最低能量解的存在 性 本章分为两个小节，分别考虑势函数y ( x ) 满足两种非紧性假设的情况，一种 是周期假设，另一种是非周期的有界势井假设，即 i i i 福建师范大学曾晶硕士学位论文 ( k ) v ( x ) 关于变量x l ，x 2 ，是1 周期的 ( k ) o 0 ，c 定义为 其中垂l ( 札) 为方程( 2 - 2 ) 对应的泛函，m = u x ：u 0 ，y 1 ( 让) = o ) ，7 1 ( u ) = 丘。( i w l 2 + y ) i u l 2 ) d x 一丘”f ( u ) ud x 注记2 3 5 在这一节中虽然假设，仅依赖变量t ，综观证咀过程，所有步骤只要做 微小变动就能用于处理以下情形：f = 6 ( 。) ，( ) ，其中b ( x ) c 1 ( 豫，r ) ，对某些 b a ，b 2 0 ，6 1 b ( x ) b 2 ，且 6 ( z ) 6 ( z ) 2i 器6 ( z ) i v 福建师范大学曾晶硕士学位论文 第3 章一类含不定项的椭圆方程多解的存在性 本章考虑如下一类椭圆方程多解的存在性， 一a u = y ( z ) “+ f ( x ，u )n h 1 ( ”)( 3 - i ) 其中势函数y ( x ) 在r 中是不定的，f ( x ，“) 是r 。r 上的连续函数，并满足一 定的增长性条件 假设y + ( z ) l 譬( r ) ，特征值问题 a u 十v 一( z ) 扎= p y + ( z ) u 存在无穷多特征值i t l n ，令e 。= s p a n 妒1 ，妒2 一：。 ，b s p a n q o l ，妒2 ，一，妒n ) ， 满足s u p 。s p ( o ) n ( “) 一，其中，( “) 表示方程( 3 - 1 ) 对应 的泛函 主要的结果如下： 定理3 1 1 假设条件( a - ) 一( a 5 ) ( 见第3 章) 成立，则方程( 3 1 ) 存在m n 对非平凡 的解，其中m 凡，m 和 都是整数 注记3 1 3 下列形式的非线性项满足方程( 3 1 ) 中的假设( a 2 ) 一( 4 5 ) ， i ( x ，t ) = 。( x ) l t l “。2 t 其中对i = 1 ，七，2 p i 2 + 且非负函数a i ( z ) l 。( 豫“) ，l i r a i 。i 。o 。a i ( x ) = 0 成立 第4 章一类p - l a p l a c i a n 椭圆方程的多重解 本章考虑如下的p - l a p l a c i a n 椭圆方程： 一。u + b ( i x l ) l u l 一2 u = i ( 1 2 1 ，“) ，z r ( 4 - 1 ) 其中a = d i v ( w u l p 2 v u ) ( 1 p n ) 表示p l a p l a c i a n 算子b ( r ) g ( 【o ，o o ) ，r ) 有正的下界a o b a r t s c h 和w i l l e m 【1 2 】在日1 ( r ) 空间上当p = 2 时，找到方程无 v 福建师范大学曾晶硕士学位论文 穷多个非径向对称的解，我们考虑，算子中p 2 的情形，把他们的结论推广到 w 1 ，( r ) 空间，寻找方程洚1 ) 的无穷多径向对称和非径向对称解的存在性 主要的结果如下： 定理4 1 1 当n 2 时，若方程净1 ) 满足假设( b ) 一( 风) ( 见第4 章) ，则存在一 列无界的临界点c k ，即方程存在无穷多径向对称的解土牡，k n 定理4 1 2 当n = 4 或n 6 时，在( b 1 ) 一( 风) 的假设下方程( 4 _ 1 ) 存在无穷多 非径向对称的解士“k ，k n 。 注记4 1 3 若n = 5 定理4 1 2 中定义的群g 3 有不动点 注记4 1 4 本文结论应用的典型例子是 一a ，就+ 6 ( i 叫) l u i p - 2 u = b t ( i x l ) l u l p - - 2 u + 6 2 “z 1 ) l u l 4 2 “， 其中1 p q 2 ) ， ( 1 - 3 ) 的齐次函数 基于l e r a y - s c h a u d e r 度的延拓方法或其它经典方法并不能很容易地用于解决 方程( 1 - 2 ) 的边值问题，这是因为对解没有一个先验的界，而这正是超线性的非线 性项固有的性质事实上，对( 1 - 3 ) 形式的非线性项且2 0 使得当川m ，有 0 0 ，f ( x ，u ) g ” ( a r ) 条件不仅仅在建立泛函山路引理的几何结构上起着重要作用，而且在证 明p s 序列( p a l a i s - s m a l es e q u e n c e ) 的界中起着至关重要的作用这是( a r ) 条件 不可缺少更不能减弱的重要原因因此在什么假设下能用更弱的条件代替( a r ) 条 件长期以来一直是一个悬而未决的问题2 0 0 4 年，l i u 和w a n g 首次提出用一个更 弱而且更自然的超二次条件( s u p e r q u a d r a t i cc o n d i t i o n ) ，即( s q ) 条件代替( a r ) 条件，在有界区域上解决了这个问题 ( s q ) 条件即： ( s q ) ：l j m 掣= o 。，对z 醒一致地成立 u l - n 在方程( i - 2 ) 中，一般地对势函数y ( z ) 总假设满足y ( z ) g ( r ，r ) ，翳y ( z ) 0 对y ( z ) 的假设一般地有下列几种： ( ) l i mv ( x ) = + 1 z l ( k ) 存在t o 0 ，使得对任给的m 0 满足 l i mi n e a s ( x r ：j z y l r 0 ) n z 瓞：y ( z ) 彳) ) = 0 圳 ( ) v ( x ) = v ( i x l ) ( k ) y ( z ) 关于变量z 1 ，z 2 ，- ，z 。是一周期的 ( k ) o 臀y ( z ) 0 黑矿( z ) 2 翟y ( z ) 0 1 3 若满足假设( u ) 或( ) 或( k ) ，则势函数y ( z ) 满足紧性条件在( u ) 和( k ) 下分别有从空间x = u h 1 ( r 。) ；丘。y ( z ) u 2 d x ( 3 0 ) 到空间l 9 ( r ) ( 2s q 2 + ) 的紧嵌入在假设( ) 下，从空间x l ：= 札h 1 ( r ) i 止y ( 2 ) 舻出 o o ，u 是径向对称的1 到空间l q ( r ) 也有紧嵌入 而假设( k ) 和( k ) 分别是势函数满足周期条件和非周期的有界势井条件( 0 1 1 一 p e r i o d i cc a s e sf o rb o u n d e dp o t e n t i a l s ) 两种假设在这两种假设下不存在紧嵌入，这 是势函数在( k ) 和( k ) 下难以证明解的存在性的主要原因 3 福建师范大学曾晶硕士学位论文 若方程( 2 - 1 ) 在有界区域或势函数v ( x ) 满足一定的紧性条件，能够证明方程 ( 2 - 1 ) 有解l i u 和w a n g 【4 0 证得若v ( x ) 满足( y 1 ) 一( y 3 ) 中任一个紧性条件时， 方程( 2 - 1 ) 至少有三个解：一个正解，一个负解和一个变号解并首次利用( s q ) 条 件得到极小化序列在n e h a r i 流形上的界早期关于s c h r 5 d i n g e r 型含势函数或不含 势函数的方程在全空间的解可以参看【1 3 ，1 8 ，2 1 ，3 7 ，3 8 ，4 7 】等 本文的第3 章考虑如下一类椭圆方程解的存在性 a u = v ( x ) u + ，( 。，“) ，u h 1 ( 酞。v ) ， ( 1 - 4 ) 其中y ( z ) 可能变号，( o ，) 是r “碾上的连续函数 自r a b i n o w i t z 【4 4 1 在有界区域上考虑这类方程非平凡解的存在性以来，近十 几年许多数学研究者对此类方程感兴趣并且做了一般化的推广例如，l i e n ，t z e n g 和w a n g 3 0 】考虑当y ( z ) ；a ( a 是负常数) ，( z ，乱) = l u l _ 2 “时，方程( 1 - 4 ) 正 解的存在性b a d i a l e 和n a b a n af 5 1 在r “空间中有光滑边界的有界区域上考虑 方程( 1 4 ) 非平凡解的存在性，他们假设v ( z ) = a ( a 是一个常数) ，f ( x ，“) 具有 f ( x ，让) = n ( o ) g ( ) 的形式，即 a u = a “+ n ( z ) 9 ( u ) ( 1 - 5 ) o r o s s i 2 6 】得到方程( 1 - 5 ) 解的存在性结果，并假设函数o ( z ) 可能变号，g ( “) 是超 线性增长，a 是正的实参数，他考虑了g ( u ) 超临界和临界增长两种情形并且证明了 环绕型解的存在性c h e n 和l i 【1 q 在r 空间中有光滑边界的无界区域q 上考虑 方程： 一a u = y ( z ) “+ l u l 2 * - 2 7 2 ，( 1 - 6 ) 并假设y ( z ) l n 2 ( q ) 和忙q ；a ( x ) o ) d ，他们得到方程( 1 - 6 ) 有一个非平 凡解 w k r y s z e w s k i 和a s z u l k i n 【2 9 】考虑方程( 1 4 ) 非平凡解的存在性，假设 ，( z ，“) 和y ( z ) 关于变量z 是周期函数，( z ，仳) 在u = 0 和 u i = o o 点是超线性 的，并且0 位于一+ y 的谱区间中若增加条件，( z ，钍) 关于钍是奇函数，则方程 ( 1 4 ) 有无穷多个解 b a r t s c h 和w a n g 在 1o 】中得出方程( 1 4 ) 的一个变号解此后b a r t s c h ，l i u 和w e t h 【9 】证明方程( 1 - 4 ) 在h 1 ( r ) 空间存在变号解并且能够控制变号区间的个 4 第1 章引论 数若f ( x ，札) 关于u 是奇函数，他们得到一列无界的变号解u k ( k 1 ) ，u k 有至多 k + 1 个变号区间 本文的第4 章考虑如下的p - l a p l a c i a n 椭圆方程 ，u + 6 ( i z i ) u r 2 t t = ( l z i ，u ) ，。 ( 1 - 7 ) 其中。札= d i v ( v uj p v u ) ，l p 0 ，c 定义为 c = i n ，f 垂( 让) ， 、 其中西( u ) 为方程( 1 - 2 ) 对应的泛函，= u x ：u 0 ，7 ( “) = o ) ，y ( u ) = 丘w ( i v u l 2 + y ( z ) i u l 2 ) 如一丘。，( z ，札) 札d x 第二小节考虑如下非线性椭圆方程： - a u 。+ v ( z 、) ”“，( 1 - 1 0 ) i 札h 1 ( r ) 主要的结果是如下的定理： 定理2 3 1 在势函数v ( x ) 满足( k ) ，( 札) 满足( s q ) 等增长性条件的假设下，方程 ( 1 1 0 ) 有一个弱解u x ，使得圣1 ( 趾) = c 0 ，c 定义为 c = i f 西1 ( ) ， m 。 其中西l ( u ) 为方程( 1 1 0 ) 对应的泛函，m = 缸x ：u 0 ，7 ( “) = o ) ，7 1 ( u ) = 矗w ( i v u l 2 + v ( x ) l u l 2 ) d x 一丘。f ( u ) ud x 6 丝! 塞! ! 垒 = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = ；一 注记2 3 5 在这一节中虽然假设，仅依赖变量t ，综观证明过程，所有步骤只要做 微小变动就能用于处理以下情形：，= 6 ( z ) ，( t ) ，其中b ( z ) c l ( 豫，r ) ，对某些 b l ，b 2 0 ，b 1 6 ( z ) sb 2 ，且 6 ( z ) 黔6 ( z ) 20 焉6 ( 。) 本文的第3 章考虑方程( 1 4 ) 多解的存在性 一a 札= 、厂( z ) “+ ，( z ，札) ， 札h 1 ( 毫) 其中势函数y ( z ) 在r 中是不定的，f ( x ，札) 是r r 上的连续函数，并满足一 定的增长性条件 假设y + ( z ) l 譬( r ) ，特征值问题 一u + v 一( z ) 乱= p y + ( z ) 存在无穷多特征值，t 1 n ，令e m = s p a n t l ，妒2 ，一，妒m ) ，e n = s p a n q o l ，妒2 ，一，妒n ) ， 满足s u i ) 。品( 。) 。e ，。，( ) 一o 。，其中j ( u ) 表示方程( 3 - 1 ) 对应 的泛函 主要的结果如下： 定理3 1 1 假设条件( a 。) 一( a ) ( 见第3 章) 成立，方程( 1 4 ) 存在m n 对非平凡的 解，其中m n ，m 和礼都是整数 注记3 1 3 下列形式的非线性项满足方程( 1 4 ) 中的假设( a 2 ) 一( a ) ， ，( z ，t ) = 其中对i ：1 ，k ，2 p ： 2 + 且非负函数n e ( z ) l o o 嘤) ，l i r a i z 卜。o o t ( z ) = o 成立 本文的第4 章考虑方程( 1 7 ) ： 一，u + b ( i z l ) l u l p - - 2 “= f ( l z l ，u ) ，z r 7 福建师范大学曾晶硕士学位论文 其中a 一= d i v ( v u p - - 2 v u ) ，1 p n b ( r ) g ( 【o ，o o ) ，瓞) 有正的下界a o b a r t s c h 和w i l l e m 【1 2 】在h 1 ( 豫“) 空间上当p = 2 时，找到方程无穷多个非径向对 称的解我们考虑，算子中p 2 的情形，把他们的结论推广到w 1 ，一( r 。) 空间， 寻找方程( 1 7 ) 的无穷多径向对称和非径向对称解的存在性 主要的结果如下： 定理4 1 i 当n 2 ，方程( 1 7 ) 满足假设( 日1 ) 一( b 5 ) ( 见第4 章) ，则存在一列无界 的临界点。k ，即方程存在无穷多径向对称的解= l = u k ，k n 定理4 1 2n = 4 或n26 ，在( b 1 ) 一( b 5 ) 的假设下方程( 1 7 ) 存在无穷多非径向 对称的解- t - u k ，k n 注记4 1 3 若n = 5 定理4 1 2 中定义的群g 3 有不动点 定理4 1 4 本文结论应用的典型例子是 一a ，t z + 6 ( i z l ) i “1 9 2 “= b , ( 1 x 1 ) l u l p - - 2 u + b d l z l ) m q - - 2 u ， 其中1 p 0 使得当川m ，有 0 0 ，f ( x ，札) g 叫“( a r ) 条件出现在大 多数超线性问题的研究中，它不仅仅在建立泛函山路引理的几何结构上起着重要作 用，而且在证明p s 序列的界中起着至关重要的作用 本章将证明一个更弱而且更自然的超二次条件足以确保最低能量解的存在性， 即( s q ) 条件【4 0 ： ( s q ) ：i ，慨兰旦= o o ，对茁一致地成立 一般地，对势函数y ( z ) 总假设满足y ( z ) c ( r n , r ) ，嚣y ( z ) 0 对y ( z ) 的假设一般地有下列几种： ( ) 耳my ( x ) = + o 。 9 福建师范大学曾晶硕士学位论文 ( ) 存在r o 0 ，使得对任给的m 0 满足 1 i mm e a s ( x r “：l z y ls 珊) n z r “：y ( x ) m ) ) = 0 1 驯_ ( 。 ( ) y ( x ) = v “x 1 ) ( k ) v ( x ) 关于变量z t ，茁2 ，z 。是1 周期的 ( k ) 0 i j y ( x ) 岫v ( x ) = s u p y ( x ) ( 3 0 p l 。r “ 若满足假设( ) 或( k ) 或( k ) ，则势函数v ( x ) 满足紧性条件在( ) 和( k ) 下分别有从空间x 一 u h 1 ( r 。) ；丘。y ( z ) u 2 d x 0 0 到空间l q ( r ) ( 2 q o y ( z ) 关于变量z ，z 。，z n 是1 周期 的 ( ，1 ) f ( x ，t ) c ，爿是一个c a r a t h e o d o r y 函数并且存在常数c 0 ，使得在r 中 一致地成立： 驯洲l 忡i 牡2 3 嘎错扎 且f ( z ，t ) 关于变量茁l ，x 2 ，z 。是1 周期的 ( ，2 ) 当一0 时，f ( x ，) = o ( i t l ) ，在r 中一致成立 ( ，3 ) 1 3 兰譬旦= 。，在醒“中一致成立 ( ) ，( z ，0 i t i 关于严格地增加 其中当n 3 ，2 + = 莉2 n 若= 1 ，2 ，2 + = o o 则假设( f 1 ) 中的2 + 由q 2 代替在h i l b e r t 空问x = 1 ( r 。) ；正。y ( z ) 札2 d x 0 ，c 定义为 c = i 圣( u ) 2 2 2 极小化序列的界 引理2 ，2 2 令( “n ) 为c 的一个极小化序列，则 ( i ) 存在j 臼 0 ，使得l i m i n f | | u | | p n - 0 0 ( i i ) ( “。) c 在x 屯有界 ( 统) 对( u 。) 的一个子列，不妨也记作( 钍。) ，在平移作用下弱收敛到n 0 证明：( i ) 与满足( a r ) 条件时的证明相同 ( i i ) 令( “。) 是c 的极小化序列，若( “。) 无界，定义v 。= u r t 川。m 故( 。) 有界，设( ”。) 的一个子列弱收敛，不妨也记作( v n ) ，即在x 空间，v n v ，故在 l l ( r ) ( 2 p 。， 由f a d o u 引理和假设( ，3 ) ， 互1 引i m i n r 上。掣啦 2 j ( 1 i m i n r 掣牡札矗 = 上。吧簪掣v 2 d x = 。， 由这个不等式得出矛盾 若钉= 0 ，令y 。= ( 醒，镌，祥) 酽，其中可：( 1 i n ) 是整数定义关 于v 。的变换为w 。= ( z + ) 因为v ( z ) 和y ( x ，u ) 是1 周期的，则 ( v w 。 2 + y 扛+ ) 醒) 出= ( v ”。( z ) 1 2 + y ( 。) ”：( z ) ) d z ， j r n j r 上。i 训胛如= 上。h i 出， 第2 章一类非线性s c h r 6 d i n g e r 方程 竺壑堡重量丝 即i l ”。l | = | | | l = 1 ，i ”。i ，= 【，并且西( w 。) = 西( ”n ) 对( ) 的子列，不妨也记 作训。，在月1 ( r v ) 空间有w 。一w ，在l 乙( r ) ( 2 。， 故存在z n r 使得 1 i r a h i 。d x 2d 2 0 令y 。b 2 ( z 。) 使得b j ( y 。) cb 2 ( z 。) ，有 规j l 、。出争o ， “一。日1 ( v 。) 2 则 ，魄2 争，。 l i m2 三 ， ”, ( o ) 1 w i q d x d x0b 0 即训。一w 0 ，故与假设w 。一0 矛盾 由l i o n s 引理( c f 5 3 ，l e m m a1 2 1 ) ，得出在妒( r “) ( 2 ，2 + ) ) 空间有。 0 由假设( ，1 ) 和( 止) ，对任给的 0 ，存在q 0 ，使得 1 y ( x ，u ) l ( 1 u l + 1 u 2 - i ) + c ：i “1 2 。一1 ， 则 i f ( z ，u ) i 墨( 1 “1 2 + i u l 2 ) + c ：l u i 矿 固定r 、夏，由l e b e s g u e 控制收敛定理，得到 熙足。f 扛，r ) 出2 。limjr o o f 扛，r ) d 。 n 。j r 一“ 福建师范大学曾晶硕士学位论文 ：f ( z ，o ) 出：0 j r u 因此 c + d ( 1 ) = 西( “。) 2 圣( 舰。) = ；r 2 一 f 扛，r v ) d x ( 2 - 3 ) j r “ 式( 2 3 ) 的左边收敛于c ，但右边收敛于r 2 2 c ，得到矛盾因此( 让。) 有界 ( 捌) 假设u 。弱收敛于“，为了证明u 0 ，再次如( i i ) 的证明中定义u 。的变换， 令= ( 以，垢，n ) n ，其中蚝( 1 i n ) 是整数，定义u 静= u n 扛+ y 。) 为u 。所有可能的变换若对某些y n n ，u 静一? t y n 0 则证明完成。若对任 何y n = ( 城) n “，都有静一0 ，如上能证明在( r “) 空间( p ( 2 ，2 + ) ) 中， t z 。_ 0 ，而且当n _ 0 0 时， rf u 。，( 。，让。) d z 一“，( z ，u ) d z j味dru = ，( z ，“。) ( 让。一u ) d x + ( ，( z ，“。) 一，( z ，u ) ) u d x 一0 即 上。蚶( 刚。) 如一。 因此，由( i i ) 得到如下的矛盾，当n o o 时， 故u 0 o 0 ，使得t u 证明：可以证明0 是虫严格的局部极小化子对任何t t 0 ，当t 0 0 ，o ( t u ) 一 一定义当t 0 时，9 ( t ) ：= 西( t u ) 以下证明9 ( ) 至少有一个极大值点对t 0 ， 9 ( t ) 有一个唯一的临界点对一个临界点有， ( 圣u ) ，u ) 上。( 啊砰+ 脚) 聍_ ，( 州u ) u ) 出 1 4 第2 章一类非线性s c h r 6 d i n g e r 方程 的最低能量解 故由假设( ，4 ) =0 g ”( t ) = l n ( i v “1 2 + y ( z ) u 2 一，( z ，地) 札2 ) d 。 = 上。( 学嘶，蚴u 2 ) d z = 乒1 上。( m ，加m 让- ，( 州州蚴2 ) d z o ， 则存在t 。 0 ，使得t n l t 。且当n o 。时，t 。一1 证明：因为u 。0 ，由引理2 2 3 ，存在唯一的一个t 。 0 ，使得t 。“。，即 t ：( i v n 。1 2 + y ( z ) j u 。1 2 ) d z 一，( z ，t 。札。) t 。n 。d z = 0 ， j nj r n 由假设( ) 和( 止) ， f ，扛，“) “l ( f 2 + i 训2 ) + c 。l u l r ， t 。不能趋于0 ，即t 。t o 0 这是因为由上述等式，令一0 则 训u 。f f 2 = ，( z ，。u 。) z 。u 。d z j r 陋( i t 。u 。1 2 + i t 。札。1 2 ) + g 。乱。1 2 ) d z j r 福建师范大学曾晶硕士学位论文 ，( 候+ 1 ) 钍。i 。+ ) d x j r n = ( g + 1 ) t ；i u n 眨 因此 2 - 2 一 燕：曾2 。 若t 。一0 0 ，由已知和假设( ，4 ) 得 o + o ( 1 ) =( i v u 。1 2 + y ( z ) i 让。1 2 ) d x j 窿 ! 兰! ! ! 关兰! ! ! 兰! d z t i 掣。222 虹 。u 。 ” 由已知条件在平移作用f ，在心至l 叫，札n 一1 1 ，a e ， ，掣“。2dx22 + + 。 r t n n “ 矛盾，因此0 t o t 。e 则t 。有一个子列收敛，不妨记作t 。一t ，下证t = 1 由7 ( u 。) 一0 ，有 ( 1 v 让。1 2 + y ( z ) i u 。1 2 ) d x = f ( x ，u 。) u 。d x + d ( 1 ) ， j r n j r 又。u 。，t 。一t ，由假设( ) 和( ，3 ) 有 t 2 ( i v u 。1 2 + y ( z ) i u 。1 2 ) d x 一 ，( z ，t u 。) t u 。d x = o ( 1 ) ， r j r 即 上。( 掣旷2 掣乱i ) 出 上。f ( x t , _ t u n ) 一掣) 私 因此对( 乱。) 的一个子列，在l l ( r ) ( 2 0 t 札t 上 这与式( 2 4 ) 矛盾若t l ，且u 0 ，由假设( ，4 ) 有 丝! 三型一丝型 0 t u“ 同样与式( 2 4 ) 矛盾同璎，若t 0 ，存在r 0 ，满足 l i m i n f 让。1 9 d x a e ”0 。j b a ( x n ) 证明：( i ) 由7 ( u 。) = 0 和l f ( x ，“) i 曼( 1 u i + 1 u 1 2 。1 ) + c 。l u l 2 。1 可得 ( i i ) 对丘。i a n i v d x 应用集中紧性原理，则存在o ( o ，1 ) ，( z 。) cr ，v 0 ，j 冗 0 ，vr r ，r ， r ，有 ， l i m i n f i u 。1 9 d x a a e ， 1 7 福建师范大学曾晶硕士学位论文 l i m i n f i 札。1 9 d x ( 1 一o ) a e “一o 。j 贮，( z 。) e 。，= 喜，。，i 。，粪s 型) 让。( z ) ， 嘶) = ( ，刊掣) ) 喇 上。1 w i 独肛， l 珥。j d x 芝( 1 一d ) a 一。 j r ( 2 - 6 ) o ( 1 ) ( 2 7 ) 第2 章一类非线性s c h r 6 d i n g e r 方程 的最低能量解 同理7 ( ) = d ( 1 ) ，由引理2 24 ，存在t 。一1 ，s 。一1 ，使得t n w 。e ，s 。 厂 则 矛盾，因此o = 1 c + o ( i ) = 垂( 札。) = 垂( 。) + 中( u 。) + o ( 1 ) = 中( t ，。w 。) a - 垂( s 。 。) 4 - o ( 1 ) 22 c + o ( 1 ) 由引理2 2 5 ，若( u 。) 的一个子列，不妨也记作u 。，在p ( r ) 中收敛，即i t 。一 则一矗。f ( x ，l t n ) d x 收敛到一丘“r ( x ，u ) d x 证毕 2 2 4 定理2 2 1 的证明 定理2 2 1 的证明：令。) c 厂是c 的一个极小化序列，由引理2 2 2 ( u 。) 在 x 中有界且弱收敛于“0 由引理2 2 5 ，一矗”p ( x ， 1 1 n ) d x 是弱连续的由弱下 半连续性得中( “) sc 。若札e 则中( 札) = c 。若让不属于，由引理2 2 5 ，存在 t 0 ，使得t ue ，则 c _ i 。n fo ( u ) 曼垂( 抛) 1 驶簪中( u n ) l i mi n 舯( ) 2 6 又是光滑的，故“是中( 1 ) 的一个l 临界点定理2 2 1 的证毕 1 9 福建师范大学曾晶硕士学位论文 2 3 势函数满足非周期的情形 2 3 1 引言 卒币考愿如r 方1 茔的弱解 - - 。a u + 栅v ( z ) “- ，心) j ( 2 - 8 ) i 札h 1 ( ) 其中势函数y ( x ) 是有界的势井函数本节的假设如下： ( k ) o 0 ，c 定义为 c = i n f 垂l ( 钍) 、， 竺星堡塑壑丝 一 = = = = = = ；= = = = = = ；= = = = = = = 一一 本小节采用以下记号v 誓一l i r a o 。v ( z ) 一个与方程( 2 - 8 ) 相关的方程是 j 一舭+ ( 咖= m ) ，( 2 - 9 ) l 扎h 1 ( 删”) 方程( 2 - 9 ) 对应的能量函数为： 叫u ) = ；小v 叫2 + 比( 洲2 ) 出一上，脚) 出， 定义c 。为： c 。0 2 贬西o 。( “) ， 其中, v o o ： 。x o j ：伸匕( t ) u ) = o ) 因为y o o 是一个常数，可视为第2 2 节 的周期情形故由定理2 21 ，对某些“o 。眠， 0 能够被达到 2 3 2 极小化序列的界 证明：显然c 0 。令“。是c 。的极小化子，则7 1 ( “。) 0 ，使得 t i t 。m 。故 c ；时v 划2 州圳u 搿) 出一上。f ( u 。出 = ；肿v 蚶+ 啡) 蚶) 如一上，f ( ) d z + ；上。( m ) 一嘣甸) l 1 2 如 ：c 。+ 互1 。( 忡) 一( 圳叫2 出 0 使得下式成立， l i m i n fl i u 。1 12 卢 2 】 福建师范大学曾晶硬士学位论文 ( i i ) ( u 。) 在x 中有界。 ( i i i ) ( 乱。) 的一个子列，不妨也记作( 札。) ，弱收敛到u 0 证明：( i ) 与引理2 2 2 的证明类似 ( i i ) 若假设命题不成立，定义u 。= 7 l n l l u 。n 对( ”。) 的一个子列，不妨也记作 ( ) ，假设在x 中有一v 。若在p ( r ) ( 2 q 0 ， l i m f ( r v 。) ( f z = 0 在下式中取一个足够大的r 2 c ，有 州u ：) 圣i ( r v 。) = ；兄2 一上。f ( ) 如。 圣l ( u 。) 。) = 去兄2 一f ( r 钉。) 如。 上式的左边收敛于c ，但右边收敛于r 2 2 c ，得到矛盾因此由集中紧性原理存在 y 。瓞使得 w 。扛) = v n ( y n + z ) 一w 0 因此( ) 有界。 ( 撕) 假设在x 中 。一“，在l 乙( r ) 空间钍。一i t 若n = 0 ，则当n 一。 时， ( y ( x ) 一比( z ) ) i 让。1 2d x 一0 因此 c + 。( 1 ) = ；f 。n ( i 乳n 1 2 + v ( z ) 2 ) 如一f r n f ( 乱。) 如 = ；上。( 胁n 1 2 + 比( 刮啪d z f 。n f ( u 。) 出 十；上。( 吩) 一比( 瑚蚶出 = 由o 。( u 。) + o ( 1 ) ， 又( 钍n ) 是c 的一个极小化序列，7 i ( u n ) = 0 ，同理由矗w ( y ( z ) 一比( z ) ) i u 。1 2 如一0 得。( 就。) = 0 0 ) 由引理2 2 4 存在t 。一1 使得t n u 。 乙则 c + o ( 1 ) = 中。) + o ( 1 ) = 西o 。( t 。z z 。) + o ( 1 ) c 。十o ( 1 ) 与引理2 3 2 矛盾因此( u 。) 的弱极限i t 0 2 2 第2 章一类非线性s c h r 6 d i n g e r 方程 的最低能量解 2 3 3 定理2 3 1 的证明 在球型区域b r ( 0 ) 上考虑方程( 2 - 8 ) ， f a u + y ( z ) u 2 ，( “) ，在b r ( o ) 上，( 2 - 1 0 ) 1u = 0 ， 在a 巩( o ) 上 相同地定义。= m n 硎( 口r ( o ) ) ，c r 。由 4 0 】c r 。被一个正解让r 。达到以下记 u r 。为“r 容易验证c r 。c 且当r 0 0 时，c r 。一c 这隐含着( u n ) 在r o 。 时是c 的一个极小化子 引理2 3 4 令札r 从。是c r 。的一个极小化子假设对u 。：= “心的一个子列j 不妨也记作( “。) ，当尼。一o o 时， i “。1 9 d x a ( 0 ，0 0 ) j b n n ( 0 ) 成立，则存在( y 。) cr “使得对任给的 0 ，存在