（运筹学与控制论专业论文）不确定优化问题的若干模型与算法研究.pdf

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，i = 1 m ) 口该定义避免了对依赖矾( x ，功) 分布的屈取值这一困难。在定 义2 1 4 【7 】中，引入y o ，o o ) 代表决策者对条件期望e e ( z 一) h o l 短缺的最大承 山东大学博士学位论文 受值，定义合成机会约束为：e v i yj d ( 矾 0 ) ，本文解释了其合理性，相应可 行解集合为x4 ( y ) ( x r ”，碍i 7 玎m 。 之后第二节讨论了该模型的性质，给出了当随机约束函数为决策变量的凸函 数时，可行解集合的凸性、约束函数的连续性与可微性等性质，推广了 4 4 】中关 于线性函数的结论，主要结果为： 定理2 2 3 若随机规划r a i n f ( x 1 ：g 础) 0 ，x d ) 中，d 为一确定的有限 闭域，g ( x 国) 是x 的凸函数，且每一个随机变量满足e ( ，) 0 ( 3 ，则有： 虿( x ) = e g ( x ，) 一 为有限的、非负的凸函数，且满足l i p s c h i t s 连续。荇 ( d c ) ，b ( ) ) 服从有限的离散分布，则喜( z ) 为分片凸函数；若( “( ) ，b ( o d ) 服从连 续分布，则g ( x ) 为连续可微的凸函数，从而可行解集x ( p ) = x r ”：g ( x ) 为凸集。特别地当约束函数为g ( x ，) = a ，( 甜扛；一6 ( 甜) 时，季( x ) 的偏导函数为 ，= f 罢盟= 研卫2 以，x ，s g n ( g ( x ) ) ，进一步l i l 。塑羔堕掣：( 巳( 叻谚) 一 。 口 l 3 = 1 该定理为后面两节的算法设计做了理论准备，接下来定理2 2 5 讨论了该模 型的l a g r a n g e 问题，指出上( 五) 形式上等价于( 单纯的) 补偿模型或惩罚模型。 4 5 4 7 1 在对金融风险研究中，通过对风险值的评价方法转化得到了补偿模型与合 成机会约束模型的等价性，与我们从l a g r a n g e 问题出发分析结果一致。当补偿 系数不易确定时，合成机会约束横型能更为精确地描述不确定模型，并且借助其 良好的性质论，显示了利用l a g r a n g e 对偶问题设计( 1 c c ( ) ) 计算方法的可能性， 并且也为补偿模型的计算提供了一种新的崽路。 随后的第三节与第四节中，分别假设模型中的随机变量服从有限的离散分布 或连续分布，来建立模型的优化计算方法。在第三节中，基于可行解集合的结构 特点( 可见定理2 3 1 、定理2 3 2 ) ，设计了求解该模型的混合智能算法2 3 ，关 于随机生成阅题的对比实例验证了算法的有效性：在第四节中，根据约束集合与 函数的性质，利用带分解的内点算法，给出了多项式时间算法2 4 ，具有较低的 复杂度为o ( n 3 l ) 。 第三章对一类随机规划基本模型：二( 多) 阶段有补偿模型( 简记为2 s s p ) 进行两方面的研究。在第一节中，本文通过对比该模型与双( 多) 层规划的建模 思想，发现二者存在极大类似之处，具有形式上的等价性，命题3 1 1 与3 1 2 指出：2 s s p 为一类随梳双层规划，进一步地2 s s p 等价于下层只含一个子系统 的随机值型双层规划。 山东大学博士学位论文 有补偿问题为n p ，h a r d 问题，现有的研究成果多局限于讨论解的计算方法与 实现方面 3 ，4 ，8 ，双层规划近二十年来已在基本理论、最优性、算法等方面得到 较为全面深入的研究 7 1 7 4 ，因此上述命题告诉我们可以借鉴双层规划来研究有 补偿问题。 在定理3 1 4 、定理3 1 5 中讨论了2 s s l p 、2 s ，s n l p 最优解的存在情况。 接下来，我们讨论二阶段有补偿优化模型的对偶。鉴于随机规划模型的复杂 性与多样性，在现有的研究资料中很少专门提到它的对偶理论，在少量文献中， 如 4 4 ，9 9 只是把随机规划转化为确定性等价形式后，利用确定性规划的对偶理论 给出它的对偶形式， 7 0 】利用转化后的确定性形式的对偶来设计求解大规模随机 优化问题的聚合算法。因此，在第二节中我们对这一重要理论进行研究。 对于f 3 2 1 ) 描述的关于凸函数的二阶段有补偿问题，根据扰动理论，建立其 对偶问题： s u p d = s u p i n f l ( x ，y ) ，y 。 其中三( y ) = i 肫n u f ut y + f ( x ，“) ) = 工- ( 丘y ) + 【上2 ( c o ，工1 ，x 2 ( ) ) p ( d ) 特别地，当所有为x 的线性函数时，得到问题( 3 24 ) 描述的2 s s l p 的对偶 规划为： m a xv b + i7 r ( c o ) h ( c o ) p ( d c o ) c 。一v a p ( 国) 丁( ) p ( 豳) 0 c 2 ( 0 9 ) 一丌( ) ( 珊) 20 ( 3 2 5 ) v ，j r ( c o ) 0 不难看出，如果在原问题( 3 2 4 ) 及其对偶规划( 3 2 5 ) 中去掉约束及目标中的 随机函数，即可得到传统的确定性线性优化的原一对偶表示，并且与文献 7 4 中 关于非减值型双层规划的对偶形式也是一致的。( 3 2 5 ) 把线性规划的对偶推广至 二阶段的随机线性规划，完善了随机规划的理论，也为有补偿模型的算法设计提 供了新的源泉。 第四章从应用角度出发，研究了其它两类不确定性优化问题。第一个为运筹 学研究的重点问题：选址问题。在目前已有的研究成果中，只有很少一部分讨论 了不确定环境下的优化问题，如应用模糊评判方法来进行最优选址 7 9 】；需求量 为随机变量时的优化选址等【8 0 】。但前者关于模糊变量隶属函数的选取含有较大 v 山东大学博十学位论文 的人为因素，后者则假设随机变量的分布函数已知。在实际决策时若依据经验或 专家给出，则不同的专家往往给出不同的分布函数和隶属函数，从而使问题更加 不确定化。因而，最能真实恰当地描述这一问题的当数区间变量。本文在这一假 设下，首先介绍了区间规划，然后根据不同的决策目标，建立了选址的若干区间 规划模型，包括：乐观模型、悲观模型、期望模型、不确定度模型、损失模型、 鲁棒模型、与多目标优化模型。 第二个问题为粗集的决策表属性约简问题。作为信息系统中知识发现，数据 挖掘的重要内容，约简近年来已成为计算机科学的热点问题之一，其算法越来越 得到人们的重视。目前已有多种属性约简算法 8 6 9 1 1 ，有从代数角度的基于区分 矩阵的最小约简方法，还有从信息角度出发的基于信息熵的约简算法。因为求属 陛集合的最小约简是n p h a r d 问题，在大规模问题与计算中，人们还常采用启发 式智能算法，如遗传算法、并行协同算法等进行研究。4 2 节中我们依据属性约 简与逻辑运算的关系，给出一种新的计算最小约简的整数规划算法4 2 ，该算法 能有效地避免大量逻辑运算，并且当系统的属性及论域处于动态变化的环境时， 只需应用该算法做某些局部调整即可求得新决策表的最小约简。对上述两类问题 和算法均进行了实例分析。 第五章为本文的总结，包括论文主要工作、创新点与相关问题展望。 本论文的创新点町以归纳为以下几方面： l 归纳整理了现有的随机规划基本模型，阐明了随机模型中可行解与最优值的 定义：完善了基本模型之间的内在联系及等价转化，为随机决策问题建模提 供了方法依据。 2 在合成机会约束模型中，把随机约束函数为线性函数的性质推广至凸函数情 形，得到了约束函数的连续性与可微性、解的存在性等性质，并利用其性质， 设计了求解含离散随机变量与连续随机变量的该模型的两种算法。 3 应用双层规划来研究二阶段有补偿模型，讨论了该模型的双层规划等价形式 以及最优解的存在性，并给出了该模型关于随机凸函数、线性函数的对偶问 题表示，是一个理论与方法上的创新。 4 利用不确定优化的区间规划和粗糙优化理论，设计了有效的算法来解决两类 重要的实际问题：选址问题和约简问题，是应用与方法上的一个创新。 关键词：随机规划合成机会约束模型二阶段有补偿模型区间规划粗糙优化 v 山东大学博士学位论文 r e s r a r c ho nm o d e la n da l g o rlt h ma b o u tu n c e r t a nln o p t l m l z a t l 0 np r o b l e m s r o n gx i a o - x i a ( s c h o o lo f m a t h e m a t i c sa n ds y s t e ms c i e n c e ，s h a n d o n gu n i v e r s i t y , j i n a n2 5 0 1 0 0 ) a b s t r a c t t o d a yw ea r ef a c i n ga ni n f o r m a t i o nt i m ea n dt h ei n f o r m a t i o ni sk n o w l e d g e h e a d s p r i n gf r o mw h i c hp e o p l ek n o wa n dr e b u i l dw o r l da l lk i n d so fi n f o r m a t i o nm a y b ec e r t a i nb u tm o r ei su n c e r t a i n i ti n d u c e st h er e s e a r c ha b o u ts c i e n t i f i c d e c i s i o n m a k i n gs y s t e mt h a th o w t oj u d g e 、a n a l y s i sa n dd e a lw i t hi n f o r m a t i o n 。t h e b a c k g r o u n di n v o l v e db yt h i ss y s t e ms h o w su n c e r t a i no fm u l t i d i m e n s i o n ，w h i c hi s d i f f e r e n ts u c hi sr a n d o m n e s s ，f u z z i n e s s ，r o u g h n e s s ，i n t e r v a l n e s s ，e t c t h ec l a s s i c a l m e t h o d si sn o tc a p a b l et ot h em u l t i - d i m e n s i o nu n c e r t a i ns y s t e m ，a l t h o u g hs o m e s t o c h a s t i co rf u z z yp r o g r a m m i n gc a l ld e a ls o m eo p t i m i z a t i o np r o b l e m s w h i c hi sf a r f r o mt h eg o a lo fs o l v i n go p t i m i z a t i o np r o b l e m sa b o u tm u l t i d i m e n s i o nu n c e r t a i n s y s t e m s o i th a ss i g n i f i c a t e a p p l i c a t i o nf o r e g r o u n d t oe s t a b l i s ha n dc o n s u m m a t e o p t i m i z a t i o nt h e o r yw i t hm e t h o di nu n c e r t a i ne n v i r o n m e n t t h es y s t e m i co p t i m i z a t i o n m e t h o di nu n c e r t a i ne n v i r o n m e n tc o m e si n t ob e i n gu n d e rt h eb a c k g r o u n da b o v e a s t h eb r i d g ec o n t a c t i n gu n c e r t a i nt h e o r ya n da p p l i c a t i o n ，u n c e r t a i np r o g r a m m i n ga f f o r d s t h ew a yo fm o d e l i n gt o d e c i s i o n m a k i n gp r o b l e m s t h em a i nc h a r a c t e r i s t i co f u n c e r t a i np r o b l e m si st h em e t h o dc o l l i g a t i o na n dl a r g e - s c a l e t h eb a s i ca l g o r i t h mi s m i x e di n t e l l i g e n c ea l g o r i t h m ，w h i c hc o m b i n e st h eg e n e t i ca l g o r i t h m ，a l g o r i t h m s i m u l a t i o na n dn e u r a ln e t w o r k ，b a s i n go nt h em a t h e m a t i cf l a m ec h a r a c t e r , o ru s i n g e x i s t i n gp r o g r a m m i n ga l g o r i t h mt os o l v el a r g e s c a l ep r o b l e m s t h em a i nw o r ko ft h i sa r t i c l ei s ：d i s c u s s i n gt h eb a s i cm o d e l so fs t o c h a s t i c p r o g r a m m i n ga n dt h er e l a t i o n sb e t w e e nt h e m ；r e s e a r c h i n gt h ec h a r a c t e ra n da l g o r i t h m a b o u ti n t e g r a t e dc h a n c ec o n s t r a i n t sm o d e l ( i c c ( ) ) a n dt w o s t a g em o d e lw i t h r e c o u r s e ( 2 s s p ) ；s t u d y i n gi n t e r v a lo p t i m i z a t i o na n dr o u g ho p t i m i z a t i o nc o m b i n e d w i t hl o c a t i o np r o b l e ma n dr e d u c t i o np r o b l e m s i nt 1 1 ef i r s tc h a p t e r , w er e v i e wt h eb a c k g r o u n d ，c l a s so fu n c e r t a i np r o g r a m sa n d t h ee x i s t i n gw o r k s u b s e q u e n t l yi n 1 2t h eb a s i cm o d e l so fs t o c h a s t i cp r o g r a m m i n g a r ei n d u c e da c c o r d i n gt ot h em o d e l i n gm e c h a n i s ma n dt h er e l a t i o n sb e t w e e n t h e ma r e v 山尔大学博士学位论文 c o n s u m m a t e d ，w h i c hi sg i v e n a s ： w h e nm a k i n gd e c i s i o na f t e rt h er e l a t i o no fr a n d o mv a r i a b l e ，d i s t r i b u t i n gp r o b l e m i sp r o d u c e d ；o t h e r w i s et h es t a t ec a nb ep a r t i t i o na s ： f i r s t l y , a s s u m i n gr a n d o mv a r i a b l ei si n v o l v e do n l yi nc o n s t r a i n ss e t ，t h e r ea r e ： ( a ) c h a n c ec o n s t r a i n sm o d e l ；( b ) p u b l i s h i n gm o d e l ；( c ) r e c o u r s em o d e l s e c o n d l y ，a s s u m i n gr a n d o mv a r i a b l ei si n v o l v e do n l yi ng o a lf u n c t i o n ，t h e r ea r e ： ( d ) e m o d e l ；( e ) v a r i a n c em o d e l ；( f ) m i n i m i z et h ep r o b a b i l i t yo fb a n k r u p t c y m o d e l ；( h ) m i n i m i z et h es u p r e m eb o u n dm o d e l ；( 曲m a x i m i z et h ee x p e c t e du t i l i t y m o d e l p r o p o s i t i o n i 3 12 s s p m o d e l 、c h a n c e c o n s t r a i n s m o d e l 、e m o d e l 、p - m o d e l a n du t i l i t ym o d e lh a v et h eu n i f i e df o r ma sf o l l o w i n g ： r a i n e f ( x ， ) s t e g ( x ，f ) 0 ，i = 1 , 2 ，m p r o p o s i t i o n1 3 3 4 4 p u b l i s h i n gm o d e li s as p e c i a lr e c o u r s em o d e l p r o p o s i t i o n1 3 4u t i l i t ym o d e li st h ee x t e n d i n go f e m o d e la n dp - m o d e l p r o p o s i t i o n sa b o v es h o wt h a t s t o c h a s t i cp r o g r a m m i n gi sr e l e v a n tt oc e r t a i n p r o g r a m m i n g ，b u tt h ee q u i v a l e n c eo fc e r t a i ns t a t eo f t e nh a sc o m p l e xf o r m t h e yc a n b et r a n s l a t e do n l yi ns o i n es p e c i a lc a s ea n de x a m p l e sc a nb es e e np r o p o s i t i o n1 3 2 a sab a s i cs t o c h a s t i cm o d e l ，c h a n c ec o n s t r a i n sm o d e lh a st w od i f f i c u l t o n ei s t h a ti to n l yp a i da t t e n t i o nt ot h ep r o b a b i l i t yo ff e a s i b i l i t yf r o mt h eq u a l i t a t i v e ，n o t r e f e r r i n gt h eq u a n t i t ys u c ha sr e c o u r s em o d e lt h eo t h e ri s a b o u tt h em a t hc h a r a c t e r t h a tt h es o l u t i o ns e ti sc o n v e xo n l yw h e nt h er a n d o mv a r i a b l e ss a t i s f ys o m ef i n e c o n d i t i o n st h ee x a m p l e si n 限4 4 s h o wt h ec o n v e xi sn o tk e p ty e t ，w h i l ew h i c hi s i m p o r t a n tt os o l v i n gt h ep r o b l e m 。s of o rt h es a k eo fd i s a d v a n t a g e s o m ei n v e s t i g a t o r p r o p o s e di n t e g r a t e dc h a n c ec o n s t r a i n t sm o d e li n 19 7 0 3 8 。b u tt h er e l e v a n tr e s e a r c h i sl i t t l ea n do n l y 4 4 ，4 5 】a r ec o n s u l t e d ，t h er e a s o no fw h i c hm a yb et h ec o m p l e x i t yo f c o m p u t i n go nt h eo t h e rh a n d ，t h i sm o d e lh a sv e r yg o o dc h a r a c t e ra n di si m p o r t a n tt o t h er i s kr e s e a r c h ，e c o n o m yd e c i s i o nc o n t r 0 1 s ow eg i v ee m p h a s e st oi ti nc h a p t e r 2 s o m ek i n d so fd e f i n i t i o ne x p a n do fi n t e g r a t e dc h a n c ec o n s t r a i n t sm o d e la r e g i v e n i n 2 1 d e f i n i t i o n2 。1 3c o n s i d e r st h es u r p l u sa n ds h o r t a g et o g e t h e r d e f i n i t i o nt h e r e s o u r c es u r p l u si s ：，7 j ( x ，c o ) = m a x 0 ，。) ，t h e nt h ea v e r a g es u r p l u s _ ? s a t i s f y v 山东大学博士学位论文 可i + e ，7 j = e l 叩， t h ei n d i v i d u a li n t e g r a t e dc h a n c ec o n s t r a i n t si s ：e r ( sa , e i q ， ， i = 1 , 2 ，m ，a n dt h ej o i n ti n t e g r a t e dc h a n c ec o n s t r a i n t si s ：e ( q , - ，i lr m ) 口t h i s d e f i n i t i o no v e r c o m e st h ed i f f i c u l t yo ft a k i n gv a l u ef o rf l ，i nd e f i n i t i o n2 1 4 7 ， y o ，0 0 ) i s i n t r o d u c e dt o r e p r e s e n t t h em a x i m u ma c c e p tv a l u eo fc o n d i t i o n e x p e c t a t i o ne 【( 7 7 一) 1 叩 0 ，d e f i n i n ge r , 一y p ( q ， 0 ) a n d s o l u t i o n s e t i s x 4 ( y ) x r “，e q 7 y - e 1 1 1 ) i t sr a t i o n a l i t y i sg i v e n i n t h i sa r t i c l e s u b s e q u e n t l yt h ec h a r a c t e ro ft h i sm o d e li sd i s c u s s e di n 2 2 ，w h i c hi n c l u d i n g t h ec o n v e x i t yo fs o l u t i o ns e t ，c o n t i n u u ma n dd i f f e r e n t i a b i l i t yo fr e s t r i c t i o nf u n c t i o n u n d e rt h ep r e c o n d i t i o nt h a tr e s t r i c t i o nf u n c t i o ni sc o n v e xa b o u tv a r i a b l e a st h e e x p a n d i n go fl i n e a rc o n d i t i o ni n 4 4 ，t h em a i nr e s u l ti s ： t h e o r e m2 , 2 3f o rs t o c h a s t i cp r o g r a m m i n g ：r a i n f ( x ) ：g ( x ，0 9 ) o , x d ，d i saf i x e d ，c l o s e d ，f i n i t es e t ，g ( x ，甜) i sc o n v e xa b o u txa n de a c hr a n d o mv a r i a b l e s a r s f y i n g e ( c o ，) ，t h e n ： g ( x ) = e g ( x ，c o ) 一】i sf i n i t e 、n o n n e g a t i v e ，c o n v e xa n dl i p s c h i t sc o n t i n u o u s f o r f i n i t ed i s c r e t ed i s t r i b u t i o no f ( a ( c o ) ，b ( c o ) ) ，g ( x ) i sp i e c e w i s e l yc o n v e xf u n c t i o n a n d f o rc o n t i n u o u sd i s t r i b u t i o no f ( a ( c o ) ，b ( c o ) ) ，g ( x ) i sc o n t i n u o u sa n dd i f i e r e n t i a b l e s o x ( f 1 ) = x r ”：季( x ) 卢) i sc o n v e xs e t f o rg ( x ，o j ) = 臼，( 扛；一6 ( ) ，t h e r ei s 掣生：日一2 a j xs g n ( g ( x ) 一) ，删。o v e l o x ! i 墨塑二譬型：日( nq ( 曲) 巧) 一 呻4 。ii。 。 t h et h e o r e ma b o v ei sb a s i n gf o ra l g o r i t h ml a t e r ，t h e nt h e o r e m2 2 5g i v e st h e l a g r a n g ep r o b l e mo ft h i sm o d e l ，i n d i c a t i n gt h a t ( 五) i se q u i v a l e n tt o ( s i m p l e ) r e c o u r s eo rp u b l i s h i n gm o d e l ，。i nr e s e a r c ha b o u tr i s kf i n a n c e 4 5 ，4 7 1 ，t h ee q u i v a l e n c e i sg o t t e nb yt r a n s l a t i n gt h ee v a l u a t i n gw a yo fr i s kv a l u e w h i c hi sc o n s i s t e n tw i t i lt h a t o fo u rw o r kw h e nt h er e c o u r s ec o e f f i c i e n ti sh a r dt od e t e r m i n a t e ，o c c ( 卢) ) c a n d e s c r i b et h ew o r dm o r ea c c u r a t e l ya n do f f e ran e wm e t h o df o rc o m p u t i n g i n 2 3 ，2 4 ，a s s u m i n gt h er a n d o mv a r i a b l e so b e yf i n i t ed i s c r e t eo rc o n t i n u o u s d i s t r i b u t i o nr e s p e c t i v e l yw eh a v ed e s i g n e dt h ea l g o r i t h m s t h eh y b r i di n t e l l i g e n t a l g o r i t h m2 3 i sg i v e n ，b a s e do nt h es t r u c t u r ec h a r a c t e ro fs o l u t i o ns e t ( t h e o r e m v i i i 山东大学博士学位论文 2 3 1 ，t h e o r e m2 3 2 ) a n dc o m p a r i n ge x a m p l ea b o u tr a n d o mp r o b l e ms h o w st h e v a l i d i t yo fa l g o r i t h m2 3 ，t h ea l g o r i t h m2 4 i sg i v e nw i t hc o m p l e x i t yo fo ( n 乙) ， b a s e do nt h ec h a r a c t e ro fp r o b l e ma n di n t e r i o ra l g o r i t h mw i t hd e c o m p o s i n g i nc h a p t e r 3t h et w o s t a g em o d e lw i t hr e c o u r s e ( 2 s - s p ) i sr e s e a r c h e d i n 31 ， b yc o n t r a s t i n gt h em o d e l i n gi d e a ，w eg e tt h ec o n c l u s i o nt h a t ( 2 s - s p ) i se q u a lf o r m a l l y t ob i l e v e rp r o g r a m m i n g p r o p o s i t i o n3 1 1a n d3 1 2s h o w ：2 s s pi sac l a s so f r a n d o mb i l e v e rp r o g r a m m i n g ，m o r e o v e rr a n d o mv a l u e t y p eb i l e v e rp r o g r a m m i n gw i t h o n es u b s y s t e mi nt h el o w 1 e v e ra sa nn p h a r dp r o b l e m ，r e s e a r c hw o r ka b o u t ( 2 s s p ) m a i n l yf o c u s e s o nt h ec o m p u t i n ga n dr e a l i z a t i o no f s o l u t i o nh o w e v e r , b i l e v e r p r o g r a m m i n gh a sg o t t e nd e t a i l e dd e v e l o p m e n to nt h e o r y , o p t i m i z a t i o nm e t h o da n d a l g o r i t h m s op r o p o s i t i o n sa b o v em a k eo u tt h a tw ec a ns t u d y ( 2 s s p ) u s i n gf o r r e f e r e n c e t h e o r e m3 1 4 t h e o r e m3 1 5d i s c u s st h ee x i s t i n gc o n d i t i o no fo p t i m a l s o l u t i o ni n2 s s l p 、2 s s n l p t h e nw ec o n s i d e rt h ed u a lt h e m to f2 s s pi n 3 2 f o rc o m p l e x i t ya n dv a r i e t y ， t h ed u a lt h e o r yo fs t o c h a s t i c p r o g r a m m i n gi so n l y as m a l lq u a n t i t yo f , i ns o m e r e f e r e n c e sj u s ta s f 4 4 ，9 9 】d i s c u s s e d t h ed u a lu s i n gc e r t a i np r o g r a m m