（应用数学专业论文）群胚在离散场上的应用.pdf

摘要 本文在群胚和李代数胚理论的基础上，丰要研究建立在李群胚q 0 上的 两种差分离散拉格朗同形式及相应的离散变分首先引入群胚态射的概念类 似差分离散力学系统中的离散函数，群胚态射定义在离散格点上，取值于李群 胚q q 中这里涉及的格点为二维正规格点利用群胚态射的概念，两种差分 离散拉格朗日泛函s = l ( u i , 3 ，u i + 1 , j ) + l ( u i ，j ，l z i , j + 1 ) 和s = 三( 啦j ，a u i + a j ) + l ( u i ml x u i j + 1 ) 可由群胚形式表出于是根据群胚的有限变分方法，文章得出差分 离散力学系统分别通过离散变分原理d v p i 、d v p i i 得到的离散欧拉一一拉格朗日 运动方程文章最后讨论在群胚意义下第二离散变分原理的几何意义 关键词：群胚，李代数胚，离散变分，第二离散变分原理 a b s t r a c t o nt h eb a s i so ft h et h e o r yo fg r o u p o i d sa n dl i ea l g e b r o i d s ，w em a i n l ys t u d y t 飘，od i f f e r e n td i f f e r e n c ed i s c r e t el a g r a n g i a nf o r m u l a sw h i c ha r ed e f i n e do nt h el i e g r o u p o i dq qa n dc o r r e s p o n d i n gd i s c r e t ev a r i a t i o n s f i r s t l y , w ei n t r o d u c ea d i s c r e t ef i e l dw h i c hw a sc a l l e da l la n a l o g u eo fc o n t i n u o u s f u n c t i o ni nt h ed i f f e r - e n c ed i s c r e t em e c h a n i c sb yag r o u p o i dm o r p h i s md e f i n e do nt h er e g u l a rg r i da n d t a k i n gv a l u eo nt h el i eg r o u p o i dq xq a s s o c i a t e dw i t ht h eg r o u p o i dm o t 。 p h i s m ，w ed e f i n eg r o u p o i dv e r s i o n so ft h ed i f f e r e n c ed i s c r e t el a g r a n g i a nf u n c t i o n a l s s = ( ，j ，+ l ，j ) + l ( u i , a ，u i , j + 1 ) a n ds = ( j ，a u i + l ，j ) + l ( u i ，j ，u i , j - i - 1 ) - w ba l 晶g e tt h ed i s c r e t ee u l e r - l a g r a n g e ：se q u a ti o n sr e s p e c t i v e l yb yf i n i t ev a r i a t i o n s o fg r o u p o i d s f i n a l l y ，i nt e r m so fg r o u p o i d s ，w eg i v et h eg e o m e t r i cm e a n i n go f d v p i i k e y w o r d s ：g r o u p o i d s ，l i ea l g e b r o i d s ，d i s c r e t ev a r i a t i o n s ，d v p i i 首都师范大学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进行研究工 作所取得的成果除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其他个人或集体 已经发表或撰写过的作品成果对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在 文中以明确方式标明本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担 学位论文作者签名：马雳五 日期：沙。罗够月绸 首都师范大学位论文授权使用声明 本人完全了解首都师范大学有关保留，使用学位论文的规定，学校有权保留学 位论文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电子版和纸质版有权将学位 论文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进入学校图书馆被查阅有权将学位 论文的内容编入有关数据库进行检索有权将学位论文的标题和摘要汇编出版保 密的学位论文在解密后适用本规定 学位论文作者签名：写、雪矛j 日期吖年妇笃日 第一章引言 “群胚”于1 9 2 6 年由h b r a n d t 1 最先命名和应用在二十世纪，它作为一种 数学工具，拓展了群的应用领域 ， 群胚在代数几何、分析以及代数拓扑等领域都有广泛的应用 b r a n d t 在他的文章l 卜首次提出群胚的概念后，与b a e r 在二十世纪二十年代开 始研究群胚的代数结构，之后e h r e s m a n n 增加了拓扑和微分结构，将群胚引入微 分拓扑和几何领域( 参见2 1 ) 在代数几何领域，c r o t h e n d i e c k 大量运用群胚，特别在于利用群胚克服了模 空问结构中无法处理的等价关系问题，使群胚在数学和物理领域发挥了重要作用 。 在分析领域，m a c k e y 3 借助群胚处理群的遍历作用，从群到群胚的推广，使 对合运算保持了大量非交换代数结构在c o n n e s 的非交换几何一书中，谈到群胚 为统一研究算子代数、叶状结构、指标定理提供了理论框架 在代数拓扑领域，h i g g i n s 、b r o w n 4 等人发展了拓扑空间的基本群胚的概 念，使群胚应用于非连通空问 在微分几何领域，数学家的最初想法是用群胚描述具有丛结构的数学对象的 对称性( f 5 1 ) 由于l i e 的工作预见了群在几何范围应用的局限性，因此产生了伪李 群、李群胚、丰丛等概念和各种相关的无穷小概念如李方程、阶化李代数、李代 数胚，在此基础上数学家尝试寻求一种严密而有力的语言来研究与局部几何变换 相关的对称性另p - p r a d i n e s 进行了关于从可微群到群胚的l i e 李理论的丰要推广 工作，与群胚和李代数胚在微分几何中的研究一起收录在m a c k e n z i e 的著作中 随着在许多数学领域的应用和推广，群胚作为一套独立的理论丰富发展起来 近年来，群胚又被用来研究数学物理领域中的离散模型 本文在第二节介绍群胚和离散场的概念，在第三节引入坐标将李群胚q q 的伴随李代数胚和其相应的左、右不变向量场具体表示出来，得到有限变分 的变分向量场，在第四节介绍对离散场的有限变分，结合第二节的变分向量 场，从群胚角度解释了d v p i i 的几何含义，在第五节对定义在李群胚q q 上形 如l ( u i ，j ，u i + l , j ) + l ( u t ，歹，讹，j + 1 ) 的拉氏密度泛函变分，求得与d v p i 相应的离散场 方程及变分向量场另外，对定义在李群胚q q 上形如( 1 ，j ：( u ，t 件1 ，) ) + l ( u i ，j ：( u i ，j ，u j + 1 ) ) ，l ( u i ，j ，u i + 1 ，j ) + l ( u i j ，毗，j + 1 ) 的拉氏密度泛函用同样的变 分方法处理，求得与d v p i i 相应的离散场方程及变分向量场，此时的差分离散系统 的差分项作为群胚元是合理的 1 第二章定义群胚及离散场 经典力学中讨论具有m 个质点的力学系统，每个质点用三维欧氏空问中的 向量 磊( ) ，i = l ，m ) 表示如果系统要满足七个约束条件，独立的自由度 为 n = 3 m 一七) ，构成一个有礼个自由度的力学系统用 9 1 ( t ) ，g n ( ) ) 表示该 系统的运动， 9 1 ，q n ) 构成一组独立坐标，称为广义坐标它们所属的空间称为 位形空间，记为q 该系统从t o 时刻到1 时刻的演化是q 中的一条参数曲线 7 ( ) = 口4 ( ) ；i = 1 ，n ，t o t 1 ) ( 1 ) 在离散系统中，连续时问被离散化为一个点序列： l k ，l k + l ，k z ) ， 这里用等间隔离散化，即间距t k + 1 一t 七= t 是常值这样，连续变量函数q ( ) 转 化为离散变量函数帆= q ( t 七) ，而拉氏密度函数l ：t ( q ) 一r 也相应地转化 为l ：q q ，r ( 详细参见 1 7 1 ) 由于离散化的拉氏形式定义在qxq 上，便产生了引用群胚的语言来描述离散 拉格朗同力学系统的想法【1 2 1 首先介绍关于群胚和李群胚的概念以及基本性质，详细的内容可参阅文献【5 】 和【1 2 】 定义2 1 ( 群胚) 设g 堤一个集合，( 是g 的一个子集，两个满射a ，p ：g 哼q 分 别称为源f 决射和目标映射，它们职制到q 上足恒同映射，在g g 的一个子集 g 2 = ( 9 ，h ) g g l ( 9 ) = n ( ) ) 上存在一种偏序乘法运算( 9 ：h ) 啐9 ，l ，满足： f 对任意( 9 ，h ) g 2 ，有a ( g h ) = q ( 9 ) 且f l ( g h ) = p ( ) ； 2 对任君勋，h ，k g ，若( g h ) k = g ( h k ) ，则有p ( 夕) = q ( ) 且p ( ) = a ( 七) ； 了，对任：酋匆g ，；育h ( 夕) 9 = g ，g z ( g ) = 9 ； 彳对任意9 g ，g 中有一个，i 茁元记为g 一，；涕乳足9 - 1 9 = p ( 9 ) ，g g - 1 = 口( 9 ) ， 则称g 为q _ l 的群胚记作gjq 。q 中的元素称为单位元g 中的偏亭乘法记 为7 ，| ：g 2 呻g ，逆映射记为i ：g 叶g 文 定义2 2 ( 李群胚) 一个群脚；q ，g 徊q 是微分流形，q 是c g j 闭子流形，映 射q ，8 。m 和i 是光滑映射并n 0 1 8 是浸入映射满是上述条件的群隧称为李群 胚， 将过9 g 的a 纤维记为p ( 9 ) ，即户( g ) = q - 1 ( o ( 9 ) ) ，( 9 ) 的定义类似因 为q ，p 是浸入映射，所以严( g 滔口尹( 夕) 是g 的闭子流形 2 另外，令口( 9 ) = z ，p ( 9 ) = 可，在李群胚g _ l z 有自然的左平移 z 9 ：y 。( 可) 一歹0 ( z ) ，h 一夕 ，、 同样有右平移 r g ：歹叩( z ) 一歹印( y ) ，hh ，i g 为了定义拉氏形式，本文将涉及到群胚v v = v 和李群胚q q 暑q ，下面 将它们作为两个例子加以说明 例l 设y 是r 2 中的正规格点集，v = ( t ，t j ) ) ， vx v = ( ( 如，岛) ( 如+ l ，幻) ) ( ( 屯，巧) ( 屯，t j + 1 ) ) ， 。 源映射o t ：vx v k ( ( 屯岛) ( 如+ 1 ，歹) ) 一( t i ，t j ) ，( ( 如，t i ) ( t i ，t j + 1 ) ) h ( t i ，如) ， 目标映射：vxv k ( ( 岛，b ) ( 件1 ，0 ) ) 一( 以+ 1 ，b ) ) ，( ( ，b ) ( i ，0 + 1 ) ) 一 ( t i ，t j + 1 ) ， 偏序乘法m ：( vxv ) x ( v v ) 一( vxy ) ， ( ( t i ，屯) ( 屯+ l ，幻) ) ( ( i + 1 ，t j ) ( t i + 2 ，t j ) ) = ( ( 屯，t 3 ) ( t i + 2 ，岛) ) ， ( ( i ，t 3 ) ( t i + l ，j ) ) ( ( 纠一1 ，t 3 ) ( t i + l ，岛+ 1 ) ) = ( ( t i ，t j ) ( t i + a ，岛+ 1 ) ) ， ( ( t i ，t j ) ( t i ，0 + 1 ) ) ( ( f i ，j + 1 ) ( f + 1 ，o j + 1 ) ) = ( ( t i ，j ) ( f f + l ，j + 1 ) ) ， ( ( i ，j ) ( t ，j + 1 ) ) ( ( f i ，t j + 1 ) ( t i ，o j + 2 ) ) = ( ( i ，t j ) ( t i ，j + 2 ) ) ， 逆映射i ：vxv vxu ( ( f ，0 ) ( 也+ 1 ，b ) ) 一( ( t i + 1 ，0 ) ( ，勺) ) ， ( ( i ，t j ) ( ，0 + 1 ) ) 一( ( i ，t j + 1 ) ( 以，岛) ) ，这样定义的v vj v 是群胚 例2设qxq ，q 均足微分流形，q 足qxq 的闭子流形，v ( u 1 ，? t 2 ) ，( 7 , 27t t 3 ) qxq ，源映射o ( u 1 ，u 2 ) = i t l ，目标映射p ( u l ，u 2 ) = 抛，逆映射i ( u 1 ，i t 2 ) = ( u 1 ，u 2 ) 。= ( u 2 ，札1 ) ，乘法m ：( 仳1 ，u 2 ) ( i t 2 ，u 3 ) = ( u 1 ，u 3 ) ，q ：p ，m ，i 足光滑映 射，且口，卢是浸入映射，p ( t l ，u 2 ) ，( u l ，u 2 ) 是q q 的闭子流形，则q qjq 是李群胚 。 有了群胚和李群胚的概念，如文献【1 2 】所述，差分离散系统中的拉氏密度函 数l ：qxq r 可定义在李群胚q qjq 上比较连续情形下的拉氏密度函 数的一般表达式，下面的问题是建立取值在qxq 上的离散场ov xv qxq ， 这需要用到以下要介绍的群胚态射的概念 定义2 3 ( 群胚态射) 设gjq ，g 7jq 7 是群膨，其源映射和目标映射分别 为o 【，g 和d ，8 1 。有一对映射审：g g 和i ：q q 1 满足： j 倥o 砂= ，on ，p 7o 妒= ，o ， 2 若( 9 ，h ) g 2 ，贝牺( 9 ) = 砂( 9 ) ( ) ， 满足上述条件的一对映射1 、称为群醚态射 根据群胚态射的概念，在群胚v y 上定义如下离散场 1 5 】， 3 定义2 4 ( 离散场) 设群胚vxvjv ，李凇xqjq ，_ 对跌射= ( 矽( o ) ：( 1 ) ) 是vxv ：至t j qxq 的群胚态射其中 ( o ) ：v 叫q ( t i ：t j ) 卜让t ，j e p ( 1 ) ： vxv 叫qxq ( ( t t ，幻) ( 纠1 ，岛) ) h ( 钆i ，j ，u i + l , j ) ，( ( t i ，t j ) ( t i ，t j + 1 ) ) h ( i t i , j ，u ，+ 1 ) 满足； 1 a ( c o ) ( ( t i ，t 3 ) ( t i + l ，巧) ) ) = 0 ( o ) ( t i ，t j ) ，q ( ( 1 ) ( ( ：t j ) ( t i ，t j 十1 ) ) ) = ( o ) ( l ，t j ) ，( 2 ) p ( ( 1 ) ( ( i ，b ) ( i + 1 ，b ) ) ) = & c o ) ( t i + t ，t j ) ，p ( ( 1 ) ( ( i ，幻) ( f i ，t j 十1 ) ) ) = ( o ) ( i ，t j + 1 ) ，( 3 ) 2 v ( ( t ，t j ) ( t i + 1 ，幻) ) ，( ( t i ，t a ( t , ，t j + 1 ) ) v k ( 1 ) ( ( 如+ 1 ，t j ) ( t i ，t j ) ) = 【( 1 ) ( ( 屯，t j ) ( t i + 1 ，幻) ) ) 1 1 ( 4 ) ( 1 ) ( ( 如，0 + 1 ) ( i ，t j ) ) = f ( 1 ) ( ( l ，白) ( t ，t j + 1 ) ) ) 】一1 ( 5 ) 这样的群胚态射击称为一个离散场 离散场的定义，与差分离散系统中相空间的参数曲线离散化过程相对应具 体说来，定义离散场的思想，不仅借鉴差分离散系统中离散化方法，引入离散化 的参数曲线，将格点集y 中格点映射为相空间q 中的向量，还结合群胚理论的特点， 将y 中离散点问有向线段，通过群胚态射，映为q 中离散向量问的有向线段，从而在 两个群胚的元素间建立对应关系从群胚的角度看，差分离散系统中的离散化参数 曲线就足定义在群胚vxv 上，取值在李群胚qxq 中的群胚态射，完全可以用群胚 的理论处理变分问题、 另外，如前所提，引入离散场的目的在于定义离散力学系统的拉氏密度 函数l ：qxq r 根据前面定义的离散场，拉氏密度函数一般表达 式定义为l ( ) 由于= ( ( o ) ，( 1 ) ) 是一对映射，也可将l ( ) 区分为只显含 群胚元雕j l ( u i # ，u 件1 , j ) + l ( 1 q j ，? l i ，j + 1 ) 和显含单位元及群胚元的l ( ( o ) ，( 1 ) ) = l ( u i ，j ，( 钍 j ，u i + l , j ) ) + l ( 乱t ，j ，( u i j ，札i j + 1 ) ) 两种表达式，相应作用量分别为 s = l ( u i a ，让件1 ，j ) + l ( t z ，j ，l t i , j + 1 ) 和s = ( u i , j ，( 1 t i , j ，u i + l , j ) ) + l ( 1 t i ，j ，( i t i ，j ，“ j + 1 ) ) 4 第三章李群胚的伴随李代数胚及不变向量场 经典力学系统利用泛函变分原理，对系统的拉氏量变分求极值，得到常见的 欧拉运动方程在几何框架下也可通过对变分向量场与拉氏密度泛函的微分1 形式 作配对来实现差分离散力学系统依然基于以上思想，利用离散变分原理，对离散 作用量变分而群胚理论的优点在于，建立离散力学系统的群胚结构，进一步得到 与无穷小变分相应的变分向量场，为离散变分原理做出了几何上解释因此在引入 群胚的有限变分之前，先介绍一下与李群胚g 的变分向量场紧密相关的不变向量 场 类似李群单位原点附近的切向量场可以构成李代数，李群胚具有伴随李代数 胚a g ，它可以生成李群胚上的左、右不变向量场，为此先引入李代数胚 5 1 的概念 定义3 1 ( 李代数胚) 设q 是一个流形，跷q 上的向量丛，p ：曰一t q 是向 量丛e 到切丛t q i 能j 丛映射，r l e 、) 是向量丛e 的全体截面的集合，r ( e 、中的括号 积【，- 1 ：f ( e ) r ( e ) 一r ( e ) 满足 1 r ( e ) 关于卜】足李代数； 2 对任意，矽r ( e ) ，葡( 眵，砂】) = g o ( c ) ，户( 妒) 】，等式右边的括号积是q 上切 向量场的李括号积； 3 对任意劬，矽r ( e ) 和f c 。( q ) ，有眵，纠= ：矽j + p ( ) ( ，) 矽， 则称e 为q 上的李代数胚，记作e q ，称p 为李代数睚e 的锚映射 任意李群胚gjq 都有相应的李代数胚，称为伴随李代数胚，记为a g q a g 是流形q 上的向量丛，对任意x q ，z 上的纤维定义为瞪= k e r ( ( q 。) 。) ，其中源 映射a 的切映射为( d 。) z ：疋g 一死( z ) q ，瓦g 是g 在x 的切空间，咒( 功q 是q 在q ( z ) 的_ 切空问 设u 是a g 的截面，是截面 在z 的向量对任意g g ，由u 生成的左不变向量 场萨和右不变向量场u r 在g 的向量为： 沪( 9 ) = ( 1 9 ) 。( 啪( 9 ) ) 和俨( 9 ) = ( 。i ) 。( ( 夕) ) ， 其中( b ) ，( 1 goi ) 。分别是左平移乇和逆映射复合右平移r o oi 诱导的切映射( 参考文 献【1 4 】和 1 8 】) 那么，李群胚q qjq 的伴随李代数胚为 a g = u 七e r ( ( 口+ ) ( 舭) ) ( 6 ) ( u ，u ) e q q 5 为了讨论a g 的局部性质，设q 是n 维微分流形，q q 是2 n 维光滑流形，qxq 中元素的局部坐标为( p 1 ，p n ，q 1 ，f 7 n ) ，记为( 7 ，：口) 李群胚qxqjq 的源映射 q ：q q q p ，q ) 一p ( 7 ) 利用同构映射i ：p 一( p ，p ) 构造a 和i 的复合映射为a 如下， a ：q q q q ，( 8 ) a ： ( p ，g ) 一( eq 3 ( 9 ) 其坐标分量表示为： 一 荔黜三矿p i q ( 1 0 ) i 酽( 7 ，) = w i 表示前n 个分量的指标，表示后n 个分量的指标i ，p = l ，几目标映射也作 相同处理 5 在( p ，q ) l ￥j 切映射： ( a 。) ( p ，g ) ：噩p ，q ) ( q q ) _ 耳p ，p ) ( q q )( 1 1 ) 第0 ，杀足q q 在( p ，g ) 的切空问，口) ( q q ) 的基底， 万0 ，杀是q q 在( p ，p ) 的切空间p ) ( q q ) 的基底 以对( p ，g ) 的切空问的基底的作用： 引参) = 雾劳+ 雾寿= 万0 + 面0 ， a ( 杀) = 雾，第0 + 簪芳= 。 由切映射的线性性质，对于( p ，1 7 ) 的切空问中任意切向量& 参+ 钆寿? 引已参+ 仇杀) = 已刚杀) + 钆酬杀) = 已( 品+ 畚) ， 其中已，钆是定义在( p ，g ) 附近的口o o 函数 令( 1 4 ) 式右端取零，得矗= 0 于是 托r ( ( 剐( p q ) ) = 仇杀) ， ( 1 2 ) ( 1 3 ) ( 1 4 ) ( 1 5 ) 所以q q 在( 口，q ) 上的纤维 一 a g ( 口口) - 酬( 叭口，q ) ) = 钆( q qa t 石 ) ( 1 6 ) 由以上推导可知： a g 2 照娩崛) ( g ，弗2m m 口，q ) 南) ( 1 7 ) 【口，们i q q j 因为q 在q 的切空间乃q = 钆( q ，q ) 毋 ，所以显然有a g 竺t q 于是李群、 胚q qjq 的伴随李代数胚可以表示为丁q q 求出李群胚q qjq 的伴随李代数胚，根据群胚理论【1 4 】，由伴随李代数胚 的一个截面可生成群胚上的一个左( 右) 不变切向量场 首先，根据李群胚的定义，q q q 的左作用为 1 9 ： 严( g o ) 一严( 伽) ( 1 8 ) ( q o ，q ) 一( p o ，q o ) ( q o ，( f ) = ( p o ，q ) ， ( 1 9 ) 其中9 = ( 肋，q o ) ，a ( 9 ) = p o ：声( 9 ) = q o ，g 是q 中任意元素 由于李群胚q qjq 的乘法m 是光滑映射，因此可以进行局部坐标运算以 下运算中直接用( p ，q ) 代表群胚元的坐标 1 9 由坐标分量表示为： 剿( 口0 q o ：端三乒 ) i 矿( z 9 ，g ) ) = 矿 p 叫 i s f f - ( q o ，g ) 的切映射： ( ( 乞) 。) ( 们，口) ：丑，。) ( q q ) 一+ ? k ，口) ( q q ) ，( 2 1 ) ( 1 9 ) 。x 寸( q o ，q ) 的切空间的基底的作用： ( ( f 9 ) k 口) ( 杀) = 器，万0 + 器) 弗= o ， ( 2 2 ) ( ( f 小) ( 驰m ( 参雾，劳+ 簪，旁= 杀 ( 2 3 ) 特别地，当( ( 7 0 ，q ) = 声( 9 ) ，即g = q 0 时，由于f 9 ( 矽( g ) ) = g ，( b ) 。对q q 的单位 元声( 9 ) 的切空间的基底的作用如下： 盎 ( ( b ) ) 础口0 驰( 办) 亍o ， ( 2 4 ) ( ( f a ) 引杀i 硒) ) = 硒0k ( 2 5 ) ( ( u ) 剐印( 9 ) ) 帝0 ) w ( 舶) ) 杀) = 州弛) ) 杀k ( 2 6 ) 其中( 2 6 ) 式是( 毛) 。对q q 的单位元矽( 9 ) 的切空间中任意向量的作用 同样的，李群胚q qjq 的右作用： r g ：7 ( p o ) 一尹( 9 0 ) ( q ，p o ) 一( q ，p o ) ( p o ，q o ) = ( q ：q o ) g = ( p o ，q o ) ，a ) = p o ，i j ( g ) = q o ，口是q 中的任意元素 q q 的逆映射i 复合右作用7 。 飞oi ：( p o ，g ) 一( p o ，口) 。1 ，q o ) = ( q ，q o ) ， 其的坐标分量表示为： j ，( ，厂goi ( 阳，q ) ) = 矿 i 矿( oi ( p o ，g ) ) = 茹 oi 在( p o ，1 7 ) 的切映射 ( ( 码oi ) ，) 伽，口) ：丑p o , q ) ( q q ) 一丑。，们) ( qxq ) ， 对( 伽，q ) 的切空间的基底的作用： ( ( 7 ( “刍) ( ( r goi ) a “杀) ( 2 7 ) ( 2 8 ) ( 2 9 ) ( 3 0 ) ( 3 1 ) ( 3 2 ) ( 3 3 ) 特别地，当( q ，p o ) = a ( 9 ) ，即q = 肋时，由于( ( 勺oi ) + ) 矗( 9 ) = ( a ( 9 ) ) 一1 9 = g ， ( 勺oi ) 。对q q 的单位元a ( 9 ) 的切空间的基底的作用如下： 、 ( ( “砸) ( 杀) = o ， ( 3 4 ) ( ( r g oi ) 小( 瓤= 瓤 ( 3 5 ) ( ( r goi ) 瓿艄的) 第0 + 叩弘( 枷杀k 劫= 叭的) ) 壶b ( 3 6 ) 其中( 3 6 ) 式是( r goi ) 。对q q 的单位元a ( 9 ) 的切空问中任意向量的作用 由( 2 6 ) 式知，一4 g 的一个截面叩7 ( 矽( 9 ) ) 劳i 声( 们生成q q q 上的一个左不 变切向量场 以夕) = ( ( 协) 引矿( 讹) ) 参) = 矿( 鼬) ) 杀b ( 3 7 ) 旦缈 = 0+ 仉旦咿 旦咿旦带 咿一桫妒一舭旦矽旦帮 妒一矽带即 i i = 同理由( 3 6 ) 式知，4 g 中的一个截面矿( a ( 9 ) ) 每i a ( 9 ) 生成q q q 上的一个右 不变切向量场 沪( 9 ) = ( ( _ “洲以的) ) 杀) = 州的) ) 杀b ( 3 8 ) 这样求出的左( 右) 不变向量场是群胚左( 右) 作用的无穷小变换，与伴随李代数 胚的截面存在一一对应关系( 详见文献1 1 8 ) ，因此具有代数结构 另外，对任意可乘的群胚元( 9 l ，卯) q q ，满足( 9 1 ) = a ( 9 2 ) 9 1 的左不变切 向量场为 a 铲( 9 t ) = 矿( 触) ) 盖k 9 2 的右不变切向量场为 t ，r ( 兜) = 矿( a ( 9 2 ) ) 参k = 矿( 后( 夕) ) 蔷i 卯 ( 3 9 ) 它们由截面矿( 矽( 9 ) ) 每i 石( 们上的同一向量矿( 声( 9 ，) ) 每l 声( 刚生成，有相互依赖关 系，在第五节可以看到j t 同一个离散方程都有贡献 还需注意，本文后面将要介绍的变分向量场足由左、右不变向量场生成的，它 们将为差分离散力学系统的两种变分原理d v p i ，d v p i i 建立相应的几何背景 9 第四章对离散场的有限变分 如上节所述，与连续情形的拉格朗日力学系统类似，第二节定义了关于离散 场西的拉氏形式l 和作用量s ，接下来的关键是如何对群胚上的作用量变分，只有解 决这个问题才可能求离散运动方程本文利用群胚的有限变分方法对离散场变分 在介绍有限变分方法之前，首先具体定义一个从李群胚q q 映到q q 的群 胚态射 定义4 1 体铽鲻中是李群胚qxq 到自身的一族群胚态射，满足： 妒：r ( q q ) 一q q ( s ，( u ， ) ) 一h - 1 ( 5 ) ( ， ) 后( s ) ( 4 0 ) 其中 映射h ( s ) ：r q q ，h ( s ) c 严( 仳，u ) ， h ( o ) = a ( u ，u ) ，h ( o ) 4 g a ( 。，。) ， 映射七( s ) ：毫一q q ， k ( s ) c 歹n ( p ( u ：u ) ) ， k ( o ) = ( 让，r ) ，k ( o ) a g f ，( 。，。) ， a g 西( 叩) 是李群屋翰q 伴随李代数胚在p ( t z ，) 的纤维 也记：砂( s ，( 仳，u ) ) = 讥( u ，u ) ， 则称曲为态射族 因为饥是群胚态射，所以讥与a ，p 可交换，并保持乘法运算对任意可乘 群胚元( 1 ，u 2 ) ，( u 2 ，u 3 ) q q ，有讥( u l ：u 2 ) = f 1u l ，u 2 ) 凫l ( s ) ，妒。( 让2 ，u 3 ) = 蛞1 ( t t 2 ，) 如( s ) ，根据群胚态射保乘法运算，有k l ( s ) = 2 ( s ) ， 这样定义的群胚态射族妒具有态射性质( 【5 1 ，【1 5 1 ) ，这是妒。为群胚态射的必要条 件定义如下： 性质4 2 ( 态射性质) 群胚态批满足： 妒以( s ，( u ，u ) ) = 似( s ，( u ，u ) ) ) 一 态射性质说明定义4 1 的群胚态射保逆元，即群胚态射的像有逆元，逆元形式如 上 对于前面定义的离散场，现将其定义在有限集ucv v 上，其中u = ( 如j ，t i + l ，j ) ( 如，j ，i + 1 ) i z ，j = 0 ，礼一1 ) 结合态射族矽的概念，取值在李群胚q q 的离散场移的有限变分( 参考文 献【1 4 】和 1 3 】) 定义如下： 1 f 1 定义4 3 ( 有限变分) 设离敖场= ( ( o ) ，( 1 ) ) 是群胚v y 到李群胚q q 的群屋石 态射，唪是满足定义毒1 的态射族且 也( 咖( o ) ( 如，岛) ) 饥( ( 1 ) ( 缸，岛) ( 屯+ 1 ：t j ) ) 仇( ( 1 ) ( 如，岛) ( 如，t + 1 ) ) = g ，j ( s ) ， = 才( s ) ( ，j ，u 州j ) 死+ l j ( s ) ， = 0 ( 5 ) ( u 劬t t i , j + 1 ) j + 1 ( s ) 其中跌射屯，j ( s ) ：r 叫q q ，h i ，j ( 8 ) c 严( u t j ，j ) ， j ( o ) = 5 ( u j ，z t i , j ) ，元( o ) a g e , ( u 谢触，j ) ， 饥，j ( s ) = ( 1 t i , i ，q j ( s ) ) ， 映糊t ，j ( s ) ：r q ， ( 4 1 ) ( 4 2 ) ( 4 3 ) 则称态射族砂为离散场= ( 咖( o ) ，( 1 ) ) 在趾的一个有限变分 比较有界区域上的连续曲线变分，保持曲线端点不动，根据给定的变分向量场， 曲线在空间中连续变换，生成一族变分曲线，离散场的有限变分过程与之类似令 有限集u 上的离散场保持边界点不变，态射族砂将其映为qxq l 卜的一族离散场 由此可见，群胚有限变分的思想与连续情形下的变分思想一致，而有限变分的核心 一群胚态射矽，将决定离散场方程的具体形式 1 1 第五章离散运动方程 上节定义了由态射族矽生成的李群胚q q 上的一族离散场妒( ) 本节根据连 续情形下泛函变分求极值的思想，对关于妒( ) 的拉氏量求极值，此极值便是离散场 方程 第二节根据离散力学系统的两种拉氏形式定义了群胚上的拉氏密度泛 函l ( u i ，j ，u i t l , j ) + l ( u i j ，i i i ，升1 ) ，l ( u i ，j ，( 撕j ，1 比i + 1 ，j ) ) + l ( u i j ，( u i , j ，u i ，升1 ) ) 及其作用量 由于群胚态射机分别对单位元和群胚元定义，使得显含群胚元的拉氏形式的有限 变分，与显含单位元和群胚元的拉氏形式的有限变分不尽相同，因此对两种相应拉 氏量变分求极值得到不同形式的运动方程，即差分离散系统中由d v p i 和d v p i i 变 分得到的离散运动方程 为与两种不同的离散变分得出的离散运动方程作比较，下面分别对形 女l l ( u i ，j ，u i + i , j ) + l ( u i ，j ，? j + 1 ) 和l ( u i ，j ，( 2 1 i ，j ，u 件1 ，j ) ) + l ( u i ，j ，( u i ，j ，札i ，j + 1 ) ) 的拉氏 密度泛函进行讨论 首先根据群胚的有限变分方法，对两种拉氏形式推导相应的离散运动方程和 相应的变分向量场 。 5 1 形如l ( u i ，j ，u i + 1 ，j ) + l ( u i ，j ：他i ，j + 1 ) 的拉氏密度泛函 差分离散力学系统对拉氏密度泛函l ( 啦， a i + 1 , j ) + l ( u 幻，u i ，抖1 ) 采用d v p i 进 行变分处理 定义在李群胚q q 上的离散场= ( 1 ) ( ( i ，f j ) ( 件1 ，t j ) ) = ( u i ，j ， u i + 1 j ) ：2 ( 1 ) ( ( z i ，幻) ( 如，t j + 1 ) ) = ( ，j ，u i , j 十1 ) ，其显含群胚元的拉氏密度泛函就如第二节定 义： l ( ( 1 ) ( ( 如，如) ( 如+ l ，岛) ) ) + l ( ( 1 ) ( ( t f ，t j ) ( t i ，岛+ ) ) ) = l ( u i , j ，u i + l , j ) + l ( u i ，j ，i l l ，j + 1 ) ， ( u i , j ，t i + l ，j ) ，( u i ，j ，t i + l , j ) qxq jq ， n 作用量s = ( l ( u i , i ，u i + 1 , j ) + l ( u i ，歹，i t i ，j + 1 ) ) i , j = o 离散场西在u 上的有限变分： 讧( ( 1 ) ( ( i ，t j ) ( t i + l ? 巧) ) ) = ，1 0 ( s ) ( 仳 ，i t i + 1 , j ) h i + l ，j ( s ) 1 2 讥( ( 1 ) ( ( 如，巧) ( 如，幻+ 1 ) ) ) = 君( 5 ) ( 地，歹，n t j + 1 ) 屯j + 1 ( s ) 其中h i , j ( s ) = ( u i ，j ，q j ( 5 ) ) ( i ，j = 1 ，n 一1 ) ， h o ，o ( 5 ) = 5 ( u o ，o ，u o ，1 ) = 5 ( u o ，o ，1 ，o ) ，h n ( s ) = 矽( u n l ，凡，u n ，。) = 声( r “n ，n l ，u n ，n ) ， 厶i ，j ( o ) a g ( 。 j ，。i j ) ， i ，j ( o ) = a ( 让 j ，仳 + l ，j ) = a ( u t ，j ，u t ，j + 1 ) ， 即q t ，j ( o ) = ，j ，o 幻( o ) 瓦谢( q ) 相应作用量随看禺敌场的硐限焚分转化为： s ( 饥) = + l ( 孝( s ) ( u 幻，蚴+ 1 , j ) h i + l j ( 5 ) ) 十l ( 0 ( s ) ( u 幻，t 正幻+ 1 ) 鬼，j + l ( s ) ) + ( 4 4 ) 根据变分求极值的思想，令 老s ( 删脚2 0 ， ( 4 5 ) 将( 4 4 ) 式代入( 4 5 ) 式，得 + 老l ( 忍君( s ) ( u 巧, u i + l , j ) h 州j ( 5 ) ) i s = 0 + 万am 君( s ) ( u i , j , u i , j + 1 ) h j + 1 ( s ) ) b + = o ， ( 4 6 ) 将，k j ( s ) ：( 。如，j ：q ，j ( s ) ) ( i ，= ：1 ，一，一1 ) 代入，得1 + 罢( ( ，q 叫( s ) ) ) b + 罢l ( ( q 巧，q 幻+ 1 ( s ) ) ) i 乒。+ = o ， ( 4 7 ) 对等式左边求导展开 + 万丽0 州乳d s ) ) ) 1 5 = 。丢( s ) k 。 + 瓣0 础j ( s ) ) ) 1 3 ：o 丢t 俐。：o + 南州“s ) ) ) i s - 。昙吲s ) | 删 + 丽0 础钆小) ) ) 1 8 。罴魄( 5 ) k0 + 一o ， ( 4 8 ) 等式左边在s ：0 处取值，等式化简为 + 瓦0 讹锄u 州j ) ) 吲。) + 丽0 蜘栌叫) ) ( 。) + 瓦0 厶( ( 州) ) 吲。) + 而0 l ( ( 1 t i , j , u i , j + 1 ) ) o t ( 。) + = q 4 9 ) 1 3 由于也幻( s ) ( i ，j = 0 ，礼一1 ) 选取的独立性，运动方程为 边界项为 瓦0l ( ( u i , j ，l i + l , j ) ) + 砥0 l ( ( 1 t i , j ，u i + l , j ) + 瓦0t ( , i , j ，? t i , j + 1 ) ) + 丽0 l ( ( t t i , j ，l l i , j + 1 ) ) = 。( 5 0 ) 去l ( t i , o , 仳i + 1 , 0 ) ) 州o ) + 丽0 l ( ( u i , o ，u i + i , o ) ) 0 ( 0 ) + 老l ( ( u o , j ，u o , j + i m ( 0 ) + 忐l ( ( u o , j ，u o , j + i 舳町“o ) + 瓦0l ( u i , n - 1 ，z q + l , n - 1 ) ) 心i ，n t ( o ) + 否i 石0 l ( ( ，u t ，n 一- ，u i + l ，n 1 ) ) h i + l , n - 1 ( o ) + 瓦0l ( ( u n - l , j ，u n - l , j + 1 ) ) 也n 一1 ，j ( o ) + 弓i 丽0 ( ( u n - 1 , j ，u n - l j + 1 ) ) 也n 一- j + 1 ( o ) ( 5 1 ) ( 5 0 ) 式便是离散运动方程方程( 5 0 ) 与用第一种离散变分方法d v p i g 的离散欧 拉运动方程形式相同文献【1 5 】利用恒同映射，将流形q q 中群胚元映为流形q 中 单位元，相应变分向量场也由诱导切映射从q q 上的不变向量场映为q q 的伴 随李代数胚的截面，通过对流形q 中单位元作无穷小变分也得出同一离散运动方 程本节根据流形的局部性质引入坐标，将群胚变分求极值问题转化为微分几何中 流形上的问题，不仅体现对单位元变分的处理过程，更重要的是利用演算说清了对 群胚元的变分思想，从而得到有限变分的变分向量场，即无穷小变分 下面推导拉氏密度泛函l ( j ，u 件l d ) f f | l l ( u i , j ，i t i ，j + 1 ) 的变分向量场， 先求l ( 讹，j ，u i + 1 ，j ) 一 9 4 据g g - 节所求左( 右) 不变向量场的( 3 7 ) 式和( 3 8 ) 式，有 ( ( 川j ) 。i ) 妇帆，) ( 眈( o ) 杀钳m + l t j ) ) = 铭( o 万0k 脚) = ( o ) 者 ( 5 2 ) ( ( f 幻) ) 酏小u 舶( o ) 杀埘朋+ l ，j ) ) = q 。i + 。水) 杀h 可帅 ) = 荆疵( 5 3 ) 其中 7 皑( o ) 毫加帅