（计算数学专业论文）辐射度方程和相关问题快速算法及其应用.pdf

中山大学博士学位论文 摘要 摘要 本论文主要讨论了包括辐射度方程( r a d i o s i we q u a t i o n ) 在内的奇性指标等于维数的 强奇性第二类积分方程的快速多尺度配置算法，同刑，还讨论了第二类弱奇性积分方程 的保奇性p e t r o v - g m e r k i n 方法。全文共分六章。 第章简要地介绍辐射度方程的物理背景和辐射度方法的研究现状，指出了现有的 辐射度有限元方法，配嚣算法和小波辐射度算法的一些困难和不足，提出我们要讨论的 问题。最后总结了本论文的主要工作。 第二章主要介绍了f c m x 2 ，c m x 4 】中的集小波、多尺度基和配置泛函的构造。 第三章我们简要讨论了在由分片光滑表面构成的有遮挡的场景中，辐射度方程的核 函数的正则性和辐射度积分算子压缩性质，并推广了现有结果。这些性质对构造辐射度 算法的理论和应用都相当重要，尤其对于多尺度配置算法。 第四章考虑一类更一般的强奇性积分方程，它的奇性指标等于维数。文献i c m x 4 的 理论框架不包括这类方程。这一章建立了奇性指标等于维数的强奇性积分方程的快速多 尺度配置算法的理论框架，给出了截断策略，证明了截断算法的收敛性、稳定性和计算 复杂性，获得了几乎是最优的收敛阶。数值实验表明截断算法的压缩比相当理想，当矩 阵阶为8 1 9 2 时，压缩比不到千分之七，并且对分片线性多尺度基，其收敛阶几乎等于2 。 第五章将强奇性积分方程的快速多尺度配置算法和截断策略应用于辐射度方程，并 设计和实现了算法的程序系统。这一章首先给出了辐射度快速多尺度配置算法的框架， 针对三维场景的复杂性，在原有截断策略的基础上根据问题的物理意义添加补充策略。 讨论了有遮挡场景中的数值积分加速技巧。给出了辐射度快速多尺度真实感图形算法程 序系统的面向对象分析与设计。最后利用我们的程序系统绘制了真实感图形。实验表明 当压缩比在百分之十五左右时，真实感图效果还相当理想。 第六章根据f c x 9 4 ，m x l 中的保奇性思想，提出了一类弱奇性积分方程的保奇 性p e t r o v - g a l e r k i n 方法。提出了保奇性广义最佳逼近的概念及判断准则，同时证明了 保奇性广义最佳逼近的收敛性，得到算法的最佳收敛阶；最后我们建立了一个包括保奇 性g a l e r k i n 方法、保奇性p e t r o v - g a l e r k i n 方法和傈奇性配置法在内的保奇性数值方法的 抽象框架和收敛性条件。 关键字：奇异积分方程，多尺度方法，快速配置法，真实感图形，辐射度，保奇性， p e t r o v - g a l e r k i n 方法 第i 页 英文摘要 中山大学博士学位论文 a b s t r a c t i nt h i st h e s i s ，w em a i n l yd i s c u s st h ef a s tm u l t i s c a l ec o l l o c a t i o nm e t h o d sf o rt h es e c o n dk i n d i n t e g r a le q u a t i o n si n c l u d i n gr a d i o s i t ye q u a t i o n s ，w h i c hh a v es t r o n gs i n g u l a r i t yw i t hs i n g u l a r i t y i n d e xe q u a lt ot h ed i m e n s i o n w ea l s od i s c u s sp r e s e r v i n gs i n g u l a r i t yp e t r o v g a l e r k i nm e t h o d s t h i st h e s i si so r g a n i z e di n t os i xc h a p t e r s i nc h a p t e r1 ，w eb r i e f l yi n t r o d u c et h ep h y s i c a lb a c k g r o u n da n dt h ed e v e l o p m e n to ft h e r a d i o s i t ye q u a t i o n s t h e r ea r es o m ed i m c u l t i e sa n dd e m e r i t si nt h ee x i s t i n gr a d i o s i t yf i n i t e e l e m e n tm e t h o d s ，c o l l o c a t i o nm e t h o d sa n dw a v e l e t sr a d i o s i t ym e t h o d s kp r o p o s et h ep r o b 一 1 e r o sw h i c hw ew i l ld i s c u s si nt h i st h e s i s i nt h ee n d ，w es u m m a r i z et h em a i nw o r ki nt h i s t h e s i s i nc h a p t e r2 ，w ei n t r o d u c et h ec o n s t r u c t i o nt h es e tw a v e l e t s ，m u l t i s c a t eb a s e sa n dc o l i o - c a t i o nf u n c t i o n a l si nf c m x 2 c m x 4 1 i nc h a p t e r3 ，w eb r i e f l yd i s c u s st h er e g u l a r i t yo ft h ek e r n e lf u n c t i o ni nr a d i o s i t ye q u a t i o n a n dc o n t r a c t i o np r o p e r t i e so ft h er a d i o s i t ye q u a t i o n si nt h eo b s t a c l es c e n e w h i c hc o n s i s t so f p i e c e w i s es m o o t hs u r f a c e ，g e n e r a l i z i n gt h ee x i s t i n gr e s u l t s t h e s ep r o p e r t i e sa r ev e r yi m p o r t a n t f o rt h ec o n s t r u c t i o no f t h er a d i o s i t ym e t h o di nt h e o r ya n dp r a c t i c e ，e s p e c i a l l yf o rt h em u l t i s c a l e c o l l o c a t i o nm e t h o d i nc h a p t e r4 ，w ec o n s i d e rt h eg e n e r a ls t r o n g l ys i n g u l a ri n t e g r a le q u a t i o no fw h i c ht h e s i n g u l a r i t yi n d e xe q u a l st ot h ed i m e n s i o n t h i sc l a s so fe q u a t i o n si sn o ti n c l u d e di n t h e t h e o r e t i c a l f r a m e w o r k i n f c m x 4 i w je s t a b l i s h t h e t h e o r e t i c a l f r a m e w o r k o f t h e f a s t m u l t i s c a l e c o l l o c a t i o nm e t h o df o rt h es t r o n g l ys i n g u l a ri n t e g r a le q u a t i o n si nw h i c ht h es i n g u l a r i t yi n d e x e q u a l st ot h ed i m e n s i o n t r u n c a t i o ns t r a t e g yi sg i v e n w ep r o v et h ec o n v e r g e n c e ，s t a b i l i t ya n d c o m p u t a t i o n mc o m p l e x i t yo ft h et r u n c a t i o na l g o r i t h m t h u s w eo b t a i nt h ea l m o s to p t i m a l c o n v e t g e n c eo r d e r t h en u m e r i c a le x p e r i m e n t ss h o wt h a tt h ec o m p r e s s i o nr a t ei sf a i r l yi d e a l w h e nt h eo r d e ro fm a t r i xi s8 1 9 2 t h ec o m p r e s s i o nr a t ee a r lr e a c h e st o0 7 c o n v e r g e n c e o r d e ri sa b o u t2f o rt h ep i e c e w i s el i n e a rm u l t i s c a l eb a s i s ， i nc h a p t e r5 ，w ea p p l yt h ef a s tm u l t i s c l ea l g o r i t h ma n dt r u n c a t i o ns t r a t e g yf o rt h es t r o n g l y s i n g u l a ri n t e g r a le q u a t i o n st ot h et a d i o s i t ye q u a t i o n sa n dr e a l i z et h ea l g o r i t h mi nt h ec o m p u t e r i nt h i sc h a p t e r ，w eg i v ef r a m e w o r ko ft h er a d i o s i t yf a s tm u l t i s c a l ec o l l o c a t i o na l g o r i t h m d u et o t h ec o m p l e x i t yo ft h et h r e ed i m e n s i o ns c e n e ，w ea d ds o m ec o m p l e m e n t a r ys t r a t e g ya c c o r d i n g t op h y s i c a lm e a n i n go ft h ep r o b l e m s ，w ed i s c u s st h ea c c e l e r a t i n gt e c h n i q u ef o rn u m e r i c a l i n t e g r a l si no b s t a c l es c e n e w ea l s od e s i g nt h ec o m p u t e rp r o g r a m i nt h ee n d ，w es y n t h e s i z e r e a l i s t i ci m a g e s t h ee x p e r i m e n t ss h o wt h a tt h er e s u l 乇sa r ef a i r l yi d e a lw h e nc o m p r e s s i o nr a t e i sa b o u t1 5 i nc h a p t e r6 ，w ep r o p o s ep r e s e r v i n gs i n g u l a r i t yp e t r o v g a l e r k i nm e t h o d sf o rac l a s so f w e a k l ys i n g u l a re q u a t i o n s w ea l s op r o p o s et h en o t i o na n dt h ec r i t i c a lp r i n c i p l eo ft h ep r o - s e r v i n gs i n g u l a r i t yg e n e r a l i z e do p t i m a la p p r o x i m a t i o n t h ec o n v e r g e n c e ，o p t i m a lc o n v e r g e n c e o r d e l o ft h e s em e t h o d sa r ep r o v e d i nt h ee n d ，w ee s t a b f i s haa b s t r a c tf r a m e w o r ko ft h e p r e s e r v i n gs i n g u l a r i t ym e t h o d s ，i n c l u d i n gt h ep r e s e r v i n gs i n g u l a r i t yg a l e r k i nm e t h o dt h ep r e - s e r v i n gs i n g u l a r i t yp e t r o v - g a l e r k i nm e t h o da n dp r e s e r v i n gs i n g u l a r i t yc o l l o c a t i o nm e t h o d ，a n d s h o wc o n v e r g e n c ec o n d i t i o n s k e yw o r d s s i n g u l a ri n t e g r a le q u a t i o n s ，m u l t i s c a l em e t h o d s ，f a s tc o l l o c a t i o nm e t h o d s ， r a d i o s i t y , r e a l i s t i ci m a g es y n t h e s i s ，p r e s e r v i n gs i n g u l a r i t ym e t h o d s ，p e t r o v - g a l e r k i nm e t h o d s 第i j 页 中山大学博士学位论文 插图目录 l 。l 面7 i 所张成的立体角 l - 2 光亮度 插图目录 1 - 3 辐射度与光亮度的关系 】一4 点y 对x 的形状闻予的几佃说明 i - 5 层次结构辐射度算法的说明 3 一l 遮挡情形一一 3 2 遮挡情形二 3 - 3 遮挡情形兰 3 。4 半球与锥体的交 5 。l 标准三角彤 5 - 2 三角彤多尺度剖分 5 - 3 个场景的包围盒 5 4 包阐盒的层次结构 5 - 5 场景的八叉树剖分 5 - 6 辐射度快速配置算法程序的主要内容 5 7 原始面片 5 - 8 方正率好的= i 角形剖分 5 - 9 方正率l ；好的三角形剖分， 5 1 0 辐射度配当：算法计算流程图 5 。儿场景域类关系示意图 5 一1 2 小波树类与小波树管理的关系示意幽 5 - 1 3 场最面h ”类与场景管理的关系示意图 第v 页 2 3 4 5 8 鹞 拿写 四 拈 娼 雅 弱 弱 强 弱 拯鬻目录 申山大学毽圭学位沦文 5 1 4 场搬绘制类以及棚芙类关系示崽浏 5 一1 5 无遮挡场景阳一 5 - 1 6 青遴挡彩琶场景潮f 忑截甄时， 5 1 7 有遮挡彩色场景岗( 自截断时) 第v i 页 6 1 6 2 6 3 6 4 中山大学毽圭学位论文 丧謦蟊录 4 - 1 维辐射度疗程训算结聚 表格目录 5 - 1 多咒度辐射艘暖攫算法类瓣分屡 第v i i 页 4 3 5 9 主也盔兰堡圭兰垡堕墨 第一章引言 零毒套文主要讨论一令特殊髓重要强奄缝捩分方程一一辐嚣凄方$ 坌( r a d i o s i t ：r 确u 黔 t i o n ) 以及求解它的快速多尺廉配置算法。间孵，还讨论了弱奇性积分方程的保奇 性p e t r o v g a l e r k i n 方法。 论文的大部分篇幅是词论辐射度方程的缺速多尺度配鼹舞法及其实现技术。近年 寒，瞧子茯速多尺菠琵釜冀潼在弱奇毪积分方程中获褥了蠢大栽功滢 受, f c m x 4 ) ，我翻 希勰将这一算法应用于辐射度方程。然而，辐射度方程是奇性指标等于维数的强奇性积 分方程，而 c m x 4 1 的理论框架燃针对弱奇性方程的，为此我们研究了包括辐射度方程在 内的类毒蛙据撂簿哥维数熬强费性积分方羧驰快速多尺度瓣麓舞法，将f c m x 4 中所提 出的截断策路掩广弼强奇毪积分方程，并建立耩应的理论橇架。进一步，我们将这一冀 法和截断策略应用于辐射度方橼并采用面向对象方法设计和赛现算法，绘制出计算机真 实感图形； 最螽我翻臻究了一类弱毒馁织势方程懿绦鸯整p e t r o v - g a l e r k i n 方法。瘫予弱毒往积 分方程的解的导数往往都具有奇性( 参见 a n ，a 7 6 ，$ 7 9 ，v p l ) ，使用分片多项式基函数来 逼近解时收敛阶不高，并且奇性往往不能很好的保持。而对于浆些积分核，积分方程解的 奇势震翼= 已获褥( | o r ，r ) ，因此，我们农文献i c x 9 4 ，m x l 辑提出了静僳奇性恩 想瓣鏊避上讨论穰奇往p e t r o v - g a l e r k i n 方法。这种方法在试搽函数空闻 | 谶某些带寄奄 性的函数，使得赢解的奇性被保持，这有利于获得解的奇性所反映的物理特性。同时， 算法也具有最佳收敛阶。 零章籍分绥辐囊重菠方程翡鹜豢箱瑗有懿一黢疆嚣度冀；蠹。雀第l 节褥套绥疆 凄方程 的背景；第2 节我们将分析辐射度方法的研究现状：主要奔绍有限元辐射度辣法，层次辐 射魔算法，配置辐射度算法和小波辐射度算j 去；最后一节介缀本论文结构。 1 i 辐菇疫方壤鳇背景 研究辐射度方程的动因来自于个重要的应用领域一计算机真实感图形技术领 域。计算机真实艨图形技术是计算机图形学研究的前沿领域，这一技术根据场景景物的 且舞黪挂秘光照壤整在嚣算极爨纂上生戏一簇囊实薅强影，馒蕊考寿絮 羟箕境，翔见其 物的视觉效果。它是现代信息按术中有较大影响的重要技术之一，在许多高新技术领 域，例如计算机视觉、计算机辅助设计、高科技影视、电视广告、电予游戏、医学影 像、驾驶模拟等方蕊，有着广泛的应用。 第l 嚣 第一章引言中山大学博士学位论文 1 9 8 4 年，f g t g b 和i n l n a 8 5 提出了辐射度方程，并阁辐射度方法一一求解辐射度方 程的算法一一成功地模拟了理想漫射表面间的多重漫反射效果，较好地再现了真实的光 照现象。这一算法解决了计算机真实感图形绘制算法模拟景物表面之间的多重漫反射的 模拟效果很差的问题 p b j l 。除此之外，辐射度方法还具有视点独立的特性，特别适合于 场景的漫游，实时地、动态地显示场景。 辐射度方程是一种系统平衡状态方程。它是基于热辐射工程中的能量传递和守恒理 论，即一封闭环境中的能量经过多重反射后，最终达到平衡。辐射度方程就是描述了这 种平衡的状态的方程。而计算机真实感图形绘制要求计算各景物表面的光亮度。这里的 光亮度和辐射度有什么关系呢? 这一节我们将介绍这些概念，同时导出辐射度方程。 首先介绍几个下面要用到的概念： 1 1 光通量：单位时间内通过一截面的光能量称为通过该面积的光通量。 2 1 立体角：面元招关于某一点所张成的立体角d u 为面元d s 在以该点为中心的单位球上 的投影面积f 如图1 1 ) ，即 豳1 1 面元所张成的立体角 d s c o s p 咖2 f 3 1 光强度；表示点光源在某方向上单位立体角内的光通量 光强度，那么 ，d f 2 面 4 ) 光亮度：表示单位面积上朝某方向f 的光强度( 如图1 2 ) ： 元d s 的法向与2 的夹角，那么 ， jd f d s c o s 8 d s c o s o d w 第2 页 若用d f 表示光通量，表示 若用表示光亮度，口表示面 ! 生查茎堡主堂笪丝奎! ：! 堑型墨查垄堕堂墨 圈1 - 2 光亮度 d 山 5 ) 辐射度：表面一点处的辐射度等于该点处单位面积上朝各方向上的光亮度的总和。 现在我们考虑理想漫反射环境，即环境中的景物表面每点向周围各方向辐射的 光亮度i 是相同的。假设d p 为景物表面某一点处单位面积上朝某辐射方向发出的光通 量，d p 与该点处沿同一方向的光亮度i 的关系为 d p = ，c o s 口d u 其中日为该点处的法向与辐射方向之间的夹角，d u 为辐射方向对应的立体角。则该点处单 位面积面元向其四周半空间辐射的总能量，亦即该点的总辐射度为 “= a d p = 上i c o s o d w 其中q 为该点处表面朝法线方向的半球面空间( 图l 一3 ) 。由于i 与立体角乩，无关，故由上式 可得 u = r f c o s o d w = ，” 由此可知，只要计算出场景景物表面各点的辐射度便可计算出绘制图形时所要的各 点光亮度。 现在，我们来导出辐射度方程。 考虑一封闭系统。此时场景景物表面每一点x 处的面元d s 仕) 向周围环境辐射的能量 由它自身所具有的辐射光能和场景中其它景物表面向它辐射的光能并由此所产生的反射 光能组成。我们用h 仁) 表示周围环境入射到微面元d s 如) 上的光能，p 扛) 表示表面在z 处 的漫反射率，那么微面元对环境入射光能的反射而产生的那部分辐射光能为p ( z ) 片 ) 。 假设e f 。) 为该表面在z 点处的自身辐射度，如果表面。处是漫射光源，贝l j e ( x ) 0 ，反 之，e ( x ) = 0 。由此可得，在。点处的辐射度u 扛) 满足： u ( x ) d a ( x ) = e ( x ) d a ( x ) + p ( z ) 日( z ) ， 第3 页 第一章引言 中山大学博士学位论文 图1 ，3 辐射度与光亮度的关系 其 d a ( x 1 为微面元d s ( x ) 的面积。 由于日) 是周围环境入射到微面元d s ( x ) t 的光能，因而日( z ) 是周围环境表面各 点g 处辐射度u ( s ，) 的函数 。) 。通常从”处的微面元d s ( ) 处向四周辐射的能量中只有 部分到达z 点处。若我们用f ( z ，g ) 来表示从微面f s d s ( y ) 辐射并到达微面元d s ( x ) 的光 能占它向四周辐射的总光能的比例，那么d s ( y ) 对z 的入射光能为u ( g ) f ( 。，y ) d a ( y ) ，这 ! g d a ( y ) 为微面元d s ( g ) 的面积。由此，我们有： h ( x ) = ( ) f ( z ，y ) d a ( y ) 其中s 为环境中的所有景物表面。函数f ( x ，) 称为面元d s ( ) 到面元d s ( 。) 的形状因子， 或称为点y 对z 的形状因子，它是是建立辐射度方程的关键。由于理想漫射表面接受到 来自空间任一方向的光能后均朝四面八方均匀地反射出去，故形状因子f ( x ，) 只与微 面元d s ( z ) 和d s ( g ) 的相对位置、几何大小有关，即仅是一个纯几何量。根据立体角的定 义，当从y 处观察d s ( x ) 时，d s ( x ) 所张的立体角为 幽= _ c o s 而0 z 厕d a 一( x ) r i 嚣， j 其中r ( x ，y ) j g x 与y 之间的距离，以为d s ( x ) 在x 处的法向量。与连接点x ，y 的向量y - x 之 间的夹角f 见图1 4 ) 。 根据上述可知，由d s ( y ) 发出的能量到达d s ( x ) 的能量为 d p ( y ) d ( ) = ( g ) c o s 钆咖以( ) = 掣c 。s 础以( ) 第4 页 皇坐奎兰堡主堂堡笙壅! ：! 塑签窒互堡竺登墨 黧t - 4 煮y 囊x 的影赣粒子魏，l 舞浚鹈 其中d p ( y ) 为y 处单位面积朝立体角d w 发出的光通量，i ( y ) # j y 处沿方向* y 的光亮 度，如为d s ( y ) 谯y 处豹法向爨虬与点x ，y 之间连线的夹角。两由辐射度的定义知，微灏 元d s ( y ) 蠢嚣瘸发出的慧麓蠡麓程( ) 娃治) ，敬嚣元d s 学) 到瑟元器x ) 豹影狄逮子为 f 扛，) = 嬲一c o s 。o u _ _ 塑= c o 孬s 丽o x c o s o v d 4 如) 注意，羞a s o , ) 与d s ( y ) 之间存在遮挡物，则虫几何光举原理知，d s ( y ) 入射列d s ( x ) l 二 戆能量为零。由j 迦，我f r , - i 将澎获嚣子f ( x ，y ) 表示受螽下瓣形式： f ( z ，可) * v ( d s ( z ) ，d 8 ( g ) c 0 7 r s r 6 。【z c o ，s 0 7 ”d a ( 。) 冀e e v ( x ，y ) 为遮挡函数，游d s ( x ) 和d s ( y ) 之间有遮挡，典值为o ，否则为l 。 由此，我们褥到 心) 叫z ) + 出) z 岫) 雩警器警v ( 嘶驯州口) 此粼为一般理想漫射巧境的辐射度方程。该方程系统地攒蟪了封闭环境中嚣景物表面在 举簿获态对豹党能分布。 由于d s ( x ) 和d s ( y ) 是微面元，那么上述方程可简化为： 心) 卸州z ) d 扣) 鬻忡渤峨 ( 1 1 ) s “o t 山，掣， 葵率勰；= d a ( y ) 。显然土式簿价子 嘶+ 趔，r , i ，s 岫) 必掣咖飚( 1 2 ) 邀镬是我们后孺瓣要研究的辐射度方程。 薰5 贾 笙= 塞! ! 童些查耄缝圭兰丝堡塞 1 2 辐射度方法研究现、袋 从前节我们知道辐射度方法的数学模型为辎射度积分方穰，是一个带有特殊的奇异 棱的积分方程。辐射发方法的实现，关键在于这个方程的蚨逮青效敬数嬗袋解。下蕊我 稍分绍有限元辐赫魔方法，配薰辍瓣发算法稿，l 、渡辐麓度算法的残状。 1 2 ，1 有限元辐射度算法 娥常耀魏方法楚墩分片卷数躁数为基瘫的g a e r k i n 辐射凄方法。篓洼中骰定场景孛静 景物袋面被剖分为许多互不重叠的小多边形面片( 主要是三角形面片) ，在簿一个面片 上的辐射度和漫反射率均假设为常数。那么方穰( 1 2 ) 被离散为 珏i 一乐哟= 最，江l 州2 一，n ( 1 3 ) 其中塌i 被称为形状因子，它由下式定义： 嘞一杰五z ，照气最磐掣y ( 嚣剐d 岛d s z ，( ， 4 ) 在这燕毽莛蟊片s 上豹辐菇疫，囊楚s 熬覆积，墨j 蹩嚣冀& 列岛熬澎获因予。我粕窖荔 知道形状因子曩，有下面性质( 见第3 肇) ： 1 ) 民和弓 满足交换率，即： a = a j b 2 淄避鹾缩性质： l ， 箕中等等辩羹翅拜毯成立。 3 ) 若筒片s 为一平面域曲面片时，剿有 焉= 0 通鬻蜷况下，除非s 非常特殊，形状因子曩 没有耩爨趣热析袭达式，对于它嬲幸| 。算是爨 难的。 找们将上述方程鞲成矩阵形式： 汀一m ) u e 其中，为n n 静攀经阵， u ( 钍l ，乱2 ，一，灶) ， e 一( e 1 ，玛，戤) ， 第6 页 ! 些查主堕主兰垡笙奎! ：! 堑塾堡查堡塑垄塾鉴 p 1 月n p 2 f 2 n _ , o n f n n 旦计算好形状因子只，后，我们可以通过求解上述方程组来求得各面片上的辐射 度u ，再利用辐射度与光亮度的关系式计算出各面片的光亮度，最后绘制图形即获得真 实感图。 传统的辐射度方法是基于分片常数的g a l e r k i n 方法，它的求解精度直接依赖于对景物 表面的细密网格剖分。而过细的网格剖分大大地增加了形状因子只，的计算量( 计算复杂 度j o ( n 2 ) ，为剖分后的面片数) 。因此，为了减少形状因子只，计算数目，层次辐射 度算法被提出( f c g i b 8 6 ，h a s a 9 1 ，c w l ) 。 层次结构辐射度算法基于下述观察。假设一封闭房间中有一张桌子，桌子上放置了 两个非常小的立方体( 见图1 - 5 ) 。显然，桌予顶面和两个小立方体会对房间墙壁表面的辐 射度产生影响，但这种影响主要依赖于桌面，而较少依赖于桌面上的小立方体。不难验 证，若对桌子上的两个小立方体作少许移动，则四周墙壁的辐射度变化是很小的，因 此可将桌子和小立方体组合在一起计算它们对四周墙壁的辐射度贡献。此时所需计算 的形状因子个数与将它们独立地对四周墙壁分别辐射相比显然要少。另外，从绘制的 角度来看，我们又必须将桌面上的各种照明细节精细地表达出来。根据以上讨论，我 们至少可将各面片表示成两层：当它们作为辐射源面片时，其剖分可粗一些，但当它 们作为光能接受面片时，则必须剖分得细一些。基于上述事实，c o h e n 等( f c o l b 8 6 ) 和h a a r a h a n 等( h a s a 9 1 i ) 分别提出了有效的层次结构算法。 层次结构的辐射度算法将计算复杂度改进为o f 2 + n ) ，其中k 为构成场景景物表面 的多边形数目( f c g i b 8 6 ，h a s a 9 1 ，c w l ) 。当场景由许多小景物组成时，k 将很大， 层次结构的辐射度方法效果变差。其后，集簇层次辐射度方法( h i e r a r c h i c a lr a d i o s i t y w i t hc l u s t e r i n g ) 被提出( c h i i i 9 7 ，s t a m 9 7 a ，g i b s 9 6 ，s i l l 9 5 b ，s i l l 9 5 a ，s m i t 9 4 j ) ，它的计算 复杂度一般n o ( k l o g k + ) 。模型简化方法( m o d e l8 i m p l i f i c a t i o n ) 、以及多分辨模 型也被相继提出( r u s h 9 3 ，h e c k 9 7 ，h o p p 9 7 ，w i l l 9 9 ，w i l l 0 0 】) ，并获得较好效果。 为了克服分片常数g a l e r k i n 有限元精度不高和剖分过密以至存储量过大，并且不易 理论分析等缺点，学术界开始尝试使用具有的高精度g a l e r k i n 有限元方法求解辐射度方 程( 12 1 ( 见 t r o u 9 3 ，z a t z 9 3 ) 。由于辐射度方程实质上就是第二类积分方程，所以求解 辐射度方程的问题即是求解第二类积分方程的问题。需要指出的是，一般g a l e r k i n 有限元 第7 页 如如一 m m 肌h 翰一岛 m 舰 即 ，_-_-_-_l_1-、 一一 堑= 至! ! 圭主些盔堂堡圭兰焦笙茎 圈1 - 5 层次结构辐射度算法的说明 辐射度方法所获得的离散方程组的系数矩阵往往是满阵，这使得它在辐射度算法应用受 到限制。另一方面由于遮挡函数存在，使复杂场景中的四重数值积分的效率带来新的问 题。另外，即便是分片常数g a l e r k i n 有限元辐射度方法形成离散方程组的系数矩阵也是要 花费大量的时间( 通常是总的求解时间的百分之九十以上) ，这些都是使用有限元辐射 度方法时需要解决的问题。 1 2 2