（概率论与数理统计专业论文）鞅在风险模型中的应用.pdf

摘要 风险模型是关于保险公司收入与索赔的随机模型，是保险产品设 计及公司经营管理的理论基础。对索赔序列的不同概率假设形成了多 种风险模型。鞅是一个重要的随机过程，它有许多优良性质，并已成 为许多科学领域进行理论研究的一个重要工具。自从g e r b e r ( 1 9 8 2 ) 1 8 把“鞅方法”引入风险理论以来，人们利用它研究了许多其它工 具难以解决的问题，得到了许多著名的结果。为此，本文的主要目标 是：用鞅方法研究各种最新风险模型，得出破产概率的上、下界。 论文的内容安排如下： 第一章，在第一小节中简单叙述当前存在的问题和打算采取的研 究方法；在第二小节列出了本文研究过程中将要用到的随机过程基本 知识。 第二章，总结了前人如何构造鞅，并用“鞅方法”对古典风险模 型和更新模型进行研究所得的结果。 第三章，研究了多个索赔到达过程更新风险模型，在点间间距分 布只要求是“绝对连续”的简单条件下，利用“鞅的乘积在一定条 件下仍然是鞅”这一性质，分别得到了最终破产概率和有限时间破产 概率的上界。 第四章，研究了二维索赔带干扰风险模型，利用鞅方法得到了破 产概率的一个上界。在研究过程中假设二维索赔向量的分量之间可以 具有相关性。并讨论了各个参数对上界的影响：同时给出了在索赔分 布是重尾分布时有限时间破产概率的渐进表达式。 第五章，我们讨论了带随机利率离散风险模型。在折现率序列 k ，l ，是独立同分布、p 佤 o ) = 1 且与索赔忸f 独立条件下，利用 。上、下鞅”工具，得到了破产概率的一个简单上界。并讨论了利率 序列，l ，是取值于有限状态空间m a r k o v 过程的风险模型，在 一1 0 的假设。同时， 讨论了耳，l ，( 即，厶，) 是可列状态m a r k o v 过程时的破产概 率，得到了一个指数型上界。另外，在很一般的条件下，利用“局部 鞅”的概念得到了有限时间破产概率的一个与一有关的上界。此上界 对较小的“也适用，从而弥补了渐进上界在“较小时误差非常大的不 足之处。但有时此上界不存在，为此指出了上界可能不存在的一些条 件。 第六章，研究了索赔到达过程是非齐次m a r k o v s 更新过程时的 风险模型，用“上鞅”为工具，得n t 破产概率的指数型上界。并给 出了一些特殊模型的结果。 第七章，研究了点间间距是混合指数分布的更新风险模型，得到 了平均折现惩罚函数的l a p l a c e 变换的表达式。 关键词：风险模型；鞅方法；破产概率；指数型上界；双更新 过程；带干扰二维风险模型；带利率离散风险模型；折现惩罚函数 a b s t r a c t 砌s km o d e li sas t o c h a s t i cm o d e lf o ri n c o m ea n dc l a i ms e q u e n c eo f i n s u r a n c ec o m p a n y i ti sb a s i so fi n s u r a n c ep r o d u c t i o nd e s i g na n dt h e o r y o fi n s u r a n c em a n a g e m e n t d i f f e r e n tp r o b a b i l i t ym o d e lh y p o t h e s i st o c l a i ms e q u e n c er e s u l ti nm a n yr i s km o d e l s m a r t i n g a l ei sav e r yi m p o r t a n t s t o c h a s t i cp r o c e s s i th a sm a n ye x c e l l e n tp r o p e r t i e sa n dh a sb e c o m eb a s i s t o o lf o rt h e o r e t i c a lr e s e a r c ho fm a n yf i e l d s s i n c eg e r b e r ( 1 9 8 2 ) 【1 8 】 i n 心o d u c e d m a r t i n g a l em e t h o d t or i s kt h e o r y , r e s e a r c h e r sh a v eo b t a i n e d m a n yg o o dr e s u l t sb yi t s ot h em a i no b j e c to f t h i sp a p e ri st om a k eu s eo f “m a r t i n g a l em e t h o d s t 0s t u d yb o u n d so fm i np r o b a b i l i t yo fa l lr i s k m o d e l s w e a r r a n g ep a p e r a sf o l l o w i n g ： i n c h a p t e r1 ，a f t e rg i v i n gt h ee x i s t i n gp r o b l e m s ，w eg i v e t h e m e t h o d sw h i c hw i l lb eu s e di nt h es t u d yi ns e c t i o n1 1 f u r t h e r m o r e ，t h e b a s i sk n o w l e d g en e e d e di nt h ep a p e ri sl i s t e di ns e c t i o n1 2 i nc h a p t e r2 ，w es h o wt h a th o wt om a k eau s e f u lm a r t i n g a l ea n d s u m m a r i z et h ew o r k sw h i c ho b t a i n e db yo t h e ra u t h o rb ym a r t i n g a l e m e t h o df o rc l a s s i c a la n dr e n e w a lr i s km o d e l i nc h a p t e r3 ，u n d e rs i m p l ec o n d i t i o n s ，w es t u d i e dam u l t i - a r r i v a l p r o c e s sr e n e w a lr i s km o d e la n do b t a i n e dt h eu p - b o u n d so ff m i t et i m ea n d i n f i n i t et i m er u i np r o b a b i l i t yb y m a r t i n g a l em e t h o d t h em a r t i n g a l ei s f o u n db yt h ep r o p e r t yt h a t t h ep r o d u c to ft w om a r t i n g a l er e m a i n sa m a r t i n g a l eu n d e rs o m es i m p l ec o n d i t i o n i nc h a p t e r4 ，w es t u d yt h eb i d i m e m i o nc l a i mr i s km o d e lw i t h d i s t u r b i n g b y “m a r t i n g a l em e t h o d ，a nu p - b o u n do fr u i np r o b a b i l i t yi s o b t a i n e d t h ei n d e p e n d e n c eb e t w e e ns u b - v e c t o r so fac l a i mv e c t o ri sn o t n e e d e d t h ee f f e c to f p a r a m e t e r st ot h eb o u n di ss t u d i e d f u r t h e r m o r e ，t h e f i n i t et i m er u i np r o b a b i l i t yi ss t u d i e du n d e rt h eh e a v y - t a i lc a s et o o i nc h a p t e r5 ，w es t u d i e dt h ed i s c o u n t e dd i s c r e t er i s km o d e l w h e n t h es t o c h a s t i cd i s c o u n tm t el i i ，a r ei n d e p e n d e n ta n dp 亿 o ) = 1 a n di n d e p e n d e n tt oc l a i mi x , ，as i m p l eu p - b o u n do fi n f i n i t et i m er u i n p r o b a b i l i t yi so b t a i n e db y m a r t i n g a l em e t h o d w h e ni n t e r e s tr a t e l l ，i 。，i sf i n i t es t a t em a r k o vc h a i na n d - i l is 0 ，a nl o w - b o u n di s h i o b t a i n e d b ym a r t i n g a l e m e t h o dt o o i te x t e n d e dc a ia n d d i c k s o n ( 2 0 0 4 ) 6 4 w h i c ha s s u m et h a tz = 0 + wa n d 五 0 f u r t h e r m o r e ，u n d e rc o n d i t i o nt h a t ，厶，i si n f i n i t es t a t e ，锄 u p - b o u n do fr u i np r o b a b i l i t yi so b t a i n e d u n d e rv e r yg e n e r a lc o n d i t i o n , b y “l o c a lm a r t i n g a l e ”w ea l s oo b t a i n e d 缸u p - b o u n do ff i n i t et i m er u i n p r o b a b i l i t yw h i c h i sr e l a t e dt o 一t h eu p - b o u n df i tf o rl i t t l e 甜i te x t e n d t h ea p p l i c a t i o nf i e l do f t h eb o u n do n l yf i t t i n gf o rl a r g e i nc h a p t e r6 ，w es t u d i e dt h en o n - h o m o g e n e o u sm a r k o v sr e n e w a l r i s km o d e l n 圮e x p o n e n t i a lu p b o u n do fm i np r o b a b i l i t yi so b t a i n e db y s u p e r - m a r t i n g a l em e t h o d t h e i rs p e c i a lm o d e li ss t u d i e dt o o i nc h a p t e r7 ，w es t u d yar e n e w a lr i s km o d e lw i t hm i x e de x p o n e n t i a l d i s t r i b u t i o na r r i v a li n t e r v a l n ee x p r e s s i o no fl a p l a c et r a n s f o r m a t i o no f p e n a l t yf u n c t i o nw a so b t a i n e d k e y w o r d s ：硒s km o d e l ，m a r t i n g a l em e t h o d s ，r u i np r o b a b i l i t y , e x p o n e n t i a lb o u n d ，t w or e n e w a la r r i v a lp r o c e s s ，b i d i m e n s i o nr i s k m o d e lw i t hd i s t u r b i n g i v 原创性声明 本人声明，所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究 工作及取得的研究成果。尽我所知，除了论文中特别加以标注和致谢 的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不 包含为获得中南大学或其他单位的学位或证书而使用过的材料。与我 共同工作的同志对本研究所作的贡献均已在在论文中作了明确的说 明。 作者签名：撇 关于学位论文使用授权说明 本人了解中南大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校 有权保留学位论文，允许学位论文被查阅和借阅；学校可以公布学位 论文的全部或部分内容，可以采用复印、缩印或其它手段保存学位论 文；学校可根据国家或湖南省有关部门规定送交学位论文。 作者签名：导师签名日期：= ! ：! ：乡 博士学位论文第一章绪论与基本知识 1 1 绪论 第一章绪论与基本知识 1 1 1 双到达过程风险模型 风险理论是近代应用数学的一个重要分支，主要应用于金融，保险、证券投 资以及风险管理等方面。其基本数学模型是：令1 1 为初始准备金；c 0 是常数， 表示单位时间的保费收入；( f ) 表示( 0 ，t l 时间问隔内发生索赔的次数；j 气为第 七次索赔额大小。令置( f ) 表示保险公司f 时刻的资产余额，则 ( f ) 五( ，) = u + c t 一五 i = l 当( f ) 为p o i s s o n 过程时，称上述模型为古典风险模型。在风险理论中一 个很重要的问题是考虑风险模型的破产概率烈“) ， r1 烈材) = ， u ( 胄( r ) o ) i r ( o ) = 材 。 k t z oj 在以往文献中人们对古典风险模型的破产概率进行了大量研究，得到了很多 经典的结果。但是古典风险模型只有一个索赔到达过程，只能用于刻画单品种保 险业务的实际问题。随着保险公司多品种保险业务的开展，一种保单索赔的发生 往往可能会同时导致另一种保单的索赔，为此，人们开始关注具有多个索赔到达 过程的风险模型： rk p ) r ( t ) = u + c t - 艺以 l i l j - i 其中，墨( f ) ，j 0 ( r ) 表示不同性质保单索赔的到达过程。最早，h e s s e l a g e r ( 1 9 9 6 ) 2 7 研究了离散情况下的模型后来，a m b a g a s p i t i y a ( 1 9 9 8 a ) 【2 8 】考虑了 置o ) 都是p o i s s o n 过程的情况，主要讨论了资金余额r ( r ) 分布的表示； a m b a g a s p i t i y a ( 1 9 9 8 b ) 2 9 】推广到复合l a g r a n g i a l lp o i s s o n 过程的情况； a m b a g a s p i t i y a0 9 9 9 ) 【3 0 】又推广到到达过程具有相关性的情况；但后两篇文章都 也主要讨论了资金余额r ( f ) 分布的表示，没有讨论模型的破产概率。最近，y u a n 博士学位论文第一章绪论与基本知识 a n dw u ( 2 0 0 2 ) 【3 3 讨论了两个到达过程且两者之间具有相关性的模型： r ( t ) = u + c t 一窆置一芝巧； 墨墨( 1 ) 1 = 1 j = l 其中墨( ，) = n i o ) + 五( f ) ，岛( f ) = 2 0 ) + 五u ) ，l ( f ) 、2 0 ) 是p o i s n 过程，冒( f ) 是e r l a n g ( 2 ) 更新过程，l o ) 、2 ( ，) 、e ( ，) 相互独立。但是在研究模型的破产概 率时，作者通过转换使模型转化为： x f )墨( o r ( t ) = u + c t 一窆五一窆巧 t - i 1 - 1 这里倒( r ) = n l ( f ) + 2 0 ) 是一个p o i s s o n 到达过程、( f ) = e 是一个e d a n g ( 2 ) 更新过程且冒p ) 、弼( ，) 相互独立。利用通常的。更新”方法得到了破产概率的 精确表达式，并在索赔分布是重尾时得到破产概率的渐进表达式。另外，d i c k s o n 和h i p p ( 1 9 9 7 ) 【3 4 】讨论了两个到达过程都是e r i a i l 颤2 ) 的更新模型且k t ( t ) 、 恐( f ) 之间具有相关性。通过把破产概率看作一个复合几何随机变量得出了破产 概率的表达式，在索赔分布是p h a s e - t y p e 分布时给出了破产概率的精确表达式。 但是该模型在讨论时通过变换把原来的模型交为墨( o 、岛( d 都是e r l a n g ( 2 ) 过程 且岛( ，) 、局( ，) 相互独立。为此我们有必要研究更一般的多个独立到达过程的更 新风险模型。 在前人工作的基础上，在第三章中，研究了两个到达过程的双更新风险模型。 虽然到达过程蜀( f ) 、k 2 是相互独立的，但只要求两个更新过程的点间间距的 分布是绝对连续的一即存在密度函数。为此第三章中的模型是上述所有模型的推 广。由于模型的复杂性，求破产概率的表达式是非常困难的。为此，我们的主要 目标是求破产概率的上界。利用“鞅的乘积在一定的条件下仍然是一个鞅”这一 性质，得到了最终破产概率的一个l u n d b e r g - t y p e 上界。 1 1 2 二维风险模型 随着保险公司多品种保险业务的开展，一种保单索赔的发生往往可能会同时 导致另一种保单的索赔，除了可以用1 1 1 节的模型刻画这种情况外，有的作者 开始研究二维风险模型j ( f ) = ( 墨( o ，e 4 t ) ) 7 来描述这一实际问题，其定义为； 2 博士学位论文 第一章绪论与基本知识 ( 羔烈州争酝) f 2 0 。 这里贾= 饥，墨。yi = l 2 ，是索赔向量， ( f ) ，f o 是索赔到达过程， 向量露= “，屹y 是保险公司的初始资产。暑= 酝，乞厂是保险公司单位时阀保费收 入。自然地，我们假设向量置i = 1 , 2 ，、五和孑的元素都是非负的。 自从s u n d t ( 1 9 9 9 ) 4 4 把一维的p a n j e r 算法推广到多维，人们具备了研究 多维风险模型的一个重要工具2 0 0 3 年，c h a r te ta 1 ( 2 0 0 3 ) 4 5 开创性地提出 二维风险模型，并定义了三种破产概率： 。g ) = p r 纯。 l j i ( 0 ) = 五) 、 ) = p f 虹 m i j ( o ) = 霸) 和 ) = p r o 胂 o l m 舣嘏( ) ，恐( ，) o lm i n r i ( f ) ，r 2 0 ) o f 蜀( f ) + 恐( ，) o 是j ( r ) 三种不同意义的破产时刻。 由于可以看作是一个古典风险模型的破产时刻，为此没有再对它进行研 究的必要性，人们把主要目标放在研究y g ) 和 ) 上 c h a ne ta 1 ( 2 0 0 3 ) 4 5 利用通常的“更新”方法得到了破产概率妒。 ) 的 一个积分微分方程；同时在瓦，x ：，是独立的假设下，利用一维模型破产概率的 上界分别得到了矿一 ) 的一个简单上界和缈。g ) 的一个简单下界： y 。g ) m a x 娩 。) ，仍( “2 ) ) ， 缈- 伍) m i n 仍( 蚝) 仍 2 ) ) 。 这里砚 ，) 、仍 ：) 分别是一维风险模型置( f ) 、马( ，) 的破产概率。 最近，y u e ne m c ( 2 0 0 6 ) 4 7 】讨论了7 二情况，在 f2o 是p o s s i o n 过程的条 3 博士学位论文第一章绪论与基本知识 件下，先用近似的方法研究了破产概率的近似表达式。又利用风险模型的“伴随” 性质( a s s o c i a t i o np r o p e r t i e s ) 得到了破产概率的一个改进的上界： 吵。g ) n 。) + 仍 ：) 一n 。) 仍 ：) 。 在本文的第四章中，我们考虑带b r o w n i a n 运动干扰的二维风险模型 j i o ) = ( 置( ，) ，马( ，矿，其定义为： ( 黝= ( 州争警( 乏) + ( 黝 t 0 这里，随机向量画( f ) = ( 且 岛( r 炉是一个方差为1 、分量的相关系数为，【- l 1 】 的二维b r o w n i a n 运动，q o 和c r 22 0 是过程云( f ) 的扩散系数。我们先利用鞅 方法得到了破产概率。仁) 的一个l u n d b e r g - t y p e 上界，并假设x i ，五i 之间的 相关系数为p 。接着讨论了参数p 、o i 和0 2 对上界的影响。最后，简单讨论了 索赔分布是重尾时有限时间破产概率的渐进表达式。 1 1 3 带利率风险模型 由于保险公司的财产主要是以货币和金融产品的形式存在，为此有必要考虑 资产的时间价值。从而带利率风险模型也是当前风险理论中的一个研究热点。带 利率风险模型按时间的角度可以分为连续时间和离散时间模型。后者的定义为： 毛= “+ 一置) 兀l ， i i l j ll 产1 j 这里用了通常的约定= o 是保险公司在初始时刻的初始资金q 是 第f 期的保费收入。蜀是投保人在第f 期对保险公司的索赔额。墨是第f 期期间的 随机利率折现率，五，l ，是第f 期的利率。最终破产概率的定义为： 出) = p ( i n f r 。 最早的文献可以追溯到1 9 4 2 年s e g e r d a h l 开创性的论文s e g e r d a h l ( 1 9 4 2 ) 5 1 ，该文考虑了五，l ，是常数的固定利率风险模型且不允许贷款 1 9 7 1 年，g e r b e r ( 1 9 7 1 ) 5 2 把该模型推广到允许贷款的情况。1 9 9 5 年，s u n d t a n d 4 博士学位论文 第一章绪论与基本知识 t e u g e l s 【5 5 】也对此模型进行了研究得到了存活概率的一个积分方程同时给出了 此方程的一个l a p l a c e 解。 d a s s i o sa n de m b r e c h t s ( 1 9 8 9 ) 【5 6 】把模型推广到五，l ，是随机变量的情 况，其中五，厶，由一个固定的利率和一个标准b m w n i a a 运动的干扰和一个 跳过程构成的随机利率，并利用鞅方法得到了破产概率的一个上界。但其所用于 构成鞅的函数表达式对于一般的索赔分布不容易求得。接着，c a i ( 2 0 0 2 a ) 6 0 研 究了五，匕，是独立同分布的情况。c a i ( 2 0 0 2 b ) 6 3 考虑了，j ，匕，具有 相关性时的情况，但假设k ，匕，是具有a r ( 1 ) 结构的随机序列。 最近，c a ia n d d i c k s o n ( 2 0 0 4 ) 6 4 考虑了当巧= ( 1 + 广1 i = i ，2 ，( 即以 ) 是取值于有限状态空间石= ，i s ， 转移概率为切“，i , t = o ，l ， m a r k o v 随机序列，但o o ) = i ( 即允许- i 0 ) 的条件下，利用“上、下鞅”工具得到了破产 概率的一个简单上界： 以) = 可赠 叫 s 撕= 壹卜- x i i = i 蚪i = l 其中= ) 兀巧i 。 l j e ( - 研1 慨删) 在第三小节中，讨论了利率序列，是取值于有限状态空间m a r k o v 过程且一l 0 的情况，利用鞅的方法求得破产概率的一个下界，补充了c a i a n d d i c k s o n ( 2 0 0 4 ) 6 4 中o z = ( 1 + ) _ l l 的情况。另外，讨论了k ，匕， ( 即，厶，) 是可列状态m a r k o v 过程时的破产概率，得到了一个指数型上 界： 矿0 ，) s p “- 。 5 博士学位论文 第一章绪论与基本知识 对任意j ：0 ，1 ，成立，其中墨：i n f o 。岛，岛是满足彳p a , z l o + l i y l1 1 0 ： ：l 方 程的根。 第四小节中，在很一般的条件下，利用“局部鞅”概念得到了有限时间破产 概率一个与聆有关的上界。但感觉此结果在应用上比较困难，应在今后的研究中 改进。 1 1 4m a r k o v s 更新风险模型 为了使得一维的古典风险模型符合实际情况，除了1 1 1 和1 1 2 的推广外， 人们也关心索赔达到过程的推广。如果要求索赔到达过程是更新过程则古典风险 模型就推广为更新风险模型。但更新风险模型的索赔时间间隔序列 正 要求是独 立同分布的，这与一些实际问题中索赔间隔 z 可能不是独立的情况矛盾。为此 人们开始研究 正，是一个相关序列的情况。特别地，如 正 是一个m a r k o v $ 过程， 则称此时的模型为m a r k o v s 更新风险模型： r “、 矗o ) = “+ c t - k - i 其中，删= m 如：f o 在时间区间( o ，r 】内发生状态转移的次数，又若在0 = l ，2 ，) 时刻状态发生转移 时都会有一个索赔呒发生且可以与k = f 、k 。= _ ，有关。在五= i o 的条件 下，定义 出，i o ) = p r l 0 碧基r ( f ) o l x o = i o j 为风险过程r ( f ) 的最终破产概率。 l a n s s 既a n t r e i n h a r d ( 1 9 8 5 ) 7 5 对n ( t ) 是齐次m a r k o v s 更新过程的情况进行 了研究，类似于古典风险模型中的“更新方法”，得到了破产概率所满足的积分 微分方程，并在索赔变量服从指数分布的条件下得到破产概率的表达式。最近，l i a l b e r c h e r ，a n dj b o x m a ( 2 0 0 5 ) 7 6 研究了该模型的平均折现惩罚函数， 得到了一个关于平均折现惩罚函数所满足的微分方程。 注意到风险过程r o ) 索赔都发生在状态转移时刻，所以破产也只能在这些 6 博士学位论文第一章绪论与基本知识 时刻发生。又因为我们主要关心风险过程的最终设产概翠，所以对连续时间模型 的讨论可以转化为对下列离散风险过程的研究。若记 兄= ”+ 窆目让k 也。一呒】， 则 见 是一个离散的m a r k o v s 更新过程风险模型。 其破产概率定义为： 以，知) = p r 慨r o ) o l x 。= j o j = p r i d 塞巴孟 o 是索赔五的密度函数。以0 ) 可以有多种解释：当国g ，y ) ；l 时， 办( “) 是破产时刻r 的l a # a c e 变换；当n 如。y ) - l 且艿= 0 时，是风险模型的最 7 博士学位论文 第一章绪论与基本知识 终破产概率；当b ，y ) - y 且艿= 0 时，表示破产时刻的平均亏损等等。因此平 均折现惩罚函数九0 ) 是当前风险理论中一个研究热点。 1 9 9 8 年g e r b e ra n ds h u i ( 1 9 9 8 ) 7 9 1 开创性地对古典风险模型下的平均折现 函数进行了研究，得到了办0 ) 的一个积分方程。后来，l i na n dw f l l m o t ( 2 0 0 0 ) 8 0 1 对这个积分方程进行了研究，利用更新方程的解得到了妒0 ) 的一个解析表达式。 接着，d i c k s o na n dh i p p ( 2 0 0 1 ) 8 1 1 进一步研究了e d a n g ( 2 ) 更新模型。在 国g ，y ) ；1 的条件下得到了办0 ) 的r a p l 蛾变换的表达式。两年后，c h e n ga n d t a n g ( 2 0 0 3 ) 8 2 去掉t 加以y ) _ - - l 这一假设，对具有一般形式的缈仁) ，) 的情况，在 万= 0 的条件下对e r l a n g ( 2 ) 更新模型进行了研究，得到了九0 ) 所满足的一个积分 微分方程，并求出了索赔是指数分布时的表达式。后来，g e r b e ra n ds h u i ( 2 0 0 3 a ) 8 3 和g e r b e ra n ds h u i ( 2 0 0 3 b ) s 4 在去掉艿= 0 这一假设的条件下得到 了九0 ) 的表达式。 而l i ( 2 0 0 3 ) 8 5 指出即使点间间距服从e r l a n g ( n ) 2 的情况下，c h e n ga n d t a n g ( 2 0 0 3 ) 8 2 的结论也是成立的。 作者2 0 0 4 年研究了点间间隔是混合指数分布的更新风险模型，得到了平均 折现惩罚函数的l a p l a c e 变换的表达式。结果列在第七章。 1 2 基础知识 i 2 1 鞅的的概念 鞅是一个基本而又重要的随机过程，它有许多优良的性质，在现代概率论及 其应用领域中，例如风险理论、金融数学等，鞅已经成为一个常用且有力的基 本研究工具。为了方便使用，下面我们先列出鞅、下鞅的定义和性质。以及本文 中将要用到的其它概念和性质。 考虑一个概率空间( q ，f ，p ) ，其中q 是一个集合，r 是由q 的某些子集 所组成的一个盯- 代数，p 是在可测空间( q ，r ) 上定义的一个概率测度。设t 是 一个指标集，通常代表时间，它可以取为实数集r ，非负实数集r + ，整数集z ， 或非负整数集z + 等。又设有一族( q ，f ，p ) 上的实值( 或复值) 随机变量 8 博士学位论文 第一章绪论与基本知识 f = 孝( f ，) ；t 田，形式地，我们称f 是一个参数取于t 的实值( 或复值) 随机 过程。又设( l ；t e t ) 是一族非降的r 的予盯- 代数使得v f t ，善( f ，) l ( 即 f ( r ，) 关于l 可测) ，这时称善对缸 适应。 定义1 1 ( 鞅的定义) 善p ，) ，e ；t d 称为一个鞅( 下鞅、上鞅) ，如果对 v s t t ，矧善( f ，一 4 - 0 0 ，而且下式成立： e 皓( ，国) i l ) = 童培o ，国) 。( i - 2 1 ) 说明：毒o ，国) 有时简记为掌o ) 。 特别地，当 l = 盯售0 ，x “s j ) ( 如e t ) ( 1 - 2 - 2 ) 时，则简称孝= 善( f ，) ；r e 田是一个鞅。此时子盯- 代数族 l ；t e t 称为随机过 程f = 孝( f ) ；t 田的自然滤过( n a t u r a lf i l t e r ) 。 在条件( i - 2 - 2 ) 下，( i - 2 - i ) 等价于：对v f l r 2 甜 是咎( r ) 首次进入开区间( “，佃) 的时间，如果 9 博士学位论文第一章绪论与基本知识 售( r ) 不会进入开区间 ，+ m ) ，则记f 0 ) = + o o ，即通常的i n f = + m 的约定。 性质1 2 3 设“r ，如果g ( ，) 关于缸，t o ) 是适应的，且缸，t o 是右连续的， 则七) 是一个缸卜停时。 证明：见参考文献 2 的定理1 0 1 1 的证明和说明。 说明：性质中的条件“缸，t o ) 是右连续的”一般情况下比较难证明，但在咎( f ) 具有左极限存在、右连续的“轨道”这一条件下我们总可以证明七) 是一个缸卜 停时。而我们在后面研究的风险模型中所涉及到的随机过程都是有左极限存在、 右连续的的“轨道”。为此在今后说到“首次到达”时间都是关于风险过程的自 然“滤过”的停时。 1 2 3 轶的性质 性质1 2 4 设倍( f ) 关于缸，f o 的鞅( 上鞅、下鞅) ，七) 是一个e - 停时。 则对t o 有 e g ( ，) i c ) = g ，膏( f ，) ，0 - 2 3 ) 此处善 f = m i n f ，f 。 证明：见参考文献【2 】的定理1 0 2 5 性质1 2 5 设留o ) 关于犯，t o 的下鞅，西) 是一个非降凸函数且e i 妒氆l 佃。 则移皓) ) 也是关于疋，o ) 的下鞅。 证明：参见【l 】的命题2 2 。 性质1 2 6 设g ( r ) 关于缸，t o 的下鞅，则 - f o ) 是关于缸，t o 的上鞅。 证明：参见【l 】的命题2 1 。 性质1 2 7 设g o ) ) 关于e ，t 2 0 的下鞅且沿轨道右连续，则对协 0 ， 有 1 0 博士学位论文第一章绪论与基本知识 ) p r ( m ：恶磊白) 句s 三砖+ t ) ； 妫g 2 ) n g ：蜕彘p ) 一五) s 去阮+ r ) 一e 瓴) 】； 这里善+ r 表示随机变量磊的正部。 证明：参见【1 】的定理2 1 1 。 性质1 2 8 设瓴 关于e ，1 刀 肛化) 成立。则r o ) 是保险公司在时刻f 的资产余额。定义 以，t ) = p r 0 m fr g ) o 称为l u n d b e r g 指数( l u n d b e r ge x p o n e n t ) 。特别地，当x 一脚( 口) 时， ( 2 2 - 4 ) 中的等号成立。 后来，许多作者讨论了当x 的共同分布是某一个特定分布时，l u n d b e r g 指 1 4 博士学位论文 第二章鞅在单到达过程的风险模型中的应用 数的存在性和大小问题。有关此方面的文献很多可以参考任何的标准的风险理论 教材和它们后面的文献。 2 3 鞅在更新模型中的应用 在古典风险模型( 2 - 2 1 ) 的研究过程中人们通过实践发现“o ) 是一个参 数为a 的齐次p o i s s o n 记数过程”这一假设与现实的数据有较大的差异，为此人 们开始研究比古典模型更一般的形式，就是把“( ，) 是一个参数为a 的齐次 p o i s s o n 记数过程”这个假设替换为“o ) 是一个普通更新过程( o r d i n a r yr e n e w a l p r o c e s s ) ”。记普通更新过程( ，) 的点发生时刻为五，五，则留j 是一个独立同 分布的非负随机变量序列。假设非负安全载荷条件也成立，即c 点以) e 留) 。 此时，模型( 2 - 2 1 ) 就是我们下面要叙述更新风险模型，该模型首先由s p a n 他 a n d e r s o n ( 1 9 5 7 ) 8 开始研究的，后来，又有多篇相关的文献，其中t h r o i n ( 1 9 7 4 ) 1 9 】 用w m n e r - h o p f 方法对该模型进行了系统的研究，并t h r o i n ( 1 9 8 2 ) 1 0 ，d o n ga n d w a n g ( 2 0 0 6 ) r 1 1 3 又对其进行了回顾。最近p a v l o v aa n dw i l l m o t ( 2 0 0 4 ) 1 2 和 l ia n dg a r r i d o ( 2 0 0 5 ) 1 3 又考虑该模型的平均折现惩罚函数、破产概率的分 布函数和破产时刻的分布函数进行了研究，有关结果可以参考第后面章的内容 和所列的参考文献。 为了下面研究方便，定义函数 g ( d - - e g 幅q ) 。 引理2 3 1 1 4 l 着存在非负实数， o 使得方程 g ( ，) = l ， 则 m o x 万2 。) 是一个关于厂的离散鞅。碡里随机过程m ( 以) = 若笋，其中z 定义为 艺；陇一啊) 并且由于破产只是在发生索赔时发生，所以有 博士学位论文 第二章鞅在单到达过程的风险模型中的应用 以) = 呵磐聆) m = m i i l 如i ， 则虬是一个停时，从而利用离散鞅的停时定理我们有下面的结论； 定理2 3 2 若存在非负实数r 0 使得方程 g ( ，) = 1 ， 成立，则有 排矿蒜习g “ 定理2 3 2 的证明过程中主要利用了离散鞅的性质，事实上我们也可以找到 一个连续时间鞅，其主要是d a s s i o s ( 1 9 8 7 ) 1 4 利用逐段决定m a r k o v 过程的 p d m p 方法进行研究的，有关此方面的文献还有d a s s i o sa n de m b r e c h t s ( 1 9 8 9 ) 1 5 】 和e m b r e c h t s 、g r a n d e l la n ds c h m i d l i ( 1 9 9 3 ) 1 6 等。 记扁g ) ：以g 塌) ，雄) ：占b 一打) ，令丁) ：，一堂z 表示最后一次发生索 赔到时刻r 的“年龄”时间长度。 设点间间隔随机变量z 的分布函数为易( r ) 相 应的密度函数为二o ) ，利用向后和向前m a r k o v i v a t i o n 技术则我们可以分别得到 下列连续时间鞅： 引理z 3 j 1 2 1 若存在非负实数s o 使得剜j ) o 使得前g ) 0 0 且郎) 是下列关于p 方程 博士学位论文 第二章鞅在单到达过程的风险模型中的应用 廊o ) p + 帮) = 1 的解，则随机过程 m 以f o 是一个关于，的连续时间鞅。这里 肘i ( f ) = p 撕卜f o k “嘶 。 因为当f = 0 时必有。年龄”时间丁( f ) = 0 ，而等待时间丁( f ) 是一个可以取任 何非负值的随机变量。为此作者认为在利用鞅求破产概率的上界时引理2 2 3 中 的鞅比较适用。 2 4 鞅在c o x 模