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西南大学硕士学位论文中文摘要 连续时间对偶加权m a r k o v 分支过程 学科专业： 研究方向： 指导老师： 研究生： 应用数学 应用泛函分析 李扬荣教授 蔡雨( 1 1 2 0 0 6 3 1 4 0 0 0 0 5 1 ) 摘要 历年来，经过众多数学家们的悉心研究，m a r k o v 过程理论已经成为了一个 较为完善的普遍性理论体系在长期的研究过程中，科学家们不仅得到了大量具 有实际价值的理论结果，还使得研究方法日益丰富和多样化本文定义了一类新 的m a r k o v 过程一对偶加权m a r k o v 分支过程( 简称对偶加权分支过程) ，并着力 于使用分析的方法来讨论这一过程的一些基本性质 众所周知，分支过程的理论及其应用在随机过程中扮演着重要的角色。具有代 表性的文献有h a r r i s ( 1 9 6 3 ) 、a t h r e y a 和n e “1 9 7 2 ) 、a s m u s s e 和h e r i n g ( 1 9 8 3 ) 由 上述文献知，普遍的( 一维) m a r k o v 分支过程足在状态空间e = 4 = o ，1 ，2 ，) 上的连续时间m a r k o v 链，它的发展机能足由它的独立性质( 即分支性质) 所控制， 也就足不同的粒子出生和死亡的时候都足独立的但是，大多数现实情况下，以 上这种独立性质并不那么适用特别是在实际操作中，出生和死亡通常足相互作 用的这也就足人们为什么总足以极大的兴趣致力于研究更广义的分支过程的原 因特别地，文献 2 】中定义的加权m a r k o v 分支过程( 简称加权分支过程) 就 屉一类广义的分支过程当权w n = n 时，易见加权分支过程就足普通的分支过 程本文就是在加权分支过程和其q 一矩阵的基础上定义了一类新的分支过程一 对偶加权分支过程及其q 一矩阵一对偶加权分支q 一矩阵随后，刻画了这类过程 的存在唯一性、正则性、f e l l e r 性、常返性和强遍历性等主要结论如下t 定义2 1 1( 对偶加权分支q 一矩阵) 以可数集e = 4 = o ，1 ，2 ，为状 态空间，一个q 矩阵q = ( q i j ；i ，j e ) 称为对偶加权分支q 一矩阵，如果 西南大学硕士学位论文中文摘要 = 黟篇一“ 其中0 a l o o ，0 a j + l a j 。o 1 ) ， w j + l ( j 1 ) 我们简称其为对偶加权q 一矩阵 i j j = i i = j 一1 ，j i 其它 0 d o o ，并且0 = w o w j 定义2 1 2( 对偶加权分支过程) 以可数集e = 4 芦 o ，1 ，2 ，) 为状态空 问，一个在状态空间e 内的连续时间m a r k o v 链为对偶加权分支过程，如果它的 转移函数p ( t ) = p t j ( t ) ；v t 0 ，i ，j e 满足k o l m o g o r o v 前向方程，即 p ( t ) = p ( t ) q 其中q 为对偶加权q 一矩阵 定理3 1 1 若矩阵q 为对偶加权q 一矩阵，则有； ( 1 ) q 是对偶的； ( 2 ) q 足随机单调的； ( 3 ) 当a o o ：= l i m 。a 。= 0 时，q 足f e l l e r 的；当a o o 0 时，q 不f e l l e r 定理3 1 2 定义m ：= k ( a k a k + 1 ) 及数列 n j a i + 1 ；j l 生成函数 令q 为b ( s ) = 0 在【o ，1 】上的最小根，令矩阵q 为对偶加权q 一矩阵，则有 ( 1 ) 如果壶= 。o ，q 正则； t l = l ( 2 ) 如果e 击 d 且丽 百1 ，q 正则； ( 3 ) 如果砑1 o 。，仇d 且面 1 ，q 正则， 其中面= l i ms u p 妒西鬲 定理3 2 2 令f ( t ) 为对偶加权q 一矩阵的最小q 一函数，有 ( 1 ) 当a o o = 0 时，以下结论成立t ( n ，邑击= 。且m o o ，则f ( ) 对偶； ( 1 1 ) ，邑击 0 时，则f ( t ) 不对偶 + 七 s + 七 。一 七 n m + sd + n d i s口 定理3 3 1 令f ( t ) 为对偶加权q 矩阵的最小q 一函数，f ( ) 足唯一q 一函 数如果； ( 1 ) 登击= o 。且m 0 0 ；或者 ( 2 ) 硼i _ l 。 o 。， m d 且面 1 定理4 1 1 若对偶加权口一矩阵q 正则，对偶加权分支过程常返当且仅当 日：f 凰= o o ， 其中定义为凰= 1 且有 叫r c n 一件l 研_ l 巩= 丛1 磊- 一 定理4 1 2如果曼击：o o 且d m ，或者萎上 、d m 且定理 如果e 击一o o 且 m ，或者土 、d m 且n ： n = l - - i t o n 丽 j ，则对偶加权分支过程在状态空间e 中正常返且其不变分布为 7 k = ( 1 一q ) q “，仃0 其中q 为b ( s ) = 0 在区间( o ，1 ) 上的根 定理5 1 1 如果量击：。o 且d m o c ，或者墨赤 。、d 仇o o定理 如果，圣击= 。o 且d m o c ，或者，旨赤 。、d 仇s o o n = l 一一 且面 ，则对偶加权分支过程遍历特别有遍历极限 乃= ( 1 一q ) q 3 ，歹e 其中0 q 0 时，f ( t ) 强遍历若： ( 1 ) 击= 。； ( 2 ) o o l 赤, - 7 - d 且面 ； ( 3 ) 击 。o ， m d 且面 l - 定理5 1 3 令臼为对偶加权q 一矩阵，当n 。= 0 ，最小q 一函数f ( ) 足强 遍历转移函数若 ( 1 ) 登去= o 。且m = 。；或者 t i t 西南大学硕十学位论文中文摘要 性 ( 2 ) o o 土t o n d 且面 1 口( 2 ) 土 且面 歹 i = j i = j 一1 ，歹1 o t h e r w i s e w h e r e0sa k + lsa k 0 ，a n d 0 = w 0 2 吩 屿+ 1 g 1 ) d e f i n i t i o n2 1 2ad u a lw e i g h t e dm a o k o vb r a n c h i n gp r o c e s s e s ( d w m b p s ) i sa e v a l u e dc o n t i n u o u st i m em a r k o vc h a i nw h o s et r a n s i t i o nf u n t i o np ( t ) = 0 巧( t ) 汜j e ) s a t i s f i e st h ek o l m o g o r o vf o r w a r de q u a t i o n s p ，( ) = p ( t ) q ， w h e r eqi sad u a lw b - q - m a t r i xa si n( 1 ) t h e o r e m3 1 2d e f i n em ：= k ( a k a k + 1 ) a n dg e n e r a t i n gf u n c t i o nb ( 8 ) = k = l d 一( a l + d ) 8 + ( a k o 七+ 1 ) s 知+ 1b y 0 j a j + l ；歹1 ) l e tqi st h em i n i m a lr o o to f b ( s ) = 0i n 【o ，1 】，t h e n ( 1 ) i f ( 2 ) i f ( 3 ) i f e 击= ，q i sr e g u l a r ； e 击 da n d 面 百1 ，qi sr e g u l a r ； e 击 ，m da n d 丽 1 ，q i sr e g u l a r ， n = 1 w h e r e 面= l i m t l 。s u p 萄j ：石 t h e o r e m3 2 2l e tf ( t ) b et h em i n i m a lq f u n c t i o no fd u a lw e i g h t e db r a n c h i n g q - m a t r i x ，t h e n ( 1 ) i fo 。= 0 ： ( i ) 击= 。oa n d 仇 0 0 ，f ( t ) i sd u a l ； ( i i )击 0 ，f ( t ) i sn o td u a l t h e o r e m3 3 1l e tf ( t ) b et h em i n i m a lq f u n c t i o no fd u a lw e i g h t e db r a n c h i n g q - m a t r i x ，t h e nf ( t ) i st h eo n l yo n ei f ( 1 ) 。o n ：1 击= 。a n dm o o ；o r ( 2 ) 三击 。，m da n d 面 0 ，f ( t ) i ss t r o n ge r g o d i c i t y ，i f 击= 。o ；o r r $ - = - 1 黑1 击 da n d 面 ；o r 嘉1 击 o o ，m da n d 面 j 定义1 3 1 4 ( 见【4 】) ( f e l l e rq - 矩阵) 口- 矩阵q = ( ) 称为f e l l e r 的，如果 e ，q j 一0 当i o o 等价 定义1 3 1 5 ( 见【l 】)( 正则q 一矩阵) g 矩阵q = ( ) 足保守的以下六个条件 5 西南大学硕士学位论文 第1 章引言与文献综述 ( 1 ) q 正则； ( 2 ) 最小转移函数厶( t ) 足后向方程( 即允( t ) = q i k 凡( t ) 对v t 0 ，i ，j k g e e ) 的唯一解； ( 3 ) 方程q z = a x ，0 z 1 对某个a 0 ( 因而对所有) 只有平凡解； ( 4 ) 方程o x a x ，0 z 1 对某个入 0 ( 因而对所有) 只有平凡解； ( 5 ) 方程q z = a x ，一1 z 1 对某个a 0 ( 因而对所有) 只有平凡解； ( 6 ) 方程q 。= 妇，坛f o o 对某个入 0 ( 因而对所有) 只有平凡解 定义1 3 1 6 ( 见【l 】)( 对偶矩阵) 若矩阵q ( 1 ) 与矩阵q ( 2 ) 满足下列关系： + 0 0 q 。( 2 = ( ? 一q ；) ， i ，j e k = i 其中q 翌七三0 ，我们称矩阵q ( 2 ) 足矩阵q ( 1 ) 的对偶矩阵 定义1 3 1 7 ( 见【3 】)( 自由向上跳跃和自由向下跳跃) 保守q 一矩阵q = ( q i j ，i ，j e ) 如果对所有isl 都有q i 1 0 ，且当j i + 1 时，有q o = 0 ， 则称这样的矩阵为自由向上跳跃；若对所有i 1 都有q i 扣1 0 ，且当j i 一1 时，有q i j = 0 ，则称这样的矩阵为自由向下跳跃 定义1 3 1 8 ( 见 4 】) ( 零流入与零流出) 一个q 一矩阵q 在f o o 空间或者在甓 空间上是零流出的，如果它分别满足k ( a ) = o 或珐( a ) = o ) ；q 一矩阵q 在 l l 空间上足强零流入的，如果它满足f l ( a ) = 0 ；q 一矩阵q 在z 空间上足零流 入的，如果它满足f ( a ) = 0 其中： z o 。( a ) = z f 。i ( 入，一q ) 。= o ) ，z 叁( a ) = f 。( a ) l z o ) ； f 1 ( 入) = y h l y ( a i q ) = o ) ，z - ( a ) = 可f l ( 入) i 可o ) 注意：众所周知，一个q 一矩阵q 在k 空间是零流出的与在f 之空间上足零 流出之间是等价的关系因此，我们将它们统称为零流出但口矩阵q 的强零 流入性与零流入性之间不一定存在等价关系( 见文献【6 】) 本文所用的其它定义、定理直接参考对应文献 6 西南大学硕士学位论文第2 章对偶加权分支过程的定义及其最小q 一函数的存在性 第2 章对偶加权分支过程的定义及其最小q 函数的存在性 2 1 对偶加权分支过程的定义 由m a r k o v 普通分支过程的定义知，虽然它不是严格意义下的随机过程，不 具有真正的对偶过程但足因它的单调和f e l l e r 性，可知存在它的一个前对偶过 程( d m b p ) ，对于m a r k o v 加权分支过程而言，明显它的单调和f e l l e r 性受到权 ；佗1 的影响而变得不那么确定若对权加以限制，令其为单调递增数列 此时也只能确定口- 矩阵单调且对偶，而加权分支过程的单调和对偶性仍然无法 确定因此，我们子这里从矩阵出发定义对偶加权q - 矩阵，随后再定义对偶加 权分支过程 定义2 1 1( 对偶加权分支q 一矩阵) 以可数集e = 4 = o ，1 ，2 ， 为状 态空间，矩阵q = ( q i j ；i ，歹e ) 称为对偶加权分支q 一矩阵，如果 叼= 黟嚣州 j ，= ，= 其它 ( 2 1 ) + 1 0 d ( 3 0 ，并且0 = w 0 定义2 1 2( 对偶加权分支过程) 以可数集e = 4 = o ，1 ，2 ，) 为状态空 间，一个在状态空间e 内的连续时间m a r k o v 链为对偶加权分支过程，如果它的 转移函数p ( t ) = 慨( ) ；v t 0 ，i ，j e ) 满足k o l m o g o r o v 前向方程，即 p 7 ( t ) = p ( t ) q( 2 2 ) 其中q 为对偶加权q 一矩阵 2 2 对偶加权分支过程最小q 函数的存在性 令矩阵q 为对偶加权g - 矩阵，令p ( t ) 为对偶加权分支过程的转移函数根 据对偶加权q 一矩阵和分支过程的定义，我们有以下发现 根据定义2 1 1 易得对偶加权口- 矩阵足保守的，又由文献【1 】的命题1 2 7 ( 2 ) 可得p ( t ) 满足后向方程p ( t ) = q p ( t ) 同时，定义2 1 - 2 中( 2 2 ) 式p ( t ) 满足前向方程p ( t ) = p ( t ) q 因此，所有的对偶加权分支过程的转移函数p ( t ) 都同时满足前后向方程 7 西南大学硕士学位论文第2 章对偶加权分支过程的定义及其最小q 一函数的存在性 既然p ( t ) 为对偶加权分支过程的转移函数，那么它满足定义1 3 2 的条件 ( 1 ) 又由( 2 1 ) 式知p ( o ) = p ( o ) q = q ，满足定义1 3 4 ，因此，所有的对 偶加权分支过程的转移函数p ( t ) 都足矩阵q 的q 一函数 一 由以上两个发现得存在一个同时满足前向方程和后向方程的对偶加权q _ 函 数f ( t ) = 五，( t ) 根据定理1 3 5 ，f ( t ) 分别足这两个方程的最小解，并且无论 这两个方程分别的解足不足转移函数，它们都分别足这些解中的最小值更进一 步，无论其他q 一函数是否满足前后向方程，f ( t ) 都足最小的q 函数，当然前 面已经说明了所有的q 一函数都同时满足前后向方程 以上发现总结如下t 定理2 2 1 若令q 为对偶加权口- 矩阵为，则有 ( 1 ) 任何对偶加权分支过程的转移函数都为对偶加权口- 矩阵的q 函数( 简 称对偶加权q 函数) ； ( 2 ) 存在一个同时满足前向方程和后向方程的q 函数f ( t ) = 向( ) ；v t 0 l ，j 目，并且若令p ( t ) = ( t ) ；0 ，i ，j e ) 为前向或者后向方程的任意 解( 不一定足q 一函数) ，有向( t ) w a r ) ； ( 3 ) 上面所提到的f ( t ) 也足最小的q 一函数，即令p ( t ) 为任意的对偶加权q 一 函数，那么向( t ) 砌( ) ，对v t 0 和i ，j e ； ( 4 ) 存在一个最小对偶加权q 一函数，同时满足前后向方程，并且也足分别这 两个方程的最小解 8 西南大学硕士学位论文第3 章对偶加权分支过程基本性质及最小q 一函数堕唯一性 第3 章对偶加权分支过程基本性质及最小q 函数的唯一性 3 1 对偶加权q - 矩阵的性质 本节根据定义1 3 1 2 - 1 3 1 5 来确定对偶加权g - 矩阵的性质，从而为讨论其最 小q 一函数的性质做铺垫。 定理3 1 1 若矩阵q 为对偶加权矿矩阵，则有： ( 1 ) q 是对偶的； ( 2 ) 2q 是随机单凋的； ( 3 ) 当a o o = 0 时，q 是f e l l e r 的；当a o o 0 时，q 不f e l l e r 定理3 1 2 定义m ：= 妻七( n 七一口1 ) 和数列 n j a j + l ；j 1 】的生成函数 令q 为b ( s ) = 0 在【0 , 1 】上的最小根，令矩阵q 为对偶加权铲矩阵，则有 ( 1 ) 如果击= ，q 正则； = l ( 2 ) 如果e 去 。o ， n = l ( 3 ) 如果t d 且面 百1 ，q 正则； m d 且硒 1 ，q 正则， 3 2 对偶加权q _ 矩阵的最小q 一函数的性质 ( 3 1 ) 定理3 2 1 令f ( t ) = ( 如( t ) ) 为最小对偶加权函数，若满足以下条件之 一，则f ( t ) 是随机单调的 ( 1 ) 击= 。o ； ( 2 ) 击 d 且丽 ； t l = jk ：= l 。 ( 3 ) 击 o o ， k ( a k a k + 1 ) d 且面 1 定理3 2 2 令f ( t ) 为最小对偶加权q 一函数，有 ( 1 ) 当a 。= 0 时，以下结论成立； 0 0 ( i ) e 击= 。且m 。o ，则f ( ) 对偶； 竹：j ( i i ) 去 0 时，则f ( t ) 不对偶 定理3 2 3 令f ( t ) 为最小对偶加权q 一函数，有 ( 1 ) 当a = 0 时，以下结论成立： ( i ) 击= c x ) 且m 0 0 ，则尸( t ) 是f e l l e r 函数； n = l ( 1 ，虿击 0 时，则f ( t ) 不是f e l l e 7 函数。 3 3 对偶加权分支g - 矩阵q - 函数的唯一性 由定理2 2 1 知，对偶加权分支过程的转移函数就是其矩阵的q 一函数，并且 一定是同时满足前后向方程的那么最小对偶加权q 一函数f ( t ) 也同时满足前后 向方程，并且分别也是前后向方程的最小解所以f ( t ) 的唯一性有三种可能： 第一：f ( t ) 是后向方程的唯一解但不一定是前向方程的唯一解，但是这与 对偶加权q 一函数的定义不符，所以此时可以说这样的q ? 函数不存在 第二、f ( t ) 是前向方程的唯一解但是不是后向方程的唯一解，而我们可知 当矩阵保守时其q 一函数是满足后向方程的，所以也可以说f ( t ) 不存在 第三、f ( t ) 同时分别是前后向方程的唯一解，而丑也是唯一的q 一函数 定理3 3 1 令f ( t ) 为对偶加权分支q 矩阵的最小q 一函数，f ( t ) 是唯一 q 一函数( 第三种情况) 的充分条件如下： ( 1 ) e 赤= 。o 且m 。o ； n = 【 或者 ( 2 ) e 壶 o 。， m d 且丽 一 十 o o + | | 七 十 吼 ， 一 七吼 ，脚 西南大学硕士学位论文 第3 章对偶加权分支过程基本性质及最小q 一函数的唯一性 当j = i + 1 ， 当j + 1 ， 因此q 对偶的。 ( 2 ) 因为q 是保守的，由定义1 3 1 2 和1 3 1 3 的比较我们可得对偶和单调在 此时是等价的，所以q 是单调的 ( 3 ) 当a o o = 0 时，我们有对于ve 0 存在一个整常数n 0 ，使得对 vi n ， i a i l 0 ，存在正整数，使得 vi n + j + 1 ，我们有i isw j + l l a i j + a i j + 1 i 0 ，a 。n 。那么，当j = 0 ，存在一 个e = w l a c 。 0 使得v n 0 ，有l q i 引，则q 不是f e l l e r 的 在证明定理3 1 2 之前我们需要以下注意和引理： 注3 4 1 现定义由序列 a j a j + 1 ；j 1 ) 生成的母函数b ( s ) = d 一( a l + d ) s + ( a k a k + 1 ) s 1 b ( s ) 是定义好的并且至少在 - 1 ，1 】的区间上是有限的。 七= l 由于b ( 1 ) = 0 ，因此1 是b ( 8 ) = 0 的一个根又令m = k ( a k a k + 1 ) ( 詹1 ) ， 七= l 则有： ( 1 ) 函数b ( s ) 在【0 ，1 】区问上是凸函数，并且b ( s ) = 0 在【0 , 1 】上至多有两个 根，其中令q 为较小的那一个根； ( 2 ) 如果d m ，在开区间【0 , 1 ) 上b ( 8 ) 0 ，在【o ，1 】上b ，( s ) 0 ，即b ( s ) 单调递减，那么b ( s ) = 0 在 o ，1 】上只有唯一的一个根； ( 3 ) 如果d m ，b ( 8 ) = o ( 8 0 ，1 】) 有两个根，分别是q 和1 ，其中0 q 0 ；若8 ( q ，1 ) ，则b ( s ) 一 d + m = 七 +吼 ，脚 一 七吼 ，脚 0 | | 七 + 吼 ， 一 七吼 ，脚 西南大学硕十学位论文第3 章对偶加权分支过程基本性质及最小q 一函数的唯一性 证明很显然q 是如定义1 3 1 7 中所描述的自有向上跳跃矩阵并且由它保 守，由文献【3 】定理1 得证。 定理3 1 2 的证明如果量赤= o o ，q 满足文献 3 】推论2 ，因此正则。然而 如果善击 。o ，我们进行以下讨论 风) 如引理1 所述，令死= 伽卅l 吼1 ) 且= 叫，凰= 伽现分别定义数列 ， 口。) ， 风) 的母函数分别为 于是我们发现 c ( s ) = c ，l s “( = 鲁) ； f l = l 一+ 丢争 。叫l + 口_ 二_ 而i b ( s ) = d d s a l s + ( n 一a k + 1 ) s 川 南= i o 。 = d d 8 + a k s 1 一吣七 k - - - 1七= 1 = d ( 1 一s ) c ( s ) t ( s ) b ( s ) = d ( 1 8 ) w l + 8 ( 3 4 ) 下面，我们将证明丁( s ) 的收敛半径为q ，层p 证明1 骠挈蹶2 。1 我们通 过证明以下两个不等式成立来得到结论 1 i i ns 。u p 瓶石1 ( 3 5 ) n ， q l i 。m 。s 。u p 洒石1 ( 3 6 ) n + f 如果( 3 5 ) 式不成立，则函数t ( s ) 的收敛半径严格大于q 即存在一个正数 并使得 1 一q ，此时有t ( s ) o 。( s 0 ，q + ) ) ，特别的7 1 ( g ) 。o 又因为 1 2 冠 脚 l 曲 r n s +m一n咒 。一 脚 一 n s ，n z 扩瞄 + 钍 | i n 扣 +m一 。一 一 州 + 叫 i | 西南大学硕士学位论文第3 章对偶加权分支过程基本性质及最小q 一函数的唯一性 ( 3 5 ) 式对于所有的3 【0 ，q4 - e ) 成立，若8 = q 则( 5 ) 式左边t ( q ) b ( q ) = 0 ，右 边d w l ( 1 一q ) + q 0 ，推出矛盾，所以( 3 5 ) 成立 类似地，如果( 3 6 ) 式不成立，则函数t ( s ) 的收敛半径严格小于q 。即存在一 个正数7 0 于是，矗扩丝嗡蕾坐( s hg ) ) 。 当s = ，y 时，不等式右边型喵云寻也是与七无关的有限常数则可推出不等式的 七 左边s u p t - y n o o ，这与? ( 7 ) 。矛盾，因此( 3 6 ) 式不成立 七1n = 0 我们已经证明到了l i m s u p 移t 2 。= ；1 。因此r ( s ) 的收敛半径为q 。 由于死= w n + ，r 。，且数列( 叫。 和 凰) 为非负数列则有 l i ms u p 影凰l i m i n f 丽si i ms u p 影瓦l i ms u p 影如l i m s u p 丽( 3 7 ) n _ 。 n _ o o n 一 n _ 。 现令面= l i ms u p 惭，w = l i m i n f 。妒石石，我们由( 3 7 ) 得到( 3 8 ) n + 。 w _ _ l i m s u p r ls 二丽l i ms u p 如( 3 8 ) + qn - - - o o 由注3 4 1 ，当d m ( 包括m = ( 2 0 ) 时，0 q i 1 ，由( 3 8 ) 式左边得到l i i ns u p 狮： x l = ，l nn + k 咎纵= 伽。+ 1 ( d y o 一( 6 + d ) ( y o + 可1 ) + 乏二6 凫( 骱。) k - - o七 1 m = 0 令x i ：i - 1 纨( i o ) ，x o 兰o ( 若出现) ，此时可见z ：x i 1 。且有西z ：z 因 k = o 此结论得证。 定理3 2 2 的证明文献【6 】的定理3 2 给出了最小q 函数f ( t ) 对偶的充 要条件即f ( t ) 对偶当且仅当其g - 矩阵q 对偶且f e l l e r 且零流入，这个定理是证 明本定理的重要依据又由定理3 1 1 中结论( 3 ) 我们很快得知当a 0 时，q 不 f e l l e r ，所以本定理的结论( 2 ) 得证下面证明结论( 1 ) 定理3 1 1 已经证明到 了q 对偶并且a = 0 时q 是f e l l e r 的。由条件( i ) 和( i i ) ，我们知道了与q 对偶 的加权分支q 一矩阵西足正则的，即表明它在f 。空问是零流出的，由引理3 4 3 这等价于q 在z 1 是零流入的因此，满足f ( t ) 对偶的条件，结论得证 定理3 2 3 的证明由文献 6 】的定理3 2 和定理4 1 知对偶加权分支酽矩 阵的最小q 函数f ( t ) 对僭陛与f e l l e r 性成立有相同的充要条件，所以由定理 3 2 2 知定理也成立 1 4 七汁蜘惫 8 瞄 + 蜘 d一 +n m 1 | 鲰 。脚 甘 y | j q耖 西南大学硕十学位论文第3 章对偶加权分支过程基本性质及最小q 一函数的唯一性 定理3 3 1 的证明由文献 1 】定理2 2 7 有正则性与最小后向方程的解唯 一等价再由文献【1 】定理2 2 8 有最小的q 一函数足前向方程的唯一解等价于q 零流入当且仅当其对应的加权分支口- 矩阵石零流出即亩正则那么，条件( 1 ) 或( 2 ) 都同时使得q 和西正则，结论得证 1 5 西南大学顽+ 学位论文第4 章对偶加权分支过程的常返性 第4 章对偶加权分支过程的常返性 4 1 常返性的判别条件 由常返性的定义，即若p ( t ) 是常返的，则对所有的i e 都有 z 0 0 黝如o o 一个分支过程的转移函数是否忠实是决定其常返的首要条件，若其转移函数不忠 实，那么过程必然不常返；反过来，若过程常返则必然有转移函数忠实因此， 我们得到以下判断常返性的条件： 定理4 1 1 若对偶加权q 矩阵q 正则，那么对偶加权分支过程常返当且仅 当 日：= = 0 0( 4 1 ) _一 、 其中定义为h o = 1 且有 钍_ c n r + 1 月r r 一1 矾= 兰l 一 定理4 2 如果三1 ”。= o 。且d m ，或者三赤 。o ，d m 且 丽 i 1 ，则对偶加权分支过程在状态空间e 中正常返且其不变分布为 7 t n = ( 1 一q ) q ”，n 0 其中q 为b ( 8 ) = 0 在区间( o ，1 ) 上的根 定理4 1 3 若仇d 且面 l ，则对偶加权分支过程零常返。 4 2 瞬时性的判断条件 瞬时性是与常返性对立的性质。如果在某种条件下，分支过程不常返则必然 瞬时；反言之，若过程不瞬时必然常返同时，在过程不忠实的情况下，它一定 是瞬时的；在忠实的情况下，有可能常返，也有可能瞬时如何判定对偶加权分 支过程瞬时就是这一节的主要内容： 定理4 2 1 ( 1 ) 若q 不正则，则对偶加权分支过程瞬时 ( 2 ) 若q 正则，对偶加权分支过程瞬时当且仅当h 1 4 3 证明 三w2二d：(y2二-兰y11)二=i，：ijw：ia三al三(y：二-：三yo；一+珈w，2a+：(牡y屹2n-。一y，：。)沈一可，+训。剪。一。一。， _wt：2x+lz-。-w=l伽cl-xcoz。+叫。一。z+叫nc。zn一， c 4 4 ， 由以上推导不难看出z 钉= h n z o ，n 0 且 y n + l - - 珈。k - - - - 0 z n 2k = 0 击 。 那么方程( 4 2 ) 没有非常数有界解当且仅当 定理得证 f 上丛：。甘h ：f k ：。 w n + ll n w n + l 定理a 1 2 的证明对偶加权分支过程子在状态空间e 中常返，首先要保 证e 为一个连通空问，即最小q 一函数忠实。其次，从定理本身我们进一步发现 在e 为连通空间的条件下对偶加权分支过程当且仅当m d 。下面我们就来证 1 7 西南大学硕士学位论文第4 章对偶加权分支过程的常返性 明这个结论；由文献f 1 定理5 4 5 指出e 对于岛( t ) 是正常返的当且仅当下式成 立 丌q = 0 ， 7 r = ( ) z 0 = - w l d 7 r o + w l a l l r l ，n w t l ，a 丌2 7 r + 2 - c 3 u 一圪a ，一叫，。，二+ 地n 。丌。+ 7 1 0 7 r 1 7 r n = c l q r l + c 2 7 r 2 - 4 - c 3 7 r 3 + = e l7 1 2 + c 2 1 3 + c 3 7 r 4 + c 4 7 1 5 = e l7 r n + 1 - 4 - c 2 7 1 ，l + 2 + c 37 l n + 3 ( 4 5 ) l ( 4 6 ) + c 4 7 r n + 4 + c 5 7 r n + 5 从上面的变换不难得出方程( 4 5 ) 等价于，对丌l 及任意的 0 如果当仇d ( 即c ( 1 ) 1 ) ，且取n = 。，有 。o 丌七= n 丌知+ c 2 7 r k + c s 7 r k + ( 4 7 ) k = 0 七= lk = 2k = 3 0 0 定义m = 7 1 k ，又因为e l 0 则( 4 7 ) 式由变换得 k = 0 m = c x ( m 一7 r 0 ) + c 2 7 r k + c 3 7 r 七+ k = 2 k = 3 c 】m c 17 r o + c 2 m + c 3 m + 了_ c k m c 1 丌。 七= 1 m c 1 7 1 0 此时要使不等式m m c 1 7 1 0 成立当且仅当m = 0 ，即，7 r n = 0 ，此时要 么零常返，要么瞬时 如果m d ( 即c ( 1 ) 1 ) ，则方程b ( s ) = 0 在( o ，1 ) 有一根q 又由于 b ( s ) = d ( 1 一s ) ( 1 _ 一c ( 8 ) ) 在区间f o ，1 】上成立，有b ( q ) = 0 = d ( 1 一g ) ( 1 一c ( 9 ) ) ，此 时b ( q ) = 0 当且仅当c ( q ) = 1 令7 r n = ( 1 一q ) q n ，n 0 ，易证得 丌。) 为方程组 ( 4 6 ) 的解，即为方程( 4 5 ) 的解又7 f n = 1 ，所以为其不变分布，定理得证 在证明定理4 1 3 之前我们需如下注明和引理 1 8 + 巩 娜脚 + 砚 椰 q + 州脚 q i l 矾 。脚 西南大学硕士学位论文第4 章对偶加权分支过程的常返性 注4 3 1 ( 1 ) 当m d 时，那么b ( s ) = 0 在【o ，1 】上只有一个解8 = 1 同时，b ( s ) 是关于8 的单凋递增函数，在【o ，1 】这个空间上的最大值为b ( 1 ) = m d 0 ，这说明b ( s ) 在【o ，1 】上单调递减，最小值为b ( 1 ) = 0 ，最大值为 b ( 0 ) = d ( 2 ) 更进一步地，若m d ，b 7 ( 1 ) 0 ，s t b ( s ) 0 ，s ( 1 ，6 1 】 引理4 3 2定义r = w n + l 巩( n 0 ) 及其母函数p ( s ) = p n s “。当 7 7 1 , = d 时，p ( s ) 的收敛半径为1 当m 的母函数为h ( s ) = 甚。肛。s “和c ( s ) = 则 p ( s ) = w l 十r s ” n = 1 n = t 0 1 + 芝二 。c n 一。+ - 巩，s ” ”= l ，i = 1 o 。 = w l + w m t i , 川- 1 一。+ 1 s ”m + 1 r n = 1，l = ， = w l + p ( s ) c ( s )