（应用数学专业论文）重结点vandermonde逆矩阵的显式表示及其在完全hermite插值中的应用.pdf

a b s t r a c t t h et e r mh e r m i t ei t e r p o l a t i o nr e f b r st ot h ei n t e r p o l a t i o no faf u n c t i o na d s o m eo fi t sd e r i v a t i v e sa tas e to fn o d e s w b 址w a y sm a d c eu s eo fl a g r a n g ei n t e r - p 0 1 a t i o b a s i sf u n c t i o na n dm u l t i p l e 洲f e r e c eq u o t i e n tt os o l v et h ep r o b l e m t h e f o r m e ri sf a 、r a b l et ot h et h o u g h t ，b u tt h es o l u t i o ni st o ot r o u b l e s o m e ；t h el a t t e ri s i i l c o r e n i e n tt ot h et h o u g h t t h e r eh a v eb e e nm a n yr e s u l t sa b o u th e h n i t ei n t e r p 0 1 a t i o n t h i sp a p e ri sd e _ v o t e dt od i 8 c u s st h ee x p l i c i tr e p r e s e n t a t i o no ft h ei r l v e r s ev a n d e r m o n d em a t r i ) 【w i 七h m u l t l p l ek n o t sa n di t sa p p l i c a t i o nt of u uh e r m i t ei n t e r p o l a t l o n f i r s t ，w ei n t r o d u c e t h ed e 最n i t i o no ff _ u l lh e r m i t ei t e r p o i a t i o na n dt h ev a n d e r m o n d em a t r 没，a n dt w o 1 e m m a sw h i c ha r em o s ti m p o r t a n tf o rs o l v i n gt h ep r o b i e m s e c o n d l y lw ec o n s i d e r o ft h er e p r e s e ，a n dt w o1 e m m a sw h i c ha r em o s ti m p o r t a n tf o rs o l v i n gt h e probiemsecondlylw ec o n s i d e ro ft h er e p r e s e n t a t i o no ft h e i n v e r 8 e vmdermon d em a t r i xw i t hi n u l t i p l ek n o t s t w oexamples aboutinversevandermondematrixwithmultipleknotsaregivenatlast，weintroducetheapplicationtonlllhemiteinterpolation 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究 工作及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致 谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果， 也不包含为获得东北师范大学或其他教育机构的学位或证书而使 用过的材料。与我同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已 在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名：趣目垂蜂日期：蔓鲤z ：东= i2 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解东北师范大学有关保留、使用学位 论文的规定，即：东北师范大学有权保留并向国家有关部门或机 构送交学位论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人 授权东北师范大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数 据库进行检索，可以采用影印、缩印或其它复制手段保存、汇编 学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名：避 日期：坦：主f 学位论文作者毕业后去向 工作单位： 通讯地址： 指导教师签名：妞 日 期：丝! ：2 电话： 邮编： 第一节引言 h e r m i t e 插值问题是一类具有重结点的多项式插值问题。此类问题不仅要求插 僵多项式经过结点，而且同时还要求插值多项式在结点处满足相应的导数条件，完 全h e r m i t e 插值问题是此类问题的一个推广，对完全h e r m i t e 插值问题的研究满足 了理论和应用上的需要 首先我们给出几个定义 定义1 【1 ( 完全h e r m i t e 插值问题) 给定互异节点集 矗) 釜- ，相应重度集 ) i = 1 且记圭啦= n + 1 记为关于轨点 阶导的任意给定参数( k ；o ，a i 1 ) 则称寻找如下一元n 次多项式( h e r m i t e 插值多项式) p 。扛) = c o + c l z + + c n z “，( 1 1 1 ) 使其满足插值条件c h e r m i t e 插值条件) 毋( z ；) = 扩( k = o ，1 ，“。一1 ；# 1 ，s ) ( 1 1 2 ) 的问题为完全h e r m i 七e 播值问题、简记为h i p 称满足摇值条件的事先任意给定 函数，为被插值函数，此时亦将参数9 记为，( 。( 筑) 定义2 ( 有重v a d e r m o n d e 矩阵) 对任意充分光精的函数9 ，引进算子删”如 下；d 9 ( z ) = 如k ( z ；) ，( = o ，a i l ；。= 1 ，s ) 记d f = ( d ；，d 一1 3 ) 0 = 1 ，5 ) ，记d = ( d 1 ，d ，) 7 记孑= ( 1 ，z “) 7 ，且n + 1 = 三记 ( n + 1 ) 行( n + 1 ) 列矩阵v 为 v = y ( ：2 ) = d 尹 则我们称v 为关于结点向量( 。l ，。) 与重度向量( 0 1 ，a 。) 的有重v 锄d e r m o n d e 矩阵 显然v = d 矿= ( d ：“) = ( ( 0 一) 女；o ，啦一1 ；i = 1 ，j = o n 在文献1 5 】中我们得到有重v a n d e r l o n d e 矩阵是可逆的且 在文献1 5 1 中我们得到有重v a n d e r m n d e 矩阵是可逆的且 v ( 三：三) = ( 嘲) 黜= 一一( 一) 饕：f 一 记y _ 1 为 a c 州) ( 州) _ a ( ：一：) = ( ) 赢j 墨“一一 在这里我们引进一些表达式一 u ( z ) = 如一乳) 岫 一。) “，称u ( z ) 为完全多项式 叫t 0 ) = ( 一。1 ) “( 一z t 一1 ) 。t 一，( 鳓一茁+ 1 ) 。+ - ( 一。) m ，称u ( 。) 为 关于戤的结点多项式 q l ( z ) = 蔷毫萍啬葺羞每爿筹鼍器若笔踩，“= 1 ，s ) ，称q ；( 。) 为关 于孔的正规结点多项式 。f = 女刍q f l ( z ) ，( f = o ，1 ，2 s ) ，称a f 序列为自由因子序列 = 女刍q l ( 茁) ，( f = o ，l ，2 ，s ) ，称6 j 序列为反自由因子序列 n ( z ) = ( z z 1 ) 扛一如) ，称( 上) 为本多项式 n ( z ) = ( 。一。1 ) ( 。一缸一1 ) ( z z 十1 ) ( 。一石。) ，( = o ，1 ，2 ，s ) ，称i ( z ) 为关于z i 的结点本多项式 a p = ( 一1 ) 几( ) 。= 。要鱼 ( 。麓。一1 ) ( 孔一乩) z 吨) ，称a 为自由分 情( ) 忙 譬、“6 7 。 r 囱介绍两个童要的引理，这两个引理在以后的证明中要经常用到 引理1 砉知删= 垂寿基饰) ( o 鲰鲰 1 7 。 证明见文献【3 引理2 ( 有重根系定理) 设n = 砉记。一z 。) n - 一岱：) n z 一。) n a ： n n n n 置。k 扩2 磊一一2 蔷“p 一跏) k 喜一女扛一z 。) ，其中n = 6 n = 肋= 女= 0 = 0 t = o 、 后0 。、 ” 2 反 为酹 称 一万 = “ 旦、 毗也 。n 霉 f | 牡忏由 口o = 1 则下式成立 f | 毒。( 霹) 一 1 驴瞬j 吕一。( ：) q ：) 。? ”h ( 翟) z ? 1 _ h 个n d k w s 礼一； ( 1 - 1 3 ) 山8 ( 印一z 。) ”钆( 茁。一) 一也 ( 宅) ( z 。一。，) n - 一t - ( 茁。一。) n 。一k 。 ( 1 _ 1 - 4 ) 证明；由二项式定理可证明上述引理 设扛一z - ) 毗一鼠) n 一苎n 。一 n l i 蒹( 训，呐 嘞m “1 2 i 毒。( 抄，( 抄驴1 + + 帆一印砘毋也 叶妒i i 毒( 扮呐蛩也 在吼中用七替代n 一，可得 因为 m h 妒_ 嘉( 咖一1 砖吨 嘞l = k “1 “5 驴c 一瞬蚤) ( 护幽毋吨 扛一z z ) ”( z 一。，) “= 如一。+ 。一z z ) - - - ( 。一z 。+ 。一2 ，) n e = 妻靠( z z 。) 一 i 。毒。( 跏训m i 喝严也 2 i i 毒。- 3 ( z o 一。) “s ，：一= n u n u 痞m k _ 峰 p 矿 一 = f l m ：孑静，掣牝 = 刍笋喜1 毋 “一f 一 一她) “ 1 = 0 她( 轨) l = 熹嘉嘉c 矿0 静”裔 而且 刍嘉c 酬匕= 扣斗舢小州酬叫卜嘉志c 刮tc 妒，( 弦 焉暑) ( 芝) ( 芝) ( 苌) ! 竺t z 1 ) 0 1 2 1 ( 。一z i 一1 ) 。一1 一h 一1 ( 茁。一z 件1 ) 口件l 一如+ l ( z e 一。s ) “a 一 ( 。z z 1 ) 0 1 。( 。i z 卜一1 ) o 卜1 ( 。 一z l + 1 ) o t + l 一( z 一。) o a 所以 一讯善“垂黑 l l 砖 x 推论2 2 1 a 烨煮( 一- r ，( 黔h a = ( ) 弘z h = 0j 毋性塑絮挲 a ，。除了上述三种形式外，也可以用卷积的形式来表示 定理2 3 a ：壹a 啦。：( a 限，) + ( 吼 镑q = 篆( 计“飞卧 a = ( 一1 ) 卜“z p 口= o f = kv v 帮= ”嚣计份p 世，m 扎 证明：由定理2 。1 可知 一1 ) ；a g ，) = o ，( 其它 ) 礼( q t 一1 ) ) ；6 = o ，( 其它九) a 耻刍刍q 舡) “喜1n p ( 1 ) l 刮l ， 1 a 一一i 1 2 三 击( 三。f ”( 一托) h v 埘西南( 刚钟“吧。 = 0 f = 0v， l z = u ， 1 a 一1 1 2 目击( 聂。( 一叫埘可南( 姒圳沪 k = 0 m = 七、j仲，。 l z = u = 丧t 篆。垃。( 妒嘲c q 若可c 豁) u _ ”l 令f = m ，则薹：n 垃。( ：) ( 一孔) 埘= 薹1 n ( ：) ( 一1 ) ) z r q = a m = 自 、 f = 女 、 由引理2 可以得到 南c 器严叫卜南? 蓍1 茅p “l 6 r 赢：。( 加( 剐( 材) ( 咖一) ”h 叱咱一，) ”一“( 矿 。仆1 ) 锄+ l 一。t + 1 ( 。 一。j ) 。r k 8 第三节自然基底下的完全h 盯m i t e 插值公式 本节讨论了自然基底下的完全h e 衄i t e 插值多项式系数的显示表达式( 称之 为自然型插值公式) ，同时也给出了v a n d e r m o n d e 型完全h e r m i t e 插值公式和l a g r a n g e 型完全h e r m i t e 插值公式 设m 为任意矩阵，则记其行列式为d e t m = l m l 记量= ( 1 ，z ，矿) 丁；记 哥= d ，扛) ，则矿= ( 击 ，面圭可v p l 一，苦口l ，面圭可p 。“) 7 在介绍自然型完全h e r m i t e 插值公式前，我们先介绍另外两种插值公式一 v a n d e r m o n d e 型完全h e r m i t e 插值公式和l a g r a n g e 型完全h e r m i t e 插值公式。 命题1v a n d e r m o n d e 型完全h e 瑚i t e 插值公式 4 ，5 】( 简称v 型) 1 m ：毒) s 。 显然 m ( 。) = 矿( d 尹) 一1 矿= 矿v 一1 矿= 严a 矿 命题2l a g r a n g e 型完全h e r m i t e 插值公式【4 ，5 】( 简称l 型) 嘶) ；壹罂( 珐k ( 牡壹a 烨j肌( 。) = 告三拙( z ) ，厶女( z ) = a y = 1t = 0 “ = 0 ( 3 1 ) ( 3 2 ) ( 3 3 ) 证明：在( 3 2 ) 中我们知道 p 。( g ) = ( d 尹) 一1 矿= y 一1 矿= 矿蚵 = ( 1 ，扎扩) 琴 ( 击，面b r ”，击“叭，面9 5 口广1 ) r = 壹篆睡a 一) 瞽 我们只须令厶t ( 。) = 羲a ，朋， 可得 证毕 p n ( 扣壹哮( 畹( 加妻a p 。( ) ；告厶e ( 。) ，厶女( $ ) = a i = 1 = o “ j = 0 1 2 z o 旷 0 _ y 0 见 卜 醐 茁 p 由前一章我们知道 = 羹( 叫“。弘绺 = 0 妻饥妻嚷( 妒，毋娜矽 硝 = ( 一1 ) f ? ) 肛 砖一刁 j = 0j = 0 = 0 = 静飞静r ，( 轸 = p ( ( 一1 ) 卜吖：胁一j 一) = oj = oj n = 硝 鼢) 6 令 = j ，那么曼a y = 曼硝扛一盈) j j = 0 。f = 0 。 这样我们就可以得到l a g r a n g e 型完全h e r m i t e 插值公式的另一种形式 5 o t l _ ( 七) “ p n ( 。) = 等l 北( 。) ，l 砘( g ) = 心 如一鼢) ( 3 4 ) 注l 女= o “ j 面。 、 v 型公式的应用很广泛，下面我们举一个v 型公式应用的例子 定理3 1 ( v a n d e r m o n d e 型有重差商公式) 舷- 删= 器端 = 样等泌竺务器筹鲁等捌f ( d ，d p ”，d 5 叭，：。j j 可而孑而 证明；在文献 7 中p 靠( 。) = 重譬，( x l ，五咄秽删) 啦( 。) t = lk = u 其中u 琅( z ) = ( z z 1 ) “1 ( 茁一甄一1 ) 。卜1 ( z 一。i ) ，( 七= o ，1 ，a i 一1 ；i ： l ，2 ，s ) 显然，( 墨，墨一1 ，咒) 为矿的系数 叉由( 3 1 ) 知 ，、1 0 2 一b 捌。 m ： ，q j 1z d ( 0 1d i o ) z 乏) 。? m 三 石b 斑。一) d 卜一1 ) l 酬。一1 ) 。磁n 一) 茁n o 8 o 叭 妒的系数为 啬管；0 1 d 产1d ；。) z d p 茁一1 州4 i 高扣，。一，私o 。一曲m ：1 瓦卜_ 1 d 卜一1 ) 1d 5 1 ) 。d p 一1 ) 扩一1 “1 d i 0 l = ( 一1 ) n + 4 ( 一1 ) “i d 挣一i ) 1 d md d 妒一1 ) 1d p 一1 ) z d p z d p 一- 击螽o ) d p 一1 ) 。 d 5 0 ) 。n 一1 砷一) z ”1 d i o ，( 卫) d p s 一1 ) 矿一1d 5 0 ，一1 ，) 石占f 可卜 巾( ： 一望! ! ! ：! 里! ：二兰一，d 1 0 ) ，d 乒一一- ) t ( 1 ，扩，扣) ) i ! ( d 0 1 ，d i 0 1 _ l ，d ，) ，d _ l 尹五_ _ j i j 丽 即 ，( x l 矧= 器潲 。、m 三 ：) 2 ) 一j ! 翌! _ ：! 望”，= ，d p ) ，d l n ，一) t ( 1 ，z n ，( z ) ) 1 i ( d i ，d p r ，d 5 叭，d 5 。a _ ) i 1 ，_ ；= 丽 下面我们给出自然基底下完全h e r m i t e 插值多项式系数的一般显式表达式 定理3 2 对于h i p ，如下公式成立 p 。( 茹) = q f = 0 证明：由( 3 3 ) 可知 m ( 。) ：壹董簪( 妻a ) ：妻壹董( a 娑) 一m ( 。) = 鲁( a ) = ( a 等) 一 t z l 女= o “ j = 0 j = 0 = l = 0 ； 令 勺= 妄篆等t 2 l = u 即得( 3 5 ) 成立 ( 3 5 ) 我们在第二章已经知道砖的形式是不唯一的，同样在自然基底下完全h e r m i t e 插值多项式系数的一般显式表达式的形式也是多样的 进斛 “ 州脚 。科 | | c 卜，2 砉 喜篆( 砉c 一 卜中：= “妻1 n 蹦 证明，由第二章的推论2 2 _ l 可知 a = ( 一1 ) “ h = 0 代入到( 3 5 ) 中即得( 3 6 ) 由第二章的定理2 3 可知 代入到( 3 6 ) 中即得 推论3 2 2 ，( 弦p ) 、= 壹 = 0 ( 。) = 妻( 叠( 喜a 掣n ) 譬p ，其中j = 0l t = l = 0h = 0 4 j a = 。：薹：( 一1 ) m ( 弦啦，( 。 如一1 ) ；a _ 0 】( 其它 ) s 珏一喜”( 一1 ) ( 触“6 o 茎n 一( 旷1 ) ) ；5 陪。，( 其它 ) 推论3 2 3 ( 3 6 ) ( 3 7 ) 州。) = 砉 喜壶( 啦。) ) 以其中 羹“) = 蔷r 言1 ( 州( 2 妁掣舻m ( 。 啦_ 1 ) ；。 此叫其它埘 6 黔“苫u ) m ( 弦坩，( 。 扎一( 盱1 ) ) ；5 阽。，( 其它 ) ( 3 8 ) 完全h e r m i t e 插值多项式不仅仅可以用硝来表示，还可以用有重差商的形 式来表示 、l， 妲m 、 毋砖 小 。士 定理3 3 p n = 妻 壹熹( 碍哪彰生) 一其中 可埘= 蔷( 一1 ) 一“g ) ，( 墨，墨“耐d ) 。? 一，( o s 锄一1 ) ；可6 ) = o ，( 其它 ) 磁l 情：；m ( 一1 p “墓( 芝) 帮“t ，( o 仉= 蓦啦) ；磁= o ，( 其它h ) ( 3 9 ) 证明t 在文献f 6 】中我们已经知道 础) ：壹芝 董( - 1 ) m 协( 黾忍。，碰蚪1 ) ) z ；一一b ( 。) i = 1 = o 、女= 0v v j 这里t 工) f ( 。) = ( 卫一。1 ) 。1 ( 。一z 2 ) 4 2 ( z z i 1 ) 口，一1 z h 设蔷( 一1 ) 一6 ( ：) ，( x 五扎剐) z ? 一 = 可“) 贝op 。( 。) = 塞誉可6 ( z 一茁。) 。t ( 。一z 。) 。( z 黝一。) 。一t z l = l = 0 由引理2 我们可以得到 ( z 一。1 ) m ( 石一。2 ) 。2 ( z 一孔一1 ) 。一1 = 。m z m ， 矾= 。1 + 2 + + 一l = 几一 仇= 0 这里n m = 。互( 一1 ) “一夏( 嚣) z 憾“l l 。m t = 1 ”7 那么m ( z ) = 壹篁1 可”( 曼，a 。m 妒) ：壹笼1 可n ( 害。m + n ) = 1 = 0m = 0t = l = 0 。 m = 0 令m + = 0 m 礼一 ，那么o j n ，j p 。 ) = 壹堇1 碍哪( 量唧一。一) t = 1 = 0f = 0 。 设尉! n2q n = 懈专嘶( 一1 ) “基( 嚣) z “f 忙：“= 口l 、 = 砉 皇壶( 掣黝卜 1 6 第四节弦型完全h e r m i t e 插值公式 本节我们将讨论完全h e r m i t e 插值问题在一般单点t a y i o r 展开形式的基底( 即 e ；( z ) = 一。o ) ，：0 = o ，l ，亿) ) = 1 ， 一z o ) ， 一。o ) ”) 简称x + 型基 底) 下的显式表示，显然，一般单点r a y l o r 展开形式的基底是自然基底作平移后得 到的一种新的基底 记盘。为任意一点，= ( 1 ，如一z o ) ， 一石o ) ”) t ，”为x + 型基底下的有 熏v a 皿d e r m o n d e 逆矩阵 4 1 x + 型基底下的有重d e n o n d e 逆矩阵的显式表示 这一部分我们主要考虑有重v a n d e r m o n d e 逆矩阵元素在x + 型基底下的显式 表示，其结果是对第二节中结论的推广 定理4 1 1 + 的显式表示) 记 = a ( q 三? 乱：云蛳) = ( a + ， ) ( n _ 1 ) x ( 孔+ ， 则”? 可表示如下 撑= 贵争如牡。 如如) 篆耀t ( 一) ( 圳 证明：满足定义1 的完全h e 眦i t e 值公式可写为 r ( z ) = 。一z o ) “+ o 。一1 扛z o ) “一1 + + 。= ( 1 ，扛一z d ) ，( 。一z o ) “) 由插值条件可得 l ( z l o o ) l 仕2 一$ o ) ( 算1 一z o ) “ ( 0 2 一z o ) “ 1 ( 石，一茹d ) ( 。一z o ) ” a 0 o l - 0 n 玑 n l ! 晰) = ( 1 i ( 0 ) i ，( 矿) 州擀，一，矗可p 1 7 0 0 n l n n 扣，矗两扩1 ) = ( 1 ，( 。一茹。) ，( z 一茁。) ”) ( a ，砷) ( 击“。) i 苫_ ；可可 。1 1 ) ，击，5 。) ：妻薹( 妻a 黜z 一，) 辔：壹董( 苣。怂掣吲州。一硼= 艺( a + 黜z 一石o ) ) 警= 妻( n 怂掣蹶( 卫) ( 。一筑) ) 忙l = 0j = o 扛l 女= oz = 女 月： 可求得 a + ，1 ( 。一石。) = l 抽( 。) f = 0 l 诸) = a + r ( z z 。) = a + g + a + ，2 ( z 一蛳) + + a t ! ， ( z z 。) n j = d 对五拙( 窖) 依次求。阶导，1 阶导，n 阶导 杀蛐k 。刊拶， 即 世砷= 刍争如牡。 显然定理4 1 1 是定理2 1 的推广 定理4 1 2 母衅：妻艘铲矿， = 0 证明 ：“妻1 。m 卜 j = 0 a 。y = 嘉嘉k ( z ) l = 嘉嘉叫州篆。z 瑚) l 。 ! 。，( n 。 ( 一1 ) ! 乩 = 籀孰卜瑚。器牡：籀酗卜嘲r 掣牡。 留一z 0 一 盘 州幽 zq = zl 雌o ” 一 ：。l “ 妨 文 谁 l l d 一如 其中6 m = 帏 赢：。暖) q ：) # ) ) ( 一z ，) 。1 吨( 戤一翰一) “1 呐一1 ( 观 z i + 1 ) 。+ 1 一七件l ( z 一z s ) “，“ 世5 羹寺刍( 。咱戌q 喜1 妒犯。l 。= 嘉寺嘉( z 。咱严， “喜1 毋坦h ) 令心 = 4 嘉1 。 t ) 6 旷。 ，：壹m 黜蛳 = 0 j 显然定理4 1 2 是定理2 2 的推广 定理4 1 3 证明 ，口+ ) + ( 6 + 队加4 乳 ( z o 一孔) 一“o 艘k ，( o 曼o i 一1 ) ；。；：，) = o ，( 其它 ) i ) ( z 。一。) 。一“6 ”，( o5h 墨n 一( 。i 一1 ) ) ；扩妒：o ，( 其它 ) a + ，= 刍刍( 。) b = 刍刍蹦州篆。 篓( 。一砌。) l 2 嘉刍叫州“言1 口尹( 。飞) l + 2 ) l 。= 毫( 刍篆。( 卫咱) 1 ) 百南( q 如) ) 【蛐，l 令。4 = 矗 薹1 啦( z 咄) r ) 州 ，则 = r 1 z = z n ) = 去篆。法尚计忙篆。乜( 姆刮一6 南刺瑚睁”l 2 高可器l = 南誉1 帮c 酬v 叫一。 = “蓍1g 孙矿砌叫帮= ”詈1 ( 胁 x 我们称( 4 2 2 ) 为在x + 型基底下的皿d e r m o n d e 型完全h e r m i t e 插值公式 定理4 2 2 对于h i p ，设。o 为任意一点，如下公式成立 p 。( 茁) = ”缈) ： a ( 4 2 3 ) 我们称( 4 2 3 ) 为在x + 型基底下的l a g r a n g e 型完全h e r m i t e 插值公式 以下几个定理都是介绍在x + 型基底下完全h e r m i t e 擂值多项式系数的显式表 达式 定理4 2 3 对于h 1 p ，设茁。为任意一点 盘o ) ，嗒= 1 。州一。 如下公式成立 ) 妲 k ! 定理4 2 4 对于h i p ，设z o 为任意一点，如下公式成立 f 4 2 4 1 叠蓉喀) ( z ) j ，世砷= 壶n + 黜墨n ， ( i ) ( 黝一) 2 - h 趣篓，= o ，舟一1 ) ；a + = o ，( 其它 ) 。 1 ( ：) ( z 。一戤) 6 阳危= o 柚一( 啦一1 ) ) 柚+ 2 1 = o ，( 其它h ) ( 4 25 ) 定理4 2 5 对于h l p 设z o 为仕葸一点，如r 公瓦厩互 f ( 。) = 喜c ；( 。) ，哼= 壹( 棚+ 纷( 啭，啪， = 蔷r 喜1 ( 之) 牮( 矿轳叫帮) ( 0 妯叫 哪_ 0 1 ( 其它埘 = “苫”矿矿6 m ( o 州啦叫+ 黔叫 x 参考文献 【1 】盛中平，王晓辉，多点多重l a f a n g e 型插值公式，第七届全国计算数学 会议，南京，2 0 0 3 ， f 2 盛中平，王晓辉，一般多点多重差商公式，第七届全国计算数学会议， 南京，2 0 0 3 【3 盛中平，有关h e r m i t e 插值问题的两个具体展式，吉林大学建校四十周 年“校庆杯”专业论文大奖赛，长春，1 9 8 6 【4 盛中平，吉林大学数学研究所硕士学位论文，长春，1 9 9 0 【5 】盛中平，林正华，广义v 蛐d e r o n d e 行列式及其应用，高等学校计算数 学学报：1 9 9 6 ( 3 ) ：2 1 7 _ 2 2 5 f 6 盛中平，王晓辉，多点多重n + 型插值公式。第七届全国计算数学会议， 南京，2 0 0 3 7 】盛中平，王晓辉，多点多重n e w t o n 型插值公式。第七届全国计算数学 会议，南京，2 0 0 3 8 】pm 普伦特著，柴家振，江伯南译。样条函数与变分方法，上海科技技 术出版社，1 9 8 0 ，5 0 _ 7 2 9 王仁宏著。数值逼近，高等教育出版社，2 0 0 3 ，5 4 _ 7 8 。 1 0 孙红兵，方燕，h e m i t e 插值多项式在不同基底下的显式表示，工科数 学，1 9 9 9 ( 1 5 ) l3 3 3 8 1 1 孙红兵，奚梅成，一般的h e r m i t e 插值基函数的显式表示，中国和学技 术大学学报，2 0 0 l ( 3 1 ) 4 1 9 4 2 4 1 2 祝精美，h e r m i t e 插值的构造型公式，山东工业大学学报，1 9 9 8 ( 2 8 ) ： 4 8 8 - 4 9 1 1 3 王家正，矩阵值h e r i i l i t e 插值，安徽教育学院学报， 1 9 9 9 ( 1 ) ： 6 _ 8 【1 4 】邓永昌，关于h e r m i t e 插值多项式的存在及惟一性定理。甘肃工业大学 学报，1 9 9 5 ( 2 ) ：9 8 1 0 2 1 5 】吴天毅，构造h e r m i t e 插值多项式的差商方法，天津职业技术师范学院 学报，1 9 9 8 ( 2 ) 1 5 一1 9 1 6 木乐华，用额尔米特擂值多项式联合遭近函数及其导数，山东大学学报。 1 9 9 6 ( 4 ) 4 0 3 - 4 0 8 17 蒙世奎，用h e r m i t e 插值多项式构造五次三次样条函数，广西民族学院 学报，1 9 9 6 ( 1 ) ：4 9 ，5 5 1 8 】于文恺，张晓华，一类h e r m i t e 插值问题的简便算法，天津轻工业学院 1 8 】于文恺，张晓华，一类h e r m i t e 插值问题的简便算法，天津轻工业学院 学报，1 9 9 5 ( 2x 8 6 8 8 ， f 1 9 涂天亮，“论h e r m i t e 插值”一文的启示，华北水利水电学院学报，2 0 0 0 ( 4 ) ：6 6 6 7 2 0 】f e n gy u y u ，z e n gf 缸g l i n 舀d e n gj i a n s o n g ，p 0 1 y n o m i a li n t e r p o l a n t a p p r 0 ) d m a t i o nw i t hg e o m e t r