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模糊时序命题逻辑系统的语义 模糊时序命题逻辑系统的语义 研究生：李丽 指导教师：陈图云 专业：应用数学 研究方向：数理逻辑及其对计算机的应用 摘要： 时序逻辑是一种特殊的模态逻辑，它不仅是程序语义描述的有力下具， 而且在知识的形式表示方面表现出越来越多的优越性但遗憾的是对于时 序逻辑的研究多限于赋值为0 和1 的经典时序逻辑，而正如同将经典逻辑模 糊化得到模糊逻辑一样，将时序逻辑模糊化得到模糊时序逻辑也是一个值 得研究的课题本文首先对泛代数的理论进行推广，提出广义泛代数的概 念：将时序逻辑系统科l 模糊化，定义了模糊算子口，和p ，讨论了模 糊时序逻辑n i p t l 的语义，再由逻辑等价出发，讨论一些含模态词的公式 的化简问题：然后从有限模糊时序逻辑代数及其子代数出发，研究了有限 模糊时序逻辑的广义重言式：在此基础上进一步研究了赋值格为 o ，1 的模 糊时序命题系统吖的广义重言式的性质及其分类，得到r 与王国俊教授类 似的结果：义给出了部分赋值的广义重言式的定义，在其中讨论了重言式 的类类互异定理和升级算法：再证明了有限模糊时序逻辑系统中广义重言 式的重言式表示定理；最后研究了系统m 中的广义语义m p 规则和广义语 义h s 规则并且为了简化问题，我们只对有实际意义的模态公式进行研 究 关键词：广义泛代数；模糊时序逻辑；广义重言式：广义m p 规则：广义h s 矬则 模糊时序命题逻辑系统的语是 引言 传统逻辑是指由亚里士多德所创立的逻辑，它的中心课题是命题形式和正确的推 理形式，但这二者都存在巨大的局限经历2 0 0 0 多年的时间，传统逻辑始终没有突破和 克服这种种局限荣布尼茨把数学的方法引入逻辑领域，创立了数理逻辑这是逻辑发 展的一次突破和飞跃按文【l 】，经典的数理逻辑的研究方法概括的讲是两个演算加上 四论两个演算为命题演算和渭词演算：四论1 2 1 为递归论，证明论，模型论和公理集合 论，也可以在以上四论之外再单独把逻辑演算提出来p 1 作为一个单独的部分在很长的 段历史时期内，逻辑学中讨论的主要是二值逻辑，二值逻辑是一种将人类复杂的思维 简单化了的模型随着人丁智能与认知科学等的不断深入，人h j 已经认识到用二值逻辑 来模拟人的思维是远远不够的，因此，非经典逻辑的产生成为必然 对经典逻辑从语义上进行扩展的非经典逻辑包括多值逻辑，模态逻辑，时态逻辑， 模糊逻辑，非单调逻辑等，其中应用最广且发展较为迅速的就是模糊逻辑明确提出模 糊逻辑和模糊推理的是l o f f i tz a d e h 他于1 9 6 5 年提出了模糊集的概念”j ，义于1 9 7 3 年 提出了著名的c r l 方法9 j 模糊推理的提出引起了t 程技术界的关注2 0 世纪7 0 年代以 后各种模糊推理方法纷纷被提出( 见文献f 6 ) ，并与其它1 些技术如神经网络和遗传算 法等相结合( 见文献 7 】) ，应用于工业控制和家电产品的制造中，取得了很大的成功，模 糊推理在应用上是成功的，但在理论基础上却并没有归入严密的逻辑系统之中在1 9 9 3 年美国第1 1 届人工智能年会上，加州大学圣迭戈分校的c e l k e n 作了题为“模糊逻辑的 似是而非的成功”的报告，引起了一场轩然大波，此后虽有1 5 位专家撰稿批驳e l k e n 的 观点，但他并未被说服，他又以“关于模糊逻辑的似是而非的争论”作答1 9 9 5 年， e a w a t k i n s 又撰文说“双方都错了”( 见文献1 8 1 2 1 ) 由此可见模糊推理方法的理论基 础魁值得商榷的 王国俊教授发现了格上拓扑学特别是其中关于序结构的若干基本思想与各类模糊 推理方法有某些相通之处，他在文献【1 3 】中对这一问题进行了具体阐述乇国俊基于 如代数建立了新的模糊命题演算形式系统，提出了模糊推理的全蕴涵3 i 算法，从一个侧 面为模糊推理的合理性提供了依据，将其纳入逻辑框架中 而在计算机界谈论最多的逻辑系统是模态逻辑i l ，它是在一般逻辑的基础上引入 了序关系，增加了两个模态词口( 必然) ，( 可能) ，而时序逻辑是一种特殊的模态逻辑， 比如时序逻辑系统m p t l i ”1 在这个系统中序关系为线性序，模态词除了口和，还增加了 o ( 接着即有) 和睁( 一直有，直到有) 模态逻辑和时序逻辑不仅是程序语义 描述的有力工具，而且在知识的形式表示方面表现出越来越多的优越性但遗憾的是对 丁 时序逻辑的研究多限于赋值为0 和1 的经典时序逻辑，而正如同将经典逻辑模糊化得 到模糊逻辑一样，将时序逻辑模糊化得到模糊时序逻辑也是一个值得研究的课题，而 2 模糊时序命题逻辑系统的语义 本文就是进行这样的作本文共分六章，第一章：广义泛代数第二章：模糊时序命题 逻辑系统的语义第三章：有限模糊时序逻辑代数及其广义重言式第四章：模糊时序命 题逻辑系统厨的r + 义重言式第五章：系统惦中的一广义重言式和类类互异定理 第l 章：模糊时序命题逻辑系统露的广义语义朋p 规则和广义语义h s 规则 本文表明，引入适当的模态算子口，和p 后得到的结论与一股模糊逻辑类似 第一章广义泛代数 在本章中将泛代数扩展成广义泛代数，为引入可列元算子口，和d 做理论准备 定义11 设一，占是非空集合，则 i ) a b 上的0 元运算是a b 中的一个元素 i i ) a 艿上的1 元运算是a b 上的自欧射f ：a x b 4 b i i i ) a x 日上的2 元运算是彳b 上的2 元函数，：0 曰) ( a x b ) r a x b i v ) 彳ba n o n 元运算是a x 口上的7 元函数，：0 丑r 斗a b v ) i ，是非负整数之集，i = a j - i ， ，a b 上的f 元运算是爿b 上的 可列元广义函数，：0 曰) h a b 定义1 2 设r 是非空集合，是非负整数之集，a y 是丁到与所有 n i = d l ，f ，j n ) f n 组成的集合2 并的映射，则称哩：p ，) 为型甫时也把叮简 记为7 1 ，并令瓦= t r l 甜( f ) = n 或巧。= r 阿( f ) = f 定义1 3 设t 是型a b 是非空集如果对每个t t 有一个a r ( t ) 元函数 ，m 口：( 4 b ) “一a b ，则称a b 为7 1 型广义泛代数，或r 代数 第二章模糊肘序命题逻辑系统f m p t l 的语义 模糊时序命题逻辑系统的语义 本章在模糊模态逻辑1 的基础上，将时序逻辑m p t l 模糊化，讨论模糊时序逻辑 f m p t l 的语义，再由逻辑等价山发讨论一些含模态浏的公式的化简问题 2 1 语义 定义2 、1 、1 设s ； 魏，p 2 ，热， 和泸 ，盯。，盯2 ， 为可列集，型 丁2 1 ，v ， ，一，脚a ，p v ，这里 为一元运算，v ， ，为二元运算，盒，置为可列元运算 u x s 生成的t 型代数f ( u x s ) 由以r 元素组成： i ) u x s 中的元素h ，p ) 都属于f ( u x s ) ，且( 旺+ l ，p ) 可简记为( 呒，o p ) i i ) 如果( 正，a ) ，( 盯，口) ( ，i ) 都属于f ( u x s ) ，则1 ( q ，a ) ：( 峨， a ) ( o r ，a ) v ( 乃，b ) = ( 珥，a v o 一。8 ) ，( c r ，a ) a ( c r ，b ) = ( 仃，a 0 7 叫b ) ( q ，4 ) 斗( 乃，b ) = ( q ，a j o h 曰) ( ( 乃，b ) 一( 盯。，a 爿q ，o 川b _ 爿) ) 也属于 f ( u s ) i i i ) 如果【吼，4 ) ( ，f ) 都属于f ( 【，s ) ，那么企( 吼，a j ) 2 ( 吼，盒( o 。4 ) ) ， x ，( 吒，4 ) 2 ( ，埘v ( o 4 ) ) 也属于( u 。8 ) i v ) f ( u xs ) o 不再含有其它元素 f ( u x s 冲的元素称为公式 说明：在i i ) ，i i i ) q b 各式等号右边为运算结果的简记形式 定义2 1 2f m p t l 的克里普克结构k 由以下二元组 组成，其中非空集合 u 称为宇宙，u 中的元素称为可能世界，用，吼，c r 2 ，q ，表示，q 表示程序在f 时刻 的发展状态皿是u 上的线性序，q r 盯，当且仅当f s ，记s = 扫l ，见，仍， 是原子命题 集，。为在克里普克结构kfu x s 到1 2 【o ，l j 的映射，即在每一个可能世界仃对每一个原 子命题赋值， 1 0 ( ( r ，p ) = a 表示在可能世界盯中给p 赋值为口，理可理解为在克里普 克结构k 下原予命题p 与可能世界盯的相容程度记克里普克结构k 的全体为k 4 模糊时序命题逻辑系统的语义 定义2 1 3i = o ，1 仲规定如下运算，其中口，6 0 【o ，1 ： 口= 1 一口，口v m a x 口， ， a = m i n 凹，) ，口一= ( 1 - a ) v ， ，a 。a ，= 噶 吁) q 2 8罂哆其中f，则12【011ddz2,j一个721，v，哼，a，vjj ( f ) 型代 。 j ) ，j 数赋值映射，是 f ( u s ) ，1 ，v ，a ，斗，a ，v ) 到 i ，1 ，v ，a ，斗， ，v 的一个同态映 ，j ，j 2 o 射 注2 11 o m m 一扩张为一个赋值映射，：f ( u x s ) - 1 0 ，i i 令，i ，( q ， 爿) = ，( 1 ( q ，爿) ) i ( 旺，) ， ，( q ，a v o 叫b ) = ( ( q ，彳) v ( 巳，曰) ) = j ( q ，) v ( q ，曰) ， ，( q ，4 a o 卜。b ) = j ( ( q ，爿) ( 町，b ) ) = ，( q ，爿) a ，( q ，口) ， j ( q ，彳+ o p 曰) = ，( ( q ，爿) ( 盯，日) ) = ，( q ，一) + ，( 口，口) ， j ( 旺，o 川b 斗彳) = ，( ( q ，b ) 斗( q ，一) ) = j ( q ，口) 寸，( q ，一) ， ，( 钒，台( o 4 ) ) = j ( 金( 吼，4 ) ) = 全7 ( ，4 ) ， 7 ( ，兰( o 4 ) ) = ( x ( ，4 ) ) 2 兰7 ( ，4 ) 注21 2 由于u x s 关丁可列元运算的扩张非常复杂，我们不作整体研究，只研究几 种特殊情形的可列元运算台( q ，爿) 2 ( q ，口a ) ，苫( 乃，爿) = ( o - , ，一) ， 盒( ( o ，彳) v ( ，兰( 。t ，b ) ”= ( o ，ap 曰) ，各式等号右边为运算结果的简记形式 从而得到f ( u s ) 的一个子集，记为u xf ( s ) 则u xf ( s ) nt = n ，v ， ，寸，a ，v 型代 数1 的赋值映射，可视为，在己，f ( s ) 上的限制为方便计将赋值厂( 仃，爿) = 口简记为 一( = 口同时使用a f ( s ) 的习惯用法贝f ( s ) 可看作由下列形式的元素组成：i ) n 5 模糊时序命题逻辑系统的语义 于命题p 属r f ( s ) i i ) 若a ，b 属十f c s ) ，则 a ，a v b ，a b ，a _ + b 口a ，a o a ，a 睁口都属于f ( s ) i i i ) f ( s ) 中不再含有其它元素，并以q 面记全体， 注2 13 由定义2 1 2 与注2 1 2 可知每一个克里普克结构k 对应一个，+ 定义21 - 3 爿，b f ( s ) ，a = 争b 当且仅当v k k ，v 旺4 ( q ) 占( 町) ；若 a j b ，b j a 同时成立，则a b ，称a ，b 逻辑等价 定理2 11a b 与b v ( a a o ( a b ) ) 逻辑等价，即 a p b b v ( a o ( a 睁曰) ) 证( b y ( 一 o ( 一i t 占) ) 巧) 。口( q ) v ( 爿( 啪埘a 。( 4 ( 町) 。蚓v b ( 吼) ) ) ) ) 2 ( ( b ( q ) ) “，金。爿( 町) v ( ，墨丑( 吼) ) ) ) 2 企( 一( q ) w 。v ；，b ( a d ) ) _ ( a 睁b ) ( c r i ) 注2 14 b v ( 一a o ( a pb ) ) 可看成u n t i l 算子的递归定义 定理2 1 2 ( 1 ) 口爿彳，口a j o a ( 2 ) a = 亭a ( 3 ) ( 口a ) ( b ) = 亭a 争b 证( 1 ) ，( 2 ) 由注2 1 2 与定义2 1 3 可证 ( 3 ) ( ( 口a ) ( b ) x q ) = ( 口一) ( q ) ( b ) ( 正) 2 ( 企爿( 町) ) ( 鼍b ( 巳) ) 脚a 彳( 乃) 6 模糊时序命题逻辑系统的语义 ( 爿肛丑) ( 听) 2 嚣，( 爿( 盯，) ( 。墨，曰( d j ) ) ) 垒4 ( 一) 所以( ( 口爿) ( 口) ) ( q ) ( 一口) ( q ) 即( 口a ) ( 曰) ；a 睁b 2 2 含有模态词的公式的简化 在广义模态词中，我们把“1 ”也看作个模态词，对于含口， 的广义模态词 我们可以进行规约 定义2 2 1 设a f ( s ) 模态词妒 口，7 ) ，若存在一个模态词矿 口， ，且y 的长度小于妒的长度，并且满足弘4 曹y 爿，j i ! j j 称模态词妒可归约于y 定理2 2 2 ( 1 ) 7d 7 爿a ( 2 ) 7 _ 1a 口爿 ( 3 1 口口a 甘口爿 ( 4 ) 爿铮4 f 5 1 口a a ( 6 ) 口a 营口爿 证仅证( 1 ) ，( 6 ) 其余类似可证 ( 1 ) ( _ 1 口7 爿) ( q ) = 1 一企( 1 一爿( q ) ) = 盖。a ( a j ) = ( a ) ( 吒) 所以 口 a 营彳 ( 6 ) ( 口a x e , ) 。苫( 台a ( c r k ) ) 2 仓4 ( c ) 2 ( 口a ) ( c r ) 所以口a 口a 注2 2 1 对于含多个“o ”的公式可以把它写为简化形式，如 o 0 爿= 0 a t 一 对于含“”的某些公式我们也可以将它化简 定理2 2 2 ( 1 ) ( a pb ) p b 彳b 模糊时序命题逻辑系统的语义 ( 2 ) 4 p ( a 睁b ) a 仁b 证( 1 ) ( ( 爿睁b j 肛b ) ( q ) 2 名( ( 爿pb ) ( q ) w 。墨，b ( 吼) ) ) 2 垒( 禽( 4 ( d ，) w ，羔；，口( o m ) ) ) ) 。( ，墨，口( 吼) ) ) 2 念( ，f j ( a ( m ) 。美，b ( 吼) ) ) ) 2 仓( 4 ( 听) v ( 。墨，口( o j ) ) ) 2 ( 爿睁b ) ( q ) 所以( a b 玲b a pb ( 2 ) ( a ( a p b ) x o - , ) 。台( 4 ( q ) v ( ，墨，( pb ) ( ) ”， 金( 一( 巳) ( ，姜，( ( 4 ( q ) v ( 。兰：，b ( 。_ ) ) ”) ) 2 i ( 一( q ) v ( 台( 爿( q ) v ( ，；v 。；，口( q 一) ) ) ) ) 2 ( 念( 4 ( 乃) ) ) v ( 仓( 爿( q ) v ( 。0 口( o - 卅) ) ) ) ) 。台( 彳( q ) v i 。品曰( ) ) ” = ( 爿p b ) ( q ) 所以a 争f 一b ) ad b 第三章有限模糊时序逻辑代数及其广义重言式 于国俊教授在【1 3 1 中系统地研究了一维多值逻辑代数，子代数和r 义重言式理论 并且吴望名教授，吴洪博博士分别在文【1 7 ，l8 】中研究了参数k l e e n e 逻辑系统和g o 以f 8 模糊时序命题逻辑系统的语义 逻辑系统中的j “义重言式理论本章目的是将相应的理论推广到系统f m p t l 中 3 1 有限模糊时序逻辑代数及其子代数 定义311 在i 中有限子集i 。，满足 0 ，1 ci 。c l ，且li 。l = n ，i 。中的元素按大小 关系排序在1 。中 ，v ，a ，斗，a ，v 运算规定同定义2 1 3 若上述运算在l 。中封闭，则i 。 i z ti z i 成为 ，v ， ，斗， ，v ) 型代数同样u x f ( s ) 到l 。的赋值映射晶+ 可视为f ( u x s ) - + i 。 j 2j z ， 的n n n n l 在u f ( s ) 上的限制记厶的全体为q 定义3 1 2 称 1 ，v ，a ，呻， ，v ) 型代数l 。为有限模糊时序逻辑代数，记i m 是i 。 j z lj f 的非空子集，且i 。关于 ，v ，a ，叶， ，v 运算都封闭，则称i 。是1 。的子代数 2 ，e f 命题3 1 11 n _ o ，古，碧，1 ) ，i ：n 1 = o ，矗， 署，j 鲁，1 ) ，则l 。是1 2 n - - 的f 代 数 证由于1 。中各分母都是, 一l ，而1 2 n _ i 中各分母都是2 一2 ，1 。是由1 2 + 1 中分子为偶 数的项组成，因此i 。c1 2 。m 且运算- 1 ，v ， ，一， ，v 在1 。和1 2 n 1 中封闭，因此1 。是1 2 。1 j 2j 2 f 的子代数 定理3 1 1i m 是i 。的子代数当且仅当”= o n k + 1 3 2 有限模糊时序逻辑的广义重言式 定义3 2 1 设a f ( s ) a i n , 若v k k ，v q u 记，( q ，4 ) = 4 ( q ) 均有 a ( c r , ) a ( a ( c o 口) ，则称a 为口一重言式( 口+ 一重言式) ，其全体记作口- - t ( 1 。) ( 盯+ h l 。) ) 以上的全体称为j “义重言式 定义3 22 设a f ( s ) ，口i o , 若v k k ，v q u 记，( q ，4 ) = a ( o s ) 均有 一( q ) 口( 爿( q ) 号； 【0 ，口， 时，妒( a i ) = 0 ， 妒( q ) = o ，妒( q ) = p ( a j ) ；当q = 时，妒( 1q ) 妒( q ) ；当t 2 t 号时，甜一重言式是不存在 的今设0 0 知当7 ( 而，t ，) 中各变量赋以1 2 。l 中，特别是赋以1 3 中任何值 时，7 ( x l j 一，t ，) 的值均不为零，所以由( 3 3 ) 知( q ，彳) 的值不为零，但由 矿，( q ，p 1 ) ，妒厂( q ，p o ) ，1 3 知+ ( q ，4 ) 1 3 所以( q ，彳) ，从而由( 3 1 ) 知，( q ，一) 这就证明了a 是 一重言式 现考虑系统1 2 。中的口一重言式，这时 1 2 n 定义妒： 2 n 斗1 2 为 模糊时序命题逻辑系统的语叉 地，= 忙三二知叫n n 。， 用与上面类似的方法可证 定理3 24 系统t 2 。中只有一种口一重青式，即爵旨一重言式 与定理3 2 3 ，3 2 4 的证明方法相同，我们可以得到下面关于j “义矛盾式的定理 定理3 2 5 系统i m i 中只有一种a 一矛盾式，即 一矛盾式 定理3 2 6 系统1 2 。中只有一种口一矛盾式，即器矛盾式 由此可见在不同的i 。系统中存在不同的广义重言式( 广义矛盾式) ，并且口一重言式( 口一 矛盾式) 中口前缀是不灵敏的 第四章模糊时序命题逻辑系统丽的广义重言式 在前面的基础上，首先将s 一型蕴涵改为r 一型蕴涵， 即0 l ，0 【，= 0 【s0【： 暮则。 并讨论m 中的广义重言式和矛盾式 定义4 1 a f ( s ) ，口( o ，1 】，若v k k ，v 吐u 均有a ( c r , ) 口( 爿( q ) d r ) 则称a 为a 一重言式( 口一重言式) ，其全体记为口h mx 矿一t ( 一m ) ) ，以上各种重 言式通称为f ( s ) 在 ，中的广义重言式，简称为广义重言式特别，当口= l 时，l 一重言式 即为m p t l 中的重言式 定义4 2a f ( s ) ，髓【o ，1 ) ，若v k k ，v q u 均有爿( 吒) a ( 彳( q ) q 时，由够保v ， 知 仍( q _ ) = 仍( q ) 哼仍( q ) ，从而仍保“j ”运算所以竹是同构映射 命题4 2 设a ( o ，吉1 ，映射仍：面j 【o ，口) u 如u ( 1 一口】定义为 口，( ，1 】； q = ； 呸【o ，) 那么仍是丽与其子代数 o ，c o u u 0 一a 】之间的一个同构映射，因而也是一个同态 j 3 口 卜 ， 功知砒 口口2 ，、l = 留仍 模糊时序命题逻辑系统的语义 映射 证与命题4 1 类似可证 命题4 3 若口( o ，上】，则口_ t ( 丽) = h 丽) 证若a 亍1 - - t ( m ) ，显然a 口- - t ( m ) ，若a 口- - t ( m ) ，则v k k 即 v ，+ q 砑和v q u 有，+ ( q ，一) 口，记( q ，爿) = ，( ( q ，n ) ，( q ，n ) ，( q 小 以) ，) f ，f f ，由命题4 2g e r l ( 0 2 ，+ q 面，因此仍，( q ，彳) 口，由仍是同态知 仍，( q ，彳) = 仍7 s ( q ，昆) ，j ( q ，以) ，+ ( q + 1 ，n ) ，) = 7 ( 仍，( q ，n ) ， ，仍( q ，岛) ，仍( q + 1 ，岛) ，) ，y - q ，2 ，+ 为u x f ( s ) - ) o ，口) u 如u ( 1 一a l 的 映射，则仍，( q ，一) ，再由仍的定义知，+ ( q ，一) ，也就是彳吉h 丽) 用类似方法结合命题4 i 可证命题4 4 命题4 4 若口( ，l 】，则a h m ) = t ( m ) 定理4 2 关于 ，而言，f ( s ) 只有三种重言式，即 一重言式，( ) + 一重言式与重言 式 证由命题4 3 ，命题4 4 知口一重言式只有 一重言式和( 如+ 一重言式，t i i b ；h 仓 口+ 一重言式，设o 口 ，取髓 芦 ，由命题4 3 得 t ( 砑) c f l - - t ( m ) c 矿 h 面) c 口- t ( 丽卜圭_ t ( 万) ，故口+ 一重言式即为 重言式 同理 a 口，则称a 为- - ( 口+ 一重言式) 特别当是由一切映射c ： u x f ( s ) 一+ 厶的赋值组成之集时， 口一重言式) ( 口+ 一重言式) ) 也称为系统 肘：中的甜一重言式( 口+ 一重言式) 这里肘。是含n 个元素的i 肼的子代数 定义5 - 1 2 设 q 厨，口【0 ，1 1 ，a f ( s ) 如果对v ，和v q u 记 模糊时序命题逻辑系统的语叉 ，+ ( q ，一) = 爿( q ) 有彳( q ) 口，则称a 为- - ( 口一矛盾式) ，如果对v ，和 v c r , u 恒有爿( 仃j ) 口，则称a 为- - ( 口一一矛盾式) 特别当是由一切映射c u f ( s ) 斗m 。的赋值组成之集时， i 仍，二( 叮，a ) ， ，( p l1 2 。( q ，p 。) ，仍艺( q m 仇) ， f t j ，则仍j 二( q ，彳) = 仍，三。厂( ( 。，p 1 ) ， ，( q ，n ) ，( a ，以) ，) = 仍，( e 。( q ，p ) ，。( q ，以) ，。( q “，p 。) ，) 。厂( 仍。( o f ，n ) ，仍( q ，岛) ，仍，；。( q + 。，p 。) ，) = t - 所以由仍为同态知 。( q ，爿) o ，即。( q ，爿) 1 ，这个结论对v e q m ，和v q u 都成立，所以一1 定理5 32 设一f ( s ) ，则a 是关于m 2 的1 一重言式，当且仅当a 是关丁m 、的 1 7 模糊时序命题逻辑系统的语义 重奇式，即l _ t ( m 2 ) = t ( m 3 ) ，行= 1 , 2 ， 采用( 5 2 ) 与【1 3 忡的证明方法类似，可证明f 面的两个定理 定理5 33 设a f ( s ) ，一 口1 ，则a 是关于 厶。的口一重言式当且仅当m 2 。 的1 一重言式从而由定理5 3 1 ，a 也是m 2 的重言式，即口- - t ( m 2 。) = l t ( m 2 。) 坷( m 2 ) n = 1 , 2 ， 定理53 4 设a f ( s ) ，一” 口0 ，则a 是芙于m 2 的口一重言式当且仅当 m 2 。的o 一重言式从而由定理5 3 2 ，a 也是m 2 的重言式，即口一t ( m 2 ) = l t ( m 2 。) t ( 鸠) n = 1 , 2 ， 与重言式相似，我们可以得到下面关于矛盾式的定理 定理5 3 5 设a f ( s ) 则a 是关于m 2 。的一1 一矛盾式，当且仅当a 是关于m 2 的 矛盾式，即一1 _ f ( m 2 。) = f ( 鸠) ，n = 1 , 2 ， 定理5 3 6 设a f ( s ) ，则a 是关丁m 2 的一1 一矛盾式，当且仅当a 是关于m 3 的矛盾式，即一1 f ( 肘2 ) = f ( j l 厶) ，月= 1 , 2 定理5 3 7 设a f ( s ) ，一1 口 行，则彳是关于m 2 。的口一矛盾式当且仅当 们2 。的一1 一矛盾式从而由定理5 3 5 ，a 也是m 2 的矛盾式，即a - - f ( 鸩。) 1 f ( m 2 。) 2 f ( m 2 ) ”= 1 , 2 ， 定理5 3 8 设a f ( s ) ，0 口 疗，则a 是关于m 2 的口一矛盾式当且仅当 m 2 。的。一矛盾式从而由定理5 3 6 ，a 也是 如的矛盾式，即口一f ( m 2 j = o f ( m 2 ) 。f ( 坞) t = 1 , 2 ， 定理5 3 3 与定理5 3 4 表明当a 在一”与1 ( 或0 ) 之间变化时，带前缀掰的广义重青 1 8 模糊对序节趄逻科系统的语义 式类z i 变，但当口取0 以上的各值时，情况完全不同，这时的广义重言式是类类互异的定 理5 3 7 与定理5 3 8 表明当口在一l ( 或0 ) 与n 之间变化时带前缀口的广义矛盾式类不变 但当口取0 以下的各值时，情况完全不同，这时的广义矛盾式是类类且异的我们需要引 进新的概念 5 4 可达a 一重言式和可达口一矛盾式 定义5 4 1 设a f ( s ) ，一n 口玎如果a 口t 【m 2 。) ( a 口t ( 且4 2 川) ) 且有m 2 。( m 2 “) 的赋值，+ 和可能世界q 使，+ ( q ，a ) 即一( q ) = 口，则称爿为可达d 一重言式其全体记作【口卜一t ( m 2 。) ( 【口卜_ t i m 2 ) ) 定义5 42 设a f c s ) ，一栉 0 ，存在m 2 。( m 2 ) 的赋值e 和可能世界正使得 0 【 f ( o ，一) d + ，则称4 为可达口+ 一重言式其全体记作【口+ 卜一“。) ( a + t ( 肘2 ) ) 定义5 - 4 - 3 设a f ( s ) ，一胛 口盯如果彳a f ( m z 。x a 口f ( m 2 川) ) 且有m 2 。( m 2 ) 的赋值，+ 和可能世界q 使，( q ，一) 即彳( q ) = 口，则称爿为可达口 一矛盾式其全体记作【口 - f ( j l 岛。) ( 口】一f ( m 2 ) ) 定义5 44 设a f ( s ) ，一门 0 ，存在m 2 。( m 2 ) 的赋值e 和可能世界e 使得 0 【一 e ( o ，4 ) d ，则称爿为可达口一矛盾式其全体记作 d - 】呻( 鸩。) ( 【口一】 f ( m 2 ) ) 下面的命题是显然的 命题5 4 1 公式丘黾可达口一重言式，当仅当爿是口一重言式但4 不是( 口+ l 卜重 9 模糊对序节趄逻科系统的语义 青式即 口卜。t ( m 2 。) = ( 口_ t ( m 2 。) ) 一( ( 口+ 1 卜_ t ( 肘2 。) ) 【口】t ( 彳2 。+ 1 ) = ( a - t ( 埘2 。+ 1 ) ) 一( ( 口+ 1 ) _ t ( m 2 。+ 1 ) ) 一” 口 ” 由此命题以及上面的两个定理得 推论5 4 1 i ) 当一, o c 1 时，【口】_ t ( 鸠。) = 妒 ) 当一胛 0 【 0 时， 口 一下( m 2 川) = 矿 i ) 当口卢时，可达口一重言式类与可达一重言式类不相交 与重言式相对应有如下关于矛盾式的理论 命题5 4 2 公式一是可达a 一矛盾式，当且仅当月是口一矛盾式，但彳不是( 口一1 ) 一矛盾式即 【口】- f ( 彳2 。) 气d i f ( m 2 。”一( ( a 一1 ) 。- f ( m 2 。) ) 口】- f ( m 2 。+ 1 ) 可口午( ，2 。+ 1 ) ) 一( ( 口一l 广f ( 厶。+ 1 ) ) 一玎 口 ” 由此命题以及上面的两个定理得 推论5 4 2 j ) 当一1 口 玎时，【a 卜- f ( 如。) = i i ) 当o a 即时， 口 一f ( 肘2 州) = 妒 i i i ) 当口时，可达口一矛盾与可达一矛盾式类不相交 5 5 类类互异定理和升级算法( 降级算法) 定理5 5 1 设0 口s 门，0 片，口，则 口t ( 鸩。) _ t ( m 2 。) ，口叫( 鸩) 叫( m 2 ) 证以m 2 。为例进行证明这时由o m 2 。知1 s a 胛只须证明当1 口拧时，可 2 0 模糊时斥命题逆辑系统的语义 达口一重青式是类类小空的 i ) 令a = 1p v p ，这里p s ，则易证彳1 一t ( j l 如。) ，对丁| ，q 2 肼和q u 令 ，+ ( q ，p ) = 1 ，便得( 正，_ 1p ) = 一1 ，从而，( c t z ，彳) = 1 故a 是可达卜一重言式，即i - - t ( m 2 。) 庐 i i ) 设已证【kj _ 一t ( m 2 。) ，1 k 疗任取可达意一重言式爿，vo r , u 设 ( o - i ，a ) = 厂( ( 旺，p i ) ，( q ，以) ，( q 凤) ) i ，i ，则存在( q ，p i ) ，( q ，岛) ， ( q n ) ，的一组赋值点，葭，对任一m 2 。赋值，+ 和任一q 以只要 p l ( q ) = 点，n ( q ) = 菇，岛( q 。) = 菇就有，( 正，4 ) = 因为s 是无限集，可 取原子公式q s 使g 只( f = l ，h ) ，令b = ( q 斗彳) v q ( 5 3 ) ，则对任一m 2 。赋值 ，+ 和任一q u 若( q ，叮) s ，( q ，爿) ，则，+ ( q ，曰) 可；n k + 1 若 ，( q ，g ) ，( q ，一) ，则，( 旺，可) k + 1 ，从而厂( q b ) k + 1 总之b ( 七十1 ) 一 t ( m 2 。) 映射，：u f ( s ) 斗m 2 。并取，( q ，a ) = 4 ，( q ，n ) = 瓦，( q 见) = ( 呸，g ) ；七+ 1 n 1 ( q ，爿) ；七，从而，。( q ，占) ；，。( q ，q _ 4 ) v ，( 旺，g ) = ( ，( q ，9 ) 一“q 彳) v n q 口) = ( 一，( q ，g ”v ，( q ，爿) v ( q ，口) = k + 1 故占e 睥 + 1 卜一t ( m 2 。) 妒这就证明了可达口一重言式，当口1 时类类不空，从而口一重言 式当口1 时是类类不空的 注5 5 1 由( 5 3 ) 给出的从a 到b 的算法是很有用的，我们称其为升级算法其中的 原子命题q 还可以换成口q ，q 和o q ，因为这种算法作用于可达口一重言式一就得到 可达( 口+ 1 ) 一重言式b 如果要升两级，可再选用原子命题，使，不同于p l ，儿以及q ， 令c = 9 哼( ( 4 寸一) v 们vr ) t 这里，也可为口r ，r 和o r ，则c 为可达( a + 2 卜? 重 模糊时序命题逻辑系统的语义 言式重复使用升级算法，可得出真值越来越商的可达重言式，甚至重言式 定理5 52 设一y 口0 ，一订0 ，口，则 口- f ( m 2 。) 卢一f ( 朋2 。工a f ( m 2 。i ) 卞( m 2 。“) 证以鸩。为例进行证明这时由0 仨m 2 。知一疗口茎一1 只须证明当 一对口- 1 时，可达口矛盾式是类类不空的 i ) 令a = 1p p ，这里p s ，则易让a 一1 一f ( m 2 。) 对于j + q 2 和q u 令j + ( 峨，p ) = 1 ，便得，+ 【口，1p ) = - i ，从而j ( q ，4 ) = 一1 故a 是可达一1 一矛盾式， 即1 - f ( m 2 。) 矿 i i ) 设已证【一k 卜f ( 幔。) 庐，1 t 拧任取可达一k 一重言式a ，v 正u 设 ( o i ，a ) = ( ( q ，a ) ，( q ，以) ，( q 十l ，以) ) ，i ，则存在( 正，p 1 ) ，( q ，n ) ，的一组赋值点，芪，对任一m ：。赋值，和任一q u 只要 p ( q ) = 磊，以( q ) = 瓦，( q 。以) ，就有，+ ( q ，o ) = 一 因为s 是无限集，可取 原子公式q s 使q p ( i = 1 , - - , n ) 令b = ( 一斗q ) g ( 5 4 ) ，则对任m 2 。赋值 ，+ 和任一q u 若，+ ( 仃，爿) ，+ ( q ，g ) ，则，( q ，b ) = f = 一玎一是一1 若 ，( q ，爿) ，+ ( q ，吁) ，则，( q ，口) 一k 一1 ，从而，( 旺，艿) 一k 一1 总之 b ( 一k - 1 ) 一f ( m 2 。) 映射i ： uxf ( s ) 斗鸠。并取 九q ，a ) = 磊，( q ，以) ；，( q 岛) = ，( 吒，口) k1 , n i + ( q ，爿) = 一k ，从而，( q ，曰) = ( 1 ( ，( q ，4 ) v ，( q ，g ) ) ) ，。( q ，g ) =，( q ，爿) j ( q ，g ) ，( q ，g ) = 一七一1 故曰卜j j 一1 】一f ( 峨。) 矿这就证明了可达口一 矛盾式，当口一1 时类类不空，从而口一矛盾式当口一1 时是类类不空的 2 2 模糊时序命题逻辑系统的话父 注5 5 2 由( 5 4 ) 给出的从a 到b 的算法称之为降级算法其中的原子命题q 还可 以换成口q ，q 和o q ，因为这种算法作用于可运口一矛盾式a 就得到可达( 口一1 ) 一 矛盾式b 如果要降两级，可再选用原子命题，使，不同丁a ，儿以及g ，令c = ( - 1 ( ( a 坷) 们专，) r ) 这里，也可为口r ，利o r ，则c 为可达( 口一2 卜矛盾 式重复使用降级算法，可得出真值越来越低的可达矛盾式，甚至矛盾式 5 6 有限值系统中广义重言式的重言式表示定理 d 一重言式毕竟不同于真正的重言式特别当口取刚刚过半的真值时，由类类互异 定理可见t 2 一重言式与重言式相去甚远，中间还隔了许多不同的类然而在这里我们将 证明关于一种有限值逻辑系统而言的广义重言式必可升级为关于另一有限值逻辑系统 而言的重亩式戒们需要一个引理 引理5 6 1 设1 k ”，令纯：鸩。鸠与仍：m 2 m 斗鸩如f jq ，一七 驴( 哆) ，则 妒( q ) 斗妒( q ) 3 伊( q ) v 妒( 口，) 从而上式成立。设妒( a ，) = 妒( a 。) ，则 模糊时序命题逻辑系统的语义 妒( 髓，) 寸妒( 吁) 2 k 以f 只须证明 伊( q ) v p ( q ) = k 事实上，由q 哆及( 5 5 ) 知不可能i 伊( q ) j 2 i 妒( 哆) 吩女 则c o ( q ) = 妒( 口，) = 七所以 妒( q ) v 伊( q ) = k 如果q q k ，则 伊( q ) = 妒( q ) = 一k ，仍有 伊( q ) v 妒( q ) = k 定理5 6 1 ( r 义重言式的重言式表示定理) 设a f ( s ) ，1 0 由定 义5 4 2 知j e q 而，q a n n a 号，若广( q ，动 ，n 1 4 ( 旺，4 斗回i ，( q ，爿) v ，( 吒，曰) 兰 ，矛盾， 故必有，+ ( q ，曰) 吉故在万中，语义语义( ) + 叫p 规则成立 定理6 1 2 在面中，语义 ( 土) + 】埘p 规则成立 证设f 彳，a 一曰 【皓) + 】- - t ( m ) ，假若b 仨 ( ) + 】一t ( m ) ，由于 皓) + 】一 t ( m ) c ( 吉) + - - t ( m ) ，由定义5 4 2 知3 9 o ，v i q 面和v q “使得 j + ( 6 ，b ) 号+ ，由命题4 4 知b t ( 面) ，因此v ，q 面和v q “恒有 模糊时序命题逻辑系统的语叉 ，+ ( q ，一寸口) = ，( q ，爿) 斗，+ ( q ，口) = ，+ ( q ，一) 斗1 = 1 阂此a 斗b t ( 丽) 与a 寸b e 【( ) + 卜一t ( 丽) 相矛盾，因此四【皓) + 卜一t ( 丽) ，因此在一m 中，语义 【( ) + 卜m p 规则成立 定理6 13 在一m 中，语义l m p 规则成立 证 设 爿，爿一毋c1 一t ( 一m ) ，则v 厂q 面和v 呸u ，恒有 ，+ ( q ，4 b ) = ( q ，4 ) 呻j 【q ，聊= l ，+ ( 呸