（概率论与数理统计专业论文）边缘模型中的两种统计推断方法：gee与qif.pdf

独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。据我所知，除了 文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得 东北师范大学或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡 献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名擅 日期： 灿1 0 ) 勺 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解东北师范大学有关保留、使用学位论文的规定，即：东北师范大学有权保留 并向国家有关部门或机构送交学位论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅本人授权东北师范大学 可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其它复制手段保存、 汇编学位论文 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名： 日期： 赴 沙f o k - 3 口 指导教师签名：二逊f 日期；塾坦：亟? 1 1 学位论文作者毕业后去向： 工作单位：! 圣坠里丝兰堡嘉己电话： 通讯地址：邮编： 5川5洲75 川0舢8iii舢y - i 摘要 随着现代科学技术的发展，纵向研究被越来越广泛的应用于心理学、生物学和 医学领域。本文主要讨论了边缘模型中的两种统计推断方法：g e e 方法和q i f 方 法。通过模拟研究比较了工作阵的选取对估计的影响。模拟结果表明：对于正态数 据，当样本量较大时，如果真实阵和工作阵不同，q i f 方法要优于g e e 方法，如 果真实阵与工作阵相同，两种方法得到的估计结果类似。对于两值数据，两种方法 得到的结果几乎是一致的。 关键词：纵向数据，边缘模型，g e e ，q i f a b s t r a c t w i t ht h ed e v e l o p m e n to fm o d e r ns c i e n c ea n dt e c h n o l o g y 1 0 n g i t u d i n a ls t u d i e sa x em o r ea n dm o r e w i d e l ya p p l i e di np s y c h o l o g y ：b i o l o 目a n dm e d i c i n e t h i sp a p e rd i s c u s s e dt w os t a t i s t i c a li n f e r e n c e m e t h o d sw i t h i nm a r g i n a lm o d e l s ：g e em e t h o da n dq n ：m e t h o d w ec o m p a r e dt h ei m p a c to ft h e s e l e ( ：t i o nf o rw o r k i n gc o r r e l a t i o no nt h ee s t i m a t i o nt h r o u g ht h es i m u l a t i o ns t u d i e s s i m u l a t i o nr e s u l t s s h o wt h a t ：f o rn o r m a ld a t a w h e nt h es a m p l es i z ei sl a r g e i ft h ew o r k i n gc o r r e l a t i o ns t r u c t u r ei s m i s s p e c i f i e d t h eq i fm e t h o di sm o r ee f f i c i e n tt h a nt h eg e em e t h o d i ft h ew o r k i n gc o r r e l a t i o ni s c o r r e c t t h et w om e t h o d sa r ea l m o s te q u i v a l e n t f o rb i n a r yd a t a t h er e s u l t so ft h et w om e t h o d sa r e a l 】x l o s tt h es a l n e k e y w o r d s ：l o n g i t u d i n a ld a t a m a r g i n a lm o d e l s g e e ，q i f i i 目录 中文摘要i 英文摘要i i 目录i i i 正 文 1 1 引言 1 2 g e e 与q i f 用于纵向数据分析中的边缘模型 4 2 1 g e e 用于纵向数据分析一 4 2 2q n = 用于纵向数据分析5 2 3g e e 与q i f 的对比8 3 g e e 与q i f 的模拟比较9 3 1正态数据时工作阵的选取对估计的影响 9 3 2 两值数据时工作阵的选取对估计的影响 1 0 4 附录1 1 参考文献1 4 致谢1 6 i i i t 东北师范大学硕士学位论文 1引言 纵向数据是指对研究个体随着时间的推移进行重复观测得到的数据与以往横向研究不 同，横向研究则是对研究个体只进行一次观测，单次观测是无法得到个体变化情况的，而纵向 研究则是通过对个体重复观测从而获得所关心的某个研究指标随时间变化的情况。例如，一个 纵向临床试验通常用于检测治疗疾病过程中随时间推移的药效，而这种研究不能用横向研究 来考虑。正是由于纵向研究可以探测所谓的w i t h i n - i n d i v i d u a l 的变化，在心理测量、临床试验 中，它被越来越广泛的应用。在国际生物统计领域，它也逐渐成为大家研究的热点中的热点。 因为纵向研究得到的数据也是相关类型数据，传统的统计方法处理此相关类型数据就失 效了目前有三种较成熟的模型：随机效应模型，转移模型，边缘模型。这三种模型用于纵向 数据的分析方法与目的是不同的，得到的参数的解释也有所不同 在随机效应模型中，假设由于研究个体潜在的某种无法测量的特定因素，例如遗传、环境 影响等等，从而导致个体内响应变量是相关的，而给定这种个体效应后，个体的响应则是独立 的，并且服从指数分布族，用数学表达式来描述，即9 e ( m i b i ) ) = 五卢+ 磊b i ，其中b 为随机 效应( 均值为0 ，协差阵为g ) ，五为协变量，p 为参数，g 为l i n kf u n c t i o n ，从而我们看出 p 是指给定b i 时，每个个体的响应均值随协变量的变化情况 转移模型则是把响应变量犰，以往的响应也考虑进来，记日t 7 = y i k k = 1 ，j l ，并且 f ( y i j 月0 ) = e x p y i j o i j 一砂( 口t j ) 】咖+ c ( y , j ，) ，p 0 = e ( k j l h q ) = 妒7 ( p t j ) ， g = v a r ( y q l h q ) = 杪( 巩j ) 西，转移模型的数学表达式为 极大条件似然为 i iy ( y t jl h , j ) 1 = lj = q + l 边缘模型是对均值和响应变量相关矩阵分别建模，其得到的均值模型参数是研究总体层 次上的解释在边缘模型中： 1 假设响应均值e ( y z t l z n ) = p n 通过一个已知的联系函数成为协变量的方程 9 ( p l ) = z 托p ， a 巩疗 。li + p ，v z = c 玎 p 日 东北师范大学硕士学位论文 2 已知协变量时，y 甜的条件方差依赖于均值，即v a r ( y i f ) = 西y ( p t f ) ，其中西是刻度参数。 ，鲫、 3 给定协变量时，假设向量i ；i 之间的相关性可以看成是另一个参数向量。的方程。注 眠 卜，、 意到这里并没有给出y i ，的精确分布，而只是给出了l ；i 的前两阶矩当然我们假设响应 ， 变量都是来自指数分布族。 本文主要讨论的是边缘模型中的统计推断方法，旨在估计协变量对响应变量的总体平均效 应。边缘模型中通用的统计推断方法是l i a n g & z e g e r ( 1 9 8 6 ) 提出的一个推广的g l m 方法分析纵 向数据，即g e e 方法。该方法在过去的2 0 年里广泛应用于纵向数据的分析中，并且这篇论文还 给出了通过g e e 方程得到的估计的大样本性质。由于没有似然方程并且不能作相应的似然比 检验，这就使得g e e 方法中工作相关阵的选择很富挑战性w e ip a n ( 2 0 0 1 ) 提出了一个修改的 a i c 准则用来对g e e 方法进行模型选择。而p a n & c o n n e t t ( 2 0 0 2 ) 采用重复抽样的方法来选择广 义估计方程的估计，估计是通过使用不同的工作相关阵来比较估计的均方误差来选择的。有关 g e e 框架下工作阵的选择的相关研究我们能在w a n g & c a x e y ( 2 0 0 3 ) 和c h a g a n t y & j o e ( 2 0 0 4 ) 的论 文中看到g e e 方法是一个比较成熟的方法，在很多统计软件中都有相应的程序包或语句。 如s a s 中的p r o cg e n m o d 过程，r 和s p l u s 中也有相应的程序包。g e e 方法也存在一些问 题，例如对异常值很敏感，并且当工作阵选取不恰当时，估计的效率就不能得到保证，并且由于 缺少像似然比检验那样的推断函数，所以很难进行模型的拟合优度检验为了开发一个能够提 高估计效率的估计方程，在g e e 框架下估计相关阵的问题可以通过选择更大范围估计方程的 最优权重来代替q ue ta 1 ( 2 0 0 0 ) 运用h a n s e n ( 1 9 8 2 ) 提出的广义矩方法，系统的引入了二次推 断函数( 英文缩写为q 口) 的方法，并且给出了相应的参数估计和2 检验l i n d s a y & q u ( 2 0 0 3 ) 对q i f 方法进行了更广泛的研究q u & s o n g ( 2 0 0 4 ) 比较了二次推断函数和g e e 方程估计的稳 健性r a m a n is p i l l a & c a t h e r i n el o a d e r ( 2 0 0 5 ) 给出了二次推断函数对于相关数据估计和检验的 大样本性质q u & l i ( 2 0 0 6 ) 给出了变系数模型用于纵向数据的渐进结果s o n g e ta 1 ( 2 0 0 9 ) 通 过实例用已有的s a s 宏得到了一系列的结果，并提出了q n ：模型选择的方法。 本文则是利用读过的文献对g e e 方法和q i f 方法做一个简要的概括，并且利用数据模拟 考察不同工作阵下，两种估计方法的表现模拟表明：对于正态数据，当样本量较大时，工作 阵与真实阵不同时，q i f 方法要优于g e e 方法当工作阵与真实阵相同时，讨厌参数的估计 即为极大似然估计，因此，当误差项服从正态分布时，g e e 方法是最优的对于两值数据， 2 东北师范大学硕士学位论文 两种方法得到的结果几乎相同。论文的具体结构如下：第2 节简要介绍了g e e 方法与q i f 方 法的内容及一些相关的结论，第3 节通过模拟研究比较了两种方法工作阵的选取对估计的影 响，第4 节附录给出了一个数据为两值情形的程序。 3 东北师范大学硕士学位论文 2g e e 与q i f 用于纵向数据分析中的边缘模型 2 1g e e 用于纵向数据分析 g e e 模型事实上是广义线性模型在处理相关数据情况下的推广，我们关心的问题是如何 描述响应变量与协变量之间的关系对于响应变量y i t ，协变量z n ( q 1 维) ，相应的观测时 间f = 1 2 ，m ，个体i = 1 ， 假设来自不同个体的观测是独立的，而同一个体的观测是相关的，边缘模型均值记为脚 ，它通过一个l i n k 函数g 与协变量z 赶之间产生关系，即 g c t u ) = 2 7 i 。f 卢f 2 1 ) 剪甜的方差是均值的函数，即 v a r ( y u ) = c v ( m t )( 2 2 ) 其中西是刻度参数。 在广义线性模型框架下，我们有准似然估计方程： 其中血= 0 m 0 p 是m q 矩阵，是一个由方程( 2 2 ) 决定的n l 啦对角阵当兄( 口) 为真 实相关阵时，即为c o v ( y l f ) ，在l i a n g & z e g e r ( 1 9 8 6 ) 中，通常用一个带讨厌参数的工作阵来简 化k 特别的，假设k = a ；2 r i ( a ) a ；1 2 , i = 1 ，其中a t 是对角元为v a r ( y i ) 的对角阵， 冠( 口) 为带有未知讨厌参数口的工作阵忍( q ) 可以特殊的选取为一些常见的相关阵，如可交 换阵和a r ( 1 ) g e e 估计是通过解方程( 2 3 ) 来得到的 下面的定理给出了g e e 估计的大样本性质： 记n ，口的估计分别为a ，西，声 定理2 1 在弱正则条件下，满足 以j 在给定p 和下，a 是相合的 俐在给定p 下，是壶相合的，并且 例i 掣i 日( y p ) 是o p ( a ) 的 那么壹( 万一p ) 服从均值为o ，协差阵为 nnn w = ( 彪k 。1 脚- 1 彪k q 例( 讥) k 。1 埘( 一皿) 以 4 320 = 他 一 肌 一 k p 僦 东北师范大学硕士学位论文 的渐进正态分布。 证明详见l i a n g & z e g e r ( 1 9 8 6 ) 附录 2 2q i f 用于纵向数据分析 在g e e 模型中，无论工作相关阵的选择正确与否，我们都可以得到参数的相合估计，但 是工作相关阵的选取却会影响得到的估计的效率。q ue ta 1 ( 2 0 0 0 ) 中提出的q i f 方法则避免了 选取工作阵的问题，他们把工作相关阵用一些初等矩阵的线性组合来表示，即 m 月= n f 舰 ( 2 4 ) l = 1 等相关阵时，即r c 。，= 1 a - o ) ，则冗一1 c q ，可写成n t 尬+ n z 尬，尬为单位阵， 尬= l o ： 1 )，：孚里口=一cn一2，n+，七，口。=q七-，其中南，=c扎一，。2一c佗一i，a一 ，1 1 为r 的维数当r ( a ) 为一阶自回归阵时，则r 一1 = a l m l + a 2 m 2 + n 3 慨，其中m 2 为次对 角元为1 ，其他元素均为0 的矩阵，m 3 为( 1 , 1 ) 和( i i ，1 1 ) 处元素为1 ，其余元素为0 的矩阵， 通常 毛是一个小的边界修正，可以忽略这里a l = ( 1 + a 2 ) 肚2 ，a 2 = 一口惫2 ，a 3 = 一o t 2 k 参，其 中k 2 = 1 0 1 2 将方程( 2 4 ) 代入( 2 3 ) ，我们有以下估计方程 g 疋a i 5 1 ( n 1 尬+ + n m ) a _ 5 1 ( 玑一胁) ：。 ( 2 5 ) 其中觑是胁关于p 求偏导，a 是对角元为v a r ( y i ) 的对角阵，考虑扩展后的得分函数 种焉和= 斋巨篡芝 注意到方程( 2 5 ) 是( 2 6 ) 的线性组合 5 62 、l， ) ) 阮 m 一 一 东北师范大学硕士学位论文 通常- ( p ) = 0 是没有解的，因为它的维数比未知参数多，包含的估计方程比参数多，因 此我们可以优化这些估计方程估计口可以通过使弧中的r 个估计方程的线性组合接近0 ， 其中r 口即 矽= a r g 砸n 办w 1 r( 2 7 ) h a n s e n ( 1 9 8 2 ) 指出，当7 是弧的方差阵时，西是有效的。从直观上讲，仉7 1 对有较大方差 的估计方程有较小的权基于扩展得分- ，我们定义二次推断函数 q ( p ) = - ，( p ) ( 系1 ( 序) 虿( 口) ( 2 8 ) 其中c k = 1 n 叁1 仇( p ) 9 ( 口) ，为一个m q m q 的矩阵。向量口的估计即为使方程( 2 8 ) 的q 函数达到最小的估计值值得一提的是，目标方程( 2 8 ) 只包含回归参数口，并且只有由来自 工作阵的基本矩阵组成换言之，q i f 估计万= a r gm i n 口q ( 卢) 的得到并不需要估计讨厌参 数。因此，q i f 方法不依赖于相关阵的参数是否有一个恰当的估计另外，既然估计是通过 使q 函数达到最小得到的，那么就存在一个唯一的解集从而避免了多重根的问题 使q t 达到最小等价于解下面的估计方程为： 专“( 卢) = 2 “1 9 ；v 一9 知1 “1 9 n 20 ( 2 9 ) 其中，弧是m 口口矩阵 o g n o n ，“是三维数组( a 嘶a 口1 ，o c n o & ) ，并且9 知1 “1 9 l v 是一个qx1 向量 9 知c 葑1 ( a c n a z i ) c ；1 9 j r ：i = 1 ，口) 为了解决方程( 2 9 ) ，我们采用牛顿算法，这需要q n 关于p 的二阶导： 专亩= 2 雪知1 雪+ 凰， 其中r ；v = 2 i j 7 1 9 一的知1 “1 9 n 一咖1 西1 9 n 这里氐是一个四维数组 a 2 粥够： t ，j = 1 ，口) ，并且西1 氐吒1 9 n ，是一个qxq 矩阵1 ( a 2 嘶粥够) 19 a ：z ，j = 1 ，g ) 因为砾是d p ( 1 ) 的，所以我们可以近似的得到 专亩( p ) = 2 雪1 雪 那么用牛顿迭代法得到的关系式为： 弘+ 1 ) = 萨) 一句i l ( 弘) 0 7 、r ( 弘) 关于q i f 的一些大样本性质，证明可以详见r a m a n is p i u a & c a t h e r i n el o a d e r ( 2 0 0 5 ) ，这里 我们简述如下： 6 东北师范大学硕士学位论文 假设a 1 ( k 砰) 是来自礼( q + 1 ) 维分布f 的独立样本，其中五= ( 置1 ，墨礼) 是第i 个 个体的q n 维设计阵，i = 1 ， 定理2 2 令岛为真实的参数向量，在假设a j 下，若口= 岛， 歹 r ( 口) 兰e 磊 9 1 ( 序) ) = 0 并且、丙；( 岛) 三r o ：踟( 岛) ) 其中r = q m ，邱( 岛) 是9 1 ( p ) 在岛的真实协方差阵。 假设地对e 踟 9 1 ( 口) ) = 0 ，当且仅当厣岛时，参数8 是可估计的。 定理2 3 ( 西( 口) 的相合性) 在假设a j 和a 2 下，当n o o 时， 西( p ) 骂 9 1 ( 跏 ( 口) ) ：= 踟( 口) 假设a 3 矩阵踟( 序) 是严格正定的。 假设a 4 卢的参数空间召是列紧的。 假设a 5 期望 飘( 厣) ) 存在，并且在p 处连续，对v p 召是有限的 引理：( 风的相合性) 在假设a 4 - a 5 下，q i f 估计对邯8 是有限的 风：= a r g m i 日n q ( p ) 存在，并且当n o 。时，氐竺。岛为得到鼠的渐进分布，记 d ( p ) ：= 品9 1 ( 卢) ) = v 夕1 ( 卢) ) 由强大数定律，有 v 鲫( p ) 三e k v 夕1 ( 卢) ) = d ( 口) 假设a 6 对每个个体的得分方程吼( 序) ( i = 1 ，) ，都存在关于卢的一致连续二阶导。 定理2 4 ( 蔚的渐进正态性，在假设a j a 艿下，当n 一。时，蔬的渐进分布为何( 氨一 岛) 三口 o ，j 一1 ( 岛) ) 其中，( 肺) = d 丁( 阮) 茗( 岛) d ( 肺) 假设a 7 - ( 卢) 和民( 卢) 的一阶导，二阶导都有限 定理2 5 在假设a 7 下，当n o o 时， 夏杀v q | ( 岛) 三q o ，。( 岛) ) 存在一个在卢处连续的非随机阵y ( 口) ，使得 素v 2 q ( p ) = y ( 卢) + d p ( 1 ) 其中y ( 岛) = 厂( 阮) ，误差项唧( 1 ) 在紧集中一致 7 东北师范大学硕士学位论文 2 3g e e 与q i f 的对比 g e e 的优点在于当相关阵近似的很好时，g e e 的估计是有效的。g e e 方法可以在很多 统计软件中实现。而且只要线性预测和l i n k 函数是正确的，不论协差阵结构如何，g e e 的估 计都是相合的但是由于g e e 缺少像似然比检验那样的推断函数，所以很难进行模型的拟合 优度检验。g e e 的参数估计对于某些异常值是很敏感的。当相关阵结构错误时，g e e 的参数 估计是无效的，而无效的估计可能导致假设检验得出错误的结果。由于缺少一个目标方程，使 得得到的估计方程结果不收敛，并且存在类似于准似然方程估计方程的多重根问题。 q i f 的优点在于不论相关阵的结构如何，参数的估计都是有效的。包含一个x 2 推断函数 用来做拟合优度检验和回归误差设定。无论相关阵的选择如何方程都服从x 2 分布。具有类似 于l r t ( 似然比检验) 的拟合优度检验，因此类似于a i c 和b i c 的模型选择准则的扩展是自 然的通过加权矩阵使用“自动减权策略”，使得即使有异常值，参数的估计仍是稳定的。当 假设相关阵的结构为独立情形时，q i f 给出的结果类似于g e e 虽然没有现成的软件程序， 但可以下载s a s 宏。目前仅适用三种工作阵的情形：独立、可交换和a r ( 1 ) 。 8 东北师范大学硕士学位论文 3g e e 与q i f 的模拟比较 3 1 正态数据时工作阵的选取对估计的影响 当真实相关阵是确定的时候，q i f 方法得到的估计值和准似然估计方程得到的估计一样 有效而且当相关阵选择有误时，q i f 方法得到的估计仍然是有效的。本节我们分别就正态数 据用g e e 方法和q i f 方法得到的估计效率进行模拟比较下面我们比较g e e 方法和q i f 方 法得到参数估计的相关效率s r e ，即在产生数据并选好相关阵以后，我们比较两种方法均方 误差( 厨一序1 ) 2 + ( 磊一z 2 ) 2 的均值之比具体定义如下： 伽= 器 这里我们选用恒等联系 u ( x t ，) = z 磊p ， 其中z 玉= ( z 护1z 毳) ，p = ( p 1 ，侥) 7 ，这里取i = 1 ，2 0 ，t = 1 ，1 0 。协差阵z ，z ；分别独立 的来自一个多元正态分布，均值为( 0 1 ，0 2 ，1 0 ) ，协差阵为i 响应变量定义如下： y i = 伪z i + 仍z i + 旬， 其中厚1 = 岛= 1 并且岛来自一个均值为0 ，边缘方差为1 的1 0 维正态分布，真实相关阵分 别为a r ( 1 ) ，e x c h a n g e 结构，自相关系数分别为口= 0 3 ，口= o 7 我们用r 语言进行模拟，可 以得到下表： 表3 1w o r k i n gr n u erq a r ( 1 ) e x c h a r ( 1 ) 0 30 8 4 2 31 1 6 2 2 0 70 7 7 6 51 8 1 7 4 e x c h0 30 9 7 3 50 7 6 7 5 0 70 9 0 6 00 6 7 4 3 从上表我们可以看出，当真实阵为a r ( 1 ) ，工作阵为可交换情形时，s r e 值大于1 ，说 明q i f 方法要优于g e e 方法，当真实阵为可交换阵，工作阵为a r ( 1 ) 时，两者的均方误差相 近，估计结果近似相同而当真实阵与工作阵相同的情形时，g e e 方法要优于q i f 方法，尤 其是当工作阵和真实阵均为可交换的情形 9 东北师范大学硕士学位论文 下面是样本量i 取1 0 0 的结果： 表3 2w o r k i n gr t r u er o a r ( 1 ) e x c h a r ( 1 ) 0 30 9 7 7 91 3 0 6 5 0 7 0 9 2 0 8 1 9 6 2 0 e x c h0 31 1 4 3 30 7 6 7 5 0 71 0 3 3 60 6 8 7 4 这个表说明当样本量较大时，如果真实阵和工作阵不同，此时s r e 值大于1 ，q i f 方法 要优于g e e 方法；当真实阵和工作阵均为a r ( 1 ) 时，两者的结果很相近；当真实阵和工作阵 均为可交换阵时，g e e 方法要优于q i f 方法。 我们知道当工作阵为独立情形时，两种方法是一样的，得到的估计值相同当真实阵为独 立情形时，随机数的产生和模型不变，工作阵为a r ( 1 ) 时，s r e = o 8 2 8 2 ，工作阵为e x c h a n g e 时，s r e = o 9 9 8 9 ，说明当真实阵为独立情形，工作阵为a r ( 1 ) 或等相关时，两种方法所得 的结果相近 3 2 两值数据时工作阵的选取对估计的影响 本节我们就两值数据用g e e 方法和q i f 方法得到的估计效率进行模拟比较这里我们 仍用上一节的s r e 值来比较两种方法假设有1 0 0 0 个个体( i = 1 ，1 0 0 0 ) 和4 个时间点 ( t = 1 ，4 ) ，当真实相关阵分别为a r ( 1 ) 结构时，自相关系数o l = 0 5 所选的模型为： 。 k 若) = 肺+ b i ( t - - 2 5 ) 其中i = 1 ，1 0 0 0 ：t = 1 ，4 ，假设肺= 1 ，卢l = 1 ，当工作阵为a r ( 1 ) 时，s r e = o 9 8 4 5 ， 工作阵为e x c h a n g e 时，s r e = 0 9 9 8 9 当真实阵为e x c h a n g e 时，自相关系数q = 0 2 ，所选 模型不变，当工作阵为a r ( 1 ) 时，s r e = o 9 9 5 4 ，工作阵为e x c h a n g e 时，s r e = o 9 9 8 9 结 果见下表； 从这个表中，我们可以看出无论工作阵的选择正确与否，两种方法得到的估计都是近似相 同的 1 0 东北师范大学硕士学位论文 表3 3w o r k i n gr t r u ern a r ( 1 1 e x c h a n ( 1 ) 0 50 9 8 4 50 9 9 8 9 e x c h0 20 9 9 5 40 9 9 8 9 4 附录 表3 3 的程序：这里只给出真实阵为a r ( 1 ) ，工作相关阵选为e x c h 的程序，其他情况的 程序可以类推，具体如下： 带孝边缘均值轷券 u l = e x p ( - o 5 ) ( 1 + e x p ( - o 5 ) ) u 2 = e x p ( o 5 ) ( 1 + e x p ( o 5 ) ) u 3 = e x p ( 1 5 ) ( 1 + e x p ( 1 5 ) ) u 4 = e x p ( 2 5 ) ( 1 + e x p ( 2 5 ) ) u = c ( u l ，u 2 ，u 3 ，u 4 ) 带孝舞协方差矩阵孝孝舞 s i g m a = d i a g ( 1 4 1 ： a t f = 0 5 ： f o r ( ii n1 ：4 ) f o r ( ji n1 ：4 ) 。 s i g m a i ? j = a l f ( a b s ( i j ) ) ； ) ) # # # s i m u l a t i o n1 0 0 0 次带孝舞 查韭塑堕塑曼堕堂焦迨塞 l i b r a r y ( b i n d a t a ) l i b r a r y ( c l a s s ) l i b r a r y ( e 1 0 7 1 ) l i b r a r y ( m v t n o r m ) y2 r m v b i n ( 1 0 0 0 ，m a r g p r o b = 让b i n c o r r = s i g m n ) t y = t ( y 1 y y = a 8 v e c t o r ( t y ) x = m a t r i x ( c ( r e p ( o 4 0 0 0 ) ) z t r o c t t = 1 0 0 0 ) t i m e = m a t r i x ( c ( r e p ( o 4 0 0 0 ) ) 佗九嫩，= 1 0 0 0 ) f o r ( ii n1 ：1 0 0 0 ) x i ， = c ( r e p ( i 。4 ) ) t i m e i ，】= c ( 一1 5 一0 570 5 1 5 ) ) i d = a 8 v e c t o r ( t ( x ) ) t = a 8 v e c t o r ( t ( t i m e ) 1 s h u j u = d a t a f r a m e ( y y ，i d t 1 舞社铮券g e em o d e le x c h 社孝斧孝 l i b r a r y ( g e e p a c k ) m 1 。g e e s e ( y y “t , i d = 1 d ，d a t a = s j i z 幻札，r s t r = ，e x c h 。n g e 。b l e , ，口m i l y ；”兢n 。m i n f ，) s u m m a r y ( m 1 ) g e e e x c h ，j 】- m 1 【 1 舞释券群q i fm o d e le x c h 券孝券孝 l i b r a x y ( q i f ) m 2 一q i f ( y y ”正掰= i d d a t n = 8 h u j u ，n m i l y = ”b i n o m i a l , c d 7 8 t r ：”e z c 施礼夕e n 6 f e ”) s u m m a r y ( m 2 ) q i f e x e h ，州= m 2 【 8 】 j = j + 1 ： 一 东北师范大学硕士学位论文 私孝轷社g e em o d e le x c hm s e 孝孝群孝 m g e e e x c h = r e p ( o m 1 f o r ( ji n1 ：m ) m g e e e x c h b 】= ( g e e e x c h 1 ，j 一1 ) 2 + ( g e e e x c h 2 ，j 】一1 ) 2 ) m e g e e = m e a n ( m g e e e x c h 、 券券孝孝q i fm o d e le x c hm s e 券券券轷 m q i f e x c h = r e p ( o m 1 f o r ( ji n1 ：m ) m q i f e x c h d = ( q i f e x c h 1 ，j 】一1 ) 2 + ( q i f e z c h 2 ，翻一1 ) 2 ) m e q i f = m e a n ( m q i f e x c h l 8 f e = m e g e e m e q i f 东北师范大学硕士学位论文 参考文献 【1 】d i g g l ep h e a g e r t tp l i a n gk z e g e rs l ( 2 0 0 2 ) a n a l y s i so fl o n g i t u d i n a ld a t as e c o n de d i t i o n o x f o r du n i v e r s i t vp r e s s 【21h a n s e nl ( 1 9 8 2 ) l a r g e s a m p l ep r o p e r t i e so f g e n e r a l i z e dm e t h o d so f m o m e n t se s t i m a t o r s e c o n o m e t r i c a ； 5 0 ：1 0 2 9 - 1 0 5 5 文 【3 】l i a n g k y z e g e r s l ( 1 9 8 6 ) l o n g i t u d i n a ld a t aa n a l y s i su s i n gg e n e r a l i z e dl i n e a rm o d e l s b i o m e t r i k a 7 3 1 3 2 2 【4 】m c c u l l a g h p ( 1 9 8 3 ) q u a s i l i k e l i h o o df u n c t i o n s a n n s t a t i s t 1 1 ，5 9 - 6 7 【5 】m c c u l l a g h ，p n e l d e r ，j a ( 1 9 8 9 ) g e n e r a l i z e dl i n e a rm o d e l s ，2 n de d n e wy o r k ：c h a p m a na n d h a l l 【6 】q ua s o n gp x k ( 2 0 0 4 ) a s s e s s i n gr o b u s t n e s so fg e n e r a l i s e de s t i m a t i n ge q u a t i o n sa n dq u a d r a t i c i n f e r e n c ef u n c t i o n s b i o m e t r i k a ：9 1 ：4 4 7 - 4 5 9 【71p a nw ( 2 0 0 0 ) m o d e ls e l e c t i o ni ne s t i m a t i n ge q u a t i o n s b i o m e t r i c s2 0 0 1 ；5 7 ：5 2 9 - 5 3 4 【81q ua l i n d s a yb g ，l ib ( 2 0 0 0 ) i m p r o v i n gg e n e r a l i z e de s t i m a t i n ge q u a t i o n su s i n gq u a d r a t i c i n f e r e n c ef u n c t i o n s b i o m e t r i k a ：8 7 ：8 2 3 - 8 3 6 【91q ua ，l i n d s a yb g ( 2 0 0 3 ) b u l d i n ga d a p t i v ee s t i m a t i n ge q u a t i o n sw h e ni n v e r s eo fc o v a r i a n c e e s t i m a t i o ni sd i f f i c u l t j o u r n a lo fr o y a js t a t i s t i c a ls o c i e t y , s e r i e sb ：6 5 ：1 2 7 1 4 2 【1 01b r u c eg l i n d s a y & a n n i eq u ( 2 0 0 3 ) i n f e r e n c ef u n c t i o n sa n dq u a d r a t i cs c o r et e s t s s t a t i s t i c a l s c i e n c e v 0 1 1 8 n o 3 3 9 4 - 4 1 0 【1 11a n n i eq u & p e t e rx - k s o n g ( 2 0 0 2 ) t e s t i n gi g n o r a b l em i s s i n g n e s si ne s t i m a t i n ge q u a t i o na p - p r o a c h e sf o rl o n g i t u d i n a ld a t a b i o m e t r i k a ；8 9 ，4 p p 8 4 1 8 5 0 【1 2 】c a t h e r i n el o a d e r & r a m a n is p m a ( 2 0 0 7 ) i t e r a t i v e l yr e w e i g h t e dg e n e r a l i z e dl e a s t s q u a r e s f o re s t i m a t i o na n dt e s t i n gw i t hc o r r e l a t e dd a t a ：a ni n f e r e n c ef u n c t i o nf r a m e w o r k j o u r n a lo fc o r n 一 p u t a t i o n a la n dg r a p h i c a ls t a t i s t i c s ，v o l u m e1 6 ，n u m b e r4 ，p a g e s9 2 5 - 9 4 5 【1 31q ua ，l ir ( 2 0 0 6 ) q u a d r a t i ci n f e r e n c ef u n c t i o n sf o rv a r y i n g - c o e f f i c i e n tm o d e l sw i t hl o n g i t u -j d i n a ld a t a b i o m e t r i c s ；6 2 ：3 7 9 - 3 9 1 【1 4 】a n n i eq uj j a c kl e e & b r u c eg l i n d s a y ( 2 0 0 8 ) m o d e ld i a g n o s t i ct e s t sf o rs e l e c t i n gi n f o r m a - t i v ec o r r e l a t i o ns t r u c t u r ei nc o r r e l a t e dd a t a b i o m e t r i k a 。9 5 4 p p 8 9 1 9 0 5 【1 5lp e