（物理海洋学专业论文）浅水非线性不规则波传播数值模拟.pdf

摘要本文根据缓变水深、水位、流场波浪传播非线性模型，建立基于离散谱方法的不规则波传播联合折射、绕射数学模型和模拟谱及其参数分析算法。同时采用折射理论解、线性和非线性模式等三种模型模拟不规则波二维方向频率谱、一维频率谱和以有效波高、平均周期为特征波要素的规则波等三种类型波浪的传播变形。提供不规则波传播变形二维谱及其谱参数( 主波向及平均波向、峰频及谱峰值、谱宽度、平均周期、平均波长、平均波峰长度及三维性指标等等) ，不规则波一维频率谱及其谱参数和规则波变形的波高、波向模拟值。本文采用三种方法计算平均波向、四种方法计算平均波长并进行比较分析。综合分析比较表明不同数学模型、不同波浪类型模拟结果存在明显差异，尤其在相对水深较浅的水域差异更显著。单纯折射模型模拟结果误差较大，表明采用不规则波方法研究海浪传播的必要性。关键词：不规则波、二维方向谱、频率谱、方向分布函数、谱特征、非线性、波浪折射、绕射a b s t r a c tac o m b i n e dr e f r a c t i o n - d i f f r a c t i o nm a t h e m a t i c a lm o d e lo fi r r e g u l a rw a v ep r o p a g a t i o na n da n a l y t i ca l g o r i t h m so ft h es i m u l a t i o ns p e c t r u ma n di t sp a r a m e t e r sb yt h em e a n so fd i s c r e t es p e c t r u ma r ee s t a b l i s h e di nt h i sp a p e r , w h i c ha r eb a s e do i ln o n l i n e a rm o d e lo fw a v ep r o p a g a t i o nf o rs l o w l yv a r y i n gd e p t h 、w a t e rl e v e la n dc u r r e n tf i e l d a tt h es a m et i m e ，t h ep r o p a g a t i o na n dt r a n s f o r m a t i o no ft h r e ew a v et y p e sa r em o d e l e db yt h r e em o d e s ：r e f r a c t i o nt h e o r ym o d e 、l i n e a rm o d ea n dn o n l i n e a rm o d e ，t h et y p e so f w a v ei n c l u d i n gd i r e c t i o n a ls p e c t r u m 、1 - df r e q u e n c ys p e c t r u ma n dr e g u l a rw a v ec h a r a c t e r i z e db ys i g n i f i c a n tw a v eh e i g h ta n dm e a nw a v ep e r i o d m e a n w h i l e ，2 - ds p e c t r u ma n dt h ec o r r e s p o n d i n gp a r a m e t e r so fi r r e g u l a rw a v et r a n s f o r m a t i o n ( p r e d o m i n a n tw a v ed i r e c t i o na n dm e a nw a v ed i r e c t i o n , p e a kf r e q u e n c ya n dp e a ks p e c t r u md e n s i t y , s p e c t r u mw i d t h , m e a np e r i o d , m e a nw a v el e n g t h , m e a nw a v ec r e s tl e n g t ha n d3 - di n d e xa n ds oo n ) 、1 - df r e q u e n c ys p e c t r u ma n dt h ec o r r e s p o n d i n gp a r a m e t e r sa n dn u m e r i c a lr e s u l t so fw a v eh e i g h t 、w a v ed i r e c t i o no fr e g u l a rw a v et r a n s f o r m a t i o na r eo f f e r e d i nt h i sp a p e r , t h r e em e t h o d sa r ec a r r i e do u tt oc a l c u l a t ea n dc o m p a r a t i v ea n a l y z et h en l e 锄w a v ed i r e c t i o n , t h es a m ea sm e a nw a v el e n g t hw i t hf o u rm e t h o d s a c c o r d i n gt os y s t e m a t i cc o m p a r a t i v ea n a l y s e s ，i ti ss h o w e dt h a tm o d e l i n gr e s u l t sp r e s e n te v i d e n td i f f e r e n c ed u et od i f f e r e n tn u m e r i c a lm o d e la n dd i f f e r e n tt y p eo f w a v e ,e s p e c i a l l yi nt h ea r e aw h i c ht h er e l a t i v ed e p t hi ss h a l l o w i na d d i t i o n , t h ee r r o ro f p u r er e f r a c t i o nm o d e li sb i g g e r , w h i c hi n d i c a t e st h a ti ti sv e r yn e c e s s a r yt or e s e a r c hw a v ep r o p a g a t i o nw i t l li r r e g u l a rm e t h o d k e y w o r d s ：i r r e g u l a rw a v e ，d i r e c t i o n a ls p e c t r u m ，f r e q u e n c ys p e c t n n n ，d i r e c t i o n a ld i s t r i b u t i o nf u n c t i o n , s p e c t r u mc h a r a c t e r i s t i c s , n o n l i n e a r , w a v er e f r a c t i o n - d i f f r a c t i o n学位论文独创性声明：本人所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果。与我一同工作的同事对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。如不实，本人负全部责任。论文作者( 签名) ：超年月日( 注：手写亲笔签名)学位论文使用授权说明河海大学、中国科学技术信息研究所、国家图书馆、中国学术期刊( 光盘版) 电子杂志社有权保留本人所送交学位论文的复印件或电子文档，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。本人电子文档的内容和纸质论文的内容相一致。除在保密期内的保密论文外，允许论文被查阅和借阅。论文全部或部分内容的公布( 包括刊登) 授权河海大学研究生院办理。论文作者( 签名) ：( 注：手写亲笔签名)年月日第一章绪论1 1 研究背景和意义第一章绪论波浪是重要的海洋动力条件之一，它们一直是施加在海岸及海洋建筑物上的重要荷载，对建筑物的安全构成威胁，同时波浪还会与水流共同作用影响建筑物周围的泥沙运动、污染物的扩散等环境的演变，与海岸工程、海上运输、海洋养殖和海洋旅游的建设与发展休戚相关。深水波浪传播进入河口、海湾及沿岸水域由于流场、水位和水深不均匀变化、曲折多变边界和各种不同型式建筑物的影响引起波浪折射、绕射、反射、波能耗散等传播变形，其物理现象极为复杂。从能量角度出发，这种影响大体可以分为三种形式：一是地形引起的变浅作用，它通过水深变浅使波动能量积聚；二是地形和水流引起的波浪折射、绕射和反射，它通过调整波浪的传播方向，使波动能量在水平空间上发生辐聚、辐散。最后还有底摩擦、破碎作用和当地风场影响，它在波动底部与内部损耗波动能量，导致波浪衰减和风能摄入增长。随着航运事业的迅速发展和人类对海洋资源的开发利用不断的深入，研究波浪传播的变形规律具有重要的学术和工程应用意义。1 2 波浪传播研究方法和进展概况天然海浪具有三维性、频散性、非线性和随机性等特性。现场观测可获得天然海浪的波动时间过程( 单点或多点观测) 和空间过程( 航测或遥感) 等基础性资料，但由于现场水域多种海洋动力因素综合影响，现场观测实施困难且费用昂贵，故现场观测资料和系统研究成果相对很少。物理模型试验可重复和概化所模拟研究的波浪问题，有助于探讨其变化规律，但存在模型相似和比尺效应问题。波浪理论分析一般只能获得简单、概化问题的解析解，但它是建立波浪数学模型的依据，对现场观测和物理模型试验也有指导意义。随着计算机软、硬件技术以及波浪理论和数学计算方法的迅速发展，使用数学模型来模拟波浪的传播变形变得快捷而有效，正成为日益重要的研究途径。在实际工程问题中，由于数学模型避免了物理模型中的比尺效应问题，同时可以处理大空间范围问题，并且可以通第一帝绪论过修改不同的输入条件比较不同方案。因此，数学模型在研究波浪、潮流及其它流场以及岸滩冲淤变化方面也得到了越来越广泛的应用。此外，利用数学模型计算结果来给定物理模型边界条件的复合模型逐渐增多。目前研究波浪传播变形可分为规则波和不规则波两大类1 1 5 j ，而且以前者为主。规则波方法主要探讨近岸波要素( 波高、波向、波长) 演变规律，线性规则波传播研究已较为成熟，近来非线性规则波传播研究日益成为前沿热点。不规则波，特别是二维( 多波向) 不规则波的传播问题研究相对较少，非线性问题研究更少。天然海浪可视为许多不同振幅、频率、波向的组成波随机迭加的波动现象。一个不规则波系含有主波向及其两侧波向分布( t s 向分布函数) ，也含有从低频至高阶的频率分布( 频率谱) ，所包含的组成波中有浅水长波至深水波，所以波动水面的二维性和非线性已经引起研究者的重视。不规则波传播数值模拟研究以谱方法为主，即根据深水( 入流) 边界给定的入射波谱探讨其在浅水域的谱分布的演化及其谱参数( 主要为波高、平均周期、主波向) 的变化规律，其关键在于获得谱的传递函数。直接研究不规则波传播过程中的时、空随机过程( ，7 ( ，i x ，y ) 、叩( 工，yj t ) ) ，由于计算复杂性较少进行。虽然利用上述谱方法获得演交的波谱结合不规则波流体动力模型复演时、空随机过程，进而研究表视波的概率分布( 波高、周期及其联合分布、极大、极小值分布等等) 和波群特性，但此类数学模拟研究也很少见，多数借助于天然现场观测和物理模型试验研究。1 3 波浪传播数学模型概述目前已提出的波浪传播数学模型可概括为四大类：一是1 9 4 0 1 9 5 0 年代提出并逐渐完善的线性波折射数学模型( 以波能或波作用守恒方程为主的控制方程组) ：二是1 9 7 2 年后提出的线性波联合折射一绕射数学模型( 或称线性缓坡方程) ；三是1 9 6 7 年后提出并仍在完善的非线性长波传播数学模型( 或称b o u s s i n e s q型方程) ：四是近1 0 多年来提出的少数完全频散性的非线性波传播模型。这些数学模型首先是针对规则波提出的，随后逐渐进一步推广于不规则波，并仍须相应的继续发展。兹简要概述如下：第一帚绪论1 3 1 线性规则波折射数学模型及其解析解、解析一数值解基于波浪传播变形时波要素缓慢燹化假定，井利用均匀水深线住坡理论解研解建立的波浪折射控制方程组i 卜忱妒2 1 】如下：1 3 1 1水流中波作用守恒方程詈冉+ 西) 彳= g ( 舻w a( 1 - 1 )或詈+ 昙似争堋鼽i = l ，：( 1 ”1 3 1 2频散方程绝对频率珊= o r + 一k 一u = o r + k , u , = 暖，t ，与) ，i = 1 , 2( 1 - 2 )固有频率盯= ( 一k - 可) ，口2 = g k t h k h ( 1 - 3 )绝对波速c = c a k相对波速c b o r k相对群速c 。, = 瓦0 0 r = 筹( 1 + 磊2 夏k h - ) ( 1 - - 4 )群速矢一c g 写十可= 噜，争，警= 熹= c 。专+ u c t - 5 )波数与波向口孟= ( 置，岛) = ( k e o s a ，k s i n o t )( 1 6 )1 3 1 3波数守恒方程和波数矢无旋性方程丝+ v 口：盟+ v 缈：0( 1 - 7 )西西或警+ ；v = 詈+ 等警= 詈+ 警= oc t 波数无旋性方程：v 。j i ：o k _ _ l ：姿一誓：o( 1 8 )o x ,o x la x ，积或丝：三丝( 1 8 ) ，或o s ”ko ll 卜6 131 4漓能佶涕谏陪( 群谏) 、波数变化率、频率变化率、波向变化率d x , 施讲微( 1 - 9 )第章绻论丛：一塑：一( 一o a o h + 七坐)d t凼c 、a h 敏j 瓠；。堕：生韭：一丝：一臣一o h + j 一o u )d t七d t国、劬盘西。塑：塑：一擘丝墟驾d ta、8 ha t。a i 。塑：一三丝：三( 一s i n 口鱼+ c o s 口韭) ：一三( 丝丝+ j 丝)i i 百2 i ( - 8 眦言懈螂孑) 一i 酉面。虿)式中：x ，y ( x t ，屯) 位于静水面的直角坐标，z 轴竖直向上；j ，卜一位于静水面的波向线及其正交线( 波峰线) ；aaa面2 c o 孵否一湖口瓦饼珊优aaa卅c o s l 2 + s i n 口一西缸锣( 1 - 1 0 )( 1 1 1 )( 1 1 2 )( 1 一1 3 )旦：咖口旦+ 伽口旦，旦；一瑾旦+ c a 旦(114)sin丽2 湖口丽+ 伽口面面。一瑾否托a o yu e = ；p g h 2 波能a = e i o 波作用h 、国、o r 、鼠口分男d 为波高、频率绝对值、固有频率、波数、波向；p 、g 、l i r 吩别为密度、重力加速度、水深；u = ，y ) = ( q ，) - 水流水平流速；g ( 4 ) = g ；+ g 0 源函数( 风能摄入、波能耗散)1 , 3 1 5水流中波能守恒方程体辑2 7 一 1_ o a e + 拶o 劬吣等= 筹冉( c s + 啦+ i s , ，百o u , 蝇尝+ 百o v a ) + 警】- g ( d式中：波浪辐射应力瓯= 下c s 一孑e + 乞 一j 1 ) e吒= 鼢04 ( 1 1 6 )第一章绪论1 3 1 6时均波流动量守恒方程2 7 1 。警+ g 詈+ 去毒品= 孟1 3 1 7时均波流质量守恒方程味7 1 。+ 1 舢p 鲁+ 昙c 厕+ 扣= 。式中：瓦、玎分别为时均波一流流速分量和时均波面。1 3 1 8无流情况( c 向)( 1 - 1 7 )( 1 1 8 )詈+ v ( 卒) = 虿o e + 丢( 鲁司= 詈+ ! 。a 国e c 。6 = 矾e ( 1 - 1 9 )或定常波v ( 窜) = 昙6 = w , b e式中：m 2 = 盯2 = g 缸h k h娶+ v 埘= 0 ，或= c o n s t西9 屉o ，或警= 等堕：一塑d t融1 3 1 9水流中定常波传播变形解析解( 1 2 0 )对于等深线是平直直线( 厅= 厅俐) ，水流流向垂直于等深线( 一u = 西( x ) ) 特例、定常波传播变形解析解如下：( 1 ) 有限水深情况6 2 4 生：生：竺：丛! 丝2 ：垒k 。acbb 15 ( 1 2 1 )：| k 7一_“笠一kk 咖手专+ 宝眦瞄咖笠一笠&或第一章绪论式中：弘= 弘c , ，罗= t h k h ，反= t h k h 川+ 【l + 等c ，钞叫= 罴，口2 = ( 一k v ) 2 = g k f l ，a 1 2 = ( m 一乜以) 2 = g k 压以上公式中带脚标+ 号为入流边界初始值。( 2 ) 深水波情况h m k 允c 4 ( 1 + ) 2乞且cb 2c bc 2 ( 1 + )日一t+一)2(1+2)1l，24(1瓦1i 石面一j式中： 2 u g ，g = 鲁，占= l + 【l + 詈( 1 + 订”一= g k ，衫= g 幺1 3 1 1 0 水流中定常波传播折射变形解析解( 1 2 2 )( 1 2 3 )( 1 2 1 )( 1 - 2 2 )( 1 2 3 )对于等深线是平直直线( = 矗例) ，水流流向沿等深线( u = 0 ，玑= 矿( 功)特例，定常波传播折射解析解如下：( 1 ) 有限水深情况1 6 2 4 等昙= 争= 砉= 詈= 丢c t + 气孚蜘碥) 2s l n 瓯戽正f 麒g 二：导( 1 + 掣s i n 识)c 屈、a ( 1 2 4 )( 1 2 5 )面堕u口一制一“鼎错第一章绪论c 尝) 2 - c 专等卅了v - v 一叫= 霄c c x ，五s i n 嚣2 az s ，瓦甲：以= 一疋ks i n a ) = g l 肛，c = 仉k ( 2 ) 深水情况1 4 一枷粤：喜：冬：( 1 v - _ l s i n 以) 2 ( 1 - 2 4 )s m 口丘o - ! ：( 1 + _ v - v s i n 以) 一( 1 2 5 )厶己e h ) 2 ：兰咝( 1 - 2 6 )、凰7s i n 2 a式中：函2 = ( c o 一疋ks i n m ) 2 = g l ，& 。= 仉l1 3 1 1 1 无流水域定常波折射变形解析解及解析一数值解( 1 )当源函数为零时定常波波能守恒方程为昙晖( 1 - 2 7 )其解析解为：五q 6 = e q 良= c o n $ t ( 沿波向线)( 1 2 8 )波向线由下列微分方程组确定：d r = d s c o s a ，a y = d s s i n a( 1 - 2 9 )警= c 口詈+ 血口等= c 一咖口芸+ c o s 口争= 善m s o ，i _ c 咖面+ 3 m 口面2 i ( 一锄口瓦3 口2 i 瓦- 3 丢警= ( 一咖口面o a + c 。s 口面o a j = 鲁( 1 3 1 )i i 5 ( 一8 m 口石_ + 。0 8 口j f 2 j rl 3 1 ( 2 ) 当源函数只考虑底摩阻能耗影响，波能守恒可改写为6 2 1 1扣啊咖护叩叫一妻舞( 1 - 2 7 ) 或( 日2 c 6 ) 。”d ( h 2 q 6 ) = 一西= 一丽4 ft 再c o 而)7 型二垦竺堡其解析解为器十瓜舛或日= k 。k r k ，且热e = 移巧= 钞2 一p ( 一五1 ： f d 穰a 瑚( 1 - 2 8 ) ( 1 - 2 9 )( 1 - 3 0 )( 1 3 1 )巧= ( 1 + 砂时帅乃= 丽2 0 7 3 h 0 3 蟹凼( 1 ，2 )( 3 ) 平行等深线特例( h ( x ，y 户h ( x ) ) 解析解：a 、源函数g = ok s i n a = 丘s i n a = c o n s t s n c l l 定律h 2 c c o s f r = 见2 e 。c o s 以= c o 舾tb = c o s ，抚= c o s 瑾或h = k s k r h 。墨=髟= 钞2 = ( 嚣) 1 ，2s i n 口乞ac_ - _ h s i n a k疋矗( 1 - 2 9 ) ( 1 - 3 0 b 、当源函数中只考虑底摩阻时的解析一数值解16 2 0 2 1 2 4 1h = k t kr k f h t 、- 2 9 ) 。式中：巧= 【l + 丽2 乏c a s 丽h ! ；7 丽k , k , ) 3 出】18 -( 1 - 3 2 ) 第一章绪论1 3 2 水流中不规则波折射数学模型1 3 2 1 离散谱谱分量( 组成波) 模式- 妄s a m + 昙( 鲁虬) = g ( ) 其中玎= ，坍= m( 1 - 3 3 )式中：艿厶= 8 e o ，占= s ( c o ，) = 三1 咫2即将不规则波连续二维方向频率谱离散为n x m 个谱分量( 组成波) 、每个组成波按规则波方法2 6 2 7 3 0 3 1 1 ( 控制方程组) 求解：万：艿吒；s ( 嚷，) a c o ，a a m 吒：r 2 ( f , 仉) 要竺譬( 墨幽)d 【，口)仉( 1 - 3 4 )传递函数z 2 ( 厂 儡) ：t 2 u ，识) 娑1 3 2 2连续谱守恒方程n 一卵2 量n ( 1 )彳( 孟) = 4 ( 毛，j 2 ) = o ( ，屯，f )了d a ( k ) = 昙觚) 呼去觚) _ g ( 础仃( 1 - 3 5 )或面d 彳( j i ) = 昙爿( _ ) + 昙噜爿( - ) ) _ g ( j i ) ，口( 1 - 3 6 )( 2 ) 彳( 乏) ：一( 皇，岛) ：4 ( x 。t ，t ) 1 3 6 、，7 l l 1 2 、珂丢砸) = 昙觚) + 鲁昙觚) +百d k , 瓦8 厕警未觚) + 警杀觚) - g 两川，宰兰彳( j ) + 宰兰彳( i )d ta m 、。d la 仪、。或瓦d 砸) = 昙爿( _ ) + 言( 鲁觚) ) + 壶( 鲁觚) ) - 砸( 1 - 3 8 )式中：彳( 七) = 4 ( ，七2 ) = 爿( 七，a ) l k = c 。彳( m ，a ) l kg = 蓑= e + u ，玑= u ic o s 口+ s i n 口一9 -( 卜3 9 )第一守孝 论堕：一塑：一( 一0 0 一o h + k 堡) jm敏。、a ha ) c i瓠。丝：一塑：一f 塑一o h + t 型)d la s、i ha s；a s ?警= 一 詈= ! 七、 - s i n a o 西k , + c o s a a k 2 ) o t = j k 毫署+ 无詈)i i 百2 七、西一嘛面批百j当水深和流速不随时间变化时：o h 西= o 、詈= o 、m = c 伽哦、掣a l = o ，则o lo f上述式( 1 3 7 ) 中含掣项消失。d t1 3 3无流水域不规则波折射数学模型及其解析解及解析一数值解1 3 3 1 离散谱组成波模式文献2 6 2 9 1 ( 1 9 5 3 ) 首先提出定常不规则波折射按规则波控制方程确定离散谱组成波折射模式，即：6 = 去p g 玎。2 = s ，a ) a f a a = r 2 ( 五，a ) s o ，。) 蜕( 1 - 4 0 )和s 瓴，) - 严瓴，m ) 鲁& ，嘞* ) ( 1 - 4 1 )此文作者采用数值计算方法3 0 3 确定上式中的传递函数和波向变化。永并康平u 2 3 ( 1 9 7 2 ) 对平行等深线特例，采用离散谱模式推导出如下解析式( 为下述l o u g u e t - h i g g i n s 一般解的特例) 。8 e = s ( f ，a ) f a a = t 2 ( 厂，a o ) s o ( f ，a o ) 鲈a a ol玖胁h 绷2 = 售，c ，学，c - 庇= k , 2 t h k h a c t o或5 e = 足。2 墨2 s o ( f ，a o ) a a o a f ( 顺向法)( 1 - 4 3 )( 1 4 4 )絷一市绪论= k , 2 s o ( f a o ) a a a f l t h k h ( 逆向法)( 1 训) 趴，口、= t k 。k 了鲁s o ( f , a o ) ( 1 - 4 5 )= k , 2 & ( ，a o ) l t h k h0 - 4 5 ) 式中：脚标带0 者表示深水入射边界特征值。1 3 3 2 连续谱模式臻m - 格抑( 1 ) s ( z ) = s ( x ，y ，)言嘶) + 巧v s ( i ) = g ( i )( 1 _ 4 7 )或昙【q s ( ，口) 明+ 虿v 【c g s ( ， 口) ，胡= g ( 厂，d ) ( 1 4 7 ) l o u g u e t - h i g g i n s ( 1 9 5 6 ) 弘3 5 首先推导出定常波谱沿波向线积分的一般解析解( g = 口) ：c c , s ( f , d 0 = c o c g o s o ( f , a 0 = c o n s t ( 1 - 4 8 )或c g s ( f ，口) 七= e o s o c f ，, z o ) g = c o n s t ( 1 - - 4 8 ) 或骶咖连争c 圳= c 鲁酣c r o ，q 圳= k 2 岛( 厂，a o ) l t h k h( 1 - 4 9 ) 因上式( 1 - - 4 9 ) 一般解析解是沿波向线给出的，如欲求某一给定点的折射谱；按通常由入射边界确定每一组成波波向线方法必须进行大量数值计算和插值( 称顺向法) ，故文献啪3 2 3 9 采用所谓的逆向法，即由欲计算点、按给定组成波频率和假定波囱( 例如一三s g 三) 逆囱确定波向线至入射边界，从而确定相应的原始入射波谱及其参数，因此可按式( 1 - - 4 9 ) 计算折射谱。( 2 ) s ( 乏) = s ( t ，t ，f )导嘶) + 鲁丢嘶) + 鲁未嘶) = g ( 幻m s o )或昙嘶) + 毒( 鲁嘶) ) + 壶( 鲁蛳) ) - g ( i )“5 1 )第一市绪论或昙华卜昙c 鲁墨竿鉴，+ 杀c 警墨竿墨，+ 昙吁d o ) 盟) ：a ( f ，口)a 、西k。k。( 1 5 2 )昙跗棚+ 昙噜町缔刍哮姒训- g ( 加)( 1 - 5 3 )昙s ( 厂+ 未【警c 。s 筘u 】+ 刍学s 口) 】+ 杀【警s ( 厂，口) 】= g ( ，( 1 - 5 4 )式中：、2 分别为地球的纬线和经线对于定常波折射( 缈c o n s t ，百d g = q 挈0 5 )讲喜孚生生等1 + 睾警亳s c ，= 睾g c 厂c t - s s ，疗口1a c1 i 2 ：( 汕口瓦一锨瓦) 。一：面或c o s 岱丢【吗跗】+ s i n 口杀【吗s 口) 】+ c ：汹口面a c - c o s 口影a c 丽as ( 厂，口) = o( 1 - 5 5 ) 文献柏( 1 9 6 9 ) 首先推导出式( 1 - - 5 5 ) 并据此采用差分法探讨平行等深线特例不规则波折射。由式( 1 - - 5 5 ) 也推导出平行等深线特例等同于式( 1 - - 4 9 ) 的解析式。( 3 ) 风浪预报的第1 、第2 、第3 代数学模型4 1 一辗1 h 1 2 川。式( 1 - - 4 7 ) 、( 1 - - 5 0 ) 一( 1 - - 5 4 ) 构成当代风浪预报数值模型。因源函数中处理非线性作用项区分为第l 代( 不考虑) 、第2 代( 假定谱型来考虑非线性相互作用) 、第3 代( 采用参数化方法来计算非线性相互作用项) ，如w a n 、s w a m p 模型等，但所有各种不同模式只考虑水深、流场的折射效应，未能计及联合绕射一折射和反射的影响，故不适用水底地形复杂变化和存在岛屿、建筑物等情况的水域。第一章绪论1 3 4 波浪传播联合折射一绕射数学模型波浪线性“缓坡方程”波浪折射数学模型描述波浪传播过程中因水域水深和流速变化引起波浪传播方向转折从而产生波能幅聚、幅散导致波高增高、减小，但波能只沿波向线( 有流时沿波射线) 传递，不存在侧向波能传递机制。因此波向线交叉情况折射模型失真。b e r k h o f f 4 7 棚( 1 9 7 2 ) 、s m i t h & s p r i n k s 4 9 1 ( 1 9 7 5 ) 分别首先提供缓变水深水域定常和非定常波联合折射一绕射线性模型线性缓坡方程。随后各国研究者提出多种改善推广和近似简化模型b o o i j b ”( 1 9 8 1 ) 、l i u 巧( 1 9 8 3 ) 、k i r b y5 2 1 ( 1 9 8 4 ) 先后提出缓变水流中波浪联合折射一绕射线性模型，各国研究者提出多种改进模型m 5 3 - 6 3 1 。1 3 4 1 无流水域波浪联合折射一绕射数学模型( 1 ) b e r k h o f f 4 7 棚线性定常波“缓坡方程”烈x ，弘z ，f ) = f ( z ， ) 中( x ，y ) e 1 4( 1 - 5 6 )v 收v m ) + 旷c e s = o( 1 - 5 7 )式中：f 亿哟= c h k ( h + 胁国2 = 脚胁，c = _ = 豢= 詈( 1 + 丽2 k h )( 2 ) s m i t h & s p r i n k s 模型7 8 1 线性非定常波“缓坡方程”o 。一v ( 。咚v m ) + 2 - k 2 c ) 垂= o( 1 5 8 )当烈x ，弘f ) = 瓴力p “即化为定常波模型( 3 ) 含有耗散项或源函数系数的非定常波传播模型洪广文6 5 3 1 提出的模型如下：中。+ 矿中，- v ( 孑t v 中) + ( 子2 - k 2 孑t 一, 0 - = 0( 1 5 9 )式中：o ( x , y ，) = ( - o r ( x ，y ，t ) e ”n = 中r ( x ，y ，t ) + i o ，( x ，y ，f )( 1 - 6 0 )例e x p ( i g ，) 一州1 + ( 詈+ 和”硎= 2 - 第一帝绪论一o _ a r e ，i 嘶，州( 詈+ 予z 如删纠+ 譬圳。= 盖)心 f 2 v f d z + 肌v u o ，儿筹( 畿) 3定常波烈y ，f ) = 中阮) ，) p 一“v ( 6 t v m ) + 七2 6 磊+ 【m 2 一厅2 + i m w 一，】) 中= o( 1 - 6 1 )上式中w = o 时即化为s m i t h & s p r i n k s 和b e r k h o f f 模式。1 3 a 2 “缓坡方程”的等价控制方程组( i )上述3 种模式为待求复函数似x ，力或中 ，y , t ) 的椭圆型2 阶偏微分方程。若待求复函数为矢量表达式，则可化为等价的直接求解波要素的控制方程组，兹以式( 1 - - 5 9 ) 为例，w + = o 则化为对应模型( 1 - - 5 7 ) 、( 1 - - 5 8 ) 。( 1 ) 波数守恒方程丝+ v 国：0 ，更：鼬( 1 - 6 2 )o t或m = c o h s t ( 定常波情况)( 1 - 6 2 ) ( 2 ) 波数矢无旋性方程v x 露：o 或丝! ! 呈监一些竺生：o ( 1 - 6 3 )0 xo y( 3 ) 波作用守恒方程旦生+ v ( 爿三至霞) ；一形彳，a ：。o r 2 ：a 2( 1 6 4 )o t、c o722 t o( 4 ) 光程函数方程k 2 _ ( 即) 2 = k 2 + 1 强r ( r ) 噜+ w ) r + 三w ”r 】 ( 1 - 6 5 )当上式最后一项可以略去时，k = k ，即绕射效应略去，“缓坡方程”a p 化为波浪折射模型。第一币绪论( 5 ) 不规则波作用守恒方程引对于不规则波，波作用守恒方程应推广为：昙肋冉睁_ 】+ 云喏舢棚】十老【等讹训- g ( 删( 1 - 6 6 )由此可见目前盛行的j 斌浪预报第3 代数学模型w a n 、s w a n 只适用于纯折射水域。此模式比原型式( 1 - - 5 7 ) 、( i - - 5 8 ) 、( 1 - - 5 9 ) 更适合大尺度海域波浪传播数值模拟，可直接求解波要素( 规则波情况) 或波谱及其特征函数( 不规则波情况) ，但若局部地形复杂、反射迭加效应极强时，计算中可能出现k 。d ，则此时计算失效。1 3 4 3“缓坡方程”的等价双曲线模式( ) 砺鲫g r t + v ( 6 唣v 哟+ ( 2 6 毛一，一矛2 ) o - - 0( 1 - 6 7 )g ，7 + ( 妄+ ) m = o 或g v 玎+ ( 昙+ ) v 中= o( 1 - 6 8 )1 3 4 4“缓坡方程”的非线性项推广文献嘲一砌首先在缓坡方程的双曲线型和抛物线型近似式中的矛2 引起非线性s t o k e s 波3 阶近似修正，即取g r , + v ( 。咚v 哟+ ( | 2 。咯一厅2 ) o = o昙g r = 0式中：矛2 - - - - ( 0 2 + 砌2 ，面= 甜咯盯，k 。= 矿d c ( 1 6 9 )d = ( c h 4 k h + 8 - 2 t h k h ) 8 s h 4 肋以上1 、2 、3 各种模式亦可作此扩展。因上式( 1 - - 6 9 ) 只适用相对水深较大水域，因此许多研究者提出不同的修正公式| 6 6 - 7 1 1 。1 3 4 5波浪传播“缓坡方程”的抛物线型近似“缓坡方程”原型为椭圆型方程，不便应用于大尺度水域波浪传播数值模拟，故各研究者提出若干抛物型近似模式| 7 2 - $ 2 1 , 以下以模式( 1 - 5 9 ) 为例：( 1 ) 定常波抛物线型近似( i ) ( 小角度入射情况) 2 7 3 7 4 7 6 8 4 第一章绪论m = 电+ 卟o , = 1 2 0 一- 2 七- a , 。，q = 圭中+ 去中，( 1 - 7 0 )州岬+ 抄等，中+ 去c 鹏，m ，- ，或o = 一i g r ( x ，j ，弦船( 1 - 7 2 )2 a g r x + 2 断g k ( 1 + 三g ) - k o r + f ( 嗽) ，r + ( 嚷b ) ，= o ( 1 - 7 3 )式中：g ： ( 2 一矛2 ) 一，+ f 矽形。：g + i g ic c c z。( 2 ) 抛物线型近似( i i ) 7 4 7 5 7 1中= o ，+ 西，中，= 三。一去q ，母，= 言m + 麦，c 一7 4 )啦= 啦+ g 卅筹m 壶c 鸭，m ，s ，或m = 一i g r ( x , y ) e v( 1 - 7 6 )2 七吆 t 哇( 1 + g ) + 等哇t 一圳胄+ f 以咆k + f 魄嘭) ，冰+ 2 a , g r ，+ ( 哆墨) ，= o( 1 - 7 7 )( 3 ) 抛物线型近似( 1 i d 8 5 5 5 1 6 硒i 取x ，y ，) = 矿( x ，y ，t ) e 一“，m 。 o 2 2 此模式失效。为扩展非线性长波方程至更深水域，近l o 多年来各国研究者分别提出改进模型或称为b o u s s i n e s q型数学模型t - 1 2 1 1 这些模型可概括为两大类：一类只着重于改善模式的线性频散特性以便应用更深水域如5 1 0 - - 2 0 ，但不适用于其他波动运动学和动力学特性( 如压力场、流速场、速度场) 。另一类则力求提供完整的波动流体动力学模型高阶、完全频散性、非线性波浪传播模型。b o u s s i n e s q 型的模式中按采用不同特征流速：断面平均和积分流速、波面水平流速、水底水平流速和任意给定水深流速等相互区别，从而具有不同的频散特性。对于不规则波情况，多数采用离散谱的组成波按不规则波的方法进行数值模拟谱分量及其参数，但计算和分析工作量明显剧增，当然理论上可按给定入射边界的波面、流速水平分量直接数值模拟相应的随机过程进而进行统计分析和谱分析，但实际操作可行性极难，目前仍处于探索研讨中。( 1 ) 均匀水深水域非线性长波方程a 、a i r y 一维浅水方程9 1 蛇1r , + 【( + 玎) 【，l = 0( i - 9 1 )u + u u + 观= o ，p = p g ( r l - z )( 1 - 9 2 )b 、二维推广形式为i , + v 【( 矗+ 叩) u l = 0( i - 9 3 )一u + 一u v u + g v r = o( 1 - 9 4 )式中：x 、y - 一水平坐标( 位于静水面) ，z 轴竖直向上j 7 波动水面，矽水平流速( 断面平均)h 、g _ 一水域水深和动力加速度c 、一维b o u s s i n e s q 方程9 3 妮r , + 【( _ i l + 叩) u l = 0( i - 9 1 )u ，+ u u + g 仉= 一尝7 。( 1 9 5 )j( 2 ) 缓变水深水域2 维b o u s s i n e s q 方程a 、p e r e g r i n e 二阶方程9 5 第一帚绪论t , + v 【( 厅+ 玎) u 】= 0( 1 - 9 3 )一u ，+ ( 西v 一) u + g v r = 昙v 【v ( 厕) ，卜喜炉v ( v 巧)( 1 - 9 6 )2ob 、a b b o te t a l 二阶模型9 6 1r , + 只+ q = 0( 1 - 9 7 )只+ ( 鲁n ( 等) ，+ 眈一譬( 气+ ) = 。( 1 - 9 8 )q + ( 等) ，+ ( 孚) ，+ 咖一了h 2 ( + 级f ) - op = ( h + t 1 ) u ，q = ( 矗+ ，7 ) y( 1 - 9 9 )式中：p ，q 分别为断面积分水平流速分量改进线性频散特性的b o u 剐s i n e s q 型方程c 、m a d s e ne ta l 改进型9 妒m 1m a d s e nc ta l 首先在a b b o te ta l 模型的动量方程中增加一个高阶项i ，使得模式的线性特性扩展至s 0 5 水域i ，= 一曰做p 埘+ 如 + ( + ) )i ，= - b h 2 ( 名+ 鳓) + ( + ) ( 1 一l o o )式中：b = l 为校正系数d 、b e j ie ta l 模型0 2 ( b 2 夕5 、o 5 )b e j ie ta l 提出在p e r e g d m e 模型动量方程中增加高阶项i ：i = b 兰v v ( 厩) 一昙v v 西一i t 办2 v v 硼)( 1 - 1 0 1 )其他改进模型( 推广至0 5 、s i o ) 见文献1 1 0 3 - 1 1 5 1 。缓变水域高频散性b o u s s i n e s q 型方程( 3 ) n w o g u 6 1 1 7 1 首先提出一个高频散性非线性波流动力模型，其中采用给定不变水深z 。处水平流速u 。作为模型的特征流速，当给定水深z 。= - - 0 5 3 h 时，模式可适用于s 0 5 的深水域。其表达式如下：第一审绪论r , + v 【( 厅+ 玎) 瓦】+ v e z 口2 _ ，1h 2 ) h v v e + ( z o + 寺h ) h v v ( 瓦) ，) = oz0( 1 - 1 0 2 )瓦+ 瓦v 瓦+ g v r + 芒z 2 v v ( 瓦) + z 。v v ( 厅瓦) ，】= o( 1 - 1 0 3 )流速场和压力场可按下列公式计算：d ( x ，y ，f ) = 瓦+ 去( 乙2 一z 2 ) v v e + ( 乙一z ) v v ( 瓦)( 1 1 0 4 )w ( x ，j ，) z v 瓦+ v ( 瓦) ( 1 - 1 0 5 )p = p g ( r l z ) + f 去z 2 甲( 巧) ，+ z v ( 厅瓦) 】)( 1 - 1 0 6 )类似的改进型模型见文献任意水深水域三维非线性与频散性高阶数学模型1 1 8 _ 1 埘( 4 ) 洪广文1 1 0 川9 1 推导出一个含有耗散项w 的高阶b o u s s i n e s q 型方程，它适用于浅水至深水、底坡较缓至较陡，可实现非线性三维问题全面数值模拟。其高阶形式表达式为：势函数伊( x ，】，z ，f ) ，d p = z 2 ”，伊= 2 ”v 纯( 1 - 1 0 7 )= 伊i ：= 吆，v = 口0 ，弘，)控制方程：珥+ 善n 2 忡” v j 一，如 = 。，= = g ，7 ( 1 - 1 0 8 )g ，7 + 薹卢h 唔+ 矿硫+ 艺艺掣2 ( 一亏1v v 纯+ 1 - - r ( q , ) ：( 协= o ，m - 0n - 0月- o厶z = 研( i - 1 0 9 )或gv吁+z2嗜+矿)v+掣封”町(vv)v+寺()：v()：=on- 0v im - 0m0，z 5 研( 1 1 1 0 )乙( x ，) ，) 为水中任意给定竖直坐标点，孑0 ，y ，f ) 为此给定点的波动势函数和水平流速分量。式中= 杉为频散性指标，占= 以为非线性指标。文中给出2 阶、4 阶显，n第一章绪论示表达式，其线性频教特征可适用于1 0 。此模型中如只取高阶式，并指定乙固定不随x 、y 、t 变化，即可化为上述n w o g u 模型。1 3 6波浪传播完全频散性非线性模型上述波浪缓坡方程虽具有完全频散性，但是线性的。而b o u s s i n e s q 型方程虽是具强非线性，但只是弱频散性，其中高阶模型虽改进频散特征，但同时增加计算难度，因此近年来不断探索具有完全频散性的非线性模型，以适用模拟波浪在水深深、浅变化水域传播的数值模拟，特别是适用于不规则波传播的数值模拟。( 1 ) 模式l ( n a d a o k a e t a l 为。，1 9 9 4 )n a d a o k a 等提出一个称为无流中“依赖于时间的非线性缓坡方程”，其表达式为：咚蠢3 2 ，一了c - - c gv ”c v ( 叫唧一扣一2 詈一等陀扔_ 0 ( 1 - 1 1 1 )其线性化形式为：