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从罗素的逻辑主义立场看他的类型论 逻辑学专业现代逻辑方向研究生谢时国 指导教师唐晓嘉教授 中文摘要 类型论是罗索逻辑主义和哲学思想发展的一个重要成果，是与其逻辑主义立场紧密联系在一起 的。可以说，类型论是罗索为实现其逻辑主义梦想而产生的一个重要理论。 本文从罗素的数学观入手，分析了罗素的数学观对罗素后来的研究的重要影响。他认为，纯粹数 学就是由所有“p q ”这种命题所构成的类，数学与逻辑只是相同学科的不同阶段而己。罗素试图 将所有的数学都从逻辑推导出来。从而实现他的逻辑主义纲领。为此他开始写作数学原理，却 发现了在当时看来似乎无法解决的“罗素悖论”。为了能完成数学原理的写作，他创造性地提出 了类型论思想。 接着，本文细致地阐述了简单类型论的建构，分析了其核心的概念，包括类型、命题函项和类型 的分层。指出简单类型论已经消除了罗素悖论，但为什么罗素要引入很少有人接受的分支类型论呢? 为此，本文首先比较分析了简单类型论与分支类型论在内容构建的区别，并进而从罗素实在论的哲 学立场角度出发，分析了从简单类型论到分支类型论的跨越是有着必然性的。 昂后，文章梳理了罗素对所受到责难的回应。在本位的第五部分，从哲学和数理逻辑两个方面对 类型论进行了评价。 关键词】逻辑主义类型分层命题函项 t h et r a n s f o r m a t i o no ft h et h e o r yo ft y p e s m a j o r ：l o g i c w r i t e r ：x i e s h i g u o a b s t r a c t t h et h e o r yo ft y p e sw a sa n i m p o r t a n to u t c o m eo ft h ed e v e l o p m e n to fr u s s e l l s p h i l o s o p h ya n dl o g i c ，a n di ti sc l o s e l yl i n k e d w i t hh i sl o g i cp o s i t i o n i tc a nb es a i dt h a tt h e t h e o r yo ft y p e si sam e a n st oa c h i e v er u s s e l l sd r e a m 。 b e g i n n i n gw i t ha n a l y z i n gr u s s e l l so p i n i o no fm a t h e m a t i c ，t h i sa r t i c l ea n a l y z et h e i m p a c t o nh i s s u b s e q u e n ts t u d i e s h eb e l i e v e st h a t a 1 1p u r em a t h e m a t i c sa r et h o s e p r o p o s i t i o n ，l i k e ”p q ”i nr u s s e l l so p i n i o n ，m a t h e m a t i c sa n dl o g i ch a v et h es a m e d i s c i p l i n e s ，b u td i f f e r e n ts t a g e s r u s s e l lh a v et r i e dt om a k em a t h e m a t i c a ld e r i v e df r o m l o g i c ，t h e r e b ya c h i e v i n gh i sl o g i cp o s i t i o n t ot h a te n d ，h eb e g a nw r i t i n gt h e ”p r i n c i p i a m a t h e m a t i c a ”，b u tt h e nh ed i s c o v e r e daq u e s t i o n ，w h i c ha tt h et i m es e e m e di n s u r m o u n t a b l e ”r u s s e l lp a r a d o x 。i no r d e rt o c o m p l e t et h e ”p r i n c i p i am a t h e m a t i c a ”sw r i t i n g h e c r e a t i v e l yp u tf o r w a r dt h et h e o r yo ft y p e s t h e n ，t h i sa r t i c l ed e t a i l e dt h es i m p l et y p et h e o r y sb u i l d i n g ，a n da n a l y z e di t sc o r e c o n c e p t s ，i n c l u d i n gt y p e ，f u n c t i o no fp r o p o s i t i o no r d e r s w ek n o wt h a tt h es i m p l et h e o r yo f t y p e sh a v ea l r e a d ye l i m i n a t e dr u s s e l lp a r a d o x ，b u tw h yr u s s e l li n t r o d u c e dt h et h e o r yo f o r d e rt y p e s t h e r e f o r e ，t h i sa r t i c l ef i r s tc o m p a r a t i v ea n a l y z et h eb r a n c h e s bb e t w e e n s i m p l e t y p et h e o r ya n dt h et h e o r yo fo r d e rt y p et h e nd e s c r i b e dt h er e a s o ni st h a tr u s s e l lw a n tt o ， h o l do nh i sp e r s p e c t i v eo ft h ep o s i t i o no fp h i l o s o p h y ，f r o ms i m p l et h e o r yo ft y p e st ot h e t h e o r yo fo r d e rt y p e si san e c e s s i t ya c r o s s f i n a l l y , t h ea r t i c l ec a m et or u s s e l l sr e s p o n s e i nt h ef i f t hp a r to ft h ef o u n d a t i o n ，a r t i c l eg i v eae v a l u a t i o n b o t hf r o mp h i l o s o p h i c a la n d s e v e r a ll o g i c a lr e a s o n s k e yw o r d ： i o g i c i s md p c s t r a t i f i c a t i o nf u n c t i o no fp i o p o s i t i o n 2 独创性声明 学位论文题目：丛星塞鲍矍塑圭幺童垣垂地盟类型诠 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导f 进行的研究工作及取得的研究成 果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经 发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得西南大学或其他教育机构的学位或证书 而使用过的材料。与我一同1 作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了 明确的说明并表示谢意。 学位论文作者：洱寸、j 孝国 签字日期：zq 。b 年f 月2 斗日 、 学位论文版权使用授权书 本学位沦文作者完全了解西南大学有关保留、使用学位论文的规定，有权保留并 向国家有关郯门或机构送交论文的复印件和磁盘，亢许论文被查阅和借阅。本人授 权西南大学研究生院可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索， 可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书，本论文：口不保密，口保 密期限至年月止) 。 学位论文作者签名：谚于t b 寸t 萄 签字日期：o6 年也月2 斗日 学位论文作者毕业后去向： l e 作单位： 通讯地址： 撕签名：柬烘 签字日期：c 为牟。年月2 午曰 电话 邮编 文献综述 类型论是罗索1 9 0 3 年出版的著作数学的原则( t h ep r i n c i p l e so fm a t h e m a t i c s ) ) ) 和他与怀特海1 9 1 0 - - - 1 9 1 3 年出版的数学原理( ( ( p r i n c i p l em a t h e m a t i c a ) ) ) 两本著作的 核心组成部分之一。由于笔者对罗素这样一个天才式的逻辑学家的思想有着很浓厚的兴 趣，决定选择类型论作为我的硕士论文的写作方向。同时，类型论又是与罗素本人所坚 持的逻辑主义立场密切相关的，因此，论文题目定为从罗素的逻辑主义立场看他的类 型论思想的演进。希望通过本文的写作，对类型论的思想发展有个清晰的认识。 目前，国内对类型论的研究很少，而且类型论研究多是对其内容的介绍( 甚至有些 内容的描述并不准确) ，而对类型论的演进，即简单类型论为什么发展成分支类型论的 论述较少。同时，笔者认为，罗索类型论思想在国内的学界未得到应有的尊重。为此， 笔者试图从罗素的数学哲学背静入手，对类型论做一个较为详细的分析梳理。 由于类型论是在罗素写作数学的原则过程中逐步形成的一个理论，而数学的 原则以及其后的数学原理目的是实现逻辑主义的梦想，就是试图把数学归结为逻 辑的演算，因此，笔者参看了我的哲学发展、现代西方著名哲学家评传、当代英 美哲学概论等书，试图对罗素的数学哲学思想有一个较为全面的理解，从而能真正了 解类型论思想的理论背景。 对罗素的逻辑主义立场，不可避免地需要讨论数学哲学等问题，而罗素本人所著的 数理哲学导论、纯数学的定义很细致地分析了罗素所理解的数学图景。并且，鲁 道夫卡尔纳普所写的数学的逻辑主义基础中对以罗素为代表的逻辑主义学派进行 了一定意义上公允的评价，笔者对上述文献的阅读加深了对类型论思想的背景理论的理 解。 本文第二部分对类型论思想的内容进行了详细易懂的梳理和阐述，这些内容集中反 映在了罗素数学原理和以类型论为基础的数理逻辑( 1 9 0 8 ) 这一论文中，该论 文编入了他的论文集逻辑与知识一书中，除了阅读这两本书之外，笔者还详细阅读 了涂纪亮所著的分析哲学及其在美国的发展、张家龙所著的数理逻辑发展史、黄 耀枢所著的数学基础引论、美国s c 克林所著的元数学导论以及美国保罗贝 塞纳夫所著的数学哲学等。 在这之后，笔者分析了从简单类型论到分支类型论的必然困境，笔者认为是罗素的 实在论立场决定了类型论的这种跨越。罗素本人发表的论超穷实数理论和序数理论的 某些困难中说明了他所坚持的是与实在论一致的无类理论，认为类是逻辑虚构，为此 抛弃简单类型论是必然的。此外，尽管类型论对消除逻辑悖论已经足够，但在逻辑与 知识中罗素已经注意到了许多其它的悖论语义悖论，这在他看来也是必须消除的。 为此罗素引入了可归约公理，发展出了分支类型论。这一转变散见于罗素所著的我的 哲学的发展。 在罗素所著的许多著作，如上文提到的数理哲学导论、我的哲学发展、逻辑 与知识等书中，都有他对类型论所受到责难的回应，此外，许多后期的论文也告诉我 们罗素是多么努力地坚持类型论的核心思想，尽管他本人对当中的诸多技术处理，比如 可归约公理的引入也常常不满意，但是他并不认为能有更好的处理方式。 对罗素类型论的评价笔者是从哲学和数理逻辑两个方面进行的。尽管类型论的困境 宣告了逻辑主义的失败，但不可否认的是无论是罗素本人还是其他逻辑学家、数学家， 如哥德尔都对类型论思想给予了很高的评价。可参阅哥德尔罗素的数理逻辑以及1 9 7 7 年大英百科全书第1 5 卷。 导言 本文所讨论的分支类型论思想是罗素逻辑和哲学思想发展的一个重要成果，是与罗 素的逻辑主义思想紧密联系在起的。可以说，类型论是罗素为实现其逻辑主义而产生 的个重要理论。罗索最早提出类型论思想是在1 9 0 3 年出版的数学的原理( n e p r i n c i p l e so f m a t h e m a t i c a s ) ) ) ( 国内学术界也有人翻译成数学的原则) 。在这本书中， 专门有一章讨论悖论，提出用类型来区分类和类的元素。之后，在数学原理( ( p r i n c i p i a m a t h e m a t i c a ) ) 一书中，罗素发展并完善了他的类型论思想。因此，考察罗素类型论思想 有必要对数学的原理( 1 9 0 3 ) 及其之后的数学原理( 1 9 1 3 ) 进行综合理解。( 罗 素本人认为，数学的原理只是数学原理的一个粗糙的、很不成熟的草稿。o 而数 学原理这本书恰恰深刻反映了罗素的逻辑主义立场。其中。类型论思想就是重要体现 之一。因此本文将从分析罗素的逻辑主义立场入手，看罗素为什么提出类型论，又为什 么发展了类型论思想。这样的发展是否必要，是否带来了新的问题，是否与罗素的最初 动因是一致的? 一、罗素类型论思想的理论背景 罗素是伟大的逻辑学家、哲学家，但他首先是作为一个数学家开始其学术生涯的。 从非欧几何建立，到1 9 世纪7 0 年代，德国数学家康托尔( c a n t o r g e p1 8 4 5 1 9 1 8 ) 建 立集合论，数学家们热衷于对数学分析，特别是微积分提供严格的基础。而在这一运动 中，以罗素为代表形成了逻辑主义这一学派，与以希尔伯特为代表的形式主义，以布络 维尔为代表的直觉主义鼎足而立。罗素对于现代数理逻辑的研究深刻地影响了他的哲学 研究，使他试图证明全部数学都是可以从逻辑中引申出来的，也可以说是用纯逻辑项来 定义数学的方法，这恰恰是罗素1 9 0 3 年出版的著作数学的原理( n ep r i n c i p l e so f m a t h e m a t i c s ) 试图实现的一个要求，这也是他与怀特海写数学原理( p r i n c i p i a m a t h e m a t i c a ) ) ) 的主要目的之一，另一个主要目的是建立符号逻辑的基本原理，。以此来 构建能够推演出算术命题的逻辑体系。显然这个目标是大胆而且新颖的，因为从传统观 点来看，逻辑是亚里士多德的三段论那一类东西，和数学没有关系。并且要说明整个纯 粹数学都是从纯逻辑前提推演出来的，而且只能够逻辑术语来说明使用到的概念，这显 然与康德的学说正是相反的。但罗素和怀特海却要证明，数学和逻辑是一回事。现在让 我们首先来看看当时的数学界是怎样的大环境。 。伯特兰罗索：我的哲学的发展f 英】商务印书馆北京2 0 0 4 年p 6 5 。袁澍涓主编：现代西方著名哲学家评传( 下卷) 叫川人民出版社1 9 8 8 年版p 1 6 3 ( 一) 康德的数学学说出现了困境 康德学说产生的大前提是牛顿力学在时空上和数学上产生了困境。微积分的发明以 及其在力学上的广泛运用使得人们不得不思考无穷的概念问题，在这样的背景下康德对 数学提出的基本问题是：“先天的综合知识何以可能? ”( 纯粹理性批判康德) ，他回 答的思路是假定这样的先天综合知识是可能的，接着进一步说明这种可能性的必要条件 是什么。康德认为，数学的根源在于一种先天的直觉形式，而不是产生于先天的理性思 想或结构，这种思想表明了“康德与亚里士多德式的概念论有重大分歧”康德明确区分 了逻辑演绎、概念推理、数学推理和概念的句法结构的推理。他认为，人们能够在纯直 觉的想象中构造数学对象，并洞察这些对象的性质。这样康德试图将数学的基础建立在 先天直觉基础之上，通过假设绝对的空间和时间来寻求对牛顿力学的本质的保护，并避 开所遇到的那些问题。“这就意味着，如果无穷在数学中具有地位，它只能被看作是一 种无止境的潜无穷：一种绝对没有终结的序列。自然数序列就是一个重要的例子”。后来 许多数学家的工作，例如柯西等人的工作进一步证实了康德关于无穷的观点。 1 8 2 1 年，法国数学家柯西( c a u c hy ，a _ 一l ，1 7 8 9 1 8 5 7 ) 在分析教程一书中对变 量、函数、极限、无穷大量、无穷小量、积分等概念做了重新定义，把微积分的理论基 础建立在了极限理论的基础上。但是他的许多概念仍然是直观的，例如，他使用了“要 多少就有多少”、“无限逼近”等自然语言的描述方式。为了摆脱这样的直观，德国数学 家维尔斯特拉斯( w e i e r s t r a s k t w 1 8 1 5 - - 1 8 9 7 ) 把变量解释为字母，并修改了柯西的许 多定义，最后分析数学建立在实数的基础上了。这些工作都进一步地证实了无穷的观点。 但到了1 9 世纪末，随着数学和物理学的发展，伴随着广泛的社会文化的变化，康 德的观点逐渐显示出了不足。在数学中，非理智函数的发现，即维尔斯特拉斯构造的那 些处处连续但不可导的函数。此外，1 8 7 4 年，康托尔证明了超越数的存在。这些结果 都清楚地表明几何学的知觉对产生可靠的数学是不充分的，实数也缺乏可靠的基础。实 数理论必须建立在整数的、算术的基础上，而不能建立在任何空间直觉之上。尤其是当 微积分理论出现之后，如何对数学分析包括微积分，提供严格基础，康德的学说就显得 不足并且是无力的了。为此，意大利数学家皮艾罗( p e a n o g 1 8 5 8 1 9 3 2 ) 构建了自然数 的公理系统，将实数的无矛盾性归结为自然数的无矛盾性。后来，康托尔建立集合论， 弗雷格等人又进一步用集合概念定义自然数。至此，集合论被认为是整个数学的基础。 彭加勒在1 9 0 0 年国际数学家大会上说，数学已经达到了绝对严格了。而此后不久，也 就是1 9 0 2 年，罗素却发现了集合论悖论，引发了第三次数学危机。 。燕宏远、韩民青：当代英美哲学概论n i c h o l a sb u n n i n ；ep t s u i j a m e s ；社会科学文献j i j 版社2 0 0 1 年版p 4 6 8 。燕宏远、韩民青：当代英美哲学概论n i c h o l a sb ur m i n ；e p t s u i j a m e s ；社会科学文献出版社2 0 0 1 年版p 4 6 8 4 这样，加上下文要介绍的集合论悖论等的影响，许多数学家在不同的数学观支配下 提出解决数学第三次危机的不同方案：逻辑主义、直觉主义和形式主义。这就是数学史 上所称的三大学派。由于本文写作的需要我们将重点了解以罗素为代表的逻辑主义学 派。 ( 二) 罗素逻辑主义的数学观 1 什么是逻辑主义 逻辑主义的数学观实质就是企图把数学归结为逻辑的演算。用逻辑主义的代表人物 之一r 卡尔纳普( c a m a p ，r ) 的话说就是：“数学基础最重要的问题之一是，数学和 逻辑学的关系。逻辑主义的论题是，数学可以还原为逻辑学。”具体地说，这需要做两 项工作：“数学的概念能通过明确的定义从逻辑概念中推导出来：数学定理能通过纯粹 的逻辑演绎从逻辑公理中推导出来。”。 事实上这样的思想和工作是直接来源于德国数学家弗雷格的。在弗雷格之前的许多 数学家在对数学概念之间相互依赖性的研究中已经表明，所有算术概念都可以归约为自 然数( 就是人们日常计算中用到的1 ，2 ，3 ) ，这样留给逻辑主义者的主要问题就只 是如何从逻辑的概念中导出自然数来以及符号逻辑本身的分析。但直到1 8 9 4 年，才由 弗雷格第一次给数的概念作了一个纯逻辑的定义。同时也建立了一个形式的、逻辑的数 学系统，其中主要包括了算术部分。应该说这是逻辑主义的第一步。罗素本人也承认， 他的思想深受弗雷格的影响，罗素和怀特海在数学原理第一卷的序言中提到：“在 逻辑分析的一切问题上，我们主要受惠于弗雷格。” 2 弗雷格对罗素的影响。 主要有几个方面：首先，关于分析的工具数理逻辑。弗雷格在比罗索和怀特海 稍早的时候( 1 8 8 4 和1 8 9 3 ) 从逻辑中推演出了一部分算术。弗雷格先是在逻辑中引入 数学的函数概念，提出了“函项”的感念，他用“f ( a ) ”表示函项，其中a 是变项， 用“f ( a ，b ) ”表示变项a 和b 的函项，他把函项的定义域限定为全体命题变元，因 此叫命题函项，函项的值域就是真值。然后在此基础上引入了全称量词、存在量词、约 束变元等概念，构造了叫完备的一阶谓词逻辑系统。并进而推演出了一部分算术。这一 思想启发了罗素，罗素建立了比弗雷格更加完备的逻辑系统，并进步用逻辑系统和逻 辑概念还原算术。而这当中的函项等概念本身就是类型论的重要概念。 其次，关于理解语言的思想。弗雷格认为，由于自然语言的缺陷，在科学理论中常 。鲁道夫卡尔纳普：数学的逻辑主义基础转引自数学哲学美国，保罗贝纳塞拉夫：希拉里普特南 商务印书馆，北京，2 0 0 3 年p 4 7 6 0 。涂纪亮著：转引自分析哲学及其在美国的发展( 上) 中国社会科学版社( 京) ，1 9 8 7 年4 月) ，p 5 8 常会出现表达混乱和曲解作者思想的情况，因此，一切科学理论包括物理学、逻辑学都 应包含一种恰当的语言，这种语言必须遵循相应的规则，而且规则必须是用最简单、最 完整、最严格的方式表达；我们的理论所用的语词都是经过选择的，能在理论中起必不 可少的作用。在弗雷格看来，数学语言是最理想的语言。作为逻辑学家，他致力于构造 一种理想的形式语言来刻画表达命题的语句，这种语言必须满足服从严格的逻辑规则、 可表达精确的意义、能进行有效逻辑推理的要求。罗素和怀特海继承并发展了弗雷格的 思想，完整地完成了树立逻辑，并且罗素把数理逻辑看承是建立理想语言的工具。这些 同样体现在他的类型论思想中。很明显，类型论思想的论述和表达有很明显的数学的影 响，哲学首先当然应该归功于罗素本人的数学修养，但是不可否认弗雷格通过对罗素逻 辑主义倾向的影响，而进而影响到他的类型论思想。 3 、罗素的数学观 罗素和怀特海是逻辑主义的主要代表者。为了对数学分析( 包括微积分) 提供严格 基础，尽管弗雷格较早地找到了解决从逻辑中导出自然数的问题的答案，但学术界普遍 认为罗素和怀特海是独立地获得同样的结果的。o 并且一般都认为，正是因为罗素的工 作，才使得弗雷格的学说获得了应有的尊重。而罗素的逻辑主义的立场集中体现在他的 数学的原理和他与怀特海合写的三大卷著作数学原理一书中。现在让我们来从 这两本书中分析罗素的数学观。 用罗素后来自己的话说，他认为：数学和逻辑确实是一门学科，“它们的不同就象 儿童与成人的不同，逻辑是数学的少年时代，数学是逻辑的成人时代”。加上罗素自身 的数理逻辑修养，使得他认为数学的基础是逻辑学，这集中体现在数学的原理和数 学原理两书中。而当时的工作由于分析学已经算术化了，几何学的无矛盾性可以化归 为算术的无矛盾性；并且弗雷格已经在罗素之前给数做了一个纯逻辑的定义，从而建立 了一个逻辑的形式系统。因此罗素在1 9 0 3 年出版的数学的原理一书中说：“全部数 学都是符号逻辑这一事实是我们时代最伟大的发现之一；并且当这个事实被建立起来 后，数学原理只剩下了关于符号逻辑本身的分析了。” 在弗雷格的基础上，罗素在数学的原理( 1 9 0 3 ) 一书中将数学区分为纯粹数学 与应用数学。从罗素的观点看，每一个数学理论都是由一些断定所组成的总体；而这些 断定的组成部分又可分为变元( 变量) 和常项( 常量) 。例如，我们断定：“如果x 和v 是任意自然数，并且x y ，则x 2 v 。这里包含着两个( 约束) 变元x 和y ，以及常项中 。鲁道夫卡尔纳普：转引自数学哲学数学的逻辑主义基础p 4 9 。罗素著，晏成书译：数学哲学导论， 商务印书馆，1 9 8 2 年p 1 8 2 。罗素著：纯数学的定义，转引自数学哲学译文集林夏水主编，知识出版社1 9 8 6 年，p 3 2 9 - - 3 3 0 6 的特殊概念“自然数”、小于关系“ ”，还有逻辑常项“任意”、“和”、“如果则” 等。另外有一些断定就是关于非逻辑常项的，例如“空间是三维的”罗素认为前一种断 定是逻辑必然性的陈述，是纯粹数学；而后一种是关于偶然事实的断定，是应用数学。 这样罗素意义下的纯粹数学就是指第一种数学。他给纯粹数学下的定义是“纯粹数 学就是由所有p q7 这种命题所构成的一个类，这里的p 、q 都是包含一个或多个变 元的命题，而在两个命题中都相同，无论p 还是q 都不包含任何非逻辑的常项”。在这 个知道思想下，罗索在弗雷格的基础上发展了一个更为严密的符号演算系统，把“数” 还原为逻辑上的“类”的概念，希望实现将全部数学从逻辑学推导出来。这就是罗素的 逻辑主义纲领。 正当罗索为了这个伟大的设想努力时，他遇到了在当时甚至是似乎不能解决的问 题。这就是罗素在写作数学原理的过程中，发现了一种悖论，这个悖论的出现使得 数学原理的写作几乎无法进行。当罗素将发现的悖论情况写信告诉弗雷格时，后者 悲哀地宣称：“算术已经在它的基础上发生了动摇。” 弗雷格也因此放弃了从逻辑中演 算出算术的工作。这就是著名的“罗素悖论”。 ( 三) 罗素悖论 罗素悖论是罗素在1 9 0 2 年研究康托尔集合论问题是提出的。我们已经知道，现代 数学发展到罗素的那个年代，是建立在“类”这个概念之上的，罗素也是用类来定义数 的。而在康托尔集合论有一个用来说明集合的概括原则，该原则说：任一性质均可定义 一个集合，集合的元素恰好具有该性质。概括原则用符号表示为s = ( xp ( x ) 它等价于 v x ( x s p ( x ) ) ，表达的意思是“任意对象均可作为集合的元素。”任一集合( s e t ) ， 在这里罗素那里实际上就是类的概念，由于集合或者类都可以看成是对象，因而都可以 考虑其是否属于自身，或是否是自身的一个元素。从直观上理解，类就是我们把任何事 物组合在一起，就成为了一个类，我们也可以把类任意组合在一起，形成新的更大的类。 这就产生了两个假定，罗素悖论就是基于这样的假定，就是每个属性都有与之相对应的 两类对象，一类具有该属性，另类则缺乏该属性。 但是现在罗素考虑的情况是：将这个属性应用于不属于自身的那些类。在这一前提 下，这个时候，就出现了两种类的情况：一种类本身不是自身的元素，比如人类的本身 不是一个人，钥匙的集合本身并不是某一把钥匙；另一种类本身就是自身的元素，例如 所有的类组成的类仍然是类，数学概念的集合仍然是一个概念，它是自身的元素。此时 我们可以问，如果把第一类的全体作为一个总类，它是还是不是自身的元素呢? 如果回 。黄耀枢著：br u s s e l l ：t h ep r i n c i p i e so f m a t h e m a t i c s p 3 转引白数学接础引论，北京大学：| = 版社p 2 4 8 8 震澍滑主编：转引白现代西方著名哲学家评传( 下卷) 四川人民出版社1 9 8 8 年版p 2 0 7 答是，那么它具有它的每个元素都有的特征，即它不是自身的元素。如果我们回答说， 它不是自身的元素，那么它就不能具有其元素的特征，但每个元素刚好具有“自身不是 自身元素”的性质，因此它只好是：自身也是其元素。这样，无论我们如何回答，都会 导致矛盾的出现。 用数学语言描述就是：令a - - x l x 譬x ，就是说，a 是那些不是自身的元素的元素组 成的集合，现在问，a 自身是不是a 的元素，如果不是，即a 岳a ，则根据a 的定义，可 推出a 卧，如果a 自身是a 的元素，则根据a 的定义，可推出a a ，这样，无论如何都 会导致矛盾，这就是著名的“罗素悖论”。 在这样的情况下，尽管罗素也被自己发现的悖论弄得非常不愉快，他甚至不知道这 样似乎不重要的问题要花掉多少他的时间。原来计划四卷的数学原理也只完成了 三卷。但为了实现数学还原为逻辑的工作，罗素花了很长时间和极大的精力，试图找到 一个解决办法，这就是在数学的原理书中提出了雏形，后来将这一原则应用于解 决其它逻辑悖论和语义悖论，进而在数学原理中详细表述的类型论思想。 二、罗素的类型论思想 从上文的描述中我们可以看出，罗素提出类型论的思想，最初的目的是为了完成数 学原理的写作，实现他将数学还原为逻辑学的逻辑原子主义的梦想。当写作过程中发 现了“罗素悖论”时，他并没有象弗雷格那样悲哀，而是提出了类型论的思想。因此， 我们可以说，罗素类型论最初是为了解决集合论悖论而出现的。并且这一思想的雏形在 数学的原理( 1 9 0 3 ) 。的写作中就已经出现，只是当他试图将同样的原则应用于解决 其它逻辑悖论和语义悖论时，才有后来类型论思想的发展。 ( 一) 罗素简单类型论的建构 罗素致力于研究类型论的最初目的是为了解决“罗素悖论”。罗素类型论的基本思想 体现在数学原理中的说明：“对于我们需要避免的那些悖论的分析，表明悖论都是 产生于某种恶性循环。这些恶性循环起源于这样一个假定：一个关于对象的集合可以包 含这样一些分子，这些分子只能用这个作为个整体的集合来加以定义。给定关于 对象的任何集合，如果我们假定这个集合有一个全体，这个集合包含一些假定了这个全 体的分子，那么，这样一个集合就不能有一个全体。我们可以把那个用以避免不合 法的全体的原则表述为：任何涉及一个集合的所有分子的东西，必须不是这个集合的 。伯特兰- 罗索：我的哲学的发展i 英 商务印书馆2 0 0 4 年北京p 6 8 o 罗豢：数学原理( 第一眷) p 3 7 3 8 转引自涂纪亮著分析哲学及其在美国的发展( 上) 中国社会科学出版社 京) 1 9 8 7 年4 月) ，p 8 6 _ 8 7 8 一个分子。”o 这就是罗素简单类型论建构的指导思想。 罗素在1 9 0 3 年数学的原理中指出，解决悖论的关键在于区分不同的逻辑类型。 这就是罗素关于类型论的最早的知道思想。我们有必要在分析类型论之前弄清楚“类型” 的概念。 1 类型论的核心概念 ( 1 ) 类型 罗素给类型下的作的说明是：“类型被定义为命题函项的意义范围，也就是说，类型 被定义为命题函项为之而具有其值的那些论据的搜集。每当一个明显的变项出现在命题 之中时，这个明显的变项的值域就是类型。类型通过与“所有的值”相关的函项而被固 定下来。事物之所以被分为若干类型，是为了避免那些否则就会产生的思想谬误。我们 知道，这些谬误可以借助于下面这个非恶性循环原则来避免：任何一个整体都不 可能包括那些通过这个整体本身来规定的成分。用我们的技术术语来说，这个原则就 是：任何包含明显变项的事物，都一定不是这个变项的可能的值。因此，任何一个包 含明显变项的事物，一定属于那个变项的值不同的另一种类型。我们可以说，它属于一 个更高的类型。因此，在一个语词中包含的那些明显的变项，就是这个语词的类型赖以 得到确定的因素。”9 此时我们可以看到，类型由于被罗素定义为“命题函项的意义域”。 那什么是命题函项呢? ( 2 ) 命题函项 罗素认为“命题函项就是一个式子，其中包含一个变项，一旦给这个变项定一个值， 这个式子就变成了一个命题。”。 在罗素对命题函项的描述中，他先是仔细分析了所有的和任何的区别。之后他借用 了麦科尔关于“命题”的三个类：确定的、可变的和不可能的。一个可被断定的函项是 确定的，一个不可被否定的函项是不可能的，而所有其它的函项是可变的。如果d o x 是 命题变项，我们用“( x ) e o x ”指示命题“c o x 恒真”。同样地“( x ，y ) q b ( x ，y ) ”用来指“中( x ，y ) 恒真”，依次类推。因此，对所有值的断定和对任何值的断定是有区别的。差别就在于 断定“( x ) o x ”和断定中x ( x 是未确定的) 之间的差别。后者与前者不同的地方在于： 后者不能为一个确定的命题。简单而言，就是说命题函项是这样一个表达式，它是值为 命题的函数。比如我们况“x 是一个人”是一个命题函项，因为当给其中的变项x 赋值 。罗索：数学原理( 第一卷) p 3 7 3 8 转引自涂纪亮著分析哲学及其在美国的发展( 上) 中国社会科学出版社( 京) 1 9 8 7 年4 月) ，p 8 6 - 8 7 。伯特兰罗素著：逻辑与知识以类型论为基础的数理逻辑 英 商务e 书馆1 9 9 6 年北京p 9 1 。怕特兰罗索：我的哲学发展商务印书馆2 0 0 4 北京p 6 0 。以类型论为基础的数理逻辑逻辑与知识b e n r a h dr u s s e l l 商务印书馆1 9 9 4 年版 9 之后，比如给x 赋值为苏格拉底或柏拉图或任何别的人来代替变项x ，那么就变成了命 题“苏格拉底是人”，该表达式有真假。我们应该可以用一个什么不是人的东西来代替 变项x ，我们仍然得到一个命题，显然按照这一个例子来说这一命题是假的。而不象命 题函项那样有三个可能性：恒真、恒假、有时真。不难看出，命题函项本身并没有确定 的意义，而只有通过对其中的变项赋值才1 能赋予其意义。在罗素看来一个命题函项只是 个式子而已。它本身不表达任何东西。它可以看作一句话的一部分，这句话有所断定， 能成立或不能成立。罗素说：“一个函项是对一给定的主目( a r g u m e n t ) 是有意义的条件 就是该函项对于该主目有一个值( 不管这个值是真的还是假的) 的条件。”简单地说就 是，“中对a 有意义”就是说“中对主目a 的一个值”。这就是说，o a 这个组合是一个或 者为真或者为假的命题，那么中对a 就是有意义的。类型论的研究就是函项和主目这类 有意义的组合之间的条件。 ( 3 ) 类型的分层 罗素给类型的分层就是通过对变项进行技术处理而展开的。他将一个不包含变项的 命题称作初等命题，初等命题以及只包含个体作为变项的初等命题叫做一阶命题。它们 构成第二逻辑类型。而一阶命题的总体又形成了新的命题，这些命题形成二阶命题；它 们构成第三逻辑类型。比如说，在爱匹门德悖论中，他所肯定的实际上是“所有一阶命 题为假的”，断定的却是一个二阶命题。这样，只要人们不在同一阶上进行混淆，就不 会产生矛盾。也就是说，那些实际命题总体的命题决不能是那个总体之中的分子。第一 级的命题我们可以说是不涉及命题总体的那些命题：第二级命题就是涉及到第级命题 总体的那些命题；依次类推。所以那位说谎的人现在不能不说：“现在我是肯定一个第 一级的假命题，这是假的”。但这句话本身却是一个第二级的命题。 当这一过程无限进行时，就是说第n + l 逻辑类型是由n 阶命题组成的。n 阶命题是 包含n 一1 阶但不包含更高阶的命题作为表面变项的命题。如此得到的各个类型之间是相 互排斥的。因此，人们只要记得，对于有个命题的所有的断定都是在这一命题所描述的 那一阶命题范围内进行的，就可以有效地避免自我指称。而对于函项的分层与对命题的 分层类似。 由此，通过明确命题函项和类型的概念，罗索区分了个体、个体的类、个体类的类等等 不同层次的类型。这就是简单类型论的思想。 2 简单类型论的内容 。b r u s s e l l i n t r o d u c t i o n t o m a t h e m a t i c a lp h i l o s o p h y m l o n d o n ：r o u l l e g e g 1 9 9 5 转引自罗紊娄型论研究( 一) 张安民 人大复印资料逻辑2 0 0 5 年第凹期2 6 2 9 o 详细参见以类型论为基础的数理逻辑逻辑与知识b e r t r a n dr u s s e l l 商务e 书馆1 9 9 4 年版 1 0 简单类型论把类或谓词分成不同的类型： ( 1 ) 类型o ：个体； ( 2 ) 类型1 ：个体的类； ( 3 ) 类型2 ：个体的类的类； ( 4 ) 类型3 ：个体的类的类所构成的类。 并进一步指出，一个类和该类中的元素属于不同的类型，不能放在同一层次解释，否则 就会产生所谓的悖论。在分成层次的情况下，假如我们要考察类型n 的对象，只能考 虑它是否为类型n + 1 的类的分子，而不能考虑一类是否为其本身的分子。如何用简单 类型论来消除集合论悖论呢? 现在我们为了简单起见，只考虑一元函项的情况。我们把它从多元函项中抽取出来， 那么类型论就是把表达式分成下列不同的“类型”：论域中的对象个体的名称属于类型0 ( 例如a , b ) ；这些对象的性质( f ( a ) ，g ( b ) ) 就属于类型1 ；这些性质的性质( 例 如f ( 0 ，c ( 0 ) 就属于类型2 依次类推。简单类型论的一个基本原则是每一个谓 词属于一个确定的类型，它只能有意义应用于下一个较低类型的表达式。因此，“a ) ， f ( d 等总是有意义的，因为它们要么是真的要么是假的：而另一方面，诸如f ( g ) 、f ( f ) 等 的组合既不是真的也不是假的，而是无意义的表达式。特别地，f ( f ) 或- f ( 0 之类的表达 式是无意义的，就是说，我们不能有意义地说一个性质属于它本身或者不属于它本身。 这就完成了简单类型论的大纲了，这也是大多数现代逻辑提倡者认为是“合法及必要 的”，。事实上，简单类型论的创立消除了罗素悖论。 3 、简单类型论对罗素悖论等逻辑悖论的消除 在罗索悖论的论证过程中，做了如下假设： ( i ) 每个命题函项都定义一个类。 ( i i ) 假设“xe x ”和“x 不属于x ”都是有意义的陈述，因为都可以设想它们是有 意义的命题函项。 ( i i i ) 现假设一个所有满足函项“x 不属于x ”的集合组成的集合，这样的一个集合 记为r ，于是我们有： x e r 当且仅当x 不属于x 根据假设( i i ) “r r ”也是有意义的陈述，当上面的式子中，x 取值为r 的时候， 就有 r r 当且仅当r 不属于r 。这表明假设“x 不属于x ”不是有意义的陈述，否则将 。鲁道夫卡尔纳普：数学的逻辑主义基础转目【自数学哲学美国，保罗贝纳塞拉夫：希拉里普特南商 务印书馆2 0 0 3 北京p 4 7 6 0 l l 导致命题“r 不属于r ”，而这样一个代表所有集合的的集合r 就构成了一个“非正常的 总体”，因而导致矛盾，所以为了消除这个悖论，就应取消这种表示所有集合的集合r 的假设。罗素悖论得到消除。 从这个例子我们可以看出，对这样一类逻辑悖论，就是莱姆塞( e r a m e s y ) 所指出的“逻 辑的悖论”( 狭义) ，另一类悖论是“语义悖论”。逻辑的悖论的根源在于“不可谓的” ( i m p r e d i c a b l e ) 这个概念。根据定义，“一个不属于它本身的性质叫做不可谓的” ( _ i m p r e d i c a b l e ) 。而通过罗素悖论的消除我们发现罗素的简单类型论是足够了的。事实 上，如果预先假定简单类型论成立，那就甚至不能定义“不可谓的”的表达式。因为象 一个“不属于它自身的性质f ( f ) ”这样的表达式甚至是不合法的( n o t w e l l f o r m e d ) 。 但为什么罗素却要引入很少有人接受的分支类型论呢? 现在我们有必要先了解一 下什么是分支类型论，它与简单类型论的区别是什么? 为什么罗素要不顾所产生的非常 讨厌的后果而引入分支类型论? ( 二) 分支类型论的引入 1 分支类型论的内容 通过前面的描述，我们其实已经对分支类型论的总体思想有大概的了解了。罗素认 为，首先，必须按照对象的类别对集合进行分类，具体地说，0 类是那些论域中对象( 即个体) 的名称：a ，b ，c ；1 类是为0 类对象的性质如f ( a ) ，g ( b ) 等中的f , g ；2 类的则是一类 中元素的性质。f ( f ) ，g ( f ) 等中的f , g ；各不同类的元素不能混合共处于一个集合 之中。如f ( a ) ，f ( o 是没有意义的。傲地，类型的划分对于排除所有己知的逻辑一数 学悖论已经足够了，但如果对语义学悖论进行考虑，还必须按集合定义将同一类中的集合 划分为不同的级。具体地说，那些在定义中没有涉及到“所有集合”的集合是第1 级的， 那种在定义中涉及到“第n 级的所有集合”的集合则是属于第( n + 1 ) 级的。罗素指出，如 果不具体地说明所考虑的级，那种涉及到“所有集合”的表达式是无意义的。 主要之点是：对于同一类型的谓词( 命题函项) 可分成为不同的阶，目的是为了避免恶 性循环，消除“不台法的整体”。例如，一阶谓词是一元或多元的函项，它由基本谓词借 助于v 、“j ”、“一+ ”、“一”和全称量词“x ”、存在量词“ x ”组合而成。这里的量词 只涉及原来的论域( 个体域) ，也就是说，一阶谓词就是除了个体变元( 或是约束变元， 或是自由变元) 之外，不含其他变元的谓词。例如，f ( x ) ，( vx ) ( jx ) g ( x ，v z ) ，( v y ) h ( x , y ) 等都是一阶谓词。如果把一阶谓词的个体空位填满，或把个体变元全都约 。鲁道夫卡尔纳普：数学的逻辑主义基础转引自数学哲学美国，保罗贝纳采拉夫；希拉里普特南 商务印书馆，北京，2 0 0 3 ，p 4 7 6 0 。伯特兰罗素著：逻辑与知汉以类型论为挂础的数理逻辑 英 商务印书馆，北京1 9 9 6 年 】2 束起来便得到一阶命题，如( vx ) ( jy ) f ( x ，y ) 。在一阶谓词和命题的基础上可以构 造二