（无线电物理专业论文）固体介质多缺陷超声波散射的有限元数值模拟.pdf

摘要 超声波在含有孔洞、夹杂等缺陷的固体中传播，遇到缺陷时发生散射，散射波包 含缺陷的特征信息。由于固体含有多个缺陷情况的散射比单个缺陷情况复杂，实际检 测分析较困难，因此了解多缺陷信息对超声波检测起着重要的作用。本文建立了各向 同性固体的具有吸收边界的二维平面应变有限元模型，模拟计算了平面脉冲超声纵波 在固体内部遇到相对于表面几种不同分布的双直裂纹、双斜裂纹的散射，然后计算了 平面脉冲超声纵波和横波扫过两种分布的双圆柱形孔洞的散射。通过纵横波的分离和 一次散射波和全波场的分离，清晰显示了多次散射波的位移场、散度和旋度场的波场 快照图，与光弹法实验结果进行对比，有很好的一致性。 本文对平面超声纵波遇到单夹杂和双夹杂时的散射也做了研究。理论推导了声波 从一种固体介质入射到另一种固体介质的反射系数和透射系数，数值模拟计算了夹杂 分别为铸铁、铜和钢时的反射和透射系数，与理论值进行了对比，验证了有限元方法 的正确性和有效性。最后，研究了固体介质中含有多个圆柱形孔洞缺陷的平面脉冲超 声纵波散射，并对缺陷为平均分布、正态分布、指数分布三种情况下的a 扫描曲线对 比，看出了散射波的聚集和能量分布状况；结合速度分布图分析了缺陷在介质中所占 面积对声波传播速度的影响。 关键词：缺陷，有限元法，散射，超声波 f i n i t ee l e m e n ts i m u l a t i o no fu l t r a s o n i c ”白v e s c a t t e r i n gi nm u l t i - f l a w e ds o l i d n iy u n - l u ( r a d i o p h y s i c s ) d i r e c t e db yp r o f e s s o rl is h u g u a n g a b s t r a c t s c a t t e r i n gh a p p e n sa ss o o na st h eu l t r a s o n i cw a v er u n si n t oh o l e so ri n c l u s i o n sd e f e c t s i ns o l i d s t h es c a t t e r i n gw a v e sc o n t a i na l lc h a r a c e r i s t i ci n f o r m a t i o no ft h ed e f e c t s t h e s c a t t e r i n go ff l a w si sm o r ec o m p l i c a t e dt h a nt h a to fai s o l a t e df l a w , w h i c hc a u s et h e c o m p l i c a t i o ni na u r a ld e t e c t i o n i ti so ff u n d a m e n t a li m p o r t a n c et oi n v e s t i g a t et h eu l t r a o n i c w a v e f l a w si n t e r a c t i o n at w o - d i m e n s i o n a lp l a n es t r a i nf i n i t ee l m e n tm o d e l sw i t l la b s o r b i n g b o u n d a r yc o n d i t o nh a v eb e e nd e v e l o p e dt oi n v e s t i g a t et h eu l t r a s o n i cw a v ep r o p a g a t i o ni n m u l t i - f l a w e di s o t r o p i cm e d i a ，谢t hp a i r so fp a r a l l e la n dt i l tc r a c k so fd i f f e r e n td i s t r i b u t i o n r e l a t i v et o s u r f a c e ；p a i r s o f c y l i n d r i c a l h o l e so fk i n d so fd i s t r i b u t i o n 、析m p u l s e d u l t r a s o n i c p l a i n - l o n g d i t u d i n a l t r a n s v e r s e w a v e i s i n v e s t i g a t e d ，d e c o m p s i n g t h e l o n g i t u d i n a la n dt r a n v e r s ep a r t sa n ds u b t r a c t i n gt h ef i r s ts c a t t e r i n g ，c l e a r l yo b s e r v et h e m u l t i p l es c a t t e r i n ga n dc o m p a r ew i t he x p e r i m e n t a lo b s e r v a t i o n so b t a i n e db yd y n a m i c t h e nt h er e s e a r c hm o v eo n t ot h ei n c l u s i o nc o n d i t o n s ，w i t ha ni s o l a t ei n c l u s i o na n d p a i r s o fi n c l u s i o na n d c o m p a n i e d t h e p u l s e d - u l t r a s o n i c - p l a i n c o m p r e s s i o n - w a v e t h e o r e t i c a l l yd e d u c er e f l e c t i o na n dr e f r a c t i o nc o e f f i c i e n tw h e ni n c i d e n c eu l t r a s o n i cw a v ei s f r o ms o l i dt os o l i da n dc o m p a r en u m e r i c a lc o e f f i c i e n to fi n c l u s i o n sa sc a s t - i r o n ，c o p p e ra n d s t e e l s o l i d 诵t hc y l i n d e rf l a w so fh y p o d i s p e r s i o n ，g a u s s i a nd i s t r i b u t i o na n de x p o n e n t i a l d i s t r i b u t i o ni si n v e s t i g a t e d t h er e s u l t sa r ei n f o r m e do fa s c a np l o t sa n dv e l o c i t yp l o t s ， c o m p a r e da n di n v e s t i g a t et h ea l t e r a t i o no fv e l o c i t y k e yw o r d s ：f l a w s ，f i n i t ee l e m e n t ，s c a t t e r i n g ，u l t r a s o n i cw a v e n 主要符号表 v l a m 6 常数 位移向量 位移标量势函数 位移矢量势函数 质量矩阵 刚度矩阵 结点载荷向量 阻尼矩阵 应力向量 纵波反射系数 横波反射系数 纵波折射系数 横波折射系数 以 口 缈 杪 膨 置 p c 口 0 0 0 独创性声明 本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成 果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发 表或撰写过的研究成果，也不包含为获得中国石油大学或其它教育机构的学位或证书 而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明 确的说明并表示了谢意。 签名：倪奎庭础年厂月方日 关于论文使用授权的说明 本人完全了解中国石油大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留 送交论文的复印件及电子版，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部或部 分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。 ( 保密论文在解密后应遵守此规定) 学生签名： 导师签名： 渺释夕月日 髫年f 只弓日 中国石油大学( 华东) 硕士学位论文 1 1 选题意义 第一章前言帚一早刖函 超声检测方法是以声波作为载体，采集信息，在不损坏被检测对象的情况下，探 测其内部的缺陷或目标，测量其物理性质和力学性质，分析其组织结构作介质的质量 评价等【。 超声波在固体材料中的传播特性与材料的弹性性质和材料的结构有密切的关系， 其在传播过程中，由于介质弹性性质和缺陷的表面形态、性质、大小和取向不同，都 将改变超声的散射特性和频谱特性等，因此提取和分析材料中的超声信息，就可评估 材料或者构件的性能。 从这个意义上来说，超声检测是最有效的检测方法之一【2 1 。由于超声波和其他常 规的检测方法( 光波检测、电磁波检测和射线法等) 相比，具有穿透能力强、传播能量 大、方向性好、灵敏度高等特点，在介质内传播遇到缺陷时会产生界面反射或声速和 能量的衰减变化，从而快速检测出材料内部大多数缺陷，在国防、电力、航空航天、 石化、机械、材料等众多领域内有广泛的应用。 由于超声检测技术的不断发展，超声波检测的目的不仅仅是知道缺陷的有无及其 位置，还希望知道缺陷的大小、形状、取向和内含物等。这样有可能确定缺陷的危害 性大小和缺陷所在部件的使用寿命。这些信息都只能从接收到的散射波中汲取。这时， 就需要首先了解不同形状、不同大小障碍物所散射的超声波具有什么样的特征 3 , 4 1 。 超声波在固体中的传播非常复杂，研究声波散射的主要方法是解析方法和模拟方 法。解析方法对研究规则缺陷声波散射比较方便，而且准确，但往往无法解决超声波 在复杂缺陷固体中的传播问题。实验模拟中，由于缺陷主要是通过人工加工来实现， 大部分缺陷只能在试块表面产生，对固体内部缺陷和复杂缺陷难以实现。而且在人工 缺陷的制作过程中，某种程度上会改变试块的某些特性，影响探测的可靠性。因此， 实验模拟仍然具有很大的局限性。相比之下，数值模拟刚好弥补了这些不足，为声波 散射分析和研究开辟了广阔的途径。原则上，采用数值计算方法可以实现几乎所有声 场散射问题的求解，因此，在超声检测中越来越受到人们的重视。 为了使计算结果具有实际意义，数值模拟时要尽可能地建立与真实情况相一致的 l 第一章前言 模型。但实际情况比较复杂，从声波散射的研究现状可以看出，虽然国外的学者的一 些研究已经在实际中得到应用，但研究模型中往往只含有一个缺陷，或者多缺陷情况 时大部分缺陷都分布在表面，对固体内部多个缺陷的研究较少。因此，对固体中有多 个缺陷情况下声波散射进行模拟，并将其推广到更一般的随机条件下，具有一定的理 论指导和实际检测意义。 1 2 国内外研究现状 早在二十世纪二十年代末三十年代初，德国的o m u l h a u s e r ，a t r o s t ，r p o h l m a n 和俄国的s s o k o l o f f t 5 j 等已认识到用超声波进行无损检测的可能性，他们应用各种连 续波技术，最终开发出了缺陷检测设备，其根据的原理是超声能量在传播通道中会被 粗大的不连续性阻截，这种技术后来被称为透射法。后来f i r e s t o r e 发明了一种可用脉 冲超声波列来获得从微小不连续反射回信息的仪器，从而出现了反射检测法，反射检 测法的实现是当代电子设备和技术发展的结果。 声学研究中讨论散射现象已有很长的历史，约从上世纪4 0 年代开始，超声在固体 中的散射及应用得到发展。1 9 5 6 年，y i n g 和t r u e l l 6 】对固体中异质球形散射体( 颗粒) 的声散射问题作了开创性的研究，使用波函数展开法从理论上详细分析了平面入射纵 波在不同边界条件下的散射截面，并在r a y l e i g h 近似条件下，得到一系列解析表达式， 为固体中的声散射问题的研究奠定了基础。 求出声散射场的准确方法有波函数展开法和积分方程法【_ 7 1 。解析方法在理论上已 相当成熟。解析方法能够求出准确解，但只适用于几何形状简单的散射体，由于实际 散射体形状各异，除十分简单的情形外，传统的解析方法对它们难以奏效。这时，又 发展了很多求解散射问题的近似方法，如远场近似、k i r c h h o f f 高频近似、r a y l e i g h 低 频近似、b o r n 近似。即使如此，这些近似方法仍然存在着一定的局限性，特别在散射 体的尺寸和声波波长相近时，有些近似方法难以处理。因此，数值模拟方法愈来愈受 到重视，特别是在近场中的声波散射问题上，数值模拟方法显现出明显的优势。 对于有限元方法( f e m ) 在固体中散射体散射声场模拟的应用，研究成果主要集中 在具有对称性的简单散射体情形。i s s a 等用p v e r s i o nf e m 模拟了固体中超声波的传 播，此模型可以用于医学超声和复杂的各向异性介质的媒介中。y o u 等考虑了r a y l e i g h 散射、粘滞吸收和超声波声速的扩散作用，用轴对称动弹性f e m 定量地计算了各向 2 中国石油大学( 华东) 硕士学位论文 同性和正交各向同性的高衰减材料中弹性波的位移场。h a r m i 等从1 9 7 1 年开始模拟弹 性波在固体中传播。刚开始采用质点模型，后来采用了质点模型和f e m 相结合的 o o t s u k i 模型。o o t s u k i 模型适用于复杂模型，在形状简单的区域采用质点模型，节约 了时间，可以模拟任何复杂形状的裂纹，并已获得足够的精度【8 】。 d a t t a d 和k i s h o r e n n 【9 】使用含有吸收边界的有限元模型研究超声波在各向同性 和各向异性材料中的传播。持续时间短的脉冲在无缺陷存在或有裂纹夹杂类缺陷区域 传播时，该方法有能力模拟实验的超声波回波技术，以获得a 扫描数据并能进行频率 区域特征分析。该研究还显示了波传播过程中缺陷存在时模型转换和散射等其他重要 的现象。 i t o t 和t a k a t s u b o j 【1 0 】对内含物声波散射的有限元法分析。首先理论分析了不同内 含物声波散射的瑞利近似和k i c h r o f f 近似，同时发展了显示有限元方法。研究中给出 了散射后的唯一分布，并将入射波与散射波的强度作了比较。 k i s h o r e n n t l l 】等研究了存在单个缺陷时声波散射问题的有限元方法。通过增加吸 收边界来模拟无限各向同性固体中的超声波散射，给出了不同缺陷处复杂的声波模式 转换，分析了声波和缺陷的相互作用，优化了无损检测技术。结果表明，该模型有能 力显示复杂的波形转换，特别是在裂纹、柱孔、球孔等缺陷的尺寸和波长相近情况下。 我国学者关建飞【1 2 】等利用有限元法模拟了脉冲激光作用于单层铝板表面时由热 弹机制产生的超声波及其传播过程，得到了声表面波经过表面裂痕及其亚表面裂痕时 产生的反射及透射波形的特征，并就时频分析结果提出了不同深度的表面裂痕与亚表 面裂痕对声表面波的声谱特征产生的影响。 李树榜【1 3 ，1 4 】分别研究了单圆柱形孔和垂直于表面裂纹的超声波传播散射。清晰地 观测到了入射纵波沿孔壁的螺旋旋转爬行和显示了裂纹对脉冲超声波的散射和复杂的 模式转换。 有限元方法的应用区域由于大部分情况是无限区域，要保证边界条件在数值积分 中的精度和稳定性，人工边界的选取尤为重要。人工边界一般有粘性边界、h i g d o n 边 界、旁轴近似边界、叠加边界和透射边界等。黏性边界由l y s m e r t ”】等于1 9 6 9 年提出， 是最早的局部人工边界，其思想是通过在边界上设置阻尼器以吸收系统在振动过程中 向外辐射的能量。s a r m a 1 6 】提出的吸收边界是阻尼型边界，对系数的选择要通过数值 试验得到。在已将完全匹配层的思想引入到弹性介质中，并建立了弹性介质中的完全 匹配层吸收条件的前提下，我国学者王守东【1 7 】首次将完全匹配层吸收边界应用于声波 3 第一章前言 方程，导出了控制方程，得到了较满意的数值模拟结果。各种人工边界条件都有一定 的适用范围，依据不同情况而选取。 1 3 本文研究的内容和方法以及任务 本论文主要工作是建立有限元方法模拟超声波在固体介质中存在多个散射体时的 二维有限元模型及相应边界条件，生成一个有效的有限元计算程序，研究超声波在固 体中多个裂纹、空腔和夹杂等缺陷上的散射，并探讨散射体的形状和方向改变时的声 场变化，为进一步确定散射体特征等缺陷的定量问题提供依据。本文采用有限元方法 中的隐性n e w m a r k 方法计算，其验证和适用性李树榜【1 8 】已做过论证，这里不再重复 赘述。 全文内容安排如下： 第二章简单介绍有限元方法的产生、应用、分析流程及分析流程中的有限元计算 步骤；给出了固体中声波方程的有限元形式和应用的边界条件。 第三章从两个缺陷入手，研究声波的传播情况。主要研究脉冲超声平面纵波在双 直裂纹、双斜裂纹分别成不同分布时的的散射情况，给出波场快照图；而对于双圆柱 形缺陷分别研究了脉冲超声纵波和横波入射的情况，并与光弹法进行了对比。 第四章研究脉冲超声平面纵波在固体含有单夹杂和双夹杂时的散射情况，分别对 夹杂为铸铁、铜、钢时的声波散射进行了计算对比。 第五章模拟计算了固体内部多个圆柱孔洞成平均分布、正态分布和指数分布时的 超声波传播情况，给出了底面a 扫描曲线和频域内的简单分析。 最后总结全文，展望今后的研究方向和研究内容。 4 中国石油大学( 华东) 硕士学位论文 第二章固体声波方程的有限元方法 有限单元法又称有限元素法( f i n i t ee l e m e n tm e t h o d 简写为f e m ) ，是计算力学中 的一种重要的方法，它是2 0 世纪5 0 年代末6 0 年代初兴起的应用数学、现代力学及计 算机科学相互渗透、综合利用的边缘科学，是现代科学和工程计算方面最令人鼓舞的 重大成就之一【1 9 1 。 有限元方法的基本思想可以追溯到c o u r a n t t 2 0 1 在1 9 4 3 年的工作，此后不少数学家、 物理学家和工程师分别从不同角度对有限元的离散理论、方法及应用进行研究。而有 限元的实际应用是随着电子计算机的出现而开始的。首先是t u r n e r ，c o u g h 等人于1 9 5 6 年将刚架分析中的位移法推广到弹性力学平面问题，并用于飞机结构的分析。1 9 6 0 年 c o u g h 进一步求解了平面弹性问题，并第一次提出了“有限单元法”的名称，使人们清 楚认识到有限单元法的特性和功效。 有限元法最初应用在工程科学技术中。它是一种数学物理方法，其所求解的方程 是包含微分方程、初值条件、边界方程的定解问题。所得到的解并不是有关的物理问 题的解，而是在增加了若干条件后的定解问题的近似解，是基于变分原理和部分插值 的一种数值计算方法，用于模拟并且解决工程力学、热学、电磁学等物理问题。它作 为一个具有理论基础和广泛应用效力的数值分析方法。可以求解过去用解析方法无法 求解的问题。对于边界条件和结构形状都不规则的复杂问题，有限元方法是一种之有 效的现代分析方法。 2 1 有限元分析流程 有限元分析流程如图2 1 所示【2 1 1 。第l 步和第5 步分别决定分析内容和结果是否 可接受。这需要根据分析问题的特点、工程规范、数值分析准则以及计算机软件、硬 件性能等综合因素决定。而第2 、3 、4 步是有限元分析程序的三个基本组成部分。第 2 步的前处理程序是根据已经确定的物理模型，建立有限元条件，内容包括生成有限 元网格，选择单元型式，确定材料的本构模式，给定约束和载荷调解，选择求解方法 和给定计算参数等。这些在2 2 中将详细说明。前处理步骤中的最重要和工作量最大 的地方在于根据所分析问题的几何造型，生成合理的网格，确定网格中每个节点的编 5 第二章固体声波方程的有限元方法 图2 - 1 有限元分析流程 f i 9 2 - 1f e mf l o wa n a l y z e r 号和坐标，各个单元的节点编号，以及作用于网格结点上的载荷和约束信息。本文对 p e r s s o n 捌博士论文中的三角形网格自动剖分程序进行了改编，得到了适用于本论文研 究内容的剖分程序。第4 步是后处理，得到关于各节点或者单元的量，并可以以图形 的方式显示，如等值线显示、带状云图显示、数值显示、截面显示、综合x y 图显示、 动画显示等，增强了计算结果物理意义的直观性。本文使用m a t l a b 2 3 。2 7 1 语言编程实现 有限元法。 2 2 有限元法计算程序的基本步骤 明。 有限元法的计算程序即为流程图2 1 中所示的第2 、3 、4 步，下面进行详细地说 6 中国石油大学( 华东) 硕士学位论文 2 2 1 物体的离散及单元类型的选择 有限元方法的核心是离散化，即图2 2 中自动剖 分部分。对于每个所要研究的问题，离散化的具体内 容是选择合适的单元类型，决定单元尺寸和数量、单 元的布局以及结点连接的方式。理论上讲，单元分的 越细、节点布置越多，计算结果就越精确。然而，单 元尺寸小，计算工作量会增加。 对简单规则几何体使用四边形离散，对复杂几何 体使用p e r s s s o n 的三角形割分。 2 2 2 单元的分析 单元的分析【2 3 】是指求基本未知量单元节点位移 和对应节点力之间的关系。节点力对于单元来说就是 通过节点作用于单元的外力。节点力不仅决定于本节 点的位移，而且也决定于本单元其他节点的影响。确 定了单元位移后，可以很方便地利用几何方程和物理 方程求得单元的应力和应变。一般用单元的刚度矩阵 来描述单元的性质，确定单元节点力与位移的关系。 本文中建立的有限元模型均为二维模型，使用了 三结点线性三角形单元和四结点双线性四边形单元。 一、线性三角形单元 在砂平面内的三角形单元如图2 3 所示， 设单 元厚度为t ，单元刚度矩阵五。和质量矩阵m ( 。按( 2 1 ) 计算。 开始 基本参数输入 自动剖分程序 单元分析 整体矩阵组装 形成整体载荷矩阵 加入约束条件和总载荷 计算出位移并返回其值 图2 - 2 有限元程序框图 f i 9 2 2 p r o g r a ml a y o u to ff e m 胪= 胪r d b d v = b 7 d b ti d a = t a b7 d b 矿f ) m 和) - 肛7 n d v ( 2 1 ) 矿( f ) 其中曰为应变矩阵，d 为弹性矩阵，t 为单元厚度，a 为单元面积，p 为密度，为 7 第二章固体声波方程的有限元方法 单兀函数插值矩阵。 二、双线性四边形单元 一般情况如图2 - 4 所示，用自然坐标孝和7 7 将单元 映射成矩形如图2 - 5 所示。 设单元厚度为t ，则 k = f 。f 。b7 1 伽，i ，阿刁 m = “p t n r l ，弦刁( 2 - 2 ) 其中川为自然坐标下的雅克比( j a c o b i ) 行列式。 图2 - 4 双线性四边形单元 f i 9 2 - 4b i l i n e a rq u a d r i l a t e r a le l e m e n t 4 ( - 1 ，1 图2 - 3 线性三角形单元 f i 9 2 - 3 l i n e a rt r i a n g u l a rd e m e n t 1 ( 一1 ，一1 )2 ( 1 ，一1 ) 图2 5 自然坐标系下的双线性四边形单元 f i 醇- 5 b i l i e a rq u a d r i l a t e r a le l e m e n t u n d e rn a t u r a ls y s t e mo fc o o r d i n a t e s 2 2 3 整体分析 整体分析的内容包括整体刚度矩阵的组合和平衡方程的建立。整体刚度矩阵是由 单元刚度矩阵组成的，整体刚度矩阵的每一项包含节点所有相关单元的对应信息。本 文采用的整体质量矩阵为集中质量矩阵，也能保证计算的精确度。 2 2 4 引入支撑条件和节点总载荷 支撑条件就是约束条件。没有约束的悬空结构是不能承受载荷的。节点总载荷包 括作用于节点的载荷和等效移植的非节点载荷，节点载荷列矢量和整体刚度方程的节 点力列矢量是一致的，将整体刚度方程的节点力列矢量换成节点载荷列矢量，可以建 立以节点位移为未知量的节点平衡方程式。 8 中国石油大学( 华东) 硕士学位论文 2 2 5 解有限元方程求节点位移 通过应力平衡的微分方程导出固体中的声波方程，再利用有限元软件求解代数方 程组，解出全部未知节点位移，由节点位移可以反求单元应变，再通过物理方程式反 推单元的其他量，如应力。各向同性线弹性固体中波动模拟的有限元运动方程见2 3 节。 2 3 固体中声波方程的有限元形式 2 3 1固体中的声波方程 各向同性弹性固体介质中声波方程的矢量形式为 ( 2 + 2 a ) v v u + 2 v xvxu + q = p 窘 ( 2 3 ) 上式中左边第一项对应于纵波，第二项对应于横波，第三项为体力项。 进一步对上式中的位移矢量“和体力q 分别做亥姆霍兹( h e l m h o l t z ) 分解，令 比= v 伊+ v xy ，q = v 鳞+ v xq p( 2 - 4 ) 且满足 v x ( v ) = 0 ，v ( v x l | f ，) = 0 v x ( v q 妒) = 0 ，v 。( v x 线) = 0 ( 2 - 5 ) 对公式( 2 - 3 ) 两侧分别取散度和旋度并利用( 2 - 5 ) 式，可得 v 以= v ( v 力+ v ( v x 缈) = v 2 缈 v 口= v x ( v 矽) + v x ( v x y ) = v x ( v x y ) ( 2 - 6 ) 由式( 2 6 ) 可见，如果求得位移口矢量场，分别求其散度场和旋度场，即可将总波场 分离为纵、横波分量。 2 3 2 动力学有限元方程 固体中声波传播的动力学问题为四维( x , y ，z ，f ) 问题。这里只对空间域进行离散， 将区域划分为有限个单元。在单元e 内选择位移插值函数u ( x ，y ，z ，f ) ，应用拉格朗日 ( l a g r a n g e ) 方程或哈密顿( h a m i l t o n ) 原理，可以得到有限元运动方程为 第二章固体声波方程的有限元方法 m i i ( t ) + k a ( t ) = p ( f ) 式( 2 7 ) 为关于时间t 的二阶常微分方程组。其中 fee 膨= m 。k = k 。p ( ，) = ( 碟力+ 群。) + 只( r ) m 。) - f f f p n r n d v ，k 扣) _ 胪r d b d v v i e )v i e ) 掣= 7 酗，掣= 7 q d v & 矿( 2 4 吸收边界 ( 2 7 ) ( 2 - 8 ) 当用有限元方法求解开区域散射时，为了限制未知量的个数，必须用人工边界截 断无限区域，使其变成有限域进行求解。而为了得到唯一的有限元解，必须在人工边 界处引入边界条件。此边界条件对散射场要尽可能透明，也就是说由边界引起的反射 最小，将区域模拟成所有声波传出区域的情况。为达到这个效果，此类的人工边界叫 做吸收边界条件。 近年来发展的吸收边界有很多，使用最广泛的为l y s m e r 边界，另外还有s a r m a 边界、c l a y t o n l 2 8 1 边界、h i g d o n 2 9 】边界、多次透射边荆3 0 1 和p m l 完全匹配层吸收边界。 c l a y t o n 边界和多次透射边界都为外推型的边界条件，p m l 吸收边界、l y s m e r 边界和 s a r m a 边界都为阻尼型的吸收边界。 2 4 1 粘性边界 粘性边界由l y s m e r 【1 5 】等于1 9 6 9 年提出，是最早的局部人工边界，其思想是通过 在边界上设置阻尼器以吸收系统在振动过程中向外辐射的能量。以二维平面弹性波动 为例。二维出平面弹性波动方程为 器+ 万a 2 u = 吉粤a t ( 2 - 9 ) 一+ 一= 一一 i ，一 ，- 缸2 。却2c 2 2 p 吖 式中c 为剪切波速，c = 詈。其中g 为剪切模量，p 为质量密度。 与边界法向成口角的外传平面波表达式为 , = f ( x c o s o + y s i n 0 一c f )( 2 - 1 0 ) 1 0 中国石油大学( 华东) 硕士学位论文 式( 2 - 1 0 ) 满足波动方程( 2 - 9 ) 。设人工边界与y 轴一致，如图2 - 6 表示。 图2 - 6 f i 9 2 6 人工边界、 _c ， t c i i 9i p 垒 淹少 以入射角目入射到人工边界的平面波 p l a n ew a v eo fa n g l epi n c i d e n t i n gt ot h ea r b i t r a r yb o u n d a r y 方程( 2 - 1 0 ) 也满足人工边界上外行单侧波动方程： 南罢+詈=0(：2-1cos ， 9a x乱 。 在入射角口的一个小范围内，式( 2 1 1 ) 变为 丝+三丝：o(2-12)一十一一= i - c 3 xca t 这就是著名的粘性边界。 它的物理意义是在人工边界上布置一系列每单位面积阻尼系数为p c 的相互独立的 粘性阻尼器。粘性边界在入射角较大时误差较大，但是它简便实用，物理概念清楚，且 易于在程序上实现，所以曾获广泛应用。 2 4 2s a r m a 边界 s a r m a 吸收边界就是在边界向计算区域内若干层单元上添加瑞利( r a y l e i 曲) 阻尼。 瑞利阻尼矩阵为 c 2 = a m + 胚 ( 2 - 1 3 ) 加入边界阻尼项的整体有限元运动方程( 2 7 ) 变为 m i i ( t ) + c a ( t ) + k a ( t ) = p ( t ) ( 2 1 4 ) 其中c = c + c 2 。 本文主要使用l y s m e r 边界和s a r m a 边界消除反射和振荡。 第三章固体中双缺陷的声波散射 第三章固体中双缺陷的声波散射 对固体中的缺陷对声波散射特性进行研究已有很长时间的历史。很多学者都对含 裂纹固体的声传播进行研究，但大多数的研究都限于单裂纹和表面裂纹的情况【3 m 4 1 。 l i u 3 5 1 等应用近场区域使用有限元法和远场区域使用边界元法的混合法，研究了层状弹 性固体介质缺陷对波传播的影响。d a t t a 9 】等应用含有吸收边界的平面应力有限元模型 研究各向同性和各向异性介质中声波的传播。而圆柱形缺陷的研究早在2 0 世纪5 0 年 代就开始了，w h i t e 3 6 】研究了弹性固体中的异质圆柱对连续入射纵波和入射横波的散 射特性。m i k l o w i t z t 3 7 1 计算了脉冲超声波的散射问题，得出了散射波连续绕孔壁螺旋旋 转的理论预计。应崇福【3 】使用动态光弹实验方法首次观察到脉冲平面横波入射到固体 圆孔时，散射横波绕孑l 壁的螺旋旋转“爬行”，证实了这一理论预计。但是，由于脉冲 平面纵波入射时，由于绕孔壁的散射纵波衰减很快，光弹实验中没有清晰地观测到绕 孔壁的螺旋旋转。x u e 3 8 】等使用有限元方法模拟了固体介质中弹性波的传播和散射， 对超声波散射起了重要作用。 n n k i s h o r e t l l 】应用有限元方法模拟在点源纵波入射下的散射截面，给出能量 的角分布，但是他们的研究没有涉及入射波沿孔壁的爬行现象。李树榜【1 3 】应用有限元 方法模拟了脉冲超声平面纵波和横波入射下的单一孔洞的入射情况，给出了缺陷对脉 冲超声波的散射和波形转换，给出了波场快照图和扫描曲线。 总之，我国国内使用有限元方法研究超声波散射的数值模拟比较少，特别是对多 个内部缺陷情况，目前尚未见报道很少。因此，本章将对固体中存在两个缺陷时的散 射情况进行研究。 3 1 主要计算参数的选择 本章考虑的两个缺陷情况下的声波散射问题，此时的缺陷均为理想的真空情况。 计算时，无论是裂纹还是空洞缺陷，其模型的空间步距、材料、波源选择如下： 选用铝( a 1 ) 作为基材。材料参数分别取为e = 6 9 5 5 g p a ，u = o 3 4 ，p = 2 7 0 0 k g m 3 。 波源选用频率f = 4 m h z 的一个周期的正弦脉冲，函数表达式为 1 2 中国石油大学( 华东) 硕士学位论文 们) = s i 。：主筹 p - ， 其时域波形如图3 - 1 所示。各波速和波长为 1 ，口= 6 3 0 0 m s ，v ，= 3 1 0 0 m s ，v ，= 2 9 0 0 m s ； z 。= 1 5 7 5 m m ，五= 0 7 7 5 m m ，4 = 0 7 2 5 m m 。 由4 确定选取空间步距a x = o 1 m m ，然后由，口和 缸确定a t = 0 0 1 5 f l s 。 为逼近实际波源，波源宽度根据具体确定，置 于自由表面中心。其表面质点振动分布假设为高斯 分布，高斯分布函数为 扰( 孝f ) = 地一彤口 图3 1 波源时域波形 f i 9 3 - 1 t i m ed o m a i nw a v e f o r m o fs o u r c eo fw a v e s ( 3 2 ) 式中孝卜# a ，b 为声源高斯系数，在实际计算中b 取为4 。 建立有限元计算模型时，首先由计算区域的最短波长确定最小空间步距缸，在 每一有意义的波长内结点数不应少于8 个。时间步距缸应满足a t 缸一( v 一为区 域内最大波速) 。 3 2 双直裂纹的声波散射 3 2 1计算模型 双直裂纹的有限元计算模型如图3 2 所示。计算区域为厚度为1 2 m m 的无限长均 匀铝板中截取长为4 0 m m 的一段。图3 2 模型一中裂纹所在位置为表面下6 m m 处的两 个裂纹，裂纹长度均为1 6 m m ，裂纹相对于截取的区域中心对称，两裂纹的中心距为 1 6 r a m 。裂纹间隙均为0 1 m m 。图3 2 模型二中两裂纹分别位于表面下5 2 m m 和6 8 m m 处，裂纹长度均为1 6 m m 。波源及加载方式均为在左自由边界上2 a = 1 2 m m 的宽度上 施加的x 方向应力边界条件。左、右边界为自由边界，上、下边界为人工截断边界， 施加了吸收边界条件。利用区域的对称性简化计算，可以得到不同时刻位移散射场的 散度和旋度快照图。在相同的计算条件下，对区域有无缺陷时分别进行计算，然后用 1 3 第三章固体中双缺陷的声波散射 镉 r - - r 丰 蹲 鲻 量 n 搦 r - r 丰 熙 爆 蚕 t q 模型一 模型二 图3 2 双直裂纹有限元模型图 f i 9 3 - 2f e mm o d e lo ft w ov e r t i c a lc r a c k s 有裂纹时各结点计算数据与无裂纹时对应时刻、结点计算数据相减的方法分离出散射 波。由于在文献 1 8 】中已经对单个缺陷的散射有了详细的阐述，本文只针对多缺陷的 纯散射场和二次散射场进行研究。 3 2 2 模型一计算结果及讨论 图3 - 3 和图3 - 4 分别给出了模型一在1 4 7 p s 时刻一次散射的散度( d i v e r g e n c e ) 和旋 度( c u r l ) 场的波场快照图和1 7 1 比s 时刻二次散射的散旋度场的波场快照图。 一次散射波场的散度场快照如图3 3 ，除去了入射波，各波形依据波形所在的位 置和速度来判定。在此例中，把图中靠近区域上边界的裂纹称为裂纹一，靠近下边界 的裂纹称为裂纹二，由于区域是对称的，两裂纹产生的波形相同，因此以裂纹一为例。 在散度场快照( 左图) ，可以清楚观测到，平面纵波入射到裂纹一表面产生的反射纵波 r - p ，裂纹尖端处产生的散射纵波t s p ，沿裂纹表面处传播的裂纹表面波r 和沿入射 方向散射的纵波f s p 。从旋度场快照( 右图) ，快照可以清楚看到裂纹尖端处产生的散 射横波t s s ，随着时间的推移，此波向区域中扩散，同时靠近裂纹的部分则沿着裂纹 表面传播。散射纵波t s p 和反射纵波r - p 在声场中的传播，并且两个裂纹产生的同 1 4 中国i 油大 ( 华东) 顿十学位论文 图3 - 4 模型一17 1 p s 时刻二次散旋度场被场快照图 f 9 3 - 41 7 1 卢sd i v e r g e n c ea n dc u r l f i e l ds n a p s h o t o f r e s c a n e r i n go f m o d e lo r e 种波在重叠处叠加，对波阵面起一定的影响。裂纹一的一次散射纵波t s p 在向区域 中传播扩散的过程中，遇到了裂纹二，接近垂直入射于裂纹二的尖端，产生二次散射 波。二次散射波较一次散射场弱，在一次散射波场中无法清晰观测因此去除一次散 射的影响，专注于二次散射，如图3 _ 4 。左图中所示柱面纵波p 1 ，即为二次散射纵波， 它是由一次散射纵波( t s - p ) 入射到到裂纹二的尖端所产生的沿着裂纹表面向区域中 第= 章嘲体中日缺陷的p 波散射 扩散。右图则可以看到，产生的二次散射平面头波h l ，柱面横波s 1 裂纹表面波r l 。 这些波继续向空间中或者沿裂纹表面传播，发生多次散射，散射波也越来越弱，从此 图中已经无法观测到。 在实际测量中，在底面和表面分别测量。比较波阵面的差异除了较强的反射波 还能够测出含有头波信息的情况，即为此种裂纹分布的情况。再根据头波与反射纵波 出现的时白j 差，即可确定裂纹为何种具体的分布( 裂纹的深度、裂纹间距离等) 。 3 23 模型二计算结果及讨论 图3 - 5 分别给出了模型二在1 7 1 , u s 时刻的一次和二次散射散旋度波场快照图。 r - p 之 d i v e r g e n c e f s p ； t s i 1 图3 - 5 模型二1 7 1 t s 时刻一次散射散旋度场波局快照图 f 孵- 5 i7 1 , u sd i v e r g e n c ea n dc u r l f i e l ds n a p s h o t o f s c a t t e r i n go f m o d e ! t w o 在模型二中我们把距离表面近的裂纹叫做裂纹一，距离底面近的裂纹叫做裂纹二。 声波通过裂纹一，产生反射波r p 1 和散射纵波t s p l ，由于入射波仅在刚通过裂纹一 时波阵面有缺口，长时间传播后缺口不明显。在入射波的方向上形成总散射纵波f s p ， 其为一次散射波通过裂纹二后产生的沿入射波的二次散射纵波和一次散射纵波的叠 加，如图3 - 5 左圈。而在图3 - 5 的右图中可以看出入射波在两个裂纹尖端处产生的散 射横波t s s l 和t s s 2 。除去入射波在裂纹一上的一次散射，可以清晰看到1 7 1 p s 时 刻裂纹二的一次散射场和裂纹一的二次散射场，如图3 - 6 。入射波在裂纹二处产生的 1 6 蚰 如 期 功 瑚 仰 0 中目i ( 毕束1 碰i 学位论文 图3 - 6 模型二17 1 芦时刻二次散射散旋度场波场快熙图 f i 9 3 1 6 17 1 a s d i v e r g e n c ea n dc u r l f i e l ds n a p s h o t o fr e s c a t t e r l n go f m o d e l t w o 反射波r - p 2 向裂纹一的背表面方向传播，垂直入射到裂纹一的背表面处。因此，在 裂纹一的背表面也会产生二次反射波，从图3 - 6 左图中可以看出。出于反射声波r - p 2 刚刚通过裂纹一，在近表面方向上可以看到波阵面上的缺口，二次散射的波如图中标 注为r - p l 和t s - p 1 。同时，从图3 - 6 右图可以观测到裂纹一的二次散射横波t s s i 。 如此反复- 裂纹一产生的二次散射波r - p 2 在两个裂纹中间继续传播散射，就会产生 多次散射波。声波能量逐渐消耗，波形在本图中就不可见了。从图3 4 ( d ) 中可以看出， 通过在表面和底面测量这些波的速度、到达时间以及强度等，就可以了解裂纹的构成 和裂纹的距离。 3 3 双斜裂纹的声波散射 3 3 1 计算模型 双斜裂纹有限元模型图如图3 7 所示。计算区域为厚度为1 2 m m 的无限长均匀铝 板中截取长为3 0 m m 的一段。图3 7 模型一中含有裂纹中心所在位置均为表面下6 m m 处的与表面成4 5 。的两个裂纹裂纹长度均为1 6 r a m ，两个裂纹中心相对于截取的区 域中心对称，两裂纹的中心距为1 6 n u n 。裂纹间隙均为o 1 m m 。图3 7 模型二中两裂 7 第三章固体中双缺陷的声波散射 y 模型一 y 模型二 图3 7 双斜裂纹有限元模型图 f i 9 3 -