（计算数学专业论文）关于几类微分算子积的自伴性研究.pdf

内蒙古师范大学硕士学1 立论文 中文摘要 常微分算子理论给微分方程、经典物理学、现代物理学等其它学科 提供了统一的理论框架，是常微分方程、泛函分析、空间理论及算子理 论等理论和方法于一体的综合性、边缘性的数学分支。其研究领域主要 包括微分算子的谱分析、自伴扩张、亏指数理论、特征函数的完备性， 以及反问题等许多重要分支，内容丰富。 常微分算子理论的研究最早在十九世纪初随着固体传热的数学模型 问题和由求各类经典数学物理定解问题而产生的。微分算子的自伴问题 是微分算子理论的重要组成部分，受到广大国内外学者的普遍关注。此 前对微分算子的积算子白伴的研究主要集中于由同一个对称微分算式生 成的两个或多个微分算子积的自伴问题上，取得了一些成果。本文在他 们研究成果的基础上利用自伴算子的基本理论及矩阵运算，研究了由不 同微分算式生成的微分算子积的自伴性。首先讨论了由不同的两个四阶 微分算式生成的两个微分算子积的自伴问题，其次讨论了一个四阶微分 算式和一个二阶微分算式生成的微分算子积的自伴问题，并且得到了积 算子自伴的充分必要条件。 全文共分为四章。 第一章：引言和预备知识部分，主要是关于微分算子的积算子白伴 的研究情况和对称微分算子的一些基本知识。 第二章：讨论由两个不同四阶微分算式d 4 + d 2 ) + 仉( f ) ( f = 1 ，2 ) ， j ( 这里d = 导，f ，= 【口，易】) 所生成算子的积算子自伴问题，。得到积算子对 口z 称时系数满足的条件、积算子是自伴的充分必要条件及系数相同时积算 内蒙古师范大学硕士学位论文 子自伴的充分必要条件。 第三章：讨论由两个不同的对称微分算式d t 4 ，+ d f 2 j + g ，( f ) 和 d + g ：( f ) ( 这早d = 妥，f ，= 口，6 】) 生成算子的积算子自伴问题，并得到了积 “ 算子对称时系数应满足的条件和积算子自伴的充分必要条件。 第四章：讨论由二阶微分算式d + g ( f ) 和四阶微分算式 j d “+ g ：( f ) ( 这里d = 导，f j = 口，6 】) 生成算子的积算子自伴问题，并得到了积 0 算子对称时系数应满足的条件和积算子自伴的充分必要条件。 关键词：对称微分算式，积算子，自伴算子 内蒙古- 师范大学硕士学位论文 a b s t r a c t o r d i n a r yd i f f e r e n t i a lo p e r a t o r st h e o r yc a ns u p p l yt h et h e o r yb a s i sf o r d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，c l a s s i c a lp h y s i c s ，m o d e mp h y s i c sa n do t h e rt e c h n i q u e f i e l d s ，w h i c hi s ac o m p r e h e n s i v ea n d m a r g i n a lm a t h e m a t i c sb r a n c ho f o r d i n a r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，f u n c t i o n a la n a l y s i s ，s p a c et h e o r y , o p e r a t o r s t h e o r ye t c i ti n v e s t i g a t e sag r e a td e a lo fi m p o r t a n tp r o b l e m s ，s u c ha ss p e c t r a l a n a l y s i s ，a d j o i n te x t e n s i o n ，d e f i c i e n c y i n d e x t h e o r y , c o m p l e t e n e s s o f e i g e n f u n c t i o n s ，i n v e r s eq u e s t i o n sa n ds oo n t h es t u d yo fo r d i n a r yd i f f e r e n t i a lo p e r a t o ro r i g i n a t e df r o mt h es o li d h e a tt r a n s f e rp r o b l e ma n dv a r i e t yo fc l a s s i c a lm a t h e m a t i c sp h y s i c sd e f i n i t e s o l u t i o n si ne a r l y19 t hc e n t u r y t h es e l f - a d j o i n t n e s so fd i f f e r e n t i a lo p e r a t o ri s ai m p o r t a n tp a r to fd i f f e r e n t i a lo p e r a t o rt h e o r ya n di si n t e r e s t e di nm o r e m a t h e m a t i c a lr e s e a r c h e r si n t e r n a t i o n a l o ns e l f - a d j o i n t n e s so fd i f f e r e n t i a l o p e r a t o r sp r o d u c th a v eo b t a i n e ds o m er e s u l t sw h i c hf o c u so nt h es a m e d i f f e r e n t i a l e x p r e s s i o n i nt h i sp a p e r , w eg e tt h es e l f - a d j o i n t n e s so ft h e p r o d u c to p e r a t o r sg e n e r a t e db yd i f f e r e n tt w od i f f e r e n t i a le x p r e s s i o n sb y o p e r a t o rt h e o r ya n dm a t r i xc a l c u l a t i o n f i r s t ，w ed i s c u s st h es e l f - a d j o i n t n e s s o fp r o d u c to fo p e r a t o r s g e n e r a t e db yt w od if f e r e n t4 t h o r d e r d if f e r e n t ia l 内蒙古师范大学硕士学位论文 e x p r e s s i o n s s e c o n d ，w e in v e s t ig a t et h es e lf - a d jo i n t n e s so fp r o d u c to f o p e r a t o r sg e n e r a t e db yo n e2 n d o r d e rd i f f e r e n t i a le x p r e s s i o n a n da n o t h e r 4 t h o r d e rd i f f e r e n t i a le x p r e s s i o n t h i sp a p e rc o n t a i n sf o u rc h a p t e r s c h a p t e ro n ei sd i v i d e di n t ot w op a r t s ：i nt h ef i r s tp a r t ，w eg i v et h es i m p l e s u m m a r i z eo fa d j o i n t n e s so fd i f f e r e n t i a lo p e r a t o rp r o d u c t ；i nt h es e c o n dp a r t ， w eg i v et h eb a s i ck n o w l e d g eo fs y m m e t r i cd i f f e r e n t i a lo p e r a t o r s c h a p t e rt w oc o n t a i n s t w op a r t s ：i nt h ef i r s t p a r t ，w ed i s c u s s t h e s e l f - a d j o i n t n e s s o ft h e p r o d u c to fo p e r a t o r sg e n e r a t e db y t w od i f f e r e n t 4 t h o r d e rd i f f e r e n t i a le x p r e s s i o n s d 1 4 ) + 。2 ) + g ，( f ) o _ l ，2 ) ，( 。= 瓦d ，f ，= 【以，6 】) ， o b t a i nt h es u f f i c i e n ta n dn e c e s s a r yc o n d i t i o n sw h e np r o d u c to p e r a t o ri s s e l f - a d j o i n t i nt h es e c o n dp a r t ，w ed i s c u s st h es e l f - a d j o i n t n e s so ft h ep r o d u c t o fo p e r a t o r sw h e nc o e f f i c i e n t sa r es a m e i nc h a p t e rt h r e e ，w ed i s c u s st h es e l f - a d j o i n t n e s so ft h ep r o d u c t o f o p e r a t o rg e n e r a t e db ys y m m e t r i cd i f f e r e n t i a le x p r e s s i o nd 4 + d 2 + g i ( f ) a n d d 4 + 9 2 ( f ) i nc h a p t e rf o u r , w ei n v e s t i g a t e st h es e l f - a d j o i n t n e s so ft h ep r o d u c to f o p e r a t o rg e n e r a t e db ys y m m e t r i cd i f f e r e n t i a le x p r e s s i o nd 2 + q i ( f ) a n d d 4 + q 2 ( f ) 内蒙古师范大学硕士学位论文 k e yw o r d s ：s y m m e t r i cd i f f e r e n t i a l e x p r e s s i o n ，p r o d u c to p e r a t o r ， s e l f - a d j o i n to p e r a t o r 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研 究工作及取得的研究成果，尽我所知，除了文中特别加以标注和 致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成 果，也不包含本人为获得内蒙古师范大学或其它教育机构的学位 或证书而使用过的材料。本人保证所呈交的论文不侵犯国家机 密、商业秘密及其他合法权益。与我一同工作的同志对本研究所 做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示感谢。 签名：玉抡 日期：p z o 年占月4 日 关于论文使用授权的说明 本学位论文作者完全了解内蒙古师范大学有关保留、使用学 位论文的规定：内蒙古师范大学有权保留并向国家有关部门或机 构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅，可以将学 位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影 印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文，并且本人电子 文档的内容和纸质论文的内容相一致。 保密的学位论文在解密后也遵守此规定。 签名： j 捧导师签名：沙oj 日期：o 年 ( 月牛 日 第一章引言和预备知识 第一章引言和预备知识 1 1 引言 常微分算子理论给微分方程、经典物理学等其它学科提供了统一的理论框架，是 常微分方程、泛函分析、空间理论及算子理论等理论和方法于一体的综合性，边缘性 的数学分支。其研究领域主要包括微分算子的谱分析、亏指数理论、自伴扩张、特征 函数的完备性以及反问题等许多重要分支，内容丰富。 常微分算子理论的研究最早在十九世纪初随着固体传热的数学模型问题和由求 各类经典数学物理定解问题而产生的。1 9 1 0 年，h w e y l 就将经典的s t u r m l i o u v i l l e ( s 二l ) 问题推广到无穷区间上，开创了奇异s l 问题的基本理论研究。二十世纪二 十年代，量子力学的诞生，是s t u r m l i o u v i l l e ( s l ) 理论成为量子力学理论的有力 数学工具，大大推动了量子力学的发展。进几十年来，国内外许多著名数学家在微分 算子理论方面做了大量的开拓性研究。特别是微分算子的谱理论，无论是从纯数学的 角度，还是从应用数学的角度都是非常重要的，它为微分方程的众多问题提供了统一 的解决模式和理论框架。正因为常微分算子理论在量子力学、物理学的其他相关领域 及另外一些学科罩起着非常重要的作用，使它引起了各领域罩众多学者的关注，反过 来促进了常微分算子理论的发展。 微分算子的自伴问题是微分算子理论的重要组成部分，受到广大国内外学者的普 遍关注。人们已经将对称算子的自伴扩张理论运用到了具体的微分算子中，获得了 对称微分算子自伴扩张的一般性描述。19 9 6 年，魏广生在文 1 中给出了微分算子自 伴域的新的解析描述，同年边学军在文 2 中研究了二阶自伴微分算子方幂的自伴性。 1 9 9 9 年，曹之江，孙炯，e d e d m u n d s 在文 3 中讨论了由正则和奇异的二阶对称微 分算式生成的微分算子的积算子的自伴性，得到了积算子为自伴算子时边条件应满 足的充分必要条件，从而开创了积算子自伴性延拓的判定条件和研究方法。2 0 0 3 年， 王於平在文 4 中讨论了由正则和奇异的四阶对称微分算式生成的微分算子积的自伴 性。2 0 0 4 年，杨传富，黄振友，杨孝平在文 5 中给出了在常型和奇型的情况下，由 微分算式d 一d p d + g ( f ) ( 这里d = ) 生成的两个四阶微分算子厶( f = 1 ，2 ) 的积算子 以f 厶厶自伴的充要条件j 同时证明了若厶和厶自伴，则l = 厶厶自伴的充要条件为 内蒙古师范大学硕士学位论文 厶= 乞，并且利用文 1 给出的自伴域的解析描述，在文 6 中解决了l 2 【口，6 】空间中m i l l ，( 少) 生成的微分算子积的自伴性问题。2 0 0 7 年，张新艳，王万义，杨秋霞在文 7 中利用自伴算子的基本理论及矩阵运算，得到了三个二阶微分算子的积自伴的充 分必要条件。2 0 0 8 年，张新艳，王万义在文 8 中研究了由只含2 n 阶项和零阶项的 高阶微分算式生成的三个极限点型微分算子积的自伴性问题，获得其自伴的充分必要 条件。 1 2 预备知识 设 蜘) = 姜a k d k y , d = 磊d ，书，6 】 ( 1 1 ) 为区间，上具有适当可微复值函数系数( f ) 的n 阶微分算式。若( f ) 不等于零，则 称，( 少) 正则。以，表示，的共轭算式，即，( j ，) = 竺。( 一1 ) d 。莉。l ( y ) = - i + ( j ，) ， 则称z ( y ) 是对称微分算式。具有适当定义域时，称，( y ) 是微分算子。 设 ， 表示，( j ，) ( 见( 1 i ) ) 的l a g r a n g e 双线性型，有格林公式 f l ( y ) - 乙d t f y l ( z ) = y ，z 】( 6 ) 一【j ，z 】( 口) ，= 【以，6 】。 ( 1 2 ) 本文记竹行m 列矩阵a = ( 口，) ，o = l ，2 ，n ；j = 1 ，2 ，m ) 。特别，一= m 时，简 、 7 ，月m 记a = k ，1。彳7 及a 分别表示a 的转置及共轭转置。0 ，0 。，e ，r 分别表示 、v ，i ，i 引理1 4 似1 设，( y ) 是定义于区间，= 口，b 】的2 九阶正则对称微分算式，由，( y ) 生 内蒙古师范大学硕士学位论文 成的微分算子是自伴算子的充要条件为：存在2 n 2 n 数量矩阵m ，n 使得l 的定义 域 d = y “( ，) i m c r y ( a ) + n a y ( b ) = 0 ) ， ( 1 9 ) 这里a y ( a ) ，c r y ( b ) 定义于( 1 4 ) ，且 ( 1 ) r a n k ( m o n ) = 2 n ； ( 2 ) m q ；- t u ( a ) m = ! 易( b ) 。 ， 引理，5 设彳，e c 为，z 刀矩阵，b ，c 可逆，则( 罢) 可逆，且 ( c a 轷b 廿c - ! 一。 4 第二章两类四阶微分算子积的自伴性( i ) 第二章两类四阶微分算子积的自伴性( i ) 本苹我们讨论山不i 司的对称微分算式 d 4 + d n + g ，c - t ) ( f = 1 ，2 ) ( 其中d = ，f j = 【口，6 ) g 1 生成的两个微分算予的积算子白伴性的判定条件。 定义微分算子厶( 浮1 ，2 ) 如下： ， 厶( y ) = 厶( y ) = y + y 幢+ 吼( f ) y ，y d u i ) cd m ( 厶) ， 1 - , i 1d ( ) = y 巩( ) ia c r y ( a ) + b c r y ( b ) = o ，ll 2 ( y ) = 1 2 ( y ) = y + y 忙+ 9 2 ( f ) y ，y d ( 1 2 ) c 7 d ，( 乞) ， 垮1 d ( ，2 ) = y d u ( 1 2 ) 1 c c r y ( 口) + d a y ( b ) = o 这里实函数g ，( 工) c 4 ( ，) ( f = l ，2 ) ，c r y ( t ) = ( y ( f ) ，y o ) ( f ) ，y 2 ( f ) ，y o ) ( f ) ) r 4 4 数量矩阵，且 r a n k ( a o b ) = r a n k ( c o d ) = 4 。 ( 2 1 ) ( 2 2 ) ，a ，b ，c ，d 为 ( 2 3 ) 由( 1 6 ) 计算得微分算子厶( j ，) 、l 2 ( y ) 的l a g r a n g e 双线性型矩阵q i = ( 以) 瞬邪。和 q 2 = ( g ；) 刚：。为： 则有 令 q j = q 2 = o1 1o o1 10 o1 1o o o oo，q 一= q = i ；要三亨 ( 2 4 ) ( y ) = ，( y ) = ( 乞( y ) ) = ( d 4 + d 2 + g i o ) ) ( d 4 + d 2 + 9 2 ( f ) ) y ， ( 2 5 ) 定理2 1 微分算子厶( y ) ，2 ( y ) 的积算子( y ) 对称当且仅当“( f ) = 彰( f ) 。 证明：因为 ，( y ) = y 8 + 2 y 6 + ( 1 + g i ( f ) + 9 2 ( f ) ) y 4 + 4 9 ；1 o ) y 3 + ( g i ( f ) + 9 2 ( f ) + 6 9 ：2 o ) ) j ，2 + ( 2 9 ：”( f ) + 4 9 ：3 o ) ) 少+ ( g ：4 ( f ) + g ：2 ( f ) + g i ( f ) 口2o ) ) y ， ，( j ，) = y 8 + 2 j ，6 牟( 1 + 9 1 0 ) + q 2 ( f ) ) j ，4 + 4 9 ：”0 ) y 3 + ( g i o ) + 9 2 0 ) + 6 9 ：2 o ) ) y 2 + 2 q l ( f ) + 4 9 f 3 ( f ) ) j ，。+ ( g ：4 o ) + g f 2 ( f ) + 9 i ( f ) 9 2 ( f ) ) y 所以，( j ，) = z + ( j ，) 当且仅当 内蒙古师范大学硕士学位论文 ( f ) = 9 f | j ( f ) ， qs ( f ) + 9 2 ( f ) + 6 9 ：2 ( z ) = q l ( f ) + 9 2 ( t ) + 6 q 1 2 ( f ) ， 2 ( f ) + 4 ( f ) = 2 ( t ) + 4 q 1 3 ( f ) ， g ：4 ( f ) + g ；2 ( z ) + g 。( f ) 9 2 ( f ) = q 1 4 ( f ) + g ：2 ( f ) + g i ( f ) 9 2 ( f ) 计算得“( f ) = g ( f ) 。定理获证。 得 设l ( y ) 的l a g r a n g e 双线性型矩阵为q 8 ( f ) = ( ) 吲懿，则由( 1 6 ) 及引理1 5 幺( f ) = 即 o - ( q i ( f ) + 吼( f ) + 4 9 ：2 ( f ) ) 一2 以”( f ) ( 1 + q l ( f ) + 9 2 ( f ) ) 0 以 0 一l q = o - q l ( t ) - - q 2 ( t ) - - 4 q ；2 ( f ) 一2 卅( f ) 一卜g l ( r ) 9 2 ( f ) h j = q l ( f ) + 9 2 ( f ) + 4 9 ：2 ( f ) o l + 吼( f ) + q a t ) o 2 o l o 掰1 ( f ) = 2 ( f ) 一( 1 + 吼( f ) + 9 2 ( f ) ) 0 2 0 - 1 o o g l ( f ) + 9 2 ( f ) + 4 9 ：2 o ) o l + q i ( f ) + 9 2 ( f ) o h i = 1 + g i ( f ) + 9 2 ( f ) 0 2 o l o o 0 h ：1 一h i 一f ( t ) 1 4 7 。 2 ( f ) 一1 一吼( f ) 一9 2 ( f ) ( 2 6 ) l+gi(f0)20+q!(f，c 2 7 ， l，f ) 7 、 l j ( 2 8 ) 直接计算可得 o - t , ( y ) = ( 乞( y ) ，疋( 少) ，疋2 ( j ，) ，砭3 ( y ) ) 7 = ( 日2 ( f ) o 日3 ( f ) ) ( y ，y t t ) , y 孙，y 7 ) 7 ( 2 9 ) 苴巾 、_ 日2 ( f ) = o q 2 ( f ) 2 硝( f ) 3 轷( f )熹0。甜1q20 q 2 ，凰= i ( f ) l j 3 彰( f )( f ) j 6 ( 2 1 0 ) l o o o o o o 0 o o o o o o o 2 o l o o o o o o之oo o o o 4一 o h ，。l 、肼仉 、， 1 0 o 0 o 之 o 。0 0 2 o l 0 o 五o o ，f。-。l 、，j o o 2 0 o ，o 之 o 0 0 o o 0 0 l ，。，。- 、， 0 0 0 l o o 1 0 o l 0 l l 0 1 0 ，。l 协 2 i 2 3 够旌以旌，f-_。-_。j_-_。-_。_-_。_。-_-一 第二章两类四阶微分算子积的自伴性( i ) 按照积算子( j ，) = l l 2 ( y ) 的定义，( 少) 的定义域是 d ( l ) = y i y d ( l 2 ) h l 2 ( y ) d ( 厶) ) = y i y d ( 厶) 且乞( y ) d ( 厶) ) ， 而，v y d ) 有l ( y ) = 厶厶( y ) ，这样，y d ( l ) 即： y d 0 ( 乞) ， c a y ( a ) + d a y ( b ) = 0 ，1 2 ( y ) p m ( ，) ，爿盯乞( j ，) ( 口) + b c r l 2 ( y ) ( b ) = 0 ， 故由( 2 9 ) 得 l l ( y ) = z ( j ，) = ( ，2 ( j ，) ) ，y d ( ) ， l d ( ) = y d u ( ，) im o y ( a ) + n a y ( b ) = 0 其中c r y ( t ) = ( y ( f ) ，y 。( 叭y ( f ) ) 7 ， m = ( 蠢。口，盎) ，= ( 芸。功盎) 。 c2 坳 定理2 2r a n k ( m o ) = 8 。 证明由( 2 1 2 ) 得 m 。：f ，c0n、i 。，do mo= i i o l 4 i l 彳2 ( 口) a h 3 jl 跗：( 6 ) b h 3 j f ，c 0 4 d 0 41 i a h ：( 口) a h 3b h 2 ( 6 ) b h 3 ) 因为初等变换不改变矩阵的秩，所以 砌尼c m n ) = r a n k 三詈：。驯) ， 且由( 2 1 0 ) 可得 r a n k ( a h ，o 删1 ) = r r a n k ( ao 召) ， 即有 r a n k ( m o ) = r a n k ( c o d ) + r a n k ( a o 曰) 由( 2 3 ) 知 r a n k ( c od ) = 4 ，r a n k ( a o 曰) = 4 ， 故有r a n k ( m o n ) = 8 。定理获证。 定理2 3 设风( f ) = 日，f 。厦( f ) + h ：( f ) i l i - 1 ；一只i f ( t ) h - f 1 研，则积算孑 l 三厶厶自伴的充要条件为： 7 内蒙古师范大学硕士学位论文 ( 1 ) c q ? a = d 所i n + b ； ( 2 ) a h 。，( o ) 彳b h o ( 6 ) 口+ 。 这里乞，a ，b ，c ，d ，q l ，h 。，h ：( f ) ，h ，f ( f ) 分别由( 2 1 1 ) ，( 2 1 ) ，( 2 2 ) ，( 2 4 ) ，( 2 8 ) ， ( 2 1 0 ) ，( 2 7 ) 定义。 证明：积算子l = 厶厶为( 2 11 ) 形式的八阶正则对称微分算子，由引理1 4 及 定理2 2 可得，要证明l = 厶厶自伴，等价于证明 蝈i 。( 口) m = 簖( 6 ) 矿， 这里9 1 ，肘，分别定义于( 2 6 ) ，( 2 1 2 ) 。利用矩阵计算可得 呦州= k 荔茅 ， n q ；如叫阴品瓮器) 又由( 2 8 ) 和( 2 1 0 ) 可得 h f 研= 3 h , - = q l fq 2 一， 故有 懈= ( 彳0 c 。焉。) ， 嘲州= ( b 0 。嚣。) ( 2 1 3 ) ( 2 1 4 ) ( 2 1 5 ) 因此m 簖1 ( 口) m = j 9 1 ( 6 ) + 当且仅当c q ? a + = d q 1 b 且彳风( 口) 彳。= 引( 6 ) b 。定 理获证。 推论2 1 当q l ( f ) = q 2 ( f ) 时， 矾( f ) = 日，月1 z ( f ) + 何：( f ) h i l q 一只日i ，( f ) 所研= 0 ， e v t 肽都成立，其中f ( f ) ，h ，h ：( f ) ，h 3 ，分别由( 2 7 ) ，( 2 8 ) ，( 2 1 0 ) 定义。 证明：由( 2 1 3 ) 可知 膏i 。h ；= 只h t = q i 一= q 2 ， 所以我们只需证明研1 哎( f ) + 日：( f ) 研一所。f ( f ) 所1 = 0 ，即 8 第二章两类四阶微分算子积的自伴性( i ) f ( f ) = ；( f ) q 。+ q 。h ：( f ) ( 2 1 6 ) 由( 2 4 ) 司得研= 一岛，因此 q , h ：( f ) = ( e ( f ) 研) = ( 一哎( f ) q i ) = 一( h ；( f ) q 1 ) 由( 2 4 ) ，( 2 7 ) ，( 2 10 ) 通过矩阵计算可得日：( f ) q 。+ q 。h ：( f ) = ，( f ) 。推论获证。 推论2 2 当g 。( f ) = q 2 ( f ) 时，积算子l = 厶厶自伴的充要条件为： c q i a = d 研b ， 这里，a ，b ，c ，d ，q 1 分别由( 2 1 1 ) ，( 2 1 ) ，( 2 2 ) ，( 2 4 ) 定义。 证明同定理2 3 的证明一样，要想证明l = 厶厶自伴，只须证明 m q s l ( 口) m = n q ；( 6 ) ， 这罩鲸，m ，分别定义于( 2 6 ) ， 2 1 2 ) 。当q l o ) = 9 2 ( r ) 时，由推论2 1 ，( 2 1 4 ) 和 ( 2 1 5 ) 可得 蚴州+ = 0 4c 。彳) ， n q 2 肛0 4 。q 。f 。i b * ) 所以m q ；( a ) m = n q i l ( 6 ) 当且仅当c q ；1 a + = d q ；。b 。推论获证。 9 内蒙古师范大学硕士学位论文 第三章两类四阶微分算子积的自伴性( i i ) 本章讨论山两个不同的对称微分算式 j d + d 佗+ g i ( f ) 和d + 9 2 ( f ) ( 其中d = 兰，f i = 口，明) 生成的两个微分算子积的自伴性的判定条件。 设 ( j ，) = y 4 + j ，2 + g i ( f ) 少，1 2 ( y ) = y 4 + 9 2 ( f ) y ，t ，= 【口，6 】， ( 3 1 ) 这里实函数g 愈) c 4 ( o q = l ，2 ) ，由( 1 6 ) 计算得微分算子“y ) 、1 2 ( y ) 的l a g r a n g e 双线性型矩阵q l = ( q ；) 附s 。和q 2 = ( g ；) 慨，鲥为： q l = q 2 = q i 一= 幺= 01 10 ol 一1o 0 一l 、 1o 00 oo ( 3 2 ) ( 3 3 ) 定理3 1 微分算子，( y ) ，1 2 ( y ) 的积算子( 乞( j ，) ) 对称当且仅当g 。( f ) ，q ：( f ) 酞。 证明：因为 ( 厶( y ) ) = y 伸+ y 6 + ( 9 io ) + 9 2 0 ) ) y 4 + 4 9 ：o ) y 3 + ( 9 2 + 6 9 ：2 ( f ) ) j ，2 + ( 2 9 ；( f ) + 4 9 ；3 ( f ) ) y ”+ ( g ：4 ( f ) + g ：2 o ) + g ，o ) 9 2 ( f ) ) y ， f ( 乞( j ，) ) = y ( 8 + y f 6 + ( g io ) + 9 2 0 ) ) j ，4 + 4 9 j 。o ) y 3 + ( 9 2 ( f ) + 6 9 ：2 o ) ) y 2 + 4 9 ：3 ( f ) y + ( g 4 ( f ) + g i ( f ) 9 2 ( f ) ) y 所以( 厶( y ) ) = 彳( f 2 ( j ，) ) 当且仅当 ( f ) = ( f ) ， g ：2 = q l ”， 2 q 2 。( f ) + 4 ( f ) = 4 9 ：3 ( f ) ， 玩4 ( f ) + g ；2 ( f ) + g i ( f ) 9 2 ( f ) = g ：4 ( f ) + g i ( f ) 9 2 ( f ) 计算得卅( f ) = g ：i ( f ) = 0 ，即q l ( f ) ，g ：( f ) 酞。定理获证。 1 0 o o o o 0 0 o o o o o l o 0 o 1 0 0 0 o 0 0 o o o 0 o o 0 1 0 1 0 0 o 1 o o o o o o 0 o o 第三章两类四阶微分算子积的自伴性( 1 i ) 定义微分算子厶( i = 1 ，2 ) 如下： 厶：脞力2 叫- 少2 9 i 乃烀d ( 柚c 、刚蚰， ( 3 4 ) ld ( = y 巩( 2 i ) ia o y ( a ) + b a y ( b ) = 0 厶：j 姒力= ，2 ( y ) = y 4 9 2 弘y e d ( 1 2 ) c d u ( 1 2 、) ， ( 3 5 ) ld ( 1 2 ) = y 巩( f 2 ) ic o y ( a ) + d a y ( b ) = 0 这罩q ，= g 如) r ( f = l ，2 ) 。，a y ( t ) = ( y ( f ) ，( f ) ，j ，2 ( f ) ，y 3 ( 呦r ，彳，b ，c ，d 为4 x4 数量 矩阵，且 r a n k ( ab ) = r a n k ( c o d ) = 4 。 ( 3 6 ) 设 ( j ，) = ，( y ) = ( ，2 ( y ) ) = ( d + d 1 2 ) + q i ) ( d 4 + 9 2 ) y ( 3 7 ) = y 8 + j ，6 + ( g l + 9 2 ) y 4 + 9 2 y 2 + 口1 9 2 y 其l a g r a n g e 双线性型矩阵为q 8 ( f ) = ( ) 融，s 。，则由( 1 6 ) 及引理1 5 得 即 q = 眨小萨b 譬吲) ， 其中q l 由( 3 2 ) 定义， ( 3 8 ) f = 一。二0 喜q ：，吼辜：- - ( q 号9 2 ) 吼：9 2 j0 0 q 0 1010 c3 9 ，f ：i - 9 2 o i + 9 2 ) o ( 3 9 ) i 吼+ 2 l l 一( g i + q 2 ) 一 j 内蒙古师范大学硕士学位论文 按照积算子( 少) = 厶l z ( y ) 的定义，l ( j ，) 的定义域是 d ( l ) = yly d ( l z ) f f - i l 2 ( y ) d ( 厶) ) = yiy d ( l 2 ) j | - 1 2 ( y ) j d ( 厶) ) ， 而，d ( l ) 有l ( y ) = l i l z ( y ) ，这样，y d ( l ) 即： y d u ( 1 2 ) ，c a y ( a ) + d a y ( b ) 5 0 ， 1 2 ( 少) l k ( z i ) ，a c r l 2 抄) 【口) + b a l z ( y ) ( 6 ) = 0 ， 故由( 3 1 0 ) 得 d ( l 彰y 葛黜m a 烀y ( 。a ) 黑n a y ( b ) = o 0 1) = 巩( z ) i + = 其中a y ( t ) = ( y ( f ) ，y 。( f ) ，y 7 ( f ) ) r ， m = ( 二孙= ( 暴才 定理3 2r a n k ( m o n ) = 8 。 证明运用定理2 2 的证明方法即得。 定理3 3 积算子l = 厶厶自伴的充要条件为： ( 1 ) c 所a = d o , - b ； ( 2 ) a ( 2 q ：所。一研f q , ) 彳b ( 2 q 2 q 1 一q 呀1 ) b + 。 这里l ，a ，b ，c ，d ，q i ，分别由( 3 1 1 ) ，( 3 4 ) ，( 3 5 ) ，( 3 2 ) ，( 3 9 ) 定义。 证明：同定理2 3 的证明一样，要想证明定理3 3 ，只需证明 m q 2 ( 口) m + = n q ；1 ( 6 ) 臣p - i 。由( 3 1 2 ) ，( 3 8 ) 运用矩阵运算可得 懈 = ( 彳；c _ ：篇赢么。) ， n q ；叫b 善慨篇0 b 。 i n i i t m q ；( 以) m = ! 万1 ( 6 ) + 当且仅当 c q i t 彳：dq i 一- b j ia q ) 一( 2 q 2 1 4 一f q , 一1 m ：b q , 一- ( 2 吼厶一心_ - ) 召+ 。定理获证。 1 2 第四章一类四阶微分算子与一类二阶微分算子积的自伴性 第四章一类四阶微分算子与一类二阶微分算子积的自伴性 1 9 9 9 年，曹之江，孙炯，e d e d m u n d s 在文 3 中不但给出了两个2 阶微分算子 积的自伴性的判定条件，而且得到了 2 阶微分算子 ( l = 一d 2 + g ( f ) ，t o ，佃) ， 口，b 】) 的幂算子r 是自伴的充分必要条件是l 为自伴算 子；若厶，厶为两个2 阶自伴微分算子，则积算子如厶为自伴算子必须满足厶= 厶； 并且举例说明厶，厶不是自伴算子，但积算子厶厶仍可为自伴算子。2 0 0 4 年，杨传富， 黄振友，杨孝平在文 8 中给出了在常型和奇型的情况下，由微分算式 j d - d p d + q ( t ) ( 这罩d = ) 生成的两个四阶微分算- 子l , q = l ，2 ) 的积算子厶厶自伴 的充要条件。同时证明了若厶和厶自伴，则l = l 2 l , 自伴的充要条件为厶= 厶。本章 j 讨论由二阶微分算式d 但+ g ，( f ) 和四阶微分算式d 4 + g ：( f ) ( 其中d = ，f ，= 【口，纠) “ 生成的两个微分算子的积算子自伴的充分必要条件。 设 ( y ) = y 2 + g i ( f ) y ， 1 2 ( y ) = y 4 + 9 2 ( ) y ，t i = 【口，b 】 7 ( 4 1 ) 这里实函数吼( f ) c 4 ( ，) ( 待l ，2 ) ，由( 1 6 ) 计算得微分算子( j ，) 、1 2 ( y ) 的l a g r a n g e 双线性型矩阵q i = ( q ；) 吲班：，q 2 = ( g ；) 例为： q 一= 匕 q 2 = oo 0o 0l 一1o ol 一1o 00 00 丹 o0二l 0lo 一10 o o 0o ( 4 2 ) ( 4 3 ) 定理4 1 微分算子( y ) ，1 2 ( y ) 的积算：l rl j ( 1 2 ( y ) ) 对称当且仅当g 。( f ) ，q ：( f ) 酞。 证明：因为 ( 厶( y ) ) = y 6 + q l ( f ) y 4 + 9 2 ( f ) j ，2 + 2 9 2 1 o ) y + ( g ：2 o ) + 吼( f ) 9 2o ) ) j ， r ( 乞( y ) ) = y 6 + 9 1 0 ) y 4 + 4 q 1 1 ( f ) j ，3 + ( 6 9 ：2 ( f ) + 9 2 0 ) ) j ，j + 4 9 ：3 ( f ) j ，1 + ( g 4 ( f ) + g l ( f ) 9 2 ( f ) ) y ： 所以，l ( f 2 ( y ) ) = 彳( 乞( j ，) ) 当且仅当 0 1 o 0 o 1。-，。，。l = = 研 q， 内蒙古师范大学硕士学位论文 ( f ) = 0 ， 9 2 ( f ) = 6 q l2 ( f ) + 9 2 ( f ) ， 2 ( f ) = 4 9 j 3 ( f ) ， g ：2 ( f ) + g 。( f ) 9 2 ( f ) = g ：4 ( f )