（计算数学专业论文）两阶段worstcase+cvar优化及其在电力市场中的应用.pdf

一y ，i - ：+：?， w o r s t c a s ec v a ro p t i m i z a t i o ni nt w o - s t a g ep r o b l e mw i t h a p p l i c a t i o ni np o w e r m a r k e t h e d o n g m e i b e ( t a i y u a nn o r m a lu n i v e r s i t y ) 2 0 0 8 at h e s i ss u b m i t t e di np a r t i a ls a t i s f a c t i o no ft h e r e q u i r e m e n t sf o r t h ed e g r e eo f m a s t e ro fs c i e n c e l n c o m p u t a t i o n a lm a t h e m a t i c s l n c h a n g s h au n i v e r s i t yo fs c i e n c e & t e c h n o l o g y s u p e r v i s o r p r o f e s s o rt o n gx i a o ji a o a p r i l ，2 0 1 1 长沙理工大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取得的 研究成果。除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或 集体已经发表或撰写的成果作品。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均 已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律后果由本人承担。 作者签名：缯冬搏日期：年月日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意学校保 留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借 阅。本人授权长沙理工大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库 进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。同时 授权中国科学技术信息研究所将本论文收录到中国学位论文全文数据库，并 通过网络向社会公众提供信息服务。 本学位论文属于 l 、保密口，在年解密后适用本授权书。 2 、不保密团。 ( 请在以上相应方框内打“4 ”) ： 作者签名： o 表 示供电企业风险的偏好程度，取值越小则说明越趋向风险 将( 1 2 ) 与( 1 3 ) 式代入( 1 4 ) 式，则得到： 嗽，动= 心一蜒 = 旦( r - f ) q 矿+ 窿r - f + 心一聊+ 一心一等) ( ) 且分配量满足： 瓦o u = f 2 k c r 2 f ) qg + 筹也一f _ 0 名。 = 一口+ 上+ “一一，= u 驴一 1 ，一f 唧 即得最优的合同购买量为： ：，： g 。_ q ( 1 一掣) ( 1 6 ) q 。与供电企业对风险的偏好程度k 有关，不同的k 则有不同的最优组合分配量即： io j l l p f g = 卜掣卵， ( 1 7 ) 选择最佳组合后，则可以得到该组合的方差仃。和收益万+ 假设在给定的置信水平卢下能 获得确定的收益为，则有： i a r = 以一a o 万 ( 1 8 ) ( 3 ) 发电商基于c v a r 的长期电能优化配置模型 设发电商的总资产为年度总发电量，将其在各个市场获得的发电收益看作是投资回 报，则可以用资产组合方法以及c v a r 风险理论来解决发电量在多个市场的分配问题 发电商希望风险尽可能的小，但期望总收益尽可能大，这是一个双目标的优化问题根 据多目标优化理论，可以将其中的一个目标约束在某一水平，求另一目标的最优化，如 将年度期望总收益约束在某一水平，使风险最小化，从而将多目标转化为单目标的优化 问题，得到的最优解是原问题的有效解 下面年度总期望的收益作为约束条件，使c v a r 风险水平最小化，建立在多市场中 分配的c v a r 投资组合优化模型【4 】 设x = ( 墨，吃，) 1 x 是发电商的一种投资组合，分量表示在第f 个市场所 分配的比例，且满足： 一o ，( f = 1 ，2 ，n ) rx t = 1 ， 又设只表示则第f 个市场的收益率，随机变量y r = ( 乃，y 2 ，y ) 的协方差矩阵和均 值向量分别为： = ( 仃盯) 。与r = ( “，2 ，”，) r ( x ，y ) 定义为投资组合的收益函数，则其均值e r ( x ，y ) 和方差仃2 尺( x ，少) 】分别为： e r ( x ，y ) 】= e ( ) = x 7 j l l 与仃2 【r ( x ，y ) = 仃2 ( ) = x 7 z x 发电商的损失函数f ( x ，y ) = - r ( x ，y ) 的表达式为： f ( x ，y ) = - - ( x l y l + 吃耽+ + h 肌) = 一x r y ( 1 9 ) 将( 1 9 ) 式代到c v a r 的计算公式( 1 2 ) ，磊( x ，a ) 的表达式为： ( 础) = a + 南k - x r y - a 】+ 础) 砂 ( 1 1 0 ) 工一工，7 上式的估计式为： 、 局( 毛a ) = a + 二而1 乏。 - x r y k - a 1 + ( 1 1 1 ) 其中市场收益率少的样本值取为：少1 ，y 2 ，y 肘，z k ( k = , 2 , - - - , g ) 为虚拟变量，且令 缸= 一x7 y 七一a 】+ ，后= 1 ，2 ，q ，从而有：气o 且z 七一x r y 七一a 则最小化c v a r 风险的投资组合优化模型为： 6 。膏感尺，元( 彬纠= a 十志_ 。：， s 。t o ，( f ：l ，2 ，) ，t = 1 ， x7 1 t e ， 气0 ， z 七一x r y 七一q 从而基于c v a r 的投资组合模型可以概述为：选择最优的投资组合，使得在未来一 定的时期内，在一定的置信水平下，在年度期望总收益的约束条件下，最小化可能遭受 的发电超额损失c v a r 1 4l a g r a n g e 对偶理论 l a g r a n g e 对偶理论在约束优化中发挥了重要的作用，该对偶理论可将一个比较复杂 的数学规划问题，转化为易于求解的另一个规划问题本节介绍l a g r a n g e 对偶理论【1 乒1 7 1 ， 运用该理论化简一类复杂的优化问题 记约束优化问题为： m i n ( x ) 其可行集记为： q 兰纠q ( x ) = o ，f e ；q ( x ) o ，f ， 对于约束优化问题( 1 1 2 ) ，记由等式约束组成的向量函数为h ( x ) ，由不等式约束组 成的向量函数记为g ( x ) ，对于材r i 川，d r i 捌，定义l a g r a n g e 函数： 三( x ，缸，v ) = 厂( x ) 一g ) t u - - 日( x ) r v ( ) 定义1 1 对于约束优化问题( 1 1 2 ) ，若存在x ，刀( 其中l o ，i ，) ，满足 三( x ，a ) 三( z ，r ) 三( x ，r ) ，v x r ”， o ，i ， 则称( x ，才) 为该约束优化问题的l a g r a n g e 函数的鞍点 根据l a g r a n g e 函数及鞍点的定义，如果 ，甜，) 是l a g r a n g e 函数的鞍点( 其中 7 d0 e ， ， z 仅仅 = 一 q q ?s u 0 ) ，那么对于任意的z r ”且满足甜，0 ，f i 的“、1 ，都有下面不等式成立： l ( x ，u ，v ) l ( x 。，”，v ) l ( x ，“，y ) 也就是说，鞍点是l a g r a n g e 函数关于( “，p ) 的极大值点与关于x 的极小值点( 这里 是针对全局而言的极大值或极小值) 下面我们考虑两个极值问题： m i n 。m a x l ( x ，u ，u ) ( 1 1 4 ) x e r ”u o u 、 m 脚a x m 俐i n l ( x ，u ，u ) ( 1 1 5 ) “o 。ux r ” 对于前一个优化问题( 1 1 4 ) ，易于验证： 曾m 脚a 。x ul ( x ，砧，u ) = m i n f ( x ) x l g ( x ) o ，日( x ) = o ) 而对于后面的优化问题( 1 1 5 ) ，我们引入如下函数： p ( ) = i n f ( x , u , v ) l x r ) 则可以得到约束优化问题( 1 1 2 ) 的w o l f e 对偶规划如下( 其中r t 7 i 空间中的非负象限用 尺! l 表示) ： m 3 2 4l ( x ，u ，1 ，) x ，v j s t v 工l ( x ，u ，v ) = 0 ， ( 1 1 6 ) ue 匙i ，v r 旧 约束优化问题( 1 1 2 ) 的l a g r a n g e 对偶规划为： m a xo ( u ，v ) ，v j s j “趔，v 一 ( 1 1 7 ) 对于问题( 1 1 2 ) 的两种对偶规划在一定意义上是一致的至于l a g r a n g e 对偶规划， 因为目标函数o ( u ，1 ，) 本身就为l a g r a n g e 函数关于x 的极小值，所以显然有 v ，l ( x ，u ，1 ，) = 0 将其代到l a g r a n g e 对偶规划的约束当中，即可得到w o l f e 对偶 下面给出线性规划和严格凸二次规划问题的l a g r a n g e 对偶规划 ( 1 ) 对于线性规划问题： 8 其l a g r a n g e 函数为： m i nc t x s t a x = b x o ( 1 1 8 ) 三( x ，甜，v ) = c r x - - u t x - - v r ( a x 一6 ) ( 1 1 9 ) 关于x 求极小，得到c a r ，一甜= 0 并将其代入( 1 1 9 ) 有： p ( 甜，v ) = i n f 三( x ，甜，y ) i x r 玎) = v r b 从而推出上述线性规划问题的l a g r a n g e 对偶规划为： m a xv r b s f 彳7 v c ( 2 ) 严格凸二次规划问题： r r f i n ，、x t 酝+ 9 7 x ， 。 s j a f x = b _ f ，i c e ， ( 1 2 0 ) 4 x - b i ，ie i 便于方便，记彳= ( q ) ，u e ，6 = ( 以) f ，并将问题( 1 2 0 ) 的l a g r a n g e 函数关于x r ”求极 小，得到： x = g 一( a u g ) ( 1 2 1 ) 结合( 1 1 7 ) 且舍去常数项，可以推出严格凸二次规划问题的l a g r a n g e 对偶规划为： 嗽一昙甜r ( 4 7 g 一1 彳) “+ ( 6 + 彳丁g 一1 9 ) ，“ s ? u i o ，f z ( 1 2 2 ) 原始规划问题和l a g r a n g e 对偶规划问题是两个不同的优化问题，下面的结论揭示 了两者的目标函数最优值之间的关系 定理1 1 ( 弱对偶定理) 设原始约束优化问题( 1 1 2 ) 和l a g r a n g e 对偶问题( 1 1 7 ) 的可 行解分别为x o ， o ，v o ) ，则有：f ( x o ) o ( u o ，v o ) 由定理1 1 还可以得到下面结论： i n f f ( x ) l g ( x ) o ，日( x ) = o ) s u p o ( ) 卜r 乎l , vr ) 它等价于： 9 簪珊三( x , u , o ) 磐骤三( x , u , 1 9 ) 原始约束优化问题和l a g r a n g e 对偶规划问题的目标函数值之间存在一个差，将其 称为对偶间隙一般而言，零对偶间隙在什么样的情况下成立是我们关心的焦点下面 的结论说明l a g r a n g e 函数存在鞍点能保证对偶规划中l a g r a n g e 函数可以交换m i n 和 m a x 两个极值过程 定理1 2 ( x ，甜，u + ) 是约束优化问题( 1 1 2 ) 对应的l a g r a n g e 函数( 1 1 3 ) 的鞍点 的充分必要条件是x 和( 甜，u + ) 分别为原始规划问题和l a g r a n g e 对偶规划的最优解，并 且对偶间隙为零 事实上，对于下面的凸规划问题( 1 2 3 ) ，满足s l a t e r 约束规格也可以保证对偶间隙 为零 其中，目标函数f ( x ) ：r ”jr 为一个凸函数，q ) ，i e 是线性函数，q o ) ，i ，是凹 函数 定理1 3 ( 强对偶定理) 对于凸规划问题( 1 2 3 ) ，记等式约束为h ( x ) = 血一6 = 0 ，不 等式约束为g ( x ) 0 又设存在一点x 使得g ( x ) 0 ，h ( x ) = 0 ，且矩阵彳行满秩，则有下 面结论成立： i n f 似) ) o ，h ( x ) = o ) - 砧s u 趔p 1 ，) v 刚 文献 1 8 】对于上述定理有详细的证明 1 5 本文的创新点及其章节安排 本文以w c v a r ( w o r s t - c a s ec o n d i t i o n a lv a l u e a t r i s k ) 作为风险度量工具，提出相应 于两阶段的风险一利润组合优化模型，在一定的分类情况下简化模型，运用数学上的分 析结果解决发电商的电能分配问题，并运用m o n t ec a r l o 进行数值仿真验证了模型的有 效性 本文的研究创新点如下： l o 动 2 e ， 仉仉 = 一功功功m 似砸 n u ， 舢 盯 基于w c v a r 指标，建立了两阶段的风险利润投资组合优化模型，在损失函数 为线性以及随机变量为离散界约束分布的假设下，运用最优化对偶理论将高维 复杂的r a i n m a x 多层复杂模型转化为简单的低维线性规划问题该研究是单阶 段w c v a r 分析方法的发展，可有效用在随机变量分布为非完全分布信息的市 场风险利润问题 在随机变量服从离散界约束分布下，建立了基于期望计算的w c v a r 风险利润 优化模型，并运用对偶理论将复杂的双层优化结构简化为易于计算的线性规划 问题 以电力市场的电力资产配置为应用背景，运用m o n t e c a r l o 模拟方法分析了发 电商在电力市场中的投资行为新模型能在随机变量分布信息部分已知的情况 下估算出其风险利润值，为发电商的投资组合和风险度量提供可行策略 本文的结构安排如下： 第一章为绪论，提出了课题的研究背景及两阶段的相关研究进展，介绍了与本文研 究相关的优化理论，发电资产组合的三种分配模型，并将本文的工作及结构安排进行了 简单介绍 第二章总体介绍了c v a r 、w c v a r 风险度量方法的定义、计算和性质，将它们进 行对比分析，然后引入了w c v a 服的组合优化模型，并对目前用于投资组合的w c v a r 风险度量方法，建立了两阶段的风险一利润优化模型 第三章和第四章为本文的重点，也是本文的创新之处，首先引入了离散界约束分布 概念，在此基础上讨论了在随机变量服从离散界约束分布下，建立两阶段的w c v a r 最 优组合模型以及基于期望计算的组合优化模型，进一步，将其化简为线性规划问题，并 采用m o n t e c a r l o 方法对电力资产分配进行了模拟，测试了模型的可行性 第五章是结论与展望，总结所研究的结论，并提出了进一步的研究方向 第二章w c v a r 风险度量及两阶段组合优化 2 1c v a r 和w c v a r 风险度量方法 对风险发生的概率大小或可能造成的损失大小进行估计和预测，不仅可以定性描 述，也可以对其进行定量分析其有效的风险管理是风险投资商取得成功的根本保证 风险度量是指在风险识别的基础上，运用概率论和数理统计的数学方法，据此估计和预 测各种风险发生的概率( 可能性) 或可能造成损失的程度通过风险度量，可以使人们对 风险损失给予及时和集中的关注，损失一旦得到准确的估计与度量，就使那些后果最严 重的风险识别变得非常容易 下面我们将对常见的几种风险度量方法( v 抿、c v a r 、w c v a r ) 进行简单的介绍， 并对这几种方法进行了比较 ( 1 ) v 狄的定义： 设x r 。和y r 分别为决策变量和随机变量，其中x z r5 且z 为凸集，随机 变量y r 的分布函数为p ( ) 记经济行为中的损失函数为f ( x ，y ) 对于固定的x z ， 在置信水平卢下，v a r 的定义如下 定义2 1v a r 是指在市场正常的波动下，在给定的置信水平下，处于风险中的价 值，某一资产组合在未来特定的一段时间内可能遭受的最大损失，其表达式如下： p r o b ( f v a r 口) = l _ 声 其中厂为资产组合在持有期内的损失，眦8 为资产组合在置信水平卢下处于风险的价 值 ( 2 ) c v a r 的定义与计算 在参考文献刀中，r o c k a f e l l a r 和u r y a s e v 提出了一种新的风险测量方法，称条件风 险价值法或超额平均损失，即c v a r ( c o n d i t i o nv a l u e a t r i s k ) ，其定义如下 定义2 2c v a r 是指在给定的置信水平和期限下，损失超过v a r 损失的平均值， 代表超额损失的平均水平，为其损失函数不超过风险v a r 口( x ) 的条件期望值，其表达式 1 2 如下： c v a r 芦( x ) = 南岫舷力舯。 ( 2 1 ) 其中卢表示置信水平，决策变量为x x r ”，x 表示投资组合的可行集，f ( x ，y ) 定 义为关于x 的损失函数，y r ”为随机变量，它的密度函数为p ( ) 根据定义2 2 中的数学表达式直接求解c v a r 口( x ) 是非常困难的，r o c k a f e l l a r 和 u r y a s e v 构造了函数乃( x ，口) 来间接地计算c 愀卢( x ) ( 参考文献 7 】) ： 磊伍a m 上1 - 3u 舷州钿砂 ( 2 2 ) 其中【】+ 的定义为： 明+ = m a x t ，0 并可得到如下结论： 九( x ) = c v a r a ( x ) = m 砌i n 易( x ，a ) ( 2 3 ) r 0 c k a f e l l a r 和u r ) ，嬲e v 进一步还证明了f p ( x ，a ) 是一个关于变量a 的分段线性函数， 且在损失函数f ( x ，y ) 为凸函数的假设下，函数凡( z ，口) 是一个关于变量a 的连续可微凸 函数，且有： 九( x ) = c 眦卢( x ) 2 嘶乃( x ，引 从而，c v a r 是一个凸规划问题的最优值 通常情况下，在采用c v a r 作为风险测量工具进行投资组合优化时，随机变量的分 布一般是不确定的，也就是密度函数p ( y ) 的解析式很难得到，但可根据掌握的信息， 对其未来做出估计假设有m 种情况可能出现，y 的取值为( 七= 1 , 2 ，m ) ，则函数 ( x ，a ) 可采用近似计算： 咖a + 南孕m 厂( x , y ) - a 】+ ( 2 4 ) 显然户是关于a 的分段凸线性函数 c v a r 考虑的是大于v a r 的损失平均值，反映了潜在的平均损失水平，其计算比较 简便，具有良好的统计和数学特性，在数学意义上，它为一个条件期望值，满足次可加 性，对尾部风险能进行良好的控制，能体现资产组合中所面临的真实风险，其应用的空 间也比较广阔，如：投资组合的优化、资本配置、信用风险的策略、金融监管与信息披 露等等 ( 3 ) w c v a r 的定义及性质 c v a r 都是假设已知随机变量y 的分布下计算的，但实际上，很多时候密度函数 p ( y ) 无法精确确定，只知道属于某一分布集合，如：p ( ) p 基于此，z h u - f u k u s h i m a 在其论文【9 1 中提出了非完全信息下最坏情况下的条件风险( w c v a r ) 概念，分析了 w c v a r 的性质，并证明了w c v a r 具有与c v a r 相似的风险度量性质，讨论在特殊的离 散分布和混合分布下w c v a r 模型的化简 定义2 3 对于固定的决策变量x x ，在给定的置信水平3 下，关于分布集合尸的 w c v a r 表达式为： w c v a r o ( x ) = s u pc v a r o ( x ) ( 2 5 ) 烈_ ) e ，。 结合( 2 3 ) 式可以得n - 孵脚卢( x ) 2 肥卿名( x ，口) ，。_ ) ， 从数学意义上讲，w c v a r 为条件期望的上界，考虑的是一种最坏情况下的风险法， z h u f u k u s h i m a 证明w c v a r 与c v a r 具有相同的性质，如一致性公理、凸性等风险管 理，能有效应用于电力市场的资产分配中 + ( 1 ) 满足次可加性：对于任意的随机变量x 和y ，p ( x + y ) p ( x ) + p ( r ) ； ( 2 ) 满足单调性：若x y ，则p ( x ) p ( r ) ； ( 3 ) 满足正齐次性：a o ，p ( z x ) = z p ( 彳) ； ( 4 ) 满足平移不变性：对于正数m r ，p ( x + m ) = p ( x ) + m 文献 9 详细证明了以上性质 满足上述4 条性质的风险度量方法称为一致风险度量 1 4 2 2w c v a r 度量下的优化模型 一 在风险投资市场中，假设投资者共有力个风险投资产品设投资的决策变量为 一，y 。) r ”为随机 ，由1 2 中的定义 a ) ( 2 6 ) ( 2 7 ) ( 2 8 ) 2 3 两阶段的w c v a r 风险_ 利润优化模型 本节中设概率密度函数p ( ) 尸，其相应的符号记为：+ 髟( x ，a ) 、c 凇言( x ) 设随机变量y 的分布信息满足p ( ) 昂，其中尸d 为某分布集合，根据2 2 节中 w c v a r 的定义，对任意的p ( ) 尸d ( 假设为紧凸闭集) 以及给定的置信水平j b 下， 根据式( 2 8 ) 建立两阶段w c v a r 的利润风险投资组合优化模型，其决策模式为决策- 观察决策观察，决策者可在每一阶段初可对决策方案进行调整，为了使用方便，下面 先给出将用到的记号 c o 。表示初始资产，为一给定的参数； x = ( x l l ，_ ，x 。) r z 表示发电商在第一阶段的投资组合，分量而，表示发电 商的年度总电量在第i 个市场的资产值，是一个决策变量，应满足： 1 r 五= 1 x l j = c o 。，而z ； y l = ( y l l ，y l f ，少l 。) r 为第一阶段的随机变量，且y l f o ，( 1 i ，2 ) ； q = y j x ：表示第一阶段末的资产； x 2 = ( x 2 1 ，一，x 2 一，x 。2 ) r z 为发电商在第二阶段的投资组合，分量x 2 。表示发电商 的年度总电量在第i 个市场的资产值，为一决策变量，且有： 1 r x 22c o l ； y 2 = ( y 2 l ，一，y 2 f 一，y 2 。) r 为第一阶段的随机变量，k y 2 ，0 ，( 1 i 刀) ，并假设随机 变量y 。、y ：的联合分布是已知的； c 0 2 = y ；x 2 ：表示第二阶段末的资产； 定义指标集为：q = ( ，七) 1 1 ，l 七m j 第一阶段末的资产就是第二阶段初的资产，根据以上定义，两个阶段的决策变量有 如下的等式关系： f i r x 2 = y r x l = c o l l 少；x ：= 三。y ：，x ：， c o ： 1 6 根据上述定义，可建立两阶段的w c v a r 风险- 利润优化模型( 记为w c v a r 口) 如下： 曾孵( x ) = ( 圳m i n m ，a x ) e z 。r pe p 彤a ) 了z 【j ，a， 。 ( 2 9 ) 第三章离散界约束分布下两阶段w c v a r 优化模型 本章基于w c v a r 的定义，在随机变量服从离散界约束分布的情况下建立了两阶段 w c v a r 优化模型以及基于期望计算的两阶段w c v a r 利润一风险组合优化模型，该模型 具有多层m i n - m a x 的高维复杂结构，在损失函数是线性函数的情况下，运用l a g r a n g e 对偶理论将此复杂的优化模型化简为与之等价的简单规划问题 3 1 离散界约束分布 定义3 1设随机变量y 的样本空间中为： 最= “，y 2 9 9 y $ ) ( 3 1 ) 其中p ， 乃 = 万，墨1 7 r i = 1 ，7 r f o ，o = 1 ，2 ，s ) ，称只是一个离散分布类型因丌，没 有完全确定，只是满足关系式，故属于部分信息已知的分布问题 令万- - 0 r l ，刀2 ，”，万，) r ，记： q ，仗，万) = 仅+ 郦1 否s 巩 八五y k ) 一a + ( 3 2 ) 对于给定的x 和7 r c v a r 常! ； 为： c v a r 卢( x ) = 卿q ( x ，a ，r e ) ，a e f ( 对于固定的x 疋，关于只的w c v a r 定义为： w c v a r 声( x ) - - s u pc v a r 卢( x ) ， ，r e 昂 上式等价于： 嬲嘞( x ) = 鬻骝q ( 础，万) 定理3 1 若尸d 为紧凸集，则对任意的x ，有： 耽吼( x ) m 砌i n m y a 场x g 肛a ，少) ( 3 3 ) 即优化的m a x m i n 形式可转化为m i n m a x 形式 1 8 文献【9 j 对定理的证明有详细介绍 混合分布、离散分布下的界约束和椭球约束都是典型的非完全信息分布类型9 1 ，下 面给出在离散分布下常见的界约束和椭球约束分布 定义3 2 7 l e 芹= 石：万= 万。+ 却，e r 却= o ，巧。+ 却o ，i i 叩l l - 1 ) ，其中l l 硎= 叩_ ， 设万。为正态分布，彳硝心为一标量矩阵，e r a r = 0 和j r o + 却o 保证万为一个概率分 布，则称芹为离散椭球分布 定义3 3 t e 芹= 万：万= 万o + 叩，而= o ，翌7 7 _ ) ，其中p 定义为单位向量，翌和 叩为常数向量，t o 为已知分布，一般为正态分布，条件p r 叩= 0 保证万为一个概率分 布，则芹为离散界约束分布 定义3 4 设第一阶段随机变量y 。的样本空间中为尸d 。= j ，n y f 孙，y ：。) ，对每一个 _ ， 1 ，) ，第二阶段随机变量y 2 的样本空间为尸d 2 = 少妙，y ：( j 2 ) ，y ) ，两阶段中 随机变量y 。、y ：是相互独立的，根据联合概率有：p ( 业) = p 扫严，( ，七) q ，其中 p ， y f q = p l ，p ，抄扩) = p 尹昂：称为离散分布，若其离散点满足下面等式， ：。p i ，= 1 ，p i ，p 严= l ，p i ，o ，p 尹o ，( ，后) q 【j ，) l 进一步，假设其离散点的概率满足 j k 町：瞄= 1 7 2 ：p 尹= p 尹。+ 7 7 夕，p i ，7 卜0 , 7 肛r 7 夕而2 ，( ，七) q ) ， u ，j i l 一摩 其中p 尹为已知的分布，7 业、，7 ：为常数，yp r j 量= 0 保证7 7 ：为一个概率分布此处o。 一。 。 的非完全信息考虑第二阶段，第一阶段的概率分布为已知情况 3 2 离散界约束分布下的两阶段w c v a r 风险一利润优化模型及简化 模型( 2 9 ) 为两阶段的w c v a r 风险一利润优化模型，是一个高维复杂的m i n m a x ， 优化模型，本节将在离散界约束的情况下，应用数学理论将该复杂模型化简为一般的优 化模型 定理3 2 假设在风险市场中，投资者共有刀个风险投资产品，决策变量x 的可行集为 1 9 z = x i t o ，：，t = 1 ) ，随机变量y = ( y 。，y ：，此) r r ”，设损失函数( x ，y ) 的形式 为f ( x ，y ) = c o 占一x y ，则在离散界约束分布的情况下模型( 2 9 ) 可转化为与之等价的 线性规划问题如下： m i n 工w c v a r p ( x ) = 毋姆”南。磊p 翌咀y ( 庐) 科) 】 s t x l z , i7 x ( 2 j z( 歹= l ，) ， 1 rx ，= t 。= ， 1 r x y = 蟛= ：，= ( y r x l ，( 歹= 1 ，) ， i = l f p ：d u 弦= 卸：力一考弦+ y 业， 考弦o ，y 弦0 ， ( 歹，k ) q 1u 似c o 口一( x 物丁y 妙一a ，u 肚0 证明：在离散界约束下有： p _ i ，谚= 1 ( k ) e f l p 芝= p z j * 气+ t 1 萼。 p o t s * = o ( j k ) e t a ， p p ! k o = 1 ( 似) e q ， ( 3 4 ) 其中扰动值7 7 满足翌爹7 7 少叼- ：j k ，并将( x ，y ) = 口一z r y 代入模型( 2 9 ) 的目标函 数，从而目标函数的等价变形如下： 。j 憋尺黟南u m ，y ) 刮杈少) 纠 = 黪南。，萎川小( ) r 少刊+ = a + 嬲而1 。磊弘尹。+ 7 7 m b 一( 桫 一a 】+ 5 ) = a + 南。磊f i ，p 加b 七咖尹叫+ + 可1 黔。磊? 加一( 桫少尹一倪】+ 其中p 占的定义见前 式( 3 5 ) 中的后一。m a x 彳7 7 夕陋口一( ) 7 谬一a 】+ 是一个关于变量7 7 ：的线性优 1 2 “ ( j , k ) 0 化问题，引入辅助变量，其表达式为： ，砖暑 c o b - ( x ! ) r y 尹一a 】+ ，1 ，弦c o b 一( x ；) rj ，尹一a ，1 ，肚o ，( ，后) q ， 根据线性规划的对偶理论1 8 1 ，式( 3 ”e f t ij勺ma矿x彳t7严陋占一()7谚一a】+可等价变i2 “刖e q 形为： m a ，d ( x 磊v # = m 钾i n 。磊翌弦+ y 肚n 6 ， 其约束为： p ；u 且= 九p i 一亏曲+ 7 曲， 专拈0 ，胪0 ， 他= l ，膨j ) 其中：d 口= ( a ， ，a ) ：p l y 肚= 初i ，一考业+ y 业，考肚o ，) ，业o ，( ，| j ) q ) cr 为对偶变量 集合，“= 1 + 2 二。m j 记u = ( x ，口，1 , ，考，y ) r + 1 肿1 + ，将( 3 6 ) 式中r a i n 算子与( 2 9 ) 中的r a i n 算子 合并即可得到定理3 2 中的模型( 3 4 ) 证毕 模型( 3 4 ) 称为离散界约束分布下的两阶段w c v a r 组合优化模型 南模型( 34 ) 的可分件可将其转化为与夕等价的两屡优化模犁其表达式为1 2 l m i n ( x , , a ) a + 南喜黜“a 卜 s t x 1 z , 17 x l = c o 。 ( 3 7 ) 其中q 7 ( 而，口) 定义如下： s t x 2 x , 1 rx ；= ( y f ) rx 1 p i u 曲= 九p i 一号j k + y 曲。 考业0 ，胪0 ，( 女= 1 ，m j ) u 业c o b 一( x ；) y 。i k 一仅，d 豇0 3 3 基于期望计算的两阶段w c v a r 风险- n , f q 优化模型及简化 ( 3 8 ) 在3 2 中，我们考虑第一阶段末的资产就是第二阶段初的资产，本节将利用数学期望 对其进行计算，它从本质上能体现所有可能取值的加权平均值，下面建立基于期望计算 的两阶段w c 瓜风险利润优化模型，并运用l a g r a n g e 对偶理论对模型进行化简下章 将其应用到电力市场的资产分配中，证明该模型的有效性 假设随机变量y 的分布空间p ，投资利润函数通常用负的损失函数的期望来描述， 即： 哗( x ) = 一厂( x ，y ) = e pe c o 口一x r y 本章在第二阶段初，决策变量x ，根据第一阶段末收益的期望来考虑，从而两个阶段 有下面的等式成立： f l r x 2 = e c o = e ( y 1 ) r x l 【国夕= ( y 严) r x ： 根据两阶段的w c v a r 优化模型，基于期望计算的两阶段w c v a r 优化模型为： 、1 j 业 一叩 业 y + 皿 吁一 弘 声j 、 一 r i+ 弘 u 拈0 p l p ，i 幻 y 元 ub n1m = ， 倪 x ，- u q 面n j 孵啪卢( 加m i 咖nm a 。易x 叶南。磊? i ，p 尹h 】+ s j x l z ，x ；z 17 x l = x n = 国。 l7 x ：= x 二= ( 研y 。】) 7 毛， i = 1 ( = 1 , 2 ，) 其中x = ( x l ，x 2 ) ，该模型的维数为2 n + 1 ，是一个复杂的m i n m a x 优化模型 ( 3 9 ) 下面将讨论随机变量服从离散界约束分布的情况下，应用数学理论将其化简为一般 的线性规划问题 定理3 3 假设在风险市场中，有，z 个风险投资产品供投资者选择，投资的决策变量x 的 可行集为z = 刊t o ，二。t = 1 ) ，随机义x 里- i 宜- y = ，y ：，儿) 7 r ”，损失函数( x ，y ) 的形式为f ( x ，y ) = 曰一x r y ，则在离散界约束分布下，基于期望计算的w c v a r 组合优化 模型( 3 9 ) 可等价转化为： 幽工孵凇小) = 猡弘+ 南。磊q ( p v + 【- 髻砖翟j k + t j k 而沙 ) 】 j 7 工l z ，x ；z 1 r x l = t l = 国。 打 l7 x ；= ( e ( ) ) r x = ( p i ，y x j = l p o 耍= 冲 一毛曲+ y 扣 d 弦国口一x ；y 严一口( ，后) q 善业0 ，7 肚o , u 业0 ( 3 1 0 ) 证明：与第三章证明类似，根据在离散界约束分布下变量之间关系，运用优化理论可将 模型( 3 9 ) 的目标函数等价地转化为： m i n ，w c v a r 卢( x ) 2 吆n a + 南。，磊q ( p 埘8 叫y 产刊+ + 业翟且+ y 肚7 7 ) ( 3 1 1 ) 一业 ： 且满足： lp i 国口一。x 2 r ，v 2 j k 一口 + = 肋f 一专业+ y 业 【考业0 ，业0 ，( - ，艮) q 其中u = ( x ，a ，a ，考，) ，) r 2 州+ ，考，y 为对偶变量，a 是拉格朗日系数，7 7 皿、而且为扰动 值r 7 j k 的上下界 弓i 入辅助变量v 肚兰 c o b - ( x d7 y 尹一a 】+ ，业c o b 一( 戈! ) r y 夕一a ，v 驰o ，( ，后) q ， 结合化简后的目标函数( 3 1 1 ) ，合并( 3 9 ) 式中的r a i n 算子与( 3 1 1 ) 式中的r a i n 算子， 复杂的r a i n m a x 优化模型( 3 9 ) 等价的变形为一般的优化模型( 3 1 0 ) 证毕 模型( 3 1 0 ) 称为离散界约束分布下基于期望计算的两时段w c v a r 组合优化模型 2 4 第四章基于两阶段w c v a r 优化的电力资产组合分析 4 1 离散界约束下的两阶段发电资产组合计算 本节将利用m a t l a b 软件对所建立的两阶段w c v a r 优化模型( 3 4 ) 进行优化求解，得 到决策者的最优投资组合，并应用到发电商的资产分配问题，测试模型的有效性 电力市场作为典型的风险市场，它由现货市场、远期合约市场、期货市场等组成， 本文假设1 个发电商具有n 种资产，为简便起见只考虑两种资产分配，即现货市场与期 货市场，其决策变量分别为x i z 和x 2 z 由于资产收益是不确定的，收益取决于利润 率与资产的组合，因此只能根据历史收益数据对资产的未来收益做一种预测，假设利润 率y 的随机变量服从一定的概率分布由于对于两阶段随机模型，目前还没有效的方法 能求解连续型随机变量的分布，通常情况下是对连续型随机变量分布进行离散化，本文 参照电力市场的一组实际的利润率的波动图形，采用m o n t e c a r l os i m u l a t i o n ( 蒙特卡洛) 取点法，此模拟方法是一种随机模拟数学方法，又被称作统计试验方法，是一种很灵活 的方法，可用来分析评估风险发生的可能性、风险的成因、风险造成的损失或带来的机 会等变量在未来变化的概率分布此方法的计算量比较大，具有随机性，且其内在的样 本变化也会随之改变，从而得到不同的结果，所以具有一定的模型风险 4 1 1 数学模型 在第三章中，建立了两阶段的w c v a r 风险一利润优化模型，是一个高维复杂的 m i n m a x 优化模型，在离散界约束的情况下，3 2 中应用数学理论将其化简为一般的单 目标优化模型如下： r a i n 工w c v a r 口( x ) = 毋+ 南 ( p ：，p 妙。) t ) t j k ) + 卜孝肚叼砖+ t t j k ) 石肚 ) 】 ( _ ， ) q s t 而z , 1 r x y z ( = 1 ，) ， 1 r x i = 确= q ， i = 1 l r x y = x ：；= ：= ( 少r x l ，( 歹= 1 ，) ， f p ：力0 弦= 印：d 一考业+ y 弦， 考肚o , y 弦0 ，( ，k ) q 1 u 肚口- ( x ：j ) ，y 一a ，u 业0 4 1 2 仿真结果 ( 4 1 ) 此模拟的数据出处是m o n t e c a r l os i m u l a t i o n ( 蒙特卡罗模拟) 随机取点，市场样 本点取1 0 0 个点，在第二阶段样本点取点5 0 个，算例中置信水平分别考虑了卢= 0 9 1 、 卢= 0 9 5 、卢= 0 9 9 这三种情况，运用k t s9 6 标准系统【1 9 1 ，计算环境为i n t e l ( r ) c e l e r o n ( r ) mp r o c e s s o r1 6 0 g h z ，5 0 4 m b 的内存m i c r o s o f tw i n d o w sx p p ro f e s s i o n a lo p e r a t i n gs y s t e m 模型( 4 1 ) 的计算结果图如下：。 t l l l i , o - w c v a p 4 $ ) 2 6 x 1 0 coil口uo=|be|lo 图4 1 现货和期货的最优分配图 图4 2 不同置信水平下的效率前沿 缓， 。删w 粥x1 矿+名a e j ；j ? 。th?。，一? 2 ，h 。 争l 。，。? 镶 图4 3 效率前沿比较图( 卢= o 9 5 ) 2 7 一$ ) 善o j d 艺 基 2 以 e c 2 也 图4 4 效率前沿比较图( 卢= 0 9 9 ) x1 矿j 一撇、西黼 。冀砖i 图4 5 扰动下的效率前沿图( 0 0 0 1 叼2 0 0 0 5 ) 图4 6 扰动下的效率前沿图( 0 0 0