（理论物理专业论文）量子力学中的新型量子态及其应用.pdf

摘要 我们在本文中引入几种新型的量i e 查，1 并研究它们的性质及 其应用本文重点讨论了纠缠恋态表象在建立双模关联系统的t o 。 m o g r a p h y 技术中的应用，并推导出相应的壁坐旦变搀与反变换 a b s t r a c t w ei n t r o d u c es e v e r a lh e wq u a n t u ms t a t e sa n ds t u d ，t h e i rp r o p e r t i e sa n ds o m ea p p l i c a t i o n s e s p e c i a l l ) 。，w ei n t r o d u c eag e n e r a l i z e d e n t a n g l e ds t a t er e p r e s e n t a t i o nh a l ，a 2 ) t oe s t a b l i s ht h et o m o g r a p h 5 t h e o r yf o rt 0 一m o d ec o r r e l a t e ds y s t e m b yu s i n gt h et e c h n i q u e o fi n t e g r a t i o nw i t h i na no r d e r e dp r o d u c to fo p e r a t o r sw ed e r i v et h e r a d o nt r a n s f o r m a t i o no ft h ee n t a n g l e d “1 i g n e ro p e r a t o r a n dt h e i n v e r s er a d o nt r a n s f o r m a t i o ni sa l s oo b t a j n e d v 致谢 我衷心感谢我的导师范洪义教授他在我三年的硕士阶段学习中给予我 长期悉心的指导范老师对科学的热忱，严谨的治学态度，丰富的创造性和正 直的为人都使我感到由衷的敬佩本论文的完成也倾注了他的大量心血，在此 我向范老师表达我深挚的敬意和谢意 另外，我的师兄师弟，包括刘乃乐，孙治湖，林景贤，汪辉，程海凌，孙明 斋等，都曾给予我很大的帮助，这里一并致谢 、 序言 新的表象与量子态在量子力学的发展中起着重要的作用例如自从相干 态的引入以来，它就在包括量子光学，量子统计在内的许多物理领域中取得广 泛的应用而近年来，纠缠态也逐渐受到研究人员的重视，因为它不但加深了 人们对量子力学基础理论的认识，还导致了量子信息这一新兴学科的诞生 本文基于量子态与新表象的重要性，引入并讨论了几种新型的量子态 作为本文的重点，第一章着重研究纠缠态表象与建立在纠缠态表象之上的双 模量子t o m o g r a p h y 技术我们先简单介绍t o m o g x a p l l y 与量子态的测量技 术，然后讨论单模下的r a d o n 变换与反变换最后，我们借助于纠缠态表象， 将其推广到双模纠缠系统，从而建立双模纠缠系统中的t o m o g r a p h y 理论 在第二，三章中，我们简单研究非线性相干态的对偶态与s u ( a ) 非线性相干 态 第一章双模关联系统中的纠缠态表象及其r a d o n 变 换 1 1 引言 1 1 1p a u l i 问题的提出 自从量子力学的建立，波函数皿( z ) 的物理意义就一直使人感到困惑不同 于物理学中其它的场，诸如引力场与电磁场，毋( z ) 是一个复数场，它不能通过 某种能够对力发生响应的仪器直接加以测量然而波函数的模方j ( z ) l2 却有 着明确的意义b o r n 学派对波函数的理解是，i 皿( x ) 1 2d x 代表着在z _ x + d x 处发现粒子的几率根据b o r n 的解释，不难得到测量l 皿( z ) 1 2 的方法：制备 大量( m ，相同的量子态，分别测量粒子的坐标。，并记录测量结果落在z 到x + d 2 间的次数k ，就能得到几率密度j 皿( t ) j2 ，即 固i x ) 1 2d z n n 卜1 1 由于波函数是复数，所以对i ( x ) 1 2 的测量只能得到部分的波函数，而丢失了 位相信息现在很自然的就会提出这样一个问题：能否通过实验测量得出完整 的波函数? 这就是推广的p a u l i 问题 1 1 1 2量子力学的结构和波函数的测量 解决p a u l i 问题的关键在于量子力学的内在结构由于坐标空间中的波函 数( z ) 与动量空间中的波函数皿( p ) 之间满足一个f o u r i e r 变换关系 1 ( p ) 2 赤( 。) 。p ( - i r p h ) d 。 ( 1 2 ) 这意味着坐标和动量并非象经典情况那样足独立的，而足彼此互补的这启发 我们，当我f l l 不能通过对一个可观测量( 坐标、r ) 的测量得到波函数的全部信 息时，我们可以通过对与其互补的可观测量( 动量尸) 的测量来推测出波函数 的其它一些信息 式( 1 2 ) 可以推广到其它的可观测量j r ，只要满足 皿( 尺) = m ( z ) u ，r ) d ， ( 13 ) 2 2 0 0 1 年 中国科学技术大学硕士学位论文 ! 其中u ( z ，兄) 为变换函数根据b o r n 对量子力学波函数的解释，实验测得可 观测量r 的几率分布函数即为i 皿( 尺) 1 2 我们可以预期，只要选取适当的可 观测量r 的集合，并测量它们几率分布，就能利用代数变换找到波函数而 这些力学量r 的集合就构成t o m o g r a p h 5 。完备集 1 1 3 经典t o m o g r a p h y 技术 t o m o g r a p h ! , r 是指从大量的一维函数推知某未知二维函数d ( ly ) 的方 法通常，这些一维函数是由d ( ：2 ，y ) 沿着一系列直线路径积分或求和得到 最常见的例子是医疗c a t 技术它采用的方法是，让x 射线沿着不同的角 度0 。透过人体二维截面，由于x 射线受到的吸收由经过路径上密度的积分 决定，这样就得到一维吸收函数f ( 0 。，f ) ，其中f 是到投影中心的距离当 得到一系列0 。下的一维投影函数f ( 0 。，f ) 后，就能够在计算机上推算出原来 的二维密度分布d ( z ，y ) 要实现以上的技术必须先要找到二维分布函数与 其一维投影函数之间的数学变换j o h a n nr a d o n 最先找到实现上述变换的 数学方法，因而这一变换被称为r a d o n 变换，其形式为 f ( 0 。，f ) = r 丁 d ( _ r ，) ) ( 1 4 ) d ( t ，y ) = r t “ f ( 0 。) ) ( 1 5 ) 1 1 4w i g n e r 函数和量子t o m o g r a p h y 技术 t o m o g r a p h y 技术可以实现在二维密度分布函数同它的一维投影之间的 变换这就要求在量子力学中能够找到经典相空间分布函数的一个对应作为 相空间中的联合分布函数，我们要求它有这样一些性质：首先，任意一个力学 量的平均值，可以在相空间中以联合分布函数为权重因子平均得到其次，相 空间分布函数的边缘分布分别给出坐标空间与动量空间的几率分布最后， 相空间分布函数处处为正 f 实上，要在量子力学中找到能够完全满足这洋三个条件的分布函数是 不可能的但如果放弃最后一个要求而仅考虑前两个条件。就能够在量子力学 中引入准几率分布函数、i g n e r 最先考虑到在量子力学中建立准几率分布函 数作为经典相空间分布函数的对应，即w i g n e r 函数【2 】它被定义为 ( ) = 赤( 。+ z 7 2 ) p z 2 ) e x p ( 吨p ) d z ( 1 6 ) 2 0 0 1 年中圈科学技术大学硕士学位论文 4 并它满足上面提到的两个性质： ( a ) v v e l y 给出一种对应规则【3 】3 ，将经典函数h ( z ，p ) 对应到量子算符h ( x ，尸) 在采用w e l y 对应时，对于任意一个量子态皿，算符日( x ，p ) 的平均值都可 以通过h ( x ，p ) 在相空间中的平均得到 ( 日( x ，p ) ) 口= f d x d p h ( z ，p ) l l ( z ，p ) ( b ) w i g n e r 函数的边缘分布函数为 ( 哪) 却= r e ( 圳2 ，( z ，p ) d x = f 皿( p ) f 2 ( 17 ) ( 1 8 ) 因此在坐标或动量空间中的几率分布函数可以通过对w i g n e r 函数在x , p 平面 内积分得到 或p 取定值) 如果这一结论能够推广到可观测量f = u x + v p ， 使得 厶f ) + ( 聊) d x 咖= l 皿( 吖 ( 1 9 ) 成立，则w i g n e r 函数同可观测量f 的几率分布函数之问的关系正好满足 r a d o n 变换( r t ) 与其逆变换 皿( 让， ) f 2 = r t f i i ( z ，p ) ) ， ( z ，p ) = 盯1 l 也( 和t ) 2 ) ( 1 1 0 ) ( 11 1 ) 我们将在后面部分说明这一结论的正确性一旦有了w i g n e r 函数的r a d o n 变换与反变换公式，我们就可以利用类似经典t o m o g r a p h y 技术的方法去测 量一个量子态的w i g n e r 函数 在描述一个量子纯态时，w i g n e r 函数同波函数等价所以如果知道、i g n e r 函数，就很容易求得波函数事实上，皿f j + z 2 ) m + f j 一3 一2 ) 即为w i g n e r 函数的f o u r i e r 变换只要令z = l 2 ，我们就得屯( 2 c ) 田( 0 ) ，再将其除 以f 皿( 0 ) 皿( 0 ) i v 2 ，我们就在相差一个不定的相因子的范围内得到l i r “) 而对于混合态而言。知道w i g n e r 函数，则可以推出密度矩阵p 所以w i g n e r 函数在量子态的实验测量中起着关键的作用 2 0 0 1 年中国科学技术大学硕士学位论文 5 1 2 量子光学中的r a d o n 变换 1 2 1 单模w i g n e r 算符及其r a d o n 变换 对一个二维分布函数，( 力，其经典r a d o n 变换可以表示为 ， 昧( a ，日= d 谢( a f 力，( 力，( 2 1 ) ， 式中的，为二维矢量，f 为单位向量( c o s 口，s i n 目j ，a 为参数，f r ( a ，e - ) 即 为函数，( 刁的r a d o n 变换即 r f r ( a ，0 ) = d x d y f ( x ，w ) 6 ( 一z c o s 口一9s i n 8 ) ( 2 , 2 ) 它给出了二维分布函数，( 一沿取向为f 的直线积分所得到的边缘分布目为 直线的取向 在量子力学中，我们用w i g n e r 准几率分布函数【2 j 代替经典力学中的几 率分布函数，为了便于计算，我们用w i g n e r 算符进行讨论e i y 规则【3 j 给 出了将经典函数h ( z ，p ) 对应到量子算符日( 凡，p ) 的一个规则，其中x ，p 是 坐标和动量算符且满足，p l = i ，即有 r， d x d p h ( z ，p ) ( z ，p ) = 日( 一，p ) ，( 2 , 3 ) 式中的( z ，p ) 为w i g n e r 算符，它对波函数皿的平均给出w i g n e l 函数 w 0 ( z ，p ) = ( 皿j a ( z ，p ) i 田) f 2 4 ) 这样。量子力学中算符日( ，p j 的均值可以简单的通过其经典对应函数在相 空间分布函数1 1 0 ( x ，p ) 中的平均得到 ( 皿i h ( x ，p ) l ) = 出d p h ( 哪) ( p ) 在坐标表象中 w i g n e r 算符笋表达式为【4 j 郇川= 去仁畔+ ；) ( z 一舻。， 式中的l z ) 是坐标表象，它在f o c k 空间中可表示为 = 7 1 - t 4 唧k + 脚7 1 小) ( 2 5 ) ( 2 6 ) ( 2 7 ) 2 0 0 1 年中盈科学技术大学硕士学位论文 6 利用有序算符内的积分技术( 1 w o p ) 5 ，可以得到w i g n e r 算符的正规乘积 形式 ( z ，p ) = = 1 ：e - ( p 一一2 一扛一埘2 ： ( 2 8 ) 把w i g n e r 准几率分布函数看作公式( 2 2 ) 中的经典二维分布函数，( 力， 并用w i g n e r 算符来代替w i g n e r 函数，则它的r a d o n 变换可写为 f r ( a ，口) = d z 6 f p ( z ，p ) j ( a z c o s 口一p s i n 口) ( 2 9 ) 对比公式( 2 3 ) 可知，w i g n e r 算符的r a d o n 变换f r ( a ，日) 正好是经典函数 d ( a zc o s 口y s i n 0 ) 的w e l y 只于应 利用公式( 2 8 ) ，我们可以直接计算出6 一zc o s 9 一y s i n 9 ) 的w e j y 对 应 ，层蛐6 一( h 上- z c o s 【黑。s 。i n 9 ) 一。忙“p ： ( 2 1 0 ) = 士：e - - 卜( x c o s6 + p s i n 哪： 7 由f 0 ) ( 0 f = ：e l k ：，上式右端可以被分解成 ( 2 1 1 ) 而式中的态h 在f o c k 空间中被定义为 h 口) = r - l 4e x pf 一等+ 西彬一。1 0 ) ( 2 1 2 ) 容易证明式中的队口) 态为算符 o = 击 - j 0 + a | e i o 的本征态事实上， 只需用算符a 作用于队0 ) 态上，就有 n h 目) = e 1 。以a a t e i o 队p ) ( 2 1 3 ) 即以下本征方程成立 x o i a ，8 ) = a a ，a ) ( 2 1 4 ) 利用q = 丧( n + a t ) ，p = 由( 口一a t ) ，算符x p 可以表示为x 口= x c o s 9 + p s i a 9 在量子光学中，被称为正交相特别，当口= 0 和口= j 时。 i a ，口) 变回到坐标和动量的本征态 = ，陀) = | p ) ( 2 1 5 j o凸一 ， 叭 2 e+ 2 强 l r 12一，似 口 1 驰九 = e l 三一 a以+妒一 “ 旺 。万 2 0 0 1 年中田科学技术大学硕士学位论文 7 作为厄米算符x e 的本征态，h 满足正交完备性使用1 w o p 技术，能够 很直接的证明它的完备性事实上，式( 2 1 1 ) 可以表示成一个更简洁的正规 乘积形式 护) ( a ，护f = 万1 ：e x p 一n 一( x c o s o + p s i n o ) 1 2 ) ：，( z 1 6 ) 然后运用i w o p 技术直接积分得 d ai a ，0 ) ( a ，0j = 1 ( 2 1 7 ) 由于h0 ) 的正交完备性，h0 ) 构成个连续的表象对于实验来说，只要 能够在该表象下测得波函数的模方，就能够实现量子t o m o g r a p h y 技术 有了w i g n e r 算符的r a d o n 变换后，我们还必须知道它的逆变换，这样 才能从实验测得的边缘分布函数中，推算出w i g n e r 函数注意到r a d o n 变 换( 2 9 ) 可以看作趸( ) = e l k ( x 。5 8 + 口5 i “。) 的f o u r i e r 变换 i a ，p ) ( a ，e l = 寺趸( 女) e 1 从， ( 21 8 ) 戈( k ) = d x d p ( z ，p ) e i k ( “棚) ，( 21 9 ) 对( 2 1 8 ) 式作反变换得 ：叠皇纛a d 雠pe i 似k ( z c o 卜s o 址+ ：s i ne 协z 。， = 熙出熙如( 。，) 一 再对趸( k ) 作次f o u r i e r 变换就得到r a d o n 变换的反变换 剐兰冬麓d 篙ak 禚d k 黜d oa0 渊a0 涔e t k ( = 嚣佃z t ， = 士成熙il 居i ，) ( ，i 卜“枷，”“们 一 用w i g n e r 函数表示即为 ( 哪) = 去仁d a 仁i k ld k f o ”a o l ( a ，o i 吲2 一m 小州们) ( 2 舵) 公式( 2 2 2 ) 的意义在于，对任意一个量子态i m ) 只要能够在0 = 0 _ ”之 间，对力学量进行测量并得出它的几率分布函数j ( a ，0 j 田) j 2 。就能利用反 r a d o n 变换计算得到它的w i g n e r 函数而0 = 0 _ ”之间的可观测量集x o 就构成了一个t o m o g r a p h y 完备集 ! 竺! ! ! 曼型兰苎查! 兰! 生兰! 生生堡! 王 1 2 2 单模r a d o n 变换的推厂 一般的r a d o n 变换并不局限于式( 2 9 ) 例如公式( 2 1 ) 中的f 可以不限 于单位向量，而是取f = ( u ，u ) 。这样就给出一个更广义的r a d o “挛孥范 洪义教授曾引入一个新的量子态h p ，p ) ，即肛x + u p 的本征态，来讨论这 种情况下的r a d o n 变换 队p ，) 被定义为p x + u p 的本征态，它在f o c k 空间中的表示为 冲，。) ：m 矿) i - l 4 e x p ( 一方高 + 讵击。t 一老扩卜z 。， 容易证明，上式正好是算符p x + u p 的本征态事实上，只要用湮灭算符。 作用于h p ，p ) 之上，就能得到 舶垆熹陋a + u - 训。+ ) ， ( 22 4 ) 又由q = 女( + 一) ，p = 亮( a a t ) 就有本征方程 ( p 、- + u p ) i a ，肛，扩) = a i a ，l ，) ( 2 2 5 ) 成立值得注意的是h 卢，) ( a ，p ，”| 可以表示为很简洁的正规乘积形式 队m 肭廿南e x 。 - 南卜c p x 朋) 1 2 ：- ( 2 2 6 ) 利用1 w o p 技术，容易得出l a ，p ，p ) 的完备性， d a i a ，p ，) ( a ，pj = 1 ( 2 2 7 ) 根据w e l yx , v z ，我们可以设h “，p ) ( a ，t ，1 的经典对应为h c x ，p ；a ，p ) ， 则有 ，+ 。 i a ，p ，p ) ( a ，p ，p i = d x d p h ( z p ：a ，肛) 土( t p ) ( 2 2 8 ) 利用( 2 6 ) 式以及以下的内积 ( z 队p ，u ) = c e 。( 1 一p ， ( 2 2 9 ) z 0 0 年 中田科兰苎查奎兰里主兰竺堡苎 ! 可得 h ( i ，p ；a ，p ，) 2 7 r t r ( i x ，p ，正，) ( z ，p ，p i ( z ，p ) ) 仁彬俨m mv 卜詈) ( z 一孙， = 6 ( a p z b 伊) 将这一结果代回到( 2 2 8 ) 式，得 h ”) ( a 舶i ：_ 佃 一肛z 一印) ( 聊) ，( 2 3 0 ) d z d p d ( a 3 0 i a ，p ，p ) ( a ，p ，i = 一肛z 一 ，p ) ( z ，p ) ，( 2 - 这即是推广后的r a d o n 变换 2 0 0 1 年中国科学技术大学硕士学位论文 1 0 1 3 纠缠态表象与双模纠缠w i g n e r 函数 1 3 1 ( q i 和( ( i 表象 近年来，纠缠态被广泛应用于量子t e l e p o r t a t i o n ，量子密码学以及量子计 算【6 】61 7 1 8 由于在一个纠缠的系统中，对系统一部分的测量可以得出其他 部分的信息这样一个特性，纠缠态在量子信息中起着举足轻重的作用纠缠态 最早是由e i n s t e i n ，p o d o l s k y 和r o s e n ( e p r ) 在讨论量子力学的不完备性时 提出的e p r 引入了一个e p r 波函数，即两粒子相对坐标x l 一她与总动 量p l + p 2 的共同本征态 妒( z l ，p l ；x 2 ，p 2 ) = 6 ( z 1 x 2 + z o ) 6 ( p , + p 2 )( 31 ) 这一波函数表现了双粒子系统中两个粒子之间的精确关联：如果能测得第一 个粒子动量p l = k ，则随后对第二个粒子的测量必然有m = 一k e p r 佯 谬曾对量子力学纠缠和非定域性的研究起到很大的推动作用 为了便于讨论连续纠缠系统的性质，在双模f o c k 表象中可以引入纠缠态 表象( 印f f 9 】是一对对易算符工- 一也，尸i 十b 的共同本征态，它在 f o c k 空间中表示为 f q ) = e x p 一；l 叩1 2 + 7 1 a ：一q + ! + o l n 】| o o ) ( 32 ) 其中_ = 去( 叩j + i 啦) 为复数，j 0 0 ) 是双摸真空态，( ? ) ，i = 】，2 是产 生湮灭算符 一 _ 2 诱1 ( 。t + n j ) 肛去( n 。一n ! ) ( 3 f 3 ) 用i ，啦分别作用于f q ) 可以得到 ( n - 一。5 ) i 叩) = 7 f q ) ，( n 。一n ：) j ) = 一i + i ，) ，( 3 4 ) 即，f ) 满足本征方程 ( 一i 一虬) j 叩) = t hi ) ，( p i + r ) l ) = t 1 1 l ) ( 3 5 ) 可见即的实部和虚部分别对应着x t x 2 与p l + 尼的本征值作为厄米算 符的本征矢，j _ ) 具有正交性 ( 町i 叩) = 7 r d ( 叩一呀) 6 ( 叶一q 一) ，( 3 6 ) 2 0 0 1 年 中国科兰苎查查兰里主竺竺堡奎 ! ! 和完备性运用i w o p 技术。可以证明i 目) 的完备性关系为 宰m ( 扣l ，c 1 2 0 - 三1 机螗 c 3 7 ) i q ) 的纠缠特性可以通过对它作s c h m i d t 分解显示出来，即 f 叮) ：e m 2 出z ) l 。i z 一口i m ， ( 3 8 ) _ 2 ) 2e i z 其中j z ) 。是坐标本征态同时j 刁) 也可以被分解为 粤 m = e 咱m 2 d p | p + 啦) l o i p ) 2e 1 ”， ( 3 9 ) 南 j p ) 。为动量的本征态这正好满足标准的纠缠态的定义由于以上的这些性 质，i q ) 是一种描述连续纠缠系统的有用的表象 与此相类似的另一种纠缠态为x l x 2 ，p 1 + p 2 的共同本征态，它在f o c k 空间中可以表示成 i f ) = e x p 一；l f l 2 + f n f + 6 一a 6 ji o o f = r e ” ( 3 1 0 ) 同样，它也满足正交完备关系 擎旧蚓= 1 ，( f 飞) = 咧川卜矿) ( 3 1 1 ) 值得注意的是，f ) 与f ) 之间满足类似坐标与动量表象之间的那种变换关系 ( 式( 1 2 ) ) j f ) = = f d , 1 f ) p ，一q 7 2 ( 3 1 2 ) 即i q ) 与f ) 相差一个f o u r i e r 变换这启发我们，类似于单模情况，我们可 以设法引入一组带参数的纠缠态，来建立双摸情况下的r a d o n 变换 1 3 2 双模纠缠w i g n e r 算符 由于1 7 7 ) 和l f ) 态在计算双模纠缠态物理性质时的潜在应用，我们有必要 引入双模纠缠w i g n e r 算符i i o 】利用完备性关系( 3 7 ) 和( 3 1 1 ) 式以及 ， ( fi 叩) = ；e x p 【；( f 叩一叼f ) ，( 3 1 3 ) ，一 2 0 0 1 年中国科学技术大学硕士学位论文 1 2 任一双模算符h 都可以表示为 何：_ r 冬磐j - 缉掣( ”阶( p ( f ”( ” = _ r 乒j i 学( ”“ e x p ，7 ”一“+ f 一7 + 一“) ) ( 3 1 4 ) 作以。f 的变量代换 叩= 盯一w ，r ”= 盯+ 口，( 3 1 5 ) f = 7 一( ，f = 7 + f ，( 3 1 6 ) d 2 7 d 2 t i ”= 4 d 2 a d 2 0 ，d 2 d 2 = 4 d 2 7 d 2 f ，( 317 ) 则( 3 1 4 ) 式简化为 肚4，篡p-叫口7h)一ffnqt(7眯-)】lhexp h k ( 3 1 8 ) ( 叩7 + 盯一f ) 、 定义如下对应 塑7 - 3 l d 一曰) ( 盯+ o le x p ( 1 7 7 一q + 1 ) = ( 州) ， ( 3 ，1 9 ) 4 竽( 7 叫帅e x 眯+ 盯泸忡川， ( 3 2 0 ) 我们就得到在纠缠态表象中，算符h 与其经典函数h 之间的对应关系 = d 2 a d 2 1 ( 盯，y ) h ( 盯，y 】( 32 1 ) h ( o - ，7 ) = 4 7 r 2 t r 【( 以，y ) 】( 3 2 2 ) 式( 3 2 1 ) 即为纠缠态表象内的w e i y 对应我们把式中的( 口，1 ) 称为双模纠 缠w i g n e r 算符，它的具体表达式可以对( 3 1 9 ) 式直接积分得到运用i 、o p 技术以及 | 0 0 ) ( 0 0 i = ：e ”：“”扣：， f 3 2 3 ) 并作变量替换7 = o + p ，盯= q p ，于是双摸纠缠w i g n e r 算符简化为 ( 仉，y ) = 石1e f - 2 ( d ：) ( o _ d i ) - 2 ( n 。跏一) 1 ， ( 3 2 4 ) 这正好是两单摸w i g n e r 算符的直积 z 0 0 1 年中田科兰垫查奎竺里主兰竺堡苎 ! ! 一一。 双模纠缠w i g n e r 算符具有w i g n e l - 算符的一般性质如它的边缘积分给 出纠缠态表象中的几率密度如对a ( 口，7 ) 在d 2 口上积分有 d 2 a _ a ( ”) = 刚吼= ， ( 3 2 s ) 同佯，对d 2 7 的积分则得到 d 2 7 a ( 吼，y ) = ；j l i q ) ( , 7 1b ( 3 2 6 ) 正是这一性质使得w i g n e r 函数能被看作相空间上的一个准几率分布函数事 实上，双模态i 皿) 的w i g n e r 函数即为 0 ( 以，y ) = ( j ( 盯，y ) j 皿) ， ( 3 2 7 ) 由性质( 3 2 4 ) 与( 3 2 5 ) ，自然有 7 r d 2 7 i l o ( 盯，7 ) = i ( 目l 皿) i ：， ( 3 2 8 ) 与 ， 7 r d 2 a w , o ，7 ) = 皿) b ( 3 2 9 ) 成立式中的i ( 引皿) 目：，( 或i ( 3 3 0 ) 可以验证，ha l ，a 2 ) 是t i ( q i q 2 ) + u l ( 尸l 一尸2 ) 与u 2 ( q i + q 2 ) + ( p 1 + p 2 ) 的共同本征态分别用i ，n 2 作用于| r ，a l ，九) 态。有 或札a 文 ，【 叩 口 、j 口2 e+ 口2 e 1 2 一 t 2 0 、j 如 2 e一 口2 e ，l 1 2 + 丝赴 + 坐h ，【 ，l = 、7 2 a 叩 口 2 0 0 1 年 中田堡竺垫查查兰里主兰竺堡奎 ! ! 一一一 口。i ”，a - ，a z ) = ( 一a 7 i 1 + 恧t 2 ) + ；( e 2 徊j e 2 如2 一互1 e 2 吼+ e 2 阳2 口5 i 叩，a ：j 兰； 利用以下的关系 u 2 ( q l + q 2 ) + 2 ( 尸l + 尸2 ) = 去i a 2 l ( o l + 0 2 ) e 一如+ ( o ：+ a ：) e 讲2 ，( 3 3 3 ) u l ( q l q ：) + f j l ( p t p 2 ) = ；嚣l a l l ( n - 一2 ) e 一棚1 + ( o i o ：) e 珀1 ，( 33 4 ) 我们可以看出慨a ，a 2 ) 满足本征方程 【“l ( q l q 2 ) + u l ( p l p 2 ) 】i q ，a 1 ，a 2 ) = 2 q l l l ，a l ，a 2 ) ， ( 33 5 ) i u 2 ( q l + q 2 ) + u 2 ( p 1 + p 2 ) 1 7 ，a l ，a 2 ) = 压q 2 1 7 a l ，a 2 ) ( 33 6 ) 作为双模空问中的一个连续表象，ha - ，a 2 ) 必须满足正交完备关系它的正 交性表现为 ( q ，a l ，a 2 iq ，a i ，a 2 ) = 7 r d ( 2 ( q q ) ( 3 3 7 ) 其完备性则可以通过i w o p 技术加以证明 ，譬h a z ，a z ) ( 目，a - ，a 2 1 = ，争南：e x p 一赤【q t 一击 “i ( q i q 2 ) + 巩( p i + p 2 ) j j 2 ( 33 s ) 一畏f 一去 “2 ( q + q 。) + t 。z ( 尸l b ) 】2 ) ：= 1 作为一个特例，当h af = f a 2 f = l 时，广义纠缠态ha - ，扎) 就变成 e x p 一i 正2 + ( 叩i e 溉+ 卵2 e 吼) n + ( - 7 l p 氓+ 7 1 2 e 地) n ! + j ( e 2 帆一p 2 啦) n j ! 一 ( 溉+ e 2 i o z ) ( 乜：2 + d p ) a o o ) = ，a l ，a 2 ) 卢仁i = 0 i 如) ( 3 3 9 ) 1 3 4双模纠缠态表象中的r a d o n 变换 在这一部分中，我们将使用v v l y 对应导出纠缠w i g n e r 算符的r a d o n 变 换及其逆变换根据w e l y 对应规则。ha - ，a 2 ) ( ，7 a - a z i 可以用它的经典对 应函数与双模w i g n e r 算符的积分来表示。即 1 7 ，a l ，a 2 ) ( q ，a l x + l = d 2 a d 2 r h ( a r ；，a i ，a 2 ) ( 仉r ) ，( 3 4 0 ) 2 0 0 1 年中田科学技术大学硕士学位论文 1 5 由双模w i g n e r 算符在f q ) 表象中的表示( 3 1 9 ) 以及e 】y 对应( 3 2 2 ) 式可知 ( 口，：印，a z ，a 2 ) 24 7 r 2 t ，：j ? ，a ，l ，i 2 ) ( 口，1 - ，1 。j ( 仃，7 ) ( 3 4 1 ) = 4 ，等( r f jr ，a i ，a 2 ) ( q ，a i ，a 2j r 4 - f ) e x p ( f 口一f ) 、 为求得式中的内积( ejq ，a - ，a 2 ) ，我们可以利用普通的相干态的完备性关系 j r4 警j 。p ) ( q 卢i = 1 ，其中j q 卢) = e x p h ”一m 2 + n 口：+ 蹦】1 0 0 ) ， 为双模的相干态，于是有 ( 引q ，a - ，a z ) = ( f l ，宅字j q p ) ( o nq ，a 。，九) 2 了瓦蔫t 面e x p ； 一。n t 2 2 f - 毒+ ( 曲) 2 】十等f 器一2 巳嚣+ ( 尚) 2 】， ( 3 4 2 ) 其中d = ( 1 一e 2 i 0 1 ) ( 1 + e 2 i o z ) 将( 3 4 2 ) 式代入( 3 4 1 ) 我们就得到经典对应 函数 ( 盯，7 - ；叩，a - ，a 。) = 酉墨砑，譬e x p 2 z 陋- ( l 嚣嚣+ 仃：) 】 + 2 i ( 已( 一7 2 ”v t 。+ 嚣一盯1 ) 】( 3 4 3 ) = 7 r j ( 叩1 一u 1 盯l 一 l 丁j ) 6 ( 叩2 u 2 r l 一? 3 2 0 2 ) 再将上面的结果代回到( 3 2 9 ) 日，a i ，a 2 ) ( 叩，a 1 ，a 2 i = f d 口d 2 r ”6 ( _ 一目i 口l c ，1 n ) d ( 叩2 一“2 l f 2 口2 j ( j ，t ) ( 34 4 ) 就得到双模纠缠w i g n e r 算符的r a d o n 变换从此处可以看出引入广义纠缠 态h a i ，a 2 ) 的必要性( 3 4 4 ) 式的正确性可以用j ( 口r ) 的在l 叩) 表象中的 表达式( 31 9 ) 以及1 w o p 技术进行验证 f q ，a i ，a 2 ) ( 叩，a i ，a 2 f = f d 2 0 d o r6 ( 叼l n l 盯i t ，i 丁2 ) 占( 一“2 r i f 2 盯2 ) ，簪j 。一7 7 ) ( 盯+ q je x p ( ”一n ) = f d 2 a a r 2 r 丌一1 ：e x p 一j 口j 2 一j r j 2 + ，：+ 啦) + r ( n 5 + a 1 ) + 盯( 。：一n 2 ) + 盯( 口i 一8 ) 一2 f 口l 一2 口；口2 ：巧( 玎l 一“i 盯i 一掣l n ) d ( 啦u 2 r i 一口2 盯2 ) 2 f a - 扎f - 1 ：e x p 一耐下m - 一去( u - ( q i q 。j 十r 。( p i + p 2 ) 】z 一- i 蚓l - ， ，7 2 一去 “2 ( q i + q 2 ) + u 2 ( 尸1 一b ) 】2 ) l ： ( 3 4 5 ) 2 0 0 1 年中国科学技术大学硕- 1 - 学位论文 1 6 一一 接下来我们寻找r a d o n 变换的反变换，这需要对( 3 4 4 ) 式作f o u r i e r 变换 d r l 2 ma l ，a 2 ) ( 1 7 , a l ，a 2 fe x p ( 一i c l l ：一心旌) ( 3 4 6 ) = 丌d r 2 d 2 a d 2 r ( 盯，7 ) 6 ( 叼：一u t 盯l u l 功) 巧( 玎：一“2 r i v 2 d 2 ) e x p ( 一i c lt ：一i ( 2 覆) = ”d 2 盯d 2 r ( 口，r ) e x p 一i c - ( u l a t + 口- r 2 ) 一i ( 2 ( u 2 r l + ”：a ：) ) 再对参数u l ，u 1 ，“2 ，u 2 作f o u r i e r 变换，就有 ；型兰学d t l 2 l q ，a 。，a ：) ( r , a l , a 2 e x p 一i - ”：( 3 4 7 ) 一i 白玩+ i u l s l + i v 】t 2 + i u 2 tj + i v 2 s 2 ) = 志c 詈+ i 詈，石t l + i 争 这样，我们就得到了双模纠缠w i g n e r 算符的反r a d o n 变换实际上，为了便 于实验测量，我们希望采用最小的t o m o g r a p h y 完备集即我们可以令i a lj = i a 2 l = 1 这时双模r a d o n 变换及其逆变换简化为 rd 2 巩 彳j 口 0 1 , 0 2 ie x p ( 一i u t 口：一i v 2 璃) = d 2 盯d 2 f ( 叩) e x p u l ( o l e o s p l + ns 1 ) 如果把上式看作一个特殊的f o u r i e r 变换，则它的逆变换就给出了在推广的双 模纠缠态表象中的r a d o n 反变换 ( 2 ”) 一，争铲r i d u - 詹”d o - 铲地d u 2 詹”d o 。0 0 ) ( q 一0 0 。l e x p 一i t ，l ( q i 一口ic o s 0 1 一ns i n 0 i ) 一i 2 ( ，t r ic o s 0 2 一j 2 s i n0 2 ) ( 3 4 9 ) = a ( 口，r ) ， 注意这不同于两个独立的单模r a d o n 反变换的直积。因为式中的，目l ，巩) 是 纠缠态 最后，我们给出双模关联系统w i g n e r 函数的逆r a d o n 变换 o ( ) = 赤，孕旷u - du l 眉”d o - 旷地a l l 2 f 0 2 。蛾胁，吼如吲2 e x p 一i u d q ：一仃lc o s o l r 2s i n 0 1 ) 一f 也( 如一r ic o s 0 2 一盯2 s i n 0 2 ) ( 3 5 0 ) 汹 n ( s 2 盯+ 2 ps0cr 2 z 第二章非线性相干态的对偶态及其在复p 一表示中的应 用 2 1 引言 相干态是指湮灭算符。的本征态f 1 1 】，那么产生算符o t 的本征态i z ) 是 什么呢? 在以前的量子力学书中，认为产生算符的本征态恒为零f 1 2 】范洪 义教授首先指出f 1 3 】，这榉的结论是不严格的借助于d 一函数的h e i d e r 围 道积分定义【1 4 】，范不仅求出了作为相干态l 。) 对偶矢量的l z ) ，还研究了 它的性质 另一方面，作为一种推广相干态的方法，非线性相干态f 15 】f l6 】在近年来 受到了研究人员的广泛重视单模非线性相干态被定义为f ( n ) a 的本征态， 其中n = a t a 是粒子数算符在线性极限下，f ( n ) = l ，非线性相干态简化 为普通的相干态i z ) 量子光学中许多著名的态，包括压缩态，负二项式态， 都可以看作是某种非线性相干态 17 】现在，一些非线性相干态已经能够在 实验室中实现例如，在文献【1 8 中，一系列的非线性相干态已经作为受陷 离子质心运动的定态实现 接下来的问题是，非线性相干态的对偶矢量是什么? 下面我们将说明， ，f ) 本征态的对偶矢量正好是a t ( n ) = f ( n 一1 ) o t 的本征态因此，我们 将寻找f ( n ) a t 本征态并讨论其性质 2 2f ( n ) a f 的本征矢 2 2 1f ( n ) a t 的本征矢k ，( ，z ) ) 。 我们设f ( n ) a 本征态为i z ，( n ) ) 。，它满足本征方程 ，( v ) n k ，( n ) ) = z 。旧，( n ) ) ，i - 0 ，l ，2 ，( 2 1 ) 式中的z 是复数。脚标+ 代表态矢为f ( n ) a 的本，征态为了求解k ，( n ) ) 的解析表达式，我们将它在f o c k 表象中展开 0 0 z ，( n ) ) = gi - ) ，g = ( ，tl ：，( n ) ) ( 2 2 ) n = o 1 7 2 0 0 1 年中国科学技查查兰里主竺竺堡奎 堡 一 其中，i n ) ：。t n v 石t i o ) 是粒子数态将上式代入本征方程( 2 1 ) ，有 妻c y ( n + 1 ) 石再l n + 1 ) = z g l n ) i ( 2 3 ) n = 0 “2 u 于是我们得到以下递推关系 z g = o ，z e l