（应用数学专业论文）非线性分数阶微分方程dirichletneumann型边值问题的正解的存在性.pdf

独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得 的研究成果据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含 其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得东北师范大学或其他教 育机构的学位或证书而使用过的材料与我一同工作的同志对本研究所做的任 何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意 学位论文作者签名：堆玲 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解东北师范大学有关保留、使用学位论文的规定， 即：东北师范大学有权保留并向国家有关部门或机构送交学位论文的复印件 和磁盘，允许论文被查阅和借阅本人授权东北师范大学可以将学位论文的全 部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其它复制手段 保存、汇编学位论文 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名：越指导教师签名：堑勇 日 期：劾f 亚：选12y 日期：迎也：旦c - 纱 电话： 邮编： 摘要 本论文讨论了带有分数阶的非线性微分方程关于d i r i c h l e t n e u m a n n 型边值问题的正解 的存在性首先，求解方程满足边值条件下的g r e e n 函数，并研究了g r e e n 函数的正性；其次， 结合锥不动点理论进而得出该非线性分数阶微分方程d i r i c h l e t n e u m a n n 型边值问题的正解 存在时的充分性条件；最后，再通过应用实际例子对本论文所得出的结论加以验证说明 关键词：非线性微分方程；分数阶；d i r i c h l e t n e u m a n n 型边值问题；g r e e n 函数；锥不动 点定理 a b s t r a c t t h i sp a p e rd e a l sw i t ht h ee x i s t e n c eo fp o s i t i v es o l u t i o nf o rd i r i c h l e t n e u m a n nt y p eb o u n d a r y 。 v a l u ep r o b l e m so fn o n l i n e a rf r a c t i o n a ld i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s f i r s t ，i ts o l v e s t h eg r e e nf u n c t i o n f o rb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m sa n dr e s e a r c h e st h e p o s i t i v ep r o p e r t yo ft h eg r e e nf u n c t i o n n e x t ，i t s o l v e st h es u f f i c i e n tc o n d i t i o nw h i c hi su s e dt o c e r t i f y t h ee x i s t e n c eo fp o s i t i v es o l u t i o nf o r d i r i c h l e t n e u m a n nt y p eb o u n d a r yv a l u e p r o b l e m so fn o n l i n e a rf r a c t i o n a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n sw i t h t h ef i x e dp o i n tt h e o r e mi nc o n e s a tl a s t ，a t y p i c a le x a m p l ei sg i v e nt oe x p l a i nt h ec o n c l u s i o nw e d e r i v e di n t h i sp a p e r k e yw o r d s ：n o n l i n e a rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n ；f r a c t i o n a l ；d i r i c h l c t - n c u m a n nt y p eb o u n d a r yv a l u e p r o b l e m ；g r e e nf u n c t i o n ；f i x e dp o i n tt h e o r e mi nc o n e s 目录 中文摘要i 英文摘要 目录i i i 1 引言1 2 预备知识和g r e e n 函数3 2 1 基本定理3 2 2g r e e n 函数的正性_ 4 3 非线性分数阶微分方程的正解8 3 1d i r i c h l e t - n e u m a n n 型边值问题正解的存在性8 3 2 正解存在性的典型例子1 9 参考文献2 l 致谢2 3 i i i 东北师范大学硕士学位论文 l 引言 分数微积分发展至今已有很长时间回顾历史，许多数学家在这一领域里都做出了巨大 贡献，如：l a p l a c e ，f o u r i e r ，l i o u v i l l ，r i e m a n n ，l e t n i k o v 等，他们对早期分数微积分理论的形 成起到了重要的作用【1 1 如今，分数微积分与分数阶微分方程理论发展迅速，有关分数微 积分与分数阶微分方程的诸多问题也越来越受到人们的关注它已从最初在数学领域的应 用逐步扩展到物理、生物、信号处理等多个领域当中，并在理论分析和实际应用中扮演了重 要角色，起到了一定作用在最近的数十年里，有关分数微积分、分数阶微分方程的论文和 著作相继出现例如：文献 1 】- 【5 1 在许多论文与著作当中，也有很多是关注不同边值条件和 不同阶数范围下分数阶微分方程正解存在性和唯一性问题的例如：文献 6 】- 【1 2 】在文献【6 】 中作者考虑的是分数阶微分方程边值问题 jd g + u ( t ) + f ( t ，“( f ) ) = 0 ，0 t 1 ， iu ( o ) = z ，( 1 ) = 0 ， 1 口2 的正解的存在性问题；在文献【7 】中作者考虑的是分数阶微分方程边值问题 d a u “+ a ( t ) f ( ：u i 0 0 t l - l 口2 的正解的存在性及正解个数的问题；在文献【8 】中作者考虑的是分数阶微分方程边值问题 jd o l u ( t ) + 八f ，甜( f ) ) = 0 ， i “( o ) = 0 ，成+ “( 1 ) = 口瑶+ z ，( 鼍) ， 0 t 1 1 o r 2 的正解的存在性问题；在文献 9 】中作者考虑的是分数阶微分方程边值问题 jd 缸“( f ) = f ( t ，z ，( 力) ，0 t 1 ， iu ( o ) = u ( 1 ) = u 。( o ) = u ( 1 ) = 0 ， 3 口4 的正解的存在性问题；在文献【l o 】中作者考虑的是分数阶微分方程边值问题 d 玉“( f ) + f ( t ，甜( f ) ) = 0 ，0 t 1 ， i 甜( o ) = “( o ) = z ，”( o ) = l ，”7 ( 1 ) = 0 ， 3 口4 的正解的存在性问题，等等在不同的边值条件和不同的阶数范围下，可以采用不同的方法 来求解分数阶微分方程的解以及证明其正解的存在性已知的求解方法中较多是采用各种 推广的特殊函数来直接求解，其中又以分数g r e e n 函数较为常用同时不同的边值问题和阶 东北师范大学硕士学位论文 数范围也可导致求解g r e e n 函数所采用的方法及相应的g r e e n 函数值的不同，进而导致在后 续估计分数阶微分方程正解存在的条件以及在证明正解存在性的方法上出现显著差别这 些都使得对分数阶微分方程不同边值问题下正解存在性的研究更加有趣且具有很大的应用 潜力 本论文着重研究的是d i r i c h l e t n e u m a n n 型边值问题下，阶数范围在( 1 ，2 】之间的非线性 分数阶微分方程正解的存在性问题，即研究： d 备“( 门+ ，f c 和) = o ，0 7 1 ，( 1 1 ) iu ( o ) = “( 1 ) = 0 ， 1 0 ，若函数“c ( o ，1 ) nl ( o ，1 ) ，则微分方程d g + u ( t ) = 0 有唯一的 一个解“( d ，且满足 “( f ) = c l t 瑾一1 + c 2 尸一2 + + c f 口一，c f r ，i = 1 ，2 ， ， 这里是大于或等于口的最小整数 引理2 2 6 对于所有让 0 ，若函数u c ( o ，1 ) l ( 0 ，1 ) ，则有 磊0 d 盘z ，( 力= “( f ) + c 1 t a - 1 + c 2 t 口一2 + + c 尸- ， c i r ，i = 1 ，2 ， 这里 ，是大于或等于o f 的最小整数 3 东北师范大学硕士学位论文 2 2g r e e n 函数的正性 接下来，我们介绍一下分数阶微分方程边值问题( 1 1 ) 中的g r e e n 函数 引理2 3 若函数h c o ，l 】，且1 0 ，t ，s ( o ，1 ) ( 3 ) t s ( 1 一s ) 。一2 r ( a ) g ( f ，s ) t 2 一口s ( 1 一s ) 口。2 ，t ，s ( 0 ，1 ) 证明：当s t 时， r ( 口) g ( f ，j ) = ( 1 一s ) 。2 f 。7 1 一( t s ) o 。1 。 = t ( t f s ) 口一2 一( t s ) o 一1 t ( t t s ) 口一2 一( f f s ) 口一1 = 0 一f s ) a - 2 ( f t + t s ) = t s ( t f j l 扣2 = 尸一1 s ( 1 一s ) o 一2 ，f s ( 0 ，1 ) 另一方面： 当占t 日寸， 另一方面： 结合( 2 3 ) 一( 2 6 ) 可知： f ( c r ) a ( t ，s ) = ( 1 一s ) p 2 t a 一1 一( t s ) 口一1 = t ( t t s ) 。一2 一( t s ) o 一2 ( f s ) t ( t t s ) o 一2 一( t 一，s ) 。一2 ( f j ) = o t s ) a - 2 ( f t + s ) = 严一2 s o s l o 一2 ：；f - l ( 1 一s ) 一2 t a - 1 ( 1 一s ) 口 r ( o ) g ( f ，j ) = ( 1 一s ) 8 2 t a 一1 尸一1s o s ) 口一2 r ( a ) g ( t ，s ) = ( 1 一s ) 口一2 尸 尸一1 s ( 1 一s ) 。一2 r ( 。) g ( f ，s ) 尸一1 ( 1 一j ) 。一2 ，t ，s ( 0 ，1 ) 由( 1 ) 成立，可知( 2 ) 显然成立 以下证明性质( 3 ) 成立； 当s ，时， r ( a ) g ( t ，s ) f f r s ( 1 一s ) “以， 5 ( 2 3 ) ( 2 4 ) ( 2 5 ) ( 2 6 ) 东北师范大学硕士学位论文 于是， r ( a ) g ( t ，j ) f 2 一d = 【( 1 一s ) 口一2 t a - 1 一( f s ) 。一1 】产一口 f 口一1s o s ) “一2 t z 一“( 2 3 ) +1 = t s ( 1 一s ) 口 另一方面，由( 1 ) 的证明过程可知： f ( o t ) g ( t ，d f 2 一口s ( 1 一s ) 内， 则： 当s f 时，由( 1 ) 可知： 则： r ( a ) g ( t ，j ) 产一口i t - 2 s ( 1 一s ) a 一2 】产“= s ( 1 一s ) 。2 ( 2 4 ) r ( a ) g ( t ，s ) 严s o s ) 。， r ( a ) g ( t ，s ) t 2 一口t s ( 1 一s ) 。一2 另一方面， r ( 口) g ( 六s ) f 2 口= ( 1 一s ) 口一2 严一1 t z 一口 = t o 二。s 1 口一2 s ( 1 一s 1 口 结合( 2 3 ) 一( 2 6 ) 可知，性质( 3 ) 成立 口 接下来，设 灭力= t 2 - ( t ) ，g ( f ，s ) = g ( t ，s ) t 2 - 口 由甜( f ) = f og ( t ，s ) 厅( s ) d s ，可得： y ( 力= j = 1 产一。g ( s ) 办( s ) d s = 1 1 g ( 瓦5 ) 厅( s ) d s 这里 g + ( f ，s ) = 根据引理2 4 ( 3 ) 可知： ( 1 - $ ) a - 2 t a - ；i 芦- x ( l - s ) a - 1 t 2 一- o r ， 0 s z 1 ， r ( 口) 一 t ( 1 ：- 了s w - 2 ， 0 f s 1 r ( 仃) 一 6 ( 2 5 ) 7 ( 2 6 ) ( 2 7 ) ( 2 8 ) 东北师范大学硕士学位论文 i _ - 。_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 1 _ 。_ _ _ _ _ - - _ - 。_ _ - _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ - _ _ _ 。- _ _ _ - _ - - _ _ _ _ - _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ - _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ - _ _ _ _ 。- _ 一 以下的引理和定义在证明本文的主要结论的过程中有着重要作用 引理2 6 【1 3 】x 是b a n a c h 空间，pcx 是锥，q l ，q 2 是x 中开集，0 q ic q lcq 2 ，s ：p 一尸 全连续，则若 s ui m i 叫， u p na q l ；i is ui i l lu ，山p na q 2 ， 或 仞j ls ul i _ l l 。山l i ， u p na q l ； l lsc l jl l l lu1 l ， pn0 d - 2 ， 则s 在j p n ( - 2 q 1 ) 内有不动点 定义2 3d 3 设x 为实b a n a c h 空间，k 是x 中的闭凸子集，如果它满足： ，“j 若x k ，l 0 ，则a x k ； 仞若x k 一工k ，则工= 0 ， 则称k 是x 中的闭锥 定义2 4 1 4 】设x ，y 为线性赋范空间，dcx ，a ：d _ y ，如果a 将d 中的任何有界集s 映成y 中的相对紧集么( s ) ，即甭可是y 的紧集，则称映射a 为紧映射进一步，如果映射a 还是连续的，则称彳为紧连续映射，或全连续映射 引理2 7 4 1 ( a r z e l a _ a s c o l i ) 设置y 为线性赋范空间，dcx ，a ：d 一】，连续，若么) 为y 中的一个闭子集，并且a 是一致有界和等度连续的，则么是全连续的 7 东北师范大学硕士学位论文 3 非线性分数阶微分方程的正解 3 1d i r i c h l e t n e u m a n n 型边值问题正解的存在性 在这一部分，我们要证明方程( 1 1 ) 的正解的存在性 为了方便证明，使证明过程简洁，在这里我们首先定义几个记号的含义如下： g o = l i y m i n f 。考 - - - - 二、 ， 踟= 粤毒等， 其中y c ( 0 ，1 】， 0 ，+ o o ) ) ，g c ( 0 ，+ o o ) ，【0 ，+ o o ) ) m = ( o 警， 丙一f j ：l ( 1 - 1 ) s ( 1 、- ，s ) a - z v l ( s ) 其中v l ( ，) ，v 2 ( t ) 的含义将会在下方条件中给出 通过以上定义，结合( 2 1 2 ) 式可知： g o ：l i m s u p 型， y - o + y 旷：l i ms u p 业 y + + o oy 丙：( r j o t s ( 1 一s ) 。之r ( a ) g + ( f ，s ) s ( 1 一s ) 口- 2 1 ( 1 一三) s 2 ( 1 一j ) 帕，l ( s ) 口 在以下定理3 1 和定理3 2 的证明过程中，将会反复用到此不等式 i 一( a ) ( 3 1 ) 在这一部分讨论非线性分数阶微分方程的正解的存在性的过程中，首先给出以下5 个 条件： ( 竹f ( t ，甜) 在 0 ，q x o ，+ ) 上连续，存在g c ( o ，+ o o ) ， o ，+ ) ) ，以及v l ，v 2 c ( ( o ，1 ) ，( o ，+ o o ) ) ， 使得： ，l ( f ) g ( y ) s 八f ，尸一勺力v 2 ( t ) g ( y ) ，t ( o ，1 ) ，y 【0 ，+ o o ) ， ( 3 2 ) 成立，这里fv i ( s ) d s n ，g 。 ； 似2 ) g o 西 【注1 】：如果存在p 0 ，使得当0g y p 时，有g o , ) o ，使得当去p y 冬p 时，有g ( y ) 而，则。4 ) 成立 设“是方程( 1 1 ) 的一个解，则： 删= 上1 g 瓴s 小州枷出，。f 0 ，使得对于所有y d 有，删 三 令q = m 彻a x 1 9 0 ) l + 1 ，则对于所有y d 有： ( f ) i y 0 1i g ( f ，s ) f ( s ，s 。一z y ( s ) ) l d s eg + ( f ，s ) l v 2 ( s ) g f y ( s ) ) l d s 以坐掣幽 0 ，当 i t 2 一t l i r l 时，有： 1 6 弋红d “弋n 训 赤1 于是，当y d ，t l ，t 2 0 ，1 】，且i t z t l i 刁时，有： 9 东北师范大学硕士学位论文 l a y ( t 2 ) a y ( t 1 ) i = i 以g ( 如，s 小s ，一玖s ) ) 如一g 。( t i ，s 小s ，一2 y ( s ) ) d s l ei g + ( t 2 ，j ) 一g + ( ms ) l l f ( s ，s 口一项s ) ) l d s 弋。 弋、 i f ( s ，s 。 - 2 y ( ) ) l d s v 2 ( s ) 以y ( s ) ) l d s ，l i v 2 ( s ) d s j0 于是，彳等度连续 综上，由a r z e l a a s c o l i 定理可知：a ：k k 是全连续的 引理3 1 在b a n a c h 空间坝c o ，1 】，”1 1 ) 中，k = u xlz ，( 力fi l u l l ，t 【0 ，1 】) 为一个 锥，a ：k - x 是全连续映射，若条件( p ) 成立，则a ( k ) ck 证明：由( 2 8 ) 式，对于所有y k ，有： ( d = 口g ( 厶s ) f t s ，s ”2 y ( s ) ) d s - v f 竽m s a - 2 y ( 呦出 可知， i 圳s 1 1 专m ，印肌 于是， ) ( 力= fg + ( f ，s ) f ( s ，s - 2 y ( s ) ) d s f 0 1t s ( 1 f ( c r ) - s ) - 2f ( 是s ”钦s ) ) 幽 艺ff o i s ( 1 u - 。s v ，- 2 八j ，s 沪项s ) ) 如 t l l a yl i 则x y k 显然，彳( 幻ck 定理3 1 假设条件( 尸) ，似1 ) 、似3 ) 均成立，则方程矽至少存在两个正解u l 和u 2 证明：条件( 尸) 成立，则a t ，“) 在【0 ，1 】【0 ，+ o o ) 上连续，且存在g c ( 【0 ，+ 0 0 ) ， 0 ，+ ) ) 以及 1 ，l ，v 2 c ( ( o ，1 ) ，( 0 ，+ ) ) ，使得： y 1 ( t ) g c y ) f ( t ，t 2 y ) v 2 ( t ) g ( y ) ，y t ( o ，1 ) ，y 【0 ，+ o o ) ( 3 2 ) 1 0 票志六 一方面：由g o 丙，可知对于所有s 0 ，存在，0 ，0 r o p ，使得g t y 2 甭+ s ，即： j ， g o , ) ( + e ) y ，y ( o ，r 0 ) 现在，我们令，( o ，r 0 ) ，q r = 涉k ii l yi i yl i ，0 0 ，存在h 0 ，使得幽 丙+ ，即； y g t y ) ( + e ) y ， y h 令r r o ：m a x i n _ ，p ，：抄kii l yi i - p 旷 当y 似na q 月) 时，我们有： j ，( f ) fi i y 。i i 丢| | y 等y ：，f 【三，互3 】 ( 3 3 ) ( 3 4 ) ( 3 5 ) 东北师范大学硕士学位论文 因此，当y 讹足时，咖( 力) 圆+ 甸， f 【丢，百3 】 结合( 3 1 ) ( 3 2 ) ( 3 5 ) 式，有： ( 1 一丢) = 0g 一1 q ，s 小s ，广玖呦幽 盱g 一l 口, s ) f ( s , ：- 2 y ( 妫出 厅旦可r 一出 ；( 1 - 1 ) s ( 1 - s 、) 。a - ，2 v l ( s ) g ( y ( s ) ) 凼 ，( 1 一三) s ( 1 一s ) a 一2 v i ( s ) ( + 曲“s ) 一序4 - - j l 百1i , c ：r - ) 一幽 融譬迁学o = r n ( 丙) 一l 所以，当y 砸尺时，有： i l a y yi i ， r 只 因为似3 ) 成立，所以存在p 0 ，使得当0 y p 时，有： g o , 、 m p ( 3 6 ) ( 3 7 ) 现在，我们令= 杪kl i i y p1 当y 岱n a ) 时，有0 t l l yi i y ( f ) p ，t 【o ，l 】 于是，当y a 时，如( f ) ) m p ，t 之 o ，l 】 再结合( 3 1 ) ( 3 2 ) ( 3 7 ) 式，有： 于是，当y a 时，有； l a y0 = p m h f l = p = y | i 1 a y 0 ，存在r o ，0 r o 丙+ s y 令厂( o ，r o ) ，珥= l y k ii l yi i i b ，0 0 ，使得当y h 时，有 幽 丙+ y 令尺 j r 。：= m a x h 盯, p l ，q 只= l y k ii l y i l v l l ，r p 13 东北师范大学硕士学位论文 于是，( 4 ：) 条件与似i ) 条件等价 又由于口3 ) 条件成立，因此存在p 0 ，使得当0 y p 时，有 g o , ) m p 令= l y k y p1 仿照定理3 1 的证明可知：当y o n p 时，有 i i a yi i yl i 综上所述，结合引理2 6 可知：映射4 在kn ( 瓦q r ) 以及kn ( 虱) 上至少分别存在 一个不动点y l , y 2 ，使得r i i y l l l p i l y 2 1 l r ，且 咒( f ) = j = 1g ，s 小s ，一锄( 呦幽 再结合定理3 1 最后一部分的证明可知在推理3 1 的条件下，边值问题( 1 1 ) 也至少存在两个 正解 1 ( 力= 严一2 y l ( f ) ，u 2 ( 0 = t a - 2 y 2 ( t ) ， f 【o ，l 】 口 定理3 2 假设条件p ) ，0 2 ) 、似4 ) 均成立，则方程矽至少存在两个正解u l 和u 2 证明：由p ) 条件成立，知( 3 2 ) 式成立 由“2 ) 条件成立，知g o mg o o m 一方面，由于g o 0 ，存在r o ，0 r o p ，使得当0 少r o 时，有 g o , ) ( m 一6 ) y ， 令r ( o ，r o ) ，d - r = l y k ii l y ，1 显然0 ， p 当y ( kna q ，) 时，有ti l yi i y ( f ) ，t o ，1 由于ti l yi i = tr 0 且， r o ，因此对于所有t 【o ，1 】有 0 tr y ( 力r r o 显然，当y a q ，时，g t y ( f ) ) ( m e ) y ( d ， ，【o ，l 】 再结合( 3 0 ( 3 2 ) ( 3 9 ) 式，有： 1 4 ( 3 9 ) 东北师范大学硕士学位论文 于是，当y 讹，时，有： ，) ( f ) = j 5 1g 。( 厶s ) f ( s ，f - 2 y ( s ) ) d s j 5 1g ( f ，s ( s ) g t y ( s ) ) d s , 1 s ( 1 - s ) a - 2 、v 。2 ，( s ) g ( y ( $ ) ) d $ r 坐竖等等型幽 r r 坐专笋幽 胁f 坐篙塑幽 = r m 广l = r = i i1 ，i i i l a yi i i l yi i ， 。0 ， 0 ，使得当y 日时，有 g o ) 0 ，使得 酊) p + 缶，= 杪k i l y _ ，且尺 乞 对于所有y ( kna q 月) ，结合( 3 1 ) ( 3 2 ) ( 3 1 2 ) 式，有： l a y m 0 且满足r m a x r + p ，日j ，使得当y ( o ，r 】时，有 g ( y ) m a x g ( r ) 令= 抄kl | | j ， r ) ，于是对于所有y a ，有fr y ( f ) sr ，t o ，1 】 所以，当y a q 月时，g o ( f ) ) m a xj g ( 尺) ，t 【0 ，1 】 1 5 ( 3 1 1 ) ( 3 1 2 ) ( 3 1 3 ) 腓 似 吣一，摹 壅! 竖堕蕉盔堂亟堂鱼迨窒 再结合( 3 1 ) ( 3 2 ) ( 3 11 ) ( 3 1 3 ) 式，有： 俐i f 孚他s 口- 2 y ( s ) ) a s c 丛! 二坚塑兰避型出 1 $ ( 1 - - $ ) r - 2 v 2 ( $ ) m a x g ( r ) d s o 坐竺笋出 p ，使 得： 砂i i o ，使得当丢p y p 时，有 反力 m y 令q p ：杪k i i yi i 譬口( 1 一喜，s 小邮”( 妫出 2e g + ( 1 - 吉，s ) v 1 ( s 鼬( s ) ) 凼 ，f 】一三) s ( 1 一j ) 铲2 v l ( s ) 双y ( j ) ) 鬈卫币厂一幽 牙生1 酉一幽 ? 2 _ n pi ；, 1 ( 1 - 1 ) v l 霜( s ) s - ( 1 - 一s ) 口- 2d s 所以，当。y a 时，有： = p 丙( t o 一1 = p = yi | u a y i l y i i 1 6 ( 3 1 4 ) ( 3 1 5 ) ( 3 1 6 ) 聃 f 东北师范大学硕士学位论文 因此，根据引理2 6 ( 1 ) ，结合( 3 1 0 ) ( 3 1 6 ) 式可知： a ：k _ k 在kn ( 瓦q ，) 中至少有一个不动点y l ，即a y l = y 1 ，且，ib ，l p ； 根据引理2 6 ( 2 ) ，结合( 3 1 4 ) ( 3 1 6 ) 式可知： a ：k k 在kn ( 1 ) 中至少有一个不动点y 2 ，即锄= y 2 ，且p i b ，：l l r 综上所述，映射a 在kn ( 五八q r ) 以及kn ( 砾r i p ) 上至少分别存在一个不动点y l , 妮， 使得，i b ，l l l p i 忱i i r ，且： ，l y i ( t ) = fg 4 ( f ，s ) f ( s ，s 口- 2 y i ( s ) ) d s “t 【o ，1 】，i 二1 ，2 j 0 又由于i v i l l r ，且蜥( 力= t a y i ( f ) ( i = 1 ，2 ) ，因此u i ( t ) ( i = 1 ，2 ) 为原方程( 1 1 ) 的两个解 最后，仿照定理3 1 的证明过程可知：边值问题( 1 1 ) 至少存在两个正解 甜1 ( f ) = t 8 - 2 y l ( 0 ，u 2 ( t ) = f ( 锄( f ) ，t 【0 ，1 】 口 推论3 2 定理3 2 中的条件似2 ) 可替换成： 0 ；) g o = o ，旷= 0 ，此时结论仍然成立 证明：由g o = 0 ，可知对于所有s 0 ，存在r o ，0 r o p ，使得当y ( o ，r o ) 时，有 趔 m s y 令，( o ，) ，q ，= 杪k ii l y ，1 仿照定理3 1 的证明可知：当y a g 时，有i l 砂0 i l y ，0 0 ，当y h 时，有 型 0 ，使得当y 【0 ，+ o o ) 时，有删 p + 云，= y k ii i yi i 0 ，且满足r m a x r + p ，h i ，使得当y ( o ，r 时，有 g ) m a x 甄r ) 令= 杪k | y o ，使得当去p y p 时，有 氧” n y 令q 口= 杪ki l y l | j ，1 1 于是，结合引理2 6 可知：映射4 在kn ( 瓦n r ) 以及kn ( 砾啤) 上至少分别存在一个 不动点y l ，y 2 ，使得，p i t v 2 | | r ，且； ，l 。y i ( t ) 二f g + ( f ，s ) f ( s ，s a - 2 y i ( s ) ) d s ， f 【o ，1 】，i = l ，2 j o 此时，再仿照定理3 1 最后一部分的证明可知，在推理3 2 的条件下，边值问题( 1 1 ) 也至少 存在两个正解 u l ( 力= 广l ( 力，u 2 ( t ) = 广锄( 力，t 【0 ，1 】 口 “ 将定理3 1 和定理3 2 中的部分条件稍加更改，还可以得出以下结论： 定理3 3 在条件p ) 成立的前提下，若g o _ 旷 m ，则方程“矽至少存在一个正解 推论3 3 在条件p ) 成立的前提下，若g o = + o o ，旷= o 伏线性j ，则方程口至少存在 一个正解 定理3 4 在条件p ) 成立的前提下，若矿 n 一，则方程“至少存在一个正解 推论3 4 在条件( 力成立的前提下，若g o = 0 ，g o o = o o 陡线性) ，则方程“矽至少存在一 个正解 1 8 - 蠢 东北师范大学硕士学位论文 3 2 正解存在性的典型例子 为了对我们在本论文中所得出的结论加以说明，在此特别举出一个典型的分数阶微分 方程d i r i c h l e t n e u m a n n 型边值问题的例子，通过它来说明此类方程正解的存在性 例3 1 边值问题 材( 弩缈+ 吩= o ，o 所 1 1 0 ，y r ， 。 当0 y ，+ 时，至少存在两个正解i l l 和u 2 其中y + 为一个固定的正值 在方程( 3 1 7 ) 中以柚f ) = y ( 矿+ 矿) 设( 力= t a - ，于是， 八厶f 口一2 y ) = y ( f ( a - 2 ) m y ”+ t ( a - 2 ) n y ”) 现在，我们令v l ( t ) = t ”( a - ，v 2 ( t ) = t ”( a - 2 ) ，g o , ) = y ”+ y ”) 由于： l i m i n f g c ，v _ _ 2 ：l i m i n f yy m l + y ”一1 ) ：o o ， v 一0 + vv - 0 + l i m i n f g c v _ _ 2 ：l i m i n f y 肌一l + y ”一1 ) ：o o ， ，_ + o oyy _ + o o 因訾，条件似：) 成立 又因为 f 1v t ( s ) 出= f o i $ r e ( a - 2 ) 凼 o o ， 1 y 2 ( s ) 凼= 1 $ n ( a - 2 ) 出 0 ；当y ( ( 上等) 一一，+ ) 时，f o ，显然p = ( 等署) ” 1 ：厶兰：垮，( 0 ，+ ) 目t f 0 ，1 1 时，有 g o ( f ) ) = y p ( 力”+ y ( f ) ”) y ( p + p ”) y ( p ”+ 矿) = m ，p ) ( 矿+ p ”) = m 歹( 矿+ 川p h + p i = m p ， 其中y ( f ) o ，p 】 所以，条件“3 ) 成立 于是，根据推论3 1 可知：当。 y 。时，方程 ( 3 1 7 ) 至少存在两个正解u l 和u 2 口 2 0 i 簟 - ， 东北师范大学硕士学位论文 参考文献 【l 】郑祖庥分数微分方程的发展和应用 j 】徐州师范大学学报f ，自然科学 ，2 0 0 8 ，2 6 ( 2 ) ： 1 1 0 【2 】k i l b a saa ，t r u j i l l ojj d i f f e r e n t i a le q u a t i o n so ff r a c t i o n a lo r d e r ：m e t h o d s ，r e s u l t sa n dp r o b l e m s i i 【j 】m a t h a n a la p p l ，2 0 0 2 ，8 1 ：4 3 5 - 4 9 3 【3 】s a m k osg ，k i l b a saa ，m a r i c h e voi f r a c t i o n a li n t e g r a l a n dd e r i v a t i v e s ( t h e o r ya n d a p p l i c a t i o n s ) 【m s w i t z e d a n d ：g o r d o na n db r e a c h ，1 9 9 3 4 】d i e t h e l mk ，f o r dnj a n a l y s i so f f r a c t i o n a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s 【j 】m a t h a n a la p p l ，2 0 0 2 ， 2 6 5 ：2 2 9 - 2 4 8 5 】b a ic ，f a n gj t h ee x i s t e n c eo fap o s i t i v es o l u t i o nf o ras i n g u l a rc o u p l e ds y s t e mo fn o n l i n e a r f r a c t i o n a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s j 】a p p lm a t h c o m p u t ，2 0 0 4 ，1 5 0 ( 3 ) ：6 11 - 6 2 1 6 b a iz ，l vh p o s i t i v es o l u t i o n sf o rb o u n d a r yv a l u ep r o b l e mo fn o n l i n e a rf r a c t i o n a l d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n j 】zm a t h a n a l a p p l ，2 0 0 5 ，3 11 ：4 9 5 5 0 5 7 e r i crk a u f m a n n ，e b e n em b o u m i p o s i t i v es