（计算数学专业论文）求解时间相关问题的基于长球波函数的谱方法.pdf

浙江人学硕士学位论文 摘要 谱方法是求解偏微分方程的重要数值方法。它的主要优点是高精度，这使得 该方法能够与有限差分、有限元一起而成为偏微分方程的三大数值方法之一。 本文利用基于长球波函数的谱方法讨论了时间相关问题的数值求解。首先介 绍了谱方法的历史背景，发展现况及基本的理论知识。作为一种从全局上米逼近 的数值方法，当求解问题很光滑时，谱方法求解可以指数级地很快收敛于精确解。 然后讨论了长球波函数的概念和性质，用长球波函数来做作为谱方法的基函 数，有许多优点：在 - 1 ，1 和( 一，) 区间上都具有正交性，随着带宽系数c 的变化具有可调性，相比勒让德多项式和切比契夫多项式更加均匀，等等。在相 关的数值计算中重点讨论了长球波函数，数值积分公式和微分矩阵的计算。 最后对于时间相关问题，讨论了基于长球波函数的谱方法同样具有谱精度； c f l 条件对其时间步长的影响，而基于长球波函数的谱方法的空间离散格式具有 拟一致性，可以减少其对时间步长的限制；并通过一些发展方程的数值实验验证 了我们的结论。 关键词：谱方法长球波函数时间相关问题c f l 条件拟一致谱格式 l l 浙江大学硕士学位论文 a b s t r a c t t h es p e c t r a l m e t h o d ，w h i c hc o n s t i t u t e s al a r g e p a r t o f c o m p u t a t i o n a l m a t h e m a t i c s ，i so n eo fi m p o r t a n tn u m e r i c a lm e t h o d sf o rs o l v i n gp a r t i a ld if f e r e n t i a l e q u a t i o n s t h em a i na d v a n t a g eo f t h es p e c t r a lm e t h o di ss o c a l l e d “s p e c t r a la c c u r a c y ”， w h i c hi sc o m p e t i t i v ew i t ht h ef i n i t ed i f f e r e n c ea n dt h ef i n i t ee l e m e n tm e t h o d t h em a i nc o n t e n t so f t h ed i s s e r t a t i o na r ea b o u ts p e c t r a lm e t h o d sb a s e do np r o l a t e s p h e r o i d a lw a v ef u n c t i o n sf o rt i m e d e p e n d e n tp r o b l e m f i r s t l y , w ei n t r o d u c et h e h i s t o r y , b a c k g r o u n da n db a s i ct h e o r yo f t h es p e c t r a lm e t h o d s p e c t r a lm e t h o d s ，w h i c h a p p r o x i m a t et h es o l u t i o na sag l o b a la p p r o a c h ，h a v ee x c e l l e n te r r o rp r o p e r t i e s ，w i t h t h es oc a l l e d e x p o n e n t i a lc o n v e r g e n c e ”b e i n gt h ef a s t e s tp o s s i b l e ，w h e nt h es o l u t i o n i ss m o o t h s e c o n d l y ，w ed i s c u s st h en o t i o na n dp r o p e r t i e so fp r o l a t es p h e r o i d a lw a v e f u n c t i o n s p r o l a t es p h e r o i d a lw a v ef u n c t i o n s ，w h i c ha r ec h o s e na st h eb a s i sf u n c t i o n o fs p e c t r a lm e t h o d s ，h a v ear i c hs e to fa d v a n t a g e s ：t h e ya r eo r t h o g o n a li nb o t h 【- l ，1 a n d ( - ，o 。) ；t h eb a n d w i d t hcc a nb ea d j u s t e dt oc o n f o r mc e r t a i ns o l u t i o n ；t h e y o s c i l l a t em o r eu n i f o r m l ye i t h e rc h e b y s h e vo rl e g e n d r ep o l y n o m i a l s ；a n ds oo n m o r e o v e r ，t h en u m e r i c a lc a l c u l a t i o no fp r o l a t es p h e r o i d a lw a v ef u n c t i o n s ，g a u s s i a n q u a d r a t u r ea n d d i f f e r e n t i a t i o nm a t r i c e si sd i s c u s s e d f i n a l l y , f o rt i m e d e p e n d e n tp r o b l e m ，w ed i s c u s ss p e c t r a lm e t h o d sb a s e do n p r o l a t es p h e r o i d a lw a v ef u n c t i o n sa l s oh a v e ”s p e c t r a l a c c u r a c y ”；w ep l a c ep r o l a t e s p h e r o i d a lw a v ef u n c t i o n sa so n es t r a t e g yf o ra c h i e v i n gas p e c t r a lm e t h o dw i t ha q u a s i - u n i f o r mg r i d ，t o w e a k e nt h ec f lt i m e s t e p p i n gl i m i t ；a n dt h e r ea r es o m e n u m e r i c a lt e s t so fs p e c t r a lm e t h o d sb a s e do np r o l a t es p h e r o i d a lw a v ef u n c t i o n sf o r s o m ee v o l u t i o n a r ye q u a t i o n st os u p p o r to u rc o n c l u s i o n k e y w o r d s ：s p e c t r a lm e t h o d ，p r o l a t es p h e r o i d a lw a v ef u n c t i o n s ，t i m e d e p e n d e n t p r o b l e m ，c f lc o n d i t i o n ，q u a s i u n i f o r ms c h e m e 浙江大学研究生学位论文独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发 表或撰写过的研究成果，也不包含为获得逝姿盘堂或其他教育机构的学位或 证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文 中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名： 智彳 签字日期： 口7 年歹月v 1 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解逝婆盘堂有权保留并向国家有关部门或机 构送交本论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权迸望盘鲎 可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索和传播，可以采用影 印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名： 勺彳 导师签名： 签字日期：口勺年，月了 日 签字日期：ra “日厂(年 红7 浙江大学硕士学位论文 致谢 本论文的完成，首先要感谢我的导师叶兴德老师，是导师悉心的指导和帮助 才使我的论文得以j l r 孵l j 完成。在两年的研究生学爿和生活期间，叶老师自始至终 给予了我无微不至的关怀，我取得的每一点成绩都凝结着导师的辛勤汗水和培 养。 另外，要感谢在学习期问教过我给过我帮助的汪国昭老师、程晓良老师、朱 建新老师、吴庆标老师等，他们对于科学研究的认真的态度值得我永远学习。 在研究生两年的学习和最后的毕业论文期间，数学系许多位同学都给予了我 很大的帮助，在此对所有同学表示由衷的感谢。 最后，我要感谢我的父母对我生活上多年的照顾和对我学业的支持。谢谢他 们的理解，支持和关心。 浙江大学硕士学位论文 第一章概述 谱方法是一种既古老又新兴的求解偏微分方程的数值方法，它和有限差分方 法、有限元方法一起成为偏微分方程数值求解的基本方法之一。 谱方法的基本思想起源于f o u r i e r 分析，它是以正交多项式( 三角多项式、 c h e b y s h e v 多项式、l e g e n d r e 多项式和h e r m i t e 多项式等) 作为基函数的g a l e r k i n 方法、t a u 方法或配置法。它们分别称为谱方法、t a u 方法或拟谱方法，统称为 谱方法。 作为数值求解微分方程的一种手段，谱方法在近几十年得到了蓬勃的发展， 它不仅广泛运用于物理、力学、大气、海洋等领域的数值计算，而且它的数值分 析理论也不断的完善【l - 9 ，1 5 ，1 6 。和有限元及有限差分方法不同，谱方法的主要 优点是具有所谓“无穷阶”收敛性，即如果原方程的解无穷光滑，那么用适当的 谱方法所求得的近似解将以叫的任意幂次速度收敛于精确解，这里n 为所选取 的基函数个数。而一般情况下，谱方法的收敛速度仅依赖于真解的正则性，真解 的光滑程度越高，它的收敛速度就越快，这样，谱方法就能以充分小的自由度取 得非常高的精度，这一优点是其他两种方法无法比拟的，因此，谱方法日益受到 人们的重视。 1 1 谱方法的背景和历史 早在1 8 2 0 年，n a v i e r 运用双重三角级数求解弹性薄板问题，这是谱方法的 最早应用，但是，长期以来，由于其计算量大而一直没有被广泛采用。直到1 9 6 5 年，c o o l e y 和t u r k e y 1 4 提出了一种处理离散f o u r e i r 变换( d f t ) 的快速算法，即 快速傅里叶变换( f f t ) ，它使d f t 的计算量由原来的( 2 ) 降为o ( n l o g ：n ) ， 才给谱方法的使用带来了生机。 然而，谱方法的发展一直受到诸多因素的制约。我们知道，由于求解问题中 解的奇异性问题以及方程的非线性性质等，谱方法有时会出现不稳定现象。此外， 浙江大学硕士学位论文 在处理间断不连续问题、奇异问题以及无界区域问题等方面，谱方法尚存在很大 困难，最大的问题莫过于逼近精度的严重损失。为克服上述因素造成的不良影响 和困难，激励了许多有关无振荡多项式插值、正交多项式重构和某些特殊h i l b e r t 空间中逼近理论的研究。7 0 年代初，出现了不少研究谱方法计算、应用及算法 稳定性方面的工作，如k r e i s s ，o l i g e r 1 8 ，1 9 1 ，o r s z a g 2 0 等人的结果。尤其到了 8 0 年代，q u a r t e r o n i ，c a n u t o ，p a s c i a k ，f u n a r o ，郭本瑜，m a d a y 等人 2 1 3 1 对 谱方法从理论上作了系统研究，对各类投影算子、插值算子等导出了在各种范数 意义下的误差估计，并把这些理论运用于一系列重要的线性和非线性偏微分方 程，取得了令人满意的结果。与此同时，大量的实际计算证明了谱方法确实是一 种十分有效的数值方法。现在这一方法也像有限差分方法和有限元方法一样，已 被广泛地用到了计算物理、流体力学、大气、海洋等领域 1 5 ，1 6 】。 当然，谱方法也有很多不足，比如要求原问题解的正则性较好；要求求解区 域比较规则，一般是乘积型区域；此外，c h e b y s h e v 谱方法权函数在边界处的奇 性会导致实际计算时出现某些数值不稳定现象，等等。近年来，已有不少学者致 力于解决这些弱点。如一些学者把区域分解与谱方法相结合以减弱对区域的限 制，这方面的工作可参见文献 3 2 ，3 3 ，3 4 】，与此同时，还有些作者将有限元方法 与谱方法结合提出了谱元素法，试图减弱谱方法对区域的限制【3 5 ，3 6 】，而m a h e p i n g 3 7 】，w s d o n ，d g o t t l i e b 3 8 】，y m a d a y , a q u a r t e r o n i 2 9 】则进一步将 c h e b y s h e v 谱方法与l e g e n d r e 谱方法相结合，提出按l e g e n d r e 方法建立总的格 式，用c h e b y s h e v 谱逼近来处理其中的非线性项，充分发挥l e g e n d r e 谱方法稳 定性好，而c h e b y s h e v 谱方法计算量小的优点，取得了一定的成功。 谱方法在理论研究上虽然已取得了一些重要进展，不过与有限差分和有限元 法相比还有很大的差距；另外在数值计算方面同样存在着大量的问题有待探讨。 这方面，l n t r e f e t h e n 10 ，j a c w e i d e m a n 17 ，b f o r n b e r g 8 等人都有进行 过大量的工作，对我们的继续进行数值实验有很大的启发。 浙江大学硕士学位论文 1 2 谱方法的基本原理 谱方法按照使用的基函数的名称可以被称为：f o u r i e r 谱方法，c h e b y s h e v 谱 方法，l e g e n d r e 谱方法，j a c o b i 谱方法，等等。但按照确定未知元的方式被 分成三类：g a l e r k i n 方法，t a u 方法和拟谱方法( 或配置法) 。习惯上，人们认为 t a u 方法只是g a l e r k i n 方法的一种修正。这三类都属于赋权余量法( m e t h o do f w e i g h t e dr e s i d u a l s ) 。如果我们定义了内积： ( ，d 。2j w ( x ) u ( x ) v ( x ) d x ， ( 1 2 1 ) 其中q 是某给定区问，w ( x ) 是定义在q 上的权函数。将u 的近似解表示为一个 截断的级数： ( 功= a k c k ( x ) ， ( 1 2 2 ) k = 0 函数么( x ) 被称为试探函数( t r i a lf u n c t i o n ) 或基函数( b a s i sf u n c t i o n ) 。谱方法总是 选择在内积( 1 2 1 ) 下正交的多项式或它们的简单组合来作为试探函数的。而这 些正交多项式都是定义在特定区问x q 上的某种特殊情况下的s t u r m l i o u v i l l e 问题的特征函数， d p ( x ) 字】+ 【g ( x ) + 旯( x ) 】y ：0 ( 1 2 3 ) 姒以x 且组成了h i l b e r t 空问l p ( n ) 上的一组完备的正交基，对于相应的权函数。 q p )g ( 功0 4 x ) y j ( x )乃 f o u r i e r 0 ，2 万 l0l x j 2 l e g e n d r e - 1 ，1 1 一x 2 o l c ( x ) ，( + 1 ) c h e b y s h e v - 1 ，1 k j 0 y 踊 r j ( x )2 l a g u e r r e 0 ，) x e 一。 o e 一。 l j ( x ) ) h e r m i t e( 一，o o ) e - x 2 o e - x 2q ( x )2 + 1 表1 1 浙江大学硕士学位论文 表1 1 是相对于s t u r m l i o u v i l l e 方程( 1 2 3 ) 的一些特殊情况所得出我们所 感兴趣的这些常用来做基函数的多项式。值得注意的是，其中的f o u r i e r 情况是 周期的。 这些正交多项式都有下面这样的递推公式： c h e b y s h e v 多项式： r o ( x ) = l ，五( x ) = x ， t + t ( x ) = 2 x 巧( x ) 一巧一。( x ) l a g u e r r e 多项式： 厶( x ) = 1 ，l i ( x ) = 1 - x ， ( j + 1 ) l j + l ( x ) = ( 2 j + l x ) l j ( x ) 一玛一l ( x ) h e r m i t e 多项式 凰( x ) = 1 ，q ( x ) = 2 x ， q + l ( x ) = 2 x h j ( x ) 一2 j i i j l ( z ) l e g e n d r e 多项式的相关知识见后面章节。 在表达式( 1 2 2 ) 中，需要确定的未知元是展开系数反。通过甜和n 来定义余 量，例如定义余量为： 尺( x ) = 就( x ) 一z ( x ) ， 赋权余量法就是在某种近似意义下让余量为零： ( r n ，) = 凡w 出= o ，i e q ( 1 2 4 ) 函数( 石) 称为检验函数( t e s tf u n c t i o n ) 。权因子w 的选择与方法和试探函数有关， 集合q 的大小取决于具体问题。方程( 1 2 4 ) 是一个包含未知元玩的方程组，这 个方程组可以求解出u k 。g a l e r k i n 谱方法和拟谱方法可通过选择不同的检验函数 和权因子来得到： 1 g a l e r k i n 谱方法：取检验函数与试探函数相同，而对应的权是与正交性相 关的权函数，即 浙江大学硕士学位论文 = 谚，w = w 2 拟谱方法：取检验函数是狄拉克函数万( 单位脉冲函数) ，权因子为单位l ， 即 ”= 8 ( x - x , ) ，= 1 实际中，谱方法总是要充分利用试探函数的正交性的。在g a l e r k i n 谱方法中， 正交性的利用是显然的；在配置法中，正交性的利用体现在配置点薯的选取上。 通常配置点总是选为某种高斯类型的求积公式的节点。由于可以利用求积公式的 精确性，在很多具体问题中这种特殊配置点的配置法等价于或等效于g a l e r k i n 谱方法，从而称为拟谱方法。 1 3 论文结构安排 本文主要内容共包括以下三个部分： 第一章简单介绍了谱方法的背景，历史和发展现状；还有介绍了谱方法的基 本原理，包括归纳了常用来作为谱方法的基函数的正交多项式。 第二章引入了长球波函数的概念，并讨论了它的一些性质，还有基于长球波 函数的谱方法的数值分析，其中在相关的数值计算中重点讨论了长球波函数，数 值积分公式和微分矩阵的计算。 第三章是对时间相关问题的数值求解，讨论了基于长球波函数的谱方法同样 具有谱精度，c f l 条件对时间步长的限制，利用长球波函数构造拟均匀的谱结构， 以及一些基于长球波函数的谱方法求解发展方程的数值实验。 浙江大学硕十学位论文 第二章长球波函数 代数多项式作为一种经典的数值积分和插值的基础工具，被广泛使用在数值 逼近中。但当我们需要处理一些具有时频的问题时，多项式并不是最有效的逼近 工具。在这些具有时频的问题中大部分需要逼近的是带限函数。比如波动现象就 是带限的，在流体力学，信号处理等等很多领域也都大量存在带限问题。对于带 限函数，使用长球波函数会是一种更自然的逼近，也应该会是最佳的。 在这一章，我们首先要讲到长球波函数的一些概念，背景和重要的性质，这 些相关的内容或者可以在s l e p i a n 的著作 1 2 ，4 0 ，x i a o 的论文 1 3 和b o y d 的 论文 4 1 里找到，或者是可以很容易的推导总结出来的。 2 1 概念和背景一 。 定义2 1 ( 带限函数) 我们称一个函数厂( x ) ：【1 ，1 一 一1 ，1 是带限函数，如果 存在一个正实数c 和一个函数( 功所一1 ，l 】满足 ( x ) = c ( 矽) ( x ) = f 。p 拥矽( f ) 衍 显然，只是一个紧算子；我们记凡，丑，五，为c 的特征值( 对所有的， 满足h l ) 。 记蝣( 曲是特征值乃所对应的特征函数，即 t 蝣( x ) = f 。p 枷蟛( 伽f ，x 【一l ，1 】， ( 2 1 1 ) 这一组特征函数 蝣) 二就是长球波函数( p r o l a t es p h e r o i d a l w a v e f u n c t i o n s ，简称p s w f s ) 。 我们定义一个自伴算子q ：研一1 ，l 】专r 卜l ，l 】满足： q c ( 咖= 上。警等当衍， 浙江大学硕士学位论文 易知q 和c 有相同的特征函数，即长球波函数同时也满足下面这个式子： 一杪j ( x ) = 上。兰堡掣j ( f ) 研，x - 1 , 1 i ，( 2 1 2 ) 其中一= 芝c 万1 2 斤 2 2 重要的性质 定义2 2 ( 切比契夫系统) 一个函数序列破，纯称为在区间 a b 一t - i 拘t j t ：t 契 夫系统，如果它们每一个都是连续的，而且行列式 黔引丸( 五) 九( 矗) l 对于任何组毛，都不等于零，其中a 一 c 。( ) ，那么得到的数值近似式是无 法在区间边界x = 1 处逼近原方程”( x ) ，也无法在整个区间上逼近原问题。 这个定理的证明可见文献 3 9 ，4 0 。 一般来说，首先，长球波函数的带宽c 必须在0 到g ( ) 的范罔内。其次， 很多学者用不同的方法来研究最优的带宽c 的取值。b o y d 4 1 对关于e x p ( i k x ) 的方程的研究( 其中k 是波数) ，建议最佳的带宽c 应该取g ( ) 的一半到c ( ) 的三分之二左右。而对于单区域上的时间相关问题，c h e n 4 2 得出的结论是最好 的带宽c 应该取在c = n 到c = 1 1 n 之间，这里的n 是长球波函数的节点数。 关于用基于长球波函数的谱方法的误差分析的严格证明很少见。对于 s o b o l e v 范数意义下的一个光滑函数的长球波函数逼近展开，令x 卜l ，l 】，定义 展开式为甜( x ) = 三幺( x ) ，其部分和( x ) = 兰。五，y ? ( x ) 的收敛阶是这样 浙江大学硕士学位论文 定义的： 8 “一“1 1 2 f 卜u ，l 五。1 2 ， = n + l 这时，收敛阶其实只单独取决于系数因子瓯。 使用标准符号h 5 卜1 ，l 】来表示一个在r 【一1 ，l 】空间上s 阶广义导数都平方可 积的s o b o l e v 空间，c h e r t 证明了下面这个定理： 定理2 6 ( 长球波函数逼近的收敛性) 假设z ，h 5 卜l ，1 】，它的长球波函数展开 式为甜( x ) = 4 枷 0 0 c ( x ) 。 砜= 雁“撇 五。i - d ( n 了0 “i i ，【一。，1 + ( g ) 占0 “0 r 【一。1 ) ( 2 2 1 ) 其中d 和万都是正的常数。 由定理2 6 ，我们可以知道，当q 0 ” 三c 这样，当n 三c 时，一个光滑函数，甜c 曲【一1 ，1 】，它的长球波函数的有限展开 万 兰。砬孵( x ) 是具有谱精度的。 浙江大学硕士学位论文 2 3 数值计算 2 3 1 求长球波函数 因为长球波函数并没有精确的表达式，所以是需要用数值逼近来实现的。在 实际的数值计算中，我们都是用勒让德多项式来逼近求出足够精确的长球波函 数。 我们记为经典的勒让德多项式，其满足下面这个三项关系式： + 。( x ) = 鬲2 n + l 圮( x ) 一者州x ) ， ( 2 3 1 ) 其中e o ( x ) = 1 ，鼻( x ) = x ； ( 2 3 2 ) 最( 1 ) = 1 对所有的k = o ，1 ，2 ，成立。 对于每一个只满足下面这个微分式： ( 1 一工2 ) 丢只 ) 一2 x 丢只( x ) + 后( 尼+ 1 ) 只 ) = 。 ( 2 3 3 ) 显然，由( 2 3 1 ) 和( 2 3 2 ) 定义的这样的多项式在 一1 ，1 区问上是正交的，但 并不是标准正交的。对任意的刀0 有： 上。( ( x ) ) 2 出= 丽1 应用l e g e n d r e g a l e r k i n 方法【3 ，1l 】，长球波函数可以被转化为一个对称三对 角矩阵。 其中只为正则的勒让德多项式。 正则的勒让德多项式和经典的勒让德多项式有关系式： ( 2 3 4 ) 这样l e g e n d r e g a l e r k i n 方法就把微分方程转化一个下面这样类型的矩阵特 征值问题： 么= 乃哆， ( 2 3 5 ) 、， x l一最 肛- j u m 脚 i | 、j x ，l f ， 沙 浙江人学硕士学位论文 其中q 是勒让德系数的歹4 向量，乃2 ( q o ，乞t ，包z ，) ，乃是特征值，对称三对角 矩阵a 的非零元素如下： a j + 2 , j - - - c 2 鬲跪， 4 ，= 加+ 1 ) + c 2 万2 j 而( j + 1 ) - i ， a j , j + 2 - c 2 两糕一一 这个对称三对角矩阵的特征值和特征函数可以通过q r 算法很快的计算出来。 在实际的计算中，当我t f - - 需要求n 节点数的长球序列时，通常需要来解 m xm 维的牾阵( m n ) 。为了汶个j 鬲沂足够精确毪们一船至参取m = 2 n 2 3 2 数值积分公式 在实际的应用中，因为离散后的稠密性( 由于基函数的全局性) 和内积的计 算消耗，g a l e r k i n 谱方法用得并不多，我们常引入某种高斯求积公式，使用配置 法( 拟谱方法) 来求解问题。 与其它数值求解方法一样，谱方法需要一个相关联的离散网格。对于正交多 项式，一般就是选择某种高斯类型的求积公式的节点。然而当基函数不是正交代 数多项式时，我们就需要推广出广义高斯求积公式，这样就可以应用到任意的一 族基 矽，) ，而并不仅仅是长球波函数。 求积公式都可以写成这样一个形式： 矽( _ ) ( 2 3 6 ) j = t 其中点r 和系数r 分别是求积公式的节点和权。这是下面这个积分的逼 近： r 痧( x ) 烈x 协 ( 2 3 7 ) 其中国是一个非负可积函数。 浙江大学硕士学位论文 求积公式就是通过一些特殊的取值，使得公式( 2 3 6 ) 等于积分( 2 3 7 ) ，对于 某一族函数( 一般就是一定阶数的代数多项式) 。经典的高斯求积公式包含n 个 节点，对2 n 1 阶代数多项式是精确成立的。 定义2 3 ( 广义高斯求积公式) 一个关于2 n 个函数葫，欢。：【a t b 】一酞和权 函数c o ：【口，b 卜r + 的求积公式称为高斯型的，如果它包含n 个权和节点，以国 为权函数，对于所有的办( i - l ，2 n ) 精确积分的。这样的高斯求积公式的权 值和节点分别称为高斯权值和高斯节点。 定理2 7 假设一组函数识，欢。：【a ，b 卜瓞是切比契夫系统，同时假设c 7 0 ： 【a t b 卜r + 是非负可积函数。那么对于函数么，or a l ，欢。在区间【口，b l _ k 对应权函数 c o 存在唯一的高斯求积公式，其中这个求积公式的节点正是吮的零点，而权函数 是正的。 显然，对于广义高斯求积公式，一旦它的节点，吒确定了，那么它的 权h ，也很容易的通过下面这个y n 的线性方程确定： 窆吩谚( _ ) = rw ( 工) 谚( 帕， 其中i = l ，2 ，1 1 对应的，g a u s s l o b a t t o 求积公式也可以做下面的推广： 定义2 4 ( 广义的g a u s s - l o b a t t o 求积公式) 一个关于2 n 一2 个基函数唬， 唬柑：【口，明专r 和权函数国：【d ，刎哼r + 的求积公式称为高斯型的，如果它对 于所有2 n 一2 个积分式= r 谚 ) 缈( x ) 出( i - o ，2 n - 3 ) 精确成立的，且包含了 端点x = a 和x = b 作为求积点的。 因为勒让德多项式具有奇偶性，所以一般的l e g e n d r e - g a u s s 求积公式和 l e g e n d r e g a u s s l o b a t t o 求积公式的节点和权值都是关于x = 0 对称的。b o y d 指出 对于长球波函数的网格点和权值也是关于x = o 对称的，这样就可以大量的减少网 格节点和权值的计算量。 浙江大学硕士学位论文 与切比契夫多项式不同，对于勒让德多项式和长球波函数的g a u s s 型求积公 式的节点都不能用显式表达的， l 能用数值方法近似求得。对于求勒让德多项式 的各种g a u s s 型求积公式的节点和权值的细节都可见相关基础书籍，其中在 m a t l a b 下的算法实现可见j a c w e i d e m a n 的论文【1 7 】。 表2 1 是n = 6 时的l e g e n d r e - g a u s s - l o b a t t o 节点和权值： 网格节点x权值w 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 7 0 7 6 5 0 5 5 3 2 3 9 2 9 4 6 50 3 7 8 4 7 4 9 5 6 2 9 7 8 4 7 0 2 8 5 2 3 1 5 1 6 4 8 0 6 4 5 0 5 5 4 8 5 8 3 7 7 0 3 5 4 8 6 0 2 8 5 2 3 1 5 1 6 4 8 0 6 4 50 5 5 4 8 5 8 3 7 7 0 3 5 4 8 6 一o 7 6 5 0 5 5 3 2 3 9 2 9 4 6 5o 3 7 8 4 7 4 9 5 6 2 9 7 8 4 7 - 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0o 0 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 7 表2 1 根据x i a o 1 3 ，b o y d 4 1 ，4 4 和c h e n 4 2 】的讨论，以基于长球波函数的 g a u s s l o b a r o 求积公式为例，可以有两种不同的方法来求其节点和权。 第一种方法就是通过解下面这( 2 n 一2 ) ( 2 n - 2 ) 的非线性方程组： f 。( x 胁2 荟v - - ! ( 咖j ：0 ，l ，- - - , 2 n - 3 其中这里的= 1 ，h 一。= - 1 通过这种方式求得的节点我们就称为p r o l a t e g a u s s - l o b a t t o 点。 第二种方法就是直接求( 1 一x 2 ) 嵋一( x ) 的n 个零点，为区别前一种方法，这 种方式求得的节点我们就称为p r o l a t e - l o b a t t o 点，而它的权可以通过解下面这 个n xn 的线性方程组来求得： f 。( x 边。荟i v - - i 雌( 坼) ，j 2 0 ，l ，- - , n - 1 根据我们之前的讨论，当c = o 时，p r o l a t e g a u s s - l o b a t t o 点和p r o l a t e - l o b a a o 点就退化为了l e g e n d r e g a u s s - l o b a t t o 点。对于这诱种方法中取定的c o ，我们 浙江大学硕士学位论文 都要使用牛顿迭代法来求非线性方程的根，且对c = 0 ，我们就是取l e g e n d r e g a u s s l o b a t t o 节点为初始值。 表2 2 是n = 6 ，e = 5 时的p r o l a t e g a u s s - l o b a t t o 节点和权值。 网格节点x权值w 1 o o 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 7 5 6 0 8 7 7 8 5 217 2 6 0 7 4 5 5 5 4 7 9 6 7 6 7 3 4 40 3 9 3 8 6 7 2 7 0 9 6 5 6 3 8 0 2 7 0 5l5 0 17 15 4 9 2 7 0 5 3 0 5 3 0 2 0 5 6 2 0 5 7 8 0 2 7 0 5 1 5 0 1 7 1 5 4 9 2 70 5 3 0 5 3 0 2 0 5 6 2 0 5 7 8 0 7 4 5 5 5 4 7 9 6 7 6 7 3 4 4 0 3 9 38 6 7 2 7 0 9 6 5 6 38 。1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 7 5 6 0 8 7 7 8 5 2l7 2 6 表2 2 表2 3 是n = 6 ，c = 5 时的p r o l a t e l o b a t t o 节点和权值。 网格节点x权值w 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0o 1 0 6 9 5 1 9 0 8 4 l l l 4 3 0 6 9 3 318 9 0 4 9 4 2 2 3 90 4 1 9 0 6 1 7 1 0 7 3 3 3 9 8 0 2 3 9 7 8 7 3 8 9 8 0 3 3l90 4 7 4 9 8 0 7 5l2 4 4 8 9 0 0 2 3 9 7 8 7 3 8 9 8 0 3 3190 4 7 4 9 8 0 7 512 4 4 8 9 0 0 6 9 3 3l8 9 0 4 9 4 2 2 3 90 4 1 9 0 6 1 7 1 0 7 3 3 3 9 7 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0o 1 0 6 9 5 1 9 0 8 4 l l1 4 3 表2 3 由表2 2 和表2 3 可以看出，这两种方式求出的基于长球波函数的 g a u s s l o b a t t o 节点和权并不完全相同，但在实际的数值计算中，我们发现基于 这两种不同节点的数值效果几乎是相同的。而后面的数值实验中我们一般就是用 的p r o l a t e - l o b a t t o 点。 浙江大学硕士学位论文 2 3 3 微分矩阵 根据2 3 1 所讨论的，当勒让德系数的列向量e - - ( b j 。，q 。，屯：，) 被确定下来 后，那么长球波函数就可以由式( 2 3 4 ) 转化为勒让德多项式的形式。那么长球波 函数的微分也就同样可以转化为勒让德多项式的微分的形式。 下面我们开始来讨论拟谱方法中的微分矩阵。首先是定义： 定义2 5 ( 微分矩阵) 令n 是正整数， 而，x u 一，) 是一组网格节点， f = ( f o ， 一，) 7 是这些节点位置上的函数向量。那么微分矩阵是这样这个 的矩阵： 巩：fjf 而乃= ( d 厂) ，= p ( 一) ，其中p 是全局性的阶数小于n - 1 的插值多项式满足 p ( 一) = 乃，0 - n 一1 我们这里定义的是一阶微分矩阵，而更高阶的微分矩阵是可以类推的。同时， 插值函数p 也不一定要是代数多项式，也可以是长球波函数等等。 下面是一些不同的网格点和插值函数，引出不同的拟谱方法的微分矩阵： 1 切比契夫多项式 x ，= c o s ( 矗) ，i 2 0 ，1 ，m ，( c h e b y s h e v - g a u s s - l 0 b a t t 。点) p ( x ) ：以c h e b y s h e v 多项式为基函数 ( 叭，o _ 掣，( 巩) 删：一掣 oo ( 巩h ，一亲与，j ：l ，n _ 2 ( 2 器，f 川捌，n - 1 其中q = 言7 三= 1 浙江大学硕士学位论文 2 朝让德多坝瓦 薯：多项式( 1 一x 2 ) 昂一l ( x ) 的零点( l e g e n d r e - g a u s s - l o b a u o 点) p ( x ) ：以l e g e n d r e 多项式为基函数 ( 巩) o ，o = t n ( n - i ) ，( 巩) n - i , n - i - - 一t n ( n - 1 ) ( d ) 肋= 0 ，j 2 1 ，n - 2 ( 2 揣吼皆”，n _ 1 3 长球波函数 薯：多项式s ( x ) = ( 1 - x 2 ) 嵋一i ( x ) 的零点( p r o l a t e - l o b a t t o 点) p ( x ) ：以长球波函数 ) ：为基函数 ( = 蔫，j = o ，n _ 1( 巩) 川2 恭砘，卜1 ( 2 揣崩川拙，n _ l 浙江大学硕士学位论文 第三章时间相关问题的数值求解 3 1 数值求解精度 我们对于一阶波动方程来比较下长球波函数谱方法和切比契夫谱方法的精 度。 f u t = 甜，x 【一l ，l 】 u o ，f ) = g ( f ) ( 3 1 1 ) iu ( x ，o ) = 厂( 曲 首先，对于空间方向半离散分别用切比契夫谱方法或长球波函数谱方法，即 lu t ( x j ，f ) = u ，( x j ，f ) u ( x n ，t ) = g ( f ) 【u ( x j ，o ) = f ( x j ) 其中，对于切比契夫格式，节点取c h e b y s h e v g a u s s l o b a t t o 求积公式的节 点，即_ = c o s 等，j 。o ，l ，2 ， ，n ；对于长球波函数格式，节点相应的就取 p r o l a t e l o b a t t o 点，即( 1 一z 2 ) ( x ) 的零点。 利用微分矩阵掣：d 拳u ，其中d 为对应的切比契夫逼近或长球波函数逼 近所对应的一阶微分矩阵，即得空间方向半离散格式： 掣：d ”( x j , t ) 出 。 然后，是对时间方向离散，用的是四级四阶古典显式r u n g e - k u t t a 方法： = 虼+ 兰【毛+ 2 k 2 + 2 9 + k a 毛= f ( x m ，虼) 也= 厂( + 导办，虼+ i 1 办毛) 毛= ( 靠+ 三厅，虼+ 丢饨) 屯= f ( + h ，y 。+ 厅毛) 浙江大学硕士学位论文 而对于边界条件，可以直接强制边界条件，令( 1 ，f ) = g ( f ) ，或者使用罚方法， 令u ，( 1 ，t ) - u ，o ，f ) + 口( ( 1 ，t ) - g ( t ) ) = 0 以直接强制边界条件为例，最后的计算格式为： 畅。一1 ， 屯= d ( 材h ( _ ) + 等毛) 屯= d ( z f f - l ( _ ) + a tk 2 ) 后4 = d ( 一l ( x j ) + a t k , ) ( 一) 。“h ( _ ) + 鲁【毛+ 2 如+ 2 包+ 屯】 下面表3 1 是当g ( t ) = c o s ( 2 7 r ( t + 1 ) ) ，f ( x ) = c o s ( 2 j r x ) 时的情况，其中方程精 确表达式为u (