（计算数学专业论文）非负矩阵perron根的界与perron余的研究.pdf

摘要 摘要 随着现代科学技术的迅猛发展，新的数学理论日趋成熟，新的数学方法层出 不穷，在解决科技生产中的重大实际问题中愈亦显示出它勃勃生机矩阵是数学 上的一个重要概念，由于它描述问题表达简洁，实质刻画深刻等优点，因此是近年 来数学建模中解决实际问题常用的一种方法，引起了许多数学学者、工程技术人员 和科技人员的青睐而众多人员的参与又为数值代数和矩阵理论的发展提供了绝 对可靠的物质保证，为数值代数和矩阵理论的应用开辟了广阔的前景矩阵计算 的理论和方法与方程组的求解是矩阵理论的一个重要方向，已经成为经济学、生物 学、现代物理学等领域处理数学问题的不可缺少的强大工具，成为计算数学的一个 重要分支。 由于特征值问题在许多学科中具有广泛的应用，因此矩阵特征值的界的估计 及求解的理论研究等是当今计算数学和科学与工程计算研究领域的重大课题，国 际上研究工作十分活跃许多科学和工程中的一些问题，如振动问题和稳定性问 题，常可归结为求一个方阵的特征值和特征向量的问题数学中诸如方阵的对角 化及解微分方程组等问题，也都要用到特征值的理论因此，基于p e r r o n 根的研究 而提出的对p e 盯o n 余的研究目前也逐渐受到人们的关注 本文首先介绍了非负矩阵的概念及研究意义，说明非负矩阵的p e r r o n 根与 p e o n 余以及对角占优矩阵、m 矩阵、h 矩阵、广义双对优矩阵等概念及非负矩 阵p e r r o n 根的界与p e r r o n 余的研究现状其次，在现有的非负矩阵p e r r o n 根的研 究基础上，改进了非负矩阵p e r r o n 根的界的估计；并进一步研究了非负矩阵p e h d n 余的有关性质，如对角占优矩阵及h 矩阵的p e “d n 余的对角占优性，以及广义双对 优矩阵的p e r r o n 余的有关性质等 本文的主要特色与创新在于：首先，归纳并改进了非负矩阵p e “o n 根界的估 计已有的相关结果，使得p e r r o n 根的界值范围进一步缩小，其界的精确度更高其 次，首次对对角占优矩阵、h 矩阵、广义双对优矩阵的p e r r o n 余进行了研究，并得 到了相关性质 关键词： 非负矩阵，不可约，p e r r o n 根，p e n d n 余，对角占优矩阵，h 矩阵，广义双 对优矩阵 电子科技大学硕士学位论文 a b s t r a c t w 汕也er 印i dd e v e l o p m e n to fs c i e n c ea n dt e c t h l o l o g y ，也e o r yi l lm a m e m a t i c sh a s b e c o m er i p e m o r ea n dm o r en e wm e 廿l o d sh a v ec o m eo u ta 1 1 dm e ya r em o r ea i l dm o r e i l p o r t a mi ns o l v i r 培p r a c d c a lp r o b l e m so fs c i e r l c ea i l dd e v e l o p m e n t m “c e sa r ev e r y i i n p o r t a mc o n c 印t s b e c 邮eo f 也e i rc o n c i s e n e s sa n dd e p m ，m e yh a v en o to i l l yb e e n u s e dt os o l v ep r a c t i c a lp r o b l e m s ，b u ta l s ob e e nr e s e a r c h e db ym a _ t h e m a t i c i a n s ，e n g 协e e r s o rt e c l l i l i c i a n s t h u sm 矧c e st 1 1 e o r yh a sb e e n 掣a n yd e v e l o p e da 工1 dd e 印e n e d i t s m e o r i e smc a l c u l a t i o n ，m e t h o d sa 1 1 di t ss o l u t i o i l si 1 1e q u a t i o n sa r ei m p o n 趾ta n d 也e y h a v eb e e ni n d i s p e n s a b l ei ne c o n o m i c s ，b i o l o g y ，趾dm o d e mp h y s i c a ls c i e n c e e i g e n v a l u eh a sb e e n 掣e a _ 七1 y 印p l i e di i lv a r i o u sa s p e c t s t h u s ，r e s e a r c h e so np e r r o n c o m p l e m e n tw l i c ha r er e s u l t e df b mp e r r o nr o o th a v eb e e ng r e a t l ya t t c m p t e d 趾1 dt h e y h a v eb e c o m cm o r ea 1 1 di r l o r ei m p o r t 趾t f i r s t ，w ei n t r o d u c em ec o n c e p t so fn o r l n e g a 廿v em a t r i c e s ，a n do l l rp u r p o s ei nt 1 1 i s r c s e a r c h t h e nw ei m m d u c e n o i l l l e g a t i v em a 埘c e s p e r r o nr o o t ，p e r r o nc o m p l e m e n t ， d i a g o n a l l y d o i l l i n a m m 撕x ， m m a 晡x ，h m a t r i x ， a 1 1 d g e n e r a l i z e dd o u b l y d i a g o n a l l yd o m i n a n tm a n i ) 【r e s p e c t i v e l y t h e nw ea i l a l y z em ec u r r e n ts t a t eo fp e r r o n r o o ta n dp e r r o nc o m p l e m e n tmt h en o n n e g a t i v em 撕c e s n e ) 【t ，b a s e do nt l l ep r e v i o u s r e s e a r c h e s ，w et r yt oi 王工1 p r o v et h ee s t i m a t i o nm e t h o d so fp e r r o nr o o tb o r d e ro fi n n o n n e g a t i v em a t r i c e s w ea l s oa 1 1 a l y z et l l er e l a t i v ef e a t u r e so fp e r r o nc o m p l e m e n t ， h - m 曲j x ，d i a g o n a l l yd o m i n a n tma _ t r i x ，a n dg e n e r a l i z c dd o u b l ed i a g o m l l yd o i i l i r l a l l t m a 仕i x t h ec h a r a c t e r i s t i c sa n dt h ei m p o n a n c eo f 1 i sr e s e a r c h ：b a s e do nt l l e p r e v i o u s r e s e a r c h e s ，w es u m m a r i z ea 1 1 di i i l p r o v et h ee w d u a t i o nm e m o d si n 廿l eb o r d e ro ft 1 1 e p e r m nr o o ti nn o 皿e g a t i v em a t r i c e s t h u st h es c o p ei sr e m l c e da 工1 di tb e c a m em o r e p r c c i s e w eh a v ea n “y z e dd i a g o n a l l y d o m i n a mm a t r i x ，h m 砷叵x ，趾dg e n e r “i z e d d o u b l yd i a g o n a l l yd o m i n a n tm a t r i xa n dr e v e a l e dt h e i rr e l a t i v ef b a t l l r e s k e y w o r d s ：n o n n e g a t i v em a 伍c e s ，i r r e d u c i b l e ， p e r r o n r o o t ， p e r r o n c o m p l e m e m ， d i a g o n m l yd o m i n a n tm a 缸i x ，h - m 撕x ，g e n e r a l i z e dd o u b l yd i a g o n a l l v d o m i n a n tn k 晡x t t 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工 作及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地 方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含 为获得电子科技大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料。 与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明 确的说明并表示谢意。 签名： 盏凶日期：2 。，年，z 月2 旧 关于论文使用授权的说明 本学位论文作者完全了解电子科技大学有关保留、使用学位论文 的规定，有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁 盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权电子科技大学可以将学位论文 的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或 扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后应遵守此规定) 签名：莹益导师签名： 日期：z o o 厂年lz _ 月2 垆日 第一章引言 1 1 选题背景 第一章引言 随着计算机技术的发展和科学技术的进步，科学与工程计算( 简称科学计算) 的研究受到科学技术人员的极大重视，其应用范围已渗透到许多学科领域电子 计算机的日益普及，使得数值代数和矩阵理论与应用越来越受到数学学者、工程技 术人员和科技人员的关注数值代数和矩阵理论不仅是一门重要的数学理论，而 且在数值分析、最优化方法、数学模型等数学分支上有极其重要的应用，还在计算 机科学、无线电技术和卫星通信等尖端科学领域中有熏要的用途由于利用矩阵理 论与方法来处理错综复杂的工程问题时，具有表达简洁、对工程问题的实质刻画深 刻的特点，因此利用数值代数和矩阵理论方法来处理工程技术的各种问题越来越 受到工程界人士的极大重视数值代数和矩阵理论与应用已成为众多学科领域的 数学工具矩阵计算的理论和方法与方程组的求解是矩阵理论的一个重要方向， 已经成为经济学、生物学、现代物理学等领域处理数学问题的不可缺少的强大工 具，成为计算数学的一个重要分支众所周知，许多实际问题最后常常归结为一个 或一些大型系数矩阵为特殊矩阵的线性方程组的求解问题 经过一个多世纪的研究，线性代数在数学的各领域中具有着十分重要的位置 其中矩阵理论已被广泛地运用到应用数学、计算机科学、经济学、工程学、系统 科学等诸多方面，成为现代科技领域处理大量有限维形式与数量关系的强有力的 工具对矩阵理论的现代研究已不局限于线性代数方面的技巧，它与系统工程、优 化方法以及稳定理论、群论、图论、算子论等有着密切的相互关系作为数学中的 一个重要分支，它不仅是学习经典数学的基础，更成为了一门最有实用价值的数 学理论，包含着极为丰富的内容，许多问题( 如v a i ld e r w a r d e n 猜测等) 至今仍悬 而未决 代数特征值是数值代数一个主要研究领域，对它的研究具有重要的理论意义 和实用价值许多科学和工程问题如结构力学中的固有频率分析问题以及控制系 统中的稳定性问题，最终都转化为特征值问题 非负矩阵即是元素非负的实矩阵非负矩阵理论是研究元素非负的实矩阵的 电子科技大学硕士学位论文 理论它起源于由p e r r o n 发现，后由f r o b e n i u s 发展的关于非负矩阵谱半径的一个 优美结果，即以p e n 锄f m b e n j u s 理论为基础，通过本世纪中期以来著名矩阵论专 家a b r u a e r ，0 ，t a u s s k y ，r s v a r g a ，a o s t r o w s 姑等的卓有建树的工作，现在已逐 步形成比较完美的理论非负矩阵的理论在各类矩阵的谱分析中有着广泛的应用， 它与数值分析、经济数学、概率论、组合数学和控制论等学科有着密切联系，尤其 是对于m a r k o v 链理论、偏微分方程数值解的一般理论之应用，一直是人们十分关 注的热门课题 非负矩阵谱半径估计即p e r r o n 根的估计，是非负矩阵中最重要的课题之一在 工程上，矩阵的特征值具有广泛的应用，如大型桥梁或建筑物的振动问题；机械和 机件的振动问题；飞机机翼的颤振问题；无线电电子学及光学系统的电磁震、信息 系统、经济学中的一些问题与矩阵的特征值问题密切相关在科学上，计算流体力 学、统计计算、量子力学、化学工程和网络排队的马尔可夫链模拟等实际问题，最 后都归结为矩阵的特征值问题 由于特征值问题在许多学科中具有广泛的应用，因此矩阵特征值的界的估计 及求解的理论研究等是当今计算数学和科学与工程计算研究领域的重大课题，国 际上研究工作十分活跃而基于p e r r o n 根的研究提出的对p e r r o n 余的研究，现在也 逐渐受到人们的关注 1 2 非负矩阵概述 定义1 2 1 【1 1 设4 = 【口f 】r 如果盯o ( 或 o ) 对所有的f ，成立，则 称4 是非负或正矩阵，记作爿o ( 或4 o ) 定义1 2 2 【2 1 每行和每列都只有一个元素是l ，其余的元素是零的方阵称为 排列阵( 或称置换阵) 定义1 2 3 【1 1 设彳e r 若疗= 1 且彳= o 或若珂2 且存在n 阶排列阵尸，使 得 脚7 = 一射 其中4 ，。和4 ：是两个低阶方阵，则称彳是可分的( 或可约的) ；否则称作不可分的 ( 或不可约的) 定理1 2 1 例( p c r r o n - f r o n b e n i u s ) 设4 = ( 口。) o 为不可约矩阵，则 2 第一章引言 ( 1 ) 爿有一个正特征值，= p 0 ) ； ( 2 ) 相应于p 0 ) 存在一个特征向量x o ； ( 3 ) p 0 ) 随爿的任一元素之增加而增加； ( 4 ) p 0 ) 是4 的单重特征值 定理1 2 。2 跚设彳= 0 “) 。o ，则 ( 1 ) p 0 ) 是一的一个特征值； ( 2 ) 相应于p 0 ) 的特征向量x o ； ( 3 ) 当4 的任一元素增加时，p 0 ) 不减少 定理1 2 3 嗍设彳为玎阶正矩阵，则 ( 1 ) 矩阵。的谱半径，( 4 ) o ； ( 2 ) r ( 爿) 为彳的单重特征值； ( 3 ) 对应于r ( 爿) 的特征向量为正向量； ( 4 ) 对于4 的任一异于，似) 的特征值旯均满足h r ( 4 ) 1 3 非负矩阵的p e rr o n 根与p e r r o n 余 1 3 1 非负矩阵的p e rr o n 根 非负矩阵p e r r o n 根即是非负矩阵的非负特征值，且其值不小于该矩阵特征值 的最大模它与我们常说的最大特征值与谱半径有联系也有区别这里，最大特征 值是指矩阵的最大的特征值谱半径是指矩阵特征值的最大模对非负矩阵而言， p e r r o n 根即是该非负矩阵的最大特征值，也是该非负矩阵的谱半径我们常用记号 p ( 彳) 表示矩阵4 的谱半径，非负矩阵4 的p e i t o n 根 1 3 2 非负矩阵的p e r r o n 余 非负矩阵不可约矩阵4 ，p ( 4 ) 表示矩阵4 的p e n d n 根，p 彳0 ) ) 表示非负矩 阵的p e h d n 余在定义非负矩阵p e n 余前我们先介绍一些记号 ( h ) - - 1 ，2 ，n ) 3 电子科技大学硕士学位论文 口，表示集合( 以) # 1 ，2 ，打 的非空子集； 一0 ，卢) 表示矩阵“的口行与列所决定的子阵特别地，“，a ) 表示矩阵彳 的口行与a 列所决定的子阵，简记为4 向) m e ”r 【5 】【6 1 首先提出了p e 玎o n 余的概念，定义4 白) 的p e r r o n 余为 p 4 0 ”= 爿) + 爿，口) 0 l ，一爿0 ) 】。爿0 ，) 其中，口c ( h ) ，卢= ( 胛) 口同时得出，非负不可约矩阵的p e h o n 余仍旧是非负不可 约矩阵，且其p e r m n 根保持不变，即非负不可约矩阵的p e o n 根与它的p e 玎o n 余 的p e r r o n 根是相同的等性质 将p e r r o n 余的的概念进一步推广【”，得到广义p e 玎o n 余即 只4 0 ) ) = ) + 4 ，口m 一爿如) r 1 4 q ，卢) 其中f ，0 ) p 0 如) ) 1 4 本文研究内容 本文的研究内容是，分析现有非负矩阵p e 玎o n 根的研究现状，归纳并改进了非 负矩阵p e n d n 根的界的估计的已有相关结果，进一步研究了非负矩阵p e d n 余的 有关性质，如对角占优矩阵及日矩阵的p e r r o n 余的对角占优性，以及广义双对优矩 阵的p e n d n 余的有关性质等 1 5 论文结构 本文的主要结构安排如下： 第一章：首先说明本课题的选题背景及研究意义，其次介绍非负矩阵及非负 矩阵的p e r r o n 根与p e r r o n 余等概念最后阐述本人所做的工作概述及论文结构安 排 第二章：介绍非负矩阵p e h d n 根的界的研究现状以及非负矩阵p e r r o n 余的研 究现状 第三章：对非负矩阵p e n 加根界的估计的改进结果 第四章：对角占优矩阵与h 矩阵的p e r r o n 余的性质 第五章：广义双对优矩阵的p e n 余的性质 4 第二章非负矩阵p e r r o n 根的界与p e h o n 余的研究现状 第二章非负矩阵p e r r o n 根的界与p e r r o n 余的研究现状 非负矩阵谱半径估计即p e r r _ 0 n 根的估计，是非负矩阵中最重要的课题之一； 而非负矩阵p e r r o n 余的研究是关于非负矩阵的一个新的课题对于其研究的最新 发展，下面扼要地予以介绍 2 1 非负矩阵p e rr o n 根的界的研究现状 2 1 1 著名的f r o b e n iu s 嘲不等式 著名的f r o b e n i u s 嘲不等式： m i n 0 ) p 0 ) m a x 0 ) ， l， 其中，f 0 ) 表示非负矩阵4 第f 行行和，p 0 ) 表示非负矩阵4 的谱半径即p e n d n 根， 而对于f r o b e n i u s 不等式，大量专家学者对其进行了不同方法、不同程度上的改进 2 1 2 某些特殊非负矩阵的改进成果 对正矩阵，l e d e 衄a n n h 提出了一种使最大行和变小、最小行和变大的改进思路 即是寻找两个正数e = 叮( _ 一1 ) ，p 2 = 玎( 1 一孑) ，其中，7 = 鼍 n ，盯= 搿号， q o “j 。o i f 使得 m i n 0 ) + 墨p 0 ) m p 0 ) 一只， 从而改进f r o b e n i u s 【8 1 不等式0 s n o w s h 在此基础上对l e d e r m a n n 唧的结果作了进 一步的改进，找到两个正数只2 叩【吉一1j ，只，_ 7 7 ( 1 一口) ，其中叩2 鼍i n 嘞， 使得 m i n 0 ) + 只户0 ) m a x _ 0 ) 一爿， 且置 置，爿 b 由此可知o m a w s k i 的结果的确优于l e d e m m n 9 1 的结果 对正矩阵b r a u e r 基于相同的思路，提出了一种新的方法，即选择适当的相 似变换由于相似变换后特征值并不改变，保证了相似变换后的正矩阵p e r f o n 根的 电子科技大学硕士学位论文 估计也就是原正矩阵p e r r o n 根的估计，从而得到b r a u e r 【l l l 的著名结果，即 厂1 、 p + ，7 0 一1 ) p 0 ) r 一叩 1 一三i ， g 其中户= m i n l o ) ，尺= m p ( 一) ，叩= 鼍口，g = 三二! 翌二毛2 掣， = 二巴! 翌坐三划b r a u e r 1 改进并证明了，在涉及卵、r 、p 的一切可 2 疗 能有的界值中，其结果在下述意义下是最好的：对任意指定的叩、r 、户，满足 r 户可、叩 0 ，都有这样的正的珂阶矩阵 以上l c d e r i i l a i l i l 【9 1 、o s 仃o w “1 川和b r a u e r 【1 1 1 的结果在很大程度上改进了 f r o b e i l i u s 【8 的结果，但这些结果只适用于正矩阵，对于不是正矩阵的非负矩阵，它 们显得无能为力了对此，趾b e n ob o r o b i a 和j u l i om o r o l l 2 l 提出了几类相似于正矩 阵的非负矩阵，比如：有一正行或正列的非负矩阵相似于正矩阵：有一行或一列除 允许有一个零元素外其余元素均为正的非负矩阵相似于正矩阵；以及有正迹的三 阶不可约随机矩阵在一定条件下也相似于正矩阵等，那么这几类非负矩阵均可转 化为正矩阵p e r r o n 根的估计方法来进行估计 2 1 3 有非零行和或列和的非负矩阵 对有非零行和或列和的非负矩阵，hm i n c 【1 3 】得到一个优美的结果 瓴l ( 爿) )g 。0 ) ) 叩打s p ( 一) s 峄钉 基于同样的方法，l i n结果作了归纳与改进 土 m ， 蜘础正戡且：鳃叩 矧卜蚀m ( 矧击， 上证明了它与h m i n c 的结果相比其优越性对非负不可约矩阵，殷贫 m i n 矧珈) 峄矧， 其慨砂一，且 骢m i n 捌嘶她甲槲 6 并从理论 j 宏【1 5 得到 第二章非负矩阵p e r r o n 根的界与p e r r o n 余的研冤现状 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ - - _ _ _ _ _ _ - _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ - _ _ _ _ _ _ _ _ _ - _ _ 2 1 4w i e ia n d t 及相关成果 w i e l a l l d t 【1 6 】利用等式血= 触( x o ) ，得到他的研究成果： m i n 垃p 0 ) 娜垃， x f 1 其中x 为任意h 维正向量，当向量x 为矩阵爿的p e m n 根p 0 ) 所对应的特征向量时， 不等式取等号在此基础上，z 1 1 u a n gx i a o d o n g 和l ij i o n g s h e n g 【1 7 1 改进了w i e l a n d t 【1 6 l 的结果： 厂一厂一 f 呀呜j 嘞m ， 叩1 气r 户( 彳) 峄1 ， 其中曩：主，m ，：主彤，m ：等，x = ( r 。，r ：，心) 类似地，s 。n g y 。n g z h 。n g 1 8 1 利用等式爿z = p o h g o ) 及不等式血f ! ! 等! i 。杰嘞v ，【1 9 】， l 。产l 、“，j ，j = l 得到p e r r o n 根的下界 兀q ” p 0 ) 业 _ 一 x ? 2 1 5 用矩阵的迹表示特征值的界 在众多非负矩阵p e r r o n 根的估计中，晋遇认为如果上f 界能表不为矩阵兀素 且易于计算的函数，那么这种估计的价值更高上述f r o b e l l i u s 【8 】不等式就是极为典 型的例子，实际上很多研究成果都是如此 h e n r yw o l k o 耐c z 和g e o r g ep h s t y 锄【2 0 1 在前人研究的基础上用矩阵的迹来 表示特征值的界：对任意的h 阶复矩阵，有 肌一s o 一1 磅九。0 ) m 一，埘+ 五。0 ) ，柠+ j 0 1 弦， 如一1 ) 主 如一1 _ 其中旯0 ) 为矩阵一的实特征值，棚：剑，s ：划一朋z b i l lg h 0 m e 【2 1 1 进一 n咒 步得到了对任意实矩阵谱半径的下界，即当加b ：) 鱼她时， 7 电子科技大学硕士学位论文 刖刮错； 当一b z ) 垒生盟时， 脚掣+ j 孵 j o n n ak a a r l om e r i k o s k i 和a r iv i r t a n e n 吲在b i g h o m e 口1 1 等的研究成果的基础上， 得到了用矩阵的迹来表示非负矩阵p e h d n 根的下界， 刺掣+ j 锴， 而且指出不存在只用矩阵迹来表示的非负矩阵p e r r o n 根的上界 除此之外，波兰的t o m a s xs z u l c 【2 司用矩阵的迹来表示的非负矩阵p e n 根的 下界：当n 为奇数时， 刖冲+ 峄 压，飚 ； 当胛为偶数时， p ( 彳) 吉护0 一叩甜， 其中，为单位矩阵次年，t o m a s zs z u l c 【2 q 利用相似变换又改进了自己的结果：当 聍为奇数时， 础) 一甲川砉 。囊 。+ 胁 嘞，一慨) 2 ； 其中 p ( 4 ) 万+ 石， 讪捌，时呻h 甜蛩 ， 万= n 归 硪磐现“， ，口。+ 胁。j ，云2 = 吉加。一甜) 2 2 1 6 用收敛的序列表示p e r r o n 根的界 t e t s u r oy 锄锄o t o 【2 6 谰收敛的序列来表示p e r r o n 根的界 ，o ) p 0 ：洋 oz 庐p o ) ， 8 第二章非负矩阵p e r f o n 根的界与p e 0 n 余的研究现状 其中，0 ) = 删n 勺 当然，这样的序列收敛速度的快慢是计算的关键，为此，为寻找一个收敛更快 的序列，又有了不少改进结果l y u k o l o t i l i n a 刚得到结果： 堂f 尘垃k f 尘蛆卜p o ) ， “ ” - 、 “ j 其中e 7 = ( 1 ，1 ，1 ) ，s 0 ) = b ，) ，= 止再d a n i e lb s z y l d m l 改进了上述结果： 其中s 0 ) = b 。) ， ，o o ) ) ，g 0 ：萨 = 吩实际上， i ，七、 即序歹o rjs i 彳z ill 【 ，z 炉户o ) ， f 掣卜庐珈， 收敛的速度更快，从而达到了改进的目的注意到 以上三个序列均为p e r m n 根的下界序列，即单调增加有上界p 0 ) 的序列 d l l r s u nt a s c i 等2 9 1 得到了p e n d n 根的上界序列，即单调减少有下界p 0 ) 的序 列： 尸o ) ，0 p 沪“，似- ：萨茎，似o ) ) ， 其中m ( 彳) ：生竺 2 1 7 迭代法求p e r r o n 根研究成果 利用p e r r o n 根与p e 玎o n 余的关系得到一种估计方法【7 】- 其基本思想是：由已知 6 p 0 ) c ，从6 p 0 ) 出发，可得p 0 ) p 0 ( 口) ) 由此，将p e r r o n 根估 计问题转化为求函数g ( f ) 在区间( 6 ，c ) 上有唯一根的问题因此，对运用于求根问 题的方法在此均可使用，如二分法、牛顿迭代法等，故可用m a t l a b 编写程序实 现但此方法在实际运用中还存在局限性，比如对于p 0 ) 的范围的选取，即 6 0 ) ，则对任意正整数，t 有 1 2 弟= 草非贝矩| 肆上，e h 伽干艮删开 _ _ - _ _ _ - _ _ _ _ _ _ _ _ - _ _ _ _ _ _ _ _ _ - _ _ - _ - _ _ _ _ _ _ - _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ - _ _ _ _ _ _ _ - _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 呼n 糟呻( 学 i 峄( 学卜峄鬻一忉 证明( 1 ) 中间的不等式显然成立 ( 2 ) 由归纳法证右边的不等式，即证 l 峄( 糟卜甲鬻 当聊= 1 时，不等式取等号 当研= 2 时， 等= 志如渺，篙卜( 篙 糌 所以， 峄籍甲 鬻 ， ( )，l ( b 。) j 现假设肌= 时，不等式成立，即 峄篙叩( 鬻r ， ( )l ( b 。) 当m = 斛1 时， 警= 击水篙 0 ) ，则对任意正整数埘，屯 有 叩 篙卜s 甲 篙r p s ， 1 3 皇三型苎查堂堡圭堂些笙兰 叩 篙) i 娜甲 鬻厂 p ， 证明设( 而，x 2 ，x 。) o 是非负矩阵以7 对应于p 的特征向量，且一= 1 ， f = i 对正整数m ，七，( x 。，x ：，靠) 也是非负矩阵乜”b ) r ，0 2 ) r 对应于p ”+ 口) ， 0 + 口) 2 的特征向量由引理1 ， p ”=八户圳t 一擎州憎) ( p + 口) 主玳( 占* ) m i n 姆m i n 王掣矿m a ) 【至丛攀竺m a ) ( 蝉 ， l ( b 2 ) * o x ，j ( 占2 ) 一t o 工。，f ( 曰。) ， t ( 曰) 故( 3 - 8 ) 式得证( 3 - 9 ) 式证明类似 定理2 设爿是h 阶非负矩譬，日= ( 4 + ，) ”1 ，则对1 手意正整数埘，屯有 叩( 酱卜叩( 篙f p 叩 鬻卜叩( 篙 _ p 证明由定理1 ，取窃= l 即可 注2 由引理4 及定理2 知 叩鬻s 叩 鬻 i 娜m ( 糟卜峄鬻 故定理2 中的估计式与的界值相比，精确度更高 注3 实际上，定理2 中取m = 1 即为殷剑宏给出的界值 推论3 设a 是甩阶非负等阵，b = 以+ 7 ) ”，则y 任意正整数m ，有 叩 等卜蜘( 等卜 p 均 叩c 等卜细( 等r p 四 1 4 第三章非负矩阵p e r r o n 根的界 定理4 设a 是”阶非负矩阵，曾= 似+ 甜) ”1 ， o ) ，m ，七为正整数，对于固 挑，埔舰呼( 等一卿( 等 i 钝且 ：卿( 专等卜嗽峄 鼍等 - p 证明记占= ( 6 f ) ，任意正整数七，由引理2 及引理3 ，有 巢：攀墨一丝尝m 觚攀 ( “ 兰州b 。) 删6 ，( b ) l ( 口) 对任意f ，有 甲( 糟卜甲( 鬻厂 故鬻h 朔黼杆瓢刿砸m 学h 朝 递增有上界p 从而，定理4 得证 、 ，一 、，oj 注4 对任意的胛阶非负矩阵 ，若“o = ，则定理l 中取用= 1 ，七= 0 即为著 名的g f r o b e n i u s 嘲不等式即( 3 1 ) 式又从定理4 的证明过程知 脚 篙卜甲( 掰 _ g 叫等卜峄俐， t i ，f ( 占) j 一 故定理1 的估计式与g f r o b e n i l l s 【8 1 相比，精确度更高 注5 如果4 是有非零行和的非负矩阵，则定理1 中可取口= o 即为14 】的界值 电子科技大学硕士学位论文 3 3 数值例子 例设 4 = 旺 | ， 则由定理1 ，取口= l ，= 3 ，七= 2 可得表3 1 中的计算结果 表3 1 按行 按列 f r o b e n i u s4 口8 5 口7 m i n c5 口6 2 5 5 6 口5 8 5 7 2 l e d e n n a n4 ，1 5 4 7 口7 8 6 6 15 0 8 0 口6 ，9 2 5 9 o s ”o w s k 4 5 2 7 5 d 7 6 5 4 7 5 2 2 4 7 口6 8 1 6 5 b r a u e r4 8 2 8 4 口7 4 6 4 2 5 3 7 2 2 口6 7 叭6 1 5 5 ，7 2 9 7 口5 7 5 6 45 7 3 4 9 口5 7 4 8 4 本文定理15 7 3 6 8 口5 7 4 7 5 95 7 3 8 9 7 口5 7 4 4 3 8 实际上， p = 5 7 4 1 6 5 7 3 8 从表3 1 可以看出定理l 的结果是很精确的 3 4 小结 结果 本章主要给出非负矩阵p e r r o n 根的一种估计方法，归纳并改进了已有的相关 1 6 第四章对角占优矩阵及h 矩阵的p e r r o n 余 4 1 引言 第四章对角占优矩阵及h 矩阵的p e r r o n 余 本章主要研究对角占优矩阵及h 矩阵的p e r r d n 余的有关继承性对p e r r o n 余 的有关记号及成果在第、二章己做详细地介绍下面主要介绍一下本章所设及到 的其它有关概念 定义4 1 1 嘲设方阵彳= k ) 的阶2 ，若对集合= 1 ，2 ，n ) 的任意两个 非空不相交的子集s 和正卅仁巩都有j 和，满足f s ，丁，且0 ，则称4 为不可约矩阵，否则称a 为可约矩阵 定义4 1 2 【3 1 设矩阵一= k 。) c “”，若满足 i d 。l i 口f l ，f ， ( 4 ，1 ) 则称彳为对角占优矩阵，记作一见若一仇且( 1 ) 中每个不等号都是严格的， 则称一为严格对角占优矩阵，记作e 观若爿为不可约矩阵，且d 。，而( 1 ) 中至少有一个严格不等号成立，则称4 为不可约对角占优矩阵 在这儿还需指出，严格对角占优矩阵的主子阵仍为严格对角占优矩阵，且非 奇异。本章还将用到h ，在这里我们定义h = 4 吩| j 定义4 1 3 2 1 设矩阵彳= k ) 月，若爿可表示为4 = 订一口，其中为h 阶 单位阵，占o ，则j 尸( 功时，称一为非奇异m 阵，简称m 矩阵若一满足 口f o ，l f ，盯， 则称爿为z 矩阵，记为z 。若爿z 。，4 可逆且爿- 1 o ，则称一为非奇异m 阵 定义4 。1 。4 嘲 设矩阵4 e c “”，d = 蜊，4 = d c ，称i d 卜l c l 为么的比较 矩阵，记为m ( 4 ) = 【m 。j 即 驴他 若( 爿) 为m 矩阵，则称爿为h 矩阵h 阵的另一等价定义：存在正对角阵d ，使得 d - 1 彳d 为严格对角占优，则我们称一为广义对角占优矩阵或h 矩阵事实上，严格 对角占优矩阵或不可约对角占优矩阵都是h 矩阵 电子科技大学硕士学位论文 4 。2 主要结果 4 2 1 对角占优矩阵的p e r r o n 余 首先我们给出一个引理，这个引理在文【5 1 已得到证明 引理4 2 1 【5 1 设爿为非负不可约矩阵，p 0 ) 为谱半径任意口c ( h ) ， = ( n ) 口贝0 其p e m n 余 p ( 爿一0 ) ) = ) + 爿，。) l d 0 弘一0 ) 】1 4 如，卢) 是非负不可约矩阵，且其谱半径也为p 0 ) 下面我们给出对角占优矩阵的p e r r o n 余的一个主要结果 定理4 2 2 设一为n 阶对危占优的非负不可约矩阵，其谱半径为p 0 ) ，对任 意口c ( 珂) ，= ( 门) 口测当尸0 ) t 警蚓时，其p e r r 。n 余 p 一q ) ) = 彳) + 爿p ，口) l d 0 ) ，一一 ) 】。仁，) 是对角占优的非负不可约矩阵 证明 设口= f ，f ：，f 。) ，声= d ，：，) ，其中i + ，= 聆又记h = 4 j ) 由于一为对角占优矩阵，则对任意的f e ( ) ， 刚蚓 j ：i 。r 扛一皂k 。i + 窆k ，l ， ( 4 - 2 ) j t fj j j l 其中j t ，js p ，i 。e 8 又因为4 是非负不可约矩阵，则有p ( 爿) p ( 爿 ) ) ，因此矩阵p o p a 0 ) 是 m 矩阵，故有 ( p 0 弦一4 q ) ) 。oa n d 口。o ( 4 3 ) 由p ( 爿) 嶝乏m 有 p 0 ) 警( 善蚓+ 帅 2 警善+ 学善 ( 4 - 4 ) “智。“w 智”。 、7 如果1 搿口似= o ，则有p ( 一 ) ) = 4 ( 卢) 那么，矩阵尸( 刈爿 ) ) 是对角占 1 8 第四章对角占优矩阵及h 矩阵的p e r r o n 余 优的 如果鼍霉盯。 o ，则由( 4 。4 ) 式，有 o 0 ，使得“倒是 生口h x ， 立口2 。 x 口删 则有p p ) = p 0 ) ，且丑为严格对角占优矩阵 又由p 啡警弘协口及排害枷 2 1 0 一t 。r厶篇 一 口 电子科技大学硕士学位论文 p p ) = p 0 ) 警ml e 口o 。 由推论4 2 4 知，p ( 驯日( 口) ) 是严格对角占优矩阵 设d = 硪昭( l ，2 ，和) o ，则 + p 0 ) 一口 主露 p 0 ) 一d 。0 丛 d 0 l i j 【 a 口1 讪 b ( 口) 】。b q ，卢) n m z j 。地 j l ， ，h ) 卅 ， i 啦g b p 0 ) 1 。j ，屯) ) 吩 h h 量 口 h h 丑h 一 ，f钕 聃 聃 口 口 ；一i，；j 和 一 恤忆卜概p卜卜k爿“叫h科n计 。一，工， 一h 。一h仁匕，上，上 叫叫d q 第四章对角占优矩阵及h 矩阵的p e n 伽余 = d 。1 彳) d + d 。1 一，口炒0 ) ，一彳如) 】_ l 一0 ，) d = d 。户( 爿如) ) d 即有矩阵 p 0 占g ) ) = d 1 p ( 一爿如) ) d 是严格对角占优矩阵故p 一0