（理论物理专业论文）力学系统中的高阶运动微分方程与对称性和守恒量.pdf

摘要 现代分析力学的研究主要包括两个方面：一、高阶运动微分方程的研究；二、力学 系统的对称性与守恒量的研究。 针对以上两个方面内容，我做了一些有意义的理论研究工作，并取得了一定的成果： 1 利用m a t h e m a t i c a 数学软件计算了函数厂= ，( g ( f ) ，) 各变量之间偏导和高阶导数 的关系，发现它们遵守杨辉三角形规律。结合杨辉三角形的对称性规律和牛顿第二定律， 推导出n 一1 阶力变率和n - 1 阶速度能量所满足的高阶运动微分方程，它们描述了力学系 统的2 n m + l 阶运动微分方程。通过进一步发展理想约束的概念，推导出了完整理想约 束系统下的高阶运动微分方程。 2 发现了高阶l a g r a n g e 函数与广义坐标的函数关系，并结合l a g r a n g e 方程，利用 高阶l a g r a n g e 函数推导高阶运动微分程，它们描述了力学系统的n m + 3 阶运动微分方 程，并举例说明了它们的应用。 3 研究了等时变分和微分的无限小变换的生成元向量以及它们的”次扩展，利用微 分与变分的关系推导了力学系统的守恒量。 4 研究了不同力学系统的三阶l a g r a n g e 方程，给出了它们的n o e t h e r 对称性判据 和守恒量，再研究了完整力学系统和完整有势力学系统三阶l a g r a n g e 方程的m e i 对称性 判据、结构方程和守恒量，并讨论了n o e t h e r 对称和m e i 对称的联系。最后举例说明结 果的应用。 关键词：分析力学，高阶运动微分方程，三阶l a g r a n g e 方程， n o e t h e r 对称性与守 恒量，m e i 对称性与守恒量 i i i a b s t r a c t t h er e s e a r c ho fm o d e r na n a l y t i cm e c h a n i c sm a i n l yi n c l u d e st w oa s p e c t s ：f i r s t ，t h e r e s e a r c ho fh i g h e r - o r d e rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n so fm o t i o n ；s e c o n d ，t h er e s e a r c ho fs y m m e t r y a n dc o n s e r v a t i o nq u a n t i t yo fm e c h a n i c a ls y s t e m i nv i e wo ft h ea b o v et w oa s p e c t sc o n t e n t ，w eh a v ed o n es o m em e a n i n g f u lf u n d a m e n t a l r e s e a r c hw o r ka n dh a v em a d ec e r t a i np r o g r e s s ： 1 b yu s i n gm a t h e m a t i c as o f t w a r et od i s c l o s et h er e l a t i o n s h i pb e t w e e np a r t i a ld e r i v a t i v e a n dh i g h o r d e rd e r i v a t i v eo fd i f f e r e n tv a r i a b l e si nt h ef u n c t i o n r = r ( q ( t ) ，f ) ，t h es y m m e t r yo f y a n gh u it r i a n g l eo f t h ef u n c t i o n 厂= ，( q ( f ) ，t ) i sf o u n d c o m b i n i n gt h es y m m e t r yo f y a n g h u it r i a n g l ew i t ht h en e w t o n i a ns e c o n dl a w , t h eh i g h - o r d e rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n so fm o t i o na r e d e d u c e d ，w h i c ha r es a t i s f i e db y ( n 1 ) 一o r d e rf o r c ea n dn 一1o r d e rv e l o c i t ye n e r g y t h e yd e s c r i b e ( 2 n - r e + 1 ) 一o r d e rd i f f e r e n t i a le q u a t i o no fm o t i o ni n m e c h a n i c a ls y s t e m w i t ht h ef u r t h e r d e v e l o p m e n to ft h ei d e a lc o n s t r a i n tc o n c e p t ，t h eh i g h o r d e rd i f f e r e n t i a le q u a t i o no fm o t i o n u n d e rt h eh o l o n o m i ci d e a lc o n s 仃a i n ts y s t e ma r ed i s c u s s e d 2 t h er e l a t i o n s h i pb e t w e e nt h eh i g h o r d e rl a g r a n g ef u n c t i o na n d g e n e r a l i z e dc o o r d i n a t e s f u n c t i o n a la r ef o u n d c o m b i n i n gl a g r a n g ee q u a t i o n ，h i g h o r d e rd i f f e r e n t i a l e q u a t i o n so f m o t i o na r ed e d u c e db yu s i n gh i g h o r d e rl a g r a n g e f u n c t i o n t h e yd e s c r i b e dm e c h a n i c a l s y s t e m s ( n 哪+ 3 ) - o r d e rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n so fm o t i o n ，a n dw et a k ee x a m p l e sf o rt h e i r a p p l i c a t i o n 3 t h ev e c t o ro fn o n s i m u l t a n e o u sv a r i a t i o na n dd i f f e r e n t i a la n dt h e i rn - o r d e re x p a n s i o n u n d e rt h ei n f i n i t e s i m a lt r a n s f o r m a t i o na r ea b t a i n e d ，t h ec o n s e r v e dq u a n t i t yo nm e c h a n i c a l s y s t e ma r ed e d u c e db yu s i n gt h er e l a t i o n s h i pb e t w e e nd i f f e r e n t i a la n dv a r i a t i o n 4 t h et h r e e - o r d e rl a g r a n g ee q u a t i o n si nd i f f e r e n tm e c h a n i c a ls y s t e m sa r ed i s c u s s e d ，a n d t h e nt h ec r i t e r i ao fn o e t h e rs y m m e t r i e sa n dn o e t h e rc o n s e r v e dq u a n t i t i e sf o rt h e ma r eg i v e n t h ec r i t e r i a ，s t r u c t u r ee q u a t i o n sa n dc o n s e r v e dq u a n t i t i e so fm e is y m m e t r yf o rt h r e e o r d e r l a g r a n g ee q u a t i o n sa r ep r e s e n t e di nb o t hh o l o n o m i cm e c h a n i cs y s t e ma n dh o l o n o m i cp o t e n t i a l s y s t e m t h er e l a t i o n s h i pb e t w e e nn o e t h e rs y m m e t r ya n dm e is y m m e t r yi s a l s od i s c u s s e d f i n a l l y , a ne x m a p l e i sg i v e nt oi l l u s t r a t et h ea p p l i c a t i o no ft h er e s u l t k e yw o r d s ： a n a l y t i cm e c h a n i c s ，h i g l l o r d e rd i f f e r e n t i a le q u a t i o no fm o t i o n ，t h e t l l i r d o r d e rl a g r a n g ee q u a t i o n ，n o e t h e rs y m m e t r ya n dc o n s e r v e dq u a n t i t y , m e is y m m e t r y a n dc o n s e r v e dq u a n t i t y v 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取 得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中 不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得或其他教育机 构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何 贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 c 、刀 学位论文作者签名：强彩 签字日期：a n 罗年彳月日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解江西师范大学研究生院有关保留、使用学位论 文的规定，有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允 许论文被查阅和借阅。本人授权江西师范大学研究生院可以将学位论文的全 部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制 手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名：孑占易 签字日期：山加9 年f 月乡日 导师签名：缃 签字日期：优物p 年月日 力学系统中高阶运动微分方程与对称性和守恒量 引言 现代分析力学的研究主要包括两个方面：一、高阶运动微分方程的研究：二、力学 系统的对称性与守恒量的研究。 一、高阶运动微分方程的研究：高阶运动微分方程的研究经历了一个历史发展过程， 主要是利用各种微分变分原理推导运动微分方程。从d a l e m b e r t l a g r a n g e 原理， j o u r d a i n 原理和g a u s s 原理，逐步发展到由罗马学者m a n g e r o n 和d e l e a n u 于1 9 6 0 年提 出了万有d a l e m b e r t 原理，即系统的主动力和惯性力在m 次速度空间中的虚位移上“元 功”之和为零。利用万有d a l e m b e r t 原理可以推导出任意阶非完整系统的运动方程， 但它们都没有涉及到力变率问题。近年来，人们开始研究力变率在虚位移中“元功 为 零的情形，并取得了一些成果n ，力变率和加速度能的概念和物理意义日益得到重视。 文献 2 提出了力学系统高阶速度能定理，阐明了系统高阶速度能量的物理意义，建立了 高阶力变率和高阶速度能所满足的高阶运动微分方程。伴随着高阶力变率和高阶速度能 的研究，理想约束的概念也取得了，进一步的发展。 二、力学系统的对称性与守恒量的研究：力学系统的对称性和守恒量是目前国内分 析力学研究的主要方向之一，包括了无限小变换下n o e t h e r 对称性、l i e 对称性和m e i 对称性，并得到相应的无限小生成元和规范函数满足的结构方程和守恒量，取得了很多 重要的成果呻、1 5 、1 7 1 。目前，对称性和守恒量的研究主要应用于传统二阶l a g r a n g e 方程的 动力学系统及其广义系统，例如：l a g r a n g e 系统，h a m ii t o n 系统，b i r k h o f f 系统， c h a p l y g i n 系统等，而对三阶l a g r a n g e 方程的对称性和守恒量的研究较少。两者的区别 在于：传统二阶l a g r a n g e 方程是描述速度能和广义力满足的动力学方程，由它可以推导 出二阶运动微分方程；而三阶l a g r a n g e 方程是描述加速度能和广义力变率满足的动力学 方程，由它可以推导出三阶运动微分方程；两者的对称性和守恒量的具体形式也是不同 的。文献 1 5 研究了三阶l a g r a n g e 方程的l i e 对称性和h o j m a n 守恒量。 针对以上两个方面内容，我做了一些有意义的理论研究工作，并取得了一定的成果： 1 利用m a t h e m a t i c a 数学软件计算了函数广= ，( g ( ，) ，) 各变量之间偏导和高阶导数 硕士学位论文 的关系，发现它们遵守杨辉三角形规律。结合杨辉三角形的对称性规律和牛顿第二定律， 推导出n l 阶力变率和n 一1 阶速度能量所满足的高阶运动微分方程，它们描述了力学系 统的2 n m + l 阶运动微分方程。通过进一步发展理想约束的概念，推导出了完整理想约 束系统下的高阶运动微分方程。 2 发现了高阶l a g r a n g e 函数与广义坐标的函数关系，并结合l a g r a n g e 方程，利用 高阶l a g r a n g e 函数推导高阶运动微分程，它们描述了力学系统的n - - m + 3 阶运动微分方 程，并举例说明了它们的应用。 3 研究了等时变分和微分的无限小变换的生成元向量以及它们的甩次扩展，利用微 分与变分的关系推导了力学系统的守恒量。 4 研究了不同力学系统的三阶l a g r a n g e 方程，给出了它们的n o e t h e r 对称性判据 和守恒量，再研究了完整力学系统和完整有势力学系统三阶l a g r a n g e 方程的m e i 对称性 判据、结构方程和守恒量，并讨论了n o e t h e r 对称和m e i 对称的联系。最后举例说明结 果的应用。 2 力学系统中高阶运动微分方程与对称性和守恒量 第一章分析力学的发展过程 分析力学的发展过程是一个数学分析在物理学应用的过程，它凝结了历史上多位数 学家和物理学家的心血，他们包括牛顿，莫培督、拉格朗日、哈密顿、雅科毕、欧勒、 泊松、n o e t h e r 、l i e 等人，其所运用的数学工具也由微积分、数学分析、泛函、发展到 群论。本章分别从传统回顾和现代进展两个方面介绍了分析力学的发展过程。 7 ”哕溯学* ”0 ，7 够；缸二一” ? 。一4 毫“m 翟一“心“。一 “l ? ” 1 “黯：州：j 唆?t ：一? 搿一：繁。 ：j ： 1 1 传统分析力学的回顾 ； ，i ，。、。 。 ，? 1 ；= j z 嚣w ，一。一j # 1 6 世纪末，牛顿( n e w t o n ) ( 1 6 4 2 - 1 7 2 7 ) 发表了著名的运动三大定律和万有引力定律， 从而奠定了经典力学的基础。随着微积分等数学工具的广泛应用，牛顿经典力学得到了 迅速的发展。但是，1 8 世纪以来，随着工业革命的发展，出现了一些新力学问题，特别 是互相约束的物体组成力学系统，很难用牛顿动力学原理解决。分析力学就是在解决这 些问题的过程中发展起来的。 1 7 8 8 年，拉格朗日( l a g r a n g e ) 写了大型著作分析力学，书中完全利用数学分析 的方法中解决了所有的力学问题。他首次引进了广义坐标概念，得到了重要的动力学方 程一拉格朗日方程，使得力学的发展出现了一个新的转折，从而奠定了分析力学的 基础。 1 8 3 4 年，哈密顿( h a m i l t o n ) 又引进了广义动量的概念，得到了哈密顿正则方程。它 在理论上有着更重要的意义，在理论物理各个分支中得到了广泛的应用。1 8 4 3 年，他又 运用变分原理提出了哈密顿原理，成功地将数学泛函理论运用到物理学领域。 1 8 9 4 年赫兹( h r h e r t z ) 首次将系统按约束类型分为完整系统和非完整系统两大类。 此后，在分析力学的非完整系统这一分支中又取得了许多的成果，得出一系列适用于非 完整系统的动力学方程，至今仍在继续向前发展。 3 硕士学位论文 1 2 现代分析力学的进展 现代分析力学的发展主要包括两个方面：一、高阶运动微分方程的研究；二、力学 系统的对称性与守恒量的研究。 一、高阶运动微分方程的研究：1 9 6 0 年罗马学者m a n g e r o n 和d e l e a n u 于提出了万 有d a l e m b e r t 原理，即系统的主动力和惯性力在m 次速度空间中的虚位移上“元功 之和为零。利用万有d a l e m b e r t 原理可以推导出任意阶非完整系统的运动方程。n i e l s o n 提出了新的方程形式一n i e l s o n 方程；e u l e r 提出了广义l a g r a n g e 方程；梅凤翔研究 了三阶l a g r a n g e 方程形式；张相武研究了高阶力变率和高阶速度能满足的运动微分方 程。 二、力学系统的对称性与守恒量的研究：研究力学系统的不变量有三种方法：1 直接 研究运动微分方程；2 研究在无限小变换下h a m i i t o n 原理的变换性质；3 从微分变分原 理研究守恒量。2 0 世纪初，德国女数学家n o e t h e r 研究了无限小变换下h a m i i r o n 原理 的变换性质，提出了n o e t h e r 定理：如果完整保守力学系统的h a m i l t o n 作用量在无限小 变换下保持不变，则沿力学系统的运动轨迹，系统存在s 个守恒量。随后，人们进一步 研究和推广了其它非完整力学系统的n o e t h e r 对称性和守恒量，取得了很多成果。瑞士 数学家s o p h u sl i e 研究了运动微分方程在无穷小变换群作用下的不变性，提出了l i e 对 称性和守恒量。梅风翔最近研究了运动微分方程的形式不变性，被国内学术界称为随e i 对称性。 4 力学系统中高阶运动微分方程与对称性和守恒量 第二章高阶运动微分方程 我们在第一章中介绍了分析力学的发展过程，以及高阶运动微分方程的研究现状， 从中- q - 以看出对高阶微分方程的研究是近代分析力学发展的一个重要部分。本章将研究 两类不同形式的高阶运动微分方程，它们分别是高阶速度能和高阶l a g r a n g e 函数满足的 动力学方程。这两类新型方程在理论上进一步推广和完善了传统动力学方程的低阶形式， 它们是研究宏观物体动力学规律的普适动力学方程，具有很强的理论创新意义。 2 1 利用杨辉三角形对称性推导高阶运动微分程 2 1 a 函数满足的杨辉三角形对称性规律 利用m a t h e m a t i c a 当朋= 0 ，力分别取0 ，1 ，2 ，3 时 当朋= 1 ， 刀分别取1 ，2 , 3 ，4 ，5 时 5 帆) f ) ，矿d n r ，苫= a 出m _ _ 。q q 0 ， 中式 厂一g一训莉名皓 算计件软学数 式各得以可 务一砷 筹 鱼幻 得分 吾 得分 似厂一m g一川莉毋1立”陆 硕士学位论文 当m = 2 ，力分别取2 , 3 ，4 ，5 ，6 时 当m = 3 ，刀分别取3 ，4 ，5 ，6 ，7 时 当m = 4 ， 疗分别取4 , 5 ，6 ，7 ，8 时 当m = 5 ，玎分别取5 , 6 ，7 ，8 ，9 时 观察当m ，”取不同值时各行计算式所得到的结果，并将它们按三角形的斜边排列， 我们发现这些数恰好构成一个数学上具有对称性的杨辉三角形。 l 11 12l 1331 l 46 4 l l51 0l o5l l61 52 01 56l l 72 1 3 53 52 l7l 182 85 67 05 62 88l 用公式表达为 6 一 一 一 一 一 5 d 6 弘 筇 加 巧 j 0 毛 j 叫 加 强 甜 矾 地 坻 够 土， 4 ，i ， 2 l l k 6 到 到 到 忆 得 得 得 静 鹏 船 腮 惭 分 分 分 甥 罢喜罢毫 力学系统中高阶运动微分方程与对称性和守恒量 ，( 肘)、 lq 0i 式( 1 1 ) 中当m = 0 时，有c o = 1 ，可以得到 旦a sf ，t 盟a t 、1 ) = 等d t t a q j l 一- = 一一1 月 由( 1 2 ) 式可以看出函数，对与和对嘉的对易关系。 2 1 b 函数满足的两个方程 由数学公式可知 c m + 。= c ，+ c ： 其中n = l ，2 ，3 m = l ，2 ，1 1 由式( 1 1 ) 得 从( 1 4 ) ，( 1 5 ) 式可以得到 即 7 ( 1 1 ) ( 1 2 ) ( 1 3 ) ( 1 4 ) ( 1 5 ) ( 1 6 ) ( 1 7 ) ( 1 8 ) )、堡田 ，l， 钟 = 广一g a a “， 一务一 o 一 、 q = n ， 一， r 两g aa h 陪 c = r一叫g a 1 a )、一、 堡却 (， 、 钟 = l 加 二州g a 1 a + i m 曼爿 盟 = 州二g 0 i l 二叫g a弋a 堡所 加 硕士学位论文 ( 1 6 ) 式两边对时间f 求导，可以化为 丢褂g - m + 将( 1 4 ) ，( 1 5 ) 和( 1 9 ) 式代入( 1 3 ) 式得 将( 1 7 ) 式代入( 1 1 0 ) 式得 石d 再ar 一型m 南, n - = 。 衍。( 一， 1 ) 。 乇jqc 7q ( 1 9 ) ( 1 1 0 ) 2 1 c 高阶运动微分方程 考虑一个由n 个质点组成的力学系统，设第f 个质点的质量为m i ，位移为，：，所受 到的合外力为f 合，其中主动力为z ，约束反力为r ，设质量聊，保持不变的情况下，对 牛顿第二定律两边同时取时间的( n - - 1 ) 阶导数，有 ( n - ! )( - i ( n - ! )i n + 1 ) f 台= f + 置= ，： 1 月一i lf h i i 称、f 和砬为主动力f 和约束反力置的( n 一1 ) 阶力变率。 ( 1 1 2 ) 设吼是坐标= ( 9 口( f ) ，r ) 的广义坐标，( 口= 1 , 2 ，3 s ) ，s 是系统的自由度。利用 函数，= ，( g ( f ) ，f ) 所满足的杨辉三角形对称性规律，将分别代替( 1 1 ) ，( 1 8 ) ，( 1 1 1 ) 式中的，得 ( 1 1 3 ) ( 1 1 4 ) 厂l g a a ，。一 d 一饥 + ，一叫g a 1 a = 二g aa 、叫 堕饥 ，l 坩一 c = | a a 却 钆 一l 朋 一 每忱 力学系统中高阶运动微分方程与对称性和守恒量 石d 可o t , 一半岛= o 出一( 册) 历( 剃) o q 。 oq 。 其中n = l ，2 ，3 m = l ，2 ，n 这里矢量虽然不同于标量，但同样可以验证( 1 1 3 ) ，( 1 1 4 ) ，( 1 1 5 ) 式的正确性。 利用( 1 1 2 ) 式与( 1 1 3 ) ，( 1 1 4 ) ，( 1 1 5 ) 式，即将牛顿运动定律和数学规律相结合， 导出经典力学系统的高阶运动微分方程。 ( 1 1 4 ) 式两边同乘以聊皇，并对f 求和 喜一：；薏一等喜以：；) 豪。 令 、 ( 一) ( 一) s ，i 1 镌鞭 e 一。称为系统的n 一1 阶速度能量啼1 。 将( 1 1 2 ) 、( 1 1 8 ) 式代入( 1 1 7 ) 式得 把( 1 1 9 ) 式称为n l 阶速度能量满足的高阶n i e l s o n 方程。 同理，( 1 1 5 ) 式两边同乘以t ，并对f 求和 辩丢薏一掣* 亳= 。 即 9 ( 1 1 5 ) 可以推 ( 1 1 6 ) ( 1 1 7 ) ( 1 1 8 ) ( 1 1 9 ) ( 1 2 0 ) c 两吼盟 n = c 万孔 罅下加 卜，豫 。 + 一竹 + l m 叫一 扣，一时 口茄| 札 n 且 耋一 似盟崧 尼， h川 彰百乜 州f n = 吨 + i m 坠饥 硕士学位论文 d d t a f ，宇i = l1 2 ：；) ：；) ) 疗一聊+ 。a ( 喜圭，吩：；) z ) a 窆 脚 a ( 吼m - i 将( 1 1 2 ) 、( 1 t 8 ) 式代入( 1 2 1 ) 式得 一) ：芝碍 ( 1 2 1 ) 2 乞碍- 者 ( 1 2 1 ) 旦一n-_m+las而+_,：芝事+芝art(m-i a 窆 肌 a 吼台。a ；：。鲁一a 芝 a q d ( 1 2 2 ) 把( 1 2 2 ) 式称为n 一1 阶速度能量满足的高阶l a g r a n g e 方程。可以看出( 1 1 9 ) ，( 1 2 2 ) 式描述 的是经典力学系统运动的2 n m + 1 阶微分方程。 2 1d完整理想力学系统的高阶运动微分方程 利用经典力学系统的高阶运动微分方程( 1 1 9 ) ，( 1 2 2 ) 可以推导出完整理想力学系统 的高阶运动微分方程。 ， 定义：若在m 一1 阶速度空间中，某个约束产生的约束反力及n 一1 阶约束力变率的方 向，沿着n 一1 阶约束方程在m 一1 阶速度空间所确定的超曲面的法线方向，则称之为理 想约束引。 根据理想约束定义，当笼与霉方向垂直时，它们点乘等于零，即 8q ， ( 一) 芝x ) ：o ( 1 2 3 ) 扣1 a 吼 将( 1 2 3 ) 式代入( 1 1 9 ) 、( i 2 2 ) 式得 令 旦一掣：描旦 a r t a 窆 m a z 鲁一a 吼l - ) 1 0 ( 1 2 4 ) ( 1 2 5 ) 盟忱 f 拦 = 饥 + l m 一 坠钆 力学系统中高阶运动微分方程与对称性和守恒量 l 一) 妒吐窆霉 扛1 a 吼 ( 1 2 6 ) 秽叫一称为n - - 1 阶广义主动力变率，它表示在m 阶广义坐标方向上的n - 1 阶主动力变率。 象一等凳2 旷 m2 7 ， 车一n - m + l 面a s _ , ：妒砷 ( 1 2 8 ) 前，( 研) 掰 当( 肼一) y 口 ( 1 2 7 ) ，( 1 2 8 ) 式称为理想约束下完整力学系统的n - 1 阶速度能量所满足的高阶n i e l s o n 方程和高阶l a g r a n g e 方程，它们描述了完整力学系统运动的2 n - - m + 1 阶微分方程。 如果先令( 1 2 7 ) ，( 1 2 8 ) 式中的r l - - m ，再取m = m - f1 ，有 薏二等薏2 静考2 鳄 m2 9 ， 鲁黔m 1l 争- - 两捞i = 1 岳2 睇 m3 。， 2 _ ，2 ，型骨高阶l a g r a ，n g e 。学挚拳，导高阶孽动微分碍如菇0 髫曩 2 2 a 高阶l a g r a n g e 函数满足的两个高阶运动微分方程 高阶l a g r a n g e 函数是指l a g r a n g e 函数对时间的，1 次导数，它是时间，和广义坐标 吼( 州，( f ) 的复合函数，可以将其表示为2 ( ，q o ( f ) ，我( f ) ，也( ，) ( 州( ，) ) 。高阶l a g r a n g e吼( 州( f ) 的复合函数，可以将其表示为【) ，我( f ) ，也( 7 ) ”+ 1 ( ，) ) 。高阶l a g r a n g e 函数满足以下两个方程 磊d 丁ol 一半多= o ( 胁= 1 ，2 3 删1 2 3 ) ( 2 1 ) o q 。 oq 口 堡主兰垡笙茎一一 ( 聊：1 ，2 3 刀= 0 , 1 ，2 3 。) ( 2 2 ) 利用( 2 1 ) 和( 2 2 ) 式可以推导出刀一所+ 3 阶运动微分方程，因此，我们也称它们为高 阶运动微分方程。需要说明的是，它们与上一节得出的高阶运动微分方程( 1 2 7 ) 和( 1 2 8 ) 在形式上是不同的，利用( 1 2 7 ) 和( 1 2 8 ) 推导出来的是2 n - - m + 1 阶微分方程。 2 2 b 高阶运动微分方程的推导 以上两个重要方程是如何推导出来的呢? 我们先取高阶l a g r a n g e 函数的全微分 = 妻薹势+ 警者 ( 2 3 ) 再取l a g r a n g e 函数( f ，吼( f ) ，口。( f ) ) 的全微分 比= 喜( 薏”盖由。愕班 “ ( 2 4 ) 式两边同时对时间取以薪导数，在计算过程中令g 1 = o 和q 制= o ，当肌o 时， m ( m ) 一0 老瞧微分和导数的关系，并利用l a g r a n g e 方程 旦丝一丝：o 疵却 书：( 乱挚爱姬h 加厂 = 喜 ( 薏砌。 ( + ( 盖嘶。) ( 帕) + ( 詈西) ( 帕 ：妻( 喜q ( 薏 ( ”由+ 霎碟一1 ( 薏) ( ”川幽枷 + 毫g ( 詈) ( 和出枷) ：喜 霎q ( 尝) ( ”由l + 薹碟一1 ( 盖) ( ”门由y + ( 詈，班 1 2 ( 2 5 ) o = 堂地 2 一 + 一所 聆一 州三i 力学系统中高阶运动微分方程与对称性和守恒量 = 啦。= 1t m = o 四时a q = j 刖+ 酬o o 堕a q j r 剐吼科衍 = 萎s + ic m 刮澍1 俐”衍 = 萎sn 酶+ l 扣俐出 像6 ， 比较( 2 3 ) 和( 2 6 ) 式中d q j ”和出项系数得 雾囤 ：q 。f 等1 d 吼 、7 ( 2 7 ) ( 2 7 ) 和( 2 8 ) 是我们得到的两个非常重要的关系式，利用它们推导方程( 2 1 ) 和( 2 2 ) 由数学公式可知 c = ：= c = 1 + c = l 豢吒( n - m + l 铬= q ：f 罟】 d 吼 、”7 蒡囤( n - m + l = l f 等】 a 叫4 豢喝囤 ：q 。f 等l d 、”7 从( 2 1 0 ) ，( 2 1 1 ) 式可以得到 骛= 鲁i 茹i = 等i n - i l n + i ( m ) ，1 m 一 ( m 一) m () 8q。8q 。 “l aq 。 1 3 ( 2 9 ) ( 2 1 0 ) ( 2 1 1 ) ( 2 1 2 ) ( 2 1 3 ) 砚一西 = 型西， 硕士学位论文 即得到方程( 2 2 ) 薏一等薏iq - 0 ( 一) ( m 一) 。 o 。 o q 。 由于当刀= 0 ，柳= 1 时，由方程( 2 2 ) 得到n i e l s o n 方程 旦一2 堕：o 8 4 ，8 q 。 ( 2 1 4 ) 因此，我们将方程( 2 2 ) 也称为高阶n i e l s o n 方程，它表示的是万一m + 3 阶运动微分方程。 ( 2 1 2 ) 式两边对时间t 求导，可以化为 丢褂嘏( n - m + l 将( 2 1 0 ) ，( 2 11 ) 和( 2 1 5 ) 式代入( 2 9 ) 式得 将( 2 1 5 ) 式代入( 2 1 6 ) 式，并整理得方程( 2 1 ) 旦一_ n - m = - + 2 丽c 3ld=ot ，( ”) 所 ，( ”一) 。 d q 口 d q 。 由于当咒= 0 ，m = i 时，由方程( 2 2 ) 得到l a g r a n g e 方程( 2 5 ) 旦丝一丝：o d la a a q 因此称它为高阶l a g r a n g e 方程，它表示的是以一聊+ 3 阶运动微分方程。 ( 2 1 5 ) ( 2 1 6 ) 2 2 c 高阶微分方程的应用 下面以有心引力势场( 取极坐标系) 为例，讨论方程( 2 1 ) 和( 2 2 ) 的应用。有心引 力势场系统的l a g r a n g e 函数及其一阶和二阶函数的表达式如下： 1 4 三| 吼 a a ，一 d 一衍 + 、， 再吼 a 1 a = 川| 力学系统中高阶运动微分方程与对称性和守恒量 三= 兰，竹( ，：2 + ，2 矽2 ) + 事 三= 聊( + 彬+ ，2 甜) 专户 z = m ( 芦2 + _ 7 ：j ：+ 户2 痧2 + 矽2 + 4 一谚+ r2 0 2 + ，2 彬) + 2 砉j ：2 一砉芦 利用高阶l a g r a n g e 方程( 2 1 ) 和高阶n i e l s e n 方程( 2 2 ) ，当力一m + 3 = 2 时，得 薏一等1 薏却 当( ”1 ) 刀+。! 。 oq 。 o q 。 ( 2 1 7 ) ( 2 1 8 ) ( 2 1 9 ) ( 2 2 0 ) ( 2 2 1 ) 利用它们可以推导二阶运动微分方程。例如：当疗= 1 时，代入方程( 2 2 0 ) ，( 2 2 1 ) 得 旦旦一! 旦：o d ta 4 。2 硇。 一o l 一三堕：o a 每。20 0 当n = 2 时，代入方程( 2 2 0 ) ，( 2 2 1 ) 得 旦旦一! 旦生：o d t 两。3 钧： ( 2 2 2 ) ( 2 2 3 ) ( 2 2 4 ) 将( 2 1 8 ) 和( 2 1 9 ) 式代入方程( 2 2 2 ) 、( 2 2 3 ) 和( 2 2 4 ) 都能得到以下二阶运动微分方程 ( 读者可以自行验证) 。 m 尹一m r 0 2 + 三：0 r 2 m r 2 0 + 2 m r 尹o ：0 ( 2 2 5 ) ( 2 2 6 ) 同理，只要满足刀一朋+ 3 = 3 ，利用方程( 2 1 ) 和( 2 2 ) 都能得到三阶运动微分方程a 例如： 当捍= 1 ，m = 1 时，有 旦丝一2 丝：0 d t 两a q 当刀= 2 ，m = 2 时，有 1 5 ( 2 2 7 ) = 艘l 魄 一l 川 一 生材 d 一西 硕士学位论文 旦旦一丝：o d ta i i 。a 电。 ( 2 2 8 ) 将( 2 1 8 ) 和( 2 1 9 ) 式代入方程( 2 2 7 ) 和( 2 2 8 ) 都能得到以下三阶运动微分方程( 读者可 脚。一耐痧2 2 聊彩一2 乓户：0( 2 2 9 ) 用类似的方法可以推导出高阶h a m i1 t 。n 函数譬所满足的恒等关系式 磬国 泣3 。， 2 2 d 高阶正则方程 利用高阶l a g r a n g e 方程( 2 1 ) 和高阶h a m i i r o n 等式( 2 3 0 ) ，考虑l a g r a n g e 函数和 h a m ii t o n 函数的关系，可以推导出高阶正则方程，推导如下： 由l a g r a n g e 函数和h a m i i t o n 函数的关系 三= 几以一日 口= l ( 2 3 1 ) 式两边对时间取n 阶导数得 ( 2 3 1 ) 2 = 耋( c ：儿爱+ c ：丸窆+ + c ：窆加- m + 1 ) + + c ：芝以) 一2 c 2 3 2 ， 将( 2 3 1 ) 和( 2 3 2 ) 式代入( 2 7 ) 式，得 a ，窆c ，n 儿+ l - m 筻一臀 _ 竺1 r 一一q l 8 q 。 考虑到第三项不显含项，得 c 玄一豢+ ( 豢厂：。 d 吼 ”7 1 6 扣一一) = 0 ( 2 3 3 ) ( 2 3 4 ) 一 一 一 竺饥 ，盟 a 一 力学系统中高阶运动微分方程与对称性和守恒量 将( 2 3 0 ) 式代入上式的得 c 玄一钟( 豢厂+ q 。( 豢厂= 。 c 2 s s ， 捌2 3 5 胤后两项之和孵1 吲”圳，并且鼽肌矾入一 n 删p a - - - 亿3 6 ； ( 2 3 6 ) 式是正则方程 a h 儿2 一：一 o q 口 ( 2 3 7 ) 对时间的船一聊+ i 阶导数。由于利用正则方程( 2 3 7 ) 可以推导出二阶运动微分方程，因此 利用( 2 1 ) 和( 2 2 ) 式可以推导出刀一柳+ 3 阶运动微分方稗。 1 7 硕士学位论文 第三章三阶运动微分程的对称性与守恒量 我们在第一章介绍了现代分析力学研究对称性和守恒量的方法。本章将进一步研究 在无限小变换下，非等时变分、等时变分、微分的生成元向量的特征，并利用微分与变 分的关系推导了力学系统的守恒量。通过该方法，我们将得到三阶运动微分程的对称性 与守恒量的一些重要的结论。 3 1 利用微分与变分的关系推导力学系统的守恒量 3 1 a 非等时变分、等时变分、微分的无限小变换的生成元向量 一级近似下，取单参数，和q 非等时变分的无限小变换 ，= 占r ( q 雷，q n ) g = ( 觚q ，q ) 占为无限小参数：f ，善为无限小单参数群变换的生成元， 非等时变分的无限小变换生成元向量为 ：f 旦+ f 旦 a t 匍 它的疗次扩展为 n f 昙+ 磐帕_ 喜刊州+ 1 ) ) 奔 下面我们来推导( 3 4 ) 式： 由等时变分和非等时变分的关系可知， 却= g 一牙f = s ( f 一口f ) 1 8 ( 3 1 ) ( 3 2 ) ( 3 3 ) ( 3 4 ) ( 3 5 ) 力学系统中高阶运动微分方程与对称性和守恒量 凼为等时焚分和时l 刚的m 次导数是口j 对易的，并考愿( 3 5 ) 式，得 万g m ) ：( 曲) ( ：g ( 孝一口) ( ：f 一芝g g ( m 州) f o ) 又将( 3 5 ) 式的譬用g ( m ) 代换，得 印( ”) = g ( ”) 一g ( 州) a t 将( 3 6 ) 式代入( 3 7 ) 式得 卸_ ) = ( 万_ ) ( ”) + g ( m + 1 ) 应= s ( f 一圣f ) ( ”) + 牙( m + 1 ) f = 善( w ) 一喜碍( 一“) f ( ， i 愀l ( t ，q ，口，g 月) 的非等时变分的无限小变换为 缸( 加，口，g 伽) = 占x 加( 三) 将函数l 的非等时变分a l 展开，并考虑( 3 8 ) 式，得 缸( 加矗) = 鲁址+ 薹高知佃) = s 肛薹参p 一至t = l 咿v 。 ) 对比( 3 9 ) 和( 3 1 0 ) 式，得( 3 4 ) 式7 肚f 昙+ 磐虬善旷州v 。 南 同理，利用( 3 5 ) 式，令等时变分的生成元向量为 = ( 阳f ) 若 由( 3 6 ) 式可知，它的甩次扩展为 = 龄一姜旷川v 。) 南 令微分的生成元向量为 z ( o ) ：f 旦+ 缸旦 a l 8 q i f 官的挖汝扩属为 1 9 ( 3 6 ) ( 3 7 ) ( 3 8 ) ( 3 9 ) ( 3 1 0 ) ( 3 1 1 ) ( 3 1 2 ) ( 3 1 3 ) 硕士学位论文 批f 昙+ f 扩州南 c s 由( 3 4 ) 、( 3 1 2 ) 、( 3 1 4 ) 式可知，非等时变分、等时变分、微分三者的生成元向量的关 系式为 x