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东南大学学位论文 独创性声明及使用授权的说明 i i i l l lii i i i i ii i1 1 1 1iiil 17 5 3 2 7 6 一、学位论文独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得 的研究成果尽我所知，除了文中特别加以标明和致谢的地方外，论文中不包含 其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得东南大学或其它教育机 构的学位或证书而使用过的材料与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡 献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意 二、关于学位论文使用授权的说明 签名： 日期：盈2 见至丝 东南大学、中国科学技术信息研究所、国家图书馆有权保留本人所送交学 位论文的复印件和电子文档，可以采用影印，缩印或其他复制手段保存论文本 人电子文档的内容和纸质论文的内容相一致除在保密期内的保密论文外，允许 论文被查阅和借阅，可以公布( 包括刊登) 论文的全部或部分内容论文的公布( 包 括刊登) 授权东南大学研究生院办理 ： 签名：导师签名： 一 摘要 b u r g e r s 方程具有广泛的物理背景，被大量应用于流体力学、浅水波、气体 力学领域中关于非线性b u r g e r s 方程的数值解法一直以来是人们研究的热点和 难点，难点在于非线性项不容易处理因此，研究非线性b u r g e r s 方程的数值解具 有很大的意义本文研究下面的一类广义b u r g e r s 方程的数值解法 象一d 象+ 9 ( 乱) 塞堋u ) 扎( 础) ( 0 1 ) ( 0 ，卅，? ( o 0 1 ) “( z ，0 ) = ( z ) ，z 【0 ，1 】，( 0 0 2 ) ( o ，t ) = 口( ) ，札( 1 ，t ) = ( t ) ，t 【0 ，t i ，( 0 0 3 ) 其中d 0 为粘性常数，( ) ，g ( u ) 是非线性函数，咖( z ) ，a ( t ) ，p ( ；) 为光滑函数且满足 相容性条件 文章分为三部分第一部分研究了当g ( u ) = u 的情况，即带非线性强迫项的 b u r g e r s 方程的差分解法利用c r a n k - n i c o l s o n 格式建立了一个两层线性化的隐式 差分格式，证明了差分格式解的存在唯一性及差分格式的收敛性，并给出了差分 解在l 模意义下的收敛阶数为o ( h 2 + r 2 ) 数值例子验证了理论分析结果 文章第二部分研究了广义b u r g e r s 方程( 0 0 1 ) 一( o 0 3 ) 的差分格式利用c r a n k - n i c o l s o n 格式对非线性函数( u ) 及g ( u ) 进行了线性化处理，建立了一个关于时间 和空间都是二阶收敛的隐式差分格式，并给出了详细的理论分析结果最后数值 算例验证了理论分析结果 文章第三部分讨论了( u ) = 0 ，g ( o ) = 0 的广义b u r g e r s 方程的一个差分格式 的稳定性利用离散的极值原理及能量分析方法，证明了差分格式关于初值的稳 定性在分析过程中不依赖于微分方程解而仅仅与初边值有关，当微分方程解光 滑时，给出了收敛性估计，并给出了数值算例 关键词：广义b u r g e r s 方程；有限差分格式；收敛性；稳定性 a b s t r a c t b u r g e r s e q u a t i o n sh a v ei m p o r t a n tp h y s i c a lb a c k g r o u n d ，w h i c ha r ee x t e n s i v e l yu s e d i nt h ef i e l do ff l u i dd y n a m i c s ，s h a l l o ww a t e rw a v e s ，a n dg a sd y n a m i c s i ti sah o ta n d d i f f i c u l tt o p i ct os t u d yt h en u m e r i c a lm e t h o d sf o rt h en o n l i n e a rb u r g e r s e q u a t i o n s t h e d i i i i c u l t yi st h a ti ti sn o te a s yt od e a lw i t ht h ed i s c r e t i o no fn o n l i n e a rt e r m t h e r e f o r e ，i t i ss i g n i f i c a n tt oi n v e s t i g a t et h en u m e r i c a lm e t h o d so ft h en o n l i n e a rb u r g e r s e q u a t i o n s i n t h i st h e s i s ，w ea r ec o n c e r n e dw i t ht h en u m e r i c a ls o l u t i o no ft h ef o l l o w i n gi n i t i a l - b o u n d a r y p r o b l e mo fb u r g c r s e q u a t i o n ： 塞一d 象州u ) 赛+ ，( ) = 0 ( 州) ( o ，1 ) ( o ，卅， ( z ，0 ) = 妒( z ) ，z 【0 ，1 】， u ( 0 ，t ) = a ( t ) ，让( 1 ，t ) = ( t ) ，t 0 ，明， w h e r e 0i sav i s c o u sc o n s t a n t ，( 牡) a n dg ( u ) a r en o n l i n e a rf u n c t i o n sa n d ( z ) ，q ( t ) ，p ( ) a r es m o o t hf u n c t i o n ss a t i s f y i n gc o m p a t i b i l i t yc o n d i t i o n s 。 t h et h e s i si sd i v i d e di n t ot h r e ep a r t s i nt h ef i r s tp a r tw es t u d yd i f f e r e n c ea p p r o x - i m a t i o no ft h eg e n e r a l i z e db u r g e r s e q u a t i o nw i t h9 ( 让) = u at w o - l e v e la n dl i n e a r i z e d i m p l i c i td i f f e r e n c es c h e m ei sd e r i v e db ym e a n so fc r a n k - n i c o l s o ns c h e m e i ti ss h o w n t h a tt h ed i f f e r e n c es c h e m ei su n i q u e l ys o l v a b l ea n dc o n v e r g e n tw i t ht h ec o n v e r g e n c eo r d e r o fo ( h 2 + 丁2 ) i nl 。n o r m s o m en u m e r i c a le x p e r i m e n t sa r ec o n d u c t e dt oi l l u s t r a t et h e t h e o r e t i c a lr e s u l t so ft h ep r e s e n t e dm e t h o d t h es e c o n dp a r to ft h i st h e s i si sd e v o t e dt ot h ed i f f e r e n c es c h e m ef o rg e n e r a l i z e d b u r g e r se q u a t i o n ( 0 0 1 ) 一( o 0 2 ) t h ec r a n k - n i c o l s o ns c h e m ei s u s e dt oa p p r o x i m a t e e q u a t i o na n dt h ef u n c t i o n s ( u ) a n dg ( u ) a r ea p p r o x i m a t e db ya l i n e a r i z e df o r m u l a t i o n t h e nal i n e a r i z e di m p l i c i ts c h e m ei sd e r i v e d t h es c h e m eh a ss e c o n d - o r d e ra c c u r a c y i nb o t ht i m ea n ds p a c e t h ed e t a i l e dc o n v e r g e n c ea n a l y s i si sp r e s e n t e d n u m e r i c a l e x p e r i m e n t sa r ec o n d u c t e dt oi l l u s t r a t et h et h e o r e t i c a lr e s u l t so ft h ep r e s e n t e dm e t h o d i nt h et h i r dp a r to ft h i st h e s i s ，w ei n v e s t i g a t et h es t a b i l i t yo fad i f f e r e n c es c h e m e f o rt h eg e n e r a l i z e db u r g e r s e q u a t i o nw i t h ，( u ) = 0 i ti ss h o w nb yt h ed i s c r e t ee n e r g y m e t h o da n dm a x i m u mp r i n c i p l et h a tt h ed i f f e r e n c es c h e m ei su n c o n d i t i o n a ls t a b l ew i t h r e s p e c tt oi n i t i a lv a l u e t h e s t a b i l i t y l n e s t i m a t e 8h a v eb e e np r o v e dw i t h o u ta n y a s s u m p t i o n s a b o u tt h ep r o p e r t i e so ft h ed i f f e r e n t i a le q u a t i o n sa n dd e p e n do n l y o i lt h eb e h a v i o ro f i n i t i a la n db o u n d a r yc 。n d i t i 。n s w ea l s os t u d yc 。r i v e r g e n c eo ft h e ( 1 i 舶r e n c e s c h e m ea s t h es 0 1 u t i 。n 。ft h ed i f f e r e n t i a le q u a t i 。ni ss m o o t h s o m en u m e r i c a le x p e r i m e n t s 甜e a l s o p r e s e n t e d k e y w o r d s ：g e n e r a l i z e db u r g e r s e q u a t i o n ，f i n i t e d i f f e r e n c es c h e m e ，c o n v e r g e n c e ，8 t 扣 b i l i t y 摘要 a b s t r a c t 第一章引言 第二章 2 1 2 2 2 3 第三章 3 1 3 2 3 3 第四章 4 1 4 2 4 3 ，4 4 目录 b u r g e r s 方程的二阶差分方法 记号及差分格式 差分格式的收敛性 数值试验 广义b u r g e r s 方程的二阶差分方法 记号与差分格式，。 差分格式的收敛性 数值试验 广义b u r g e r s 方程差分格式的稳定性研究 记号及差分格式 先验估计。 差分格式的稳定性 数值实验 攻读硕士学位期间发表的论文 致谢 参考文献 4 3 4 4 4 5 ； 一 1 4 4 5 3 6 6 7 6 9 9 o 8 0 1 1 l 1 2 2 2 3 3 4 一 第一章引言 考虑下面的广义b u r g e r s 方程初边值问题： 瓦( g u d d 丽0 2 u + 咖) 是+ m ) = o ，( 州) ( 。，1 ) ( 。，邪， ( 1 。1 ) 仳( z ，0 ) = 砂( z ) ，z ( 0 ，1 ) ，i ( 1 0 2 ) u ( o ，t ) = 口( 亡) ，u ( 1 ，t ) = f l ( t ) ，t ( 0 ，t ) ，( 1 0 3 ) 其中d 0 为粘性常数，( 乱) ，夕( 仳) 是非线性函数，妒( z ) ，q ( ，( 为已知光滑函数， 且满足相容性条件 当g ( u ) = u ，y ( u ) 兰0 ，q ( t ) = 0 ，f l ( t ) = 0 时，方程( 1 0 1 ) 为著名的b u r g e r s 方程 有很多文献研究其数值解法文献【2 ，1 1 ，1 8 】通过h o p f - c o l e 变换 u ( z ，t ) - - - - _ _ 2 d w 伽z ( ( z x ，, 万t ) 将方程化为一个标准的热方程： 瓮= d 丽c 0 2 w ( 叫) ( 0 ) 1 ) ( o ，巩 删) ：e 计z 等吼叫o 1 ) 2 d w 2 ( o ，t ) + a ( t ) w ( o ，t ) = 0 ，2 d w 霉( 1 ，t ) + f l ( t ) w ( 1 ，t ) = 0 ，t ( 0 ，t ) ， ，( 让) 非零时或9 ( u ) u 时，此方法不再适用同时文献【1 1 】列出了一些常用差分 格式求解( 1 0 1 ) 一( 1 0 3 ) 如显示格式： ! u j + l 产j ：一华+ d 虹挚， ： 非线性隐格式： t u j + i 产 ：圭f 一彳u j + i uj+l+d下uj+l_2ui+1+u-1+1 1 + 丢l 一气乎+ d 虹警盟l ，+ 东南大学硕士学位论文第一章引言 2 及线性化隐格式： 孥：丢l 一毪芦+ d 盐等垡i + 丢l 一每+ d 虹等堕1 l j 这些格式是关于时间1 阶的线性化格式或关于时间是2 阶的非线性格式【1 3 】研 究了当，( u ) 三0 时，根据初边值问题解的守恒律 i 珏( ，t ) | 1 2 + j j ( ，t ) 1 1 2d t = 愀，o ) 1 1 2 ，v t 0 ，、 建立了一个保持能量守恒的差分格式当f ( u ) 非零时能量不再守恒【2 6 】给出了 一个二阶非线性差分格式，对非线性项u 采用特别的方法进行离散： u ( x i , t k ) 虹学x 粤 ：， 应用能量方法证明了差分格式在l 2 模下的收敛性和稳定性【l7 】对【2 6 】中所运用 的方法做了进一步的研究，研究了9 ( u ) = 矿，p 0 ，即，( ，“) 是多项式情况时，文献【6 给出了一个差 j = o 分格式，并分析了该差分格式关于时间步长是一阶关于空间步长为二阶收敛 但其理论分析依赖于数值解的有界性假设带线性阻尼项的b u r g e r s 方程的数值 方法可参考【1 0 】 通过分析以上文献，正如文献【1 1 】指出的，如果对方程( 1 0 1 ) 直接用差分逼 近，得到的线性化格式一般关于时间的精度是1 阶的要得到关于时间是2 阶的 格式，如用c r a n k - n i c o l s o n 格式，通常格式是非线性的或者是三层以上格式，计算 一一 东南大学硕士学位论文 第一章引言 3 比较麻烦究其原因主要是非线性项9 ( u ) 的线性化离散比较困难当带有非线 性强迫项后，要想构造关于时间2 阶收敛的线性化两层格式就显得更为困难 本文的目的是研究初边值问题( 1 0 i ) 一( 1 0 3 ) 的有限差分方法主要分为下 面三部分：第二章我们先对特殊情况夕( u ) = u 进行讨论本章构造了一个关于时 间和空间是2 阶收敛的线性化两层差分格式在处理非线性项，( 的时候，我们 采用与文献【1 5 ，1 6 】类似的方法而对非线性项u u z 的差分逼近，我们给出了一种 新的方法我们证明了差分格式解的存在唯一性和收敛性同时给出了差分格式 的解在离散l ”模意义下收敛阶数为o ( 下2 + h 2 ) 最后给出了几个数值算例，计算 结果显示本章提出的方法是有效的第三章对第二章进行了推广，讨论了更一般 的方程对夕( 牡) 进行了线性化的离散同时也证明了差分格式解的存在唯一性 和收敛性，给出了差分格式的解在离散l o o 模意义下收敛阶数为0 ( 丁2 + 舻) 由于 稳定性讨论中要用到对原方程解的有界性的假设，故这两章不对差分格式进行 稳定性的讨论第四章讨论了，( 乱) = 0 ，9 ( 0 ) = 0 的情况，主要是讨论差分格式的稳 定性本章建立了一个两层线性化的隐性差分格式，应用最大模原理和能量方法 证明了差分格式解的存在唯一性和稳定性在理论分析过程中没有依赖于微分 方程解的性质而仅仅与初边值有关当微分方程的解光滑时，并给出了差分格式 解的收敛性分析最后数值算例验证了理论分析结果 一 一 第二章b u r g e r s 方程的二阶差分方法 考虑下面的b u r g e r s 方程初边值问题： 瓦o u d 丽0 2 u + u 瓦o u + 伽) = 。，( z ，t ) ( o ri ) ( 。，砚 u ( x ，0 ) = 多( z ) ，z ( 0 ，1 ) ， u ( o ，t ) = q ( 亡) ，让( 1 ，t ) = p ( 亡) ，t ( 0 ，t ) ， ( 2 0 1 ) ( 2 0 2 ) ( 2 0 3 ) 其中d 0 为粘性常数，( u ) 是非线性函数，咖 ) ，a ( t ) ，p ( 亡) 为已知光滑函数，且满 足相容性条件 本章研究初边值问题( 2 0 1 ) 一( 2 0 3 ) 的有限差分方法我们构造了一个关于 时间和空间是2 阶收敛的线性化两层差分格式在处理非线性项( u ) 的时候，我 们采用与文献 1 5 ，1 6 】类似的方法而对非线性项u 的差分逼近，我们给出了一 种新的方法我们证明了差分格式解的存在唯一性，差分格式的收敛性同时给 出了差分格式的解在离散l 模意义下收敛阶数为d ( 丁2 + h 2 ) 最后给出了几个 数值算例，计算结果显示本文提出的方法是有效的 2 1 记号及差分格式 取正整数m ，n ，记h = 1 m ，r = 叫n ，甄= i h ，0 i m ，t k = r k ，0 k n 定义 q h = 戤i o i m 】q 研= ( z i ，t k ) 1 0 i r n ，0 k 竹 设 砖i o i m ，0s ks 仃) 为q 打上的网格函数，引进下面的记号： 谚“2 = 专( 谚+ 谚+ 1 ) ，& 谚+ 1 肛= 圭( 谚+ 1 一谚) ， 瓦略2 = 去( 略，一谚) ，2 k2 壶( 噍- 一2 砖+ 略) ， ： 仇砖：攀 记= 【彬l 础= 毗，0 i m ) 为上的网格函数，且w o = w m = o ) 设w ， 记 l 叫| 1 = 。5o m 气m a x w t i ，5 ，f l j t c ，f i 2o m i a m x 一1i 瓦姚+ l 2 i 4 慧鼍篆f 】11 1 - f 】13 ) 存在唯一光滑解u c 4 3 ( 西【0 邪) ，而且存在常数岛，使 ( h 1 ) 问题( 1 1 ) ( 1 1 3 ) 存在唯一光滑解u c 4 5 ( s 2 【o ，川) 皿且仔仕昂姒u 0 区 得对v ( z ，t ) 豆【o ，t l 有 m 觚 l 象i ，l 鑫l i 嘉i i l 嘉l ，i 爱i l 警】- 岛j ( h 2 ) 函数，二阶可导，且存在常数a ，盯( o ，1 ) ，使得当l s is 岛+ 盯时， m a , x i f ( s ) l ，i f ，( s ) l ，i f ( s ) 1 ) q 我们构造初边值问题( 2 0 1 ) 一( 2 0 3 ) 的差分格式 ( 1 + 百7 v 狮ku p + 生u k + l 二n 专k u k d u k + l 一醒u y + ，( 谚) = 。， 。 l 0 ，k 0 ，s 0 是与h ，下无关的常数 证记t k + 1 2 = ( “+ t k + 1 ) ，钟= u ( x i ，t k ) 我们有 裳( t m 2 ) = 罐+ 1 2 一甄t 2 丽0 0 3 u ( , 旗) ，巩 兹 0 使得 从而对k = 0 ，1 ，l 有 l ( z ) l c o ，1 1 6 e o i i = 0 。m 七a x 。i i e k i i k ，。m s 七a s x 。1 1 6 e 七i l o o ss i l u 知i i 。i i u i l 。+ k c o + k ， ( 2 2 3 1 ) = ：i ：奎童奎：兰堡圭堂堡垒塾一一一墅墅堕鲤型些l o 下面证明当忌= l + 1 时( 2 2 3 1 ) 也成立 。髁1 l 虹4 当 tl i = l s t 墨m l le 1 1 一e 苒1 + 堕! 二堕! l l i - 1 ，h i e 凇+ - 一e e 2 l 号乙e 沁p 1 一e e y 。l 警争f k + 1 2 l m-1如，z+警z+洲iih(5 k + l 2 、( 1 l e k l l l i p i i ) ， 如，2 + 等2 + + 1 2 ) ， ( 2 2 3 2 ) ( 2 2 3 3 ) ( 2 2 3 4 ) ( 2 2 3 5 ) 澍 研一2 ：壅童查堂：堡圭堂：! ! 竺塞：一：= ：一：= ：= 篓三塞星塑壅堡丝三堕耋坌童鲞：一1 l 注意到 我们有 q 5 c o 鱼 一4 r n l m - 1 sf 一一 i = 1 危盥蔓掣( 碱k + l 2 ) 忽i ( 瓦e 苒。：+ 以e o 。) 况e ，1 7 2l 九( 况e 2 ) 2 + 薏2 晰， 一 q 。_ c of + s 厶n - 1 州k + z e 2 ) i 。 i - - - - i m 一1 f z 一 i = i ( 氏e 2 ) 2 + 百( c o + s ) 2 m i u q 7 了o h i e 抓玩e 2 ) 。i = i q 8 ( c o + k ) e m - - 1 i = 1 e k + 1 1 1 2 i ( e 搿一e i k + 1 + e t k + 1 一e 。k 一+ 1 ) 啦e y ) 2 + 乎p + 1 i 忍七i c r ( h 2 + 户) 郇塞m e y ) 2 + 譬2 泔们z 将( 2 2 3 0 ) ( 2 2 4 0 ) 代入( 2 2 1 9 ) ，并取= 虿1 得 ( 民e 料7 2 ) ( 2 2 3 6 ) ( 2 2 3 7 ) ( 2 2 3 8 ) ( 2 2 3 9 ) ( 2 2 4 0 ) 昙( i e 七+ 1 曙一l e 七l ；) 杀( 6 研+ 4 q 2 u ，2 + 2 c ；k 2 + 瑶) l i e 七1 1 2 + 杀( 岛+ k ) 2 l e k + l 谨 + 杀瑶；杀+ ( 岛+ s ) 2 + 2 研研+ 2 讲) i l e 七+ l l l 2 + 兰睇( 九2 + 丁2 ) 2 ，k = 0 1 ，f ( 2 2 4 1 ) ：l烈 型型些些些篁墼墼堡型些1 2 由引理3 1 ， e s 去p 1 1 ，i i e k + l l | 击嗍- 将( 2 2 4 1 ) 两边乘等，并记 既= 高( 6 研+ 4 c 2 0 c + 2 c k 2 + 4 砩) ， 瓯= 而3 ( 岛+ s ) 2 + 2 四砰+ 2 讲+ 3 ( 岛+ k ) 2 ， 岛= 刍曝( 舻+ 下2 ) 2 得 即 l e k + l l i i e 悟优7 - i e 七悖+ g 丁i e 知+ 1 r + 岛下( 舻+ 丁2 ) 2 ， ( 2 2 4 2 ) ( 1 一g 丁) i e 七+ 1 瞪s ( 1 + g 丁) i e 七悟+ 岛丁( 舻+ 户) 2 ，七= 1 ，2 ，2 ( 2 2 4 3 ) 当丁 去，由离散g r o n w a u 不等式及引理3 1 得 i l e , + l i i 。丢i e + l i ，c ( h 2 + 户) 2 ， 其中c ：、夏骊虿丽承丽由上式知，当h ，7 充分小，且 她而2 0 时， 嚣e , + l l 。l 岛翊妒杪t 2 s ，m 1 l l 。譬2 叩3 2 + 而】妫 因此当h ，丁充分小，且为( 2 2 4 4 ) 成立时，条件( 2 2 3 1 ) 对k 三2 + 1 也成立 法得 i l e 七i i c ( 舻+ 7 2 ) ，七= 0 ，1 ，n ， 1 1 6 e 七l i 。s ，k = 0 ，1 ，钆， i l u 膏l l o 。i i v 七i i + g ( 炉+ 户) c o + k ，七= o ，1 ，礼。 定理3 1 得证 ( 2 2 4 4 ) ( 2 2 4 5 ) ( 2 2 4 6 ) ( 2 2 4 7 ) 由归纳 ( 2 2 4 8 ) ( 2 2 4 9 ) ( 2 2 5 0 ) 一一一_ 东南大学硕士学位论文第二章b u r g e r s 方程的二阶差分方法 1 3 定理2 2 当h ，7 充分小，差分格式( 2 1 1 ) 一( 2 1 3 ) 存在唯一解 证差分方程( 2 1 1 ) 一( 2 1 3 ) 可写成为 ( 一荔k 一杀) 乱“k + l + 【彳1 + 互1 八u ；) + 警+ 昙m k + l + ( 鬟一嘉) u k 州+ l 州u ；) = 杀畦，+ 【扣? ) + 譬一萨d + 扣+ 孬du 蠢， 1 ism l ，0sk n 一1 ， 珏? = ( 甄) ，0 ism ， 罐= q ( “) ，u m k = ( “) ，0 k 礼 ( 2 2 5 1 ) ( 2 2 5 2 ) ( 2 2 5 3 ) 用归纳法证显然础( o i m ) 存在唯一假设对f = 0 ，1 ，k ，方程( 2 2 5 1 ) 一 ( 2 2 5 3 ) 的解( o i k ) 存在唯一，则由定理3 1 知，当h ，下充分小，| l 让奄怯 g + k ，l 沁u 七怯c 0 2 + s 因此由假设( 日2 ) 得，i f ( u f ) l q ，0 i m 所以当 h 0 ，使得 m a xl 妒( z ) l c o o x 0 ，s 0 是与九，下无关的常数 证记t 七+ l 2 = ( 如+ t k + 1 ) ，嘴= u ( 甄，“) 我们有 o 砒u ，t ，= 况噼+ 1 7 2 一丢嘉( 兹) ，“ 0 ，s 0 使得 从而对七= 0 ，1 ，l 有 罡剖e 2 怯k ， ( z ) l c o ，1 1 6 e o l l = 0 罐剖6 a l l d , s l u k i i 。i l u 七i l + k c o + k ， 下面证明当七= l + 1 时( 3 2 3 9 ) 也成立 ，墨，l 学- - u i _ ih m 如a x ，l 丘学i ：。器。去i 以e 一如e + 2 0 引u - 白， sj 广c o i ( 3 2 3 8 ) ( 3 2 3 9 ) ( 3 2 4 0 ) 其中沿( ：ie f 、( x i - 0 1 篇叭和( 3 2 3 8 ) ( 3 2 4 0 ) 对七_ 1 2 ，f ，我l lj 可以得到下 设e ，由假设( h 1 ) ，( h 2 ) ，和( 。 ) 对七2 上，z - 优 叫功个寸列。 面的估计： q lsc 1m - 1 九圳( 民e 2 ) i i = 1 h ( s t e 2 ) 2 + 劫哪， 仇一1厂t2 q ：百c 1m 7 - 1 ，凇+ - 一e 胍e 2 i iq ：百厶凇+ 1 一e 胍e y 。 e m - - i ( 况e ：+ - z ) z + 门? 南1 1 2 + i l e k + l i i 百( 1 l e i i 1 1 2 ) ， e ( 况e 2 ) 2 + m + i l 2 ) ， m 一1 q 。岛c - h i e 纠 i = 1 i ( 瓯e p l 2 ) l ss 芝嘣州2 ) 2 + 警l l e i i ， ( 3 , 2 4 1 ) ( 3 2 4 2 ) ( 3 2 4 3 ) 由归纳假设 q 4 百c 1m 夕- 1 ( j l ，咐嗽+ l e 胍e 2百厶咐嗽“一e 胍e y 2 华塞h 桫删文e 少i 。 i = 1 m f - 1 九( 况e 少) z + 辈( 渺i i i i 。+ 九( 况e 2 ) 2 + 等( 渺2 +l e k + 1 1 1 2 ) ， 铫姐m - 1 川苴萼笋尘耐州2 - a 6 - l 瓦e i k l 2 - - 以e k 蝴2 i1 l 瓦e 以“z y 1 e(以矿v2)2+丢le知121 2 ， m一厂1 竹l