本征值和本征向量PPT.ppt

7.5本征值和本征向量,7.5.1本征值和本征向量的定义,问题1定义为什么限制非零?,问题2属于的本征值是否被本征向量唯一确定?,问题3属于的同一本征值的本征向量是否唯一确定?,问题4F上的向量空间V中本征向量与一维不变子空间有什么关系?,例题1-3,7.5.2本征值和本征向量的计算方法,若关于基的坐标,关于基的坐标,则,而,则有,即有,即关于基的坐标是上述（1）以为系数矩阵的齐次线性方程组的非零解；,即是的一个本征值时其须满足（2）；,从而满足,即为线性变换的一个本征值.,反之若满足(2)，则(1)有非零解,同时,非零解即为本征向量关于基的坐标.,称为A的特征多项式.,称为A的特征方程，,称为A的特征矩阵.,相似矩阵有相同的特征多项式吗?,的全部的本征值可以由关于V的任意一个基的矩阵的特征多项式来决定,因此把它改称为线性变换的特征多项式,记为,把在复数域C内的根（即在复数域C内的解）叫做矩阵A的特征根.若为A的一个特征根，那么相应的齐次线性方程组,的一个非零解叫做矩阵A的属于特征根的一个特征向量.,注意:)方阵才有上述概念，注意其特征根的范围.,）由上述讨论及概念知线性变换的本征值与本征向量与矩阵的特征根与特征向量的关系：,矩阵A的属于F的特征根就是的本征值，而A的属于特征根的特征向量，就是的属于的,本征向量关于所给定的基的坐标.,特征多项式的进一步讨论,1.相似矩阵有相同的特征多项式，从而有相同的特征根.,2.矩阵的特征多项式展开,的降幂形式的前两项为:,由多项式的性质的常数项为:,定义3矩阵A的主对角线上元素的和称为矩阵A的迹.,综上,A的特征根与的展开式中的系数的关系?,设是A在C内的全部特征根，则由根与一次因式的关系有：,比较（1）（2）得：,7.5.4矩阵特征值和特征向量的计算方法,使,是A的特征值,有非零解,的根.,且,是A属于的特征向量,求A的全部特征值和特征向量的步骤：,1.计算特征多项式,解：A的特征多项式为,A的特征值为,对于解,由于得基础解系,A的对应于的全部特征向量为,即,对于解,即,由于,得基础解系,A的对应于的全部特征向量为,注4：A的特征向量有无穷多个，分为两大类：,一类为一类为,问题1：同类的两个特征向量的线性相关性如何？问题2：不同类的任意两个特征向量的线性相关性如何？,解A的特征多项式,A的属于特征值1的全部特征向量为,得基础解为,A的属于特征值1的全部特征向量为,得基础解系:,(1)如果向量是矩阵的特征向量，则k=_,2,B.,C.,D.,7.5.4特征值和特征向量的性质,只须证,注意到,注意到,（*）,（*）,在（*）和（*）中令=0,求线性变换的本征值与相应的本征向量的方法步骤:,1）取定V的一个基,求关于这个基的矩阵为A;,2）求出A的特征多项式在数域F内的全部根即是的全部本征值.,一.内容分布7.5.1本征值本征向量的定义7.5.2本征值和本征向量的计算方法7.5.3矩阵特征值和特征向量的计算方法7.5.4特征值和特征向量的性质小结二.教学目的1.理解特征值和特征向量