（概率论与数理统计专业论文）几种期权的定价与monte+carlo模拟.pdf

华中科技大学硕士学位论文 摘要 传统的投资决策方法常采用净现值法和内部收益率法，但这两种传统投资决 策方法都是基于以下假设：一是如果投资是可逆的，当市场前景不好时，就可中 断投资且投资费用可全部收回，重新选择投资；二是如果投资是不可逆的，那投 资项目要么是立刻投资，要么永远失去投资机会。但在现实生活中，许多投资并 不与假设相符合。很多项目的投资要么是可逆的，要么是部分可逆的，而且投资 也是可以延期的，即存在管理柔性：投资者有权利( 而不是义务) 选择是否投资以及 何时投资，这种特性类似于金融中的美式看涨期权。这个柔性价值即期权价值可 能很大，忽略该价值将可能导致错误的投资决策。由于该期权的标的为实物资产， 这种评价投资机会价值的方法就称为实物期权方法。自从b l a c k - s c h o t e s 公式问世 以后不久，实物期权方法也得到了广泛的研究，许多经济学家对研发项目中的各 种期权作了大量的研究。 本文利用转移概率矩阵，讨论了利率服从马尔可夫过程时的期权定价阎题，对 时间离散和时间连续的情形都作了详细的讨论。同时还讨论了对于具有缩减生产 期权的研发项目，给出了考虑税收情形下的项目价值及其最优投资阈值，用比较 静态方法分析了有关因素对最优投资阈值及项目价值的影响；随后考虑了产品具 有生命周期时的研发项目评价问题。 由于大多数的研发项目评价问题不存在或者很难找到解析解，而且当问题的 维数即状态变量的个数多于3 个时，传统的数值方法如二项树方法和有限差分方 法往往很难解决，本文采用m o n t ec a r l o 模拟方法求出了随机利率下的研发项目 的评价问题以及一般金融期权定价问题。 关键词：研究与开发转移概率格林方法产品生命周期 m o n t ec a r l o 模拟 华中科技大学硕士学位论文 a b s t r a c t t h et r a d i t i o n a lm e t h o d so fi n v e s t m e n td e c i s i o na n a l y s i s ，e s p e c i a l l yn p va n di r r , a r eb a s e do nt h e f o l l o w i n ga s s u m p t i o n s ：t h ei n v e s l m e n t i s r e v e r s i b l e ，o r , i fi t i s i r r e v e r s i b l e ，i ti san o w o rn e p r o p o s i t i o n b u ti n r e a l i t y ，m o s to f i n v e s t m e n t sd on o t m e e tt h e s ec o n d i f i o n s m a n yo ft h e ma r ee i t h e ri r r e v e r s i b l e ，o rp a r t i a lr e v e r s i b l e ，a n d t h e ya l s oh a v et h ep o s s i b i l i t yo fd e l a y , h e n c em a n a g e m e n t f l e x i b i l i t i e sd oe x i s t t h e s e f l e x i b i l i t i e sh a v ev a l u e sw h i c ha r es i m i l a rt of i n a n c i a lc a l lo p t i o n s ，t h e r e f o r ew ec a r l e v a l u a t et h e mb y , s a y , r e a lo p t i o na p p r o a c h e m p i r i c a lr e s e a r c h e ss h o wt h a tt h e s e v a l u e sc a nb eg r e a t l yl a r g e ，h e n c ei g n o r i n gt h e mw i l lc & n s ev e r yw r o n gi n v e s t m e n t d e c i s i o n t h e r ea r em a n yl i t e r a t u r e so nr e a lo p t i o n sn o wa n di tw i l ln od o u b tb ea p r o m i n e n tm e t h o d i ne v a l u a t i n gi n v e s t m e n t p r o j e c t i nt h i sp a p e r , if i r s t p r i c es o m eo p t i o n sb yu s i n gt r a n s i t i o np r o b a b i l i t ym a t r i x w h e ni n t e r e s tr a t e sa r ef o l l o w e dm a r k o v p r o g r e s s ，i n c l u d i n gt h ed i s c r e t et i m ec a s ea n d t h ec o n t i n u o u s 斑矗c a s e t h e nie v a l u a t eac l a s so fr & d p r o j e c t sw i t ho p t i o nt o c o n t r a c ti t ss c a l eu n d e rc o n s t a n tt a xr a t eb yg r e e i n a na p p r o a c ha n do b t a i nt h ep r o j e c t v a l u e sa n dm o s to p t i m a lt h r e s h o l d s b yc o m p a r i s o ns t a t i cm e t h o dia n a l y z eh o ws o m e r e l a t e df a c t o r sa f f e c tt h e m a f t e rt h a t ，ie v a l u a t eac l a s so fr & d p r o j e c t su n d e rp r o d u c t l i f ec y c l e ，f i n a l l y , b e c a u s et h et r a d i t i o n a ln u m e r i c a lm e t h o d ，s u c ha sf i n i t ed i f f e r e n c e m e t h o da n db i n o m i a lt r e em e t h o dc a nn o ts o l v eo p t i o np r i c i n gp r o b l e mw h e nt h e d i m e n s i o nf i r e l a r g e rt h a nt h r e e ，i u s em o n t ec a r l os i m u l a t i o nt oe v a l u a t es o m e f i n a n c i a lo p t i o n sa n dr e a lo p t i o n s k e y w o r d ：t r a n s i t i o np r o b a b i l i t y g r e e n i a n a p p r o a c h p r o d u c tl i f ec y c l e r e s e a r c ha n dd e v e l o p m e n tm o n t ec a r l os i m u l a t i o n 独创性声明 本人声明所里交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得 的研究成果。尽我所知，除文中已经标明引用的内容外，本论文不包含任何其他 个人或集体已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出贡献的个人和集 体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到，本声明的法律结果由本人承 担。 学位论文作者签名：溯互 日期：蛑相耀日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有 权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和 借阅。本人授权华中科技大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据 库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。 保密口，在年解密后适用本授权书。 本论文属于不保密口。 ( 请在以上方框内打“4 ”) 学位论文作者签名：洲卫砷 日期：讼蛑辞月怕 指导教师签名：专露 日期：口十年f 月3 日 华中科技大学硕士学位论文 1 1 研究方向及其意义 1 绪论 风险投资是一种由风险资本家向新创的、迅速发展的、有巨大竞争潜力的高 新技术项目投入权益资本的行为，投资对象一般是剐刚起步或还没有起步的高新 技术企业或高新技术产品，由于处于起步阶段，不够成熟，存在许多不确定因素， 因而具有商风险、高收益的特点。随着全球经济一体化的不断发展和知识经济、 网络经济时代的到来，高新技术产业将成为我国的主导产业和新的经济增长点。 在国民经济发展中占有越来越重要的地位。传统的投资决策方法常采用净现值法 ( n p v ) 和内部收益率法( i r r ) ，但这两种传统投资决策方法都是基于以下假设：一 是如果投资是可逆的，当市场前景不好时，就可中断投资且投资费用可全部收回， 重新选择投资：二是如果投资是不可逆的，那投资项目要么是立刻投资，要么永 远失去投资机会。但在现实生活中，许多投资并不与假设相符合。很多项目的投 资要么是可逆的，要么是部分可逆的，而且投资也是可以延期的，风险投资就属 于这一类型。风险投资过程中，外部不确定性因素非常多而且随着时间的推移不 断出现新的变化。当市场形势很不明朗或者投资明显不利的情况下，可以推迟投 资或者终止投资。如果停止投资，则初始投资有沉淀，不可能全部收回已投资资 金；而且投资是分阶段进行的，如果未来市场与预期一致或者更好，则初期的投 资为今后的进一步投资创造了机会。大量实践表明：不可逆投资过程中的可延期 性或可终止性使整个投资决策发生了深刻的变化，因而也对传统的投资决策方法 的有效性和科学性提出了疑问。实际上，传统的投资评估方法( 以贴现现金流d c f 法为代表) 往往采用两种方法来处理风险【1 1 ：确定性等价方法和风险调整贴现率 法，这两种方法的本质都是按照某些标准对不确定的现金流进行“压缩”，以使其 转化为符合一些假设条件的“确定的”现金流量。由于风险造成的期望收益的偏 离既包括不利的偏离，即向下的偏离，也包括有利的偏离，即向上的偏离，因而 华中科技大学硕士学位论文 忽视风险将会导致得到不正确的投资决策。风险投资的高风险和高收益的特点， 要求风险投资家要有敏锐的市场洞察力，即时把握投资机会。拥有投资机会就像 持有一张看涨期权，即风险投资家拥有未来投资的权利，而不是投资的义务或责 任。未来收益的不确定性越大，投资机会的价值就越大，未来可能获取的投资收 益就越大，就越促使投资者观察等待并保留投资的机会，而不是立即投资。要保 持投资机会必须支付一定的成本，即机会成本，它往往是决定是否投资的一个十 分重要的砝码，研究表明，机会成本可能是非常巨大的，忽略它很可能导致作出 十分错误的决策。正如d i x i ta n dp i n d y e k ( 1 9 9 4 ) 中所说：”t h es i m p l en p v r u l ei s n o t u s tw r o n g ；i ti so f t e nv e r yw r o n g 。”b j 因而在进行风险投资决策时，必须将投资 机会的成本考虑进去。投资期权的引入将给风险投资决策带来了全新的视野和全 新的思想，可以说，期权定价理论的出现将彻底改变传统的风险投资决策方法【3 】。 同日本和德国相比，在最近几十年，美国公司已经逐渐丧失其有力的竞争位 置，因为他们使用自以为很有力的分析技术如贴现现金流法作投资决策分析。这 些方法不能适当地捕捉到管理柔性以应对未来市场的不确定性，忽视各个项目之 间的相关性，即认为一个项目的价值仅仅取决于其本身的预期的净现值以及贴现 率，不存在项目之间的相互影响以及由此带来的关联效应。用实物期权方法( r e a l o p t i o n sa p p r o a c h ) 来研究投资问题具有传统的投资评估方法所不具有的优点，它 考虑了风险投资项目中公司可能拥有的期权，如等待更好更多信息的等待期权， 暂停期权，扩张投资期权，缩减投资期权，放弃期权等，可以对投资项目做出准 确的评价，从而为公司做出正确的投资决策，具有十分重要的指导意义。 1 2 实物期权方法 实物期权方法是最近在项目评价实践上越来越高深的一系列技术之一。几十 年前，工程师们谈论的是t i m et op a y b a c k ，在2 0 世纪七十年代和八十年代，由于 引入了资本成本，d c f 方法得到了广泛的认可，而在八十年代和九十年代，人们 采纳了决策和风险分析以及m o n t ec a r l o 方法，自从2 0 世纪八十年代中期以来， 实物期权在药物r & d 领域得到了认可，并且被当作是觉得项目是否值得投资的 2 华中科技大学硕士学位论文 一种方法，这些公司认为，一个项目的成本并不是一开始就要投入其中的，药物 从研究开发到投入市场，往往要经历很长的时间，必然会面对很多的不确定性， 因此，投资必然要分阶段进行，相应地，公司拥有多个决策点，在每个决策点上 决定下一个决策是否继续投资，如果放弃继续投资机会，意味着放弃药物，或者 把许可证转让给别的公司。这些灵活的选择权( 即期权) 赋予该项目一定的价值， 而这些价值是传统的财务分析方法所忽略了的。 实物期权方法的产生一方面源于传统的资本预算技术不再让公司决策部门， 以及一些学者们满意，而另一方面，d e a n 4 1 ，h a y e s 和a b e r n a t h y 5 1 ，h a y e s 和g a r v i n 6 】 很早就意识到标准的d c f 准则常低估了投资机会的价值，从而导致得出没有远见 的决策，甚至最终失去了竞争地位【”。m y e r s i 8 认为这有可能是由于在不同程度上 错误运用了该理论，但同时他也承认，在评价具有重要操作或策略期权的投资项 目时，标准的d c f 准则显示出了其自身的局限性。基于m y e r s 中把投资机会当作 增长期权的思想，k e s t e r 9 系统阐述了增长机会的策略与竞争方面。之后，t r i g e o r g i s 和m a s o n 1 0 】，b r e a l e y 和m y e r s 1 等提供了更一般化的实物期权框架。而b l a c k 和 s c h o l e s l l 2 】，m e r t o n 1 3 】的期权定价公式则为实物期权奠定了基础，其期权评价的实 际运用则主要归功于c o x 和r o s s ”】中的思想，即可以通过构造交易证券的等价组 合来复制期权。其后的许多经济学家们分别对不同的实物期权( 0 1 1 推迟期权，改变 生产规模期权，放弃期权，转换期权，增长期权等) 进行了研究。但实物期权方法 的广泛应用，离不开数学的发展，期权定价常用的两种方法：等价鞅测度和偏微 分方程，以及常用的数值方法，如有限差分方法、m o n t ec a r l o 模拟等，都离不开 数学这个工具。而金融数学( f i n a n c i a lm a t h e m a t i c s ) ，又称数理金融学、数学金融 学、分析金融学，就是利用数学工具研究金融，进行数学建模、理论分析、数值 计算等定量分析，以求找到金融动内在规律并用以指导实践。金融数学也可以理 解为现代数学与计算技术在金融领域的应用，因此，金融数学是一门新兴的交叉 学科，发展很快，是目前十分活跃的前沿学科之一。 华中科技大学硕士学位论文 1 3m 蚰t e c a r l o 模拟 m o n t ec a r l o 方法，或称计算机随机模拟方法，是一种基于“随机数”的计算 方法。这一方法源于美国在第一次世界大战进研制原子弹的“曼哈顿计划”。该 计划的主持人之一、数学家冯诺伊曼用驰名世界的赌城一摩纳哥的m o n t e c a r l o 一来命名这种方法，为它蒙上了一层神秘色彩。 m o n t ec a r l o 方法的基本思想很早以前就被人们所发现和利用。早在1 7 世纪， 人们就知道用事件发生的“频率”来决定事件的“概率”。考虑平面上的一个边 长为l 的正方形及其内部的一个形状不规则的“图形”，如何求出这个“图形” 的面积昵? m o n t ec a r l o 方法是这样一种“随机化”的方法：向该正方形“随机” 地投掷n 个点落于“图形”内，则该“图形”的面积近似为m n 。1 9 世纪人们用 投针试验的方法来决定圆周率7 。本世纪4 0 年代电子计算机的出现特别是近年 来高速电子计算机的出现，使得用m o n t ec a r l o 方法在计算机上大量、快速地模拟 这样的试验成为可能。 可用民意测验来作一个不严格的比喻。民意测验的人不是征询每一个登记选 民的意见，而是通过对选民进行小规模的抽样调查来确定可能的优胜者。其基本 思想是一样的。但是科技计算中的问题比这要复杂得多，比如金融衍生产品如期 权的定价，当问题的维数( 即变量的个数) 不多于3 个时，传统的数值方法如二项 树方法和有限差分方法可以得到很好的结果，但当问题的维数高达数百甚至数千 时，传统的数值方法难以对付，其难度随维数的增加呈指数增长，这就是所谓的 “维数的灾难”( c u r s e o f _ d i m e n s i o n a l i t y ) ，m o n t e c a r l o 方法能很好地用来对付维 数的灾难，因为该方法的计算复杂性不依赖于维数。它的主要优点是简单而灵活， 可用来处理由多维w i e n e r 过程或者p o i s s o n 过程决定的任何随机模型。根据中心 1 极限定理，用该方法得到的估计值，其标准差数量级为 ( 其中n 为模拟次数) ， n 显然，要减小标准差，单凭增加模拟次数是不行的，因为这会提高计算成本。为 此科学家们提出了许多所谓的“方差缩减”技巧，如a n t i t h e t i cv a r i a b l e s ，c o n t r o l v a r i a b l e s ，m o m e n tm a t c h i n gm e t h o d 等 1 5 a 6 】 4 华中科技大学硕士学位论文 另一类形式与m o m ec a r l o 方法相似，但理论基础不同的方法：q u a s im o n t e c a r l o 近年来也获得迅速发展我国数学家华罗庚、王元提出的“华一王”方法即是 其中的一例。这种方法的基本思想是用确定性的超均匀分布序列( 数学上称为l o w d i s c r e p a n c ys e q u e n c e s ) 代替m o n t ec a r l o 方法中的“随机数”序列。对某些问题该 方法的实际速度一般可比m o n t ec a r l o 方法提高数百倍，并可计算精确度。 由于大多数期权价格不存在解析解，传统的数值方法如有限差分法，二项树 等被引入到了期权定价中，但是，这种方法由于受到状态变量个数( 即维数) 的限 制( 通常只能解决3 维以下的问题) 而不能得到广泛应用。自从b o y l e 1 7 】将模拟方法 引入到期权定价中以后，模拟方法在复杂的衍生证券定价中得到了越来越广泛的 关注( g e w e k e ( 1 9 9 6 ) 对经济学中的m c 方法作了详细的阐述) ，它的优点就在于不 会受到状态变量个数的限制。欧式期权的价格模拟相对简单，而要模拟具有早期 执行特征的美式期权价格至今仍然是一个富有挑战性的问题，b o s s a e r t s ( 1 9 8 9 ) 首先 将欧式期权的m c 算法修改并运用到了美式期权的价格模拟中，其后的科学家们 又对此作了新的研究，他们的研究成果大致可以分为两类，第一类包括 t i l l e y ( 1 9 9 3 ) ，b a r r a n q u a n d 3 1 3m a r t i n e a u ( 1 9 9 5 ) ，b r o a d i e $ ig l a s s e r m a n ( 1 9 9 7 a ，1 9 9 7 b ) ， r a y m a r 和z w e c h e r ( 1 9 9 7 ) ，c a r r i e r e ( 1 9 9 6 ) ，l o n g s t a f f 和s c h w a r t z ( 1 9 9 8 ) 等则把倒 向递归算法引入到数值模拟方法中，他们的思想是通过在每个执行时刻上比较持 续价值与立即执行价值的大小来做出最优决策的；l i 和z h a n g ( 1 9 9 6 ) ，g r a n t ，v o r a 和w e e k s ( 1 9 9 7 ) , 1 j 从另一个角度来处理美式期权的价格模拟，即用一系列的参数 来表示早期决策策略，然后在参数空间上求最大值，从而得到美式期权价格的近 似值。 模拟方法不仅仅适用于欧式期权和美式期权，它也适用于路径依赖期权如亚 洲期权等。其标的变量的动态方程，可以是m e r t o n ( 1 9 7 们，c o x 和r 0 3 s ( 1 9 7 6 ) 的扩散一跳过程，也可以是h e a t h j a r r o w 和m e r t o n ( 1 9 9 2 ) 中的非马尔可夫过程， 或h a r r i s o n 和p l i s k a ( 1 9 8 1 ) 的概化半鞅( g e n e r a l i z e ds e m i m a r t i n g l e ) 。从实用角度 看，模拟方法也可用以并行计算，这样在计算速度和效率上具有明显优势，而且 它还具有简单灵活的特点。 华中科技大学硕士学位论文 1 4 本文研究i 作介绍 本文主要研究几种期权的定价问题，其中：第一章，假设利率在期权的生命期 内不为常数，而是服从马尔可夫过程，在该假设前提下，对利率服从离散状态 离散时间和离散状态，连续时间的情形分别讨论了欧式期权的定价问题：第二章， 考虑在有税收的情形下，利用格林函数评价一类可缩减生产规模的研发项目，给 出最优投资闽值和项目价值的表达式，并结合例子分析有关因素对阈值的影响： 第三章，考虑研发产品具有生命周期，即产品价格不是一成不变，而是服从价格 递增价格衰减到最后产品退出市场的生命周期，此时的研发项目评价问题撮后 一章，利用m o n t ec a r l o 模拟方法对一些期权价格进行数值实验模拟。 6 华中科技大学硕士学位论文 2 利率服从马尔可夫过程时的期权定价 2 1 问题的提出 对于欧式期权和不分红的美式看涨期权，fb l a c k 和m s c l l o l e s1 9 7 3 年给出 了在一定前提条件下成立的定价公式：b l a c k s c h o l e s 公式【1 8 i9 1 ，后来的不少经济 学家修改了部分前提条件以使其符合现实中的实际情形，如文献 2 0 l 假定股票价 格的波动率随机变化而不是恒为常数，因为波动率往往是随着股票价格的变化而 变化。但大多数有关文献都假定利率在期权的生命期内为常数，而现实的情形往 往并非如此，实际上利率通常是不确定性变化的。因此，更符合实际的做法是假 定利率服从某个随机过程。对于利率的期限结构问题，也经过了很长一段时间的 研究。v a s i c e k 1 9 7 7 提出了一系列关于利率的重要研究成果。c o x ，i n g e r s o l l 和 r o s s 补充了一个均衡模型，但这些模型没能提供同无套利相一致的价值。h o 和 l e e 1 9 8 6 并入了利率的市场期限和波动结构，并假定利率服从正态分布。h e a t h ， j a r r o w 和m o r t o n 【1 9 9 2 对h o l e e 的模型作了延伸，并加入了远期利率的完整结构。 b l a c k ，d e r m a n 和t o y 1 9 9 0 t j z 无套利模型中的利率水平服从对数正态分布。h u l l 和w h t e ( h w ) 1 9 9 0 ，1 9 9 3 ，1 9 9 4 ，1 9 9 6 1 推广了h o 和l e e 的方法，在v a s i c e k 的 模型上加了一个均值返回利率。本文在b l a c k s c h o l e s 公式的其他假设条件不变， 而利率服从一个马尔可夫过程的前提下推导出一个不同的期权定价公式。 2 2 问题的描述及求解 2 2 1 随机利率下的折现因子 假定利率服从时间离散、状态离散的马尔可夫过程，某一期权的到期日为 t a t ( t 为自然数) ，初始时刻为0 。期权交易仅在t 个等间距f 的时间点上发生， 即在t 个离散点l ，2 ，r 上执行期权交易。在其中的任意一点t 上，利率，( f ) 取值 华中科技大学硕士学位论文 于这样一个有限集合：s = 轨，t ，r u ) ，其中n 为事先给定的自然数。利率水平 的每个取值称为一个状态。在a t 内，利率水平从前一个时刻f _ l 的状态转移 到f 时刻的状态0 的概率记为0 ( f ) ，由于马尔可夫性，此概率仅仅依赖于f 一1 时 刻的利率水平状态，而与r ( f ) 以前的状态无关，因此，我们得到一个马尔可夫链， 其转移概率如下： p r o b r ( t ) = 0 i r ( t 1 ) = i = p ( r ) ，f = 1 2 t 满足： p ( f ) o ，v i ，s 日( r ) = 1 ，v i s ，e s 不失一般性，假定此马尔可夫链是时齐次的，即岛( f ) = 岛，f = 1 2 t 。那么其 一步转移概率矩阵为 p = p t lp 1 2 p 2 1p 2 2 p l p 2 p p n z p q n 其步转移概率矩阵即为一步转移概率矩阵的次方p ”【2 “。 市场利率，( f ) 是随机变化的，假设f 时刻市场要求的风险溢价为 ( f ) ，那么在 ，时刻当利率处于状态时要求的一期回报率为p 胎) = r , a t + 五( f ) ，记 z ( t ) 兰e x p ( 一a 0 ) ) 于是一期回报率的折现因子表示如下 e x p ( 一p ，0 ) ) = e x p ( 一r , a t 一五( f ) ) = e x p ( 一r , a t ) e x p ( 一五( f ) ) = e x p ( - r , a t ) z ( t ) 这罩石( ，) k ( 1 ) ，石( 2 ) ，厅( r ) 2 2 1 。 对任意一种债券，假设x ( r ) = 0 ，( f ) ，x ：( r ) ，x 。( f ) ) 7 ( 丁表示向量的转置) 为其 8 华中科技大学硕士学位论文 在f 时刻的现金流。那么，该债券在卜1 时刻的现金流为 x ( t - 1 ) = x l ( t - 0 ，x 2 0 一1 ) ，工( r 一1 ) y 其中： 置o i ) = e ( e x p ( 一只( f ) ) ( f ) ) = p pe x p ( - p ，( r ) ) _ ( r ) j ；l = p f e x p ( - p , ( t ) ) ( e x p ( - p , ( t + i ) ) - p ，x f ( r + 1 ) ) j = il = l = d 。i e x p ( 一p a t ) ) p i 2 e x p ( - p ；( t ) ) - p 。e x p ( 一只( f ) ) x 而( f ) b 0 ) - x 。0 ) ) r 用矩阵表示为 x ( t l 、= p ile x p ( 一户l ( f ) ) p 2 1e x p ( 一p 2 ( f ) ) p t 2e x p ( 一一( ，) ) p 2 2e x p ( 一p 2 ( f ) ) p le x p ( 一p ( f ) ) p v 2e x p ( 一p ( f ) ) 定义矩阵f i ( t ) 击d i a g ( e x p ( - p ，( ，) ) ) ，i = 1 , 2 ，n d ( r ) 皇p - q ( f ) ，= 1 2 t 其中： 呜0 ) = 岛o ) q ( r )q ( r ) = e x p ( 一一( f ) ) ，r = l 2 t 那么d ( r ) 表示一期的折现状态价格矩阵。从而有 x ( t ) = d ( t + 1 ) x ( t + 1 ) ，r = 0 ，1 2 t 一1 记日( 7 1 ) 兰：d ( f ) 递归就得到： x ( o ) = d ( 1 ) x ( 1 ) = d ( 1 ) d ( 2 ) x ( 2 ) 一= d ( 1 ) d ( 2 ) d ( 3 ) d ( t ) x ( t ) = ( n id ( f ) 弦( 丁) = h ( 7 ) x ( r ) 由上面的递归过程知道，h ( t ) 表示r 期状态价格的折现矩阵，记 h ( t ) 兰h ( t ) - e ( 这里e = ( 1 , 1 ，1 ) 7 为维列向量，以下同) ，即是将未来r 期支付 9 啊啦 协州州；哦 m 胁 华中科技大学硕士学位论文 i 转化成当前价格的折现因子向量( 其中第行元素表示当前利率莱r 平等芋r 时所对 应的折现因子) 。 2 2 2 主要结论 对于任何以利率来贴现的衍生证券，在一定假设条件下，都可以用该方法来 修改原来的定价公式，以下给出几个基本的定价公式： 命题l ：假设利率水平r 0 ) 服从一个状态有限，时间离散的时齐次马尔可夫过程， 在f 时刻市场要求的风险溢价为五( 0 ，那么，对于一个到期目为t a t ，面值为1 单 位的零息票债券，其在0 时刻的价格为： 8 ( 0 ，r ) = h ( t ) 对于一个到期日为t a t ，面值为1 单位的付息票债券，每期付息金额为c ，其在 0 时刻的价格为： b ( o ，r ) = 五( 丁) + ：矗( f ) q 特别地，当c ；c 时，有 b ( o ，r ) = a ( r ) + c ： 命题2 ：在命题l 的假设下，对于一个到期日为t a t ，标的资产是到期日为丛f 的 零息债券，执行价格为e 的欧式看跌期权( r f ) n 满足： p 。( f ，f ) 0 ， p 口( f ，r ) = l ( 这里s 为状态集，f ，s ) 。 ! i m p g ( s , t m = 蕊0 ( 连续性姗 连续性条件说明系统刚进入状态i 就离开几乎是不可能的。 考虑三个时刻5 ，t ，r ( s t f ) ，则c h a p m a n k o l m o g r o v 方程如下： 华中科技大学硕士学位论文 p 口( s ，) = p n ( s ，r ) ( r ，f ) “e j 如果过程为时齐次的，则p f ( f ，f ) = 乃( f r ) a 可以证明，当f ，固定时岛( f ) 是t 的一致连续函数，且是可微的。因此对一个很小的非负f ，有 p f ( f ) = p f ( o ) + a t + o ( f ) = 吒+ 如r + o ( a t ) ( 1 ) 辅铲溉华。 称之为跳跃强度或者无穷小转移概率。 显然鸭= 溉笨竽 0 ( f 钏1 ” r 出 、 在( 1 ) 式两边对，求和( 假设状态集s 有限) p ，( 址) = 气+ ( ) f一9 、。_ 口、_ 7 i e sj e si e s 则锄= 0 e s 这样我们得到一个矩阵q = ( 劬) ，它具有如下特征 a 1 每一行元素之和为o ； b ) 对角线上元素非正； c ) 非对角线上元素非负。 称这样的矩阵为q 矩阵。 根据k o l m o g r o v f e l l e r 前进方程，我们有 p ( ，) = p ( t ) q ( 其中p ( f ) 的各元素为和。( t ) d t ) 满足初始条件：p ( o ) = 。) 咖+ i ) 从而有： p ( t ) = e 口= l i m ( 1 + 9 _ t 行) “ n 1 3 华中科技大学硕士学位论文 由于q 。0 ，适当选择n ( 如取m ) ，可以使得矩阵，+ q t m 的每个元素非负。 这样，对任意小的时间区间，都可以得到一个相应的转移概率矩阵令 昂( f ) = i + q t m ，则毛( r ) 每个元素非负且每行之和等于1 ，满足转移概率的定 义，因此有如下命题 命题3 对任意一个时间区间【o ，t 】，总可以找到一个足够大的自然数m ，使得 岛( r ) 每个元素非负，且该区间对应的转移概率p ( f ) 可近似地看作一步转移概率 为忌( f ) 的m 步转移概率。此时的期权就近似为利率满足到期日为a 仃& 、一步 转移概率为毛( r ) 时的状态有限、时间离散的期权，此时折现因子为h ( m t ) ，而 期权定价公式形式不变。 以上通过使用马尔可夫方法得到一种新的期权定价公式。该公式需要计算利 率的一步转移概率矩阵p 以及，时刻的风险溢价玎( f ) ，计算一步转移概率矩阵尸 有两种方法：一是通过已知的利率服从的某个随机过程来得到利率的条件概率密 度函数，从而可得到转移概率矩阵：一是直接通过历史数据，以频率代替概率得 到。风险溢价x ( t ) 的计算方法如下：假设有到期日分别为a t ，2 a t ，t a t 的各种债 券，求解以下t 个方程就可得到厅( r ) ，= l 2 t 。 b ( o ，k ) = ( 七) ，t = 1 ，2 ，丁 这里e ( o ，七) 是到期日为k a t ，面值为l 的零息票债券在0 时刻的价格。 近十几年来，越来越高深的统计技术被应用来估计利率期限结构的越来越复 杂的模型【2 4 】。但仍然有一些未被解决的关键问题，比如说短期利率水平是服从 c i r ，0 一u 或者h j m 模型甚至其他模型? 期限结构是线性还是非线性? 文献 2 5 给出了期限结构的多种动态模型。文献 2 6 应用局部线性化方法( 上三m ) 来近似非 线性化漂移。文献 2 7 1 对h u l la n dw h i t e 模型进行了研究。但利率水平的漂移到底 是线性的还是非线性的仍然是一个有争议的问题。本文使用的方法因为可从历史 华中科技大学硕士学位论文 数据中得到转移概率，从而可以避免这些问题。在实际中，也可利用马尔可夫链 的遍历性来预测股票价格的变化。 华中科技大学硕士学位论文 3 有税收时可缩减生产的r & d 项目评价 3 1 问题的提出 上一章讨论的是金融期权的定价问题，利用转移概率矩阵推导出了期权的价 格公式，在本章以及下一章要讨论的是实物期权的评价问题。随着实物期权方法 的广泛应用，结合随机微分方程的有关理论，大多数的r & d 项目的投资决策问 题可得到满意的解决。文献【2 8 研究了个风险中性下要取得期望价值最大化的 公司，在其产量固定而产品价格随机情形下，公司在什么情况下退出为最优的问 题。文献 2 9 考虑在产量，产品价格和单位成本固定而需求随机情形下的退出期 权评价问题。本章在文献 2 8 ，2 9 的基础上，利用格林函数方法和实物期权理论， 考虑有税收情形下，产品价格随机变动，而且公司在任何时刻可缩减生产规模的 k & d 项目评价问题，得到了公司投资该项目的最优阈值以及相应的项目价值，所 得到的结果比较符合实际。 3 2 模型与分析 考虑这样一个要取得期望价值最大化的公司：公司以固定产量9 生产，单位 产品运行成本为c ，从而得到的税前利润流为_ ，r ( x ) = ( x c ) q 。该利润流依赖于 一个随机的状态变量，即定义在完各概率空间( q ，p ， z 。，力上的价格x 0 ) ，f 0 ， 其动态方程如下： id x ( t ) = c t ( x ( t ) ) d t + 口( x ( f ) ) 如； 1 x ( o ) ：= x 式中，出是标准w e i n e r 过程增量，口( x ( f ) ) 和o - ( x ( t ) ) 分别表示价格的瞬态漂移率 和瞬态波动率。 华中科技大学硕士学位论文 假设该公司还可能在一段时间后由于产品的价格降低而选择缩减规模生产， 且不需要沉淀成本，缩减后产量恒为q ：( 0 。而按照原规模生产得到的 利润流可表示为如下形式： 石l ( x ) = a g ( x ) + 万2 ( x ) ( 2 ) 假设税率r ；c o n s t ，由于机器磨损等原因，有折l a m b 贴d ，则税后利润流为 石。- ( x ) = 厢。( x ) 一r ( z ，( x ) 一d ) = ( 1 一r ) 石，( z ) + f d ，v x r + ，i = 1 , 2 因此，扩张生产得到的税后净利润流函数石7 ( x ) = ( 1 一r ) 厅( x ) ，从而式( 2 ) 可表 示为 石1 ( 工) = 石7 ( 工) + 万72 ( z ) 在银行借贷方面，假设利息的一部分 支付税收，税前利率为r ，则税后无风险 利率为娜l ，7 = ( 1 一) r 显然，税后净利润流函数石7 ( x ) ，v x r + 满足如下条件 a ) 石( x ) c ( r + ) 且严格单调递增； b ) 一o o 丌7 ( o ) 0 ； c ) 厅7 0 ) = 0 有唯一有限的根x + r + ； d ) e r e x p ( 一r * s ) l a 石( 石) i 西 0 为常数。 定义微分算子 兰扣x ，鲁州x ，丢 那么利用动态规划方法( d p ) 或者相机权益方法( c c a ) ，可以得到项目价值增量所 满足的常微分方程 ( - r 7 ) a v ( x ) = 0 华中科技大学硕士学位论文 = = = = = = = = = = = = = = = = = 自2 = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = 通过求解该常微分方程，我们可得到如下两个基本解： 少( x ) ：( o ，) 一r + 且y ( 工) 0 妒( x ) ：( o ，o o ) 斗r + 且妒+ ( 工) 0 常微分方程【( 三一，) 明( x ) = 0 的所有解都可由这两个基本解张成。这时候的格林 函数也可以写为【3 们 g 如川= 牌：发渊翟： 式中，联x 0 为y 力，妒( x ) 的w r o n s k i 行列式，即 即，= 隰剁缈( 工，妒( 七月 命题4 ：分