（气象学专业论文）重力波非线性相互作用和暴雨.pdf

摘要 根据大气动力学原理， 采用多尺度摄动方法对中尺度动力学方程， 在 准 共振 条 件k , 十 k z + k , = o 和。 : 十 。 2 十 。 。 二 4 w ( 。 为 频率 偏离) 下， 用解析方法导得互相藕合的两组三波准共振相互作用方程组， 第一组为流 场三波准共振方程组，而特别第二组为温度场三波准共振相互作用方程 组。 利用第一组方程组求得流场三波准共振相互作用椭圆余弦波解和守恒 关系式，并估算出流场三波能量变化周期为1 0 小时左右。 对第二组温度场三波准共振方程组， 使用数值方法研究了 温度场三波 准共振相互作用随时间的演变规律，结果表明:( 1 ) 对不同的初始振幅， 随时间演变，三波共振相互作用出现明显的低频振荡周期，主要存在 4 小时、1 01 5 小时、2 5 小时及4 05 0 小时低频振荡周期，并有约4 0 分钟 周期叠加在三波振幅之上; ( 2 ) 三波共振相互作用低频振荡周期与初始扰 动振幅有很强的相关关系; ( 3 ) 对于相同的 初始扰动振幅， 随着波数的增 加， 低频振荡周期缩短， 三波逐渐变得不稳定， 三波之间较强的相互作用 时间缩短。 当水平方向波数增加， 垂直方向波数减小时， 三波低频振荡周 期增长。( 4 )流场三波能量 1 0 小时左右的周期变化与温度场低频周期有 很好的对应关系。 ( 5 ) 非线性重力波波一波相互作用有可能产生时间周期 更长的低频振荡，可用于解释持续性暴雨的成因。 关键词:准共振，重力波，非线性相互作用，低i fil 振荡，暴雨 ab s t r a c t b a s e d o n t h e d y n a m ic s e q u a t i o n s d e s c r i b i n g t h e a t m o s p h e r e , 认 e g r o u p s w aves t h r e e - wa v e r e s o n a n c ei n t e r a c t i o n c o u p l i n g e q u a t i o n s g a i n e d t w o o f g r a v i t y t h e q u a s i - r e s o n a n c e w a v e v e c t o r s : k , + k z + k 3 二 0 a n d ofat u ) , + 0 ) z + q ) 3 = o r s ( o c o a s d e v i a t i o n fr e q u e n c y ) . o n e o f t h e m i s s t r e a m l i n e f i e l d t h r e e - w a v e q u a s i - r e s o n a n c e e q u a t i o n a n d e s p e c i a l l y t h e o t h e r i n c l u d e s t h e t e m p e r a t u r e w a v e - w a v e i n t e r a c t i o n s . t h e s o l u t i o n o f t h e f i r s t g r o u p e q u a t i o n s m a y b e g iv e n e x p l i c i t l y a s e l l i p t i c f u n c t i o n s , a n d r e c e i v e s t h e c o n s e r v a t io n f o r m u l a a n d r o u g h e s t a b l i s h e s t h e e n e r g y p e r i o d o f a b o u t 1 0 h o u r s o f s t r e a ml i n e f i e l d . t h e n u m e r i c a l e x p e r i m e n t o f t h e th r e e - w a v e r e s o n a n c e i n t e r a c t io n i s d o n e u s e t h e s e c o n d g r o u p e q u a t i o n s , t h e r e s u l t s h o w s : ( 1 ) f o r t h e d i ff e r e n t i n i t i a l a m p l it u d e s , t h e o b v i o u s p e r i o d s o f l o w - f r e q u e n c y a p p e a r e d in t h e t h r e e - w a v e r e s o n a n c e i n t e r a c t io n w i t h t im e . t h e m a i n p e r i o d s o f l o w - fr e q u e n c y a r e 4 h , 1 0 - 1 5 h , 2 5 h a n d 4 0 - 5 0 h w i t h t h e p e r i o d o f 4 0 m in u t e s . ( 2 ) t h e l o w - f r e q u e n c y fl u c t u a t i o n p e r i o d s a n d t h e i n it ia l a m p l it u d e s h a v e c l o s e r e l a t i o n s h i p in t h e r e s o n a n c e i n t e r a c t i o n . ( 3 ) f o r t h e s a m e i n it i a l a m p l i t u d e s , th e p e r i o d s a r e b e c o m i n g s h o r t , t h e t h r e e w a v e s a r e g r a d u a l ly b e c o m i n g i n s t a b i l i t y , a n d t h e t im e o f s t r o n g i n t e r a c t i o n i s s h o rt i n g w i t h i n c r e a s i n g o f w a v e n u m b e r s . t h e p e r io d s o f l o w - fr e q u e n c y b e c o m e l o n g w h e n t h e h o r i z o n t a l w a v e n u m b e r s a r e i n c r e a s in g a n d t h e v e rt ic a l w a v e n u m b e r s a r e d e c r e a s i n g . ( 4 ) t h e e n e r g y p e r i o d o f s t r e a m l in e f i e l d a n d t h e t e m p e r a t u r e w a v e s h a v e c l o s e r e l a t i o n s h i p in t h e r e s o n a n c e in t e r a c t i o n . ( 5 ) n o n l in e a r g r a v i t y w a v e - w a v e in t e r a c t i o n s c o u l d l e a d t o t h e n e w w a v e s o f l o w - fr e q u e n c y a n d m a y b e t h e d y n a m ic s m e c h a n i s m t o e x p l a i n t h e g r e a t d i s a s t e r w e a t h e r s u c h a s s u s t a i n e d s t o r m r a i n f a l l . k e y w o r d s : q u a s i - r e s o n a n c e ,g r a v i t yn o n l i n e a r i n t e r a c t i o n , l o w - fr e q u e n c y fl u c t u a t i o n , s t o r m r a i n f a l l m 学位论文独创性声明 本人郑重声明: 1 、坚持以 “ 求实、创新”的科学精神从事研究工作。 2 、本论文是我个人在导师指导下进行的研究工作和取得的研 究成果 。 3 、本论文中除引文外，所有实验、数据和有关材料均是真实 的。 4 、本论文中除引文和致谢的内容外，不包含其他人或其它机 构己经发表或撰写过的研究成果。 5 、其他同志对本研究所做的贡献均已在论文中作了声明并表 示了谢意。、 作者签名: 日期: 学位论文使用授权声明 本人完全了解南京信息工程大学有关保留、使用学位论文 的规定，学校有权保留学位论文并向国家主管部门或其指定机 构送交论文的电子版和纸质版;有权将学位论文用于非赢利 目 的的少量复制并允许论文进入学校图书馆被查阅:有权将学位 论文的内容编入有关数据库进行检索;有权将学位论文的标题 和摘要汇编出版。保密的学位论文在解密后适用本规定。 作者签名: 日期: ;w - 沙0 0- t 否 重力波非线性相互作用和暴雨 第一章绪论 1 . 1 重力波与强对流天气 重 力 波 是 形 成 许 多 中 尺 度 天 气 现 象 的 重 要 因 素 o 。 很 早t e p p e r 2 就 认 为 锋 前 产 生的 强对流天气的 跑线是重力惯性波， r i e h l 3 也指出，台风中的螺旋雨带是 大气 中的 一类重力内 波。 它是中 尺度系统( 如台 风) 的主要波动，也是斜压调整过程中， 非地转风向 地转风适应，非热成风向热成风适应的主要机制4 ,5 。在 7 0年 代 ,b o s a r 6 ,f m 7 7 等 人 就 研究 过与 强 烈 天 气 有 关 联的 大 振幅 重 力 波系 统， u c c e l lin ie 给出了 一 个 有关 重 力波 与雷 暴之间因 果 关系的 详细实 例分析， 李 麦 村9 ,10 得出 重力 波在条件不稳定大气中可以是发动暴雨的一种机制，在理论上估计了 暴雨团移动的 速度和中高 低压的强度等。在实际的天气过程中， 如胞线、冷锋爆发冷涌、台风登 陆、低空急流等许多系统中均有中尺度重力波出现，它们与暴雨等强对流天气现象 有 着 密 切 的 关 系 p 4 z 1 . 2 理论及数值研究 1 . 2 . 1 理论研究 自 从1 9 6 0 年h i n e . 1 5 将所观测到的 不规则运动归功于重力波以 来， 人们对重力 波的观测和理论研究就没有停止过。大量观测和研究表明，重力波在中高层大气中 无处不在，重力波是中高层大气中 重要的 波动之一， 它的能量和动量的传播在中高 层大气与上、下层大气之间的藕合以及全球大气能量收支平衡中起着重要的作用 i 本1 6 1 由于强对流的形成机制非常复杂，实际观测的中尺度大气运动谱的形式需要由 非线性相互作用的理论提供物理解释。在正压大气中，如果扰动是无限小的，则描 述 扰动 变化 的 方 程是 线性的， 扰 动的 发生 发展 主 要从 环 境中 取 得能 量 【 ， 刀 。 但当 扰 动 的振幅是有限的，则描述其变化的方程是非线性的，此时，除了环境场的能量供给 之外， 不同 尺度的 扰动的相互作用， 便又成为 扰动本身发生发 展的 另一能量 来源p e l 特别是当波失与频率满足共振条件时，这一作用尤为重要。 对 于 大 气 波 动 共 振 相 互 作 用 ， 自 从f j o r to fp 首 先 研 究 以 来 ， l o n q u e t - h i g g i n s p lu m b 指出 ， 在有 界的刀 平面中 ， 当 扰 动 经向 波 数大于某一数值时，扰动也是不稳定的。他们的所谓不稳定是指振幅随时问指数增 长。显然，这种形式的解只能在很短的时段内成立，否则，当时间充分大时，能量 将无止境的 增长， 这不符 合实际的 物理过程。 为此， 伍荣 生2 a 从大气正压大气涡 度 方程出发，讨论了正压大气中不同尺度的波动发生共振时能量变化的特点，指出在 重力波非线性相互作用和暴雨 第一章绪论 1 . 1 重力波与强对流天气 重 力 波 是 形 成 许 多 中 尺 度 天 气 现 象 的 重 要 因 素 o 。 很 早t e p p e r 2 就 认 为 锋 前 产 生的 强对流天气的 跑线是重力惯性波， r i e h l 3 也指出，台风中的螺旋雨带是 大气 中的 一类重力内 波。 它是中 尺度系统( 如台 风) 的主要波动，也是斜压调整过程中， 非地转风向 地转风适应，非热成风向热成风适应的主要机制4 ,5 。在 7 0年 代 ,b o s a r 6 ,f m 7 7 等 人 就 研究 过与 强 烈 天 气 有 关 联的 大 振幅 重 力 波系 统， u c c e l lin ie 给出了 一 个 有关 重 力波 与雷 暴之间因 果 关系的 详细实 例分析， 李 麦 村9 ,10 得出 重力 波在条件不稳定大气中可以是发动暴雨的一种机制，在理论上估计了 暴雨团移动的 速度和中高 低压的强度等。在实际的天气过程中， 如胞线、冷锋爆发冷涌、台风登 陆、低空急流等许多系统中均有中尺度重力波出现，它们与暴雨等强对流天气现象 有 着 密 切 的 关 系 p 4 z 1 . 2 理论及数值研究 1 . 2 . 1 理论研究 自 从1 9 6 0 年h i n e . 1 5 将所观测到的 不规则运动归功于重力波以 来， 人们对重力 波的观测和理论研究就没有停止过。大量观测和研究表明，重力波在中高层大气中 无处不在，重力波是中高层大气中 重要的 波动之一， 它的能量和动量的传播在中高 层大气与上、下层大气之间的藕合以及全球大气能量收支平衡中起着重要的作用 i 本1 6 1 由于强对流的形成机制非常复杂，实际观测的中尺度大气运动谱的形式需要由 非线性相互作用的理论提供物理解释。在正压大气中，如果扰动是无限小的，则描 述 扰动 变化 的 方 程是 线性的， 扰 动的 发生 发展 主 要从 环 境中 取 得能 量 【 ， 刀 。 但当 扰 动 的振幅是有限的，则描述其变化的方程是非线性的，此时，除了环境场的能量供给 之外， 不同 尺度的 扰动的相互作用， 便又成为 扰动本身发生发 展的 另一能量 来源p e l 特别是当波失与频率满足共振条件时，这一作用尤为重要。 对 于 大 气 波 动 共 振 相 互 作 用 ， 自 从f j o r to fp 首 先 研 究 以 来 ， l o n q u e t - h i g g i n s p lu m b 指出 ， 在有 界的刀 平面中 ， 当 扰 动 经向 波 数大于某一数值时，扰动也是不稳定的。他们的所谓不稳定是指振幅随时问指数增 长。显然，这种形式的解只能在很短的时段内成立，否则，当时间充分大时，能量 将无止境的 增长， 这不符 合实际的 物理过程。 为此， 伍荣 生2 a 从大气正压大气涡 度 方程出发，讨论了正压大气中不同尺度的波动发生共振时能量变化的特点，指出在 重力披非线性相互作用和暴雨 非线性问题中，解的形式与初值具有非常密切的关系并求得共振方程椭圆函数解。 随 后， 李麦村2 4 ,x 5 研究了 吨线的非线性集中 过程， 指出 这种非线性 重力波的 振 幅较大， 在条件不稳定大气中可以形成不连续线- 跑线， 产生强大的 辐合和对流， 从而形成强风暴或暴雨。 y e h 和l i u 2 6 .z 8 利用弱非线性相互作用理论， 即 假定波振幅 不很大，任何扰动可以表达为由 非线性方程首次近似得到的线性简正模的叠加，弱 的非线性使这些模的振幅随时空缓慢变化，其变化规律受高一阶的非线性方程的控 制，研究了重力波之间的共振相互作用，讨论了随机重力波场的内传输过程，指出 三种共振相互作用机制，即诱导扩散、弹性散射和参量亚谐，并获得了重力波共振 相 互 作 用的 速 率。 k lo s te r m e y e r 2 8 -3 0 1和d u n k e rt o n 3 1 1考 察了 重力 波的 参 量 激 发问 题， 发现在大主波振幅情况下，参量不稳定性倾向于激发小垂直尺度并且频率约为主波 频率的一半的 次级波。 i n h e s t e r 3 x 研究了 非均匀层结中重力波波包的非线性相互作 用， 给出了 参量激发条件，进一步完善了 重力波动力学机制的研究。随后， d o n g 和y e h 3 3 利用弱非线性相 互作用理论分 析了 三维空间中波的非共振参量 激发， 预言 重力波和涡旋模的非共振相互作用。 基于g h i l3 4 1提出 的 共振 相 互作 用与 持 续性 和 持 续性阻 塞， 陆 维 松(3 5 1从 准地 转正 压涡 度 方 程出 发， 首 次 使 用 准 共 振 条 件k ， 十 戈十 戈= 0 和。 1 + 0 ) 2 + 0 ) 3 二 。 ( 。为频率偏离) ， 求得准共振三波振幅的解析解， 提出 正压大气波动准共振与中 低纬低频振荡的形成机制。 在中 尺度方面， 祝舟， 易 帆3 6 1 等人研究了中 高 层重力波 的相互作用问题，指出由于重力波振幅随高度指数增长，非线性构成了重力波动力 学的主要内容，这种相互作用使得能量在波谱中再分配，形成具有明显特征的中尺 度大气起伏谱，同时重力波的相互作用对大气环流和温度结构产生重要影响。由低 层大气中的 激发源产生的重力波，通常是以 波包的形式向上传播导致大气各层区之 间能量和动量的藕合。因此，研究重力波波包在传播过程中非线性相互作用，对于 确切理解a 力波能量传播性质的演变，解释实际的 观测现象 ( 如:持续性暴雨等) 具有重要的意义。 1 . 2 . 2 数值研究 关于重力波传播的理论研究，已 经取得了长足的发展。由于大气密度随高度增 加指数下降，向 上传播的 重力波在中 层的高度上会获得很大的扰动速度，非线性构 成了重力波动力学的重要内容，而使得采用解析的方法研究重力波的动力学特性十 分困难。 8 0 年代以来， 人们对重力波在中高层大气中的非线性传播进行了 数值模拟 3 7 3 8 1 . p r u s a 3 8 m 用非 弹 性 近 似 和s e m i- l a g r a n g i a n 方 法 模 拟了 二 维 等 温 、 可 压 大 气 情况下， 底部边界激发的高斯型波包在中高层大气中的传播和破碎过程，分析了不 同 尺度重力波波包的 破碎区域。 wa l t e r s h i e d 等13 9 采用两步l a x - w e n d r o f f 方法 模拟了 以单色波形式向上传播的重力波演化过程，其结果表明了非线性过程在重力波饱和 及随后破碎变成湍流的过程中起着十分重要的作用，他们的模拟结果支持了 l i n d z e n 4 1 的线性饱和理论。 重力披非线性相互作用和暴雨 非线性问题中，解的形式与初值具有非常密切的关系并求得共振方程椭圆函数解。 随 后， 李麦村2 4 ,x 5 研究了 吨线的非线性集中 过程， 指出 这种非线性 重力波的 振 幅较大， 在条件不稳定大气中可以形成不连续线- 跑线， 产生强大的 辐合和对流， 从而形成强风暴或暴雨。 y e h 和l i u 2 6 .z 8 利用弱非线性相互作用理论， 即 假定波振幅 不很大，任何扰动可以表达为由 非线性方程首次近似得到的线性简正模的叠加，弱 的非线性使这些模的振幅随时空缓慢变化，其变化规律受高一阶的非线性方程的控 制，研究了重力波之间的共振相互作用，讨论了随机重力波场的内传输过程，指出 三种共振相互作用机制，即诱导扩散、弹性散射和参量亚谐，并获得了重力波共振 相 互 作 用的 速 率。 k lo s te r m e y e r 2 8 -3 0 1和d u n k e rt o n 3 1 1考 察了 重力 波的 参 量 激 发问 题， 发现在大主波振幅情况下，参量不稳定性倾向于激发小垂直尺度并且频率约为主波 频率的一半的 次级波。 i n h e s t e r 3 x 研究了 非均匀层结中重力波波包的非线性相互作 用， 给出了 参量激发条件，进一步完善了 重力波动力学机制的研究。随后， d o n g 和y e h 3 3 利用弱非线性相 互作用理论分 析了 三维空间中波的非共振参量 激发， 预言 重力波和涡旋模的非共振相互作用。 基于g h i l3 4 1提出 的 共振 相 互作 用与 持 续性 和 持 续性阻 塞， 陆 维 松(3 5 1从 准地 转正 压涡 度 方 程出 发， 首 次 使 用 准 共 振 条 件k ， 十 戈十 戈= 0 和。 1 + 0 ) 2 + 0 ) 3 二 。 ( 。为频率偏离) ， 求得准共振三波振幅的解析解， 提出 正压大气波动准共振与中 低纬低频振荡的形成机制。 在中 尺度方面， 祝舟， 易 帆3 6 1 等人研究了中 高 层重力波 的相互作用问题，指出由于重力波振幅随高度指数增长，非线性构成了重力波动力 学的主要内容，这种相互作用使得能量在波谱中再分配，形成具有明显特征的中尺 度大气起伏谱，同时重力波的相互作用对大气环流和温度结构产生重要影响。由低 层大气中的 激发源产生的重力波，通常是以 波包的形式向上传播导致大气各层区之 间能量和动量的藕合。因此，研究重力波波包在传播过程中非线性相互作用，对于 确切理解a 力波能量传播性质的演变，解释实际的 观测现象 ( 如:持续性暴雨等) 具有重要的意义。 1 . 2 . 2 数值研究 关于重力波传播的理论研究，已 经取得了长足的发展。由于大气密度随高度增 加指数下降，向 上传播的 重力波在中 层的高度上会获得很大的扰动速度，非线性构 成了重力波动力学的重要内容，而使得采用解析的方法研究重力波的动力学特性十 分困难。 8 0 年代以来， 人们对重力波在中高层大气中的非线性传播进行了 数值模拟 3 7 3 8 1 . p r u s a 3 8 m 用非 弹 性 近 似 和s e m i- l a g r a n g i a n 方 法 模 拟了 二 维 等 温 、 可 压 大 气 情况下， 底部边界激发的高斯型波包在中高层大气中的传播和破碎过程，分析了不 同 尺度重力波波包的 破碎区域。 wa l t e r s h i e d 等13 9 采用两步l a x - w e n d r o f f 方法 模拟了 以单色波形式向上传播的重力波演化过程，其结果表明了非线性过程在重力波饱和 及随后破碎变成湍流的过程中起着十分重要的作用，他们的模拟结果支持了 l i n d z e n 4 1 的线性饱和理论。 重力波非线性相互作用和暴雨 张 绍东， 易 帆 4 1 ,4 2 对重 力波 波包 在无 耗散 大 气中 的 非 线性 传播 特性 进行了 数 值 研究，并将计算结果与线性重力波理论进行了定量比较，初步辨明了非线性对重力 波波包传播过 程的 影响。 2 0 0 1 年，王咏梅等4 3 ) 利用二维全隐欧拉格式对重力波在可 压、非等温大气中的非线性传播过程进行了数值模拟，结果表明，重力波的破碎是 对流 和小 尺 度 波动的 重 要 源。 2 0 0 2 年， 黄 春明 等 (n 采用 谱配 置方 法 建 立了 一 个中 层 大气扰动传播的全非线性动力学数值模型，利用该模型对具有高斯分布的波状温度 扰动在可压大气中的演变和传播过程进行了数值模拟。 所有的 研究结果表明，非线性是重力波动力学特性的重要组成。 对这方面的研 究己经取得了一些成果， 但由于其非线性特性， 研究难度也较大，尤其是中小尺度 大气重力波，还存在许多有待研究和解决的问题。 1 . 3 本文研究的内容 过去对中尺度重力波的研究，主要着重于重力波的演变，而对重力波的波一波 相互作用方面的研究甚少， 尤其是中小尺度重力波， 由于其较强的非线性相互作用， 研究难度也较大。观钡 ( 研究表明，实际大气中非线性重力波的相互作用有可能产生 时间周期更长的低频振荡，从而激发出 持续性暴雨等重大灾害性天气。因 此，研究 中尺度重力波的非线性相互作用过程是十分有意义的一项作。另一方面，在过去重 力波的理论研究中，对重力波在水平方向传播的研究较多，对重力波在垂直方向上 传播时非线性相互作用的 研究较少。鉴于上述原因本文主要研究三个方面的内容: 1 根据大气动力学原理， 利用b o u s s i n e s q 近似下二维非线性方程组求得 种新 形式的重力波非线性相互作用演化方程; 2 . 对演化方程的守恒量和周期解作定性的分析; 3 一采用数值的方法求解非线性重力波三波共振数值解，使用所得数值结果分析 三波共振时，重力波能量和周期的演变规律。 重力波非线性相互作用和暴雨 张 绍东， 易 帆 4 1 ,4 2 对重 力波 波包 在无 耗散 大 气中 的 非 线性 传播 特性 进行了 数 值 研究，并将计算结果与线性重力波理论进行了定量比较，初步辨明了非线性对重力 波波包传播过 程的 影响。 2 0 0 1 年，王咏梅等4 3 ) 利用二维全隐欧拉格式对重力波在可 压、非等温大气中的非线性传播过程进行了数值模拟，结果表明，重力波的破碎是 对流 和小 尺 度 波动的 重 要 源。 2 0 0 2 年， 黄 春明 等 (n 采用 谱配 置方 法 建 立了 一 个中 层 大气扰动传播的全非线性动力学数值模型，利用该模型对具有高斯分布的波状温度 扰动在可压大气中的演变和传播过程进行了数值模拟。 所有的 研究结果表明，非线性是重力波动力学特性的重要组成。 对这方面的研 究己经取得了一些成果， 但由于其非线性特性， 研究难度也较大，尤其是中小尺度 大气重力波，还存在许多有待研究和解决的问题。 1 . 3 本文研究的内容 过去对中尺度重力波的研究，主要着重于重力波的演变，而对重力波的波一波 相互作用方面的研究甚少， 尤其是中小尺度重力波， 由于其较强的非线性相互作用， 研究难度也较大。观钡 ( 研究表明，实际大气中非线性重力波的相互作用有可能产生 时间周期更长的低频振荡，从而激发出 持续性暴雨等重大灾害性天气。因 此，研究 中尺度重力波的非线性相互作用过程是十分有意义的一项作。另一方面，在过去重 力波的理论研究中，对重力波在水平方向传播的研究较多，对重力波在垂直方向上 传播时非线性相互作用的 研究较少。鉴于上述原因本文主要研究三个方面的内容: 1 根据大气动力学原理， 利用b o u s s i n e s q 近似下二维非线性方程组求得 种新 形式的重力波非线性相互作用演化方程; 2 . 对演化方程的守恒量和周期解作定性的分析; 3 一采用数值的方法求解非线性重力波三波共振数值解，使用所得数值结果分析 三波共振时，重力波能量和周期的演变规律。 重力波非线性相互作用和暴雨 第二章非线性重力波相互作用数学模型 2 . 1 引言 重 力 波 与 很 多 中 尺 度 天 气 现 象 有 着 密 切 的 联 系 。 t e p p 尹认 为 锋 前 产 生 的 强 对 流 天气 的 陀 线是 重力 惯性 波 r i e h l 3 1也 指出 ， 台 风中 的 螺 旋雨带是 大气中 的 一 类 重 力内 波。 它是中尺度系统( 如台风) 的 主要波动，也是 斜压调整过程中， 非地转风向 地转风 适 应， 非 热 成 风向 热成 风 适应的 主要 机制4 ,5 1 对 于 大 气 波 动 共 振 相 互 作 用， 自 从f j o rt o ft 9 1 首 先 研 究 以 来 ， l o n q u e t - h ig g in s a v 29+ u一 。 a x a i r a x = - ) 二 。 一 y b j (t ) e x p (io j ) + b l (t ) ,. p (一 ，。 ， ) ( 2 . 1 1 a , b ) 式中: j = 1 b i = k , x + n j z 一 。 i t 将上式代入( 2 . 1 0 ) 式，可得: 。，一 、 lu + vldrk ) ( 2 . 1 2 ) 式 中 k z 一 k j + n , k f , o f 分 别 表 示 第/ 个 波 的 : 方 向 波 数 和 ， 方 向 波 数 。 将 ( 2 . 1 l a , b )代入 ( 2 . 8 )式右端，得: ( 2 .8 a )右 一具、 ， 。 。 一 ， (w . , o 2.p . ) 01 = 3= y k ,嚼 exp (i0， ， daex p( 一脚 1exp(ioj)+ d t exp(-i8_i)j+ l n i a l ex p (i9 , ) 一 a ; 。 二 (一 e,)- y k jk j a l ex p (ib i) 一 。 : ex p (一 。 ， )- y k j a j ex p (io , ) 一 。 ; e x p (一 ，o a - y k j n ila i e x p (io , ) 一 。 : e x p (一 ，e , ) ( 2 .8 b ) 右 a 二一 下-, r 。 一j l (p o 兀 。 ) 口1 r , f d b , d b 刁 = 去方e x p (id j ， 十 方e x p (- io j ) 十 重力波非线性相互作用和暴雨 y k j a ， e x p (io , ) 一 。 ; e x p (一 ，a a x 之 n , b . e x p (i b ;) 一 ex p (一 ，。 ，)- 艺 n , a , 二 (ie i ) 一 。 ; 。 二 (一 ，b , ) x y k , b, ex p (i8 j) 一 ex p (一 ，e ,) 消去久期项，可得: = c a ,a 二 a 3 e m . = c a z a , a , e 0 - = c a , a , a , e 0 - ( 2 . 1 3 a , b , c ) c la c (a ; b ; 一 。 入 /o fe uy b 7 j b , 一 。 3 6 妙ou ( 2 . 1 4 a , b , c c (a , b ; 一 二 沉 l e -b 2 f 必-dtdbz一dt残-dt ( 2 . 1 3 a , b , c ) 式为通常的三波准共振方程组，与( 2 . 1 3 a , b , c ) 和 ( 2 . 1 4 a , b , c ) 式呈复共辘的方程已经略去。 式中: = k . n z 一 棍 n = k ,n 3 一 k , n , = k z n ， 一 k , n z ( 2 . 1 5 ) c , =c 2=乌 =c ( k zz 一 k ; ) 1 k 2 ( k 23 一 k z ) 扭x ( k 2 一 k i ) i k 3 ( 2 . 1 6 ) 一一=- 卜恤队 重力波非线性相互作用和暴雨 在求解 ( 2 . 1 3 ) . ( 2 . 1 4 ) 式时， 应用了 准共振条件: k , + k z + 凡= 0 c ) 1 + 。 2 + 。 、 = 。 ( 2 . 1 7 ) 厂!、ik 当 b ) =0 时， ( 2 . 1 3 a , b , c ) 式即为通常三波共振基本方程组。 ( 2 . 1 4 a , b , c ) 式 为本文得到的一种新形式的重力波相互作用方程组。 2 . 4 守恒关系式和低频椭圆余弦波解 i v a l = a .e n ， a , = 1 a ; i 将 ( 2 . 1 8 )式代入 ( 2 . 1 3 a , b , c )式， ( 2 . 1 8) c a , ( 人 e in , ) ( 鸡 e ra s , e ta c a t ( 鸡 e ra ) . ( 鸡 e ra , ) , ere c a a ( 凡 e ra , ) . ( a l e ra , ) , e ro . e 0 ， 十 试e n d rj , dt = c a ,a z 凡. e i ( n , m ) , e re . e1, 十 1a zen, d7 72d t “” + ernn dn 3d t = c a , a ,a , . e - r c a v l ) . era = c a , 凡鸿 e - r r n % ) , e i r 两 边同 时 除以e m ， e l z ，e +rn e - ; r n n , + a , l , e re a v 山山 伍沽 e巴 =cazals 汽一dt机一dt饥一dt 试姚试 嚼队溉厉 由实部得: 重力波非线性相互作用和暴雨 在求解 ( 2 . 1 3 ) . ( 2 . 1 4 ) 式时， 应用了 准共振条件: k , + k z + 凡= 0 c ) 1 + 。 2 + 。 、 = 。 ( 2 . 1 7 ) 厂!、ik 当 b ) =0 时， ( 2 . 1 3 a , b , c ) 式即为通常三波共振基本方程组。 ( 2 . 1 4 a , b , c ) 式 为本文得到的一种新形式的重力波相互作用方程组。 2 . 4 守恒关系式和低频椭圆余弦波解 i v a l = a .e n ， a , = 1 a ; i 将 ( 2 . 1 8 )式代入 ( 2 . 1 3 a , b , c )式， ( 2 . 1 8) c a , ( 人 e in , ) ( 鸡 e ra s , e ta c a t ( 鸡 e ra ) . ( 鸡 e ra , ) , ere c a a ( 凡 e ra , ) . ( a l e ra , ) , e ro . e 0 ， 十 试e n d rj , dt = c a ,a z 凡. e i ( n , m ) , e re . e1, 十 1a zen, d7 72d t “” + ernn dn 3d t = c a , a ,a , . e - r c a v l ) . era = c a , 凡鸿 e - r r n % ) , e i r 两 边同 时 除以e m ， e l z ，e +rn e - ; r n n , + a , l , e re a v 山山 伍沽 e巴 =cazals 汽一dt机一dt饥一dt 试姚试 嚼队溉厉 由实部得: 重力波非线性相互作用和暴雨 c a , 鸿鸡c o s 1 l c a t 减凡c o s 7 7 ( 2 . 1 9 a , b , c ) c a 3 人a , c o w l 一- 漂应阿险 其 中 77 _ l7 i + ， 2 + 77 ， 一 a ) t 由虚部得: 内i a d t = - c a , 凡a 3 s i n 17 凡 _d )zd t a d rl,3 d t =- c a t 鸿凡s i n r l( 2 . 2 0 a , b , c ) = - c a , 城鸿s i n i l 由以上三式可得: 用 利 叮 -m s 、.lj d ，d 一 co t ) 万0 7 , + 12 + t?， 一 。 ) = 一d t 一 c a ,a 2 a 3 a , a , “ a十 a z 十 a 3 7 = e l 可得: 而 。 - 二 ，=一一c a, a, a dt e ( 2 . 2 1 ) 刀 .m 行含 、lweesjj r a , a , a , ( a 十 a z 十 a 3 将 鲜鸿， 心凡， k 3 儿分 别 乘( 2 . 1 9 a , b , 。 ) ， 相 加 得 : d (k 2a 12d t 十 k 2 + 心 a 22 a 2 + k = 0( 2 . 2 2 ) 将 k , 鸿， 心a 2 ， 心凡分 别 乘( 2 . 1 9 a , b , c ) ， 相 加 得 : 兰( k ,0 a ,2 dt + k 2 a 2 + k ; a ; ) 一 。( 2 . 2 3 ) 令 : 鲜考+ 心考+ 心考一 k ; a i ( 0 ) + 心咐( 0 ) + 心可 ( 0 ) ( 2 . 2 4 ) k 1 考+ 对考+ 川考= k考( 0 ) + 心考( 0 ) + 心考( 0 ) ( 2 . 2 5 ) 其中 再( 0 ) 表 示再在t = 0 时 刻 的 值 。 f j o r t o f t 与l o n q u e t - h i g g i n s 及g i l l 先 后 都 推 得( 2 . 2 4 ) , ( 2 . 2 5 ) 两 式 ， 重力波非线性相互作用和暴雨 这就是共振问 题的 两个基本关系 式，利 用这两式可以 求得m a n l e y - r o w e 关系式， 即 w ( t ) 一 1 a 一 a . (0 ) = 与a 2 一 a , ( 0 ) 一 1 a 3 一 a , (0 ) ( 2 . 2 6 ) a , a 2 a 3 上式说明了共振时三个波动能量之间的转换关系，即:中波的能量增长与长波 和短波相反。换句话说，中间波动的能量同时传给长波和短波，反过来，长波和短 波的能量又会同时传给中波。 由 ( 2 . 2 6 )式可以得到: d w 1 d a ? d t a , d t ( 2 . 2 7) ( 2 . 1 9 a )式，整理可得: d a ? - = l c a , a , a 2 a 3 c o s ? 7 al 代入 ( 2 . 2 7 )式 ，则 丝 = 2 c a a , a , c o s n d厂 ( 2 . 2 8) 将 ( 2 . 1 9 a , b , c )代入 ( 2 . 1 9 d )， 得: d ry _ 。 _ _ _r 1 l a , . 兀二 =一一u u i r - , - t a t又 妈 a la z 竺十 上 竺 d t 凡 d t 即， ， a a _ _ _ _d o_ 伪 2 月， w s, r 下二 二= al 一 鸿 鸡 鸿c o s 个 八cd 厂 d a , . d 4 , . d 4 , 、 s i n ? ? a 2 a 3十a , a 3 下公 t a a =! 又a l a t a l了 品 (a ,a za sin t7) = o ) 一 八凡凡 c o wl e ( 2 . 2 9 ) 利用 ( 2 . 1 9 a , b , c ) 式， 消 去c o s h， d_ m ( a , a z a 3 s - 1 7 ) = at 八0) 2 e c a , 对t积分，得: a , 凡a 3 s i n 7 7 = 。 a j 2 e c a . +a 了 ( 2 . 3 0 ) 式中m 为对时间7的积分常数， ( 2 . 3 0 ) 式中 任取j = 1 , 2 , 3 之一。 重力波非线性相互作用和暴雨 将 ( 2 . 3 0 )式代入 ( 2 . 2 8 )式: 丝= 土 2 以 a , a , 了 1 - s 血 ， 。 dt 一 士 2 c a ?a ,、 一 干m 一 、 . l 一 l 2 e 2 6 )式得: 考= a , w + 考( 0 ) 考= a 2 w十 考( 0 ) a ; = a 3 w + a ; ( 0 ) = t 2 c a , w+ a i ( 0 ) a 2 w+ a z ( 0 ) a 3 r , + 考( 0 ) l - im 一 粤 乙e . (a ) 生 塑习 12v2 ( 2 . 3 1 ) c a r 即 r dw丫 十 。 (w ) = 0 d 2) ( 2 . 3 2 ) g ( w ) = - 2 c 2 a ,w + 考( 0 ) a 2 w + 咐( 0 ) l a 3 w + 考( 0 ) 7 - m 一 粤 ge (a jw - a , (0 )2) c a t = 一 2 c ，二 仲 ， + d ,w 2 + d ,w + d 3 ) ( 2 . 3 3 ) :. 中中 式其 m = a ,a 2 a 3 _a 2 ( 0 ) a ; ( 0 ) 口1 =一+ 一+考( 0 ) 1 ( a co ) 2 a,a 2a3 a , m 4 e z c z 1 2 重力波非线性相互作用和暴雨 d z =a ; ( 0 ) 4 ( 0 ) +