（运筹学与控制论专业论文）终端受限的线性非二次最优控制问题.pdf

摘要 l l l 本文研究一类( 输出) 终端爱限的线性非二次最优控制阐题我们在系统输出 嚣控，懊麓籀檬是藏鞍于辕凄冬燕鬟豢数嚣泛薅置褒一定褴度主哥戳不定譬条捧 下用一刿终端不受限( 因而易于求解) 的线性非二次煅优控制问题作为该终端受限 润题懿遗镞，建变莲缀强戆牧敛馕缤暴运儆海题熬爨筑控裁垂鼗) 舞与最谯篷 数列分别一致收敛与收敛到原问题的最忧控制( 函数) 和最优僦 关濑词：避忧控制，线性一非二次。终端受限 a b s t r a c t t h i sp a p e rs t u d i e sa l i n e a r - n o n q u a d r a t i co p t i m a l c o n t r o lp r o b l e mw i t hc o n s t r a i n e d ( o u t p u t ) t e r m i n a l u n d e rt h ec o n d i t i o n st h a tt h es y s t e mi so u t p u tc o n t r o l l a b l e ，t h ep e r - f o r m a n c ei n d e x ( i saf u n c t i o n a lw h i c hd e p e n d so nt h eo u t p u ta n dc o n t r o lf u n c t i o n s a n d ) i sa l l o w e dt ob ei n d e f i n i t et os o m ee x t e n t ，e t c ，w ea p p r o x i m a t et h et e r m i n a lc o n s t r a i n e dp r o b l e mb yas e r i e so f l i n e a r n o n q u a d r a t i co p t i m a lc o n t r o lp r o b l e m sw i t h o u t t e r m i n a lc o n s t r a i n t s ( w h i c hi sm u c he a s i e rt os o l v e ) a n de s t a b l i s har a t h e rs t r o n g c o n v e r g e n c er e s u l t t h eo p t i m a l c o n t r o lf u n c t i o n so ft h ea p p r o x i m a t ep r o b l e m su n i - f o r m l yc o n v e r g et ot h eo p t i m a lc o n t r o lf u n c t i o no ft h eo r i g i n a lt e r m i n a lc o n s t r a i n e d p r o b l e ma n dt h eo p t i m a lv a l u e so ft h ea p p r o x i m a t ep r o b l e m s ( a l s o ) c o n v e r g et ot h e o p t i m a lv a l u eo ft h eo r i g i n a lp r o b l e m k e y w o r d s ：o p t i m a lc o n t r o l ；l i n e a r n o n q u a d r a t i e ；t e r m i n a lc o n s t r a i n e d 1 阈题与主要缝暴 文f l 】瓣终溃不受隈酶缭攮一 # 二汰最键控裁阕怒撵了棱逛透鬻秘溪究，文i 2 j 对 带寿终端不等式( 状态 终寨黪努l 经# 二次簸我控溅耀惩，农器统完垒耱控，榷笺掺 镓燕菝赣予淡态与控澍缀数兹泛丞强) 为定筹条串下震一燹憋璇不受瀑霞穗晷予 求解) 的线憔一非二次最伉控制问题作为原终端受约求同题的近似，诞明了：近似问 题的最优控制( 函数) 列砖最傀值数列龄别一致收敛与收敛到原阀题黪最优搜制( 蘧 数器最筑瀵。本文戆器黪是攘广文缓懿终袋至系绫浚窭麓捺，羧戆掺稼f 棰应缝是 依赖予输出筒控制函数的泛函鼠) 在一定程度上可以不定( 约柬条件榴应地缎农输出 终端上) 静爨簸谤形 设 ( h 1 ) t o ，t 1 r 1 ，t 。t l x 0 r n ； ( 露j ；奠一3 甚c ( ，赴j ，r a 8 “) ，b ，毫0 淞， ，；轳”8 ) ， ，- c ( k o ，t i ，较“) ，c 嚣。“，d r 。； ( 3 )马( ) 麟c 2 ( r r1 ) ，毋( - ) ：r 叶r 1 是凸函数，j = 1 ，自； ( 啜jq c 2 ( ，乱 掰，r i ) ；最 t g e ，是 ， 妒。“ 豆 罩如 0 使v t f t o , t i j ，冗站下m r ( 辞岛晶，张( ) c 2 ( r f ，r 1 ) 记材嚣2 ( 奴t l ；r ” ，考虑壹线锼整赣| 蓉统 i 芋翌= a ( 茹( 0 ，缸 ) ) 十b ( o 就0 ) + i ( o ，8 e t p o ，t 1 ， x ( t o ，钍( t ) ) = 搿o ， 萝 ，越( 。；：。芏擘，程( ) ) + d ，若海，t l j ， ( 1 ) 妨( ( t 1 ，斟( ) ) ) o ，j = 1 ，奄 与菲二次淫畿撩掭 ，( 钍) ) ：= f nf 国( 岛掣( ，牡( ) 十；“( ) tr ( 0u ( 0ld 亡+ 张，妇( 亡。，瓤( ) ) ) ( 2 ) j 如 构成的线性一非二次最优控制问题： ( p )求也( ) 阮d ：= ( ) 1 1 i 岛( 可( t l ，乱( ) ) ) s0 ，j = 1 ，女)使得 2 j ( 训) = 。( m 姚i n j ( u ( ) ) ； ( 3 ) 并对任意自然数，考虑线性控制系统 出生d 吐t 业= a ( f ) 卫( t ，“( ) ) + 口( ) u ( t ) + ，( t ) ，血e t 如，t l 】， 。( t o ，u ( ) ) = z o ， ( 4 ) 口( t ，钍( ) ) = cz ( t ，u ( ) ) + d ，t 【t o ，t 1 与非二次性能指标 j n ( u ( ) ) ：= 昧【q ( t ，v ( t ，“( - ) ) ) + 札( ) 7r ( t ) u ( t ) 】d t + w ( y ( t 1 ，牡( ) ) ) 十n 冬lg ( e j ( ( t 1 ，u ( ) ) ) ) ( 上式中， 卅卜：暑 p 是一个大于1 的正整数) 构成的终端无约束线性一非二次最优控制问题 ( p )求砬( ) “使得 如( 也_ ( ) ) - 。m ( ) i 刚n 山( 札( ) ) - 为叙述本文的主要结果，首先，我们需要定义一些算子记 爿：= l 2 ( t o ，t 1 ；r “) ，y ：= l 2 ( t o ，t l ；r j ) ； 记线性常微分方程 f ! 秘= a ( t ) z ( t ) ，。et t 。 ， lz ( t o ) ：厶 的解为磊( ) ( 则易舞玎v t ( t o ，t 1 ，z o ( t ) 可逆) ，令 g ( t ，s ) ：= 磊( t ) 磊( s ) ，v t ，s f o o ，t 1 壬慧欢定g ( ) c ( t o ，t ，孓鼯，定义算子袁，b 一，c 一，f ，p l 与露。 警1 ) ) 魏下： 3 豆： “峙列，钍( - ) 五( ) 乜( ，) ，v 铭( t ) l y ； 雪： “呻z ，“( - ) 叶b ( ) “( ) ，l ( 7 x ； 0 ： z 甘， 茹) 一c - ) ，v x ( ，) 爿； ( 1 0 ) r ： z 啼z ， z ( ) 丘g ( - ，下) z p ) d , r ，v 茁( ) z ； r 1 ： z - - - + r “，搿( ) 啼毒g ( h ，f ) z ( r ) d r ，v x ( ) z ； 委”( t ) ) ：，呻y ， z ( t ) - ( 象 ) t ，琴( 专弦- ) ，v z ( ) 弘 其次我们需要如下荚于系统( 4 ) 的输出能控性定义； 定义1称( 4 ) 输出能控，若v z l r 2 ，j 缸( ) “能得 y ( h ，程( + ) ) = z l( 1 1 ) ( 在本文第2 节孛我们将证骤：系统( 4 】输爨娆控奄= 霍：一8 ( 甓g ( t l ，t j b ( 丑丫 g m ，) 7 捌c 下正定所以，定义1 有一个相对说来较易验涯的等价定义：对称矩陴 圣越定) 本文的主要结果是这样两个定域： 定瑾盖设 蕊) 一羔国残立，o 识并浚- - 3 5 0 捷褥 的m 1 ) ：= 厦艮十豆p 移歌弘( - ) ) o r + e 矿帮( z 1 ) o r t j 雪 。、 6 毛，vg ( ) g ( t 1 】，r 2 ) ，z 1 刚 粥f p ) 魏蕞统控裁存在难一。 迮理2设脬1 ) 一( 敞) 成立，扫芒划f 忍( 彩o ，j 一1 ，k 破设系统 ( 4 ) 输出能控；并设置6 0 使得( 1 2 ) 成立( 劂( p ) 媳最优控制存糕唯一，鼠对任意 4 彝然数 ( p n ) 的最优控制存在噍一) ，记( p ) 的最优控制为畦( ) ，( p n ) 的最优控制势 旌_ ( ) ，n 一1 ，2 ，受0 娃( ) ，袁) c ( t o ，赴】，r ”) ，= 1 ，2 ，( 1 3 ) 鼠 il i f 嚣j + 。m a x t 。s 。! l 矗( 0 ) 矗t ) j = 0 ， 【1 4 j 【l i m n 。o 。氏( 矗( ) ) = ，( 砬( ) ) 文( 2 】讨论了( ( 胃，) 一( 甄) 成立，l n ，c 一厶，d = o ，) ( ) ：盼_ r 1 是 凸函数， v t t 。，t l 】，q ( ，) ：盼r 。是凸麟数( 当性能指标中的彬与q ) 满足诧条件时，称以i ) 为窟) 和系统完全能控的特殊情形本文的上述定邂1 2 怒文 【2 】的主要结果的肖明显意义的推广。 2 预备知识 l l 理1系统4 ) 辏穗戆控懿态要条镣是短端圣歪是。 证必要性：设系统( 4 ) 输出能控，则对 敞= e 【g 强粕+ 石1 g ( 气r ) 盼) 到+ d 托 ( 1 5 ) ( 上式争如= ( 0 ，0 ，l ，0 ，o ) 下瘁，其中第i 个分蟹为1 ) ，j 珏i ( ) “使得 婊= y ( t l ，磁( ，) ) = g 鬈( o l ，毽( ) ；4 - d ( 1 6 ) = g g ( t 1 ，t o ) x o + 露g ( t l ，r ) b ( r ) 地( r ) 十，( r ) 】d r ，+ d ， i = l ，l e 产c f g ( h ，r ) b ( _ r ) u i ( t ) d r ，i = 1 ，z ( 1 7 ) j o 芬窿 t ：秽f “g ( l ，r ) 君( r ) ( 孔，( r ) ，m ( r ) ) d 7 ( 1 8 ) je o 这时若有0 z o r 使得 o ：2 丁皿如= f f l lb ( t ) t g ( 札t ) 7 c t z o1 2 d t ， jc 0 则 v t 【f o ，tt l 】，b ( t ) 1 g ( t 1 ，t ) t c t z o = 0 上式等价于 v t t o ，t 1 ，z ：c g ( t l ，t ) b ( t ) = 0 再注意到( 1 8 ) ，我们有： z g = 订c 以t 。lg ( t l ，7 ) b ( 丁) ( u - ( r ) ，m ( r ) ) d r = 珐布cg ( t l ，r ) b ( r ) ( 牡l ( 丁) ，让c ( 丁) ) d r = 0 ， 这与z o 0 的反证假设矛盾i 故此时皿正定 充分性：设对称矩阵皿正定，v z l r 2 ，取 乱( ) = b ( ) tg ( t l ，) tc t 雪z l c 【a ( t 1 ，t o ) x o + 启g ( t l ，r ) f ( r ) d r 】- d ) ， 则 c 詹g ( t l ，t ) b ( t ) 钍( t ) d t = c 偿g ( t l ，t ) b ( t ) 日( t ) 丁g ( t 1 ，t ) td t 】c t 皿一1 z 1 一c 【g ( t l ，t o ) x o + 詹a ( t i ，7 ) ，( 7 _ ) d r 】一d ) = z l c 【g ( t l ，t o ) z o + j 奢g 0 1 ，r ) f ( r ) d r 一d = = o z 1 = c 。( t l ，u ( ) ) + d = y ( h ，让( ) ) 故若正定，则( 4 ) 输出能控 引理2 ( b a n a c h - s a k s 定理) 设( ( ) ) “与t o 。( - ) “适合 v v ( ) “，。1 + i m 。，i “u ( t ) 7 让p ( t ) d t ：f “u o ) tu 。( t ) d t ) “， p + j 幻u ( 。) l 让p ( 。)= z 。u o ) 。u ( 。) 5 ( 1 9 ) ( 2 0 ) ( 2 1 ) ( 2 2 ) ( 2 3 ) ( 2 4 ) ( 2 5 ) ( 2 6 ) 6 则j ( ) ) 的子列 u 。，( ) ) 使得 1q 舰峙善u 一- ( ) 一u 删i “2 o ( 2 7 ) 把最优控制理论中最重要的基本原理之一p o n t r y a 舀n 最大值原理应用于( p n ) 即可得出： 引理3对任意给定的自然数，设妇( - ) 是( p ) 的最优控制。则了妒( ) c 1 ( ，t 1 ，r “) 使得 也( ) = r ( ) 一1b ( ) t 移( )( 2 8 ) 和 成立，上式中 1 3 1 器盐= 一a ( t ) 7 西( t ) + c t ( 筹) ( t ，口_ ( t ) ) 下，t t o ，t l 】， 如( t ) = 一c t ( 等) ( t t ) ) t ( 2 9 ) + 名th ( e 9 n ( t - ) ) ) ( 等) ( 如( t ) ) t 】 3 定理l 的证明 鼬( ) ：= c 圣( ，也) + d fr 2 p ，r 0 h ( t ) ：= 【0 ， r 。 ( 4 2 ) ( 4 3 ) 1 0 讹( ) ，口( ，) 纠，u ( ) 0 ，j ( u + ) ：r 1 叫r 1 是严格凸的 = = s v a ( 0 ，1 ) ，乱 ( ) “，i = 1 ，2 ，u l ( - ) 札2 ( ，) ， j ( a u l ( ) + ( 1 3 ) u 2 ( ”= j ( u 2 ( ) + 【( 1 一a ) o + a 1 】( u 1 ( ) 一札2 ( ) ” ( 4 4 ) ( 1 一a ) j ( u 2 ( ) + o ( u l ( ) 一让2 ( ) ) ) + aj ( 让2 ( ) + l ( u l ( ) 一让2 ( ) ) ) = ( 1 一a ) j ( u 2 ( ) ) + a ，( 让l ( ) ) ， 即j ( ) ：甜斗r 1 是严格凸的此外，注意到( 凰) 蕴涵着阮d 是“的凸子集，所以 ( p ) 的最优控制若存在必唯一。其次，利用t a y l o r 公式有 vu l ) “，j ( 0 ，1 ) ， ，( 札( ) ) = j ( s u ( ) ) i 。： = j ( s u ( ) ) 妇+ 生毪业b + i 鲤絮业坎 = t ，( o ) + 詹 b ( t ) 7 1g ( 7 ，t ) 7 c t 筹( r ，y ( t ，o ) ) t d t + g ( h ，t ) t c t 群( y ( t - ，o ) ) t 】 t u ( t ) d t + 詹p ( 可( ， u ) ，( t l ，f u ) ) u 7 u ( t ) d t ，( o ) 一q 1 1 u ( - ) l l u + f l u ( - ) 】| 刍 = ，( o ) + 【ij u ( ) | | 吾一挚i i u ( ) i i “ = j ( o ) + ( | | 也( ) l l u 一手) 2 一( 譬) 2 】 = ，( o ) 一等+ ；( i i u ( ) f l u 一譬) 2 j ( o ) 一鲁， 其中 ： 石1 r “g ( r ，。) tg r 刁o f o , c 1 ib ( t )( 丁，( r ，。) ) t d r ：= 石17 “，圹g 7 面h 咖) 0 ) ) t d r + m ，t ) 7 g t 酉o w ( 眠o ) ) t 】1 2 埘 ( 4 5 ) ( 4 6 ) 由( 4 5 ) 立知，( ) ：甜r 1 下有界，再注意到假设条件比d 所以j ：= i n f 。( ) 地。j ( “( ) ) 是一有限( 实) 数于是 j u “( ) ) 玩a ，占恐j ( u 一( ) ) = ， 由上式与( 4 5 ) 立知 ( i i u 。( - ) l l “一譬) 2 ； j ( 。( t ) ) 一j ( o ) + 等】 s c 2 ：= ； s u p 。j ( u p ( - ) ) 一，( o ) + 等】 i n f ( ) e 地dj ( 珏( ) ) = i n f ( ) 地d 如( 缸( ) ) ( 8 8 ) i n f ( ) e u t ，( u ( ，) ) = j 知( 屯_ ( ) ) ，n 一1 ，2 ， ( 6 7 ) 一( 6 8 ) = 穹 s u ，p 陋( ) ) l l u + 0 0 ( 6 9 ) 、7 8 妒。m s a x 。，f 。( 。，妯( 。) ) f + 0 0 ( 7 0 ) 由( 6 6 ) ，5 5 ) 孛瓤( ) 懿定义式，( 6 9 ) f 粥与f 5 国莓懿： f 翱酬知| + 眠 f 7 1 、 【s u p n m a x 如呸。ic n ( t ) l + o o 1、o ， l b 此外，由( 5 6 ) ，并注意到g 的定义式( 9 ) ，我们有： v t ，t ”【t o ，t 1 ，t 7st ”，j 西_ ( t 7 ) 一西_ ( f ) 1 = i g ( t t ) 一g ( t 1 ，”) 1 7c t ( 5 一g ( t ，t ) t c t ( 箦) ( 7 - ，雪( 7 - ) ) 7 d r 一彦 g ( r ，t ) 一g ( r ，t ”) 】7 c 7 ( 筹) ( r ，雪( r ) ) 7 d ri ici ( s u p _ i 函i ) ig ( t t ，t ) 一g ( t ，t ”) i + 露lg ( t ，t ) ll ( 鲁) ( r ，雪( r ) ) 7j d r + j ：| ： lg ( 7 - ，) 一g ( r ，t ”) ii ( 筹) ( 7 - ，如( 7 - ) ) 7l 州 lcl ( s u p _ i 函i ) iz o ( t 。) i + u ( 1 一t o ) ( m a x t 。s t t 。lz o ( t ) 1 ) iz o ( t ) 一1 一z o ( t ”) 一1i + u ( m a x t o 。s 吲。ig ( t ，s ) i ) it 一t ”l ， ( 7 2 ) 其中， u ：= m 酬i o 咧q ) r s ，cz + 们m i s u p 蝌m a 孙x iz ( t ，讲) ) i ，se 1 ) ( 7 3 ) 由( 7 2 ) 一( 7 3 ) ，( 7 0 ) ，( 7 1 ) 的第1 式便知 1 】 i ( ) 是等度连续的函数列。至此，我们已证得 了 如( ) ) 是一致有界且等度连续的函数列，从而v 自然数列的子列 j ， 谚心( ) ) 当然也是一致有界且等度连续的函数列根据a r z e l a - a s c o l i 定理，存在 。) 的一个 子列 。，) 和掣k ( ) c ( ，t 】，阳) 使得 ，1 + i m 嘶m 蚓a x 。i 妒以，( ) 一惦( 。) i = o 由( 2 8 ) 与上式立知：矗( ) c ( t o ，t l 】，r ”) ，n = 1 ，2 ，；若记 也。( - ) ：= r ( ) 一1 b ( ) 7 比( ) ， 贝0o 。( - ) c ( 【t o ，t 1 ，r ”) 且 ，1 i r a 毗m 鲫a x 。l 。( 。) 一站( 。) l = o - 由上式，函数9 ( - ) 的定义式( 6 ) ，泛函山( - ) 的定义式( 5 ) 和( 6 8 ) ，我们有 k o 善蚂( 肌也o o ( 删2 舰善9 ( 驯“川) ) ( 7 4 ) ( 7 5 ) ( 7 6 ) ( 7 7 ) = l i m 忐小“) ) 一小“】 舰瓦1 非m i n 。j ( u ( ) ) 一，( ( ，) ) 一l i m 瓦1m “们= 叫蚓| ) ) 规击= 。 再注意到9 ( ) 的定义式( 6 ) ，从上式我们立即可知 毋( y ( t l ，也。( ) ) ) s0 ，j = 1 ，k ， 所以 矗。( ) d 注意到( 7 9 ) ，( 7 6 ) 和( 6 8 ) ，我们有： 。( m ) i 地n 。，( u ( ) ) j ( 站( ) ) = 。l i m j ( f i n ，( + ) ) = 蜮一+ o 。j ( 砬帆，( 。) ) 虹。* 巩，( 吐“) ) s 匾- + o 。山一一( 彘“) ) t m i n 。m