（应用数学专业论文）带有交易成本的信用风险定价问题研究.pdf

随着金融市场的发展，现代金融理论日趋成熟和完善为防范、控制和化解无处不 在的金融风险( 包括市场风险、操作风险和信用风险) 。各种衍生产品层出不穷，这就 要求解决金融衍生产品的定价问题和投资决策问题尽管经典的b l a c k s c h o l e s 模型为投资 者提供了适用于如股票的衍生证券且计算方便的定价公式，但它的推导和运用受到各种 假设条件的约束本文尝试在b l a c k s c h o l e s 模型理想假设的基础上，将完全市场进行推 广基于模型中的诸如支付交易费用、存在利率风险、信用风险以及原生资产价格行为存 在不连续的跳跃等假设，对几种新型的金融衍生产品建立模型，并用偏微分方程的方法 ( 即p d e 方法) 给出相应的定价公式 期权是风险管理的核心工具作为一种有效的避险工具和投机手段，备受投资者和投 机者的青睐1 9 7 3 年，b l a c k 和s c h o l e s 建立了著名的期权定价模型一b l a c k - s c h o l e s 模型， 此后，期权定价理论得到了迅猛发展它成为现代金融学的重要组成部分本文首先介绍 期权定价理论的产生、发展、现状以及本文要解决的问题 期权定价方法的一个重要应用是保底分红基金的定价问题保底分红基金作为近年来 金融机构推出的一种新型金融衍生产品，它主要针对愿意承担一定风险而搏取高额回报 的客户而设计的投资者投资该基金后，基金公司承诺给投资者以事先约定的最低收益， 同时投资者可获得一定比例投资收益超额部分的一定比例，而不必承担基金低收益甚至 亏损的风险本文第二章假设市场利率服从一般的h u l l - w h i t e 利率模型，分别建立了带有 交易成本的保底分红基金的连续扩散模型和跳扩散模型，通过转换计价单位的方法，将 两维的定解问题转换为一维的偏微分方程的定解问题，最后用p d e 的方法得到显式的定 价公式 本文第三章要研究的问题是可转换债券的定价问题作为一种介于债券和股票之间的 混合型的未定权益，可转换债券不仅对投资者非常重要，而且对发行者也非常重要，准 确的定价可使发行者确定一个公平的发行价和合理的转换条款，从而保护了投资各方的 利益本文在m e r t o n 框架下，假设支付交易费用且市场利率服j , ) u t - i u l l w h i t e 模型，建立了 可转债的定价模型，利用p d e 的方法得到了解析解 重置期权作为新型期权的一种，它要比普通欧式期权有更多的获益机会，因此也备受 瞩目本文第四章要研究的问题是在随机利率情形下，用p d e 方法对规定时间和规定水平 的两类重置期权进行定价，给出相应的定价模型和定价公式 最后总结全文并提出展望 关键词：交易成本，随机利率，信用风险，保底基金，可转债，重置期权，p d e 方法 第1 页 上海师范大学硕士论文 a b s t r a c t w i t ht h ed e v e l o p m e n to ff i n a n c i a lm a r k e t ，m o d e mf i i l a n c et h e o r yb e c o m em o r ea n dm o r e m a t u r ea n dp e r f e c t i no r d e rt op r e v e n t i n g ，c o n t r o l l i n ga n dd i s s o l v i n gf i n a n c i a lr i s k se v e r y w h e r e w h i c hi n c l u d em a r k e tr i s k ，o p e r a t i o nr i s ka n dc r e d i tr i s k ，a l lk i n d so ff i n a n c i a ld e r i v a t i v e sa p - p e a ru n c e a s i n g l y s ow em u s ts o l v et h ep r o b l e mo fd e r i v a t i v e sp r i c i n ga n do p t i m a li n v e s t m e n t s a l t h o u g ht h ec l a s s i c a lb l a c k s c h o l e sm o d e lh a sp r o v i d e dap r i c i n gf o r m u l at h a ti sa p p l i c a b l et o d e r i v a t i v e ss u c ha ss t o c k s ，a n dc a l c u l a t e se a s i l y , h o w e v e r , i t sd e d u c t i o na n da p p l i c a t i o na r er e , - s t r a i n e db ys o m ei d e a lh y p o t h e s i s s ot h i sp a p e rt r yt oe x t e n dt h ei d e a lm a r k e tt om o r eg e n e r a l m a r k e t b a s e do nt h eh y p o t h e s i si nm o d e l ss u c ha sp a y i n gt r a n s a c t i o nc o s t s ，e x i s t i n gi n t e r e s t r i s k s 。c r e d i tr i s k sa n da r i s i n gd i s c o n t i n u o u sj u m pa b o u tu n d e r l y i n ga s s e t s p r i c i n gp r o c e s s ，w e b u i l d t h e m o d e l o f s e v e r a l n e w t y p e d e r i v a t i v e s ，a n d b y u s i n g t h e m e t h o d o f p d e ，t h e c l o s e d f o r m s o l u t i o no ft h em o d e l si so b “n e d o p t i o n sa l et h ec o r et o o lo fr i s km a n a g e m e n t a sav a l i di n s t r u m e n tt h a ta v o i d sr i s ka n d s p e c u l a t i v em e a n s ，o p t i o n sa w e l c o m et om a r k e tp r a c t i t i o n e ra n ds p e c u l a t o r e a r l yi n1 9 7 3 f i s c h e rb l a c ka n dm y r o ns c h o l e sp r o p o s e daf a m o u so p t i o nm o d e l - b l a c k - s c h o l e sm o d e l a f t e r - w a r d s ，o p t i o np r i c i n gt h e o r yh a sd e v e l o p e dq u i c k l y a n dm c y b e c o m et h es i g n i f i c a n tc o m p o n e n t o f m o d e mf i n a n c et h e o r y t h i sp a p e rf i r s ti n t r o d u c e dt h ee m e r g e n c e ，d e v e l o p m e n ta n da c m a l i t yo f o p d o u sp r i c i n gt h e o r ya n dt h em a i nc o n t e n t s a na p p l i c a t i o no ft h em e t h o dt op r i c i n go p t i o ni sd e s i g n i n ga n dp r i c i n gt h ef u n dw i t h p r o m i s e dl o w e s tr e t u r n a san e wt y p ef i n a n c i a ld e r i v a t i v et h a ti si s s u e db ys o m ef i n a n c i a li n - s t i m t i o n sr e c e n t l y , i ti sd e s i g n e df o rt h ei n v e s t o r sw h ow a n tt og e tr e l a t i v e l yh i g hr e t u r nb yt a k i n g s o m em a r k e tr i s k t h em a n a g e m e n tc o m p a n yo ft h ef l l n dp r o m i s et op r o v i d et h ei n v e s t o r sw i t h p r e s c r i b e dl o w e s tr e t u r na n df i x e dp o r t i o no f e x t r ai n v e s tr e t u r n n ei n v e s t o r s n e e dn o tt ot a k et h e p o s s i b l ei n v e s tl o s so ft h ec o m p a n y i nc h a p t e r2 ，s u p p o s i n gt h a tt h em a r k e ti n t e r e s tr a t eo b e y s t h eg e n e r a lh u l l w h i t em o d e lw es e p a r a t e l yb u i l dt h ec o n t i n u o u s d i f f u s i o na n dj u m p - d i f f u s i o n p r i c i n gm o d e lo faf i l n da b o mp r o m i s e dl o w e s tr e t u r nw i t ht r a n s a c t i o nc o s t s b yt r a n s f o r m i n g t h ep r i c i n gu n i t s ，t h e2 - dp r o b l e mc a l lb et r a n s f e r r e dt oa1 - dp d e p r o b l e m , a n d t h ec l o s e df o r m p r i c i n gf o r m u l a c a l lb et h u so b t a i n e d i nc h a p t e r3 ，t h ep r o b l e mc o i l l e sf r o mt h ep r i c i n go ft h ec o n v e r t i b l eb o n d s a sam i x t u r e c o n t i n g a n c eb e t w e e nb o n da n ds t o c k , i t sv e r yi m p o r t a n tf o ri n v e s t o r sa n di s s u e r s a c c u r a c y p r i c i n gn o to n l ym a k e s i s s u e r st od e t e r m i n eaf a i rp r i c e ，b u ta l s op r o t e c t st h ep r o f i t so fi n v e s t o r s i nt h ef r a m e w o r ko fm e r t o n t h i sp a p e rs u p p o s e st h a tt h em a r k e ti n t e r e s tr a t eo b e y st h eg e n e r a l h u l l - w h i t em o d e la n dp a y so f ft r a n s a c t i o nc o s t s ，a n dw eb u i l dt h ep r i c i n gm o d e lo fc o n v e r t i b l e 第页 b o n da n dt h ec l o s e df o r ms o l u t i o ni sg i v e nb yp d em e t h o d r e s e to p t i o ni so n eo fn e wt y p eo p t i o n s t h e yh a v em o r ec h a n c eo fg a i n st h a no t h e rs t a n d a r d e u r o p e a no p t i o n s s ot h e ya r ew e l c o m e t om a r k e tp r a c t i t i o n e r u n d e rt h i sc i r c u m s t a n c e ，w e d i s c u s st h eo p t i o np r i c i n gm o d e la n dp r i c i n gf o r m u l af o rt w or e s e to p t i o n st h a ta r cr e s e to p t i o n s w i t hp r e d e t e r m i n e dd a t e sa n dr e s e to p t i o n sw i t hp r e d e t e r m i n e dl e v e l su n d e rs t o c h a s t i ci n t e r e s tr a t e i nc h a p t e r4 l a s t l y , as u m m a r yo f t h i sp a p e r i sm a d ea n df u r t h e rr e s e a r c hd i r e t i o n sa r ep u tf o r w a r d k e yw o r d s ：t r a n s a c t i o nc o s t s ，s t o c h a s t i ci n t e r e s tr a t e , c r e d i tr i s k ，f u n dw i t hp r o m i s e d l o w e s t r e t u m ，c o n v e r t i b l eb o n d s ，r e s e to p t i o n s ，p d em e t h o d 第1 i i 页 论文独创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，独立进行研究工作所取 得的成果。尽我所知，除文中已经注明引用的内容外，本学位论文的研究成果不包含任 何他人享有著作权的内容。对本论文所涉及的研究工作做出贡献的其他个人和集体，均 已在文中以明确方式标明。 签名日期： 论文使用授权声明 本人完全了解上海师范大学有关保留、 交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅； 采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。 使用学位论文的规定，即：学校有权保留送 学校可以公布论文的全部或部分内容，可以 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 作者签名： 日期： 导师签名： 日期： 第一章前言 1 1 引言 期权( o p t i o n ) 是一种特殊的金融衍生产品，作为一种风险管理的工具，它在金融领 域变得越来越重要，许多交易所正在进行大量的期货和期权交易顾名思义，期权就是 “未来的权利”的意思确切地说，它是一种能在未来某特定时间以特定价格买入或卖出 一定数量和质量的某种特定商品的权利，但期权持有人不承担必须买入或卖出的义务因 此期权不是免费的，买方需向卖方支付一定的期权费，但期权费究竟为多少对买卖双方 来说才是公平的? 这便引出了期权定价问题 期权定价是一个古老的问题早在1 9 0 0 年，法国数学家、经济学家l o u i sb a c h c l i e r 发表 了他的学位论文“t h d o r i ed el as p & u l a t i o n ”( 投机交易理论) 它被公认为是现代金融 学的里程碑他首次利用随机游动的思想给出了股票价格运行的随机模型，并提到了期 权的定价问题但他的公式是建立在一些不现实的假设之上的，如利率为零，股票价格 可以为负等1 9 6 4 年，著名经济学家p a u ls a m u e l s o n 对l b a c h e l i e r 的模型进行了修正，以股 票的回报代替原模型中的股票价格，这个修正克服了原模型中股票价格可能出现负值的 不合理情况，但他提出的定价公式中有两个量依赖于投资人的个人偏好，因此这个定价 公式虽然很漂亮。但在实际交易中它是不能应用的直到1 9 7 3 年，随着b l a c k 和s c h o l e s 合 著的一篇载于政治经济学杂志的论文期权定价和公司负债【1 2 的发表，使得期权 定价问题有了重大突破他们建立了看涨期权定价公式，即著名的b l a c k s c h o l e s 公式这 个公式的创新之处在于不依赖于投资人的偏好，它把所有投资人引向同一个以无风险利 率作为投资回报率的风险中性世界随后，m e r t o n 在合理的期权定价理论1 1 3 卜一文中 对b l a c k s c h o l e s 模型和定价公式进行了推广和完善，并将他们利用期权来估价公司负债的 思想发展成为所谓的“未定权益分析”由他们三人共同开创的期权定价理论给整个现 代金融市场的理论带来了一场革命，被誉为“华尔街的第二次革命”s c h o l e s 和m e r t o n 于1 9 9 7 年共获诺贝尔奖此后，期权定价理论在此基础上得到了飞速发展 近年来，随着金融市场需求复杂程度的提高，仅仅使用标准期权已很难满足市场和客 户的需要，为了满足这一人群的需求，也为了规避风险，因此许多金融公司除交易人们 广为熟悉的欧式、美式期权外，还开创性地设计出了大量由标准期权变化、组合、派生 出的通常在场外市场交易的新品种，通常我们称其为新型期权伴随着形形色色新型期权 的诞生，一系列的问题随之而来众所周知，在金融市场、商品市场上，风险无处不在 风险就是结果的不确定性，它可以使人们意外获益，亦可以便人们意外受损，甚至带来 灾难如何有效地认识风险、评价风险、规避风险，一直以来，很多人都在努力探索和研 究，也得到了很多有益的结论也正是由于人们不断对所面临问题的研究、探索和解决， 第1 页 上海师范大学硕十论文 才使得整个金融市场理论体系逐步地得到完善和丰富 b l a c k s c h o l e s 模型为投资者提供了适用于股票的任何衍生证券且计算方便的定价公 式，但是它的推导及运用受到各种假设条件的约束显然，过于严格的假设削弱了定价公 式在现实中的适用性，使其在理论与应用上均存在缺陷在对期权定价理论进行研究和挖 掘，使其适用于更为广泛的金融衍生产品和更为宽泛和普遍的经济环境的过程中，人们 的目光主要集中在以下几个方面： ( - - ) 、关于带“摩擦”的金融市场一般的b l a e k - s c h o l e s 模型中通常均假设市场是 完全的，无摩擦的，可以说这是种理想状态，但是在实际的市场里，这是不可能的， 也就是说真实的市场通常都是不完全、有摩擦的，这里所指的摩擦包括交易费、税收、 买卖价差和各种约束条件，而且这些摩擦不容忽视本文尝试在金融产品的交易中考虑支 付交易费用情形【5 】交易费用可看作是投资者因买卖标的资产( 如股票) 而产生的直接费 用，一般由多头支付【3 4 】通常为了对冲风险，每隔一段时间就会调整一次用来对冲的标 的资产的份额，于是每次调整过程中则会产生交易费用在实际的运作中，由于支付交易 费用，因此买卖双方之间的交易不可能无限进行下去【2 】 ( 二) 、关于利率风险随着经济全球化的发展，利率市场的不确定性日益增加， 通常意义下在标准b l a c k s e h o l e s 模型中利率为常数的假设已不再符合现实市场实际的要 求在很多情况下，利率的波动则更接近于随机波动利率的随机波动往往会给金融市 场特别是资本市场带来振荡，因此，利率风险不可小觑作为利率的衍生产品，零息票 债券的价格变化反映了各种市场利率( 如即期利率、短期利率和远期利率) 的波动。为 此需要建立适当合理的利率模型，以确定债券的理论价格和利率期限结构一种在数学 上容易处理的方法是建立短期利率模型一旦模型建立，获得债券的理论价格，就等于 确定了所有的市场利率因此，人们提出了各种形态的短期利率模型其中最为常见的 是v a s i c e k 于1 9 7 7 年首先提出的具有均值回归性的短期利率模型- v a s i e e k 利率模型 1 8 1 该 模型结构简单，作为衍生债券的零息票债券价格函数具有指数仿射结构型的表达式，从 而容易得到其他利率然而，它存在明显的缺点：除了可以取负值以外，相应的零息票价 格不能自动拟合实际市场的初始期限结构而作为v a s i c e k 年t | 率模型推广的h u l l w h i t e ( i ) 利率模型【1 9 1 ，它不但保持了均值回归的特点，而且还能自动拟合实际市场的初始期限结 构由于短期利率服从正态分布，所以它也没有h u l l - w h i m ( ) 【2 0 利率模型存在的有关 计算方面的困难基于它的各个参数都是关于时间的函数这一特点，所以理论上这个模型 将更贴近市场实际【2 l 】本文主要运用这两种利率摸型对市场利率进行假设并展开讨论 ( 三) 、关于股票市场风险股票的价格行为是研究期权定价的基础b l a c k s c h o l e s 模型中股票价格一般都是假设围绕一个期望收益率在一个合理范围内连续波动， 这些连续波动是由金融市场中某些平常条件引起的，比如股票的供求关系，国家利率， 税收政策等但在现实市场中股价分布则往往并非光滑移动，一些重大信息( 如突发的战 争，重大政治事件的发生) 的到达会使股票价格发生不连续的变动，而呈现间断的“跳 第2 页 空”过程，基于上述考虑，1 9 7 6 年，m e r t o n 提出了一种股票价格遵循跳跃过程的模型， 即在原先扩散过程基础上加了p i o s s o n 跳【1 4 1 9 9 7 年，z h o u 在m e r t o n 的扩散模型基础上又 提出了一个跳跃、扩散的框架，其中，由于公司价值的下跳，公司会发生突然的违约， 并提供了没有提前违约情形下的解析解【1 5 】这些考虑标的资产价格运行存在跳扩散的模 型，可谓是弥补连续“b r o w n 运动”模型不足的一个重要补充 ( 四) 、关于信用风险随着期权定价理论的日益成熟，人们注意到另一种情况的存 在，即期权交易并不仅仅在期权交易所进行，大量的期权交易是在场外完成的例如欧美 许多国家的o t c 市场都十分发达，其交易量是一个不可轻易忽视的事实在o t c 市场中， 存在大量的非盯市操作的期权，它不象上市期权由交易所监控期权交易的风险，故这些 期权的持有人都存在潜在的信用风险，其主要来源在于空头无力履约的可能性此外， 从2 0 世纪6 哞代以来，企业破产的数量和规模呈结构性增加；融资的非中介化使规模小 且信用等级公司可进入商业票据市场融资；贷款质量下降，利差也下降，这意味着金融 机构必须更精确度量信用风险才能在竞争中取胜【2 5 】【3 l 】信用风险( c r e d i tr i s k ) 是指由 于交易对手可能不能履约而给银行和其它金融机构造成的损失它是一个小概率大影响的 事件，其发生的条件是合约对交易对手是负值且交易对手处于财务困境它不同于市场风 险但又有紧密联系金融机构在运作时，必定承受一定的信用风险，由于它影响金融产品 的定价和金融机构的管理，如何度量信用风险和一旦超出承受范围时应采取何种措施是 金融机构面临的重大课题目前，处理企业债券定价和信用风险主要有两种方法，结构化 方法( s t r u c t u r a la p p r o a c h ) 和约化方法( r e d u c e df o r ma p p r o a c h ) 3 1 1 1 0 】【3 2 】 结构化方法是把公司债券看成是无风险国债减去一个关于公司资产的欧式看跌期 权，其敲定价格为债务额原始的结构法模型最早由m e r t o n ( 1 9 7 4 ) 【4 5 等提出，它假设 公司违约由公司资产价值变化所驱动，并内生地与公司的资本结构有关，其不足在于违 约只在到期日发生考虑到公司可在债券到期前破产，b l a e l 铘c o x ( 1 9 7 6 ) 【4 6 1 等人提出 了首达时间模型( f i r s t p a s s a g e t i m e m o d e l ) ，即当公司资产值下降到事先约定的违约边 界时，债权人有权强制公司破产以保护债券持有人的利益l o n g s t a f f 和s c h w a r t z 把首达时 间模型推广到随机利率情形约化方法模型由j a r r o w 和t u r n b u l l ( 1 9 9 5 ) 【2 2 提出，其后许 多学者不断加以完善与结构法模型不同，约化法模型不对公司的违约原因进行解释， 而是假设公司的违约概率是一个外生的随机过程，这个随机过程决定了信用风险的价 格【2 3 】【2 4 】 针对上述几个问题，长期以来，大部分的人都在努力探索用各种不同方法来对金融衍 生产品定价问题进行研究，如二叉树方法、三叉树方法、蒙特卡罗方法、概率方法、优 化维合方法和偏微分方程方法等，这其中以概率方法居多本文将尝试用偏微分方程的方 法对各种金融衍生产品进行定价，即通过对冲原理导出所求衍生证券价格函数满足的偏 微分方程，并根据问题本身的约束条件，将其转化为抛物型方程的定解问题的求解 第3 页 上海师范大学硕士论文 1 2 本文要解决的问题 本文要解决的问题主要有以下三个部分： ( 一) 、随着人们金融意识的不断增强和投资理财需求的不断提升，单纯的股票市 场、债券市场和银行储蓄已不能满足人们的需要，于是，针对不同人群不同的风险偏好 和对投资回报的不同期望，金融机构推出了一系列金融创新产品其中有一类保底分红基 金由于既可以保证投资者最低收益，同时又可能获得高额的投资回报，目前在市场上很 受欢迎事实上，这是一个嵌入式的欧式期权，是利率和股指的衍生物，其隐含的期权费 体现在保底收益的大小和超额收益的分配比例上考虑到该基金的发行公司是否有银行或 金融机构进行担保，以及实际市场有可能在短期发生跳跃式的大幅下降，从而导致基金 的发行公司存在违约可能等问题，我们用偏微分方程的方法分别讨论在支付交易费用， 股指服从连续扩散模型和跳扩散模型，市场利率服从一般的h u l l w l t e 模型情形下的该 保底分红基金的定价问题f 1 6 】 、 ( 二) 、可转换债券( 简称可转债) 是一种介于债券和股票之间的，兼有债务性与期 权性的中长期混合金融工具【2 6 】可转债属于公司债券的范畴，与普通债券相比，可转债 可以视作一种附有“转换条件”的公司债券，它赋予投资者一定的权力，即投资者可依 其意愿选择将债券持有至到期日，获得本金和利息；也可以选择在约定的时间内将债券 转换为发行公司的股票可转债通过发债的形式出售隐含的股票期权，从而降低了债务融 资的成本本文讨论支付交易费用且市场利率服从一般的h u l l - w h i t e 模型情形下的可转债 定价问题，通过计算给出了该问题的解析解 ( 三) 、重置期权( r e s e to p t i o n s ) 作为新型期权的一种，它要比普通欧式期权有更多的 获益机会并能更好地规避风险，因此重置期权的公平定价受到市场从业者的青睐，被广 泛的用来进行规避风险 4 0 - 4 4 重置期权是一种依赖于路径的期权，它是这样一张合约， 当原生资产的价格达到某一预先给定的水平时，按合约规定将重新设置敲定价格，以使 持有人有更多的获益机会本文第三部分考虑在市场利率服从v a s i c e k 模型情形下，分别对 规定时问的重置期权和规定水平的重置期权给予定价研究，利用偏微分方程的理论和方 法分别得到了两类重置期权的定价公式 第4 页 第二章带有交易成本的保底型基金的定价 2 1 连续扩散模型 随着人们金融意识的不断增强，单纯的股票市场、债券市场和银行储蓄己不能满足人 们在投资理财方面的需求针对人们不同的风险偏好和投资回报期望，近年来，金融机构 推出了很多满足不同需求人群的各种不同类型的金融产品，以满足人们投资理财的需要 无论对出售方来说还是对投资者而言，能正确地评估金融产品的实际价值是非常重要的 保底型基金 3 6 】由于既可以保证投资者最低收益( 通常低于同期国债的收益) ，同时又可 能获得高额的投资回报( 超额部分按一定比例的分红) ，满足了一部分投资者的需要， 所以目前在市场上很受欢迎 2 1 1 基本假设 ( 1 ) 资产的构成：每份基金的面值为1 元： ( 2 ) 根据基金公司是否获得金融机构进行担保，设计如下条款： 如果有金融机构进行担保，那么 a ) 基金到期保底收益为每份a 元，超额收益部分的分红比例为z ( osps1 ) ； b ) 基金全部投资于指数基金( 如股票) ； 如果没有金融机构进行担保，那么，为确保公众投资者的保底收益，发起人必须投 入一部分自有资金，它在基金中所占比例为1 一u ，同样规定上述条款，但增加第三条 款： c ) 当基金投资发生亏损时，对基金净值设置一个t i e d ( t ) 当基金净值触及d ( t ) 时， 基金全部投资于t 时刻到期的零息票国债，从而确保投资者r 时刻的保底收益其 中p ( t ) = w a p ( r ，t ) 这里，p ( r ，t ) 为t 时刻到期的零息票国债在t 时刻的价格 ( 3 ) 市场利率模型：我们采用服从均值回归的h u l l w 衄e 模型 d r t = ( o ( t ) 一a ( t ) r , ) d t + “( t ) d 叫”， 其中口( t ) 是初始期限结构有关的参数，o ( t ) ，听( t ) 是波动率的参数，他们均是时间t 的函 数该模型所描述的利率运动形态是认为利率具有稳定的长期运动趋势口( t ) ，在不同时 刻t ，r t 以o ( t ) 的速度向趋势靠近，这种性质即为均值回归性 ( 4 ) 对于指数型基金( 如股票) ：假定其净值服从几何b r o w n 运动 警：p ( t 冲+ 即( t ) d 耐， r t 这里p ( t ) ，o r ( t ) 都是时间t 的函数 第5 页 上泡师旭大学硕士论文 并且 。伽( d 叫”，d 州2 ) = p 出，( 川 0 买 进，6 o 卖出) ，则产生的交易成本为k 1 6 a i v t ( 6 ) 假设客户持有的每份保底基金的价值。是关于时间、利率和指数基金价值的函 数，即g = g ( k ，r t ，t ) ，并记在t 时刻到期日的零息票债券价格为p t = p ( r t ，t ) 2 1 2 建立方程 在i t ，t + 卅时段内构造投资组合，它由l 份基金多头c 和1 份指数基金y 及2 份零息 票空头p 组成，即 i i t = q 一1 k 一2 只， 其中，= 筹，。= 筹筹 以时段后投资组合的价值为： 5 h t = 6 g 一1 6 k 一2 6 最一k v d b a l 6 1 - i t ：( 箸酏+ 丽o c 机+ 舅化+ j 1l 丽0 z c 叭2 t ) + 丽0 2 c 靠( 功嘭+ 2 翥k 胁( t h ( t ) ) j t ) 1 6 k k v d 6 a 。i - 2 ( 挚+ 百o p 机+ ；豢珊) 哟 = 铷+ ；( 雾砰+ 丽0 2 c a 参 嵋+ z 历0 2 秽c yv , 训咖) ) 乳 一k k 陋，l 一 ；( 箬+ 互1 丽0 2 p 艰1 , d 哟 因保值调憨策略而产生的交易份额j 1 为 j l = d o c y 、v , ，+ 6 k ，r t ，t + ) 一d o c y 、v ，, ，n ，t ) = 0 2 c 2 一，一、6 t ) = ( p ( t ) k 品+ 盯y ( t ) 6 叫2 ) 百0 i 2 c i + o ( j t ) 。 = 盯y ( t ) k 圣v v 佤。万0 2 而c + o ( a t ) 即o ) m 圣v v 伍d 。石0 2 而c ， 其中圣一n ( 0 ，1 ) 因此交易费用的数学期望为 邵耶1 i ) = 而1c k y ta v ( t ) 瓶i 丽0 z c 忪i e 一譬如 = 而2 2 础阍裳i 厂i 艚i o v 譬如 、2 7 r 一 j o = | ；k 咖( t ) 瓶i 嘉i k y t 2 盯y ( t ) 瓶j 丽0 2 c | 进一步得到6 的数学期望为 耶扣警以+ ；( 雾珈) + 丽0 2 c 吁+ 。篇k 砌川t ) ) 船 一k 嵋即( v 瓦i 丽0 2 c i 配一季( 等乳+ i 1 丽0 2 p ( ”功 e ( 6 n ) = r ( t ) n t b t = r ( t ) ( g 一1 k 一2 只) a t ， 引入风险的市场价格入( t ) ，在h u l l - w h i t e 模型f 有 墨曼三茎墨；釜! ! 二丛生! ：一p o ) 一。o ) ，( t ) ) + a ( t ) 。；o ) 垒一( f o ) 一口( t ) r ( t ) ) 磊 其中百( t ) = o ( t ) 一a ( t ) o ( t ) 于县有 箬枷_ 口( 咖) 筹+ 互l 丽o o p 啷_ ) 叫妒_ o ， = 面o c + ( 百( 。一翻m ) ) 筹+ 舅心) k + 烈1 丽o ：c - ( 力+ 嘉一吾( t ) 馏 第7 页 上海师范大学硕士论文 + 2 历0 2 d c y v ，, ，、 t ) 即。) ) 一砰一y o ) v i t 磊l 石0 2 庐ci r ( t ) 。：。 券称为7 保值因子，对于基金多头而言，7 始终为正，而对空头方，7 值的大小与多头方 相同，但方向相反，即，y 始终为负故该基金多头的定价方程为 l g = 警+ ( 6 ( t ) 一。( t p o ) ) 鲁等+ 石o 矿c r ( f ) k + j 1 0 跏2 c 。砖( ) + 否0 2 而c 。- 叭2 t ) 曙 + 2 万8 磊2 形ck 肼( 咖y ( t ) ) 一r ( t ) g = o 其中筇( t ) = 盯一2 k 即( t ) 据 2 1 3 定解问题 如果有银行提供担保，不存在违约，此时金融机构无需提供自有资金，在：一o o r + o o ，0 v 墨+ o o ，0 s t t 内定解问题为 f l c ：0 ， i g ( kr ；) ：。+ p ( y 一口) + ( 2 - d 0 7 、 如果没有银行提供担保，存在违约可能性，此时金融机构必须提供自有资金，根据基 金条款( 3 ) ，在：一0 0 r + o 。，0 v + o 。，0 s t r 内定解问题为 f l c = o , g ( k r ，t ) = 口+ p ( y q ) + ， ( 2 - 2 ) ic ( kr ，t ) i y ：。p ( t = a p ( r ，z ，t ) 其中到期日为t 的零息票价格p 满足下列边值问题 爹絮：? 一口( 咖( t ) ) 筹+ ；铬砰( 。一心) p = 0 ，( 2 - 3 ) i p ( r ，z t ) = 1 一7 定解问题( 2 3 ) 有唯一显式解 p ( r t ，t ，t ) = e a ( t ) 一日( o ( “， 其中 邮) = 厂溆榔一1 州珈) + r d s 倒垆等 以上定解问题是二维问题，采用转换计价单位的方法，以到期日r 的晖息票只作为计 价单位，考虑相对于r 的相对价格鲁和甏，把上述定解问题转化为一维问题来处理 第8 页 令 z = 蕞南，晔= 畿错扭巧瓦可w ) 2 巧i 面 其6 p p ( r t ，t ，t ) 是定解问题的解在此变换下，经计算化简可将工g 变为 令 百o w + j 1 。2 万0 2 万w ( 击( 筹) 2 砰( f ) + 昂( t ) 一2 p 田( t ) 即( 1 百0 p j 一z o 如w p 1o 加p o 况r 一矿1 酉0 v ) + w 1 石0 p 瓦o r = o 则方程可写为 于是 盯2 ( t ) = a 剪1 百0 p ) 2 砰( t ) + 筇( t ) 一2 p a ，( 加y ( t ) 芦1 石0 p 豇( t ) 垒一1 丽0 p 瓦o r + 矿1 瓦0 v ，f ( f ) 垒一1 石0 p 瓦o r 百o w + 互1 。2 矿 ) 0 2 w + 川。瓦o w 一= 。 1 ) 对于有银行或其他金融机构担保情况，在上述变换下，原定解问题( 2 1 ) 变为 警+ 1 1 2 2 盯2 ( 、t ，、o 。2 w + 豇( t 弦石o w e ( t ) w = 0 【w ( z ，功；a + p 0 一d ) + 此时未定权益是现金流。与卢份敲定价格为口的看涨期权的和，于是有( 【l 】) w ( z ，力= n + p k e - f 驴( r ) 一口( r ) 渺( 五) 一口e f ( r 胁( 五) 】 d 2 = d l 脚) = 而1 仁e 一譬幽 c ( k ，r t ，t ) = d v ( n ，t ) + p y e f 驴r 卜声枷打n ( d 1 ) - - n e j ，p 打p ( r t ，t ) ( 如) 2 ) 对于没有银行或其他金融机构担保情况，在上述变换下，定解问题( 2 2 ) 变为 f 警+ z 2 a 2 $ 、0 2 ：w + 小，。百o w 7 一e ( t ) w = 0 w ( z ，t ) = n + 卢( z o ) + ， 1w ( z ，t ) i 。= 口 4 掣- i ( 2 柳 皇打 一办丝糌 l 二海师范大学硕七论文 为求解上述定解问题，令z = i n 。z 。，影( z ，t ) = w ( z ，t ) ，则定解问题( 2 4 ) 变为 f 譬+ ；盯2 0 ) 甓当+ ( 豇o ) 一0 - 2 ( t ) ) 磐一f o ) 形= 0 ， w 7 ( z ，即= n + p ( 。a e 2 一n ) + = n + q 局o ( e 。一k ) + ， ( 2 - 5 ) i ( 毛t ) l 。= o = o t 其中k = ；1 进一步需对边界条件进行处理，为此令疗( z ，t ) = 形( z ，t ) 一o l e a z ，其中参数a 满足方 程 ：盯2 ( t ) a 2 + ( 豇( t ) 一：盯2 ( t ) ) a f ( ) = 0 ， 可取 a ：型生堕蜂茅型兰塑 于是定解问题( 2 - 5 ) 变为 f 譬+ j 盯2 ( t ) 磐+ ( t ) 一 f f 2 t t 、o 。o f ( t ) 驴= 0 ， 驴( z ，丁) = o + 口届( e 2 一托) + 一o e 血= o 届( 矿一片) + + q ( 1 一e a z ) ， ( 2 6 ) 【驴( z ，t ) i 。= 0 = o 再令0 = e a ( t o + b = 0 ，其中 a = 一抑+ 知一；鬻删m 互1 一端 则定解问题( 2 4 5 ) 变为 i 筹+ ；盯2 ( ) 磐= 0 ， 0 ( o ，t ) = 0 ， ( 2 7 ) i 驴 ，t ) = e k 驴扛，t ) = o 届u e k ( e z k ) + + 口e 一玉( 1 一e z ) 又令丁= 后a 2 ( s ) d s ，于= j 孑a 2 ( s ) d s ，f = 于一r = a 2 ( s ) d 8 ，o ( x ，t ) 垒u ( 石，f ) 则定解 问题( 2 7 ) 变为 f 器一 貉= o ， 矿( o ，f ) = 0 ， ( 2 8 ) i 矿扛，o ) = e k 疗( z ，刁= a f b