（理论物理专业论文）二维金属颗粒堆电阻网络模型算法与涨落研究.pdf

中南大学硕士学位论文 摘要 摘要 颗粒物质静止时类似于固体，流动时又类似于液体，具有丰富的 非线性动力学行为。不仅如此，颗粒物质还有复杂的电学特性，很多 问题还需要进一步探讨，部分实验从q 模型、标量拱模型( s a m ) 等力 学模型出发研究了金属颗粒物质的导电性质，但是模型和实验在电阻 波动方面却不能给出相同的结论。本文从电学模型出发，探索出了一 个特殊的电阻网络模型及其算法，而运用该算法的模拟计算结果与实 验结果比较吻合。 首先把二维金属颗粒堆简化为一纯二维电阻网络，运用电阻的星 形转换、三角形转换，并结合电阻的串并联转换，开发出了一套基于 求解二维电阻网络任意两节点等效电阻的变化算法，运用二阶差分 法、电阻网络的对称性等方法对该变换算法的准确性进行了验证，通 过时间复杂度的分析对算法的执行效率进行了测试，从而得出了一个 效率颇高的变换算法。然后，对该网络的几何特性、电阻波动区间等 各种参数进行设置，运用变换算法，计算了二维金属颗粒堆的大小、 随机电阻区间宽度对电阻和电阻涨落的影响，并计算了电阻高斯分布 下的电学涨落。最后利用该网络模型模拟了二维金属堆在敲击力学扰 动下的内部电阻涨落特性，发现了电阻变化符合一定的指数定律，且 在相同的实验条件下指数保持不变，并且电阻变化是反相关的，而这 一结果与五角星金属颗粒堆的敲击实验结果符合的很好。通过对二维 电阻网络应用变换算法能做更多的模拟计算，比如不同电阻分布函数 下的电学涨落，不同随机区间下的电阻涨落，热学扰动对二维金属颗 粒堆电阻的影响，颗粒几何属性对其电阻的影响，等等。因而，本文 的算法基础和理论模型为研究金属颗粒物质的电阻性质及其电阻涨 落在理论模拟上提供了很好的参考价值。 关键词：颗粒物质，电阻网络模型，涨落分布 中南大学硕士学位论文 a b s t r a c t a bs t r a c t g r a n u l a rm a t e r i a l sh a v em a n ys p e c i a lp r o p e r t i e sa n dc h a r a c t e r i s t i c s o fm o t i o n t h e yr e p r e s e n tb o t hs o l i d l i k ea n dl i q u i d l i k ef e a t u r e s ，a n d e x h i b i tr i c hp h e n o m e n ao fn o n l i n e a rd y n a m i c s t h e yh a v ec o m p l e x m e c h a n i c a lp r o p e r t i e sa n de l e c t r i c a lp r o p e r t i e sa n dp e o p l eh a v en o t f o r m e du n i f o r mv i e w sa n dt h e o r i e sy e t r e s e a r c h e so nt h ec o n d u c t i v i t y o fm e t a l l i cb e a d sh a v eb e e np r o c e e db a s e do nt h em e c h a n i c a lm o d e l s u c ha s qm o d e lo rs c a l a ra r c h i n gm o d e l ，b u tt h e ys h o wg r e a t d i f f e r e n c e sa n dc o n c l u s i o nb e t w e e nm o d e l sa n de x p e r i m e n t s t l l i s a r t i c l ed e v e l o p e dan e wt r a n s f o r m a t i o na l g o r i t h ma p p l i e dt ot h er e s i s t o r n e t w o r ka n df o u n dt h es i m u l a t i o nc a l c u l a t i o ni sa l m o s tt h es a m ew i t ht h e r e a le x p e r i m e n t sb a s e do nt h ee l e c t r i c a lm o d e l i nt h i sp a p e r , w ed e v e l o p e dan e we l e c t r i c a lm o d e lt od e s c r i b e t w o d i m e n s i o n a lm e t a l l i cb e a d s f i r s t ，w ed e v e l o p e d an e w t r a n s f o r m a t i o n a l g o r i t h mt o c a l c u l a t e t h er e s i s t a n c eb e t w e e nt w o a r b i t r a r yn o d e si nat w o d i m e n s i o n a lr a n d o mr e s i s t o rn e t w o r k t h r o u g h t h es e c o n d - o r d e rm e t h o do ff i n i t e d i f f e r e n c e ，t h es y m m e t r i c a l c h a r a c t e r i s t i ci nt h en e t w o r ka n dt h ea n a l y s i st i m ec o m p l e x i t y , w e p r o v e d o u ra l g o r i t h ma c c u r a t ea n de f f i c i e n t t h e n ，w er e d u c e dt h e t w o d i m e n s i o n a lm e t a l l i cb e a d st oat w o d i m e n s i o n a lr a n d o mr e s i s t o r n e t w o r k ，s e ta l lk i n d so fn e t w o r kp a r a m e t e r sa n dt h r o u g ht r a n s f o r m i n g a l g o r i t h mw ec a l c u l a t e dh o wt h es i z eo fn e t w o r ka n dw i d t ho fr a n d o m r e s i s t o ri n f l u e n c e dt h er e s i s t a n c ea n di t sf l u c t u a t i o nd i s t r i b u t i o n ；w e g e n e r a t e dag a u s s - d i s t r i b u t i o nt od ot h es a m es e a r c h a tl a s tw e s i m u l a t e dt h ee l e c t r i c a lf l u c t u a t i o ni nt w o d i m e n s i o n a lm e t a l l i cb e a d s u n d e rm e c h a n i c a l p e r t u r b a t i o n s u c ha s k n o c k i n g a n df o u n da n e x p o n e n t i a ll a wa n d i n v e r s ec o r r e l a t i o n b yu s i n go u ro w nn e t w o r k m o d e l ，n l e r e f o r e ，w ec o m p a r e dt h es i m u l a t i o nr e s u l t st 6t h e e x p e r i m e n t a lr e s u l t sa n dt h e yw e r ec o n s i l i e n t 娓c a ns i m u l a t em o r ee l e c t r i c a le x p e r i m e n t sa b o u tm e t a l l i cb e a d s r e l yo nt h ea l g o r i t h mw ed e v e l o p e d ，s u c ha st h er e s i s t a n c ef l u c t u a t i o n u n d e rh e a tp e r t u r b a t i o n ，a n dt h er e s i s t a n c ef l u c t u a t i o nu n d e rd i f f e r e n t i i 中南大学硕士学位论文 a b s t r a c t g e o m e t r i e sa n d s oo n t h u s ，t h ea l g o r i t h ma n dt h e o r ym o d e lw e d e v e l o p e d c a nb eav e r yg o o dr e f e r e n c ef o rs t u d y i n gt h ee l e c t r i c a l p r o p e r t i e si nm e t a l l i cb e a d s k e yw o r d s ： g r a n u l a rm a t t e r , r e s i s t o rn e t w o r km o d e l ，f l u c t u a t i o n d i s t r i b u t i o n h i 原创性声明 本人声明，所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究 工作及取得的研究成果。尽我所知，除了论文中特别加以标注和致谢 的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不 包含为获得中南大学或其他单位的学位或证书而使用过的材料。与我 共同工作的同志对本研究所作的贡献均已在论文中作了明确的说明。 作者签名：平 学位论文版权使用授权书 本人了解中南大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校 有权保留学位论文并根据国家或湖南省有关部门规定送交学位论文， 允许学位论文被查阅和借阅；学校可以公布学位论文的全部或部分内 容，可以采用复印、缩印或其它手段保存学位论文。同时授权中国科 学技术信息研究所将本学位论文收录到中国学位论文全文数据库， 并通过网络向社会公众提供信息服务。 作者签名磁阻导师签名粗吼和上月塑日 中南大学硕士学位论文 颗粒物质的基本介绍 1 1 概念 第一章颗粒物质的基本介绍 颗粒物质在自然界、日常生活及生产和实践中普遍存在。例如，自然界中沙 石、土壤、浮冰、积雪等；日常生活中的粮食、糖、盐等；生产和技术中的煤炭 矿石、建材以及不少药品、化工品也为颗粒物质。很多其他离散态物质体系，例 如散装货物输送、地球板块运动及公路上车辆的流动等也常作为颗粒体系来处 理。可以说，颗粒物质是地球上存在最多、最为人们所熟悉的物质类型之一。其 在工农业生产中扮演着重要的角色，全世界谷物及其他各种颗粒物每年的产量数 以百亿吨计，这些物质的生产、加工、运输、储存等消耗掉大量的能量，因此对 它们的研究必将为我们带来巨大的经济效益【l 刮。 颗粒态物质的根本共性包括三个重要的方面： ( 1 ) 相互作用以摩擦力为主； ( 2 ) 有温度所引起的热运动可以忽略不计； ( 3 ) 颗粒体系为能量耗散体系。 对于尺度为l u m 大小的微粒，热运动能量可与其势能相比，大于这个尺寸， 布朗运动开始显得不很重要。一般常见的颗粒物大约在几十微米以上。此时布朗 运动已完全可以忽略。在没有外力作用下，颗粒总是处于静止状态，与气体分子 体系完全不同。 单个颗粒物质虽然以固体形态存在，颗粒物质的集体行为却跨越了固体、液 体及气体的界限，很难以气体、固体或液体的性质来加以描述。例如将一堆沙粒 堆积起来，当堆积的斜坡小时，沙堆静止不动，粒子不滚落。而当沙堆的斜坡达 到“最大稳定角”以后，沙堆开始崩塌，这种现象在一般液体、固体中观察不到。 颗粒物质与固体、液体、气体的重要区别是，温度对颗粒态粒子几乎不起作 用。颗粒态粒子相当于t = o 时的气体分子，这使得颗粒态体系中的颗粒行为很难用 平衡热力学理论来描述。例如许多研究显示，转动与震动会使容器中大小不同的颗 粒分离开来。而不是想象中的愈振动愈混合均匀。温度所扮演的一个重要角色是 可以用来确定物质所处的相空间。由于颗粒态粒子相当于处在t = o 的状态，除 非受到外力作用，系统的结构永远保持不变，不需考虑热平衡作用。因此，系统 中颗粒行为不可重复。温度在气相、液相中所扮演的第二个角色是提供了微观速 度的尺度。由于颗粒态相当于温度为零，热运动速度在颗粒体系中不存在。颗粒 体系中只需考虑宏观运动速度。可以定义一个“颗粒温度 来表征颗粒流在平均 中南大学硕+ 学位论文颗# 物质的基本介绍 运动速度附近的涨落。“颗粒温度”的意义在于它可以被用来当作颗粒体系能量 耗散的一个标志。但“颗粒温度”的定义并不能使通用的热力学或流体力学处理 方法适用于颗粒体系中。 我们这里所讨论的颗粒物质一般指由尺寸大于1 微米的颗粒组成的宏观体 系。当颗粒尺度小于1 微米时，热运动即布朗运动会有重要影响。若颗粒尺度更 小，微观相互作用则起主要作用。因此，这些小尺度的颗粒的运动规律与宏观颗 粒不同。对于宏观颗粒经典力学可以给出单个颗粒运动状态的精确解。然而，大 量颗粒组成的体系具有特别的性质和运动规律。颗粒物质静止时类似于固体，流 动时则类似于液体或气体。 颗粒物质的一些独特性质早为人们发现，关于颗粒物体的研究有着悠久的历 史，其中不乏有许多著名人物，像库伦( 1 7 7 3 年) 提出静摩擦力的概念1 6 i ；法拉 第( 1 8 3 1 年) 发现了振动颗粒对流不稳【7 j ；还有雷诺( 1 8 8 5 年) 引入剪切膨胀 的观点，也就是说压紧的颗粒在剪切力作用下会发生膨胀m i 。稳定流的沙堆，深 a ) 1o e c( b ) 1 咖( c ) 1h o u 图1 1 有稳定流的沙堆，随曝光时间的延长，可以明显观察到深层颗粒的蠕动 p h y s r e v l e t i , 2 0 0 1f 8 6 1 】7 5 7 - 1 7 6 0 层的颗粒投有凝结，而是出现非常缓慢的流动( 如蠕动) ，这样的运动能够在任 意一个深度观察到，如图l - l 所示，蠕动的速度随深度呈指数形式衰减，这个特 征衰减深度近似等于颗粒的尺寸，并且它不依赖丁流速。这些文献都有助于理解 如何处理这类物质。近二十年以来，颗粒物质的研究得到了迅速发展，吸引了一 大批物理学者的兴趣，已经成为当今物理学的前沿热点之一。但是对颗粒物质的 了解仍然很有限，描述颗粒物质的基本理论尚未建立。正如1 9 9 1 年诺贝尔物理 学奖获得者d e g e n n e s 所说：这领域的几乎每一件事都尚待理解我们对颗粒 物质的认识程度还只相当于2 0 世纪3 0 年代对固体物理的研究水平【9 l 。 中南大学硕士学位论文颗粒物质的基本介绍 1 2 颗粒物质静力学性质 1 2 1 粮仓效应 当往圆柱形筒仓注入高度为h 的颗粒物质，筒仓底部所受到的压强与高度厅 的关系和流体很不相同。众所周知，对于流体，容器底部所受到的压强为p g h ， 与高度成正比。其中p 为密度，g 为重力加速度。而对于颗粒体，当颗粒高度h 较小时，类似于流体，筒仓底部所受到的压强正比于h ，可是当颗粒堆积到一定 高度后压强却不再随颗粒柱的增高而增加。1 8 8 4 年，英国科学家i r o b e r t s 首次 发现粮仓底面所承受的力在粮食堆积高度约大于底面直径的两倍后达到饱和而 不再增加，并对此作了报道。从这一现象也可以联想到用沙漏作为计时器比水漏 更简便和准确，就是利用了沙粒从孔中流出的流速不像水流那样随压强改变。 1 2 2 记忆效应与压胀效应 颗粒之间的相互作用力主要是摩擦力。颗粒之间摩擦力的大小和颗粒体系经 历的堆积历史密切相关，也就是说颗粒物质具有记忆效应，它可以记住自己是如 何堆成的。雷诺( r y e n o l d s ) ( 1 8 8 5 ) 提出“如果颗粒紧密堆积在一个弹性袋中，任何 形变都会使颗粒体积增大 ，这个表述已经成为颗粒物质的基本规律之一。颗粒 物质受到外力挤压后体积可能不但不会减小反而会增加。这是因为当紧密排列的 颗粒物质受到外力挤压时，颗粒需要先松动然后再重新排列，因此颗粒物质的总 体积可能会变大。如果颗粒物质原来就处于松散的状态，外力挤压后会颗粒之间 变得紧密，总体积变小。所以颗粒物质体系受外力挤压后体积增大与否取决于颗 粒之间排列的紧密度。 1 2 3 内部应力凹陷 考虑地面上一锥形放置的苹果堆，试问在底面的一层苹果中哪个受到的压力 最大而最容易被压坏。直观地认为是处在底面中心的那个，因为它上面堆放的苹 果最多，所以受到的压力应该最大。然而，事实却并非总是如此，实验表明那个 苹果受到的压力有可能比周围同一层的苹果要小。同样地，对于地面上一无粘性 的颗粒堆，堆底压力分布的最大值并不总是在底部的中心，还可能在两边，即底 部压力分布呈现一低陷结构。 3 中南大学硕士学位论文颗粒物质的摹奉舟镕 l ：广一一 囊煞 囤1 - 2 不同的制备方法得到相同外形的沙堆( 锥形或攫形) ，发现堆底压力分布与沙堆制 备过程密切相关p 埘s r e v e ，1 9 9 9 ( 6 0 ) ：r 5 0 4 0 - 5 0 4 3 实验发现沙堆底部压力低陷的存在与否跟沙堆的制备过程有关【l0 ，“j 。如果是 用点源式( 1 0 c a l i z e d s o u r c e ) r 口从一固定点( 或线) 往下轻轻撒落形成的沙堆( 锥 形或楔形) ，底部存在压力低陷；而如果是用落甫式( r a i n i n g ) g 1 从一平面往下均匀 撒落形成的沙堆( 锥形或楔形) ，则底部不存在压力低陷，如图1 2 所示。 对于这一有趣现象，人们提出了许多不同的解释。e d v a r d s 等【】”认为沙堆内 部形成拱结构，支撑了外部的重量，从而使得底部中心出现压力凹陷，更具体的 说，他们认为堆的负荷不是垂直的，而是沿着斜线向下传递到地面的点，并且 该点处的压力萨比例于通过它的斜线长度，由于两边的斜线最长，因此有压力凹 陷。但是w i r m e r 等人指出e d v a r d s 这个模型虽然简单直观，但在力学上是不稳 的，并提出了固定主轴( f i x e d p r i n c i p a la x e s ，f 队) 模型邮“j 。 沙堆底部压力凹陷显示的只是颗粒物质边界匕的力分布情况。为了了解颗粒 介质内部的应力分布，l i u 等人i l ”将一些玻璃珠浸泡在h 油和水混合而成的匹配 液中，在上面用活塞往下压，通过玻璃珠折射率的变化来反映出颗粒的受力情况。 在三维情况下观测到了不均匀的力链结构，如图l 一3 所示。越亮的地方表示 应力越大，由图可m 颗粒介质中存在着不均匀分布的各向异性的力链网格，颗粒 介质里面的一少部分颗粒承担了大部分的压力，而其他的颗粒受力很小。 为了定量测量颗粒介质中的力分布情况人们巧妙的在容器壁或底部垫上一 层炭纸，以颗粒压在炭纸上印记的大小来标定力的大小，从而得到颗粒中力的分 布。把各处测量的力厶用平均值圈归一为f = ，用f 一，从而获得力的几率 分布p ( ，) 。通过分析发现容器上、下底和器壁处的颗粒受力分布没有差别( 如 图1 - 4 ) ，那些丈于平均力的压力出现的几率随着压力的增大呈指数减小【1 5 , 1 6 。此 外，这一几率分布形式与颗粒的排列( 无序或有序) 及粗糙程度无关【1 7 1 。只有 采用很软的颗粒，在颗粒受压形变很大时分布才发生变化，此时大于平均力的压 力出现的几率仍然呈指数衰减，但衰减的坡度会变大【l q 。 一划一 l _ r |l 中南大学硕l 。学位论立 # 物质# 本介目 图1 3 三维颗粒介质中的应力链 s c i e n c e1 9 9 5 ( 2 6 9 15 1 3 124 颗粒物质中的拱形结构 图1 4 上、下底面和器壁处颗粒的受力分布 p l a y sr e v e ，1 9 9 8 ( 5 7 ) ：3 1 6 4 - 3 1 6 9 文献1 1 4 2 7 对颗粒内部拱有比较多的介绍及研究颗粒堆流动或变形时就会膨 胀，这就是所| 胃的膨胀现象( r y e n o l d s ，1 8 8 5 ) 其原凶就是颗粒可以支撑空隙并产 生了拱形和桥形结构，其中也包含空隙，粒子是通过这种空隙产生流动的，而空 隙就足颗粒堆膨胀的直接原因。 生活中常见的粮仓效应就是颗粒物质成拱的一个具体例子。因为流体中压强 与其深度成正比，然而堆积于容器内的颗粒物底部压强在颗粒物堆积到一定高度 后去却不随颗粒物增高而变化。当颗粒体系受纵向压力时，其应力易于改向，倾 向于横向分靠，这是颗粒体系与均匀相固体不同的特性。颗粒体系的这种倾向是 造成颗粒成拱投被堵塞的一个重要原因。成拱现象是颗粒物体系的独特行为。在 建筑学r ，拱是一种极稳定的构型。液体的流动总是连续的，而颗粒物的流动却 复杂得多。拱一旦形成可以承受很大的负载而不崩塌，导致颗粒流堵塞。形成拱 的条件取次于管壁间摩擦力的大小，以及颗粒排列的紧密程度。 在真实的颗粒体系中颗粒的密度分布比较均匀，而接触点和摩擦力的分布都 是不均匀的。而且因为力是通过接触点进行传播的，所以如果有外力施加到体系 中，力将沿着一个不规则的路径传播，它们可以形成力网或力拱结构。通过应用 光弹性效应设计的实验将这种力拱结构可视化，如图1 5 所示。 中南大学硕士学位论文 颗粒物质的基本舟绍 圈v 5 颗粒堆静止堆积时内部力链构型 囝l 在一个拱形结构中的颗粒链 物理学报，2 0 0 郫n ：2 2 4 4 - 2 2 4 8 从图中可以出颗粒物质有一个性，它可以将在竖直方向施加的力分解使其指 向水平方向，这使得颗粒物质具有一些不同于其它物质的性质。而且力的路径受 到扰动后会发生或大或小的改变，这对颗粒物质内部力的涨落影响很大。 假设p 是颗粒链的线密度。考虑如图1 - 6 所示的结构，f 和f b 分别是作 用在一个长度为d l 线元两端的力，f a 和f b 分别和a 、b 两点相切，因此 f + f3 + p g d l = 0 如果。是线元d 1 和水平方向的夹角，则在笛卡尔坐标系中有 竺：c o s n 塑：s i n 0 , d x2 + 卉2 ：讲2 在水平方向上力的平衡关系为 ，砉=(1-1) 其中 拱形结构所受力的水平分量，它主要由外界条件所决定。相应的可 以得到竖直方向上的平衡方程： ( ，詈) 。- ( f 知一删= 。 微分得出丢( f 砉) + p g = 。 联立方程1 - 1 、i - 2 可得一个微分方程 誊= 一百p g 五d = 瓦p gv - u 五a y ，2 出2 e 出r v、出 n - 2 ) 量骛 中南大学硕士学位论文颗粒物质的摹本介绍 其解为y ：f h c 。s h ( 昭 f 1 3 ) 方程r 1 3 】说明了在颗粒体系中拱形结构是颗粒所能排成的比较稳定的结构， 在建筑学上有许多例子也可以证明，拱是种极稳定的结构，它一旦形成可以承 受很大的负载而不崩塌。 13 颗粒物质动力学性质 图l 一7巴西坚果敢压( 左边为柳始时刻) 把装确混合均匀的2 种大小不同颗粒的容器放在竖直振动激励条件下当振 动加速度超过菜域值时，颗粒堆会形成空间非均匀分布这种现象称为颗粒物 质的偏析。偏析现象诱发的原凼很复杂，受颗粒物质本身的性质 n ，l - 界环境的影 响而呈现不同的形态著名的“巴西颦果效应”就是典型的例子，它来源于 上个世纪3 0 年代，南美巴西人在长选运输坚果中，发现装果容器经过k 途颠簸， 大的果了上升到容器的顶部。对颗粒偏析现象研究的人员提出了不同的解释。其 中s l u d i n g 2 9 1 提出的渗透效应认为，大小不同的混合颗粒竹乖卣振动作用下， 产牛粒子偏离平衡位置作移动，小粒子能通过大粒子移动时产生的空穴向下运 动，而大粒子不断地抬高，e 升至颗粒床顶表面。这种解释能够说明在一定振动 条件下产生的大颗粒上升至颗粒床顶表面，但足不能解释大颗粒也可下沉到容器 底部的逆现象，以及混合颗粒可以产生沿容器径向偏析及其逆过程。dch o n g 等p 从分子动力学出发，提出一种新的机制来解释颗粒分离( 偏析) 现象。而 j d u r a n 等”人提出的“几何重构效应”认为：小粒子填充人粒子下面产生的孔 道而形成重组的微结构，并使大粒子上升；成拱效应就是这种微结构形式之。 jk n i g h t 等”“人提出的“对流效应”认为颗粒混合物在强振动条件下，对流携带 火小颗粒从容器中央一同向上，到达表面后流向容器壁，在近壁处，由于大粒子 没有足够的窄隙返回至下，而小粒子可咀，从而导致大粒子留在表面。这些理论 试图寻找更接近事实的描述来解释巴西坚果效应。 s h i n b r o t 等人观察到了大颗粒向f 运动的“反漂浮”( i _ e v c r s cb u o y a n c y ) 或 “反巴西坚果现壤叫”i ，他们发现一个密度较大的大球混在有很多小颗粒球组 中南大学硕士学位论文 颗粒物质的基本介绍 成的颗粒床中振动时，大球会浮到颗粒床的表面；但是当大球密度较小时，大球 则会反方向沉入颗粒床底，显示出一种“反浮力 的作用，这表明除了尺寸以外， 大球和小球的密度差也会影响颗粒的振动分聚。 姜等人【3 4 】通过竖直振动较大的镍颗粒和较小的玻璃球组成的混合物的实验 中，观察到了镍颗粒在中间玻璃球在两边的三明治式分聚。同时发现在不同的振 动条件下，有两种形成“三明治 结构的过程，一种是先从混合态形成巴西果结 构，然后随着振动加速度的增大，体系出现局域对流运动，部分小颗粒翻转到上 表面，形成稳定的三层结构；另一种是不经过巴西果阶段，由混合态直接渗透变 为三明治结构。阎等人【3 5 】分别采用直径相同而密度不同的单个大球，放在不同 尺寸小玻璃球颗粒床中进行振动实验，发现系统处于真空状态或低气压时，大球 总是向上运动；而在通常大气压下，大球会出现上升和下降两种运动状态，并认 为颗粒床中的负气压梯度是导致大球下降的原因。 1 4 本章总结 本章主要介绍颗粒物质的基本概念、奇特的行为及其研究方法和模型。颗粒 物质作为一类特殊的软凝聚态系统，具有非常丰富的动力学行为和复杂的运动规 律，因此吸引了一大批学者的兴趣和广泛关注，并取得了许多有意义的研究结果。 在这一章里首先给出了颗粒物质的基本定义一颗粒物质是指微粒尺寸大于l 微 米的宏观聚集体。然后简要介绍了如粮仓效应、记忆效应、压胀效应、沙堆底部 压力凹陷、微观力链结构等静力学性质和振动时所表现出的( 反) 巴西坚果效应 等动力学性质。颗粒物质不仅有奇特的静力学和动力学性质，更有其独特的电学 特性，第二章主要介绍国内外在颗粒物质电学性质及其涨落研究方面的进展。 8 中南大学硕士学位论文 第二章金属颗粒堆的电学性质及其涨落研究进展 第二章金属颗粒堆的电学性质及其涨落研究进展 相对于颗粒物质力学方面的研究，在颗粒物质电学性质研究方面却相对很 少，由于金属颗粒内部的电学传输和很多因素相关，如颗粒堆静力学分布、大 小及形状、外部作用力、两个颗粒之间的局部接触点的属性、氧化程度、表面状 态及粗糙度等，因而理解其导电机制是个很困难的问题。s d o r b o l o 等人做了二 维、三维金属颗粒堆在外加电流源变化时的i v 曲线变化，明显的验证了 c a l z c c h i o n e s t i 转化的存在，并且发现了回滞效应【3 6 1 ，研究了二维氧化铅金属颗 粒堆在敲击的情况下的i v 曲线，电压的变化符合l e v y 分布，而颗粒堆有明显 的聚集现象【3 7 1 ，为了排除球形颗粒容易聚集形成六边形的影响，他们研究了二 维五边形铅金属颗粒在敲击的情况下系统的电学导电变化，发现内部有明显的拱 的形成和破坏，电阻变化分布符合一定的指数定律【3 8 】。最近他们又研究了一维 线性金属链和二维阶梯金属颗粒网络在外加压力下的导电性，他们发现在电流较 低的情况下，一维线性金属链的电压特性就像是接触电阻的串联，但当电流强度 足够大时，由于颗粒之间的局部微焊增多电压开始屈服。实验过程他们引入了比 较先进的设备用来呈现金属颗粒内部的电学导电路径【3 9 1 。另外，d b o n a m y 等人 通过外加热学扰动研究了颗粒内部电学导电性的变化，得出了和s d o r b o l o 相似 的结论【柏j 。 国内对于颗粒介质的研究总体来看还处于起步阶段，对其电学性质及涨落现 象的研究还很少。 2 1 金属颗粒堆静态电学性质 2 1 1b r a niy 效应 发生轻度氧化的金属颗粒堆在一定的外加约束下会发生导电状态的改变。初 始化电阻很高，但是当在颗粒堆处在外加电磁场的情况下，电阻会很快下降几个 数量级，也即c a l z c c h i o n e s t i 转化。1 9 世纪末，以这种效应制成的波探测器被 首次用在无线电传输上。然而这种现象却并没有被完全理解，部分人从接触点出 发给予了一定程度上解释，有人分析了其内部导电性质【4 ，v a n d e m b r o u e q l 4 2 】 通过热学分析发现c a l z c c h i o n e s t i 转化归因于颗粒之间的微焊，他们发现在接触 点有较强的温度升高现象，这表明接触点处有了微焊。当微焊的接触点多到一定 程度使得聚集的颗粒堆形成一条导电路径时，就会发生绝缘态导电态的转化。 9 中南大学硕士学位论文第二章金属颗粒堆的电学性质及其涨落研究进展 当然也有别的方面的解释，比如颗粒之间在接触点氧化层的电学雪崩，金属氧 化层或半导体一金属之间接触点的隧道效应，分子或原子之间的静电力作用，等 等。颗粒在全局的聚集效应也被引入用来解释该现象。 这种效应是e b r a n l y 在1 8 9 0 年发现的，并且和其他的实验现象息息相关。 比如，当颗粒堆处在外加直流电的情况下，通过一个初始的电压，会发生导电状 态的改变，即直流b r a n l y 效应。颗粒堆电阻的暂时性涨落和较慢的弛豫现象也 在特定的实验条件下被发现。 2 1 2 回滞效应 2 图2 - 2外加电流变化时i - v 曲线图 e u r p h y s j b ，2 0 0 3 ( 3 4 ) ：2 0 卜2 0 2 金属颗粒堆在外加电流强度改变的情况下，在一定程度上i v 曲线会重合并 按照原来的曲线进行变化。s d o r b o l o 使用二维的五角星铅制金属颗粒堆进行了 实验，在两个特殊的颗粒上设置焊点以便输入电流，焊点处使用同轴电缆，外接 k e i t h l e yk 2 4 0 0 电流源，电流强度按f = s i g n x l 0 9 a 变化，其中i 按( 2 1 ) 式变化： s i g n = hq26 - - - - q m 双，q = q m 醒j6 s i g n = 一1 ：q = 6 q m 觚，q = q m 瓠专6 、。1 7 即q 从6 开始变化至q 。戤，再从q 一变化至6 ，反向亦如此，图2 - 1 中a 点 为起点，当电流慢慢增大时，曲线沿着箭头l 的方向变化，并且i v 满足如下指 数定律： v = 【v o ( 1 - e x p ( - i i o ) ) + g ，f ，r ，为金属颗粒堆的初始化电阻( 2 2 ) 当q 变化至q 一时，曲线到达b 点，当q 减小时，曲线满足线性定律v = 疋f 并沿着箭头2 的方向变化直至图2 2 中的b ，当电流再次增加时，曲线满足同样 的线性定律沿着箭头3 方向直到b ，然后沿着式( 2 2 ) 的曲线方向变化至c ，电流 再次减小时，曲线沿着箭头4 的方向变化，v = r 。， r 。o i r o 由图2 1 、图2 2 中可以看出，i - v 曲线有明显的回滞现象，并且有明显的可 逆区和非可逆区部分，这与金属颗粒堆的导电历史有很大关系，如图2 3 所示， 1 0 中南大学硕士学位论文 第二章金属颗粒堆的电学性质及其涨落研究进展 在卜之，t 】范围内， 颗粒堆电阻呈线性变化，并且能够可翻转，在这个区域之外 则呈现明显的非线性。 己 i 图2 - 3i - v 曲线区域描。e u r p h y s j b ，2 0 0 3 ( 3 4 ) ：2 0 2 e f a l c o n 等人【4 3 】研究了一维表面氧化钢球链在外加静压力情况下的非线性 导电特性，不像二维系统那样需要考虑颗粒网络之间复杂的关系，只是考虑颗粒 接触点对导电状态转换的关系。他们发现当电流增大时球链状态由绝缘态向导电 态转变，而且电压电流的关系是非线性的，每个小球都有一个饱和电压( 约0 4 v ) ， 他们认为导电状态的转变是由于相邻接触点的电热作用形成微焊接增加了接触 面积使导电率增大引起的。这与s d o r b o l o 等人研究的二维系统的结论相似。 2 2 敲击对金属颗粒堆电阻的影响 c p e 图2 4 敲击实验示意图模型e u r o p h y s l e t t , 2 0 0 1 ( 5 3 ) ：1 9 8 ( a b c 表示颗粒上的电学接触点，p 、e 表示隔离颗粒堆的板，0 表示倾斜角度) 颗粒物质是一种混乱的系统其中应力分布和压力分布是各向异性的，颗粒 堆积里存在着力链这就是所谓的拱，拱的形成和破坏影响着颗粒堆的内部几何分 布和堆积密度，从而使，颗粒堆的电学导电性有了一定的涨落性。颗粒堆的敲击 实验一般都基于以下实现模型：在具有一定倾斜角度的氧化板上放置一定数量的 金属颗粒，在两金属颗粒之间通过电学接触通入一定电流源，从而通过一定得电 中南大学硕士学位论文 第二章金属颗粒堆的电学性质及其涨落研究进展 压变化来关系颗粒堆的电阻变化，而通过一定频率的木槌来敲击氧化板来观察敲 击对颗粒堆电阻变化产生的影响。其示意图如2 4 所示。 s d o r b o l o 等人通过圆形铅金属颗粒做了该方面的实验，发现了金属颗粒 堆电阻的巨大电学涨落，并且涨落和敲击次数相关。通过引入一种“俄罗斯方块 的聚集模型【4 5 j ，他们发现颗粒堆的电阻和敲击次数n 更符合以下关系： r ( 拧) = r 。+ 彳e x p ( 一b 7 刀)( 2 3 ) 图2 - 5 敲击次数和圆形铅金属颗粒堆电阻r 的关系p h y s i c a a ，2 0 0 2 ( 3 1 1 ) ：3 0 9 通过图2 5 可以看出，在颗粒堆被敲击的初期，其电阻下降很快，s d o r b o l o 通过建立颗粒力链模型来描述该涨落削。他们认为敲击的过程是颗粒内部力链 的形成是颗粒堆聚集的主导过程，即认为颗粒堆的聚集只不过是其内部力链网络 的形成，可以用图2 6 来描述这种简化模型，表示颗粒堆在不同的聚集状态下内 部力链结构，其中2 6 a 、2 6 b 、2 6 c 分别表示在无序状态下、混合密集状态下 合理想状态下的的颗粒堆内部力链情况，而中间则表示了一个典型的复杂颗粒内 部力链网络，而其电学导电路径则沿着内部力链长度最短的方向，如图2 7 所示， 两个探针之间的电学导电路径沿着粗线方向，且电阻的大小和导电路径相关，当 颗粒堆密度增大时，其内部力链数量增多，相应的导电路径变短，因而颗粒堆电 阻变小，而当内部力链达到一定数量时，如2 7 c 所示，最短的导电路径将不再 发生变化，因而颗粒堆的电阻将变化不大，如图2 5 所示。 ( a ) 无序状态( b ) 混合密集状态( c ) 理想状态 图2 - 6 不同聚集状态下颗粒内部力链结构p h y s i c a a ，2 0 0 2 ( 3 1 1 ) ：3 1 1 1 2 中南大学硕士学位论文第二章金属颗粒堆的电学性质及其涨落研究进展 ( a ) 无序状态( b ) 混合密集状态 ( c ) 理想状态 图2 - 7 不同聚集状态下颗粒内部导电路径p h y s i c a a ，2 0 0 2 ( 3 1 1 ) ：3 1 1 n v a n d e w a l l e 等人在用氧化铅做了该敲击实验，他们发现金属颗粒堆内部的 电学涨落有非高斯分布的规律1 。敲击对颗粒堆电压的影响如图2 8 a 所示。 ( a ) 颗粒电压随敲击次数的变化( b ) 颗粒u i 分布 图2 - 8 敲击对氧化铅金属颗粒内部电压和电阻的影响e u r o p h y s l e t t , 2 0 0 1 ( 5 3 ) ：1 9 9 a u = i a r 一i a c r l o 2 ( 2 - 4 ) 由式( 2 - 4 ) 可知，因而u 和通入的电流成比例，可以看出，电压在敲击很小 的一段时间内迅速减小，之后却没有明显的系统现象，时而增大时而减小，在敲 击2 0 0 0 次以后，该颗粒堆仍为无序堆。而au i 的分布却呈非高斯分布涨落，如 图2 。8 b 所示，分布拖着一条长长的高斯尾巴( f a tt a i l s ) ，该分布称为l e v y 分布， 如式( 2 5 ) ，式( 2 6 ) 当口= l 时，该分布退化为柯西分布，当口= 2 退化为高斯分布。 p ( r ) e x p ( - y l a r 口) ，l a r i l l y( 2 - 6 ) 然而球形颗粒容易自组织成六边形结构，因而颗粒堆有大的聚集现象，为了 测量几何形状对金属颗粒堆电阻的影响，s d o r b o l o 使用可以抵制聚集的五角星 金属颗粒来代替传统的圆形金属颗粒，重复该实验h 钔，发现颗粒堆的电阻时而增 大，时而减小，没有明显的系统的现象。 1 3 中南大学硕士学位论文第二章金属颗粒堆的电学性质及其涨落研究进展 23 热学扰动对金属颗粒堆电阻的影响 较小的力学扰动或热学扰动都能够引起金属颗粒堆内部应力分布的重组， d b o n a m y 等人通过实验研究了颗粒堆在热学扰动下的电学行为削。他们主要基 于图2 - 9 的实验模型。 直径约6 m m 1 0 t t m 的不锈钢金属球颗粒( w x h ) 被央在两个树脂玻璃 ( 2 c m 厚) 之间，1 0 c m 处放置7 5 w 功率的灯，灯光热度可以使颗粒和树脂玻璃 的温度升高3 。c ，从而使颗粒膨胀，金属颗粒堆网络链接9 v 电源，电阻r l 保证流过任意颗粒之间的电流不超过4 0 m a ( 4 0 m a 以下颗粒之间的微焊将会被 避免，而且接触点网络完全符合电阻的欧姆定律) ，k ( 电源电动势) 、k ( 颗粒 堆的电压) 、k ( 测量k 涨落，t r c r 。r l ( i ，刀)( 2 1 1 ) 其中足。为初始化约束条件，与颗粒之间的摩擦系数相关，并且和颗粒堆的几何 密度= 朋d ( d 为空间维度，刀为单位面积内的颗粒数量，口为颗粒堆的大小) 相 关，其原因是因为滑落条件和颗粒堆的局部几何状态相关，而局部几何状态决定 了颗粒堆的密度情况，当r 。= 0 时，吼只能为0 或l 。而颗粒堆底部的重力可以 由式( 2 1 2 ) 确定： 工 w = w ( i ，忉，h 为颗粒堆的高度 ( 2 1 2 ) i 。z 。- 。l 图2 一1 3 显示了在特定情况下( 粮仓大小d = 2 l + 1 = 6 1 ，h = 6 1 0 ，且吼归一 化) 随r 。的变化情况，粗线表示其多次测量的平均值。可以看出，当r 。较小 时，形基本保持不变，随着r 增大，形迅速增加。并且对于一个较小的足变化 积，w 会发生较大的变化，而这期间就伴随着颗粒内部静态拱的形成。该图像 与b u r g e r 涨落圈很相似，而通过w ( r ，) 的统计图可以分析出两方面的内容，颗 粒内部拱的强度和拱的数量。 s i l o6 1 x 6 1 0 图2 1 3 形随足的变化p h y s r e v l e t t , 1 9 9 7 ( 7 8 ) ：2 3 2 1 8 中南大学硕士学位论文 第二章金属颗粒堆的电学性质及其涨落研究进展 2 4 3 电阻网络模型 图2 1 4 二维金属颗粒堆的等效二端网络 二维金属颗粒堆可以看成一个由颗粒之间接触电阻组成的二端网络【5 3 1 ，如 图2 1 4 所示，考虑电阻网络，则系统中总的电阻数为r = n 2 + ( 一1 ) 2 。 假设单个电阻为置，其两端电压为e ，对于给定的r ，可以通过基尔霍夫定律 和欧姆定律解矩阵方程求得电压e 。如果足两端的电压巨小于特征电压疋，则 该电阻为尺，一旦电压超过e ，则电阻下降为k r ，k 为运行时参数，即式( 2 1 3 ) 。 f e e ，k r 。 系统通过以下迭代过程来模拟电阻网络的崩塌现象。 l 、给定足和矿 2 、求解e 和五，增加电压直至其中一个电阻崩塌，设定崩塌电阻冠= 线 3 、求解除崩塌电阻之外的e 和，如果i 互l 疋，使得r = 纸 4 、当崩塌电阻出现在网络底部或顶部时停止处理过程，否则重复步骤3 。 假定在1 0 1 0 电阻网络中，电阻网络的崩塌过程如图2 1 6 所示，在这一 连续的电阻崩塌过程中，电阻网络中部的电阻首先开始崩塌，而且在其 中部呈现聚集现象。 ii l 图2 一1 6 二维网格电阻崩塌演化