（运筹学与控制论专业论文）两类模糊判断矩阵的一致性及其应用.pdf

两类模糊判断矩阵的一致性及其应用 摘要 层次分析法( t h ea n a l y t i ch i e r a r c h yp r o c e s s ，简称a h p ) 作 为一种定性和定量相结合的有效决策方法，其在社会、经济、管理、 及工程等领域有着广泛的应用。随着a h p 理论的发展和实际应用的需 要，人们考虑在模糊环境下的层次分析法，提出了模糊层次分析法 ( f a h p ) 。近年来，有关f a h p 的理论研究是人们关注的一个重要方向。 本文对f a h p 中两类模糊判断矩阵的一致性及其应用等方面进行 研究和探讨，主要研究内容和成果如下： 第一章介绍了有关决策的基本概念，阐述了a h p 的基本原理，分 析了f a h p 的产生背景及f a h p 中两类模糊判断矩阵的一致性存在的主 要问题，并提出本文所要研究的内容。 第二章在已有的两类模糊数判断矩阵的一致性定义及分析它们 存在的问题的基础上，提出了两类模糊判断矩阵新的一致性定义，进 一步丰富和完善f a h p 理论。 第三章根据两类模糊判断矩阵新的一致性定义，对两类一致性模 糊判断矩阵之间的转换关系进行研究。 第四章，综述了a h p 主要思想及基于两类判断矩阵确定方案优先 权重方法，并针对用层次分析法对方案排序存在的问题，通过确定具 有一致性实正互反判断矩阵元素与优先权重及参数的新逻辑关系，以 t 及确定具有一致性实互补判断矩阵元素与权重及参数的新逻辑关系， 提出层次分析法中确定方案优先权重的新参数方法， 第五章，针对决策者给出的区间数互反判断矩阵、区间数互补判 断矩阵、三角模糊数互补判断矩阵分别给出了它们的不确定性属性层 次模型。 关键词：模糊层次分析法区间数三角模糊数判断矩阵一致性 优先权重 t h et h e o r ya n da p p l i c a t i o no f t h e c o n s i s t e n c yo ft w o n d so ff u z z y j u d g m e n tm a t r i c e s a b s t r a c t t h ea n a l y t i ch i e r a r c h yp r o c e s s ( a h p ) i sa ne f f e c t i v ed e c i s i o n m e t h o dw h i c hc o m b i n e sw i t hq u a l i t a t i v ea n dq u a n t i t a t i v ea n a l y s i s i t h a sb e e n w i d e l ya p p l i e dt os o c i e 劬e c o n o m y m a n a g e m e n ta n d e n g i n e e r i n g w i t ht h ed e v e i o p m e n to fa h pt h e o r ya n dt h ea c t u a i r e q u i r e m e n to fa p p l i c a t i o n s ， p e o p l e c o n s i d e ra h pw “h f u z z y e n v i r o n m e n ta n dd e v e i o pan e wt h e o 呵m e t h o d - f u z z ya n a l y t i c h i e r a r c h yp r o c e s s ( f a h p ) t h er e s e a r c ho f 眦i pi sa ni m p o r t a n t d i r e c t i o nf b rd i s c u s s i o ni nr e c e n t i yy e a r s t h i sp a p e rs t u d i e st h et h e o i ya n da p p i i c a t i o no ft h ec o n s i s t e n c y o ft w o “n d so ff u z z yju d g m e n tm a t r i c e si nl i 、a h p t h em a i nc o n t e n t a n da c h i e v e m e n to ft h i sp a p e ra r ea sf o l l o w s ： c h a p t e r1i n t r o d u c e ss o m eb a s i cc o n c e p t so nd e c i s i o nm a k j n g t h eb a s i ct h e o r yo fa h pi sb r i e n yr e v i e w e d i ta n a i y z e st h ef o r m i n g b a c k g r o u n do fa h pa n dt h em a i ne x i s t e n tp r o b i e m so ft h e c o n s i s t e n c yo ft w o 心n d so ff u z z yj u d g m e n tm a t r i c e si ne a h p t h e i i i m a i nr e s e a r c hc o n t e n t si nt h i sp a p e ra r ea i s op r e s e n t e d i nc h a p t e r2 ，b a s e do nt h ee x i s t i n gd e f i n i t i o n so ft w ok i n d so f f u z z yj u d g m e n tm a t r i c e sa n dt h em a i ne x i s t e n tp r o b l e m so ft h e s e d e f i n i t i o n s ， t h en e wd e f i n i t i o n so ft w ok i n d so f f u z z yju d g m e n t m a t r i c e sa r ep r o p o s e d ，w h i c ha r es u p p l e m e n t sa n de n r i c h m e n to f 娶艘。 i nc h a p t e r3 ，a c c o r d i n gt ot h en e wc o n s i s t e n c yd e f i n i t i o n s ，t h e t e x ts t u d i e st h en e wt r a n s f b r n l a t i o nr e l a t i o n so f似ok j n d so f c o n s i s t e n tf h z z yju d g m e n tm a t r i c e s i nc h a p t e r4 ，t h em a i ni d e a so fa h pa n dt h ee x i s t e n tm e t h o dt o d e t e r m i n ep r i o r i t i e sb a s e do nt w oi i n d so ff h z z yju d g m e n tm a t r i c e s a r er e v i e w e d a i m i n ga tt h ee x i s t e n tp r o b l e mo fa h pf o r r a n l 【i n g a l t e r n a t i v e s ，an e wp a r a m e t e ra p p r o a c ht od e t e r m i n ep r i o r i t i e si n a h pi sp r o p o s e d ，w h i c ht h r o u g hd e t e r m i n et h el o g i c a ir e l a t i o no f e l e m e n t so fc o n s i s t e n tr e c i p r o c a iju d g m e n tm a t r i xw i t hp r i o r i 锣 a n dt h ep a r a m e t e r a n dt h el o g i c a lr e l a t i o no fe l e m e n t so fc o n s i s t e n t c o m p l e m e n t a r yju d g m e n tm a t r i xw i t hp r i o r i 锣 a n dt h ep a r a m e t e r i nc h a p t e r5 ，w i t hr e g a r dt oi n t e r v a lr e c i p r o c a iju d g m e n tm a t r i x ， i n t e i 、r a lc o m p l e m e n t a r yj u d g m e n tm a t r i xa n dt r i a n g l ef u z z yn u m b e r j u d g m e n tm a t r i xg i v e nb yd e c i s i o nm a k e bu n c e r t a i n a t t r i b u t e h i e r a r c h i c a lm o d e l sa r ep r o p o s e dr e s p e c t i v e l y k e y w o r d s ：f 啦誓秒a n a l y t i ch i e r a r c h yp r o c e s s ；i n t e r v a ln u m b e r ； t r i a n g l ef u z z yn u m b e r ；j u d g m e n tm 撕x ；c o n s i s t e n c y ；p r i o r i t ) ， v 广西大学学位论文原创性声明和使用授权说明 原创性声明 本人声明：所呈交的学位论文是在导师指导下完成的，研究工作所取得的 成果和相关知识产权属广西大学所有，本人保证不以其它单位为第一署名单位 发表或使用本论文的研究内容。除已注明部分外，论文中不包含其他人已经发 表过的研究成果，也不包含本人为获得其它学位而使用过的内容。对本文的研 究工作提供过重要帮助的个人和集体，均已在论文中明确说明并致谢。 一：毫巧 学位论文使用授权说明 本人完全了解广西大学关于收集、保存、使用学位论文的规定，即： 按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版本： 学校有权保存学位论文的印刷本和电子版，并提供目录检索与阅览服务； 学校可以采用影印、缩印、数字化或其它复制手段保存论文； 在不以赢利为目的的前提下，学校可以公布论文的部分或全部内容。 请选择发布时间： 叼即时发布口解密后发布 ( 保密论文需注明，并在解密后遵守此规定) 池雪新魏彳杼月加日 两类模糊判断矩阵的一致性及其应用 第一章绪论 1 1研究背景与问题的提出 决策是人们在政治、经济和日常生活中普遍存在的一种选择方案的行为， 是管理中经常进行的一种活动，社会和经济的发展都离不开管理，而管理的核 心就是决策。在实际生产和生活过程中，企业和个人总会时刻遇到这样或那样、 简单或复杂的决策问题。很明显，如何正确有效地处理决策问题往往是决定或 关系企业或个人发展成败与否的关键。例如，一般来讲，作为一个理性的人， 他必将在考虑服饰的颜色、尺寸、款式、品牌、性格等多种属性的基础上，给 出每一同类服饰的综合评价，选择一个满意或最优的方案，才会做出一个具体 的服饰购买决策。如果购买决策正确，无疑会使购买者的外部形象有更高一层 次的提升。 决策涉及到社会、心理、主观愿望和决策者的工作经验等多方面的因素， 同时与运筹学的各个方面，如规划、博弈、排队、库存、网络等问题有密切联 系。决策的内容十分广泛，主要包括：决策的数量化方法、决策心理学、决策 自动化、决策的评价以及决策支持系统等。 当今世界正处于知识爆炸的时代，科学技术日新月异，竞争日益激烈，我 们面临着一个机遇与挑战并存的时代，我们的实践活动更离不开决策。所以， 开展决策理论与方法应用研究，无论是对决策科学的发展还是指导复杂的决策 实践活动都具有重大的理论和现实意义。 决策的种类很多，按照不同的标准有不同的分类： ( 1 ) 按决策的层次划分，决策分为战略决策、管理决策和业务决策。 ( 2 ) 按指标的性质划分，决策分为定量决策和定性决策。 ( 3 ) 按决策的机构化程度划分，决策分为结构化的管理决策、非结构化的 管理决策和半结构化的管理决策。 ( 4 ) 按决策的动态性划分，决策分为静态决策和动态决策。 ( 5 ) 按决策的自然状态划分，决策分为确定型决策、风险型决策、不确定 广西大学硕士掌位论文 两类模糊判断矩阵的一致性及其应用 型决策和竞争型决策。 关于多指标决策硷，国内有的称为多目标决策口4 1 或多准则决策碡3 ，国外有 “m u l t i p l ec r i t e r i ad e c i s i o nm a k i n g ”( m c d m ) 璐1 和“m u l t i p l eo b j e c t i v ed e c i s i o n m 撕n g ( m o d m ) 口3 之称。本文则称为多准则决策，有多种分类。按决策的 阶段多少可分为一次性决策和多阶段决策；按决策者的多少分为单人或个体或 独裁决策和群或多人决策；按准则的多少可分为单准则决策和多准则决策；按 决策空间的特点分为多属性决策，英文即“m u l t i p l ea t t 曲u t ed e c i s i o nm a h n g ( m a d m ) 疆3 和多目标决策。决策变量构成的决策空间是离散、有限的决策称 为多属性决策，主要研究已知方案的评价选择问题，即决策者按照预定的决策 准则，对一组离散、有限的备选方案进行排序，选择偏好最满意的方案；决策 变量构成的决策空间是连续、无限的决策称为多目标决策，主要研究未知方案 的规划设计问题。 根据s i m o n 的观点，任何一个决策的过程都包括四个阶段：情报、设计、 决择和实施p 1 。也就是说收集现状信息，进行系统分析，研究可能的方案以供决 策者参考并选择侯选方案中的满意方案付诸实施。在实施决策时注意收集信息 并反馈信息用于下一轮决策过程。建立人们决策行为模型的方法主要有两种： 一是面向决策结果的方法，另一种是面向决策过程的方法。面向决策结果的方 法即决策者能正确的预见到决策结果，其核心是决策的结果和正确的预测。通 常所说的目标决策和多目标决策就是属于这种类型。面向决策过程的方法是在 决策者了解决策过程，掌握了决策过程或是能控制决策过程的前提下能正确地 预见到决策的结果。 一般来说，决策分析中存在着三个基本要素：一是可供选择的方案，它是 一个多元集合，在这个集合中蕴含着所要选定的目标；二是一组给定的约束条 件，反映系统逻辑和约束关系。方案的选择和目标的追求都必须以满足约束条 件为前提；三是一个已知的效用函数，作为衡量每个方案的优劣。在经典的决 策模型中，各种数据和信息都被假定为绝对精确，目标和约束也被严格地定义 并有良好的数学表示。因而在理论上存在着一个分明的解空间，找出其中的最 优解，使系统的综合效用达到最大化。但在实际决策过程中，个人和组织所面 临的决策问题常常是非常复杂的，要完全用数学模型进行精确刻画几乎是不可 广西大掌硕士学位论文 两类模糊判断矩阵的一致性及其应用 能的，即使对某些问题可以建立精确的数学模型，但其求解与分析也可能是非 常困难的。多属性决策的实质是利用已有的决策信息通过一定的方式对一组( 有 限个) 被选方案进行排序并择优。它主要由两部分组成：( 1 ) 获取决策信息。 决策信息一般包括两个方面的内容：属性权重和属性值，其中属性权重的确定 是多属性决策的一个重要研究内容：( 2 ) 通过一定的方式对决策信息进行集结 并对方案进行排序和择优。 1 2 国内外研究现状 从古至今，决策就与数学结下了不解之缘。数学模型以其分析问题简单， 目的性强等特点，极大地促进了决策方法的发展。美国运筹学家t l s a a t y n 们 教授于二十世纪七十年代初提出了著名的层次分析法( t h ea n a l y t i ch i e r a r c h y p r o c e s s ，简称a h p ) 。a h p 是一种定性与定量相结合的系统化、层次化的分析 决策方法，能够有效分析目标准则体系层次间的非序列关系，有效地综合测度 决策者的判断和比较。由于系统简洁、实用，在社会、经济、军事、管理等各 个领域中得到了极为广泛的应用，也吸引了众多的学者对该决策方法作深入的 理论研究，是近年来极为活跃的决策理论研究领域，新的研究成果不断涌现乜2 嘲3 。 应用a h p 进行决策时，大体可以分为四个步骤进行： 1 分析系统中各因素之间的关系，建立系统的递阶层次结构； 2 对同一层的各元素关于上一层中某一准则的重要性进行比较，构造两两判 断矩阵； 3 由判断矩阵计算被比较元素的相对权重； 4 计算各层元素对系统目标的组合权重，并进行排序。 近年来，国内外围绕a h p 的研究集中在如下几个方面，在理论方法上有： ( 1 ) 传统a h p 的完善，包括标度系统研究、排序方法研究、保序性研究、 一致性研究等等； ( 2 ) 扩展a h p 的研究，包括模糊层次分析法( f u z z ya h p ，简称f a h p ，有 基于模糊数的模糊层次分析和基于模糊一致矩阵的模糊层次分析两种) ，网络层 次分析法( ta h p ，简称n h p ) ； 广西大掌硕士掌位论文 两类模糊判断矩阵的一致性及箕应用 ( 3 ) a h p 与其它预测决策方法结合，如与对策论、最优化理论、效用理论 等之间的关系等等。而在应用领域上，探讨在更广泛的领域如人工智能、效用 理论、成本效益、金融工程、证券市场、风险评价、信用评估等方面的应用。 在应用层次分析法中，也发现层次分析法存在一些缺陷： ( 1 ) 当判断矩阵不具有一致性时需要调整判断矩阵的元素，使其具有一致 性，这不排除要经过若干次调整、检验、再调整、再检验的过程才能使判断矩 阵具有一致性，这个过程需要反复计算判断矩阵的最大特征根k 。，使得决策工 作量繁重。 ( 2 ) 检验判断矩阵是否满足一致性的判断标准：c r 。，f ，。若呀= 去，= l ，瓦，则称么为实正互反判 断矩阵。 广西大掌硕士学位论文两类模糊判断矩阵的一致性及其应【用 定义2 2 0 3 设实正互反判断矩阵彳= ( q 。，若= 丝，v f ，歹，七，则称 n 浓 彳为一致性实正互反判断矩阵。 定义2 3 旧设r = ( 勺) 脚为实判断矩阵，其中勺o ，f ，若勺+ 0 = l ， = o 5 ，f ，则称r 为实互补判断矩阵。 定义2 4 m 1 设实互补判断矩阵尺= ( 龟) ，若勺= 一+ 0 5 ，v f ，后， 则称r 为一致性实互补判断矩阵。此时，也称尺= ( 珞) 具有加型一致性。 2 2 区间数判断矩阵 2 2 1 区间数 下面首先给出区间数的定义及其运算法则。 定义2 5 记口= 陋一，口+ 】_ 缸| 口一x 矿) ，称口为一个区间数，当 口一= 口+ 时，区间数口即为实数。如果口= 口一，口+ 】_ x l o 0 为实数； ( 4 ) 除法运算： 詈= 嬲币一，亡，知 一= 一= l ，j ，l i l 一一_ 6 6 一，6 + 】 。 。6 + 76 1 特别地，当区间数口，6 为正区间数时，有 詈= 告，争 一= l 一一i 1 66 + 76 一。 当区间数口，6 为区间数判断矩阵中的两个区间数时，则陋7 1 口 【口一，口+ 一= = 6 6 一，6 + 】 唔，a 口，6 取值不一致 商n ( 等，等) ，m a x ( 等，等) 】，口，6 取值一致 ( 5 ) 指数运算： ，= c 。，c 矿】， 其中c 1 为实数； ( 6 ) 对数运算： l o g 。6 = 1 0 9 。6 一，l o g 。6 + 】， 其中c 1 为实数，6 为正区间数； ( 7 ) 乘方运算： 口”= ( 口一) ”，( 口+ ) ”】， 其中口为正区间数； 开方运算： 拓： 仃，汀】， 广西大掌硕士学位论文 两类模糊判昕矩阵的一致性及其应用 其中口为正区间数； ( 8 ) h a u s d o r f f 距离运算： 如= m a x | 口- 一6 一i ，l 口+ 一6 + 1 ) ， 其中口，6 为正区间数。 2 2 2 区间数判断矩阵 以区间数为元素的向量或矩阵称为区间数向量或区间数矩阵。以正区间数 为元素组成的判断矩阵称为区间数判断矩阵。 定义2 6 旧3 设彳= ( 吻) 删为区间数判断矩阵，其中= 【一，+ 】 嘞一 o ，f 川若乃2 去，= 1 ，1 小l 则称彳为区间数互反判断矩阵。 定义2 7 呻3 设彳= ( ) 为区间数互反判断矩阵，若 = ，v f ，后， ( 2 1 ) 则称彳为一致性区间数互反判断矩阵。 定义2 8 m 3 设4 = ( 口：f ，) 为区间数互反判断矩阵，若 一2 等w2 等枷肛， 汜2 ， 则称彳为一致性区间数互反判断矩阵。 显然，当吩一= + ，f ，时，彳= ( ) 为一致性实正互反判断矩阵。 定义2 9 咖1 设r = ( 乃) 为区间数判断矩阵，其中吩= 【一，矿】 乃一 0 ，f ，若乃一+ 0 + = ，；，+ + ，：f 一= 1 ，f ，= o 5 ，0 5 】，f ，则称r 为区 间数互补判断矩阵。 定义2 1 0 口们 设尺= ( ，；，) 删为区间数互补判断矩阵，若 + = + 勺，v f ，歹，尼， ( 2 3 ) 则称r 为一致性区间数互补判断矩阵。 两类模糊判断矩阵的一致性及其应用 定义2 1 1 嘲设r = ( 勺) 脚为区间数互补判断矩阵，若 吩一= 一一+ + o 5 ，勺+ = + 一一+ o 5 ，v f ，尼， ( 2 4 ) 则称r 为一致性区间数互补判断矩阵。 显然，当乃一= ，；，+ ，f ，时，r = ( ，；) 删为一致性实互补判断矩阵。 2 2 3 区间数判断矩阵的一致性 根据区间数的运算法则，下面指出区间数判断矩阵一致性定义的不足。 定理2 1由定义2 7 所定义的一致性区间数互反判断矩阵是一致性实正互 反判断矩阵。 证明：设么= ( ) 。是由定义2 7 所定义的为一致性区间数互反判断矩阵， 则由( 2 1 ) 式及区间数运算法则，有 q ic i j ( = q ，n i q j ? = n 0 ( 2 1 ) 和( 2 7 ) ( 2 2 ) 。因此，可将( 2 7 ) 式作为区间数互反判断矩阵具 两类模糊判断矩阵的一致性及其应用 有一致性的充要条件。 关于区间数互补判断矩阵，有下列定理。 定理2 2由定义2 1 0 所定义的一致性区间数互补判断矩阵是一致性实互 补判断矩阵。 证明：设r = ( ) 。是由定义2 1 0 所定义的一致性区间数互补判断矩阵。则 由( 2 3 ) 式及区间数运算法则，有 当后= f 时，有 吩一+ ，：f 一= 分+ o 5 = 1 又由定义1 4 可得 吩一+ 矿= 1 所以 r j i = r j ? ，i ，j i 因此尺= ( ，；) 脚是一致性实互补判断矩阵。 这仍可以从另一个角度来说明。根据张吉军n 3 1 在姚敏、张森口2 7 3 3 提出的模 糊互补判断矩阵的一致性的基础上所给出的一致性模糊互补判断矩阵元素与权 重的的逻辑关系，即 勺= 口( 嵋一) + o 。5 ，v f ， 其中口孚及区间数运算法则，可得 勺一= 口( 一一吩+ ) + o ( 2 9 ) 吩+ = 口( 心+ 一吩一) + 0 5 从而 吩一+ 像一= 口( 嵋一一+ ) + 0 5 + 口( 一一心+ ) + o 5 = 口( 心一一+ ) + o 5 + 口( 一一叶+ ) + 0 5 = 一+ o 5 + 口( 叶一一+ ) 一+ o 5 、， 8o 厶 ，l 5 ( 2 3 ) 和( 2 1 0 ) ( 2 4 ) 。因此，可将( 2 1 0 ) 式作为区间数互补判断 矩阵具有一致性的充要条件。 2 3 三角模糊数判断矩阵 2 3 1 三角模糊数及其运算法则 在模糊多属性决策分析中，三角模糊数也是常见地一类模糊数，下面给出三 角模糊数地定义及其运算法则。 定义2 1 4 嘶1 实数集上的模糊数口= ( q ，口m ，吼) ，其中o o 为实数。 两类模糊判断矩阵的一致性及其应用 ( 4 ) 除法运算： 特别地， ( 5 ) 指数运算： 其中c l 为实数； ( 6 ) 对数运算：。 詈2c 毒，老， 昙= 哇，毒，旁； c 4 = 矿，毋，产】， l o g 。6 = ( 1 0 9 。6 ，l o g 。6 卅，1 0 9 。色) ， 其中c 1 为实数； ( 7 ) 乘方运算： 开方运算： 矿= ( q ”，”，吼”) ； 拓= ( 石，佤，汀) 。 2 3 2 三角模糊数判断矩阵 以三角模糊数为元素的向量或矩阵称为三角模糊数向量或三角模糊数矩 阵。下面是目前有关三角模糊数判断矩阵一致性的定义。 定义2 1 5 啼5 3 设么= ( ) 嗍为三角模糊数判断矩阵，其中乃= ( ，) ， 。，“若2 去，2 去，2 古，2 ( ，1 ，1 ) ，“l 则称么为 三角模糊数互反判断矩阵。 定义2 1 6 嘲1 设r = ( 勺) 为三角模糊数判断矩阵，其中勺= ( 勺，) 勺 0 ，f ，若锄+ = 1 ，+ 饧= l ，+ = l ，吃= 【o 5 ，0 5 ，0 5 】，f ，则 广西大掌硕士学位论文 两类模糊判断矩阵的一致性及其应用 称尺为三角模糊数互补判断矩阵。 定义2 1 7 设彳= ( ) 为一致性三角模糊数互反判断矩阵，则下式成立 = ，厄石瓜= 厄瓦，v f ，七， ( 2 1 1 ) 定义2 1 8 h 7 1 设尺= ( ，：，) 为三角模糊数互补判断矩阵，若 珞勺，：f = 勺，v f ，j f ，七， ( 2 1 2 ) 则称r 为一致性三角模糊数互补判断矩阵。 定义2 1 9 设尺= ( ) 为三角模糊数互补判断矩阵，若 勘= 一+ 0 5 ，= 一+ o 5 ，= 一+ o 5 ，f ，尼， ( 2 1 3 ) 则称尺为一致性三角模糊数互补判断矩阵。 2 3 3 三角模糊数判断矩阵的一致性 把满足( 2 1 1 ) 式的三角模糊数判断矩阵作为本文的一致性三角模糊数互 反判断矩阵的定义。 下面指出由定义2 1 9 所定义的一致性三角模糊数互补判断矩阵存在不合理 性。 设r = ( ) 。是由定义2 1 9 所定义的为一致性三角模糊数互补判断矩阵，根 据张吉军n 3 1 在姚敏、张森盯2 3 提出的一致性实互补判断矩阵定义的基础上给出的 一致性模糊互补判断矩阵元素与权重的的逻辑关系，即 乃= 口( w 一) + 0 5 ，v f ， 其中口芝 及三角模糊数运算法则，可得 = 口( 嘞一) + 0 5 = 口( 0 一w ) + o 5 ( 2 1 5 ) = 口( 一) + o 5 从而 一+ 0 5 两类模糊判断矩阵的一致性及其应用 = 口( 嘞一k ) + o 5 一( 口( y 归一) + o 5 ) + 0 5 = 口( 一。) + 0 5 一口( w ，h 一) = 勺一口( w k 一) 一+ o 5 = 口( 一) + o 5 一( 口( 一) + 0 5 ) + 0 5 = 口( w f 。一w ，) + o 5 一口( 一k ) = 一口( 一w k ) 这与( 2 1 3 ) 式矛盾。基于上面的分析讨论说明了文献 7 8 所提出的三角 模糊数互补判断矩阵的一致性定义是存在缺陷的。下面就给出本文的三角模糊 数互补判断矩阵的一致性新定义。 定义2 2 0 设r = ( ，；，) 为三角模糊数互补判断矩阵，若 = 一+ 0 5 ，嘞+ = + 一一+ l ，f ，歹，七， ( 2 1 6 ) 则称r 为一致性三角模糊数互补判断矩阵。 下面通过( 2 1 5 ) 式来说明定义2 2 0 的合理性。因为 锄= 口( 嘞一) + 0 5 ，= 口( 一) + o 5 ，= 口( 一) + 0 5 ， 铂= 口( 一岷) + 0 5 ，= 口( 一) + 0 5 ，= 口( 一屹) + o 5 = 口( 嘞一) + 0 5 ，= 口( 一) + 0 5 ，= 口( 一屹) + o 5 所以 一+ o 5 = 口( 一) 一口( 一) + 0 5 = 口( ，f 册一) + o 5 = + 一一+ 1 = 口( 一w k ) + 口( 嵋。一) 一口( w _ 一w 0 ) 一日( 加一) + 1 = 口( 一归) + + o 5 + 口( 一坳) + 0 5 = 勘+ 7 知 由定义2 1 9 及定义2 2 0 可得出，( 2 1 3 ) j ( 2 1 6 ) 但( 2 1 6 ) ( 2 1 3 ) 。 因此，可将( 2 1 6 ) 式作为三角模糊数互补判断矩阵具有一致性的充要条 两类模糊判断矩阵的一致性及其应用 件。 2 4 本章小结 本章主要研究两类模糊判断矩阵的一致性问题。首先综述了区间数的定义、 区间数的二元运算关系，阐述国内外两类区间数判断矩阵的一致性研究成果， 并对这些定义所存在的缺陷进行了深入的研究，提出两类区间数判断矩阵新的 一致性定义。 其次研究两类三角模糊数判断矩阵的一致性问题。主要综述了三角模糊数 的定义、三角模糊数的二元运算关系和阐述国内外两类三角模糊数判断矩阵的 一致性研究成果，并对这些定义所存在的缺陷进行了深入的研究，提出两类三 角模糊数判断矩阵新的一致性定义。 本章所提出的两类模糊判断矩阵新的一致性定义是后面章节的基础。 两类模糊判断矩阵的一致性及其应用 第三章两类模糊判断矩阵的转换关系 在第一章，提到一些学者对两类判断矩阵偏好信息之间的转换进行了研究。 文献 1 2 ， 5 4 给出了实正互反判断矩阵与实互补判断矩阵的转换公式，它保 持积型一致性，但并不保持通常意义下的加型一致性。另外，其主要是对确定 的精确值偏好信息进行研究处理，目前，对于不确定a h p 中两类判断矩阵之间 的转换关系研究极少，而研究这类不确定性问题更具有一般性，更接近处理决 策问题的实际情况。 本章在前人工作以及第二章所提出的两类模糊判断矩阵的一致性的基础 上，对两类实判断矩阵，两类模糊判断矩阵偏好信息之间的转换进行研究。 3 1 标度的分类 应用a h p 的关键步骤是选择一个标度系统构造方案之间的两两判断矩阵，标 度系统决定了判断矩阵的量化数值。目前，人们在用a h p 对社会，经济等系统 诸因素进行决策的过程中，把语言变量( 同等重要、稍微重要、明显重要、强 烈重要、极端重要等) 数量化，提出了一系列标度，依据这些标度所得判断矩 阵的差异，可将其归纳为两大类。 第1 类“互反性 标度： 包括卜9 标度n 们，1 5 标度( 1 ，2 ，3 ，4 ，5 ) ，1 1 5 标度( 1 ，5 ，8 ，1 1 ， 1 5 ) ，x 2 标度( 1 ，9 ，2 5 ，4 9 ，8 1 ) ，；标度( 1 ，；，；，以，3 ) ，指数标度3 ， 9 9 9 1 标度和1 0 1 0 1 8 2 标度呻1 等如表3 1 所示。 两类模糊判断矩阵的一致性及其应用 表3 1“互反性”标度 等 重要 1 91 5 1 1 5 x 2 9 9 9 ll o 1 0 1 8 2 指数 级程度标度标度 标度 标度标度 标度 标度标度 同等 111111 9 9 1 0 1 0 口o 重要 稍微 33259 压 乌n1 2 8 口2 重要 明显 55382 5 压 9 51 4 6 口4 重要 强烈 7741 l4 9 矗 9 31 6 4 口6 重要 极端 9951 58 139 l1 8 2 口8 重要 9 8 12 52 2 56 5 6 198 l8 1 口1 6 等级2 ，4 ，6 ，8 表示上述相邻判断的中间值 倒数：若元素f 与元素的重要性之比为，则元素与元素f 的的重要性之 比为：土 a 用此类标度所得矩阵就是互反判断矩阵彳。 第1 i 类“互补性标度： 包括0 2 标度嘲1 ，0 1 标度啪1 和0 卜0 9 标度睁妇等如表3 2 所示。 用此类标度所得矩阵就是互补判断矩阵r = ( ) ( 注意：这里的r 并不一 定是模糊互补判断矩阵) 。 虽然两类标度所得判断矩阵性质不同，但它们之间存在着一定的联系，下 面仅考虑尺是实互补判断矩阵的情况，当决策者希望用第1 i 类标度中的其它标 度时，只需要定义与实互补标度相一致的映射即可。 广西大掌硕士掌位论文 两类模糊判断矩阵的一致性及其应用 表3 2“互补性”标度 o 一2 标度0 一l 标度 0 卜0 9 标度 含义 等级 0 1 表示薯绝对没有重要 0 0 0 3 表示薯明显没有重要 l 0 5o 5 表示薯与一样重要 0 7 表示薯明显比重要 21 o 9 表示薯绝对比重要 表3 3“互补性”标度的取值范围 标度 勺的取值 0 1 0 9 标度 0 勺1 珞= o ，吩+ 0 = 1 0 1 标度 o 勺1 = 0 5 吩+ ，：f = 1 0 2 标度 o 乃2勺= 1勺+ 勺= 2 3 2 两类一致性实判断矩阵之间的转换关系 定义3 1 腩7 3 设实互补判断矩阵r = ( 乃) ，若 0 = 吩，v f ，_ ，七， 则称r 为积型实一致性互补判断矩阵。 引理3 1 n 2 1 设彳= ( ) 是第1 类标度所得的判断矩阵，则通过转换公式： 勺2 者m “ ( 3 1 ) 广西大掌硕士掌位论文 两类模糊判断矩阵的一致性及其应用 可得互补判断矩阵r = ( 乃) 引理3 2 n 2 1 设月= ( ) 是第1 i 类标度所得的判断矩阵，且若白+ ，：f = 1 ， 勺o ，f ，则通过转换公式： 2 南m “ ( 3 2 ) 可得正互反判断矩阵4 = ( 乃) 文献 7 7 已说明转换公式( 3 1 ) ，( 3 2 ) 保持积型一致性，但并不保持加 型一致性。下面就给出一致性实正互反判断矩阵和一致性实互补判断矩阵之间 的保持加型一致性转换关系。 定理3 1 设么= ( ) 是第1 类标度所得的具有一致性的实正互反判断矩 阵，则通过转换公式： 勺= l o g 。+ o 5 ，v f ， ( 3 3 ) 其中a 妒为标度转换控制参数，可得加型实一致性互补判断矩阵 r = ( 勺) 。 证明：在第1 类不同标度下，当妒的取值如表3 1 所示，易知 0 勺( a ) 1 ，f ， 因为么= ( ) 是实正互反判断矩阵，所以 = 1 从而根据( 3 3 ) 式，有 勺+ 0 = l o g 。+ o 5 + l o g 。+ 0 5 = l o g 口+ 1 = l 且由彳的一致性，有 铲瓮。i j ，k l 所以 两类模糊判断矩阵的一致性及其应l 用 一+ 0 5 = ( 1 0 9 。+ o 5 ) 一( 1 0 9 。+ o 5 ) + 0 5 札g 。+ o 5 乩晒+ o 5 = 乃 因而，结论成立。 当 1 时，勺= l o g a + 0 5 0 5 ，当嘞 l 时，= l o g 。q + 0 5 0 5 时，吩= a 勺_ 0 5 a 。= 1 ，当乃 o 5 时，= a 吩_ o 一 口。= 1 ，这说 明转换后方案的序关系不变。所以这种转换是合理的。一般地，取妒如表3 1 所示，就可得到第1 类不同标度下的矩阵彳。 由定理3 1 和定理3 2 可知，一致性正互反判断矩阵和加型模糊一致性互 补判断矩阵可以相互转化，从这个意义上讲，它们是等价的。其转换过程不会 破坏方案的序关系，标度的选择会影响到参数9 的选择。 3 3两类一致性区间数判断矩阵之间的转换关系 以“互反性”的卜9 标度n 0 1 和“互补性”的0 1 0 9 标度蚍3 为例，研究两 类一致性区间数判断矩阵之间的转换公式，其他标度也有类似的结果。 定理3 3 设彳= ( ) 是卜9 标度下一致性区间数互反判断矩阵，则通过 转换公式 = l o g 。吩+ 0 5 ，f ， ( 3 5 ) 广西大掌硕士学位论文 两类模糊判断矩阵的一致性及其应用 其中标度转换控制参数a 2 4 3 ，可得0 卜0 9 标度下一致性区间数互补判 断矩阵r = ( 勺) 。 证明：因为 乃= l o g 。+ o 5 吉乃一+ 9 ，f ， 所以，当a 2 4 3 时， 0 1 吩一吩+ 0 9 ， f ， 根据区间数运算法则，有 乃一+ ，：f + = ( 1 0 9 。一+ o 5 ) + ( 1 0 9 。+ + o 5 ) = 1 0 9 。一+ + 1 由么的互反性：土，f ，可得 n h n i n j ? = 、 因此 勺一十形+ = l o g 。1 + 1 = 1 ， f ， 同理可证 r ；、+ r j i = 、，i ，j i 由= 【1 ，l 】及( 3 5 ) 式可得 = o 5 ，o 5 】，f ， 因此，由定义2 9 可知尺= ( 勺) 脚是0 卜0 9 标度下的区间数互补判断矩阵。 根据( 3 5 ) 式有 ( 一+ + ) 一( 一+ + ) + 1 = ( 1 0 9 口一+ l o g 口+ ) 一( 1 0 9 口一+ l o g 口+ ) + 1 乩g 。等等“q 像8 f 而由么的一致性有 等等= q ；口； n 辫n i k 二二 广西大学硕士学位论文 两类模糊判断矩阵的一致性及其应用 从而 ( 一+ + ) 一( 一+ + ) + 1 = l o g 。吻一嘞+ + 1 = ( 1 0 9 。吩一+ 0 5 ) + ( 1 0 9 。口 ，+ + 0 5 ) = 吩一+ 勺+ 因此，由定义2 1 3 可知r = ( 勺) 是一致性区间数互补判断矩阵。 由( 3 5 ) 式及口2 4 3 可知：当+ 一1 时，吩+ 勺一= l o g 。嘞一+ o 5 o 5 ； 当吩一吩+ 1 时，吩一勺+ = l o + + 0 5 o 5 这说明转换后方案的序关系不变，但转换后r 的相应各级模糊标度的含义 与表3 1 有所不同，将随着a 的变化而变化，这需要决策者对参数a 进行选择。 定理3 4 设r = ( ) 脚是0 卜0 9