（应用数学专业论文）组合投资模型及其算法研究.pdf

摘要 投资组合优化理论是现代金融投资理论的重要组成部分，它运用凸分析、随 机分析、非光滑优化、( 非) 线性规划等数学工具，并与现代投资组合理论的基本 方法一均值方差方法相结合，通过建立数学模型讨论会融市场投资规律并为个人 或机构投资者提供理论指导。本文主要开展了如下几方面的研究： 概述了几类基本的组合投资优化模型： 考虑到证券市场的实际条件，对存在交易费及不允许卖空的金融市场，分 别建立了选择最优投资组合的相关机会模型和目标规划模型，并针对各个资产交 易时交易费的变化情况，从理论上研究了最优投资组合的动态变化规律： 讨论了模糊环境下具有可信性分布的投资组合问题。引用具有可信性分布 的模糊变量，它更好地反映带有人的主观性的收益率，并用集模糊模拟、神经网 络和遗传算法于一体的混合智能算法进行求解； 另外，采用模糊决策变量，突破传统的精确决策变量，并用一定的解模糊 方法，模糊规划问题可以退化为简单的线性规划问题，不仅给出问题的最优解， 而且提供了最优解周围一定满意程度的潜在解范围，这给实际决策者提供了更大 的选择范围。 关键词：投资组合优化概率准则m ，v 模型交易费遗传算法 a b s t r a c t t h e o r yo fp o r t f o l i oo o t i m i z a t i o n i sa 1 1 i m p o r t a n tp a r t o ft h em o d e mf i n a n c e i n v e s t m e n tt h e o r i e s w h i c hu s e sm a t h e m a t i c a lf a c i l i t i e ss u c ha sc o n v e x a n a l y s i s ， r a n d o ma n a l y s i s ，n o n s m o o t ha n a l y s i s ，n o n l i n e a rp r o g r a m m i n ge t c ，c o m b i n e dw i t ht h e m e a n - v a r i a n c em e t h o d - - t h eb a s i cm e t h o do fm o d e m p o r t f o l i ot h e o r y ，b ys e t t i n gu p m a t h e m a t i c a lm o d e l s ，d i s c u s s e dt h ei n v e s t m e n tr u l e so ff i n a n c em a r k e ta n do f f e r s t h e o r e t i c g u i d ef o ri n v e s t o r s t h e m a i nr e s u l t so ft h et h e s i sc a l lb es u m m a r i z e da s f o l l o w s ： s e v e r a lb a s i cp o r t f o l i om o d e l sh a v eb e e ns u m m a r i z e df i r s t l y ； c o n s i d e r i n g t h er e a lm a r k e t c o n d i t i o n s ，c h a n c e d e p e n d e n c e m o d e la n d g o a l p r o g r a m m i n g m o d e lw i t ht r a n s a c t i o nc o s t sa sw e l la sr i os h o r ts a l e si sd e v e l o p e d f o r o p t i m a lp o r t f o l i o s e l e c t i o na n dt h e d y n a m i c r o l e sw i t ht r a n s a c t i o nc o s t sr a t e c h a n g i n g i sa n a l y z e d ； s e c o n d l y t h e p r o b l e m o f p o r t f o l i o s i n u n c e r t a i n t y e n v i r o n m e n t i s i n v e s t i g a t e d t h e m a t h e m a t i c a lm o d e lf o rt h ep o r t f o l i os e l e c t i o ni se s t a b l i s h e d b y c r e d i b i l i t yd i s t r i b u t i o nr a t h e rt h a np o s s i b i l i t yo rp r o b a b i l i t yd i s t r i b u t i o n w ep r e s e n ta h y b r i di n t e l l i g e n ta l g o r i t h mf o rf i n d i n g a na p p r o x i m a t eo p t i m a ls o l u t i o nw h i c ht os a t i s f y i n v e s t o r sa s p i r a t i o f i ( i nt h es e n s eo fu t i l i t ys c o r e s ) t ot h en a s s e tp o r t f o l i os e l e c t i o n p r o b l e mu n d e rc r e d i b i l i t yd i s t r i b u t i o n w eg i v e a l le x a m p l et os h o wt h ee f f i c i e n c yo fo u r m e t h o d + t h e q u e s t i o no fp o r t f o l i os e l e c t i n gi si n v e s t i g a t e di nt h ef u z z ye n v i r o n m e n t i n o u rm o d e l ，t h ef u z z yv a r i a b l ei si n t r o d u c e d ，w eg i v en o t o n l yt h ec r i s po p t i m a ls o l u t i o n b u ta l s os o m e r e g i o n so f p o t e n t i a ls a t i s f a c t o r ys o l u t i o na r o u n d t h eo p t i m a ls o l u t i o n k 吖w o r d s ：p o r t f o l i oo p t i m i z a t i o n t r a n s a c t i o n sc o s t p r o b a b i l i t y c r i t e r i am - vm o d e l g e n e t i c a l g o r i t h m 创新性声明 v t 6 9 5 6 5 8 本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究 成果。尽我所知。除了文中特别加以标注和致谢中所罗列的内容以外，论文中不 包含其他人已经发表或撰写过的研究成果；也不包含为获得西安电子科技大学或 其它教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做 的任何贡献均已在论文中做了明确的说明并表示了谢意。 申请学位论文与资料着有不实之处，本人承担一切相关责任。 本人签名翘蠢查日期丝上! 关于论文使用授权的说明 零入完全了解西安电争褂技大学有关保留和使用学位论文的规定，即：研究 。 i 坐程校攻读学位期间论文王搏的知识产权单位属西安电子科技大学。本人保证毕 业离校后，发表论文或使焉铃文工作成果时署名单位仍然为西安电子科技大学。 学校有权保留送交论文的复印件，允许查阅和借阅论文；学校可以公布论文的全 部或部分内容，可以允许采用影印、缩印或其它复制手段保存论文。 本人签名：翌亟盘查 导师签名：宏：l 主墨旦 同期巡：! ：丑 日期2 1 堕：f ：! z 第一章绪论 第一章绪论 金融数学是一门新兴边缘学科，在国际金融界和应用数学界受到高度重视。 金融数学是运用概率论、统计学、随机分析及最优化理论等数学工具，通过建立 数学模型讨论金融市场规律的一门数学与金融学的交叉学科，它的核心问题是如 何在不确定环境下对有效资源进行分配和利用。而证券投资组合优化理论是现代 金融投资理论的重要内容，它主要研究股票、债券等( 无) 风险资产投资分配和 风险定价以及对金融市场变化影响的理论。 证券市场是一个高风险的市场。受宏观经济状况、国家政策、企业微观运行 情况、甚至投资者心理等各种因素的影响，证券价格经常出现大幅波动。为了预 测证券价格的变化，基本分析和技术分析被引入证券分析中。基本分析注重对证 券价值的评价和预测，认为市场价格应该是证券价值的反映。技术分析通过证券 价格的历史走势来预测其未来的变动方向。其中著名的有艾略特“波浪理论”、“k 线分析”、各种技术指标等。 这些理论和方法在实际证券交易中得到了广泛的应用。但是它们的应用对使用 者的经验依赖很大。而且，证券市场的波动影响因素众多，预测准确的难度极大。 所以，如何在市场难以预测的情况下，规避风险，获得稳定的收益，就成为现代 证券投资理论首要关心的问题。 1 1 金融数学的历史回顾 金融数学的研究对象是金融市场上风险资产的投资和交易，其目的是利用有 效的数学工具揭示金融学的本质特征，从而达到对具有潜在风险的各种未定权益 的合理定价和选择规避风险的最优策略。现代金融数学被认为是两次“华尔街革命” 的产物第一次“华尔街革命”是指1 9 5 2 年马科维茨( m a r k o w t z ，h m ) 的证券组合 选择理论的问世。第二次“华尔街革命”是指1 9 7 3 年布莱克一肖尔斯( b l a c k - s e h o l e s ) 期权定价公式的问世。两次“革命”的特点之一都是避开了一般经济均衡的理论框 架，但他们确实是以华尔街为代表的金融市场引起了“革命”其直接产物就是一门 新兴的交叉学科金融数学的诞生。 金融数学的历史最早可以追溯到1 9 0 0 年法国数学家巴歇里埃( b a c h e l i e r l ) 的博士论文_ 投机的理论”( t h et h e o r yo f s p e c u l a t i o n ) i lj 。其中首次用b r o w n 运动来描述股票价格的变化，这一理论为后来金融学的发展，特别是现代期权定 价理论的建立奠定了基础。1 9 4 4 年v o nn e u m a n n 和m o r g e ns t e m t 2 1 提出了至少仍 纽台投资模型及其算法研究 被广泛使用的效用理论，开始了对投资者风险态度的描述。， 1 9 5 2 年马科维茨( m a r k o w t z ，hm ) ( 1 9 9 0 年经济学诺贝尔获得者之一) 的 博士论文“投资组合的选择( p o r t f o l i os e l e c t i o n ) ”是金融学也是金融数学的第一个 突破l 。他考虑这样的问题；如果一名投资者为减少风险而同时对多种股票进行投 资，那么怎样的投资组合最好? 为解决这一问题，他提出了均值一方差最优投资组 合模型。他认为，投资者的目标应该是收益的期望效用最大化，而不仅仅是期望收 益最大化。他用收益率的方差来衡量风险，将各证券收益率之间的比例作为变量， 从各证券收益率的统计特性出发，先用二次规划确定可供投资者选择的有效投资 组合边界，然后根据投资者的效用函数( 对收益和风险的权衡) 确定最优投资组 合。这是一个单阶段的投资组合问题，后来众多学者用动态规划的方法将这一理 论推广到多阶段的投资组台问题。 六十年代中期，在马科维茨的均值方差投资组合理论的基础上，夏普( s h a r p e ， w e ) 【4 j 、林特纳( l i n t n e r , j ) 【5 】和毛新( m o s s i n ，j ) 1 6 研究了在竞争均衡市场中， 金融资产的价格形成，提出了著名的资本资产定价理论( c a p i t a l a s s e tp r i c i n gm o d e l ， c a p m ) 。他们用投资组合( 或更一般的资本资产) 的价格变化与“市场投资组合” ( 即按每种证券的市值与市场中证券总市值之比确定权重) 的价格变化之间的回 归系数来衡量证券交易的风险。他们认为“市场投资组合”是刻画证券市场总体变化 的量，理论上可由马科维茨的分析得到，实际计算时可由证券指数得到他们证明 了在均衡市场中，市场投资组合是有效投资组合，每种组合资产的预期收益率和 它们与市场投资组合的协方差之间有线性关系，这就是资本资产定价模型c a p m 存证券估价、投资组合的绩效的测定、资本预算和投资风险分析中得到广泛应用。 马科维茨，夏普，米勒三人因其在会融学中的巨大贡献( 投资组台理论、c a p m 、 m m 定理) 而获1 9 9 0 年经济学诺贝尔奖。 。 1 9 6 5 年，法国数学家f a m a c 7 l 等提出了有效市场理论。该理论认为在一个正常 发挥功能的资本市场，资本价格的运动可以用次鞅过程来描述，它给出了资产价 格运动的动力学理论框架和金融市场如何根据外界信息来进行调整的机理，开拓 了如何利用统计学方法实证检验信息是如何被反映在债券价格中的新途径。 1 9 6 9 年，m e r t o n 开始研究连续情形下的投资消费问题 8 - 1 1 1 。m e r t o n 假设投资 者效用函数为双蓝绝对风险规避函数( h a r a ) ，对常系数模型得到了最优投资消 费策略显式解。在同样的模型假设下，k a r a t z a s ，e t a l m j 推广了m e f t o n 的结果，对投 资者的一般性效用函数得到闭式解。随后，c o x a n d h u a n g t l 3 , 1 4 1 ，k a r a t z a s ，e t a l ”。7 】 等利用鞅技术导出了求解投资消费问题的新方法，从而开拓了利用随机最优控制 理论和鞅理论等方法来研究连续时间最优投资消费问题的新途径。 1 9 7 3 年布莱克( f i s h e r b l a c k ( 1 9 3 8 1 9 9 5 ) ) 和索尔斯( m y r o ns s c h o l e s ( 1 9 4 1 甲8 i 第一章绪论 在“期权定价与公司负债”一文中提出著名的b l a c k s c h o l e s 公式几乎与此同时，默 顿( m e r t o n ，r ( 1 9 4 4 - ) ) 在“合理的期权定价理论文中对b s 模型和定价公式作 了多方面系统的推广。三人在期权定价理论的开创性工作被誉为华尔街的“第二次 革命”，默顿和索尔斯因此获得了1 9 9 7 年的诺贝尔经济学奖( b l a c k 于1 9 9 5 年英 年早逝为能分享此项殊荣) 。他们的理论和m a r k o w i t z s h a r p e 理论一起，构成了蓬 勃发展的新学科一金融数学的主要内容，同时也是研究新型衍生证券设计的新学 科一金融工程的理论基础。 1 9 9 7 年哈里森( h a r r i s o n ，j m ) 和克瑞普斯( k x e p s ，s + r ) 提出期权定价的 鞅方法，他们用鞅论中的鞅测度概念来刻画无套利市场和不完全市场，并用等价 鞅测度对期权进行定价和套期保值或对冲他们证明了市场无套利的充要条件是等 价鞅侧度存在，市场完备的充要条件是等价鞅侧度存在且唯，当市场是完备市 场时任意未定权益都是可达到的并且可由市场上的基础证券无套利复制，此时任 意未定权益都有唯一的无套利定价，并且未定权益的定价为未定权益期末收益的 折现值在等价鞅侧度下的数学期望。这一结果使随机分析中的鞅侧度的概念与金 融市场的无套利概念联系起来，从而使随机分析中的半鞅的随机积分理论在金融 衍生证券定价理论中有了用武之地，这对以后的金融数学的发展产生了极其深远 的影响。 8 0 年代末，随着金融市场的进一步完善和发展，人们发现前面研究的所有金 融模型都假定投资者可得到市场的完全信息，而实际上投资者只可观测到刻画系 统状态的价格过程本身，而布朗运动及动态方程的漂移系数是不可观测到的，即 投资者只可得到市场的部分信息。于是，基于不完全信息的投资消费问题的研究 1 4 4 - 4 5 , 5 0 1 成为当今研究的一个热点。 在随后的十几年里，金融学的研究更是受到学术界、国际政界前所未有的重 视：1 9 9 6 年由一批著名的金融学家发起成立的“b a c h e l i e r 金融学会”，通过国际交 流，推动随机过程，统计学及其他数学理论在金融学科中的运用；另外，一些新 的数理会融学杂志( 如 m a t h e m a t i c a lf i n a n c e , f i n a n c ea n ds t o c h a s t i c s ”等) 于9 0 年代相继创刊，讨论金融学、经济学、数学等领域内关于金融理论中的数学问题 的最新研究成果。人们越来越深刻地认识到：数学已成为金融学研究中随处可见 的关键技术，一大批从事数学、理论物理研究的有识之士转向金融学的研究，并 很快取得了卓越的成绩。事实上自1 9 6 9 年设立诺贝尔经济学奖以来到1 9 8 1 年 颁发的1 3 个诺贝尔经济学奖中，有7 个获奖工作是相当数学化的，如k l e i n ( 1 9 8 0 ) “设计预测经济变动的计算机模式”，t o b i n ( 1 9 8 1 ) “投资决策的数学模型”等等。 可见数学给金融学的研究带来了巨大的活力，数学语言和工具对于进一步发 展金融理论是十分有效和必需的，而金融学的发展为数学知识和技巧的运用提供 了重要的平台。现在已有越来越多的数学学者加入到金融学的研究行列，并且已 组合投资模型及其算法研究 做出了突出的成绩。另一方面，我们对数学的作用做出乐观估计的同时，必须清 醒地意识到数学所处的地位，企图把所有金融问题都纳入数学的范畴的想法是不 现实的。数学理论和方法对金融学的支持，一定要通过金融学自身的基本理论和 基本方法起作用的。数学家和余融学家的通力合作是发展金融学的必由之路。 1 2 组合投资问题的基本模型 为了更好地分散风险并取得适当的投资收益，投资者往往采用组合投资的方 式，即把一笔资金同时投资于若干种不同的证券而不是集中投资于某种证券，这 就需要利用恰当的数学模型进行决策分析。本节将扼要介绍几种最基本的也是目 前较流行的投资组合选择模型。 1 21m a r k o w i t z 组合投资模型 ( 1 ) 均值一方差 1 9 - 2 1 1 模型 它是用均值( 即数学期望) 来表示收益的好坏，用方差来度量风险的大小。 设证券市场上有n 种证券，记r s 为证券j 的收益率，x ，为证券j 上的投资量，“，为 证券j 上的投资资金上限，m 。为投资者的初始财富，记收益的风险函数为仃( x ) ， 广f 一 则口( x ) = 、f 【r ，_ - e ( r j o ) 】2 ，故方差风险测度下的投资组合模型( 简记为 vj = 1j = l m v 模型) 为 m i n x , x j i = l j = l “r j x j p m o j - i t = m o j = l 0 “j = l ，2 ，n ( 2 ) 均值一绝对离差模型 为解决大规模投资组合最优化问题，k o r m o 和y a m a z a k i t 2 ”，ys i m a a n 2 ”b 塑二皇丝堡 一! 入风险函数，将风险测度定义为州垆e 陲冀t 咽蕃n 置一) j ，建立了组合投资 决策的均值绝对离差模型( 简记为m a d ) ： 1” l m i n 呱x ) = i x r , _ 一e ( r t ) i i i = lt = l l “弓_ - p m o _ = m o 0 s 曼“j ，= 1 ，2 ，” ( 3 ) 最大最小化平均绝对离差模型 在y a n g m r 【2 4 1 提出的最大最小化投资组合选择的线性规划模型的基础上， c a i x o ，t e o ，k l 和y a n g x o 1 提出了乞风险函数，将风险测度定义为l ( x 1 ： m 。a 。x e ( r 一职1 ) 葺= m 。a ：x 。q x ，则在该风险测度下，证券组合投资的最大最小化平 均绝对离差模型( 简记为m m a d ) 为 哦旧m a x 蛳。窆j = l 脚小 儿_ = w 0 x 0 ，= 1 , 2 ，疗 ( 4 ) 均值半方差模型 2 6 1 如果以低于乎均收益的半方差为风险测度，则可建立相应的均值半方差模型 t 简记为e , s 模型) ，其模型的数学表达式为： n f i n c d w ( 耳，墨) i = i j - l j t q 一 j = l m = 1 ( 5 ) 均值方差偏度模型 6 组合投资模型及其算法研究 投资者除了希望投资组合具有最大的期望收益，最小的方差外，如果还希望 具有最大的偏度可t r ，- e ( z 薯b ) r ，则可建立相应的均值一方差一偏度模型 m i n o q w ，w ， = lf = l s e 【x , r i - e ( z 一月，) 3 ， j = 1j = 1 月 r j w j r j ；l - = 1 其中，为事先给定的偏度水平。 1 2 2 安全一首要模型 安全一首要模型有三种形式 ( 1 ) r o y 一形式 他要求投资组合p 的收益露低于给定生存水平r 的概率达到最小，其数学表 达式 r a i n p ( f e r 、 ( 2 ) k a t a k a 一形式 投资组合p 的收益低于给定生存水平r 的概率不超过指定的小概率口时，要 求它的生存水平达到最大，其数学表达式 m a xr s j 尸( 弓r ) s 口 ( 3 ) t e l s e r s - 形式 投资组合p 的收益五低于给定生存水平r 的概率不超过指定的小概率a 时，要 第一章绪论 求投资组合的期望收益达到最大，其数学表达式 m a xe 兄 s r p ( r ) 口 1 2 3 风险价值模型 随着信息技术的迅猛发展和各国刨新自由化的浪潮，金融证券市场的波动进 一步加剧，市场风险日益凸现，如何有效的预测和控制市场风险成为金融证券机 构、投资者和有关监管层所面临的问题。在这种情况下，一种用途广泛，可直接 用于测定银行、信托、证券机构和证券投资组合总体风险技术r 方法应运 而生。 v a r 指的是在一定的置信度内，由于市场波动而导致整个资产组合在未来某 个时期内可能出现的最大价值损失。简言之，是用来测量给定投资工具或组合在 未来资产价格波动下可能或潜在的损失。在数学上，它表示为投资工具或组合的 损益分布的口分位数，其数学表达式为 p r ( a p s v a r ) 2 口 其中，p 。表示组合p 在f 持有期内在置信度( 1 一口) 下的市场价值变化，此等式 说明了损失值等于或大于v a r 的概率为口。 v a r 方法能简单清晰地表示市场风险的大小，又有严谨系统的概率统计理论 做依托，得到了国际金融界的广泛支持和认可。 1 3 本文的主要工作和内容安排 投资组合优化理论在国外已经发展了半个多世纪，而在我国是伴随着证券市 场的发展而发展起来的，不过才十几年的时间。随着中国加入世贸组织以及全球 经济一体化的潮流，我们必须加快在金融与投资领域的研究步伐，进一步加强资 本市场的发展与完菩，为投资者个人或机构提供理论指导和技术支持。为此本文 围绕投资组合优化理论，运用凸分析、最优化理论等数学工具，开展了如下几方 面的研究： 第一章概述了金融数学的发展历史，总结了投资组合选择的基本类型，说明 了动态投资组合优化的研究意义。 第二章引用亏损概率作为风险测度建立组合投资问题的相关机会模型，并推 导出其等价形式及k u h n t u c k e r 条件。重点引入典型交易成本函数，分析了组合投 组台投资模型及其算法研究 资问题的相关机会模型及其遗传算法。 已有的模型通常只考虑所投资产的收益及其风险建立模型，这与实际投资过 程的操作不符合。实际投资过程中不可避免有收入税、公司分红等因素，这些因 素对实际投资收益和风险都会产生影响。第三章引入典型性交易成本函数形式建 立了该问题的目标规划模型，并对模型进行分析。 第四章首先讨论了模糊环境下具有可信性分布的投资组合问题，并用集模糊 模拟、神经网络和遗传算法于一体的混合智能算法进行求解。由于在实际组合投 资的选择过程中，投资者并不一定要求必须得到精确的最优组合，更多情况下投 资者期望达到定满意程度的组合，而混合智能算法恰能很好地满足这一要求， 因此在实际应用中具有一定的优越性。另外，采用模糊决策变量，突破传统的精 确决策变量，并用一定的解模糊方法，模糊规划问题可以退化为简单的线性规划 问题，不仅给出问题的最优解，而且提供了最优解周围一定满意程度的潜在解范 围，这给实际决策者提供了更大的选择范围。 第二章组合投资问题的相关机会模型 第二章组合投资问题的相关机会模型 19 5 2 年，m a r k o w i t z 的“组合投资模型一m v 模型”的建立为人们进行组合 投资理论研究和实际应用奠定了基础。国内外学者对组合投资问题已有很多研究， 对m v 模型做了许多改进，建模及其求解过程中均假设投资者是理性的，即投资 者具有“收益宁多勿少”和“风险宁少勿多”或回避风险的特征。但现实生活中， 投资者并非完全按照理性原则进行决策，有时为达到一定的目标而采取带有较大 风险的行为。一般讲，投资者的预期收益越大，他所应承担的风险也就越大。不 同投资者或同一投资者在不同的市场条件下，对获利性的要求都有所不同。但无 论其预期收益为何，投资者会希望找到一种投资组合，使其实际收益高于预期收 益的可能性达到最大。基于此，文献 2 6 】【2 9 提出了在概率准则下的最优投资组合 模型，其中没有明显地讨论关于投资风险的问题，隐含地以收益的协方差刻画投 资风险。而实际投资过程中，投资风险也是衡量组合优良的重要标准之一，但以 协方差作为j x l 险测度存在许多缺陷【2 】。而且投资行为的实际操作过程中，必然会产 生交易成本，因此交易成本也是不可忽珞的因素。 本章的基本思想是引用亏损概率作为风险测度建立组合投资问题的相关机会 模型，并推导出其等价形式及其k u l l l l t u c k e r 条件。引入典型交易成本函数，研究 了问题的模型、等价形式及其k u h n - t u c k e r 条件，并用遗传算法解决该非鲁棒性模 犁。 2 1 无交易成本的情况下问题的相关机会模型 2 1 1 模型建立 设有，2 神资产可供选择，其收益率为随机向量，= ( ，l ，也，) 7 ，表示第f 种资 产的收益率，假设，服从正态分布，即r n ( i t ，q ) 。其中= ( “，他，以) 为收 益率，的均值向量，最= l a i ( i = l ，2 ，拜) ，正定对称阵9 为随机向量r 的协方差矩 阵。设各种资产的投资比例为x = ( x l ，x 2 ，矗) 7 ，墨o ，i = 1 ，2 ，n i 五= l ， 忙i 那么不考虑交易成本时资产组合的实际收益为y = x t r 易知y | v ( 7 x ，x 7 ( 扛) 。 组合投资模型及其算法研究 通常在n 种资产中分配资金时，使资产组合在风险最小的情况下实现实际收益( 期 单收麓或期望收益与交易成本之差) 最大。 风险可以有多种描述形式，m a r k o w i t z 的均值方差模型【3 】中采用资产组合收益 的方差来测量风险。方差测度存在的缺陷是：1 ) 方差描述的风险既包括损失的不 确定性，也包括收益的不确定性，但投资者对期望收益和对期望损失的风险感受 实际上是不对称的”6 1 ；2 ) 它可能给投资者带来误导的信息。b r o c k e t t e 和k a h a r l e 【2 8 1 指出，即使在对称分布的情况下，使用方差作为风险测度也会导致高额收益组合 ( 对应于较大方差) 被舍弃，从而在收益最大化的目标上产生了悖论；3 ) r u e f l i l 3 ” 证明，使用方差作为风险测度会导致统计上的识辨困难，从而使得风险收益中隐 含的因果关系变得难以估计，或者产生虚假的结果，这是因为取自正态分布中的 样本的前两阶矩必须是独立的。 为克服方差测度的缺陷，可以引入亏损概率来描述风险，a 表示投资者的收 益闽限( 即最保守的收益) ，则投资者的风险就可用亏损概率p r ( y 口) 来表示，即 投资组合的实际收益低于最保守收益的概率值，使其尽可能地小。 假设投资者的预期收益率为r ，目标函数p r ( y r ) 就表示资产的实际收益率 不低于预期收益率水平的概率值。在一个不允许卖空的市场中，采用亏损概率的 j x l 险测量形式，不考虑交易成本时投资组合的相关机会模型为： m a x p r ( y 只1 m i n p r ( y d ) ( 2 1 1 ) 跚擎一 置0 , i = 1 ，2 ，h 令o ) = 了嘉唧i t 2 ) 出表示正态分布( 。 1 ) 的概率分布函数 弘( y ，- 拶“r x 由于y 2 工7 r ( t x ，x t g ) 易知u 删) ，因此目标函数 y - l r x 、只一x 1 p r ( y _ r ) = p r l y - 1 r 2 x 赫j 第二章组合投资问题的相关机会模型 同理， 珊卜r p r x 曲a 7 x - r jj 吣驯珊i y - p r 挖x 蕊a - - , u 万t x 珊卜藩j 由于巾( x ) 为单调增函数，所以 卸l 意j 峄p 咖彤哩n 丽r - f i x m ，i np r ( y 口扣m ，i n 丽- p r xj，7 n 、n 这样模型( 2 1 1 ) 等价于以下模型 哑n 删2 瓦r - i 酽t r x 唾n 删2 丽a - , u r x ( 2 1 ，2 ) 月 s f y x i = 1 j _ r i - l 鼍o ，i = l ，2 ，炸 加权法求解该两目标规划，设投资者的风险承受水平为1 7 ( o 0 o x a a x i b b x t 两目标问题( 2 2 2 ) 也司转化为单目标问题： r 一 7 x 一c ，( x ，) 1 m i n f ( x ) - - ( 1 - # ) 丽嘉一 ，7 ，_ l 、， 口一 7 x 一q ( 而) 】 叩瓦嘉一 s j 矗( x ) = 葺- 1 = 0 组合投资模型及其算法研究 g ，( x ) = 0 ，( k1 ，2 ，n ) ( 0 口 1 ) 同样可以给出该模型的最优解满足的k t 条件，即存在口，y 和 a = ( ，冯，屯) 使得最优解x 。满足 v f ( x ) - w h ( x ) 4 v g ，( x 。) = 0 f i 】 g 。( x + ) = o ，( 七= 1 ，2 ，胛) 五0 ，( 尼= 1 ，2 ，n ) 2 3 组合投资问题的相关机会模型遗传算法 模型( 2 2 2 ) 是一种较复杂的优化问题，其目标函数是非凹非凸的且搜索空间 一；规则，这就要求所使用的求解算法必须具有高度的鲁棒性，避免陷入局部最优 点。传统的数值优化算法，诸如梯度下降法、内点法、外点法、分支定界法等无 法对此进行有效求解。这里引入非数值并行优化的遗传算法求解模型( 2 2 2 ) ，算 法过程描述如下： 1 参数设置与编码 1 ) 输入参数，种群规模p o p _ s i z e = 6 0 交叉概率只= 0 2 ，变异概率p m = o 5 ， 评价函数中的参数为a = o 5 。 。 2 ) 编码。采用十进制向量，用染色体矿= 瓴，x 2 ，x 3 ，h ) 作为解的代码。 2 群体初始化 从超几何体q = ( 一，x 2 ，x 3 ，x 4 ) l o - x l l ，o z 2s l ，0 x 3s 1 ，o - - - x 4 1 ) 中随机 产生一个染色体，检验其可行性若可行，则接受：否则，拒绝。重复上述过程p o ps i z e 次，直到得到p o p _ s i z c 个可行的染色体，圪，吃。为止。 3 计算适应度 个体的适应度通过一种基于排序的评价函数来测算。评价函数用来对种群中的 第二章组台投资问题的相关机会模型 每个染色体设定一个概率。以便该染色体被选中的司能性与其在种群中相对于其 它染色体的适应性成比例。即通过轮盘赌，适应性强的染色体被选中产生后代的 机会要大。 设参数a ( 0 ，1 ) 给定，定义基于排序的评价函数为 p w ，( 昨) = a ( 1 一口) 一，扛1 , 2 ，p o p s i z e ， f - l 意味着染色体是最好的，i = p o p s i z e 说明是最差的。 4 选择过程 1 ) 对每个染色体k 计算累计概率g f ， 卜c ： k = e v a l ( v ；, ) ，i = 1 ，2 ，p o p s i z e lj 2 i 2 ) 从区间( 0 ，q 即一妇】中产生一个随机数r ： 3 ) 若嚷一l ，q i ，则选择第f 个染色体l ( 1 9 - - p o p s i z e ) ； 4 ) 重复步骤2 和步骤3 & p o p s i z e 次，由此得p 叩一j 出翟个复制的染色体 5 交叉操作 a k i = 1 到p o p s i z e 重复一下过程：在区间 0 ，1 上随机产生个实数吃，如 果名 只，则选择k 作为一个父代，这样就会有只p o p s f z e 个染色体进行交叉操 作，例如，对于选中的两个父代巧和匕，产生两个后代羔和y 的方法如下： x = c k + ( 1 一c ) ，y = ( 1 一c ) 巧+ c c 为从区间( 0 ，1 ) 中产生的一个随机数，检验x 和y 的可行性，仅用可行的后代 取代其父代。 6 变异操作 从f _ l 到p o p s i z e 重复一下过程：在区间【0 ，1 】上随机产生一个实数r m ，如 果 p m ，则选择k 作为变异父代。在只4 中随机选择变异方向d ，若_ + m d 不 可行，则置m 为0 和m 之间的随机数，直到可行为止，然后用= 巧+ m d 代 替矿。这罩m 为保证变异操作遍及整个可行集的一个足够大的数。 组台投资模型及其算法研究 益率分别为，。l = 0 1 ，, u 2 = o 1 5 ，飓= 0 5 ：成本函数中，k = 0 0 5 ，口= 0 3 ，b = o 7 ， f0 1 4 1 0 0 1 8 9 00 1 6 7 01 口2 一10 1 8 9 00 2 6 0 0 0 ，2 2 0 0i 【0 1 6 7 0 0 2 2 0 0 0 2 2 4 0j 即岛收益对应高风险，而且实际风险r i s k ( x ) 也随期望收益的提高而增大，相应的 实际收益r ( x ) 也随之提高。这一结果符合“高风险对应高收益”的基本规律。 2 ) 对于每一个给定的收益阈限口，随着风险水平夕的上升，具有较高预期收 益的资产( 资产3 ) 在组合中所占的比例趋于增大，而预期收益相对较低的资产( 资 产1 ) 的份额趋于减小。对于预期收益解于两者之阈的资产( 资产2 ) ，它的份额 虽然发生调整变化，但并没有表现出明显的规律趋势。分析其原因，除收益率不 突出外，它与其余资产存在的正相关关系也是一个重要的因素。 2 4 本章小结 在典型交易成本函数的条件下考虑了组合投资问题的相关机会模型，突破传 统模型引入亏损概率作为风险测度，克服了协方差测度带来的缺陷。其决镱过程 具有一定的现实意义。本章在资产收益率服从正态分布的假设前提下，得出其等 价模型，即将概率模型转化为一般模型，随着混合智能算法的发展，资产收益在 任意分布下，均可利用随机模拟、神经网络及遗传算法，对历史数据模拟优化， 从而得到满意结果，这对实际投资操作有直接的引导作用。 第三章组合投资问题的目标规划模型 第三章组合投资问题的目标规划模型 3 1 引言 在证券投资过程中，为实现既定的投资目标，投资者需要根据市场条件的变 化不断调整现有资产组合买入、卖出证券，由此导致交易成本的产生。通常 对实际交易成本的描述往往具有复杂的数学形式，因此具有交易成本的投资组合 问题在技术上存在许多困难。为了简便起见，经典m a r k o w i t z 投资组合模型忽略了 交易成本，而事实上由于交易成本对实际收益的影响，忽略交易成本往往导致无 效的资产组合。文献 3 6 ，3 7 引入了线性交易成本，文献【3 8 考虑了非线性交易成 本，并采用逐段逼近的方式处理非线性交易成本，文献 3 9 ，4 0 1 引入了v - 形成本函 数形式。但这些交易成本函数形式于实际情形不符，文献【7 】采用了所谓的“典型 交易成本”( 如图1 ) ，很好的刻湎了交易成本通常表现为资产交易量具有两个拐的 非凹非凸的函数的特点。即当资产额较小时，单位交易成本很大；随着交易额的 上升交易成本将逐渐减小。故在达到某个点，譬如a 点之前，成本函数c ( x ) 时凹 型的。然而当越过此点时单位交易成本就会保持不变，或者说交易成本函数建随 着交易量的增加呈线性增长，直到达到另一个点b 。如果交易量继续增长，则由于 证券供给的缺乏等因素其价格将上升。所以成本函数c ( z ) 在越过点b 之后将变凸。 另外，在建立投资组合模型时，通常只考虑资产投资的收益及其风险，这与 实际情形不符。譬如收入税率、盈利分红等因素对投资的最终收益也有影响，对 于投资大户尤其如此1 4 2 1 。本文应用随机目标规划，同时考虑组合投资收益和盈利 分红收益对证券投资问题进行讨论。 3 2 组合投资问题的目标规划模型 3 2 1 模型建立 设有一种证券，点1 为第i 种证券的收益率。眚2 为第i 种证券的分红率。戈，为 投资于第i 种证券的比例。q ( x ，) 为第i 种证券的交易费用，则g l , 9 2 分别为投资收 益和分红收益，即 组合投资模型及其算法研究 数。 则可建立目标规划模型： g ，= 茧。x i - z c f ( t ) i = li = 1 g ：= 专： m i n 盯2 ( g ，) r a i n d 2 ( ) 蚕a l s l 季2 口2 x 。= l j - l x ，0 ，i = 1 2 ，力 ( 3 2 1 ) 这里蟊= 磁l ，磊= 玩2 ，c 1a 2目标值。0 2 ( g ) = x ( e o v ) ，f 。 这罩交易成本函数采用图3 2 1 形式的典型交易成本函数形式非凸非凹函 k 卮 o 0 0 图3 , 2 1典型成本函数的结构形式 用加权法将该两目标问题转换为单目标问题： ，( x ) = r a i n r i o - 2 ( g , ) - 0 - , a ) a 2 2 ( 9 2 ) ( 3 2 2 ) 第三章组合投资问题的目标规划模型 3 _ 3 1 算法 。蚕a l s r 磊a 2 = 1 置0 ，i = 1 ，2 ，n 3 3 具有典型交易成本时模型的求解算法 模型( 3 2 2 ) 中，若忽略交易费用即不考虑交易费用时模型可退化为二次规 划，可直接用求解二次规划的数学软件进行求解。当引入典裂交易费用函数时模 型( 3 2 2 ) 的约束函数为非线性函数，此时有效解集为非凸非凹集合即搜索空川 不规则，这就要求所使用的求解算法必须具有高度的鲁棒性，避免陷入局部最优 点传统的数值优化算法，诸如梯度下降法、内点法、外点法、分支定界法等无法 对此进行有效求解这里引入非数值并行优化的遗传算法求解模型( 3 2 2 ) ，算法过 程描述如下： 1 参数设置与编码 1 ) 输入参数，种群规模p o p _ s i z e = 6 0 ，交叉概率e = o 2 ，变异概率p m = o 5 ，评 价函数中的参数为口= 0 5 2 ) 编码采用十进制向量，用染色体v = ( 五，。2 ，x 3 ，- ) 作为解的代码。 2 ，群体初始化 从超几何体q = ( _ ，x 2 ，屯，x 4 ) l o 薯- 1 ，o x 2 茎l ，o x 3 1 ，o x 4 等1 ) 中随机产 生一个染色体，检验荚可行性若可行，则接受；否则，拒绝。重复上述过程p o p _ s i z e 次，直到得到p o ps i z e 个可行的染色体，k ，一v 一。为止a 3 计算适应度 组合投资模型及其算法研究 本