（应用数学专业论文）随机动力系统在投资组合中的应用.pdf

西北工业大学硕士学位论文 摘要 当今社会己经进入经济竞争的时代， 社会发展以及人类进步的要求促使人 们对金融经济研究投入越来越多的精力。 几十年来， 人们不断的发展新的理论 方法， 希望能够推动数理金融的发展与创新。 本文利用随机动力系统理论研究 了大家关心的某些经济问题尤其是资产组合问题。 本论文研究的创新点主要表现在以下两大方面: 第一部分是在 k l a u s的文章 “ e v o l u t i o n o f p o r t f o l i o r u l e s i n i n c o m p l e t e m a r k e t ”基础上完成的。 k la u s使用随机动力系统理论建立了关于市场份额与 投资份额的模型， 并得到了将来时刻最优投资策略的显式表达式。 这一理论的 经济意义是选择最优投资策略的投资者将是市场选择过程唯一的幸存者， 将拥 有整个市场财富。我们想借鉴k l a u s 的理论，将其应用到中国的金融市场，但 这个结论是否适用于中国市场是个有争议的问题。 因此第一部分的工作我们主 要集中在实证研究方面。方法是以中国股票市场上 2 0 0 0 -2 0 0 1 年的原始股票 数据为材料，选择几种具有代表性的股票日收盘价作为基础数据，代入 k l a u s 得到的三个中心计算公式中。 本文分别以两种资产、五种资产、十种资产对五 位投资者以及十位投资者为例， 得到了不同情形下每位投资者在1 5 0 天内的财 富演变情况，分析了每种情况中图形所代表的经济含义。最后我们得出结论: k l a u s 的理论同样适用于中国的股票市场。 第二部分主要是理论方面的工作。 受 i 的启发， 我们重新考虑了不完全市 场中的投资份额与市场份额。 在这部分中允许市场的总财富在整个投资过程中 发生改变，同时允许投资者可以撤离部分资金。这些与k l a u s 文中提到的条件 假设是截然相反的。同样应用随机动力系统理论， 我们得到一个新的随机方程 模型。 利用大数定律以及调和性质， 得到了市场总财富发生改变情况下市场份 额将来时刻的不动点。可以证明， 这个不动点是稳定的。本文最后对此不动点 的经济含义给出简单了的说明。 关键词:投资份额，市场份额，资产组合，随机动力系统，乘积遍历理论。 西北工业大学硕士学位论文 ab s t r a c t n o w a d a y s , s o c i e t y h a s e n t e r e d i n t o e c o n o m i c c o m p e t i t i o n t i m e , t h e d e v e lo p m e n t o f s o c i e t y a n d t h e r e q u i r e m e n t f o r h u m a n p r o g r e s s i n d u c e p e o p l e t o d e v o t e m o r e a n d m o r e e n e r g y t o f i n a n c e a n d e c o n o m i c s r e s e a r c h . f o r d e c a d e s o f d e v e lo p m e n t , p e o p l e i n c r e a s i n g ly l o o k f o r b e tt e r t h e o r e t i c a l s y s t e m s t o i m p r o v e f i n a n c e d e v e l o p m e n t a n d i n n o v a t i o n . s o m e e c o n o m i c p r o b l e m s e s p e c i a l l y p o rt f o l io a r e s t u d i e d i n t h i s t h e s i s b y u s e o f r a n d o m d y n a m i c a l s y s t e m t h e o ry . t h i s t h e s i s d e a l s w i t h t h e f o l l o w i n g t w o c r e a t i v e t o p i c s: t h e f i r s t p a rt i s f i n i s h e d o n t h e b a s e o f k l a u s w o r k i n g p a p e r e v o lu t i o n o f p o rt f o l i o r u l e s i n i n c o m p l e t e ma r k e t . k l a u s u t i l i z e r a n d o m d y n a m i c a l s y s t e m t h e o r y t o s e t u p a m o d e l f o r m a r k e t s h a r e a n d i n v e s t s h a r e . mo r e o v e r a n e x p l i c i t f o r m u l a f o r t h e b e s t i n v e s t m e n t s t r a t e g y i n t h e f u t u r e t i m e i s d e r i v e d . t h e s i g n i f i c a n c e t h i s r e s u lt b r o u g h t i s t h e i n v e s t o r w h o s e l e c t s t h i s s t r a t e g y w i l l b e t h e o n l y s u r v i v o r a n d d o m i n a t e t o t a l m a r k e t w e a l t h . f o r t h i s r e as o n , w e w a n t t o o w n t h i s r e s u l t a n d c a r ry i t o u t o n c h i n a f i n a n c i a l m a r k e t . h o w e v e r w h e t h e r t h i s t h e o r y a d a p t t o c h i n a m a r k e t i s a s u s c e p t i b l e p r o b l e m . t h e r e f o r e w e p a y m u c h a t t e n t i o n t o c o n f i r m a t i o n s t u d y i n t h e f i r s t p a rt . t h e t e c h n i q u e w e p r o p o s e d i s t o t a k e t h e o r i g i n a l s t o c k d a t a o n c h i n a s t o c k m a r k e t f r o m y e a r 2 0 0 0 t o 2 0 0 1 a s m a t e r i a l , a n d s e l e c t f i n a l d a t a p e r d a y o f s e v e r a l r e p r e s e n t a t i o n a l s t o c k s as fu n d a m e n t a l d a t a , t h e n p u t d a t a i n t o t h a t t h r e e i m p o rt a n t f o r m u l a . t h i s t h e s i s t a k i n g t w o as s e t s , f iv e a s s e t s , t e n a s s e t s a n d f i v e i n v e s t o r s , t e n i n v e s t o r s a s e x a m p l e , o b t a i n s w e a l t h e v o l u t io n w i t h i n 1 5 0 d a y s . a t t h e s a m e t i m e f i n a n c i a l s i g n i f i c a n c e i n v o l v e d i n t h e g r a p h i s a l s o a n a l y z e d i n d e t a i l . a t l a s t w e c o m e t o t h e c o n c l u s i o n : k l a u s t h e o r y i n s h a p e wi t h c h i n a s t o c k ma r k e t . t h e s e c o n d p a r t f o c u s e s o n t h e t h e o r e t ic a l t a s k . b e i n g in s p i r it e d b y 1 , i n v e s t s h a r e a n d m a r k e t s h a r e i n t h e i n c o m p l e t e m a r k e t a r e c o n s id e r e d o n c e m o r e . i n t h i s s e c t o r m a r k e t w e a l t h i s a d mi t t e d t o c h a n g e a n d e v e r y i n v e s t o r c a n w i t h d r a w a p a rt o f h i s w e a l t h d u r i n g i n v e s t m e n t , w h i c h a r e r e v e r s e t o t h o s e h y p o t h e s e s o f k l a u s . w e 西北工业大学硕士学位论文 w e p l a c e o u r s t u d y w i t h i n t h e t h e o r y o f r a n d o m d y n a m i c a l s y s t e m , a s a r e s u l t w e g e t a n e w r a n d o m e q u a t i o n m o d e l . wi t h t h e l a w o f la r g e n u m b e r a n d t e m p e r p r o p e r t y , a f i x e d p o i n t o f m a r k e t s h a r e i n t h e f u t u r e t i m e c a n b e f o u n d w h e n t o t a l w e a l t h o f m a r k e t i s c h a n g e a b le . i t i s p r o v e d t h a t t h i s f i x e d p o i n t i s s t a b le . a t t h e e n d o f t h i s t h e s i s , a s i m p l e e x p l a n a t io n f o r e c o n o m i c s i g n i f i c a n c e o f i t i s p r o v i d e d . k e y w o r d s : i n v e s t s h a r e , m a r k e t s h a r e , p o r t f o l i o , r a n d o m d y n a m i c a l s y s t e m , m u l t i p l i c a t i v e e r g o d i c t h e o r e m. 1 1 1 西北工业大学硕士论文 第一章 绪论 1 . 1均值一 方差方法介绍 1 9 5 2 年美国经济学家， 金融学家， 诺贝尔奖获得者h . m. ma r k o w it z 发表了 著名的文章( p o rt f o l i o s e l e c t i o n ) 引 起了 金融界的轰动。 在这篇文章中， m a r k o w i t z 以均值和方差的形式第一次给出了风险资产的收益与方差之间的关系模型， 讨论 了不确定经济系统中最优资产组合的选择问题，为资本资产定价理论奠定了坚 实的基础。其核心内容就是投资的有效分散化。我们知道，一种资产的市场风 险是随机的，要受到公司业绩和其他各种因素的影响，而我们是很难预测和控 制这种风险的。如果某个投资者只选择单一的资产进行投资，一旦决策错误， 就会对其本人或其代表机构造成巨 大的 经济损失。 为了 避免这一缺陷 ， m a r k o w i t z 提出适当的选择多种资产构成资产组合，利用风险的互补性，使市场风险达到 最小。这也就是标准的均值一 方差资产组合所要解决的问题。继 ma r k o w i t z 工作 之后，投资组合理论得到蓬勃发展，取得了丰硕的成果。其中两位美国经济学 家、 金融学家、 诺贝尔奖获得者w i l l i a m s h a r p e ( 1 9 6 4 ) 和j o h n l i n t e n e r ( 1 9 6 5 ) 给出 了m a r k o w i t z的 均值一 方差模型的均衡版本， 即 著名的资本资产定价模型( c a p i t a l a s s e t p r i c in g m o d e l, 简 记c a p m ) 。 由 于 均 值一 方 差 模型 简 单易 懂，每 个 具 有 基础 概 率统计知识的投资者都可以轻松应用，再加上计算投资比例所需的数据只有各 种资产的收益与资产间的协方差，因此近十几年来，这一模型在投资组合理论 中始终受到学者的广泛青睐， 占据重要的地位。 1 . 2均值一 方差方法存在的缺陷 然而均值方差模型并不是特别完美的， 它是在很强的假设条件下才成立的。 该模型中用收益率 ( 它是一个随机变量)的两个数字特征一均值与方差来刻画 一个证券，这就隐含了一个重要的假设:证券收益率服从正态分布。而大量的 实证分析表明，一般情况下证券收益具有不对称性。另外，该模型只能适用于 单周期，一般只有r 二 0 和r = 1 两个周期。在整个建模过程中， 所有相关的变量 是与时间无关的，也就是资产的定价是在静态的环境中进行的。然而事实并非 西北工业大学硕士论文 如此。 金融市场中许多资产价格在每个时刻都在不停的变化， 而均值一 方差模型 却不能反映变量随时间变化的情况。事实上经济学家希望解释的许多观察结果 都内在的涉及时间的变化，例如利率、资产价格、资本积累、失业以及借贷。 因此， 在均值一 方差模型的引导下， 人们开始寻求新的建模方法，希望能够对多 周期以及时间变量进行讨论。现实的经济是一个动态系统，在经济中用来刻画 其特征或者度量其程度水平的变量是依赖于时间的变量。描述经济行为规律的 方程也包含着各个不同时刻的变化情况。因此，在数学上动态的经济系统可作 为一个时间演化的动力系统。 1 . 3经济动力学的发展 2 0世纪 2 o年代以后，经济动力学问世。那个时候，经济学家第一次应用 微分和差分方程来对经济问题建模。差分方程式表示的是因变量和滞后的自变 量之间的关系。这些变量在离散的时间区间内不断的变化。微分方程式表示的 是不同变量关于时间的内在关系。它们共同的特征就是涉及了时间对变量的影 响。差分方程与微分方程的这一特性引导学者们，通过对变量做适当的约束再 列微分或差分方程，也就是用数学公式来描述经济系统中的基本环节，然后解 方程，通过讨论解的存在性、稳定性、合理性、能控性来揭示经济中的演化行 为、渐近性态和稳定性等动态特征。 用术语动态和静态来描述模型中的变量之间的结构要归功于 f r i s c h. 他在 1 9 3 3 年( p r o p a g a t i o n p r o b le m s a n d i m p u l s e i n d y n a m i c e c o n o m i c s 一文中指出， 如果所有的变量都参考相同的时间，则这样的结构关系称为静态的，否则称为 动态的。他建议如果变量至少包含了一个动态结构关系，模型最好定义为动态 的。如果状态与变量可以跨越不同的时间周期，那么这种模型中的均衡指的就 是变量分布的时间走道均衡。一般的这种均衡不具有演变的方向和在某个状态 空间中可以改变的初始状态。幸运的是动力系统却能做到这一点。因而我们希 望提出一个动力系统框架下模型的等价描述。一个经济模型能得到一个动力系 统的描述要求: ( i ) 可以定义一 个状态空间 ( 特别的， 可以 确定一个初始状态) 。 西北工业大学硕士论文 ( 2 ) 在经 济 模型中 所 有的 方 程 对不 同 的 初始 状 态 和 变 量 都 有 解。 ( 3 ) 这些解具有依赖状态和变量的适当的时间结构。 1 . 4应用动力系统解决经济问题的现状. 目 前国内应用动力系统理论进行经济分析的主要集中在对一类非线性的金 融系统进行平衡、稳定、分岔、混沌的分析。并且模型都是建立在确定性系统 之上的，比 较理想化。真正的金融市场中状态是不确定的，随机的，因此， 使 用随机的动力系统来解决 经济问 题就更接近于实际。随机动力系统的理论可以 分析经济系统的稳定 性质， 例如外来干扰、 不确定性和依赖时间的 环境。 然而 由 确定的系统到不确定的系统， 从数学角度来说本身就是一个质的飞跃。 首先， 随机动力系统理论的发展也处于初级阶段， 这方面理论结果比 较少， 专业的书 籍也不多， 应用随机动力系统解决 其他领域的问 题较难。其次，经济学家如果 想 应用动力 系统理 论来解决经济问 题， 就 不得不 放弃经 济动力学中 的 一 些现有 的模型，而重新考虑和改变经济过程的建模方式，而且许多经济问题的分析可 能要用到随机动力系统理论中也不存在的 概念和方法， 这就要求经济学家不仅 要掌握宽广的经济背景， 还要具有很强的数学推导能力。 近几年来， 许多 经济 学家和 数学家 都在为 此而努力。目 前在 我国 使用随 机动力系 统进行经 济分析尚 不多见， 但在国 外尤其是一些经济发达国家， 使用随机系统解决经济问 题的文 献不断涌现。 l . 5相关的随机动力系统理论 本节我们简单回顾一下用于经济建模的随机动力系统理论。 这里考虑离散 时间的情况。有关这方面的知识可以 参考a n o ld l 1。 随 机 动 力 系 统 是 建 立 在 一 个 度 量 动 力 系 统( q , f , p , 的基 础 之 上 的 。 对 可 测 的 且 逆可测的映射流庆。兮q满足b p = 尸 。 如果p 关于b 是遍历的， 则称系统也 是 遍 历 的 。 在 某 个 空 间 x 二 r t 上 考 虑 一 个 随 机 差 分 方 程 x , = h 少 m , x , ) o 这 里 假 设 映 射h ( - , ) = h ( - ) 二 x- x 是 双向 可 测 的 。 定 义 西北工业大学硕士论文 h 砂 一 ，w ) - . . h (w )x h(0.)- o . . .h (0 - w )一 ， 二 w ( t , w ， 二 ) t =0 t x (w ) 几乎处处成立。上式反映了 x . (0 1+ iw ) 一 * (0 w ， 二 (0 w ) 一 ， (t 十 1, co ，二 (w ) 对所有的t 都成立。 也就是随机不动点就是随机差分方程的一个平稳解。 求解不 动点的过程就是解若干个方程的过程。 定 义1 .2 在 状 态 集 加 ( 。 ) 。 中 ， 如 果 对 所 有 的 。 e s 2 且 二 。 u 伽 ) ， 不 动 点 ， 满 足 lim 一 。 ll p (t , (0 , x ) 一 : (0 w 湘 一 。 ， ( 本 )z 11 . 11= 斗 ) 则 称 此 不 动 点 是 稳 定 的 。 西北工业大学硕士论文 1 . 6背景知识 令恤， f , p , 的为度量动力系统其中0 为一个样本空间， 代表元素为 (t7 二 令 c _ u j o , m ， 二 ) 。 0 为 移 动映 射， 满 足流 的 性 质。 经 济系 统中 的 时 间 采 取 离 散的，即t = 0 , 1 , 2 -， 二 。市场是不完全的，既没有红利， 也不交纳税金。每位投 资者在整个投资过程中即不追加资金也不撤离资金。 也就是整个市场的总财富是 封闭的。 假设市场上共有k ( k = 1 , 2 , . - - k , k 2 ) 种资产可供i ( i = 1 ,2 , . . . 1 ) 个投资者 购买， 并且 市 场 上不 存 在任 何多 余资 产。 。 时 刻 每 位 投资 者 的 初 始 总 财富 为端, 且叫 0 o t 时刻投资者i 选择这样的资产组合口 ; = ( 成 ， ， 试 ， 。 呱， ) ，则 a l* 二 y a ik , 是 所 有 投 资 者 购 买 第 k 种 资 产 的 总 数 量 。 如 果 用 a k ( w ) 表 示 ， 时 刻 资 产k 的 收 益， 可以 得 到 资 产k 的 相 对 收 益对恤 ) 的 计 算 公 式 r , ( . ) = a t (0) l rrk ia i (. 衬 j = 1 ( 1 . 1 ) 以 及 t 1 时 刻 投 资 者 i 的 财 富 坷 十 ， 的 计 算 公 式 n r+ 1t+ 1 = 艺对( ) a k ,r 。 令f k ， 表示时刻t 资产k 的价格。则投资者i 的投资份额可以表示为 x k ,r a _p k ,t a k ,t w 如 果2 k ， 二 a .k e e， 称 这 种 投 资 份 额 是 完 全 混 合 的 简 单 投 资 策 略。 、lrlj -一 x k艺扫 可 以 推 出 ， 一二 * 定义r rr = w ; l w t ， 通过公式的 转换， 最 后得到一个关于市场份额的回归公式 il l = 艺r k ( . ) 礼r r fr 1 l , a o rj tj ( 1 . 2 ) 应用随机动力系统理论，根据乘积遍历性定理，可以得到 ( 1 .2 )式演变的一个 西北工业大学硕士论文 不 动 点r 二 e , ( 第n 个 分 量为r ， 其 余 为0 ) 而 且 此不 动点 的l y a p u n o v 指 数 在 最 忧投资份额 ( 也称最优投资策略，用矛表示)取为相对收益的数学期望时是严 格负的。即当 x二 e r k 枷 卜 时不动点r 二 e是渐近稳定的。 r f ( w ) ( 1 . 3 ) 如果某个投资者按照这种最优的投资策略进行投资， 在经过一段时间后， 理 论上可以 击败所有其它的投资者， 从而支配整个市场。 各位投资者最后时刻财富 的计算公式为 、 人 : 二 y k ( . ) ji,* a !k . ,i /( ev ， i )a t k _ ,。 ( 1 . 4 ) 1 . 7本文的内 容与结构 本文的目的有三个:首先，由于国内应用随机动力系统进行经济与金融分 析尚 属空白， 所以 本文介绍一篇典型的文章 1 l ， 从中寻找 他们的建模方法以及 研究模式，为国内 这方面的学者以后的研究提供一些思路。其次，国外的金融 市场已 经趋向 成熟， 而我国的金融市场只有十余年的 历史， 一些市场机制尚不 完全， 相应的理论研究和实证研究也大大滞后于西方经济发达国家。 1 l 在不完 全市场中得到的理论结果可以适用于西方金融市场，是否也同样适用于我国尚 不成熟的金融市场，解决这个问题将是这篇文章的任务之一。另外，在经济运 行过程中，资金供求双方运用各种金融工具调节资金的余缺导致市场的财富不 停的流动，因此本文的另一任务是对股票市场的总财富建立合理的假设，应用 随机动力系统的相关理论，寻找市场份额的将来时刻的不动点，从而为投资者 找到一个最优的投资策略计划。 根据本文研究的内容、 全文共分为四章。 第一章绪论首先介绍了m a r k o w i t z 的均值一 方差方法。进而提出了这种方法存在的局限性。在此基础上，引出了经 济动力学， 并且分析目前使用动力学解决经济问题的现状。 之后， 详细介绍了随 机动力系统解决经济问题的相关理论。第二章夹用中国股票市场 卜2 0 6 0 -2 0 0 1 西北工业大学硕士论文 年的原始股票数据，按照【 1 的理论结果进行实证研究， 得到投资者财富在整个 投资过程中随时间的演变情况。第三章比较经典的 c a p m 方法中使用的投资策 略与k l a u s 使用随机动力系统理论得到的渐近稳定的投资策略。 可以证明， c a p m 方法中的投资策略是渐近稳定投资策略的一种特例。 两者的区别主要在于， 前者 只能适用于单周期，而后者却能适用于动态的多周期。第四章在 1 的基础上， 对市场财富作了更接近真实股票市场的假设， 建立了新的数学模型。 应用随机动 力系统理论， 得到市场份额一个不动点的显式表达式。 可以证明这个不动点是稳 定的，因而投资者的初始财富将有与市场总财富相同的增长速度。 西北工业大学硕士论文 第二章 实证检验 2 . 1我国证券市场的现状 我国的证券市场， 从1 9 8 1 年恢复发行第一张国库券算起， 只有2 l 年的历史。 从 1 9 8 4 年发行的第一张股票算起， 只有 1 8 年历史。 从第一家证券交易所一上海 证券交易所成立算起， 不足 1 3 年的时间。 与西方经济发达国家的证券市场相比， 我国证券市场尚处于不成熟的新兴发展阶段，不可避免的存在一些问题和不足。 大致来说，主要表现在: ( 1 ) .证券市场法规不健全， 部分法规制度已 滞后于证券 市场和经济发展的需要。 ( 2 ) .缺乏比 较完善的法律制度、 集中统一的 监管体制、 行之有效的自 律机制、 富有经验的监管人才和一批经过系统知识培训的高素质的 证券从业人员。 ( 3 ) ，现有的监管体制设置不够合理。目 前我国 对证券市场的管理 部门除了政委会、 证监会外， 还有人民银行、国家纪委地方政府等。 各部门推出 的管理措施， 办法等缺乏协调性，导致政出多门、 管理政策不配套、 交易规则不 一致、矛盾冲突时 有发生。 ( 4 ) . 理论研究与实证分析严重滞后。 虽然近几年来， 有大量的文献涌现于各种刊物， 但与西方经济发达国家相比， 仅仅是刚起步而已。 相对而言， 西方的证券市场已有上百年的历史， 已逐渐形成了适合该国国情的比 较完善的运作体系。 在监管体系、 市场规模及运作机制、 投资者结构和市场定价 机理等许多方面都比较成熟。所以中国的初级证券市场与西方证券市场差距很 大。 因此， 能适用于西方证券市场的理论是否也同样适用于中国的证券市场， 这 是一个急待解决的问题。 如果答案是肯定的， 则可以省去大量的时间与精力， 直 接将西方成熟的理论借鉴过来， 为我所用。 如果答案是否定的， 就要考虑不能应 用的原因在哪里， 如何对其理论框架、 模型的构造以及参数的设定进行修改和创 新，才能成为适用于我国的现代投资理论。 文献【 1 在随机动力系统理论的框架下建立了一个关于市场份额的回归公 式。 通过对最大l y a p u n o v 指数的稳定性分析， 最终获得了 一个最优的 投资策略 的显式表达式。 按照k l a u s 的理论， 采用这个最优投资策略的投资者将最终获得 完整的市场财富。 本章的任务就是， 用中国证券市场股票交易的原始数据检验这 一理论是否成立。 西北工业大学硕士论文 2 . 2模型简单回顾 首先还是回顾一下k l a u s 的数学模型: 在一个不完全的市场中， 资产的数目 是有限的，自 然状态满足遍历过程。 在整个过程中投资者即不撤离资金也不追加 资金。 可以证明新的投资者进入市场所造成的总财富的增加对原来的市场没有影 响 。 即 假 设 在 短 期内 市 场 现 有的 总 财 富 是 个固 定 的 常 数。 令礼 ， 表 示c 时 刻 投 资 者f 对资 产k 的 投资 份 额。 令刁表 示t 时 刻投资 者l 的 总 财富占 市 场总 财富 的比 例， 即市场份额。 则在每种资产均有被购买的情况下， 可以得到一个关于投资份 额与市场份额的回归公式: k ( m r h k a k .r r ia rr l。 k艺 - .+ rt k = j 艺a ll (w 同艺叹 r r lj 1 = 1 j = 1 借 助协 ， 可以 得 到 上式 的 一 个 不 动 点 为y = e n ， 即 单 位向 量。 利 用幼a p u n o v 指数方程，可以判断这个不动点是稳定的，得到状态是遍历的情况下， 碟= e r k 恤 ) 。 当 投 资 者 采 用 这 个 唯 一 渐 近 稳 定 策 略 时 ， 他 将 获 得 最 大 的 财 富 增 长率， 在无限时间水平下最终拥有全部的市场总财富， 从而支配市场各资产的价 格。 1 的理论很具有吸引力，一方面如何投资怎么样投资一直是投资者们以及 学者们最为关心的问题， 投资决策的对错直接关系到投资者经济利益的得失; 另 一 方 面 得 到 的 投资 策 略a . 计 算 简 单， 容 易 操 作， 只 需 要 获 得 各 项 资 产 的 相 对 收 益值就可解决问题。 当然， 这个结果有点过于理想化， 与真正的证券市场演变情况还有很大的差 距。但不可否认， i 的理论对大的投资机构在短期内的投资还是意义重大的。 这是因为大的投资机构自身占有的市场总财富比例很大， 相对而言， 新的散户进 入市场在短期内引起的市场总财富的波动不大， 可以忽略。 这就满足了本文的重 要假设: 短期内市场总财富不变。 而且模型参数的设定都是具有真实证券市场意 义的，因而只要满足上面的假设就可以。为了 让 1 的理论更具有说 服力，以 下 将使用2 0 0 0 年一 2 0 0 1 年的股票历史数据检验k l a u s 所得到的结果。 用于检验的数学公式有: 西北工业大学硕士论文 r 广 佃 ) =a r . lu rk ya i ( . ) u / ( 2 . 1 ) 这 里才( 叫为 时 刻， 资 产k 的 收 益 ; 衬为 时 刻， 资 产k 的 总 供 应 量， 它 在 整 个 投 资 过 程中 为 固 定的 常 量;r 产 恤) 为 时 刻， 资 产k 的 相 对收 益。 a 二 一 e r ( w ) 二去ir r 恤) ( 2 . 2) 这 里式为 资 产 k 的 最 优 投 资 份 额 ， 即 最 优 的 唯 一 渐 近 稳 定 投 资 策 略 。 w ; + 1 一 艺对( 叫司 a k w ; 艺之 k n r ( 2 . 3 ) 这 里w ; 为 时 刻， 投 资 者i 的 总 财 富 ，礼为 投资 者1 对资 产 k 的 投 资 份 额 。 2 . 3实证研究 第一步 选择数据 将2 0 0 0 年 1 月一2 0 0 0 年9月 这段时间内 每个交易日 的收盘价作为资 产收益 可( 劝的 原 始 数 据 输 入， 以 神马 实 业 股 票为 例。 见 表2 . 1 . ( 此 数 据 为 节 选) 第二步 计算收益矩阵 为简单起见，不妨假设 0时刻市场上的总财富共有w = 1 0 0 0 ( 单位:百万元 人民币) 。虽然每位投资者各自的总财富在整个投资过程中的每一时刻都在不停 的变化， 但所有投资者的财富之和即市场的总财富始终都是1 0 0 0 ( 百万人民币) 。 这是因为每位投资者即不追加资金也不撤离资金， 市场的总财富是封闭的。 这就 意味着其中某个投资者总财富的增多必然会导致其它投资者总财富的减少。 可以 令 第一 种资 产为 神马实 业 股票， 其 收 益 记 为a , ， 为 保 证市 场总 财富 不 变， 第 二 种资产 ( 称为虚拟资产) 的收益，记 为a ,z 只能通过计算得到。 整个投资过程中， 每位投资者对资产k 所持有的数量是相同的，且为一固定的常数c 。所以第二种 资 产 的 收 益 计 算公 式 为a l z = 。 一 a , ， 。 ) / 。 。 西北工业大学硕士论文 日期开盘价最高价最低价收盘价 2 0 0 0 0 1 0 48 . 18 . 17 . 98 . 0 5 2 0 0 0 0 1 0 58 . 0 68 . 1 988 . 0 8 2 0 0 0 0 1 0 68 . 0 48 . 4 87 . 98 . 4 5 2 0 0 0 0 1 0 78 . 58 . 88 . 58 . 7 3 2 0 0 0 0 1 1 08 . 7 68 . 8 68 . 3 88 . 6 9 2 0 0 0 0 1 1 18 . 78 . 7 28 . 1 18 . 1 5 2 0 0 0 0 1 1 28 . 1 18 . 37 . 9 5 8 2 0 0 0 0 1 1 388 . 0 57 . 8 77 . 8 7 2 0 0 0 0 1 1 47 . 97 . 9 87 . 7 37 . 7 4 2 0 0 0 0 1 1 77 . 7 37 . 7 3 7 . 4 57 . 6 2 0 0 0 0 1 1 87 . 67 . 8 87 . 67 . 7 4 2 0 0 0 0 1 1 97 . 7 47 . 8 3 7 . 6 57 . 7 7 2 0 0 0 0 1 2 07 . 87 . 8 87 . 6 2 7 . 7 1 2 0 0 0 0 1 2 17 . 7 47 . 7 97 . 57 . 5 5 2 0 0 0 0 1 2 47 . 5 57 . 5 5 7 . 0 57 . 3 2 0 0 0 0 1 2 57 . 37 . 7 97 . 2 7 7 . 6 3 2 0 0 0 0 1 2 67 . 6 37 . 77 . 4 5 7 . 4 7 2 0 0 0 0 1 2 77 . 4 87 . 5 17 . 2 77 . 3 8 表2 . 1神马实业股票数据 第三步 计算唯一渐近稳定策略才并给出 其它策略 由 公式 ( 2 . 2 ) 计算可得唯一渐近稳定的投资策略广= ( 0 . 7 9 , 0 . 2 1 ) 。 且假设 第一个投资者采用了最优的投资策略， 即a , _x。 那么其它4 个投资者只能采用 其它的策略。 相对最优投资份额， 可以任意地给出其它四种投资份额的模拟数据。 见表 2 . 2 . 西北工业大学硕士论文 神马实 k虚拟股票 投资者 王0 ， 5 0o 5 0 投资者 2 0 . 4 00 . 6 0 投资者 30 . 4 50. 5 5 投资者40 . 3 00 7 0 表22其余四种投资份额 第四步:计算每位投资者最后的总财富 假设在初始时刻这五个投资者的总财富分别为: 端二 1 0 0碌= 2 0 0 , 碍二 4 0 0碌二 ， 8 0 , 此= 1 2 0 。 为 了 突 出 渐 近 稳 定 投 资 策 略 的最优性，特意让第一位投资者占有的初始财富最少，只有1 0 亿，仅为第三位 投资者的1 1 4 。即使这样，仍然得到了最理想结果，即使用渐近稳定投资策略的 投资者占 据了所有的市场财富。 整个投资过程结束， 从最初的t = 0 到最终的t = 1 5 0 , 可以得到了五位投资者最后的财富情况。 整个过程投资者初始财富演变的数据见 表2 . 3 .( 表中为节选数据)总财富随时间的演变见图2 . 1 . 两 种资 产 五位投资若 00080d哪姗 富 财 0 5 0 1 0 0 t 5 0 时间 图2 . 1市场财富保持不变时投资者的财富演变 西北工业大学硕士论文 投资者 1投资者2投资者 3投资者4 投资者 5 1 0 02 0 04 0 01 8 0 1 2 0 1 2 01 9 73 8 61 8 31 1 3 1 4 21 9 43 7 21 8 61 0 7 1 6 51 9 03 5 81 8 71 0 1 1 8 91 8 53 4 31 8 79 5 . 1 21 71 8 03 2 8 1 8 78 9 . 1 2 4 41 7 53 1 2 1 8 58 3 . 6 2 7 31 6 92 9 71 8 37 8 . 1 3 0 51 6 22 8 0 1 8 07 2 . 7 3 3 81 5 52 6 4 1 7 66 7 3 3 6 91 4 82 4 81 7 2 6 2 . 4 4 0 51 4 02 3 2 1 6 75 7 3 4 3 81 3 22 1 61 6 1 5 2 石 4 7 21 2 52 0 01 5 5 4 8 . 1 5 0 91 1 61 8 4 1 4 84 3 . 5 5 5 71 0 51 6 31 3 8 3 7 . 6 5 9 59 6 . 21 4 6 1 2 93 3 . 3 6 2 58 9 . 11 3 4 1 2 23 0 . 1 6 5 48 2 2 1 2 21 1 52 7 6 8 07 6 . 1 1 1 21 0 82 4 . 4 7 0 57 0 . 11 0 11 0 1 2 1 . 9 7 2 66 5 . 29 3 . 4 9 5 . 91 9 . 9 7 4 26 1 . 28 6 . 8 9 1 . 21 8 . 4 7 5 95 7 . 38 0 . 5 8 6 . 51 6 . 9 7 7 35 3 . 97 5 . 2 8 2 . 41 5 . 6 7 8 75 0 . 4 6 9 . 77 8 . 11 4 . 4 8 0 44 6 . 46 3 . 5 7 3 . 1 1 3 8 1 84 3 . 1 5 8 46 8 . 81 1 . 8 8 2 94 0 . 35 4 2 6 5 . 21 0 . 9 8 4 23 7 . 3 4 9 . 66 1 . 2 9 . 8 3 表2 . 3投资者初始财富演变的数据 西北工业大学硕士论文 k l a u s 的假设“ 市场总财富保持不变” 过于理想化，与现实的金融系统很难 相符。 因为现实的证券市场不断的有新的投资者进入和原来的投资者撤出。 而且 由十股价的攀升与下跌， 市场的总财富不可能保持不变。 为了让 k l a u s 的理论更 具有实际价值， 将 k l a u s 的假设稍做改动， 令市场的总财富受到一个随机夺量的 干扰， 假设此随机变量服从正态分布 n ( 0 ,尹) 。 本文中 取护= 0 .0 5 。由 公式 ( 2 . 3 )可以得到经过一段时间后每位投资者总财富的演变情况，见图2 . 2 0 1 2 0 0 财富 两种资产 五位投资老 最优策略的财富演变 门门曰门门 门门曰n曰 门口0启月马 弓. 2 0 0 时间 图2 . 2市场财富变换时投资者的财富演变 为了更清楚的看清两者的差距，我们给出这两种情形的比较图形，可见图2 . 3 0 1 0 0 0 则 富9 0 0 ig w ri fu 1a 5 4 则 ， ig 11 sti t1i m 无m t声i 1 000e石吸声 一 月 - 9优策略的财，搜变“ / 6 口 0卜) 斗 a 吸 优策略的财，渡变 400初 boo7d06d05d04003002d0 1 0 0 r , 、 、 、 5 0 ic旧 0 5 0 时间 图 2 . 3比较图形 1 印1 5 0 西北1 . 业大学硕士论文 2 . 4结论 从图中可以看出: 当 市场总财富不变、 市场中只有b 个投资者选择神马实业 股 票与 虚 拟股票时， 使 用 最优 渐近 稳定 策 略广的 第一 个 投资 者的 总 财富 随 着时 间的流逝， 总财富不断的增长， 而且上升的趋势很快。 而其他投资者的财富增减 虽有反复， 但经过一段时间的整理后总财富减少， 终于经过一百多个交易日的竞 争，第一位投资者由原来的1 0 0( 单位:百万人民币) 增加到超越资产最多的投 资者总财富直至达到占有了 整个市场财富1 0 0 0 百万。其余四位投资者由于选择 “ 错误”的策略， 所剩为 0 。 这与 约中的结论 “ 在每个具有市场份额不变分布 的策略集中， 只有一种投资策略对应有严格正的财富份额” 是完全吻合的。 即第 一位投资者下一时刻的总财富总是比前一时刻的要多。 而且可以发现演变所历经 的时间只有半年左右。 时间并不算长。 说明k l a u s 的结论“ 在短期内市场总财富 不变的情况下， 只有一个投资者具有正的财富增长率， 最终占有整个市场财富。 ” 的结论是成立的。 并且最重要的是， 我们用中国的股票市场上的原始数据来检验 这个结论也同样得到了很好的结果。这说明该理论同样适用于中国的证券市场。 我们可以 直接将k l a u s 的理论借鉴过来， 为大家的投资决策指出 一条新路。 当 然 这个结