（运筹学与控制论专业论文）双线性广义系统和网络控制系统的无源控制.pdf

也己王s 乙t jj，ij， b yx i o n gq i o n g y a n s u p e r v i s o r ：p r o f e s s o ry a n gd o n g m e i n o r t h e a s t e r nu n i v e r s i t y j a n u a r y2 0 0 8 ，o叫0 p f ， - 蠢 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是在导师的指导下完成的。论文中取得的 研究成果除加以标注和致谢的地方外，不包含其它人己经发表或撰写过的 研究成果，也不包括本人为获得其它学位而使用过的材料。与我一同工作 的同志对本研究所做的任何贡献均己在论文中作了明确的说明并表示谢 = 己 思0 学位论文作者签名：熊璐艳 日期：瑚绎l 目i 多日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者和指导教师完全了解东北大学有关保留、使用学位论 文的规定：即学校有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和 磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人同意东北大学可以将学位论文的全部 或部分内容编入有关数据库进行检索、交流。 ( 如作者和导师不同意网上交流，请在下方签名；否则视为同意。) 学位论文作者签名： 签字日期： 导师签名： 签字日期： - i 一 东北大学硕士学位论文摘要 双线性广义系统和网络控制系统的无源控制 摘要 耗散性系统理论由w i l l e m s 于1 9 7 2 年提出，其后成为电路、系统及控制理论中十 分重要的概念。无源性是耗散性的一个重要特例，它将输入输出的乘积作为能量的供给 率，体现了系统在有界输入能量的衰减特性。事实上，基于李亚普诺夫函数的稳定理论， 也可从无源性的角度加以解释，无源性与稳定性有着密不可分的关系。 双线性广义系统是最接近线性广义系统的一类非线性系统。由于双线性广义系统增 加非线性项，双线性广义系统的研究比线性广义系统难得多。双线性广义系统研究还处 于初步和发展阶段。 网络控制系统是通过网络形成闭环的实时反馈控制系统。网络控制系统中存在传输 时延、数据包丢失、噪声干扰等问题，这些问题使得传统的控制理论必须重新评估后才 能应用于网络控制系统中。网络控制系统的研究正在迅速成为当前国际控制领域的一个 前沿课题，具有重要的理论意义和广阔的应用前景。 本文主要研究了一类广义双线性系统、一类不确定广义双线性系统和一类网络控制 系统的无源控制问题，其主要内容就是把无源的概念引入广义双线性系统和网络控制系 统中，研究广义双线性系统和网络控制系统在有界能量外部输入作用下的无源控制问 题，利用线性矩阵不等式和广义代数r i c c a t i 不等式，给出广义双线性系统和网络控制 系统无源的充分条件以及系统容许或二次稳定的充分条件，并且给出了存在的状态反馈 控制器，使得闭环系统严格无源且容许或二次稳定，最后用实例给与证明。 关键词：广义双线性系统；网络控制系统；无源控制；容许；状态反馈；二次稳定； ， |_ 东北大学硕士学位论文 p a s s i v ec o n t r o lf o rb i l i n e a rs i n g u l a rs y s t e ma n d n e t w o r k e dc o n t r o ls y s t e m a b s t r a c t w i l l e m sb r o u g h tf o r w a r d d i s s i p a t i o nt h e o r yi n19 7 2 i tb e c a m ev e r y i m p o r t a n t c o n c e p t i o ni nc i r c u i t , s y s t e m sa n dc o n t r o lt h e o r ya f t e rt h a t p a s s i v ei sap a r t i c u l a re x a m p l eo f d i s s i p a t i o n , w h i c hr e g a r d si n p u tt i m e so u t p u ta ss u p p l yr a t e 。i nf a c t , t h es t a b i l i z a t i o nt h e o r y b a s e do nl y a p u n o vf u n c t i o nc a na l s ob ee x p l a i n e di nv i e wo ft h ep a s s i v i t y s ot h e r e l a t i o n s h i pb e t w e e nt h ep a s s i v i t ya n dt h es t a b i l i t yi sa sc l o s ea sl i p sa n dt e e t h b i l i n e a rs i n g u l a rs y s t e mi st h en o n l i n e a rs i n g u l a rs y s t e mw h i c hi st h ec l o s e s tt ol i n e a r s i n g u l a rs y s t e m b i l i n e a rs i n g u l a rs y s t e mb e c o m e sm o r ed i f f i c u l tb e c a u s eo fi n c r e a s i n gt h e n o n l i n e a ri t e m r e s e a r c ho fb i l i n e a rs i n g u l a rs y s t e m si ss t i l lo nt h ei n i t i a la n dd e v e l o p m e n t a l s t a g e n e t w o r k e dc o n t r o ls y s t e mi st h er e a l - t i m ec l o s e dl o o pf e e d b a c kc o n t r o ls y s t e mb y n e t w o r k t h e r ea r et r a n s m i s s i o nd e l a y , d a t ap a c k e tl o s s ，y a w pd i s t u r bi nn e t w o r k e dc o n t r o l s y s t e m s ，w h i c hm a k et r a d i t i o nc o n t r o lt h e o r ye v a l u a t ea g a i nb e f o r ea p p l y i n gi nn e t w o r k e d c o n t r o ls y s t e m n e t w o r k e dc o n t r o ls y s t e mh a sb e c o m eo n eo ft h em o s tp o p u l a rr e s e a r c h i n t e r e s t si nc u r r e n ti n t e r n a t i o n a lc o n t r o lf i e l d 1 1 l er e s e a r c ho nn e t w o r k e dc o n t r o ls y s t e mh a s i m p o r t a n tt h e o r e t i c a lm e a n i n g sa n da l s oh a se x t e n s i v ea p p l i c a t i o np r o s p e c t s n 圮t h e s i sd i s c u s s e st h ep a s s i v eo fap r e s c r i b e db i l i n e a rs i n g u l a rs y s t e m ，ap r e s c r i b e d u n c e r t a i nb i l i n e a rs i n g u l a rs y s t e ma n dap r e s c r i b e dn e t w o r k e dc o n t r o ls y s t e m f i r s to fa l l ， t h ec o n c e p t i o no fp a s s i v ei si n t r o d u c e di n t ot h e s es y s t e m s t h e nt h ep a s s i v ec o n t r o l p r o b l e mi sd i s c u s s e du n d e rb o u n d e de n e r g ye x o g e n o u si n p u t sb ym e a n so fl i n e a rm a t r i x i n e q u a l i t i e sa n dg e n e r a l i z e da l g e b r ar i c c a t ii n e q u a l i t i e s ，a n da s u f f i c i e n tc o n d i t i o ni s d e r i v e da ss u c ht h a tt h ep r e s c r i b e ds i n g u l a rb i l i n e a rs y s t e m sa n dn e t w o r k e dc o n t r o ls y s t e m s a r ep a s s i v ea n da d m i s s i b l eo rq u a d r a t i cs t a b i l i t y m o r e o v e r , t h ed e s i g nm e t h o df o rs t a t e f e e d b a c kc o n t r o l l e ri sa l s og i v e n a tl a s t ，e x a m p l e ss h o w st h ef e a s i b i l i t yo ft h et h e o r i e s k e yw o r d s ：b i l i n e a rs i n g u l a rs y s t e m ；n e t w o r k e dc o n t r o ls y s t e m ；p a s s i v e c o n t r o l ； a d m i s s i b l e ；s t a t i cs t a t ef e e d b a c k ；q u a d r a t i cs t a b i l i t y ； 一m l 一 j 东北大学硕士学住论文 目录 目录 声明i 摘要i i a b s t r a c t i i i 第一章绪论1 1 1 无源控制研究背景1 1 2 无源控制研究现状3 1 3 本文的主要工作5 第二章数学基础及预备知识7 2 1 无源性的概念7 2 2 双线性广义系统8 2 3 网络控制系统1 1 2 4 基本定理1 6 2 5 小结”1 7 第三章一类双线性广义系统的无源控制1 9 3 1 双线性广义系统的无源性1 9 3 2 双线性广义系统的无源控制2 1 3 3 数值算例2 4 3 4 小结2 5 第四章不确定双线性广义系统的无源控制2 6 4 1 不确定双线性广义系统的无源性2 6 4 2 不确定双线性广义系统的无源控制2 9 4 3 数值算例3 l 4 4 小结3 2 i v 东北大学硕士学位论文目录 第五章网络控制系统的无源控制2 6 5 1 网络控制系统的无源性3 3 5 2 网络控制系统的无源控制3 5 5 3d 、结一”一3 9 第六章总结4 0 参考文献4 1 致谢4 5 攻读硕士期间完成的论文情况4 6 东北大学硕士学位论文 第一幸绪论 1 1 无源控制研究背景 第一章绪论 耗散性系统理论【1 2 】由j a ncw t l l e m s 于1 9 7 2 年提出，其后成为电路、系统及控制 理论中十分重要的概念。事实上，耗散系统理论是无源理论、卡尔曼雅柯鲍维奇引 理( k a l m a l l y a c u b o v i t c h p o p o v ) 以及圆判据定理的广义化。耗散性系统理论在系统 稳定性研究过程中起到重要的作用，它的实质内容是存在一个非负的能量函数，使得 系统能量损耗总是小于能量的供给率。z 乙控制和无源控制都是耗散性控制的特例。当 我们选择，2l i a o l l i i z l l 2 ( c o 为干扰输入z 为评价信号) 为供给率时，就是以控制。它是 一种干扰抑制的思想，在保证系统的前提下，使干扰对系统输出的影响抑制到所要求 的最小程度。当取供给率为输入输出的乘积时，就成为状态无源问题，无源性系统理 论在许多工程问题中，如电路系统和热动力系统等，都得到了广泛的应用。 无源性是网络理论中的一个重要概念，它表示耗能网络的一种性质。无源网络中 的能量流向一般满足输入的能量= 最后的能量初始的能量耗散的能量，也就是说，网 络不会自己产生能量。无源网络只是消耗能量而不产生能量，这对于网络的稳定性研 究很重要。由无源网络可以得到无源系统的概念，无源系统是一类考虑系统与外界有 能量交换的动态系统。而在无源网络中成立的能量流向等式对于无源系统也同样成立。 系统无源可以保持系统的内部稳定。对于存在干扰的系统来说，为了使得系统内部稳 定，我们可以依靠无源理论来构造反馈控制器，使得相应的闭环系统无源而保持内部 稳定，一般来说，无源性、稳定性与最优性密切相关【3 】。无源性是稳定性的一种更高层 次的抽象。在对系统进行镇定时，人们常常需要构造一个李雅普诺夫函数，现有文献 表明，这一过程可转化为构造一个使系统无源的存储函数。 近年来，许多学者在无源性理论方面做了大量工作。冯纯伯等讨论了非线性系统 的无源性问题【4 巧】，取得了许多开创性成果，然而他们的结果虽然适用于所有维的情形， 但在解高维问题时将遇到求解复杂微分方程组的问题，从而带来相当大的实际应用难 度梅生伟【6 】等则基于微分几何理论，进一步考虑了一类非线性系统的控制器构造问题 所有这些工作都极大地促进了无源性理论的发展。 线性和非线性不确定系统的控制一直是一个很有挑战性的课题。虽然已有许多研 东北大学硕士学位论文第一章绪论 究成果，但远不能认为已圆满解决。近年来如何应用无源性分析方法设计鲁棒控制系 统引起了较多的重视。一个严格无源的动态系统一般均有良好的动态特性和较强的鲁 棒性。以线性系统为例，严格无源的传递函数的频率特性位于复平面的一、四象限内， 因此这类系统具有较大的稳定裕度，也不会有弱阻尼振荡特性。最近有些研究者讨论 了如何设计非线性控制系统使其严格无源，提出的方法已引起了广泛重视，其思想新 颖，但仍需要相当多的先验知识。无源性分析的应用，文献 4 1 提出了符号跟随系统( s f s ) 的概念，在一定场合下s f s 是实现严格无源化的一种有效方法。文献【7 】将它用于线性 系统的控制取得了良好的效果，仿真表明即使对于非最小相位系统控制效果也相当良 好。文献【5 】的设计思想作进一步的发展，将它用于非线性系统的控制。 在工业控制系统中，如何补偿执行机构的非线性特性，使得闭环系统稳定，己有 一些基于小增益定理和正实定理的结果【8 ，9 1 。而根据动态耗散理论【1 1 ，前述两个定理可 以统一起来，并且系统正实性与无源性密切相关。但由于以下因素使得上述结果有待 于进一步研究：d 一般定义的无源性利用的仅是输入输出各通道可解耦时的信息：2 ) 考 虑的执行机构的非线性不具一般性；3 ) 当执行机构的非线性特性已知或非线性环节的输 出可量测时，往往没有充分利用这信息、来减少控制器设计的保守性。文献 1 0 1 更为 广泛的一类具有可分离任意非线性输入端的非线性系统模型，通过引入广义无源性概 念和基于微分对策理论，采用双闭环控制器，提出了系统闭环稳定且具有风干扰衰减 的一般性控制器设计方法。 滞后是石油、化工和冶金等工业生产过程中的普遍现象，甚至为了分析问题方便， 有时也将高阶系统用一阶或二阶加纯滞后环节来近似。与无滞后过程相比，时滞的产 生使闭环系统的响应性能变差，控制难度大大增加，所以对时滞系统的研究一直是控 制理论研究的热点与难点之一。在稳定性和系统理论中正实理论已经起到了一个很重 要的作用【8 】，它的主要动机是为正实对象设计严格正实控制器。文献【n 】以无源性代之 正实性概念，基于a r e 讨论了线性时滞系统的无源状态反馈控制问题，但是由于系统 状态不易直接测量，以致状态反馈的物理实现变得极为困难，而利用输出反馈便可有 效地克服这一困难，正是基于这一思想，针对状态迟延系统，研究采用静态和动态输 出反馈的无源控制问题，使得闭环系统二次稳定且具有严格无源性。 一些大系统如电力系统、动力系统、通讯系统、社会系统、经济系统等，由于其 系统的非线性、模型的不确定性、子系统之间的关联藕合以及干扰的影响，使得控制 系统达不到满意的性能，甚至不能保证控制系统的稳定性，因此如何设计非线性互联 ， 东北大学硕士学位论文第一章 绪论 系统鲁棒控制器以降低或消除不确定性、关联耦合以及干扰对系统的稳定性的影响并 使系统达到期望性能指标是非常具有理论和实际意义的研究课题。对标称非线性系统 和具有不确定非线性系统控制有很多研究成果，文献【1 2 】研究了非线性系统的风控制问 题和鲁棒玩的控制问题，文献【1 3 】研究了具有不确定互联系统的鲁棒分散也控制问题， 而对具有不确定性和干扰的非线性互联系统的鲁棒分散耗散控制问题在文献【1 4 l 中已研 究，提出了一类具有不确定性和干扰的非线性互联系统的鲁棒分散耗散控制问题，建 立了非线性系统鲁棒集中耗散控制和非线性互联系统鲁棒分散耗散控制之间的联系。 主要的目的是寻找状态反馈分散控制律和输出动态反馈分散控制律，使得闭环系统鲁 棒渐近稳定并且使系统对于所有允许的不确定性和干扰具有鲁棒耗散性。研究表明， 对于所有允许的不确定项，如果存在非负定的c 1 类存储函数( s t o r a g ef u n c t i o n ) 使得i - i j i 不等式有解，那么鲁棒分散耗散控制就可获得。文中给出并证明了状态反馈和输出反 馈的鲁棒分散耗散控制存在的充分条件。 1 2 无源控制研究现状 1 9 7 2 年，j a ncw i l l e m s ：首次提出了耗散动态系统的一般理论【1 捌，随后对带有二 次方供给率的线性系统分析了耗散动态系统。 无源性是耗散性的特例，就在j a ncw i l l e m s 1 捌基础上p e t ejm o y l a n l 1 5 1 和d a v i d h i l l t l 6 】分别于1 9 7 4 年和1 9 7 6 年，在i e e et r a n s a c t i o n so n a u t o m a t i cc o n t r o l 杂志上，发 表了在一类非线性系统中无源性的应用和非线性耗散系统的稳定性，提出了新的研究 课题和方向。8 0 年代发展缓慢，在9 0 年代，也就是在1 9 9 1 年b y m e sci ，a i s i d o r ia n d jcw i l l e m s 创造性地讨论了最小相位非线性系统的无源性、反馈等价、全局渐近稳定 一文【1 7 1 。得到一个非线性系统通过光滑状态反馈是无源的条件，定义了k y p 特性，以 及证明了具有k y p 特性的系统是无源系统，反之也成立( 即无源系统一定具有k y p 特 性) 这就是著名的k y p 引理。同时，文中还解决了一类无源系统的稳定性，证明了无 源系统是输出反馈稳定的。文章中的定理4 7 引起了众多研究者的注意，在以后的文 献中得到很多有益的结果，定理4 7 讨论的是反馈等价于无源系统的充分必要条件。 在文献 1 5 , 1 7 , 1 8 】基础上，s a n t o t u o s s ogl 于1 9 9 3 年在i f a c 大会上发表了反馈等价 无源系统的类新的结果【1 9 j ，同年s a n t o t u o s s ogl 在i e e ec d c 会议上发表了通过反 馈等价非线性无源系统的最小相位系统的局部稳定性【2 0 1 ，在文章中，主要讲述了带有 馈通项非线性通过反馈使非线性系统是渐近稳定的，同时，对一类特殊的串级系统进 一3 一 东北大学硕士学位论文第一章绪论 行了分析，使串级系统是稳定的，s a n t o t u o s s ogl 又于1 9 9 7 年讨论了一类带有输入输 出馈通项非线性系统的无源性分析【2 1 1 ，文中主要讨论了带有直接输入输出馈通项的非 线性系统通过静态状态反馈使非线性系统是无源的和全局渐近稳定的，在假设系统是 可逆( 即有相对阶1 ) 和系统是弱最小相位的条件下系统是反馈等价无源的。 在实际系统中，被控对象往往伴随着各种各样的不确定性。因此，我们只能基于 近似描述被控对象的标称数学模型来设计控制系统圈。鲁棒性就是指系统预期的设计 品质不因不确定性的存在而遭到破坏的特性。因此，鲁棒控制对非线性系统理论来讲 同样是一个重要课题。基于微分几何的非线性系统控制理论的出现，极大地促进了非 线性系统鲁棒控制理论的研究，它与李雅普诺夫稳定性理论，小增益理论以及耗散性 或无源性等理论相结合，给出了许多有效的鲁棒系统分析和设计方法。 鲁棒镇定是非线性鲁棒控制问题的基本问题，其主要设计方法目前仍然以李雅普 诺夫稳定性定理为基础。利用这类方法设计鲁棒镇定系统时，首先假设不确定性因素 可以表示为有界的未知参数、增益有界的未知摄动函数或未知动态过程。然后根据其 上界值或界函数以及被控对象的标称模型来构造一个适当的李雅普诺夫函数，使其保 证整个系统对于不确定性集合中的任何元素都是稳定的。这种设计方法的关键是如何 给出构造理想的李雅普诺夫函数的一般方法。近年来鲁棒控制理论的研究表明，如果 系统满足一定的链式结构，就可通过递推设计的方法逐步构造出理想的李雅普诺夫函 数。而利用基于微分几何的非线性系统理论，我们可以给出判定一个系统本质上是否 具有上述链式结构的几何条件，并给出通过坐标变换将系统的数学模型变成显式的链 式结构的一般方法。这种设计思想还可推广到不确定性具有动态过程的情况，以及多 个非线性子系统相互串联构成的大规模复杂系统的鲁棒镇定问题。应该指出，上述基 于李雅普诺夫函数的镇定理论，还可以从系统无源性的角度加以解释。或者更确切地 讲，上述李雅普诺夫函数的构造过程正是使系统无源化的过程，而此时的李雅普诺夫 函数正是保证系统无源性的存储函数。并提示了对于非线性系统可以递推构造存储函 数的可能性。， 在1 9 9 9 年l i i lw i e i ，s h e nt i e l o n g 讨论了带有结构不确定性最小相位非线性的鲁棒 无源和反馈设计问题瞄】，证明了鲁棒k y p 引理、严格鲁棒k y p 引理和反馈等价于鲁 棒严格无源系统，扩展了文献n 7 】的结果，使反馈等价无源系统的结果更进一步完善。 同年，m e is h e n g w e i 研究了一类带有干扰的非线性系统的无源化控制问题【6 j ，构造反馈 控制器使得相应的闭环系统无源且保持内部稳定，给出了在此馈通项下系统无源的一 东北大学硕士学位论文 第一章绪论 个充分必要条件。另外，针对两类特殊情形下的无源控制，应用李雅普诺夫递推设计 方法得到了解决该问题的一个条件。特别利用控制李雅普诺夫函数，对较一般情形的 非线性系统构造出一类有效的无源化控制器。 参数不确定在实际系统中往往存在，使得系统因参数不确定而控制不理想。在这 种背景下，对参数不确定系统的研究显得尤为重要，在1 9 9 5 年ms e r o n ，djh i n 讨论 了一类参数不确定反馈无源系统的非线性自适应控制团】，文中指出通过反馈无源系统 的几何描述，把系统转化成标准形式。在标准形式下，考虑不确定参数的标称值在假 设系统是弱最小相位( w e a k l ym i n i m u m - p h a s e ) 和凸性条件( c o n v e x i t yc o n d i r i o n ) 下，通 过反馈使系统是输出反馈无源的( o s p ) 。在1 9 9 6 年w e i z h o us u 讨论了一类非线性反馈 无源系统的鲁棒控制【2 4 】，主要是在适当的条件下，对不确定参数进行修正，再构造李 雅普诺夫函数，通过输出反馈使系统无源。 上述所涉及的文献中，主要的方法是构造李雅普诺夫函数，满足无源不等式，使 得系统是无源的。构造函数的同时也是无源化的过程，所以李雅普诺夫函数的构造需 要在一定假设条件下，对系统进行合理的坐标变换或引入适当的状态变量，对其新的 系统进行构造李雅普诺夫函数，满足无源不等式，往往得到了很好的效果。 1 3 本文的主要工作 目前，无源性理论已经得到了相当的发展，但是，针对双线性广义系统和网络控 制系统的无源性的研究还很少。本文讨论了一类双线性广义系统、一类不确定双线性 系统和一类网络控制系统的无源性和无源控制器设计。全文共分五章。 第一章，简要介绍了无源性产生的背景，按照时间顺序介绍无源性研究的发展状 况及存在的问题，最后概述了本论文的研究内容与主要工作。 第二章，给出无源性的定义，介绍了双线性系统和网络控制系统的相关概念，产 生的背景和发展现状，并介绍广义系统容许的概念和性质以及二次稳定的概念，同时 介绍了在后面内容需要的一些引理。 第三章，研究双线性广义系统的无源控制，首先把无源性的概念引入到双线性广 义系统中，然后利用线性矩阵不等式和广义代数r i e c a t i 不等式，给出广义双线性系统 容许且严格无源的充分条件，并且给出存在一个状态反馈控制器，使得闭环系统是容 许的，同时具有严格无源性的充分条件，而且提出了相应的控制器设计方法，最后用 数值算例证明了定理的有效性。 一5 一 。 东北大学硕士学位论文 第四章，研究不确定双线性广义系统的无源控制，首先 确定双线性系统中，然后利用线性矩阵不等式，给出广义双 条件，并且给出存在状态反馈控制器，使得闭环系统是二次 源性的充分条件，而且提出了相应的控制器设计方法，最后 有效性。 第五章，研究网络控制系统的无源控制，首先把无源性 统中，然后利用线性矩阵不等式和广义代数r i c c a t i 不等式， 定且严格无源的充分条件，并且给出存在状态反馈控制器， 的，同时具有严格无源性的充分条件，而且提出了相应的控 第六章，总结该文所做工作，对其中的优点与不足进行 进行了展望。 ， 东北大学硕士学位论文第二幸数学基础及预备知识 第二章数学基础及预备知识 2 1 无源性的概念 无源性原理从7 0 年代提出已取得突破性的进展，1 9 7 2 年j cw i l l e m s 提出了动态 系统的耗散性理论。无源性是耗散性的特例，引起了很多研究者的注意。无源性理论 的研究方法主要以李雅普诺夫函数递推设计为主，在适当的假设条件下，满足无源不 等式。本节主要介绍无源性的基本概念。 考虑下列非线性系统方程 戈= ( x ) + g ( x ) u ， y = 乃( x ) ， ( 2 1 ) 其中，状态向量x r 一；输入向量甜r 卅，输入向量y r 研；( x ) ，g ( x ) 和办( x ) 分 别为适当维数矩阵。分别记为： 厂( x ) = 【石( x ) 五( x ) 六( x ) 】7 ， g ( x ) = 岛。( x ) 蜀2 ( x ) 疗( 功 l ( 力如( x ) 9 2 一( x ) 邑。( 力岛2 ( x ) ( x ) 办( x ) = 【啊( z ) 红( x ) 吃( x ) r 定义2 1 2 5 1 对于非线性系统( 2 1 ) ，如果存在半正定标量函数矿( x ) ，使得不等式 y ( x ( f ) ) 一矿( x ( o ) ) 后s ( 甜( f ) ，y ( f ) ) 衍， v t o ( 2 2 ) 对于任意的输入“尺，成立，则称系统是耗散的。矿( x ) 成为能量存储函数，不等式称 为耗散不等式。 当供给率s ( “o ) ，少( ，) ) = 掰7 少时霖系统无源，当s ( “( f ) ，y ( f ) ) = l ( y 2 恻1 2 一眇8 2 ) 时，称系统为耗散。无源性和耗散性是耗散理论中应用最多也是最为成熟的理论。 对于严格无源的系统，如果存在光滑可微目币定的存储函数，那么该系统就是渐 东北大学硕士学位论文第二章数学基础及预备知识 进稳定的，且相应的存储函数就是对应的l y a p u n o v 函数。如果只知道系统是无源的， 则只能得到系统是l y a p u n o v 稳定的结论。但是在一定的条件下，通过施加适当的反馈 控制可使存储函数成为闭环系统的l y a p u n o v 函数。从而使系统渐近稳定。 2 2 双线性广义系统 一个连续非线性系统可用下列动态方程描述： x = f ( x ，u ，f ) ， ( 2 3 ) 式中z ( ，) r 行为状态向量，u p ) r ，为输入向量，表示非线性函数向量，f 为时 间。因为厂的形式一般比较复杂且无法统一，多数非线性系统只能个别地处理。这给 非线性控制系统的分析和设计带来很大的困难。因此，长期以来，人们一直企图找到 一些便于研究的简化非线性系统的途径。其中一类研究是基于下列关于状态变量线性 的非线性系统： x = f ( u ，t ) x + f ( u ，f ) ， ( 2 4 ) 这类系统称为状态线性系统，因为可以将其看作参数随输入( 控制) 变量变化的线性系 统，也可称之为变结构线性系统( v a r i a b l es t r u c 眦l i n e a rs y s t e m ) 。此类系统的研究始 于前苏联学者在5 0 年代的工作【2 6 】。主要用于改进控制系统的性能。另一类较多的研究 是基于下列关于输入( 控制) 变量线性的非线性系统： x = 6 ( x ，t ) u + g ( x ，f ) ， ( 2 5 ) 这类系统称为输入( 控制) 线性系统或仿射系统( a f f i n es y s t e m ) 。早期的研究是由美国学 者进行的【2 6 1 ，现在仍受到广泛重视。 为将上述两类系统进一步简化，研究者们构造了一个关于状态变量和控制变量分 别都是线性的，而总体上则是非线性的系统 x = 彳( f ) x + n ( t ) x u + b ( t ) u ， ( 2 6 ) 式中，彳( f ) r 联打，b ( f ) r 脓p ，n ( t ) x u 称为双线性项，可以表示为 p n ( t ) x ua ：n j ( t ) x u , ，( 2 7 ) f - i 所谓双线性系统( b i l i n e a rs y s t e m ) 就是由此得名。这样构造的双线性系统是形式上最 简单，且最接近线性系统的一类非线性系统。所以，线性系统已经建立起来的一些理 r 东北大学硕士学位论文第二章数学基础及预备知识 论和方法有可能移植或扩充到双线性系统中去。 事实上，双线性系统的提出并不仅是出于理论上的兴趣，更重要的出于实践上的 需要。双线性系统最早的研究可见于美国r r m o h l e r 等6 0 年代初在l o sa l a m o s 市开 展核反应器方面的工作【2 7 】。这个研究课题美国原子能委员会发起，在1 9 6 6 年受到美国 国家科学基金会的资助。由于核裂变等动态特性可以用双线性系统很好地描述，所以 这项研究非常成功。后来人们逐渐发现，双线性系统可以广泛自然地描述工程( 如化学、 电气、机械等) 、社会经济、生态、生物等过程中的许多对象。描述人口变化的方程就 是一个很好的例子。人口变化速率是文- - 锻，其中，甜是减去死亡率后的出生率。不 仅如此，己证明它可以近似一大类严重非线性系统，近似精度比传统的线性近似精度 高得多。特别是在化工过程中，许多控制对象经常用物料流量作为控制变量，这样， 依据物料和能量平衡理可知，描述对象的动态特性的数学模型就出现状态变量( 如温 度、浓度) 与控制变量( 如流量) 的乘积项。因此，就必然出现双线性系统问题。 双线性系统有许多优点。它结构简单，便于数学处理。尤其是由于双线性系统所 具有的特殊的变结构特性，在系统的可控性、最优化及建模方面有着明显的优越性： ( 1 ) 从式( 2 5 2 6 ) 可以看到，控制变量对状态变量的影响不仅反映叠加项b ( t ) u ( 称为叠加控制，a d d i t i v ec o n t r 0 1 ) ，而且还反映在乘积项n ( t ) x u ( 称为倍增控制， m u l t i p l i e a t i v ec o n t r 0 1 ) 。显然，这与仅有叠加制的线性系统相比，双线性系统控制就更 为有效。如对于输入有约束的线性系统，一般是不可控的，但增加了倍增控制的双线 性系统则可能是可控的。 ( 2 ) 在最优化方面，r r m o h l e r 等人【2 8 】已证明，双线性系统最优控制比线性情况下 有更好的性能。 ( 3 ) 由上所述，因为许多实际非线性过程呈现天然的控制变量与状态变量的乘积 项，对这类对象进行双线性系统建模是顺理成章的。 下面举两个双线性系统的实际例子： 例2 1 流体完全混合的热交换器的双线性模型。 如图2 1 是一类两侧流体完全混合的热交换器。假如间壁热容和热损忽略不计， 传热系数k 和比热c 均为常数。设m 1 ，m 2 分别为流体1 、2 的质量；c ic 2 分别为流体 l 、2 的比热；舅，f 2 分别为流体1 、2 的质量流量：互，五分别为流体l 、2 的温度；a h 为传热面积，下标f 表示输入端，o 表示输出端，则有动态方程： - 一 ，一9 一一 东北大学硕士学位论文 m l c ld d t f l - - - - 业。= 鼻c ( r l 一互。) 一k a h ( t l 。 鲁嘶2 ( 耻列一地( 互 j f = ( 乏 = ( ；芝) ， 第二章数学基础及预备知识 一互。) ， 。一互。) ， u = ( 芝) = ( 乏) ， 肚a l l a 1 2 ) = 陲m l c l 羹m l c l l = f ，掰- 1 l0 = ( ，毛1 l 1 l 一 lm l 1 f 0 1 旧 厂2 = ( 三二羔) = r 兰 眦 = 声 从而有双线性模型( 时不变系统) ： 例2 2 细胞罐中的细胞生长模型 假设温度、p h 值不变、m ( f ) 为连续培养液中细胞的浓度，( f ) 为生长速率，“( f ) 为新鲜营养物进入生长罐的单位体积流量，s ( f ) 为生长罐中的基质浓度，为进入生 ， 一、， o o 、j 0 o ， 、 o o 、一 o o 、， o 上鸠 、， o 互收 ub+地 m p目 +肼 = x 东北大学硕士学位论文第二章数学基础及预备知识 叠o ) = 一掣m ( f ) 一“( 矿) s ( f ) + s 甜( f ) ， x = 鼢卸，= ir ( t ) 2 卜= ( 删， 从而有双线性系统： b 科 2 3 网络控制系统 图2 1 热交换器 f i 9 2 1h e a te x c h a n g e r 随着控制系统规模的增大和计算机技术的迅速发展，过程控制逐步向分布式方向 发展。七十年代中期，自从h o n e y w e l l 公司推出了型号为t d c 2 0 0 0 的集散控制系统( d c s ) 但同时由于网络中的信息源很多，信息的传送要分时占用网络通信线路，而网络 的承载能力和通信带宽有限，必然造成信息的冲撞、重传等现象的发生，使得信息在 传输过程中不可避免地存在时延时延由于受到网络所采用的通信协议、网络当时的负 荷状况、网络的传输速率和信息包的大小等诸多因素的影响，而呈现出或固定或随机 或有界或无界的特征，导致控制系统性能的下降甚至不稳定，同时也给控制系统的分 析、设计带来了很大的困难。传统的控制理论在对系统进行分析和设计时，往往做了 很多理想化的假定，如单采样频率、同步控制、无延时传感和调节而在n c s 中由于 控制回路中存在网络迟延，上述假定通常是不成立的。需要将一些先进的控制策略引 入到n c s 控制中，才能更好的分析和设计网络控制系统，从而促进其在工业生产领域 的应用。 “n e t w o r k e dc o n t r o ls y s t e m s 最早于1 9 9 8 年出现在马里兰大学g c w a l s h 的论 著中，但未给出明确的定义。只是用图示说明了网络控制系统的结构，指出在该系统 东北大学硕士学位论文 第二章数学基础及预备知识 中控制器与传感器通过串行通信形成闭环。清华大学的顾洪军给出了明确的定义： 网络控制系统( n c s ) ，又称为网络化的控制系统，即在网络环境下实现的控制系 统，是指在某个区域内一些现场检测、控制及操作设备和通信线路的集合，用以提供 设备之间的数据传输，使该区域内不同地点的设备和用户实现资源共享和协调操作。 广义的网络控制系统包括狭义的在内，而且还包括通过企业信息网络以及i n t e m e t 实现 对工厂车间、生产线甚至现场设备的监视与控制等。 网络控制系统是计算机网络技术在控制领域的延伸和应用，是计算机控制系统的 更高发展，是以控制“事务对象为特征的计算机网络系统，简称为i n f r a n e t ( i n f r a s t r u e t u r e n e t w o r k ) 网络控制系统的典型结构如图2 2 所示： 图2 2 网络控制系统结构图 f i 9 2 2n e t w o r k e dc o n t r o ls y s t e m s 网络控制系统的特点如下： 1 ) 结构网络化：网络控制系统最显著的特点体现在网络体系结构上，它支持如总 线型、星型、树型等拓扑结构，与传统分层控制系统的递阶结构相比显得更加扁平和 稳定； ， 2 ) 节点智能化：带有c u p 的智能化节点之间通过网络实现信息传输和功能协调， 每个节点都是组成网络控制系统的一个细胞，且具有各自相对独立的功能； 东北大学硕士学位论文第二章数学基础及预备知识 3 ) 控制现场化和功能分散化：网络化结构使原先由中央控制器实现的任务下放到 智能化现场设备上运行，这使危险因素得到分散，从而提高了系统的可靠性和安全性； 4 ) 系统开放化和产品集成化：网络控制系统的开发是遵循一定标准进行的，是一 个开放性的系统，只要不同厂商根据统一标准来开发自己的产品，这些产品之间便能 实现互操作和集成。 尽管网络控制系统具有以上众多优点，但在实际的分析设计中仍有很多亟待解决 的问题，比如网络时延、丢包以及多包传输问题。这些问题导致了系统控制品质的下 降，严重时甚至会导致系统的不稳定。下面将详细介绍n c s 中存在的几个主要问题。 1 ) 时变传输周期：传统的计算机控制系统都假设对被控对象的采样为等周期采样， 这种使得系统的分析大大简化。然而，在n c s 中这种等周期采样的假设将不再成立。 在n c s 中，对采样数据的传输可以是周期的，也可以是非周期的，这将取决于控制网 络的介质存取控制协议( m e d i u ma c c e s sc o n t r o lp r o t o c o l ，简称m a c 协议) 。m a c 协议 一般分为两类：随机存取和调度。载波侦听多路存取( c a r r i e rs e n s em u l t i p l e a c c e s s ) 是随 机存取网络中最常用的一种协议，而令牌环( t o k e np a s s i n g ) 和时分多路存取( t i m e d i v i s i o nm u l t i p l ea c c e s s ) 是调度网络中最常用的。 2 ) 网络调度：在n c s 中，控制环的性能不仅依赖于控制算法，而且也依赖于