（应用数学专业论文）随机变换的原像压.pdf

摘要 熵( 包括拓扑熵，测度熵) 和压是动力系统和遍历理论中描述系统轨道结构复杂程 度的重要不变量作为熵的推广，压及其相关研究成为热力学的重要组成部分本文结合 玲触【l 】的王作，我们将描述系统原像结构复杂性的原像熵( c h 粕g 和n e w h o u 【2 】) 和 原像压( z e n g ，、和z h 柚g 【3 】) 的主要工作推广到随机变换的情形。 本文的主要目的是定义并研究随机动力系统的原像压，并给出相应的变分原理 首先在引言中给出随机动力系统的褶关概念 与经典的遍历理论不同，所谓随机动力系统是指：每次从状态空间的变换的集合中随 机地挑选一个进行迭代本文将采用l u d w i ga 瑚o l d 的观点，假设这种随机的选取是平稳 的s t a l i o n a 秽) 为了从数学上建立这种模型，我们需要两个“要素”：一是在遍历理论意 义下的动力系统，鼷，概率空阕q ，只p ) 秘q 上豹保测变换毋；第二是可测空闻x 上的一 族可测变换 西) ：u q ，使得( u t ) 一妒( n ，o ) z 足可测的 这样随机动力系统由下式给f ；： 咖( n ，u ) = ( t ，n 一1 0 ) o o 西( 1 ，u ) o 毋( u ) 在l 我们首先用分离集给出随机变换的原像压的定义： 1， ，_ e ( 曲| ，) 21 鳃1 5 竺p 云嚣翼1 0 9 ，c ，t ( d ，。c 七) 撑( 。) 随后用歼覆盖给出了随机原像压等价的定义。 在2 我们给出了本文的主要结果：r d s 拓扑原像压的变分原理 定理( 变分原理) ： 设歹毛1 ( q ，g x ) ) ，受| l ，l 。( 毋，) = s u p 妨。，弘( ) f ，如| p 州( 蝴。 ， 其中朋( ) 表示所有疹不变测度的集合 在3 我们首先讨论了r d s 派像难决定的不变测度。得到如下命题； 设肛：，8 一r 为q x 上满足几2 p p 的有限符号测度若，。p r 。( ) 0 z x ，u q ，七n ，七n ，l 1 ( q c ( x ) ) 函数。，n ( ，u ，f ：) 对 u 是可测的且对任意d 0 存在x 一组最大( u ，n e ) 分离集g 。co 一1 ( 七，u ) z ，z + 义 4 ( v 留- 1 咖_ ( i ，“，) 口) l 多_ 蠢拉的有限子覆盖 1 口一l 露鲥 故 d 疹v 争一嚣，t 。 因此，我们有 对摊n 令 因此。 泌唧他s ( 毛泌唧刚训( 萎鬻x p 刚儿川) 跏c 霹+ m ( ，理，奄) 跏芒，再( ，六。，c 皇，老) 跏e ，m ，w ，患一站) 。 。n 一萎竺l 昭：段跏一，u ，口。七) 护( u ) 。 o 靠+ m = 。s u pfl o g 善秭强珏+ m ( ，口，七) d p ( 叫) 奄 n + m7 s u pfl o g 尹k 零( 多，六。，a ，凳) 翻p ( 甜) 老n + ，l ， 七黑1 0 9 轨，m ( 多，二。，8 ，奄一托) 撑知) 拿u p7l o g 胁，n ( ，w ，a ，凳) 挣( w ) 知n ， + 髁1 0 9 胁，n 纸 u ，口，。沁( u ) 因此，l i m 一三o n 存在 设，三1 ( q ，e ( x ) ) ，记 触静，) 2 溉f s ? 跏e 静，8 ) ：& 是x 的歼覆盖，且嬉i a 掇 艿 l ， 其中由于中括号内的函数对艿是单调的，所隰极限存在 命题1 6 ( 分离集和开覆盖定义的等价性) ，l 1 ( q ，g ( x ) ) ，我们有 跏。( 妒，) 一( 妒，) 。 证明： ，l 1 ( q ，g ( x ) ) ，e 0q 为x 的有限开覆盖，且d i 锄缸) e 显然，不等式 名。( 毋，u ，e ，惫，z )胁一( ，u ，口，忌，z ) ， 7 原像压的变分原理 理论动力系统中，r u e l l e 首先将统计物理中的热力学形式引入动力系统随后b o w 锄， r u e l i e 和s i m i 用热力学手法研究光滑双曲系统的遍历性质作为热力学形式的重要组成 部分，拓扑压及其变分原理，已经进行了大量的研究我们可以在文献【1 5 】【1 6 】，【9 】和【l 】 中看到有关确定性系统和随机系统的相关研究 最近z e n g ，y 撕和z h 孤g 【3 】对确定性系统引入了原像压的定义在本节中，我们将 结合【l 】和【3 】的技术，对随机系统的原像压给出对应的变分原理事实上，我们可以看 出各种情形的变分原理的证明，包括【2 】关于原像熵变分原理复杂繁长的证明，都是依照 m i s i 啪w i c z 著名的证明【1 5 】，t h e o r e m9 1 0 】的思想进行证明的 下文中，我们总是假定( x d ) 为紧致度量空间，砂为x 上关于( q ，p ，d ) 的拓扑 l m s 其中( q ，厂，p ，1 ，) 为l e b e s g u e 空间，为b o 咒i 口一代数，秽为可逆可测的 定理2 1 ( 变分原理) 设，1 ( q ，c ( x ) ) ，则 ， 只盯。( 砂，) = s u p p r 。p ( 痧) + ，毗| p m ( ) - ， 其中m ( 西) 表示所有咖不变测度的集合证明： 第一步 。( ) “9 ) + r ，如 ( 2 1 ) 其中p l ( 咖) 设p ，( 咖) ，f = 4 l ：a 2 ：，a 七 为x 的有限划分，选择f o 使 0 ，使得对咒，后n ，u q ， ( 篁巾删( 汹+ & ，札 月o ( v 一1 “，u ) 7 7 l 一1 ( 后，u ) 8 ) + & 厂d j i = 0 v ，i l 0 9 2 + 1 0 9 s ! g 岛。n ( 妒，u ，6 ，) + 芝二砭( 移u ) ( 2 3 ) ox：二： 取单调递减的有限划分序列，。仍使其直径趋于零，并且在忽略零测集的 意义下召= v 墨l 岛，并且满足 n ln l 吼。( v 矽。( t ，u ) 7 7 旷( 尼，u ) 召) _ ，觋( v 。1 ( i ，u ) 叼旷( 七，u ) 岛) i = ul = o 故为证( 2 3 ) ，我们只需证对充分大的歹) ， 月o ( v 一1 ( i ，) ，7 i 一1 ，u ) 岛扣) ) + & ，嘶k i = 0 - ， n l 0 9 2 + l o g s l 2 易。，n ( ，u ，j ，七) + 乏二砭( 秽u ) ( 2 4 ) 霉x：= 现取o 艿 o 使得如果d ( 。，y ) 巧1 ，z ，七，6 ) 则叱( z ，y ) 0 使得对d ( z ，秒) 如( u ，z ，七，j ) ，y ( 七，u ) x 和3 ，l 一1 ( 尼，u ) 弘则存在点z l 一1 ( 尼，u ) 。使得d l ，耽) j 1 p ，z ，七，6 ) 令引 为( 七，u ) x 中，所有半径为如，z ，尼，6 ) 开球所组成的开覆盖，6 3 ) 是甜它的l e b e s g u e 数 由于当歹_ 时，d i a m ( 岛) _ 0 ，我们可以选取歹o ) 使得如果歹) 歹o ) ，b 岛) ，则d i a m 百 如0 ) ，c 砂一1 ( 忌，“，) 岛( u ) ，记儿，c 为条件测度批在c 上 1 l 屆 ( 吖 c ) 一纠+ ，毗 选取序列 i o o ，觑7 l t 和点z g 吒1 ( 秽乜u ) ，使得 ( ( ) = ；曳去l 。g 名一吖，吣，k 谚w p ( 以 咖q ，设功为砂一1 ( ，u ) 罐的最大，n i ，e ) 分离集由引理1 1 ，我们假设硝满 足 ( u ，z ) iz e 亭) 厂召且 e x p 民m ，y ) 言易。m ( 蚍，乜，毋 ；笔 鏊羹羹萎喜i篇囊薹鬈錾纛熏蓁lll 耋鏊蓁薹；秀二每；蟹：基弱堪磁塑蓁霎薹辇霎l霞；辇；蓁晤蚤薹墓；耋l；=-；事主：萋二二!：薹妻蚕! 薹l 萎差：垂i 守- 塞i 萎圉l 函蓁蓥二i i 誉；l l l ；耋! ；磁隧奏雾醪董l ! 鋈| l 翼霞一i 差i 髦i i i 耋并且包i 薹喜i 奏；! 垂；! w x h m 恤+ l 脚 。幻挑) + ，缸 2 恕击吼( ￥e “( 霄舅1 f ) | 咳1 芦v 芦艿) 一) + 量骧去鼠( 。，力芗如 熙去l o g 蚶，蛳 ，拶) 冽) 攒f l o 】，为了证明( 2 。7 ) ，我们应用r o 址l i n 理论中有关可测划分的讨论弛纯令巳= e 圪l ( 司= o ) 。对x 的任意一个一代数a ，定义一个更大豹矿代数屯，气= aia = 曰um ，曰4 ，巳，mc 显然既就是圪的鼬完备化 记盯一代数戡鬻( 咖州( 缸) 艿) 己，七21 由于妒一1 ( 1 ，u ) c 鼬co 对任意彬q ，我们 有慰) 瑶) 令鼯= l 磁，则磁c 既c 鼯并且一( z ，u ) 懿uc 甜惫，z 1 在上述逐纤维定义完之螽，令e = g 芦8 ) 一| 弘( c ) = 0 ，如上我们可以在丛上类 似定义( 厂居) 七，( 芦x 召) o 。显然( 厂8 ) 1 ) ( ，屡) 2 ) ，( ，嚣) 一c ( ，x 召) c 伊召) 七 并且e 一。( _ 7 r 五1 ，v ( ，艿) 七) c7 r 五1 芦v ( ，召) 件蠢，z 1 。 由附o 】 p 妁p o s i 硒n2 】的证明，对q x 的任意一个有限划分，7 ， 玩( 即| 吒1 厂v 伊8 ) 老) = ( 或) d p ) 。 据【f l o 】，弧e o m4 】，我们有 ，建一l，拜一l 吼( vo 。( 贩1 f ) l 1 尸v 垆xb ) 一) 1 i m s u p 心( ve 。( 咳1 f ) l 吒1 芦v 垆x 动) 。 扭o。扛田 ( 2 8 ) 且对任意的q ， ，珏一l ，善ll，疆一l t 妒( y 。1 ( ) f l 砖) 去占豫。( 妒一( 一u ) 4 - 甜) 引睬t u ) ( 2 9 ) p m 剪西2 。7 ) 注意到格) 支撑在妒一1 ( ，) z 上，从而任意a 磅可以表示成妒一1 ( 乜，) 艿和已中元 素的不交并，即a = 口u e 且b 一1 ( 觑，) 召，g 乙丽毋) 支撑在一1 淑，u ) 召的成员上， 我们有格( 研蒜e ， 对任意有限划分仉我们有 1 4 勘) ( 7 | 鼯) = 勘“b u ) 善妙 由( 2 8 ) 。令上述不等式中i _ o 。，得 ( 2 7 ) 得证 恕去i 。g 即吖m 啪艚g ) ) d p ( u ) e 一。( 丌冤1 ) 旧厂v ( 厂8 ) ) + ，批) 去q ( v e 一( 丌叉1 ) | 丌五1 厂v ( 芦8 ) 一) + t ；0 f f d j 1 7 v 瑚 ，- l 一 一m ，- p 云三啪m 卜 u 不变测度和平衡态 众掰周知，压可以决定不变测发并基燮分漂理以鑫然的方式麸中选惠称作平衡悉鳃 不变测艘这剿性质，在f1 5 l 和f 9 】中，分别针对确定性系统和随机系统的情形进行了研究。 在f 3 】中，对确定性系统的原像压得到了类似的结果事实上，我们可以看到【3 j 剃【9 】的证 臻都是贫照f 1 5 l 进行的。结合f 3 】和辫】的授术，我们将对随机系统的原像愿给击类似的性 质， 对r d s 的假设如前，为符文简洁，我们只对其中的主要的部分绘出证明，根据原像 压的定义，我们有下列性质 命越3 。l 多舞x 上的拓羚r 潞，爹毛1 辫，e x 羔e 1 gp ，赠下式成立： ( 1 ) ，9 ，p 一旺s 则( ，易畦( ，雪) 。 ( 2 ) e ( 莎，+ c ) = 。( ，) + j rc c 凇( “，) 3 ) 若毳p r e ( 毋) o 。，黉l j | e ( 痧，) 一珞。( ，尊) i 冬| i ，一9 1 转若。妨 冀弦梦，+ 磐oe 一多篇蜀蹿嚣( ，) 。 ( 6 ) 鬈凶( 矽，+ 碧) 。( 谚，) + e ( 移，夕) 。 像【f 9 】，t h r e m3 1 4 】的处理方式一样，我们可以应用命题3 1 ( 2 ) 、( 5 ) 和变分原理( 定 理2 1 ) 决定州国懿元素， 命题3 2 设弘：，8 r 为q x 上满足恐班= p 的有限符号测度，若 胛( 多) 根据孳l 理3 。3 ，原像麓映射是篷斡，所戬划静，也是凸的。 ( 2 ) 若朋( 妒，) 是遍历的，则它足朋) 的极点。1 9 妥p 1 嬲因此属予集会朋( 破力。 反之，设m ( 咖，) 是州( ，) 的极点。且# 一础i 十( 1 一p ) 2 ，p l ，m 州( ) ，p 冷，l 。由于p ( ，弘1 ) + ( 重一p ) 己( 谚，地) 一玉( 咖，p ) 一蜀”。( ，) ( 弓f 理3 3 ) 且己( 妒，p 1 ) ，己( ，肛2 ) 髫 岛，。多，( 定理2 1 ) ，我们有箨l ，；奢划劬，) 因蛾l 一2 = 弘j 雕黟先觏) 的极氨因 此是遍历的。 ( 3 ) 由于原像熵映射是上半连续的，朋( ，) 不是空集并且是紧致的进一步，由 于朋( 钟是紧致髂，所以玉( 多，) 在菜点扩取得了上确界设扩嫦岛( 谚) m 打( m ) 为的遍 赝分解【嘲，骶辩。跫撒l 。2 。9 翼壶于上半连续的凸器数为一列单调递减连续凸函数的摄隈，我 们有 五( ，p ) 一 l ( 毋，总) d 7 - ( ，托) 0 p 龟蝣 注意到己( ，心) 五( 毋，| ，) ，所以厶( 莎，1 ) 黜z ，( ，) ，r 峨e 。，l 。这样我们证明了，的遍历平 衡态的存在性 秘巍予对任意舻朋( 妨，我稍有 h 。蝴+ jm = h 隅渊+ jm l 硼。 因此( 4 ) 成立 结论 本文对随机动力系统给出了拓扑原像压和测度原像压的合理定义并得到了相应的变 分原理并肘其在不变测度，及其平衡态中的应用，进行了初步的研究 对于原像压在分形维数估计【f i 的应用，以及其他形式压及其变分原理，仍然可以进一 步做深入研究 2 1 【l6 】t b o g e n s