（应用数学专业论文）一类非自治差分方程周期解的存在性.pdf

摘要 本文利用k r a s n o s e l s k i i 锥不动点定理比较系统地研究了一类非自治差分方程周期 解的存在性，得到了充分性判据所研究的系统更为广泛，包括许多种群动力学模型，生 理过程模型作为特例此外，我们应用本文的主要结果研究了一些经典的生物学模型的 周期正解的存在性本文的研究结果推广并改进了文献中已有的相关结果，同时获得了 一些新结果本文还运用m a t l a b 软件针对一些具体模型作了数值模拟，数值分析结果 与理论分析相当吻合 关键词：非自治差分方程，周期解，k r & s n o s e l s k i i 锥不动点定理，数值模拟 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，w i t ht h eh e l po fk r a s n o s e l s k i if i x e dp o i n tt h e o r e m ，w es y s t e m a t i c a l l ys t u d yt h ee x i s t e n c eo fp o s i t i v ep e r i o d i cs o l u t i o n so fac l a s s o fn o l l & n t o n o i t l o u s d i f f e r e n c ee q u a t i o n s ，w h i c hi sg e n e r a le n o u g ht oi n c o r p o r a t e a ss p e c i a lc f u q e sm a n ym o d e l s p r o p o s e di np o p u l a t i o nd y n a m i c sa n dh e m a t o p o i e s i s e a s i l y v e r i f i a b l es u f f i c i e n tc r i t e r i a a r ee s t a b l i s h e d ，w h i c hg e n e r a l i z ea n di m p r o v er e l a t e ds t u d i e si n t h el i t e i a t n r e m o r e o v e r ，i no r d mt oi l l u s t r a t et h eg e n e r a l i t ya n de a s ya p p l i c a b i l i t yo fo u rs t u d y ，w ea p p l y t h ec r i t e r i a ( ) d e t i r es u t 5 c i e n tc o n d i t i o n st og u m a n t e et h ee x i s t e n c eo fp o s i t i v ep e r i o d i c s o l u t i o n sf o is o l n em a t h e m a t i c a lb i o l o g ym o d e l s w ea l s oc a r r yn n l l l e i i c a ls i m u l a t i o n s f o rs o m ec o n c r e t em o d e l s ，w h i c hs t r o n g l ys u p p o r to a rt h e o r e t i c a ls t u d i e s k e y w o r d s ：n o n a a t o n o m o u sd i f f e r e n c ee q u a t i o n s ，p e r i o d i cs o l u t i o n ，t h ek r s n o s e l s k i i f i x e dp o i n tt f i e o r e n i ，n u m e r i c a ls i m n l a t i o n s 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成 果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表 或撰写过的研究成果，也不包含为获得东北师范大学或其他教育机构的学位或证书而 使用过的材料。与我同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作r 明确 的说明并表示谢意。 学位论文作者签名：一重墨：玺一 日期：竺堑兰：! l 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解东北师范大学有关保留、使用学位论文的规定，即：东北 师范大学有权保留并向国家有关部门或机构送交学位论文的复印件和磁盘，允许论文 被查阅和借阅本人授权东北师范大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数 据库进行检索，可以采用影印、缩印或其它复制手段保存、汇编学位沦文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名：叠垄錾指导教师签名 日期 学位论文作者毕业后去向 工作单位 通讯地址 笼，施 日期：竺! ! ! ：型 电话 邮编 扎引言 近年来，研究种群模型的动力学行为，特别是周期正解的存在性问题，已经受到了许 多生物学家和数学家的广泛关注。其中，在文献f 6 ，1 8 ，2 0 中：作者运用m a w h i n 重合度 理论，得到存在一个周期正解的充分条件；在文献f 1 ，4 , 5 ，8 1 0 中作者利用k r a s n o s e l s k i i 锥不动点定理，得到存在多个周期正解的充分条件在文f 2 9 中作者利用k r a s n o s e l s k i i 锥不动点定理比较详细地讨论了纯量泛函微分方程多个周期解的存在性，得到了更一 般的充分性准则然而，在已有的文献中，离散模型研究得相对较少，所研究的模型也只 是些特殊的模型所以，尽管目前文献中已经有了一些很好的结果，但对于比较一般的 离散模型的周期解的存在问题的研究远未系统化，完全化 本文比较系统地研究了一类非自治差分方程周期正解的存在性，得到了充分性判 据，运用的主要工具是k r a s n o s e l s k i i 锥不动点定理所研究的系统十分广泛，许多种群 动力学模型，生理过程模型均可纳入其中，此外，我们把主要结果具体应用到一些著名的 生物学模型中，并用m a t l a b 软件对模型进行数值模拟，数值分析结果与理论分析相当 吻合本文的研究结果推广并改进了文献中已有的相关结果，同时获得了一些新结果 令r = ( 一o ( 3 ，+ o o ) ，r + = ( 0 ，+ 。) ，r 华= ( z ”、，。) r ：q 0 ，1 z 7 令z 表示整数集，z + 表示非负整数集 本文主要研究下面的非自治差分方程 。( ) = n ( 女) z ( ) 一f ( k ，u ( a ) )( 1 1 ) 和 a x ( k ) = n ( ) z ( a ) + f ( k ，“( ) )( 12 ) 其中a z ( k ) = x ( k 十1 ) 一z ( 七) 和 k “( ) = ( x ( g l ( ) ) ，z ( 9 2 ( ) ) ，x ( g 一( ) ) ，h ( k s ) z ( s ) ) k ，s z ( 13 ) s 2 = 一。 假设系统( 1 1 ) 满足如下条件 ( 日1 ) 。：z ( 0 ，+ 。c ) 是u 周期函数，即“( ) = d ( + “) ，连续且n ( ) 0 ，其中u 是正整数代表系统的周期； ( h 2 ) f ：z r ：斗r + 连续且关于第一变元是u 周期函数，即f ( k 十u ，u ”，“。) = f ( k ，7 1 1 ，u 。) 且f ( k ，u ) o ； 1 o 。 ( 风) h ：z 斗r + 且满足h ( t ) = 1 ，g i ：z _ z ，且肌( ) 0 ，有札+ 卢u e 一砂若“，一札e ，有“= 0 则e 是锥， 引理22 【”1 ( k r a s n o s e l s k i i 锥不动点定理) 设x 是b a n a e h 空问，ecx 是x 中 的一个锥，q l ，q 2 是x 的开子集且0 q l ，q lcq 2 算子 t ：e n ( s 2 2 i 2 1 ) - - + e 全连续且满足下列条件之一 例任意z en 执2 ，有l i t x l l l 且任意茹e n a q 2 ，有i t t * i i 曼陋l 以砂任意z e n p q l ，有 i t xt l 茎忙| | 且任意z e n a q 2 ，有l l7 1 z | | 忙 j i , i t 在e n ( q 2 f 2 1 ) 中必有不动点， 为了行文简便，我f r i l l 入如下记号： l 吼i r a 呲i n a l x 掣“i l o 女li “l 卅l i m m 乩a x 掣，m i n k 。l i r a n 乩l i n i掣 w i 什o 。t ，u l u i 。一 【ut 十。l i l = 。j ! ，o ! n ，i 2 曲一 也一m “一 m om 娓 牌型 其中 以及 “l = 。m 。，a 。x 。 u z ) ，u 磁，一 i i u + n ( r ) 一 f = u c ：= t l l a x f o ，m i n 厂0 ，m “k ，r a i n k ) 令x = 0 ， 使当u j 盯l u l ，1 j n ，l “i r 0 时，有 - 厂( k ，u j m l _ l u t ，( 2 4 ) 令q ，。= z x ：i i x l l n 1 + 1 + 2 b um a x f ( k ，u ) u r ! 令f 2 ，= 扛x ：| | o ，z ( ) 就是( 2 1 ) 的u 一周 期解，由引理2 4 知，z ( 女) 是( 11 ) 的u 一周期解i 定理2 7 若 ( r ) l o ，o = 0 ，m i n k = = 成立，则( 1 1 ) 至少有一个u 周期解 证明由”t a x f o ：二0 知对满足0 0 使得当 l l t 2 时， f ( k ，“) e ( 2 6 ) 定义q ，。= x x ：l i x l5 挚使得当盯l u i ，1s j57 z ，川口功时 ，( ，u ) m 2 川( 2 7 ) 定义q 。= z x ：忙1 1 0 ，一( ) 就是( 11 ) 的u 周 期解i 定理2 8 假设 ( 尸3 ) m 口z ，0 = ，忍n 。，矗= 0 ， ( p 4 ) 存在( f l 0 ，使得任意 ( s dl ，d l j 且盯m ( j = l ，2，n ) 时，有 f ( k ，u ) d l ( a w ) ， 则( 1 1 ) 至少有两个u 周期正解搿l 和z 2 满足 0 lj x l j d l ) z 2 ” 证明首先，由i i z a x f o = 0 知，对任意满足0 l ( b u ) 的，存在心 d ：，使得对 任意5f 4 ，有 f ( k ，u ) 曼e i u l( 2 8 ) 令嘛。= z x ：忪 f 2 + 1 + 2 b w m a x f ( k ，札)( 21 0 ) ，“ 1 l e u l g r n ? 2 令嗡。= x ：i i x l i 了“= l = j j z 肌 sd，lh 对于任意z e n o f t a ，有i l 丁z | | 忙m 故由引理2 2 知，1 1 在e n ( q d 。1 2 7 。) 中有不 动点z ，在e n ( q ，。f 2 d 。) 中有不动点z 。 满足0 忪l i | d 0 ，使得任意l u 曼d 2 ，有( k ，) d 2 ( b u ) ， 则( 1 1 ) 至少存在两个“周期解z ! 和2 满足 0 i t x l l l d 2 i i x 2 证明由m i n f o = 。知，对任意a 如1 ( a o 。) ，存在r s d 2 使得当r 6 ， 口川( 7 = 1 ，2 ，n ) 时 f ( k ，u ) 芝 毛( 2 1 1 ) 令( 2 r 。= f z x ：忪；i d 2 使得当；1 7 7 ，哟： 一l “i ( j = l ，2 ，n ) 时，有 f ( k ，) 地川 ( 21 2 ) 令珥，= f z x ：忪l r t ，则对任意z e n o n _ m 有z ( k ) 盯忪j = 盯斯而且 u j ( k ) = z ( 如( ) ) 一l l x t l a i u l ，j = 1 ，n 1 ， “。( 七) = ( 女一s ) z ( s ) o j zj 一j 1 札l = 。m ， a ，x 。一， z o a k ) ) ，h ( k s ) z ( s ) ) 盯i l z i i 2 盯r 由( 2 2 ) ，( 2 3 ) 和( 2 1 2 ) 可得 ( t x ) ( k ) 2a ，( s ，( s ) ) a m 4 a r t w 三l i x l l ， s = u 即对任意x 层n a q 。有f i t x l 忙m 令q d ：= ( z x ：l i x l f d 2 对任意茁e n a n d 。，有忙f f = d 2 ，故i “f d 2 由 ( 尸6 ) 和( 22 ) ，( 2 3 ) 可知 ( t 。) ( ) 日“。- ls ( s , s ( s ( “( 8 ) ) b 彘“= d 2 = i i x l l ， ( t 。) ( ) 日 心( 8 ) ) b “= = i1 ， s=ujl“ 即对任意搿e n 口qd 2 i 有f ，z l l 忙 f 因此，由弓f 理2 2 知t 在e n ( q 出n ，。) 中有 不动点x 一，在e n ( q 。q 出) 中有不动点z z 显然，z t 和2 7 2 是( 11 ) 的“周期解，满足 o 忪l | d 2 j j 现叭 o 2 3 情况i i ：cn o ，+ = d 。 本小节我们将在假设c n o ，+ o 。 = 0 下，讨论( 1 1 ) 的周期正解的存在性首先我 们给出一个在本节证明过程中起重要作用的定理 9 定理2 1 0 假设( p 4 ) 和( p 6 ) 成立，则( 1 1 ) 至少有一个u 周期正解。满足l i x t j 在d 2 和d l 之问，其中d 2 和以分别在( 尸6 ) 和( p 4 ) 中定义 证明不失一般性，我们不妨假设d 2 d l 令s l d 。= p x ：忙 f 也 ，则对任意 茁e n 掰2 也，由( 2 2 ) ，( 2 3 ) 和( p 6 ) 知 ()()“删-lf(，“(s)b亳“j=dtx kb f ( sd 2 = ，() ( ) ，“( s ) ) b 菩l “j = 。= j j z 儿 s=ujl “ 即对于任意z f n 掰2 如有! i t x l l 她m 选取吼。= t x ：忙1 i 1 故由引理2 2 知命题正确l 冠王望2 1 1 著 ( p 7 ) m 。z f o 。血- 1 0 ，壶) ( p 8 ) m i n 氏= 卢t ( 志，o 。) 成立，则( 1 j ) 至少有一个u 周期解 证明由m a x ，0 = n l 【o 二：o ) 知，对于e5 击一口， o ，存在一个充分小的 d 2 0 ，使得当i i t , l d 2 时 iii&lx掣 o 便得当口d 1 ，1 0 一l “1 0 = 1 2 ，l ) 时，有 眦m i n 掣 肛e = 熹， 故当m i o d 。，d l j ，u j - m ( j = 1 ，2 ，札) ，a l 时，有 m ，“) 而1 口d i = a d 2 u c ， 即条件( p 4 ) 成立由定理2 1 0 知本结论成立 i 足埋2 1 2 假设 ( p 9 ) r a i n f 。2 啦( 赢、。) ， ( p l o ) m a x k = 成 o ，击) ， 成立，则( 1 1 ) 至少有一个u 周期正解 _1 证明由t n i l l o = 。( 未石，d 。) ，对于任意s = n z 老石 o ，存在充分小的 d l 0 使得当0 d 1 ， a d 盯川时，有 rain。掣or2-e-蕊1kela ， 。 训 仃u 故当p d l ，d l 】，u j ：t i u l0 = 1 ，2 ，n ) ， el 时，有 f ( k ，t ) 面1 口d 1 = 石d l ， 即条件( p 4 ) 成立 由r i a x 厶：阮 o ，击) 知，对于任意= 面1 一岛 o ，存在充分大的d 使得当 “l d 时，有 max掣 d 且k 。l 使得 当0 d ，由( 2 1 3 ) ，( 2 1 4 ) 可得，当0 如，l 时 f ( a ，u ) f ( k 州4 ) m 3 b w ，由( 2 1 5 ) 知，当0 u lsd 2 ，l 时 即条件( p 6 ) 成立由定理2 1 0 知本命题成立 _ 定理2 1 3 假设( p 6 ) ，( p 8 ) 和( p 。) 成立，则( 11 ) 至少有两个周期正解z i 和x 2 且满足0 忙l f d l ( a “) 由( p 9 ) 及定理2 1 2 的证明知，存在充分小的d ；( 0 ，d 2 ) 使得当l “ 口哦，啦】，o2 盯| “i ( j = 1 ，2 ，n ) 时，有f ( k ，“) d ：( a w ) 由定理21 0 的证明知( 11 ) 至少有两个 u 周期正解z 1 和x 2 使得啦 i i x l l i ( 1 2 i 勋 1 d x - 定理2 1 4 若( 局) ，( b ) 和( p l o ) 成立，则( 1 1 ) 至少有两个“周期正解z l 和善2 使得0 忪1 d x 8 观忆其中( f l 在( 乃) 中定义 证明由( b ) 及定理2 1 1 的证明知，存在充分小的d 2 ( 0 ：d t ) 使得当i l d 2 a l 时，有f ( k ，n ) d l 使得当l u l 蝣，七l 时， 有f ( k ，札) d ；( b w ) 因此，由定理2 1 0 知( 1 1 ) 至少有两个u 周期解z l 和z 2 使得 d 2 lx l | j d l | l z 2j l 啦证毕 i 2 4 情况i i i ：c n o ，+ 0 ，但c 仨 o ，+ 。o j 定理2 1 5 若 1 ( 尸l ，) m i n f o2 0 0 ，僦z 氏= 局【o ，击) 成立，则( 1 a ) 至少有一个u 周期正解 证明令q ，。= 。x ：恻 t o 由m i n f 0 = o o 及定理2 9 的证明可得，对任 意z e n o f 2 ，。有f i t x l l | | z m 选取l k - = x ：忪| i r 1 ) 由i n a x f 。= 夙 o ，壶) 及定理2 - 1 2 可知、当 1 1 时，有，( 自，“) 彘和 ( t 。) ( 纠玉口静( 蹦小) ) b 最u ：”j s一j 1 2 即当e n a 嘛。时，有1 1 t 圳1 忙m 因此，结论成立 i 在2 2 节和2 3 节的基础上，与定理2 1 j 的证明类似，易得如下结论 定理2 1 6 若 1 ( 乃z ) 7 7 l a x = 0 ，俩n ，02 。- ( 赢，。) 成立，则r j 纠至少有一个u 周期正解 定理2 1 7 若 1 ( p 1 3 ) r n a x t b = ( ) ，m i r 。厶2a 2 ( 赢( ) 。) 成立，m j ( 1 1 ) 至少有一个u 周期正解 定理2 1 8 若 ( p 1 。) m 讥氩= o 。，m n 茹如= 膨 o ) 击) 成立，则( 11 ) 至少有一个“周期正解 定理2 1 9 若( p 6 ) ， ( p 1 5 ) m i 礼如= 。，m 撕厶= c i = 3 ( 万笔，o 。) ，成立，则( 1 1 ) 至少有两个“周期 正解o l 和0 2 满足 其中d z 在( p 6 ) 中定义 证明令嗡= p x ：恻i r + ) ，其中 d 2 由r a i n f o ：o o 和定理2 6 的证 明可知，当z e n 臼n ，时，有 l 丁z f l2 忪 令q d 1 2 茁x ：忙l l u 石, 1 再由( p 6 ) 和定理2 1 0 的证明可知( 1 1 ) 至少 有两个u 周期正解z l 和2 2 满足0 l i x l l i d 2 陋。m - 定理2 2 0 若( 尸6 ) 和 ( p 1 。) n i nk = o 。，m 伽，o = a ( 未三，。) 成立，则( 1 1 ) 至少有两个周期正解z l 和 2 满足0 忪l8 d 2 忙2 f ，其中d 2 在 ( r ) 中定义 定理2 2 1 若( 局) 和 ( n 7 ) i l l a x f o = 0 ，m a x 厶 风 o ，击) 1 3 成立，则( 1 1 ) 至少有两个u 周期正解z l 和x 2 满足o f i x l f l d l f i x 2 | f ，其中d l 在 ( 只) 中定义 定理2 2 2 若( 局) 和 ( p 1 s ) n a x 厶= 。，m a x f o = 阮击) 成立，则( 11 ) 至少有两个u 周期正解z l 和x 2 使得o 肛l f f d l f 勋m 其中d l 在 ( r ) 中定义 1 4 3 系统( 1 2 ) 的周期正解 下面我们研究系统( 1 9 ) 的周期正解的存在性与第二节的证明类似，我们不难得出 系统( 1 2 ) 周期正解存在性的充分条件为了文章的简洁，下面我们不加证明地给出关 于( 1 2 ) 周期正解存在性的相应结果， 在本节中我们假设系统( 1 2 ) 满足条件( f f 2 ) ，( 日3 ) 和 ( 口1 ) n ：z _ 十( o ，1 ) 是叫周期函数，即o ( 尼) = a ( k + u ) ，连续且n ( ) 0 ，其中u 是正整数代表系统( 1 2 ) 的周期； 令 口= i i ( 1 一。( s ) ) 和 础= 焉裟，k , s ez , 由( k ，s ) 的表达式很容易得出，对任意8 k ，k + u 一1 】，有 拈器器洲如) 意丽：= b ( 3 ，) 臼：三一 l 一( 丁口= 百a 1 引理3 1x ( k ) 是一纠的u 周期解当且仅当它是下面差分方程的u 周期解 定理3 2 若下列条件之一成立 ( p 1 ) ；( p 2 ) ；( p i ，) ；( p l t ) ；( p l a ) ；( b a ) ；( p 4 ) 和( p 6 ) ；( p 7 ) 和( b ) ；( p 。) 和( p 1 0 ) 则( 1 2 ) 至少有一个u 周期正解 定理3 。3 若( 局) 成立，且下列条件之一成立 ( b ) ：( n7 ) ；( p 1 8 ) ；( p 7 ) 和( p i o ) 】5 f 3 2 1 。而 = 4 然显 曲“ s ，曲 kh 妒斌 = z 则( 12 ) 至少有两个u 周期正解z l 和z * 2 满足0 l i z l | | d l l i x 2 l l ，其中d l 在( p 4 ) 中定义 定理3 4 若( p 6 ) 成立，且下列条件之一成立 ( p 5 ) ；( r s ) ；( r 6 ) ；( p 8 ) 和( p 9 ) ， 则( 1 2 ) 至少有两个u 周期正解x l 和x 2 使得0 i i x t | | 与吾，则( 4 2 ) 至少有一个u 周期正解，其中口 u j n - 1 ( 1 + n ( ) ) 1 ， 硼记 f ( k 川蛳耋黥， 川) = n ( ) 蛳# 隶 冠然，( 4 5 ) 满足条件( h t ) 一( 髓，) 而且，当弓0 时， 1a，。x-k6l “掣薹崭圳，o i 札l喜l 十c 儿l 因此m a x l 0 = 0 另一方面，当l u t 寸+ o 。时，有 r a 附i n 一 , f ( k , 1 u ) 0 m 薹蒜i 一薹警 附。1 凯1 1 o 刍再巧啊l “鲁c r 由定理给定条件可知m i n ，o 。 万1 i ，故由足理2 1 7 廿j 州此筛题戚且 i 在文【2 4 】中，z h a r x g 和w a n g 等研究了以下具周期捕获作用的离散单种群模型的 翮解 m 圳 ，1 - 掣z ( k + 1 ) 一肛z ( ：) 二l + b ( ) ，么 其中p 0 ：l 0 ，6 ( t ) c ( z ，r ) ：n ( ) = = n ( + “) 我们现对离散的m i c h a d i 8 一m 。砒o ” 蝉槲账删酬 珊扣卜黼1 ) z ( r ) = 卫( ) i 。( ) 一 兹i ， 图l ：当n ( ) = 1 + s i n ( k i t ) ，6 ( m ) = 2 十c o s ( w ) ，q e = 0 2 ，c = 1 时( 4 6 ) 解的数值分析 增加捕获项，在单位捕获努力量的假设下，被捕获种群符合如f 模趟 酬啦m ) l 一端 - q e x ， ( 4 e ) 其中n ( a ) ，b ( k ) c ( z ，( 0 ，十。) ) 足u 周期的，c 是正常数，g 和f 是正常数分别代表捕 获努力系数和捕获努力量 定理4 3 若 。 等， 则( 4 6 ) 至少有一个u 周期正解，其中盯：w n - 1 ( 1 + 。( k ) ) - 1 ( 参见图1 ) 证明此时 f ( k 训= 篙邶创 易知 m 躲，o ：q e ，m i n 山：竺+ 揖 由定理4 3 的条件可知( b ) 和( b ) 满足，则由定理2 1 1 知本命题成立 - 注4 1 以上各模型( 4 1 ) _ ( 4 ，6 ) 都是系统( 1 i ) 的特例 例4 3 考虑离散的广义造血模型 1 ，4 , 5 ，1 0 , 2 1 a z ( k ) ：n ( k ) z ( k ) + b ( k ) e x p 一卢( ) ( k r ( ) ) ) ( 47 ) 其中a ( k ) c ( z ，( 0 ，1 ) ) ，6 ( r ) ，卢( ) c ( z ( 0 ：o 。) ) ，r c ( z ，z ) 且都是“周期函数( 参 见图2 ) 图2 ：当n ( ) = + 专s i n 譬，6 ( ) = 击+ 矗c o s 譬，卢( k ) ；1 ，r ( a ) ；1 时( 4 7 ) 的数值模拟 则 定理4 3 ( 4 7 ) 至少有一个u 周期正解 证明【4 7 ) 显然满足( h ：) 一( h 3 ) ，记 f ( k ，“) = b ( k ) e x p 一卢( ) u ，u r + 因此r a i n f o = o 。和m a x 厶一0 成立，即满足条件( n ) ，由定理2 6 可知本定理成立_ 为了研究造血的规律性，g a l a s s 和m a c k e y 1 9 1 提出了血细胞生成模型，原始的连续 模型及各参数意义可参见文献 1 9 _ 下面我们考虑其推广的离散模型 1 ，4 ，5 ，1 0 ，1 5 ，1 8 z ( ) = 一a ( ) z ( ) + ；! ；! 勰，n 6z + ( 4 8 ) 其中a ( k ) c ( z ，( 0 ，1 ) ) ，6 ( ) c ( z ，( 0 ，+ 。) ) 这里x ( k ) 代表血液循环中成熟细胞的 浓度r 是未成熟细胞在骨髓中的产生与它们在血液循环中成熟释放之闻的时间滞后 在文献f 1 9 1 中，作者还提出了一个非线性时滞微分方程来描述生理控制系统，其原始模 型是自治系统下面我们考虑非自治系统并将其离散化得到 舭( ) 一m ) m ) + 再蒜兰而川朗 ( 4 9 ) 定理4 4 若b 地0 2 二d ，则( 48 ) 至少有一个。周期正解，其中盯 。( ) ) ( 参见图3 ) 2 0 。而忉旦“斗| 墓h 乞当一心矾 ，l s 叶 澎丽 协k 墓 业坐川 坦坦 黝搿 网3 ：当o ( ) = + 击s i ng - ，b ( ) = 2 + c o s 譬，r ( 女) = 1 ，7 l = 2 ，3 时( 4 9 ) 解的数值分析 证明记 m ，”) = 再b ( k ) 丽u 则 m 蚓a 。x 掣= = 而b m 镰m i l n 可l f ( k , u ) l 卵，“ 0 若厶。 舞，则i i l g x 几。= 0 ，m i nf 0 = b ” 志，于是由定理3 2 可得( 4 8 ) 至少有一 个“周期正解i i 推论4 5 系统( 4 9 ) 至少有一个u 周期正解 例4 4 考虑离散的n i c h o l s o n 8b l o w f l i e s 模型 1 ，5 ，2 1 ，2 7 ，2 8 】 a x ( k ) = - a ( k ) x ( k ) + 6 ( 七) # ( m r ( ) ) e x p 一p ( ) z ( 一r ( ) ) ) ( 4 1 0 ) 其中a ( k ) c ( z ，( 0 ，1 ) ) ，6 ( 女) ，卢( 女) c ( z ，( 0 ，o 。) ) ，r ( ) c ( z ，z ) 且都足u 周期函数 定理4 6 若b ” ，1 - 。a ，则系统“j 叫至少有一个u 周期正解 由于证明过程与定理4 4 相同，故在此省略 例4 5 考虑下面的差分方程 删= 一扣譬m ) + ( 丽1 + 萨1s 等) ) ( 4 1 1 ) 其中0 q 1 是常数 显然 m ，叫= ( 而1 + 铲1s ( 等) ) ( u 气“。 图4 ：当n = l 4 ，= 2 时( 41 1 ) 的数值模拟在广义相空问中( 41 1 ) 分别满足初始条件 x ( o ) = o o l ，( o ) = o 0 3 和z ( o ) = o 0 5 的解曲线 黜等!l=拍ial3 2 “蜘 ) ，【o ，l u l 、 7 则有m i n 厂0 = m i n 山= 0 3 ，即对于( 4 1 1 ) 有条件( 岛) 成立令7 2 = l ，则对任意 0 “r 2 有 m 熹 彘= 罴， 故( r ) 成立由定理2 4 可知( 4 1 1 ) 至少有两个正周期解z ；( f ) 和z ；( t ) 满足0 忡州 i f | z 孙 5 结论与评注 本文系统地研究了( 1i ) 和( 1 2 ) 周期正解的存在性和多解性许多著名的数学模 型都是( 1 i ) 和( 1 2 ) 的特例本文使用的主要工具是k r a s n o s e l s k i i 锥不动点定理，该定 理在处理周期解存在性问题时很有效从文中我们可以看出这个定理不仅适用于一般的 差分方程，同时也适用于具有时滞( 多滞量) 的差分方程，但是本文所研究的方程只是 滞后型的差分方程，而对于超前型和混合型的时滞差分方程，k r a s n o s e l s k i i 锥不动点定 理是不是还将有效? 在本文中，我们建立了更一般更有效的充分性准则，它改进并推广了已有文献中的 一些相关结果其中文1 8 ，3 3 利用k i a s n o s e l s k i i 锥不动点定理研究了以f 的差分方程 周期正解的存在性 文利用同一方法研究了下列两个系统周期解的存在性闻题 a z ( k ) ：z ( 七) f o ( 七) 一f ( k ，z ( 一t i ( ) ) ，z ( 七一，i ( ) ) ) a ：r ( k ) = 一。( 女) z ( k ) + g ( k ，x ( k r ( a ) ) ) ， 显然它们包含在我们所研究的系统( 1 1 ) 和( 1 2 ) 中 本文的讨论基于下面四个数的取值，即i y i g 。x ，o ，r a i n ，0 ，i 1 ，t , xf o o ，m i n ，它们可以取 0 ，0 ( 3 或者有限值显然基于这四个数的值，我们需要讨论3 6 种情况我们在第二节中分 三个部分讨论了3 6 种情况中的1 6 种，其余的情形更为有趣但更富有挑战性，本文的方法 不再适用余下的问题主要集中在m i n 厶= 0 ，m a x k = 。和m i n 。f 0 ：0 ，i l l r a x = 。 这四个数值上文【9 建立了周期解的不存在性准则，那么在没有讨论的情形中足否可 以通过文f 9 j 中类似的方法来建立相应的周期解的不存在性准则呢? 本文的数值模拟与理论研究相当吻合虽然本文并没有讨论周期解的稳定性，但数 值模拟表明所考虑的系统的周期解是稳定的，一个自然的问题是，本文的保证周期解存 在的判据是否可以保证周期解的稳定性? 参考文献 1 w a na y ，j i a n gdq e x i s t e n c eo fp o s i t i v ep e r i o d i cs o l u t i o n sf o rf u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s 。i j k y u s h uj m a t h ，2 0 0 2 ，5 6 ( 1 ) ：1 9 3 2 0 2 2 a g a r w a lrp ，py 1 t o na g e n e r a l i z e dd i f f e r e n c es y s ! ，e r a a t ，n o n l i n e m a n a l ，1 9 9 7 ，3 0 ： 3 6 5 3 7 6 3 。l i a n gdq ，o r e g a nd ，a g a r w a lrp o p t i m a le x i s t e n c et h e o r yf o rs i n g l ea n dm u l t i p l ep o s i t i v ep e r i o d i cs o l u t i o n s t of u n c t i o n a ld i f f e r e n c ee q u a t i o n s j a p p lm a