（理论物理专业论文）球对称黑洞时空中的似正规模.pdf

大连理工大学博士学位论文 摘要 黑洞的似正规模在过去的几十年里已经成为相对论天体物理学研究的主题之一。由 于波被扰动黑洞散射，使得不存在正规模振荡方式，取而代之的是似正规模，其频率的 实数部分表示振荡的频率，虚数部分表示衰减的快慢。实际上，如果能被l i g o ( 激光干 涉引力波观测台) 探测到，似正规振荡能够提供黑洞存在的直接证据。 论文首先介绍了黑洞似正规模的历史。接着介绍了研究黑洞似正规模的主要动机。 此外，对计算黑洞似正规模的一些方法作了介绍。 利用 i j l w k b ( w e n t z e l - k r a m e r s - b r i u o u i n ) 近似，计算了1 + 3 维弦黑洞电磁扰动的 似正规模频谱。结果显示，从高维紧致化所得到的参数对黑洞似正规复频率能够产生 影响。也就是说，似正规频谱包含弦黑洞参数的信息。此外，利用有限差分法，给出 了1 + 3 维弦黑洞电磁扰动的似正规振荡图象。 最后，用三阶w k b 方法研究了有q u i n t e s s e n c e 包围下的s c h w a r z s c h i l d 黑洞引力扰动、 电磁扰动和d i r a c 扰动的似正规模。对比没有q u i n t e s s e n c e 存在的情况，结果发现，由于 有q u i n t e s s e n c e 的存在，引力场、电磁场和d i r a c 场的衰减将变慢。 关键词：黑洞；似正规模；w k b 近似；微扰 一i 一 大连理工大学博士学位论文 q u a s i n o r m a lm o d e si nt h es p h e r i c a l l y - s y m m e t r i cb l a c kh o l e s p a c e t i m e s a b s t r a c t q u 姻i n o r m a im o d e so fb l a c kh o l e sh a v e b e e no n eo ft h em a i nt o p i c so fr e l a t i v i s t i ca s t r o - p h y s i c sf o rt h el a s tf e wd e c a d e s d u et ot h ew a v e se m i t t e db yp e r t u r b e db l a c kh o l e st h e r e a r en on o r m a lm o d eo s c i l l a t i o n sb u ti n s t e a do fq u a s i - n o r m a lm o d e ( q n m ) f r e q u e n c i e s ，w i t h t h er e a lp a r tr e p r e s e n t i n gt h ea c t u a lf r e q u e n c yo ft h eo s c i l l a t i o na n dt h ei m a g i n a r yp a r tr e p - r e s e n t i n gt h ed a m p i n g i n d e e d ，q u a s i n o r m a lr i n g i n gc o u l dp r o v i d et h e d i r e c te v i d e n c eo ft h e e x i s t e n c eo fb l a c kh o l e si fo b s e r v e db yl i g o ( t h el a s e ri n t e f f e r o m e t r i cg r a v i t a t i o n a lw a v e o b s e r v a t o r y ) i nt h i st h e s i s ，f i r s t l y , t h eh i s t o r ya b o u tq u a s i n o r m a lm o d e so fb l a c kh o l e sa r er e v i e w e d t h e n t h em a j o rm o t i v a t i o n sl e a d i n gu st os t u d yt h eq n m 8o fb l a c kh o l e sa r ei n t r o d u c e d m o r e o v e r ，s o m em e t h o d st oc a i c 龇et h eq n m so fb l a c kh o l ea r ep r e s e n t e d u s i n gt h et h i r do r d e rw k b ( w e n t z e l - k r a m e r s - b r i l l o u i n ) a p p r o x i m a t i o n ，t h eq n m sf r e - q u e n c i e so f ( 1 + 3 ) s t r i n g yb l a c kh o l ef o re l e c t r o m a g n e t i cp e r t u r b a t i o na r eo b t a i n e d t h e r e s u l t ss h o wt h a tt h ep a r a m e t e r st h a tr e s u l tf r o mt h ec o m p a c t 近c a t i o no fh i g h e rd i m e n - s i o n sc a l li n f l u e n c et h eq u a s i n o r m a lc o m p l e xf r e q u e n c i e s t h a ti st os a y , t h er e s u l t so ft h e q u a s i n o r m a if r e q u e n c i e sc o n t a i nt h ei n f o r m a t i o no ft h ep a r a m e t e r so fas t r i n g yb l a c kh o l e m o r e o v e r ，u s i n gt h ef i n i t ed i f f e r e n c em e t h o d ，t h eo b j e c tp i c t u r eo ft h eq u a s i n o r m a lt i n g i n g o fe l e c t r o m a g n e t i cp e r t u r b a t i o ni n ( 1 + 3 ) s t r i n g yb l a c kh o l es p a c e t i m eh a sb e e no b t a i n e d a tl a s t ，t h eq n m so fs c h w a r z s c h i l db l a c kh o l es u r r o u n d e db yq u i n t e s s e n c ef o rg r a d t 跏 t i o n a lp e r t u r b a t i o n ，e l e c t r o - m a g n e t i cp e r t u r b a t i o na n dd i r a cp e r t u r b a t i o na r eo b t a i n e db y t h et h i r dw k b m e t h o d c o m p a r e dw i t ht h es i t u a t i o nw i t h o u tq u i n t e s s e n c e ，t h er e s u l t ss h o w t h a t ，d u et ot h ep r e s e n c eo fq u i n t e s s e n c e ，g r a v i t a t i o n a lf i e l d ，m a x w e l lf i e l da n dd i r a cf i e l d d a m pm o r es l o w l y k e y w o r d s ：b l a c kh o l e ；q u a s i n o r m a lm o d e s ；w k ba p p r o x i m a t i o n ；p e r t u r - b a t i o n ； 一i 一 独创性说明 作者郑重声明：本博士学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及 取得研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不 包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得大连理工大学或其他 单位的学位或证书所使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的贡献 均已在论文中做了明确的说明并表示了谢意。 作者签名：丝丝： 日期：丝堕：互兰p 大连理工大学博士研究生学位论文 大连理工大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者及指导教师完全了解“大连理工大学硕士、博士学位论文版权使用 规定，同意大连理工大学保留并向国家有关部门或机构送交学位论文的复印件和电子 版，允许论文被查阅和借阅。本人授权大连理工大学可以将本学位论文的全部或部分内 容编入有关数据库进行检索，也可采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编学位论 文。 作者签名： 导师签名： 歹钣殇 大连理工大学博士学位论文 1 引言 最早提出黑洞思想的是法国科学家拉普拉斯和英国人约翰米歇尔【1 】，他们认为宇 宙中质量足够大且足够紧致的星体会产生强大的引力场，任何光线都逃离不了多远就被 它的引力场给吸引回去，以至于我们观测不到它，这种星体称之为“暗星”。拉普拉斯还 根据牛顿的万有引力理论给出了产生“暗星”的条件。根据牛顿的理论，光子的动能为： e p = i x m c 2( 1 1 ) 光子的势能： b ：一g m m( 1 2 ) 其中m 是星体的质量，r 为星体半径，m 为光子质量，c 为光速。当光子的动能小于势能的 时候，它就不能逃离星体，也就说，从外界就看不到这颗星了。根据 昙m c 2 _ g m - m ( 1 3 ) 拉普拉斯等人给出了可以产生这些“暗星一的条件 r 了2 g m( 1 4 )r 了( 1 4 ) ( 这个结论和1 9 3 9 年奥本海默及其合作者从爱因斯坦的广义相对论推导出的条件一致。但 是拉普拉斯等人犯了两个错误：一光子的动能不应该是 m c 2 ，而应该是m c 2 。二在这里 引力应该由广义相对论来描述，而不应该用牛顿的万有引力定律。但是正是因为这两个 错误互相抵消了，而得出了正确的结论。 爱因斯坦的广义相对论是这样预测黑洞存在的：在广义相对论框架下，时空在引力 的作用下发生弯曲，当大质量的恒星达到极高密度，时空足够弯曲，以致于附近的任何 物体，包括光线在内被其吞灭，好象一个“无底洞 一样，这样的天体称为黑洞。黑洞的 中心是一个奇点，那里所有的物质都被无限压缩，时空被无限弯曲。 在广义相对论预测黑洞存在之后的几十年里，黑洞物理逐渐成为天体物理学的一个 前言热点问题。目前，黑洞问题已不单单只是天文学和天体物理学问题，黑洞理论已发 展成为一个包括量子论、相对论、天体物理、弦物理、粒子物理、统计物理和微分几何在 内的多学科交叉的理论。 因为黑洞在天体物理学中占有举足轻重的作用，那么试图观测到黑洞的存在显得尤 为重要。但是黑洞是看不见的天体，那么如何才能找到并研究它呢? 通过计算机模拟， 可以得出黑洞吞噬恒星有两种方式：一种方式是，当一颗恒星朝着黑洞的方向运动时， 球对称黑洞时空中的似正规模 它很快就会被黑洞的引力所拉长，从而变成一束物质流被吸进黑洞里，与此同时产生了 巨大的能量( 其中包括x 射线) 。另外一种方式是，当一颗恒星进入黑洞的引力范围后， 黑洞的强大引力会把恒星的物质撕碎成原子微粒，在其下落的过程中受到潮汐力的作 用，这些物质在黑洞外围形成一个抛物形盘状结构，气体和尘埃沿轨道绕黑洞旋转，并 稳定的辐射x 射线，最终这个尘埃结构逐渐被吸入黑洞里。 图1 1 天鹅座x l 【2 】 f i g 1 1c y g n u sx 一1 天文学家们对天鹅座x 一1 ( 图( 1 1 ) ) 进行了研究，发现它是一个很强的x 辐射源，在它 附近有一颗大约5 倍于太阳质量的普通恒星围绕着发出x 射线源的地方旋转。对这现象 的最好解释是，物质从可见星的表面被吹起来，当它落向不可见的伴星之时，发展成螺 旋状的轨道，并且变得非常热而发出x 射线( 如图( 1 2 ) 所示) 。为了使这机制起作用，不 可见物体必须非常小，像白矮星、中子星或黑洞那样。从观察那颗可见星的轨道，人们 可推算出不可见物体的最小的可能质量。在天鹅x 一1 的情形，不可见星大约是太阳质量 的6 倍。按照钱德拉塞卡( s u b r a h m a n y a nc h a n d r a s e k h a r ) 的结果，它的质量太大了，它 既不可能是白矮星，也不可能是中子星，同时它又不发光，却发出x 射线，所以看来它只 能是一个黑洞f 2 】。 加利福尼亚大学的天文学家们也声称，他们已经探测到了以每秒2 0 0 千米速度绕银 河系中心运动的气体流。离银河系的中心越近，气体流的速度就越快。并且他们已测到 了星系中心的射电源，其能量非常巨大，但是体积却非常小，因此他们认为在银河系的 中心很可能有一个黑洞存在。 1 9 9 4 年2 月2 7 日，哈勃太空望远镜拍摄到了室女座的椭圆星系m 8 7 ( 这个星系位在一 个称为室女座星系团的星系团之中心，它要比一般的星系要大很多，直径足足有1 2 万光 年，比我们的银河系还要大，离我们约有5 0 0 0 万光年远。) 中心存在漩涡状气体云盘的照 2 一 大连理工大学博士学位论文 图1 2 天鹅座x - 1 【2 】 f i g 1 2c y g n u sx 一1 片。从这个云盘中发现，m 8 7 的大部分物质是温度高达l 万摄氏度左右而处于电离状态的 氯气。计算结果显示，在云盘高速旋转的盘状区域中心，应当存在着质量相当于3 0 亿个 太阳，而体积却并不超过太阳系的天体。由于其周围并不存在能产生如此巨大引力的其 它天体，唯一的解释就是此处存在黑洞，从而产生高能量的粒子喷流。 1 9 7 2 年，美国普林斯顿大学青年研究生贝肯斯坦提出黑洞“无毛定理”：星体坍缩 成黑洞后，只剩下质量、角动量、电荷三个基本守恒量继续起作用。也就是说当黑洞形 成以后，只剩下这三个不能变为电磁辐射的守恒量，其他一切信息( 毛发) 都丧失了。这 一定理在1 9 7 3 年被霍金( s h a w k i n g ) 、卡特尔( b c a r t e r ) 等人严格证明。“黑洞”的命 名者惠勒( j a w h e e l e r ) 把黑洞的这一特性戏称为“黑洞无毛”。 由此定理可将黑洞分为四类： ( 1 ) 不旋转不带电荷的黑洞，称为s c h w a r z s c h i l d 黑洞。( 其时空结构于1 9 1 6 年由s c h w a r z s c h i l d 求出。) ( 2 ) 不旋转带电黑洞，称为r - n 黑洞。( 其时空结构于1 9 1 6 1 9 1 8 年1 刍r e i s s n e r * d n o r d s t r o m 求 出。) ( 3 ) 旋转不带电黑洞，称为k e r r 黑洞。( 其时空结构由k e r r 于1 9 6 3 年求出。) ( 4 ) 般黑洞，称为k e r r n e w m a n 黑洞。( 其时空结构于1 9 6 5 年由n e w m a n 求出。) 如果我们把黑洞的表面引力看成是黑洞的温度，那么黑洞的一些性质就好比普通热 力学四定律，我们称之为黑洞热力学四定律【1 3 5 】： 第零定律：稳态黑洞视界的温度是一个常数。 球对称黑洞时空中的似正规模 第一定律：能量守恒定律5 m = t s s + i l s j + y 0 5 q ( 贝根斯坦一斯马尔公式) 。其 中m 、，、q 分别是黑洞总质量、总角动量和总电荷，q 是视界的拖动角速度，是两极 的静电势 第二定律：面积定律。黑洞面积永不减少。即黑洞熵在顺时方向永不减少，5 s 0 第三定律：不能通过有限次操作把视界温度降低到绝对零度。 由于黑洞的热力学四定律和普通热力学四定律很类似，所以人们很自然的认为稳 态和静态的黑洞是处于热平衡状态。如果我们给黑洞以一个小的扰动，那么黑洞还会不 会回到平衡态? 带着这样的阎题，r e g g e 乘l w h e e l e r 6 】研究了s c h w a r z s c h i l d 黑洞时空扰动 的情况，结果表明黑洞最终会回到平衡态从而保持稳定。后来人们还研究了其他的黑 洞( 如r - n 黑洞和k e r r 黑洞) ，结果表明，加给黑洞的各种扰动场会在黑洞时空中发生衰 减并最终消失，黑洞也就回到了平衡态。 v i s h v e s h w a r a 7 1 在计算s c h w a r z s c h i l d 黑洞对引力波的散射时发现，经过一定时间的 演化，初始扰动变为以某一频率占主导的衰减振荡。振荡的频率和阻尼只取决于黑洞的 一些参数( 如质量，电荷，角动量等) ，而与激发这一振荡的初始扰动无关。这一特殊的 振荡方式表明黑洞有自己的特征声音，我们称它为似正规模。黑洞的似正规模振荡和正 图1 3s c h w a r z s c h i l d 黑洞时空中高斯引力波包的演化示意图( 采用通常的时空坐标) ，可以看出波 形由特征振荡来支配。1 8 1 】 f i g 1 3e v o l u t i o no fag r a v i t a t i o n a lg a u s s i a nw a v e p a c k e ti nt h en e i g h b o r h o o do fas c h w a r z s c h i l d b l a c kh o l e o n ec a ns e et h a tt h ew a v e f o r mi sd o m i n a t e db yac h a r a c t e r i s t i cn n g m g 规模式间有着本质的区别：( 1 ) 似正规模并非是真正静态的，而是快速衰减的。黑洞通过 波的形式对外辐射能量。而对于正规模，如果不考虑阻力，波会稳定的振荡下去。( 2 ) 似 一4 一 大连理工大学博士学位论文 正规模的振荡模式只存在于有限时间段内，而不是像正规模式那样可以从任意早的时刻 开始一直到任意晚的时刻。 黑洞外场扰动随时间演化分为三个阶段：第一个阶段是初始波爆发阶段，它依赖于 初始脉冲。第二个阶段是似正规振荡( q u a s i - n o r m a lr i n g i n g ) 阶段，它不依赖于扰动的初 使条件，只和黑洞的一些参数有关。第三个阶段是晚期拖尾( t h el a t e - t i m et a i l ) 或者幂 率拖尾( t h ep o w e r - l a wt a i l ) 阶段，这个时候扰动的指数衰减形式被幂率衰减形式所取 代，这是比似正规振荡更慢的驰豫过程。 图( 1 3 ) ( 1 4 ) 演示的是高斯引力波包在s c h w a r z s c h i l d 几何空间中演化的情况【8 1 】。 图1 4s c h w a r z s c h i l d 黑洞时空中高斯引力波包的演化示意图( 采用对数坐标) ，很明显看出似正规 振荡占据主导地位，并且在晚期，出现幂率拖尾阶段。 s l l f i g 1 4e v o l u t i o no fag r a v i t a t i o n a lg a u s s i a nw a v e p a c k e ti nt h en e i g h b o r h o o do fas c h w a r z s c h i l d b l a c kh o l e ，h e r es h o w ni nal o g - l o gp l o t t h ed o m i n a n c eo fq u a s i n o r m a lr i n g i n gi sc l e a r ，a n da tv e r yl a t e t i m e s ，ap o w e r - l a wf a l l o f fa p p e a r s 一5 一 大连理工大学博士学位论文 2 黑洞的似正规模研究及其进展 2 1 研究历史和进展 1 9 5 7 年，戤毽g e 和、h e e l e r 【6 】研究了黑洞在轴微扰下的稳定性问题，后来，z e r i l l i 9 】研 究了极微扰的情况。黑洞微扰的似正规模研究起源于v i s h v e s w a r a 7 对s c h w a r z s c h i l d 黑 洞散射引力波的计算，他发现，经过一定时间的演化，初始扰动变为以某一频率占主 导的衰减振荡。振荡的频率和阻尼只取决于黑洞的一些参数( 如质量，电荷，角动量 等) ，而与激发这一振荡的初始扰动无关。后来，人们对黑洞扰动场的研究从开始的引 力场1 1 0 】的研究拓展到各种场，如标量场【1 1 】、电磁场【1 2 ，1 3 】和d i r a c 场【1 4 1 9 等。人们不仅研 究了s c h a w a r z s e h i l d 黑洞各种场的扰动，还研究了r - n 黑洞，k e r r 黑洞，k e r r - n e w m a n 等 黑洞的情况。此外，人们研究了d es i t t e r ( d s ) a n t id es i t t e r ( a d s ) 空间中黑洞的似正规 模。通过计算a d s 空间中的q n m s ( q u a s i n o r m a lm o d e s ) ，能够获得c f t ( c o n f o r m a lf i e l d t h e o r y 共形场论) 中趋于平衡态的时间尺度，而后者直接计算是非常困难的，因此，人们 在计算a n t i - d es i t t e r 空间中的黑洞的似正规模做了大量的工作1 2 0 - 3 6 】。 李新洲等人研究t i + i 维弦黑洞和1 + 3 维弦黑洞的引力扰动的似正规模f 3 7 船j 。我们 则计算了1 + 3 维弦黑洞电磁扰动的似正规模【3 9 1 ，并用有限差分的方法给出了1 + 3 维弦黑 洞电磁振荡的图象。 把暗能量和q n m s 结合起来的工作是由陈松柏和荆继良【4 2 】等人首先开始研究的，他 们计算tq u i n t e s s e n c e 包围下的s c h w a r z s c h i l d 黑洞无质量标量场扰动的似正规模。在这 个时空背景下，我们对引力场、电磁场 4 1 】和d i r a c 场的扰动进行了研究。最近，n i j o v a r g h e s e 和v c k u r i a k o s e 研究tq u i n t e s s e n c e 包围下r n 黑洞有质量标量场的似正规 模【4 3 】。 在计算方法上，c h a n d r a s e k h a r 和d e t w e i l e r 4 4 首先直接计算了s c h w a r z s c h i l d 黑洞的 似正规模，接着，s c h u t z 和w i l l 等人提出了w k b 近似的方法f 4 5 - 5 1 】，用以求解低衰减的 似正规模频率。l e a v e r 提出了连续分数的方法【5 2 】，这种方法的好处在于计算过程没 有近似，只要选取足够大的死，就能得到足够精确的解。其他的方法还有“有限差分 法” 2 5 ，5 s - s 6 l ，“单值法”【5 6 - 5 8 l “p s s h l t e l l e r 势近似法”f 5 9 】，“f r o b e n i u s 系列解 方法【6 0 】以 及“拉普拉斯变换解析延拓方法| 6 l 】等。 由于黑洞的似正规模在黑洞物理中具有重要的研究价值，因此，科研工作者在这方 面做了大量的工作f 6 2 枷】 一7 一 球对称黑洞时空中的似正规模 2 2 似正规模的边界条件 黑洞时空中涉及到波传播的大多数问题都可以化成一个二阶偏微分方程的形 式f 8 1 】： 罴匹一袅皿叫霍：0tl v ( 2 1 )山一 山=f 211 a z 2 一况2 。 “7 其中z 是一个空间变量，它的范围通常为一 z r b 。，= 0 有三个根，分别为：n ， 和r o = 一( r b + r c ) 。根据这些参数，可以表示成： 1 ，2 赤( r r b ) ( r c r ) ( r t o ) ( 2 4 9 ) 我们可以把和r c 作为s d s 时空的两个基本参数，同时把m 和a 2 用这两个变量表示出 来。有： a 2 = r b 2 + r b r c + 7 - c 2 和 2 m a 2 = r b r c ( r b + t o ) 引入罴凋视界回7 = n 处阴表回引刀 协= 三2 笪d r i 嗍 可以得到o = ( r c - - r 孬b ) ( f r b - - r o ) 经过f 0 皿e r 分解和多极展开后，标量场、电磁场和引力场扰动方程可化为： a 2 _ 再( 0 3 f , 一r ) + o j - - y ( 7 ) ( u ，7 ) ：o ， a 7 ! v7 jr 、一7 。 其中n 为乌龟坐标，定义为： r 兰卜曲， 有效势y 取决于所考虑的场对于标量场：。 k = ， 掣+ 7 2 m 一孑2 ， 对电磁场右 忙， 掣 ( 2 5 0 ) ( 2 5 1 ) ( 2 5 2 ) ( 2 5 3 ) ( 2 5 4 ) ( 2 5 5 ) ( 2 5 6 ) ( 2 5 7 ) 引力场扰动有两种：奇宇称和偶字称扰动。但是对于s d s 这样的一个时空，它们对应同样 的似正规频率，所以我们只用考虑它们其中的一种。对于奇宇称来说，对应的势能为： = ， 掣一7 6 m ( 2 5 8 ) 一1 6 大连理工大学博士学位论文 其中2 是角量子数。 对于极端黑洞而言，它的宇宙学视界r c 和黑洞视界n 非常接近，即 _ r c - - r b ( 2 8 6 ) 一2 0 大连理工大学博士学位论文 在i i 区，我们用一个抛物线来近似q p ) 。q 的形式为q ( z ) = q o + 互1 v o i t 一勋) 2 + d p 一知) 3 ， 其中q ( z o ) 0 ，q j = d 2 q d x 2 i 知 定义 七三i w w ) h o t 三( 4 k ) 1 4 e 衍4 ( z z o ) + 去 三 一。v o 八z v l 0 1 ) 1 2 ( 2 8 7 ) 代入方a ( 2 7 2 ) ，得到 d 2 矽d t 2 + ( + 壶一砉t 2 ) 矽= o ( 2 8 8 ) 这个方程的解是抛物线柱面函数d y ( t ) ，通解是妒= a d p ( 亡) + b d p l ( 记) 。对于很大 的怫这个解的渐近形式1 1 叫： 妒 b e 一3 打( 1 ，+ 1 ) 4 ( 4 k ) 一( i ，+ 1 ) 4 一。o ) 一( 1 ，+ 1 ) e 一讥1 7 2 一# 。2 7 2 + a + b ( 2 7 r ) 1 2 e - i v l t 2 1 , ( + 1 ) e 咖4 ( 4 七) 小 一z o ) y e 一舻( z - x o ) 2 2 z z 2 矽b e - 3 i , r 4 ( 4 七) 4 ( 卫0 一z ) p e 七1 7 2 ”。7 2 + ib i a ( 2 7 r ) 1 2 e - i v r 2 r ( 一z ，) le 讶p + ”4 ( 4 k ) 一( 舛1 ) 4 ( x o z ) 一( 蚪1 ) e i k x l 2 ( $ 一知) 2 2 z x l ( 2 8 9 ) 其中r ( z ，) 是r 函数，很明显可以看出，方i 1 里( 2 8 9 ) 9 的两个解都含有e i k l 2 ( x 一知) 2 2 项，这 是和方程( 2 s 6 ) 中w k b 解的出射波形式是匹配的。对于似正规模，系数e i k l 胆。一x o ) 2 2 项 必须消失：要达到这一条件，需要b = 0 且r ( 一) = 0 0 。后一个条件表明必须是整数。 这也就给出了似正规模简单的解。 1 q o ( 2 q g ) 1 2 = i ( 礼+ 去) ， 礼= 0 ，l ，2 ， ( 2 9 0 ) 二 由于q 是和频率有关的，这个情况就给出了分立的、复数的似正规频率。 后来，i y e r 和w i l l l 4 6 】把w k b 方法推广到三阶，所得到的结果为 u 2 = iv o + ( 一2 瞄) 1 2 a i z ( 佗+ 去) ( 一2 v o ) 1 2 ( 1 + q )( 2 9 1 ) 一2 1 球对称黑洞时空中的似正规模 其中 a = 南 妖等净胡一去( 豺7 + 6 0 a 2 ，) 仁 q = 去 志( 谱) 4 c 7 7 + 1 8 8 a 2 ， 一去( 警) ( 5 1 + l o o a ：) + 去2 堋 + 去( 宰) ( 1 9 + 2 8 a 2 ，一去c 5 + 4 a 2 ，) 江 和 q = 1 ，9 0 n ) _ _ - - 筹i r = r 机， 应用例子：s c h w a r z s c h f l d 黑洞的似正规模 i y e r 4 7 用三阶w k b 方法计算t s c h w a r z s c h i l d 黑洞的似正规频谱， 和l e a v e r 的结论吻合的很好。 对于s c h w a x z s c h i l d 黑洞的各种扰动场，最终都可以化成如下形式： ( 2 9 4 ) 给出的结果 鬻+ 卜( 1 一；2 ) ( 龛+ 筹) 卜。 江 其中伊= m w ，m 为黑洞的质量，取m = 1 。卢= 0 ，1 ，一3 分别对应于电磁场、标量场和引 力场。乌龟坐标n 定义如下 根据上式 可以求得 当：1 一一2 一= l 一一 打。 r y c “，= ( 1 一；2 ) ( 龛+ 2 b ) y 7 c n ，= 一( 1 一2 ) ( 窘( 2 一拿) + 筹( 2 一昙) ) ( 2 9 6 ) ( 2 9 7 ) ( 2 9 8 ) y c n ，= 一( 1 一2 ) ( 一盒( 6 一了4 0 + 署) 一警( 1 2 一7 f o + 薯) ) c 2 9 9 ， 一2 2 大连理工大学博士学位论文 表2 1s c h w a r z 鸵l l i l d 黑洞标量场扰动的似正规模频谱( p = 1 ) | 4 7 】 t a b 2 1t h eq u a s i n o r m a lf r e q u e n c i e sf o rs c a l a rp e r t u r b a t i o no fs c h w a r z s c h i l db l a c kh o l e ( 3 = 1 ) 表2 2s c h w a r z s d l i l d 黑洞电磁扰动的似正规模频谱( 卢= 0 ) 1 4 7 1 t a b 2 2t h eq u a s i n o r m a l 丘e q u e n c i e sf o re l e c t r o m a g n e t i cp e r t u r b a t i o no fs c h w a r z s c h i l db l a c k h o l e ( 卢= 0 ) 一2 3 球对称黑洞时空中的似正规模 表2 3s c h w a r z s c h n d 黑洞引力扰动的似正规模频谱( p = 一3 ) 1 4 7 1 t a b 2 3t h eq u a s i n o r m a lf r e q u e n c i e sf o rg r a v i t a t i o n a lp e r t u r b a t i o no fs c h w a r z s c h i l db l a c kh o l e ( 了= 一3 ) 1 4 7 1 一2 4 大连理工大学博士学位论文 y ) = 一( 1 r 2 ) ( 了2 a ( 1 2 一了1 3 0 + 7 4 2 0 一塑r s 、) + 万4 8 ( 3 。一等) + 7 8 2 6 一下7 6 8 ) 嗍= 一竺r 6 ( 1 一2 ) ( 3 。一了4 6 2 + 7 2 3 8 0 下5 0 4 0 + 7 3 7 8 0 ) + 等( 1 一；2 ) ( 9 。一下1 1 9 7 + 7 5 5 6 0 一下1 0 8 9 0 十7 7 6 8 0 ) ( 2 1 0 0 ) 哦一爹( 1 一2 ) ( 9 0 - 了1 8 2 7 + 下1 3 2 1 6 下4 4 1 0 0 + 7 6 9 3 0 0 一下4 1 5 8 0 ) ( 2 1 0 1 ) 一警( 1 一；2 ) ( 3 1 5 一下5 5 0 8 + 下3 5 7 9 3 一下1 1 0 0 5 0 + 丁1 6 2 0 3 0 一下9 2 1 6 0 ) v ( 6 b t ) = 1 r 6 _ 2 8 入( 1 一；) ( 3 1 5 一了8 0 2 8 + 丁7 5 9 1 5 一下3 5 2 6 6 0 + 1 8 6 6 广2 5 0 一亍1 0 8 1 0 8 0 + 了5 4 0 5 4 0 ) ( 2 1 0 2 )7 r r or 哇r or o， + 3 户2 8 ( 1 一詈) ( 1 2 6 0 一_ 2 7 6 2 1 + 下2 3 4 0 4 5 二丁9 9 8 9 9 8 + 了2 2 9 2 7 8 0 一下2 7 0 5 4 3 0 + 丁1 2 9 0 2 4 0 、1 r r 7 o7 冉r or o 其中7 号和上标( n ) 是对“的求导。y 的峰值由y 7 = o 确定，出现在 r = r 。三耋a 一1 a - 8 + ( a 2 + 警入卢+ p 2 ) 1 2 c 2 1 。3 ， 处 把上面所得到的式子和r = 7 o 的值代入w k b 公式中，就可以算出s c h w a r z s c l l i l d 黑洞各种 2 4 4 有限差分法 在这节中，我们以s c h w a x z s c h i l d 洞时空无质量标量场为例来说明有限差分 法1 5 3 ，5 4 1 的做法。 静态s c h w a r z s c h i l d 黑洞的度规为： d s 2 = 一，出2 + y - , d r 2 + r 2 d t 9 2 + r 2s i n0 2 d e 2 ， ( 2 1 0 4 ) 一2 5 球对称黑洞时空中的似正规模 其中，= 1 2 m r 。弯曲时空中，无质量标量场的扰动方程为： 口圣= 0 ( 2 1 0 5 ) 即 再- 1 钆( 而p p 乱) 圣= 。， ( 2 1 0 6 ) 代入度规中，可以得到 手西一( 7 - 2 疗+ 2 r ，) 圣，r - r 2 ，垂一c 舢西扩西舯一壶面脚2 o ( 2 1 0 7 ) 把西进行分离变量 毗n p ，) = 砒( t ，7 ) m m ( p ，矽) r ， ( 2 1 0 8 ) l , m 可以得到对于每一个多极动量的方程 f - 1 灿州吐蛎+ 掣+ 钟- 0 ( 2 1 0 9 ) 定义一个乌龟坐标“ 则( 2 1 0 9 ) 口- i 化为 其中有效势为 引入零坐标 这样波动方程就可化为 d r 。= f - l d r ， 妒，t t 一矽 r 。+ y ( r ) 妒= 0 ， 附h r l ( 1 + 1 ) + 针 乱= t 一“，钐= t + r 事 扎勘+ 丢附) 矽= o ， 为了把上式写成离散的形式，构造一个泛函p o l l ： “矽】= f d u d v f u ， ，矽，妒，乱，妒， 】， 微分方程( 2 1 1 4 ) 可以由泛函的变分来得到 掣：o ， 6 移 v 一2 6 一 ( 2 1 1 0 ) ( 2 1 1 1 ) ( 2 1 1 2 ) ( 2 1 1 3 ) ( 2 1 1 4 ) ( 2 1 1 5 ) ( 2 1 1 6 ) 大连理工大学博士学位论文 采用一级微分的三点公式，并运用梯形法则来将微分方程离散化： 丝一丝! 堑二垒= ! 巫 o ua u 堂一丝! 主! 二垒! 兰= ! a 口u 妒_ 他，歹 ( 2 1 1 7 ) 其中使用记号讹j = 妒( 札i ，吻) ，u i ，v j 是u n v n 离散变量，妒件1 j 一讹j = a u 2 ，矽i j + l 一 也j = a v 2 。从而得到泛函的离散表示： ，渺】 = 龇 若 虹韭感等型一刊1 虼 = 卜枷柏枷蜘吨+ 1 j 他一炳瓶一a u a v v 虼 ( 2 1 1 8 ) 如果将每一个分离的他，歹都看作是一个独立的变量，变分方程6 j 【纠6 矽= 0 变为偏微分 方程 掣- 0 ( 2 1 1 9 ) 讹j p 叫 于是得到 他一1 d + l - 4 - 妒i + 1 j 一1 + 他+ 1 j 一1 + 他一1 j + 1 一戗一1 , 一1 一矽i + 1 j + l - - 讥+ 1 j + 1 一讥一1 j l 一丢u 口y ( 7 ) 他j = o ( 2 1 2 0 ) 合并相同项，化简得到 妒i - - 1 , j + 1 + 妒i + l , j - 1 - - 妒i - l j - 1 - - 妒i + l d + l - - 互1 u y ( r ) 他j = 0 ( 2 1 2 1 ) 采用以下记号 矽= 他+ 1 j + 1 ，矽s = 他一l j 一1 ， 矽e = 他+ 1 j l ，掣w = 他一1 j + 1 ， 并用格点平均值代替相邻两点连线中点的值 ，c w + 妒e 讹j2 百一， 我们得到 惦= 加+ 惦一c s - u a 川r ) 盟竽= 0 一2 7 一 ( 2 1 2 2 ) ( 2 1 2 3 ) ( 2 1 2 4 ) 球对称黑洞时空中的似正规模 其中点，s ，e 和点s 定义为：n ：( u + ，钉+ ) ，w ：( u + ， ) ，e ：( u ，v + a ) 和s ：( u ，口) 。a 是坐标钍和 增加的步长。 为了求解上面的式子，我们可以在平面上建立一个矩形乱可点阵。我们只要在乱= u o ，口= 两条边线上给定初始条件，就可以得到整个平面上所有格点的值。研究表明， 计算结果对初始条件并不敏感，因此在实际计算中我们可以取 矽( u ，移= v 0 ) = 0 ( 2 1 2 5 ) 作为一个边界条件，另一个边界条件我们可以取一个高斯脉冲作为初始扰动 蜘归e 印 - 掣 ( 2 1 2 6 ) 一2 8 大连理工大学博士学位论文 31 + 3 维弦黑洞的电磁扰动 3 11 + 3 维弦黑洞的度规 在弦理论中，黑洞要通过d 膜来描述。黑洞的基本组成是d = 1 0 时的r - rp - 膜。其 度规形式为 i 0 2 盔瑶r 伽9 = g ，s t r i 叼d x p d x y = 石1 2 ( - d r 2 + 如i + + d 4 ) + f y 2 ( 出备1 + + 出；) ( 3 1 ) 其中 厶= 1 + 锦0 r 7 一p ，r 三( 码件1 + + z 9 ) 1 2 ) ( 3 2 ) 够可以通过比较上式的a d m 质量与带有单位仞+ 1 ) 一形式的势能荷的d 一膜质量来得到。 低维的黑洞可以通过对d = 1 0 时的p 膜进行紧致化来得到。1 + 3 维弦黑洞可以通过把这 个p - 膜的基态紧致化于p = t 4x 1xs 1 上来得到。砰的坐标为( z 5 ，z 8 ) ，它的体 积为y ；1 的坐标为z 4 ，半径为r 4 ：s 1 的坐标为z 9 ，半径为扁。 通过紧致化，可以得至u 1 + 3 维弦黑洞的度规【3 7 1 0 2 】： d s 2 = 一，一( r ) ( 1 一) d 亡2 + ，( r ) ( 1 一孚) 一1d r 2 + r 2 ( 左0 2 + s i n 2 0 d 2 ) ( 3 3 ) 其中 竹，= ( 1 一r o s i n _ r h 2 6 2 - ) ( 1 + r o s i n h r2 5 5 - ) ( 1 + 一r o s i n h 2 5 6 ) ( 1 + 1 r o s i n h 2 5 p ) r o 是黑洞的视界，5 2 ，6 5 ，6 6 ，知是由局维紧致化所得剑参数 式中的参数与黑洞所带的电