（计算数学专业论文）基于“逐点匹配”的拉格朗日乘子区域分解方法.pdf

湘潭大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导f 独立进行研 究所取得的研究成果。除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文 不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写的成果作品。列本文的研 究做出重要贡献的个人或集体，均已在文中以明确方式标明。本人完 全意识到本声明的法律后果由本人承担。 作者签名：莉、稍吻趾日期：如。罗年牛月i ( 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定， 同意学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版， 允许论文被查阅和借阅。本人授权湘潭大学可以将本学位论文的全部 或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等 复制手段保存和汇编本学位论文。 保密口，在年解密后适用本授权书。 本学位论文属于 不保密瓯 ( 请在以上相应方框内打“”) 作者签名：獭、杠扭日期：丑修5 年牛月，9 日 导师签名；铴曩 日期：乃哆r 年月l q 日 摘要 在本文中，我们考虑一种基于“逐点匹配”的非重叠区域分解方 法。这种方法的优点是获得界面矩阵时不需要复杂的数值积分。然 后为了处理由浮动子区域产生的奇异子问题，我们使用一种新近提 出的正则化方法将奇异的子问题转化为正定问题，从而使我们可以 直接得到乘子的界面方程。我们在文中对两种实用的情况得到了相 应的逼近解的最优误差估计。另外，针对狄立克雷预条件子计算量 大的缺点，我们又构造了一种新的预条件子。它与界面方程系数矩 阵的块对角预条件子相比具有形式简单和计算量少等优点。最后对 条件数的理论分析和数值实验也都说明了我们采用的算法和预条件 子的有效性。在本文的末尾，我们对已有的工作进行了总结，并对 将来的工作提出了展望。 关键词：区域分解；非匹配网格；拉格朗日乘子；正则化；预条件 子；乘性s c h w a r z c g 方法；代数多重网格法 a b s t r a c t i nt h i sp a p e rw ea r ec o n c e r n e dw i t ht h en o n - o v e r l a p p i n gd o m a i nd e c o m - p o s i t i o nm e t h o dw i t hl a g r a n g em u l t i p i e r sb a s e do nan e wp o i n t w i s em a t c h i n g c o n d i t i o n t h i sm e t h o dh a sa no b v i o u sm e r i tt h a tw ec a na v o i de x e c u t i n g c o m p l i c a t e dn u m e r i c a li n t e g r a t i o ni nt h ep r o c e s so fc a l c u l a t i n gi n t e r f a c em 孙 t r i x e s t oh a n d l et h es i n g u l a r i t yo fe a c hf l o a t i n gs u b d o m a i n ，w eu s ear e g u l a r i z a t i o nt e c h n i q u ew h i c ht r a n s f o r m st h ec o r r e s p o n d i n gs i n g u l a rp r o b l e m s i n t oa p p r o x i m a t ep o s i t i v ed e f i n i t ep r o b l e m s f o rt h er e g u l a r i z e dm e t h o d ，o n e c a nb u i l dt h ei n t e r f a c ee q u a t i o no ft h em u l t i p l i e rd i r e c t l yb ye l i m i n a t i n gt h e p r i m a lv a ii a b l e a tf i r s tw ed e r i v ea no p t i m a l e r r o re s t i m a t eo ft h er e s u l t i n g a p p r o x i m a t es o l u t i o nf o rt w ok i n d so fa p p l i c a b l es i t u a t i o n s t h e nw ed e v e l o p as i m p l ep r e c o n d i t i o n e r ，w h i c hi sm u c hc h e a p e rt h a nt h ew e l l k n o w nd i r i c h l e t p r e c o n d i t i o n e r t h ee f f e c t i v e n e s so ft h en e wp r e c o n d i t i o n e rw i l lb ee o u f l ir e e d b yb o t ht h e o r e t i c a la n a l y z e sa n dn u m e r i c a le x p e r i m e n t s k e y w o r d s ：d o m a i nd e c o m p o s i t i o n ，n o m a t c h i n gm e s h ，l a g r a n g em u l t i p i e r s ，r e g u l a r i z a t i o n ，p r e c o n d i t i o n e r ，m u l t i p l i c a t i v es c h w a r z c g ，a l g e b r a i c m u l t i g t i dm e t h o d 3 引言 区域分解算法是大规模科学计算中的一类重要方法。非匹配髓 格区域分解法由于其应用的灵活性，如各子区域的网格可独立地生 成，能有效处理错动网格和局部奇异性问题等而日益受到广泛的关 注。但其中也存在许多技术性的困难，如界面非协调性的处理。引 进拉格朗日乘子是处理这类非协调性的有效方法，称相应的区域分 解法为拉格朗日乘子区域分解法( 见文 3 、 8 、 9 、 1 0 、【1 1 、 f 1 2 】、f 2 2 、 2 6 ) 、 2 7 】、 28 、f 3 1 、 3 5 】) 。 非匹配网格区域分解方法的研究重点是逼近解的误差估计和离 散问题的快速求解。逼近解是否具有最优的误差估计取决于界面匹 配条件的设计，即拉格朗日乘子空间的构造当前国内外众多学者在 这方面做了许多很好的工作。如文【3 、【4 】分别对二维和三维情形提 出了一种m o r t a r 元乘子空间，并得到了最优误差估计。而文 1 1 j 审提 出了一种对偶基乘子空间，它不仅能保证其逼近解具有最优误差估 计，而且其匹配条件更容易实现。其它的乘子空间见文 1 5 】、 2 5 、 f 2 6 1 。对于离散问题的快速求解，目前也有了很多有效的算法，比如 预处理的u z a w a 算法( 见文 2 3 ) 和文【1 8 】中提出的乘性s c h w a r z c g 算法。如何构造有效的预条件子是提高这些算法效率的核心问题。 文【l7 】、 1 8 】和【2 3 】中提出了一类新的预条件子，它比原来的块对角 预条件子经济了很多，同时也对预条件子的构造建立了一个很好的 框架。 对拉格朗日乘子区域分解方法，浮动子区域( 内部子区域) 上会 出现某种奇异性。现在有很多技术可以处理这种奇异性，比如f e t i 一 型方法( 见文f i i ) 、f 1 2 】、f 2 6 ) 和【3 5 ) ，其主要思想是通过解一个龌 问题来消除这种奇异性。最近文【1 8 】提出了一种正则化方法来处理 这种奇异性，其主要思想是只在算子的核空间上做正则化，从而避 免了产生很大的舍入误差，同时也得到了逼近解的最优误差估计。 “逐点匹配”条件( 即所谓点对点方法) 是目前工程上经常使用 5 的一种重要的匹配条件，其主要思想是要求解函数在相邻子区域交 界面上的某些点处是连续的，也就是相邻子区域的解函数在交界面 上某个有限维空间上的插值投影相同。其主要优点是获得界面矩阵 时不需要进行数值积分，但对这种方法做理论分析和构造预条件子 时存在新的困难。本文旨在以二阶椭圆方程为例对这种方法进行初 步的研究。 本文内容主要分为四部分。 第一部分介绍本文需用到的一些基础知识，如：s o b o l e v 空间， 有限元函数的反估计和离散范数等。 第二部分介绍了如何使用“逐点匹配”的拉格朗日乘子区域分解 法求解二阶椭圆问题。在求解过程中我们利用了文【1 8 l 中提出的正 则化方法来处理浮动子区域( 内部子区域) 的奇异性。最后我们根据 文f 4 1 中的架构，在“几何协调分解”的假设下对两种实用的情形给 出了误差分析。为了克服“逐点匹配”条件所带来的困难，我们首次 介绍和研究了一种离散m o r t a r 投影，并利用了h 一范数的一些精细 不等式。所得到的结果表明在这两种情况下误差估计都是最优的。 第三部分主要说明这种“逐点匹配”情形的预条件子的构造。与 “积分匹配”情形相比，“逐点匹配”情形的界面问题规模较大， 因此寻找界面矩阵的非精确预条件子的需求更加迫切。本部分首先 介绍了文 1 8 】中提出的乘性s c h w a r z - c g 方法，并将文【1 8 】的预条件 子推广到了“逐点匹配”情形。为了获得条件数估计，本文定盟并 系统地研究了两种离散对偶范数。所得到的结果表明该预条件子对 “逐点匹配”的情形也是有效的。 第四部分对一个具体的例子做了数值实验。由于直接获得界面 算子对应的矩阵所需的计算量很大，因此程序中是根据其具体表达 式来获得它与向量的乘积。如此一来，每次迭代就必须快速求得子区 域的刚度矩阵的逆矩阵霹1 与向量氕的乘积撼。本文使用一种代 数多重网格( a m g ) 方法来近似求解方程a 以= 氕并获得撼，其粗 化技术是通过求m i s 集和求能量极小意义下的提升算子得到的( 见 文 3 4 】、 3 8 ) 。另外值得一提的是，a m g 方法的工作量一般可为 6 o ( n ) 。数值实验证实了理论结果，即所考虑的预条件子比块对角预 条件子更经济。文末对进一步的研究工作做了展望。 7 第一章预备知识 为了方便起见，本文中仅以二维情形为例进行讨论，但整个理论 结果和方法都可以平行地推广到三维情形。 首先，我们引入记号焉，乏，乏：其中z 焉y 表示xsc o y ，。乏 表示c l y zsc 2 y ，t 乏y 表示_ + 2c 3 y ，而c o ，c 1 ，c 2 ，c 3 表示常数。 第一节s o b o l e v 空间及其性质 设n 是一个r 2 空间中的l i p s c h i t z 区域，锄是其分片光滑的 l i p s c h i t z 边界。我们定义函数空间口( q ) 为 州q ) = 性i p d x + 吣 其范数定义为h n ) = ( ，l “r d x ) 1 p 。对于p = + o o ，以三0 。( q ) 表示 n q 上本性有界的函数空间，相应的范数为 当p = 2 时即是我们常见的l 2 ( q ) 空间，它是h i l b e r t 空间，其内积为 ( u ，”) = u ”d z ，vu ，”l 2 ( q ) 记n = ( 虬。) 为非负整数向量，：= 而 一蒜e l a z d 嚣1 * o 对非负整数k ，定义s o b o l e v 空间 1 咿。t p ( q ) = 扎l p ( q ) ：vi 口l 茎南，d 。u l ( q ) ) 其范数为 1 1 u t l 却，n 一( 渺。“n ) ) ； l n i 兰女 特别地当p = 2 时，我们记蛐( q ) 为7 - 2 ( q ) 而对于s 0 ，+ 。o ) ，记s = m + d ，其中m20 为整数，d ( 0 ，】) ，我 们同样可以定义s o b o l e v 空间如下 t 矿8 9 ( 2 ) = w ”。p ( q ) ：l u l 。p ) 其中 。n = , 。“妒( z ) 一。妒( ) l 。一g 旷即如( z ) 如( ) 其相应的范数定义为 1 | f p i 。，p ，n = ( i | 妒l | ，+ 1 妒l ：，) 1 肪 同样当p = 2 时，我们记w s , 2 ( n ) 为日8 ( n ) 特别地，设sca q ，定义空间 。h ( s ) = 妒l 2 ( s ) ：i 妒l l 2 ，s 0 ，使 o ( “，u ) 。i i 札i i ：， o ( u ，w ) m l vu v h i ，vu ， + v 则存在只依赖于m ，n 的常数c ，使 n l i b - c ( 眯i n f h ”仇 h + 蛳s u 舢p 丛 1 2 w h ) 一f ( 训 ) l 、 而丽一j 第二章模型问题与拉格朗日乘子区域分解法 在本文中，我们考虑如下模型问题 - v ( “v u 。) 三：意托k n 仁， 其中qcr 2 是一个有界的多边形区域，a f 2 是其边界，而叫l m ( q ) 是一个值恒为正的实函数 记础( n ) 为标准的s o b o l e v 空间，我们定义如下的双线性形式： a ( u ，u ) = u - v u v v d z ，“，u 础( q ) n j 如果记( ，) 为标准的l 2 ( q ) 内积，则问题( 2 1 ) 在空间硪( q ) 中 的相应的弱形式为： 求u 明) ，满足： 。( “，u ) = ( ， ) ，vv 硎( q )( 2 2 ) 下面，我们在对求饵域q 进行非重叠区域分解的基础上定义问 题( 22 ) 的离散形式。 记q 被分解为个子区域，即豆= 甄，而且当i j 时， 呸n n ，= 0 。在本文中，为了方便起见，我们仅考虑将区域n 剖分 成几何上协调一致的子区域情形： ( 1 ) 如果甄n _ j 0 ，i j ，则r 巧= 硒n 码为子区域哦和的 公共界面，并令f = u p ( 2 ) 所有的子区域具有通常意义下的相同“尺寸”d ( 见文f 6 1 和 4 l 】) 。 对每个子区域吼，记住为吼上的正规且拟一致的三角形网 格剖分，h e 为相应的网格剖分尺寸( 即丁k 中剖分单元直径的最大 值) 。定义h = m i nh k 。这里需要指出的是，由于各个子区域的网 1 3 格是完全独立建立的，所以对于相邻的两个子区域q t 和而言， n 和勺在公共边界上的一维限制网格可能是不同的因此上 有了两个不同的一维网格啊和。我们定义 v ( a k ) = v ：口g ( q k ) ，即i 舰n 。= 0 ，ve ，口i 。p 1 ( e ) 以及 v ( o f 2 k ) = y ( 吼) l a n 。 其中e 表示子区域q 。上的网格剖分n 中的任一单元，而p 1 ( e ) 表示 单元e 上的线性多项式的全体 为了定义区域q 上的逼近空间，我们需要对每个界面定义 一个有限维空间w ( r q ) ，这个空间称为局部乘子空间。而为了简单起 见，我们首先对每个f l ，定义如下空间： k ( r 玎) = v ( o f h ) r ，v ( r q ) = k ( r t j ) n 丑3 ( r 玎) ( r 巧) = y ( a ) i r 日，v 于( r 玎) = v j ( r , j ) n 月0 ( r 巧) 设t 在界面上的限制的网格q 的剖分节点( x k = l “如下面 的图1 中所示。本文中，我们总是用 x 。k = l “来定义上的离散 l 2 ( r 巧) 内积，即 v 乱，”c ( f , j ) 其中b 是啊上的网格剖分尺寸。显然，我们的定义的离散l 2 内积 与离散l 2 范数保持了一致。 下面我们利用k ( ) 来定义上局部拉格朗日乘子空间w ( r , 2 中的基函数。设相应的k ( r 。) 中的节点基函数为 仇) k ：= 。l + 1 ，则w ( r q ) 中的基函数( 机) k = l 可以按如下方式定义： 毋1 = 妒。+ 妒1 ，e l = e l + 妒l + 1 ，庐女= 妒女，k = 2 ，一，l 一1( 2 3 ) 我们同样称它们为对应于节点 ) l 茎 的基函数。显然 d i m ( w ( r q ) ) = d i m ( v ( r 玎) )w ( r q ) ck ( r 玎) 1 4 x 0x lx 2 x n - ix lx t + l 图l ：n ；上的网格剖分 在r 玎上的限制网格 在上述局部拉格朗日乘子空间的定义下，w ( r d ) 具有如下性质 ( 见文 4 】和 3 9 】) ： ( i ) 每一个局部乘子空间w ( p , j ) 中存在最优逼近： 胙w i n f c j i 。，r j e 峥鸭k ，v 妒日5 ( ) ( i i ) 对每一个cf 以及任意的肛w ( r | j ) ，存在函数砷 口( ) ，满足 似，砂) r 。， 之c 1 1 p 1 1 0 ， 1 1 砂1 1 0 ，r 。 显然，对任意的z w ( r u ) ，由下式定义的妒叩( r 。j ) l 一1 妒= ( ( 。) + 弘( z 。) ) 砂。+ ( p ( z l ) + p ( z l + ) ) 砂l + 二p ( z 女) 砂 即满足上述要求，其中 讥) k = l 是界面上的网格剖分节点 z t ) 川k = l 对应的卵( r ，) 中的节点基函数。 我们定义w ( r ) = nw ( r ：，) 为全局的拉格朗日乘子空间，而对 r 玎cr 于w ( r ) 上的离散l 。( r ) 内积，我们将其定义为，- ) r 。= ，) h 。 i u 下面我们给出如下界面连接条件： 设皿和n ，是两个相邻的子区域，而是子区域q t 和n j 的公 共界面。对地y ( g ) ，吩y ( 吩) ，我们要求其在界面岛上满足相容 性条件v t b v j l r “，) ， = 0 ，v ( r 玎) 。3 9 t 描述的方便，我 们定义如下算子：e ( ) _ w ( p i j ) 为： ：血睾世嘞+ 血掣慨+ 董巾小札v 。c ( r 玎) 一 。 k = 2 1 5 由前述离散l ：( r 。，) 内积的定义，通过将下式中的西依次取遍w ( r , a 中所有的基函数，我们可以直接验证得 ( 忱h v j r 训， = 0 甘哟( 吡3 ( 类似地，我们还可以证得 以及 ( 啊。一口，) f d = 0 ，v w ( ) 定义v ( n ) ：矗矿( ) 以及 = 1 矿( q ) = u = 扣1 ， ) y ( q ) ：”d ( 地i r “) = 丌 j ( 呦 r 。) ，vr 。 f ) 注意这里并不要求矿( q ) c 硪( n ) 。 定义局部双线性形式为 nr n q n ( 22 ) 的离散表示可以描述为求“。= ( “m ， u h l 。) 矿( q ) ，满 足 n f 矾( v h 。) = ( v h ) ，vt ) h y ( q ) ( 2 4 ) k = l 问题( 24 ) 的解1 1 , h 的存在唯一性可以由性质( i i ) 导出( 见文 4 1 、 5 、 2 8 、 3 9 j ) 。 下面我们将问题( 2 4 ) 化为一个鞍点问题进行讨论。 记a ：v ( 吼) 。y ( n ) 为由双线性形式a k ( ) 定义的算子，并定 义a ：v ( a ) 斗v ( a ) 为 ，”) = ( 4 胁，) n 。，u y ( q ) ，vu 矿( n ) k = 1 1 6 k 口 日 ”u zdvvu = 札 ，lk n 显然a 为y ( q ) 上的半正定对称算子，而且a 的行为可以描述为 ( a u ) i n 。= a k u k ，1 1 , y ( q ) ，= 1 ， 引入符号函数 f 1 ，i j 我们定义算子b t ：v ( n ) _ w ( r ) c b t u ，l r 玎= 盯叼7 r l j u i r ”：薹；： 以及算子b ：v ( n ) - - + w ( r ) “v ( a 1 显然，空闻驴( q ) 可以被改写为矿( q ) = u ：u y ( n ) ：b u = 0 ) 。 这样，问题( 2 4 ) 等价于鞍点问题( 见文 1 9 】) ：求( u h ，a ) y ( q ) xw ( r ) ， 满足 p + 三三： 江s ， 其中，b t ：w ( r ) _ y ( n ) 表示b 的某种意义下的共轭算子，其定义 为 ( b p ，u ) = ( p ，b y ) r h ，vp w 7 ( r ) ，u v ( a ) 显然界面未知量是在约束b u 一= 0 下的拉格朗日乘子，它是对“ 在界面上的法向导数的一种逼近。 问题( 2 5 ) 是不能用标准的方法求解的( 见文 2 2 】和【3 1 】) ，其主 要的困难在于当吼是一个内部( 浮动) 子区域时，局部算子m 是奇 异的，无法直接求逆。下面一章中我们将使用一种正则化方法解决 这个困难。 1 7 i 札 k 日 脯 = 让 日 第三章处理浮动子区域的正则化方法 本章中我们将用一种由文【1 8 提出的正则化方法来克服前面一 章所遇到的困难，其主要思想是对y ( ) 做某种特殊的分解。 为简单起见，我们设u ( 。) = u k ，vz q k ，= 1 ，并设 q v ，n r ，为所有的浮动子区域。记z t 为瓦中任意的网格节点， 定义 y ( q ) = “y ( n ) ：u ( x k ) = o ) 以及k ( n k ) = k e r ( a k ) = s p a n 1 ) cv ( n k ) ，= 1 ，。 注意v ( n t ) 的维数比y ( n ) 的少1 ，而且矿( q t ) 中的节点基的集 合是v ( n 。) 中节点基集合的一个真子集。 记 吒k 。m ：k 。为玩的节点集舍。而 妒k l m 。k 为y ( 吼) 中的相应节点 基集合，则v ( a t ) 中任意函数u 可以写为 u ( z ) = 2 二u ( z ：) 妒：( z ) ，z n t l = l 不失一般性，设节点z t 正好是最后一个节点。，由于在瓦有 m k 蜡( z ) 三1 ，我们有 t = 1 由此知存在直和分解 乱( 。 ) ) 坩( 。) + u ( x k ) ，。孬：( 3 1 ) y ( ) = 矿( 吼) o ( n ) ，= 1 ，m 利用此分解，m 和风，( = 1 ，m ) 的行为可以分别描述为 a u = a t 面，b k u = b k 西+ b o u ( z ) ，( 西= 扎一u ( z k ) y ( q k ) ) 这里瓦表示a m 在矿( n t ) 上的限制，显然它非奇异。类似地，瓦和 岛。分别表示鼠在矿( g ) 和k ( 绣) 上的限制。 、 1 8 茸沁 忙商 i i p 珏 记r e ，k = 1 ，为给定的小正数。不失一般性，我们设仇 h k 。记“u k ( d i q k i ) m ，并定义a 。为 a 让= 瓦面+ e k l l , ( x ) ，( 豇= 钍一u ( x k ) 矿( n ) ) ，k = 1 ，一， 这里系数“含有因子w k ( d q t l ) ，使q u ( ) 和瓦面在关于d 和u m 的 度量上具有某种平衡。很明显a 。是非奇异的，定义v ( n ) 上的算子 a 。为 c a 。“，f = a a “k ( 训u l m 。h ；：三二l ? ，v 让y c q ， 由( 3 1 ) 知 ( a 辄，“) n 。型u ( 1 札f ；n 。+ d r k l u ( z k ) 1 2 ) ，vu v ( n k ) ( 3 2 ) 考虑对问题( 2 5 ) 的逼近问题：求( 。，h ) v ( a ) xw ( r ) ，满足 卜+ b t a n = ：f 。 憾。， 显然。可以写为列向量的形式 。：= ( ，钍o 。) ，其中兀矿( 吼) ， 而u 叻r iv o ( a 。) 。同样地，我们可以消去未知量获得界面方程 s a 。= g( 3 4 ) 其中，s = b a i l b 。，g = b a ；1 ，。 从上述方程( 3 4 ) 解出以后代入方程( 3 3 ) 的第一个等式便可 以解出方程( 3 3 ) 的求解并不涉及任何奇异性，因此这种所谓的 正则化方法是简单而有效的。 但是需要指出的是，由于s 的条件数很大，所以求解方程( 3 4 ) 并不容易。在完成误差分析之后我们将详细分析这个问题并给出一 种有效的解决办法。 1 9 第四章误差分析 设u h 和分别是离散方程( 2 5 ) 和( 3 3 ) 的解函数，定义范数。 为 nn 删 = ( a k ( ”) ) ，”= ( ，u ) 1 1 日1 ( q ) k = l k = l 我们可以得到如下关于误差估计的定理： 定理4 1 设u l n 。h 1 + “一( q 女) ，钒( ，1 1 ，对于如下两种情形： ( i ) 巧( r o ) ck ( r 玎) ( i i ) 巧( ) 茌k ( r 巧) ，h is 哆，岛= 2 一面i ( 1 ，i j ，a i 存在如下误差估计式 l 。8 瓦d 制h 舯。 下面我们将证明上述定理首先从文 18 】中定理3 1 的证明过程 可知我们只需要证明关于| j 让一u h 队的如下估计式即可 姥1 0 9 r d ，岫 事实上，误差j i u u n 怕包括逼近性误差和相容性误差两部分， 其中相容性误差是由于矿( n ) 中的元素在界面的不连续性引起的。为 了说明的方便，下面先以引理的形式给出几个结果： 引理4 1 设乱h h 1 + 。t ( n k ) ，k ( ；，1 1 ，对于以下两种情形 ( i ) 嵋( r 玎) ck ( r 巧) ( i i ) y j ( r i j ) 仁k ( r “) ，h i 毛垮，岛= 2 一嚣1 ( 1 ， 】，a i 存在如下估计式 f 。o u f ”1 d s s u p 古一焉 辄w 剖呲n 。 吼 忍 l i b u + 吼 + “ 仉 一 d 1 2 k 甜 晰 a 一u 其中】表示在界面附近的跳跃，而赛表示法向导数。 证明： 为方便起见，我们记陇= ( v h l n ，) i t 。，t 。= ( i 吗) h ，利用负范数的 定义和迹定理可得 j f ! g ：( t 一吩) d s l 1 1 丽1 1 n i 一 ，r “o 吼一v j l 一n ”r uf 4 2 ) 1 1 “1 1 i + 。，n 。l v i i i 一。，n ， 以及( 注意啦哟) i 舞( 仉一v j ) d s ls 怕| | l 十口】，吩l | 挑一叼虬一。( 4 3 ) 首先考虑情形( i ) 。 利用反估计有 i i v , 一酬沁r 。sh “i i v ；一酬一她， 注意到矿( q ) ，则v i 一吩在r ，j 的内部单元恒为零，由文( 2 0j 中 的引理6 8 有 i l v i - - 酬弓，。焉( 1 + l o g 芒) - 铲呲 结合以上两式及( 4 2 ) 可得 j fa o u 礼( v i - - v j ) 酬( 1 + l o g 是) 5 贯一 l v i - v j ”0 ，川u l 恂，n 。( 4 4 ) r ” 因为h 3 , h t ，注意到在r 玎的内部单元上协一为零，( 即仅在长 度为o ( h ，) 的单元上不为零) ，由离散范数的定义、文( 4 1 】中引理4 5 以及迹定理得 饥一吩，r q 焉酵i i v , ip o ，。，r ；，+ h ；1 1 t 。1 1 0 ，。，r 。 sh 【( 1 0 9 爵dj 1 z i i , l l l ，狮。+ ( 1 。g 苦) 5 i f q i | ，d 嘶】( 4 5 ) 舌 i 。( 1 0 9 岳) 川仇1 ，n 。+ f 【l f l ，q 】 将( 4 5 ) 代入( 4 4 ) ，对r 玎求和得 器d 引毛到1 0 9 芒i ) 2 + l o g 护“剐呲，吼+ i l v e l l 鸲) 制h ，n ，j 焉r i j h 。g 芒九? ( 1 l d l t ，啦+ t l t j l - ，) f l a i l l + a l , x 2 1 毫( 忆毗) ；i l o g i d 九弘：栅，吼 b 一1 。 即 下面考虑情形( i i ) 。 对一v j r l ，r 。作分解： | | 一鸭一一r 。，= l 仉一丌4 + 7 r 。一峙一r 。， f 4 6 1 i l v i 一7 嘞u 1 | 一。i ，r 玎+ 1 1 7 r t j 一i | 一。r “ 、 按插值算子”玎的定义，利用反估计和迹定理，并注意到在的 内部单元上巩v i 为零可得 。f i 巩一7 i - , j v , i i o ，r 。 l i u 一地，h - h ；i i ”d l o ，。， ( 4 7 ) h ；( 1 0 9 岳) 峙眠 l o g 岳 。n 。 设e 。为上网格的边界单元集合，而e 。= p i j e l 为内部单元集 合，我们作如下分解 v 3 一，q 吩l i o ，f i j = ip j 一吩i i o ，。+ i | 一 r 玎| 】o ，船 d k 昭 。 鲨 ，上 繇 舻铲舻舻皆 玎 r l i 2 眦 丌一 巩 砷口 u r0 ” 丌一 叶 v rd 一 1 l 吩= 丌一 吩 到意 注 注意在e z 上为标准的节点插值，利用反估计和迹定理有 f | 一，t 。0 ，。焉 ? i f 。，r i j 舌 ，礴一“ 1 i i ；a s ! + 哆一一i i t j l l 蛐，( 49 ) s ，弓町一 砖一q i l q 【l 。，n ， = 九尹慨忆q 而e l 由位于两端的两个单元构成，在每个单元上”玎都是 常数，而v j 是线性函数，因此有 i v j r , j v j l l 吣。焉略 i 焉研 综合( 4 6 ) 、( 4 7 ) 、 地一训如山焉峰( 1 s ? 。( i s ? ( i s 碍( i 上式结合( 4 3 ) 可得 i r v j l o , r o 。, 掣细。g 护1 1 1 她( 4 1 0 ) ( 1 0 9 苦) 蚓l l ，o ， ( 4 8 ) 、( 4 9 ) 和( 4 1 0 ) 有 o g 量h i ) o g i d ) o g 岳) o g 芒) j l v , ij 。，啦+ f 垮+ 酵( 1 0 9 普) 】j i 吩忆玛 | f 饥忆n ；+ ，乒+ q + ( z o g 岳) j f | q i f 。，n ， 1 ，n ；+ 皆( 1 0 9 焉) 扎i v jn l ，n ， ( 1 1 , , , 1 1 1 ，n ，+ il t , j l l - ，吗) i 象h 沙n 川少( 1 0 s 抄 即 。9 要s 鞭( 1 。g 扩i t u l l m 柚。 u 矿( n ) 量h 女 女 5 “一。 s l o g 岳删l m 吼 证毕 引理4 1 实际上是给出了相容性误差的的估计。为了分析逼近性 误差，我们定义算子锄：w ( r 幻- ) + 时( p i j ) 为： 、” 口 渺 v 女砂 z + 0妒+ l z钉 +l z+ 妒 石卜z = 巩 其中节点如m 2 詈+ 1 为第二章的图i 中所示q 。上的网格几在r 。，上 的限制形成的网格剖分节点，而 机) 。k ：= l 。和 机) 女k ：= l 。分别为叩f r 。) 和w ( r , j ) 中相应于节点 钆) k ：= l 。的基函数。 下面给出算子葡的一个稳定性结果。 引理4 2 算子锄：w ( r 玎) 一w ( ) 存在如下稳定性结果： 一， 愉吨r 。s ( 1 0 9 景) 制| ，r 。 证明：由离散范数的定义、文【4 1 】中引理4 5 以及反估计得 锄”峪忪一知”峙 + h , - 5 胁一锄口r 。， + i 5 怕一锄”忆r l j * n 睁町5 o ，。， 舌j 口j j ，r ；，+ ( 1 。g 著) ij 削j j ，r 。 焉( 1 0 9 芒) 扣i l v l l - ；， 证毕 下面的引理4 3 实际上是在分析逼近性误差。为其简单起见，对 vp i jcr 和= 1 ，我们定义记号r 。，重a q k 表示下面两个条件 同时成立： ( 1 ) co f l k ( 2 ) w ( r , j ) 的基函数由v ( o a ) l r “的节点基函数衍生而成 引理4 3 设u h 日1 + 。t ( q k ) ，。 ( i 1 ，1 1 ，则 ( 1 。g 芸) ，咄 证明：记丌为子区域吼上的插值算子，令砭= 丌l ( u ，玛= 丌j ( u 1 ) ， 并记毛= 锄( 丌玎( 吗h ) 一丌巧( 玩h ) ) ，显然毛叩( ) ，我们将它零扩 张到v ( o a d 上，记为t i j 。从而存在t 。，在v ( a i ) 上的扩张，满 足l p 玎忆n sl 忆溉( 见文【1 8 】) 。 蜂 。 地 一 胁 0 时州 令 蜥h = 甄+ r i j ，i = 1 ， f i ) 8 哦 下面说明这样定义的满足矿( q ) ，即： 事实上，对以为公共面的两个相邻子区域他和，设t 在上的限制被选为上的网格。为方便起见我们设v i = 甄h + 弁l j ( 7 r ：，( 巧i r 。) 一丌d ( f l ) ) ，v j = 吗i ，则( 4 1 1 ) 等价于 注意 j 1 ( 码( z o ) + 码 t ) 一萄i ( x o ) 砚如) ) 多t ( 吗( z t ) 一玩( z t ) ) 机 i 1 ( j ( z l ) + v j ( x l + i ) 一 i ( z l ) 一玩( z l + 1 ) ) 。e l f 4 1 2 ) 则 锄( 丌d ( 吗f r 。) 一死，( 玩l r 。) ) = ( 玛( 跏) + 弓( z ，) 一玩扛o ) 一玩( z ) ) 妒， l 一1 + ( 巧( ) 一祝( ) ) 执 k = 2 从而 + ( 巧扣e ) + u j ( x l + 1 ) 一魂( 岳l ) 一玩( z l + 1 ) ) 比 ”。，( ( ”玎( 磅h ) 一( 祝h ) ) ) + ；- ( 吗( 。l ) + v j ( x l + i ) 一祝( z l ) 一玩( z l + 1 ) ) e l ( 4 1 3 ) 从( 4 1 2 ) 和( 4 1 3 ) 知丌玎( 一v j ) = 0 显然成立。 2 5 扛 地 一 0 z 玩机 一 ， 咐仇 + 一 0 k o z 吩叱 h 脚 = + 记满足玩h = 魂，k = 1 ，利用引理4 2 有 o “一圳，皿剑“吼，皿+ 呈。忆。； f i j e _ a n t 。 剑“吼，n ，+ f 蚓b n 。 i a e0 f l l 。 s5j u 诹忆q + 蚤0 f l ( 啊( 玩 r 。) 一”巧( j h ，) ) j j = ，h r ”l 。 2 1 l j 剑珏吼，吼+ 。( 】o g i d 1 _ i 慨( 孙。) 一吼，( 弓删h ， i 1 a n l 。 2 u 而对f qca 呸，设； 乜0 m i n a i ，哟) ，则有 1 7 ”( 讧h ，弓h ，) 峨，r 。 i(丌，)(甄h，一弓lr，)峙，+i甄r。一弓h，|，r。cd 毫“t ”：i f ( 玩l 一巧h ，) | | + 。；，r 。+ l l 甄k ，一弓i r ， j ， 其中 “；”i i ( 玩l r u 一巧j r ：，) j + 。；，r 。毛“；? jj 甄r 。一“j n ，+ u j r 。，一磅r ：， j + 。；，。 毛h ? ”。( 1 l s d r ，一训r 。j + 。；，r 。+ f i 训r 口一码f | | ；+ 。；，r 。 毛h ”i 僻1 j 制雌山+ 弩“；制瓤+ 焉怖。m + 且h j ) ”+ 皆川r 。椭 s 伊i i , z l o n 。峨。湖皿+ ( 等) 。；哼，n ；峙岫 鲜1 佃，n ，+ ( 等) 吣。茑俐z 呐，q 甄f r t ，一弓! r ”f f ，p i j f 玩f r 。u r 日+ u i r 。一吗 r 。，| | ，。 剑吼，叱r ；，+ r 吼，喙 毛弘黼。嗡。峨+ 穹制