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广义格及广义格上的微分 摘要 代数系统上的微分结构的研究，为代数学的研究开辟了新的领域，提供了新的方法 和思路，极大的扩展了代数学应用的范围。 近年来由于序与偏序集理论在组合数学、f u z z y 数学、计算机科学、编码理论、甚 至社会科学中得到了广泛的应用，因而使格论有了较大的发展。许多数学工作者从不同 的方向将格的概念广义化，得到了一些广义格代数系统。自然的，广义格性质的研究也 相应产生。 基于利用格上的微分刻画格的性质，本文将微分的概念引入两类广义格，即a 一格、 w a 格中，研究了相关性质，讨论了不同代数结构上微分性质的异同，将格微分的性质 进行了推广。 本文的内容主要分为四章。第一章介绍了格相关理论的研究历史和本文的选题背景 及课题意义，简述了本文所取得的主要成果。第二章介绍了本文所需要的偏序集、格及 格上微分的相关知识。第三章和第四章分别给出了九一格和w a 格微分的定义及相关例 子，讨论了两种广义格微分的相关性质，将格微分的性质推广到了两种广义格上。 关键词 偏序集，格，广义格，微分 a b s t r a c t t h er e s e a r c ho fd i f f e r e n t i a ls t r u c t u r eo nt h ea l g e b r as y s t e m ，h a so p e n e du pan e wf i e l d f o rt h er e s e a r c ho fa l g e b r a , a n do f f e r e dan e wm e t h o da n dt h i n k i n g ，g r e a t l ye x p a n d e dt h e s c o p eo fa p p l i c a t i o no fa l g e b r a i nr e c e n ty e a r s ，a so r d e ra n dp a r t i a lo r d e r e ds e tt h e o r yw e r ew i d e l ya p p l i e di nt h e c o m b i n a t o r i c s ，f u z z ym a t h e m a t i c s ，c o m p u t e rs c i e n c e ，a n de v e ni nt h es o c i a ls c i e n c e ，t h e l a t t i c et h e o r yh a sb e c a m ea l li m p o r t a n tb r a n c ho fm a t h e m a t i c s m a n ya l g e b r as y s t e m sw e r e o b t a i n e di nv a r i o u sa t t e m p t st og e n e r a l i z et h ec o n c e p to fal a t t i c e n a t u r a l l yt h er e s e a r c ho f p r o p e r t i e so fg e n e r a ll a t t i c eg e n e r a t e da c c o r d i n g l y b a s e do nt h es t u d yo fd e r i v a t i o n so nl a t t i c e s ，t h i sp a p e ri n t r o d u c e dt h ec o n c e p to f d e r i v a t i o no nt w ok i n d so fg e n e r a l i z e dl a t t i c e ，n a m e da l a t t i c ea n dw a - l a t t i c e ，t h u st h e c o n c e p to fd e r i v a t i o n so nl a t t i c e sh a sb e e np o p u l a r i z e d s o m er e l a t i v ep r o p e r t i e sw e r eg i v e n i nt h ep a p e r , t h es i m i l a r i t i e sa n dd i f f e r e n c e so fd e r i v a t i o n sb e t w e e nt h et w ok i n d so fa l g e b r a s t r u c t u r ew e r ea l s od i s c u s s e d t h i sd i s s e r t a t i o nc a nb ed i v i d e di n t of o u rp a r t s t h ef i r s tc h a p t e ri sa ni n t r o d u c t i o nt ot h e h i s t o r yo fl a t t i c et h e o r y w ee m p h a s i z et h a tt h et h e s i si sm a i n l yc o n c e m e d 、 ，i t hs o m e i m p o r t a n tg e n e r a ll a t t i c e sa r i s i n gi nt h e o r e t i c a lc o m p u t e rs c i e n c e t h es e c o n dc h a p t e r ，w h i c h s e r v e sa st h eb a s i so fo u rd i s c u s s i o n ，g i v e st h eb a s i cn o t i o n sa n dr e s u l t so fp o s e t s ，l a t t i c e sa n d d e r i v a t i o n so nl a t t i c e s i nt h el a s tt w oc h a p t e r s ，w ed e f i n et h en o t i o n so fd e r i v a t i o n so n a l a t t i c ea n dw a l a t t i c e ，a n dg i v es o m eb a s i cp r o p e r t i e so ft h e m k e yw o r d s p o s e t ，l a t t i c e ，g e n e r a ll a t t i c e ，d e r i v a t i o n i i 西北大学学位论文知识产权声明书 本人完全了解西北大学关于收集、保存、使用学位论文的规定。学校 有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版。本人允许 论文被查阅和借阅。本人授权西北大学可以将本学位论文的全部或部分内 容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存 和汇编本学位论文。同时授权中国科学技术信息研究所等机构将本学位论 文收录到中国学位论文全文数据库或其它相关数据库。 保密论文待解密后适用本声明。) ， 学位论文作者签名：銮套耀指导教师签名：至芏二兰 p v v 平m 厂 炒r mpe 西北大学学位论文独创性声明 本人声明：所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作 及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外， 本论文不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得西 北大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的 同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢 = 6 ： 思0 学位论文作者签名： ) 1 ，l ，1 年 螺珏 易月l 日 西北大学硕士学位论文 第一章绪论 1 1问题背景和意义 自然科学、社会科学、工程技术及客观世界中存在大量的序关系，对序的深入研究 获得了一些完美的结构，其良好性质在数学的其他分支、计算机科学、管理科学及经济 学中获得了广泛的应用，并得到了飞速的发展。 格是一类重要的偏序集，格的概念，首先由狄得京( d e d e k i n d ) ( 1 8 3 1 1 9 1 6 ) 定义，在 1 9 3 0 年前后才受到人们的注意。格是随着经典逻辑的代数化与泛代数的发展而引进的一 个新的代数系统。格论来源于数论、代数学、几何、逻辑等领域，并逐步发展为- - t - 独 立的代数理论。 近代的格论大体形成于1 9 3 5 年左右，其应用之广，影响之深，虽不似群论，但它在 代数学、赋值论、近代解析几何、半序空间等方面，都发挥着重要作用，成为值得重视 的一个代数分支。在1 9 4 0 年，g b i r k h o f f l 拘专著 l a t t i c e t h e o r y ) ) 【1 1 ( 第一版) 是这个时 期的格论及其对于数理逻辑、泛代数、一般拓扑学、泛函分析和概率论等数学分支中应 用的系统总结。 格论在信息理论【2 】、信息检索【3 】、以及密码分析f 4 】中发挥了重要作用。在 2 中，b e l l 介绍了伴随信息格，用它来显示广义超图模型的概率密度，进而用它来得到了关联成分 分析算法格。在【3 】中，c a r p i n e t o 和r o m a n o 把格用于信息检索，介绍了约束机制和整合 信息功能。在【4 】中，d u r f e e 以几何数论为工具解决了密码分析中的一些问题。他们使 用代数方法破译了一些公钥加密系统，并侧重于r s a 和类r s a 结构，使用整数格理论的 方法取得了一些成果。 在实际应用的有效推动下，格理论取得了长足的发展，许多数学工作者试图从不同 的方向将格的概念广义化，得到了一些广义格代数系统1 5 ，6 ，7 8 一。在格代数中，从格的代 数定义考虑，将交换律去掉，而保留其余三条不变，就得到了s k e wl a t t i c e 5 】；而将结合 律去掉，保留格定义中其余三条，就有了l a t t i c o i d 6 。从格的偏序定义考虑，改变上下 确界的定义，就得到了z 一格同，a 一格【8 】；将偏序关系的传递性去掉，保持上下确界定 义不变，就有了w a l a t t i c e 9 。 在偏序集中，若对任意两元素而言，上下确界如果不存在，则格中定义的并、交两 种运算就无意义。l e u t o l ak 和n i e m i n e nj 在文【7 】中定义的z 一格，以及vs n a s e l 在 文i s q ：定义的a 一格就成功的解决了这一问题。在上下确界都存在的条件下，这两类格 第一章绪论 就为一般意义上的格，故九一格可以视为一种广义格。 偏序理论的一个重要贡献是定义了上确界和下确界并促使了格论的发展。传递性对 于上确界和下确界中的结合运算是必要的，而且结合律向来被认为是格论中很多定理所 必须的。因此，传递性看起来似乎是格论中不可缺少的条件；然而，在一个具有自反性 和反对称性，但却不一定具有传递性的序集上，我们同样可以类似于偏序集，定义上确 界和下确界，从而在格论中成立的几乎所有的定理都可以类似得到证明。在这种思想下， s k a l a 在文 9 】中定义了非传递的序集，即伪序集，并且从具有上下确界的伪序集中得到 了一种代数结构，称为t r e l l i s ，也称为w e a k l ya s s o c i a t i v el a t t i c e ( 简称w a l a t t i c e ) ，或 者t o t t m a m e n t 。如果这种格序还满足传递性，那么w a 格就成为一般意义上的格，故 w a 格可以视为一种广义格。这种代数结构有非常有趣的特性，它的许多应用在代数中 起非常重要的作用【1 仉14 1 。 许多数学工作者致力研究这些代数系统的性质和结构。我们知道，微分的概念是在 连续变量的基础上提出的。人们自然会想，能否基于离散变量建立微分结构。国内外数 学工作者在这方面做出了可喜的成果。1 9 5 7 年，p o s n e re 在素环上研究了微分【1 5 】，1 9 8 7 至1 9 8 9 年，b e l lh e ，k a p p el c ，m a s o ng 和k a y ak 研究了环、近似环及近似域上 的微分理论【1 6 1 8 1 ，j u ny o u n gb a e 和x i i lx i a ol o n g 给出了b c i 代数上的微分【1 9 1 ，并讨论 了相应的性质，2 0 0 8 年在文 2 0 】中又将微分的概念引入到格这一系统理论中，研究了格 微分的若干性质，得到了一些有价值的结论，并用微分的概念和性质刻画了相应代数系 统的结构，为我们研究这些代数系统提供了新的方法和途径。代数系统上的微分结构的 研究，为代数学的研究开辟了新的领域，提供了新的方法和思路，极大的扩展了代数学 应用的范围。 本文基于格上微分的建立，将微分的概念引入到了a 一格和w a 格中，应用环、近 似环、近似域、素环、b c i 代数、格代数等代数系统中微分及相应的性质、结构的分析 思想研究了允一格和w a 格代数系统上的微分结构，将格微分的性质进行了推广。 1 2 论文安排和主要研究结果 全文共四章。文章的结构和主要内容如下： 第一章，作为绪论简要介绍了格及a 一格微分的研究历史和本文的选题背景及意义， 强调了本文的特色在于在广义化的格上定义了微分的概念，并将格微分的性质推广到了 a 一格及w a 格上。 2 西北大学硕士学位论文 此外，绪论部分还简述了本文所取得的主要成果及论文的组织框架。 第二章，作为本文研究和讨论的基础，简述了格及格微分的相关概念及其性质。 第三章，介绍了a 一格的相关概念，建立了a 一格上的微分并讨论了a 一格微分的相 关性质 第四章，给出了w a 格的定义，建立了w a 格的微分并讨论了w a 格微分的相关 性质。 第二章预各知识 2 1 偏序集 第二章预备知识 在本节中，我们将给出偏序集、有序集、极小( 大) 元和最小( 大) 元以及不动点 的基本定义。 定义2 1 【2 1 】集尸中的一个关系“ 叫做偏序关系，是指对任意a ，b ，c p ：下述条件 成立： ( 1 ) 自反性口a ； ( 2 )反对称性口b ，b 口ja = b ； ( 3 )传递性 口b ，b cj a c 。 一个偏序集是指一个有序二组( p ，) ，其中p a ，“”是尸中的一个偏序关系。当 上下文中偏序关系清楚的时候，有时我们也简称偏序集p 以代替( p ，) 。 设( p ，) 是一个偏序集。若a b ，但口b ，则记为口 b 。 对于一个偏序集尸来说，任取口，b p ，未必有口b ，或者b a ；换句话说尸中任 意两个元素未必是可比较的。 尸的一个偏序关系“”，如果适合 ( 4 ) 对任意口，b p ，均有口b ，或者b 口，那么，就说，“”是一个顺序关系。 定义2 2 2 2 具有顺序关系的非空集合( 尸，) 叫做有序集。 定义2 3 2 1 】设( p ，) 是一个偏序集，j 尸，x 彩。 口x 叫做x 的极小元，是指不存在x x ，使x a 。 b x 叫做x 的极大元，是指不存在x x ，使b x 。 a x 叫做x 的最小元，是指不存在x x ，使a x 。 口x 叫做的最大元，是指不存在x x ，使x b 。 定理2 1 1 2 1 】偏序集( 尸，) 的任一有限子集x ，x o ，必有极小元与极大元。 定义2 4 2 2 设尸是一个偏序集，够：p 斗p 是p 上的一个映射。称尸中的元素x 是映射 9 的一个不动点，如果9 ( x ) = 工。9 的所有不动点的集合记为风( 9 ) 。 2 2 格的定义及性质 设尸是一个偏序集，x p ，x a ，称口p 为x 的最小上界，是指 4 西北大学硕士学位论文 ( 1 ) 口是x 的上界； ( 2 ) 若材是x 的上界，则a “。 由此，如果x 有最小上界，那么它是惟一的，一般把x 的最小上界记为1 u b ( 彳) 。类似 地，称b p 为x 的最大下界，是指， ( 3 ) b 是x 的下界； ( 4 ) 若u 是j 的下界，则, b 。 同样，如果x 有最大下界，则它是惟一的并记为g j b ( x ) 。 定义2 5 1 1 】设是一非空集合，“ 和“v 是三上的二元代数运算。如果对任意 z ，y ，z l ，满足： 1 ) x a x = x ，x vx = z ；( 幂等律) 2 ) xy = ya x ，x =yv2a yya v y y x ；( 交换律) x = x ，x = x ； k 父茯佯j 3 ) ( x a y ) a z = x a ( y a z ) ，( x v y ) v z = x v ( y v z ) ； ( 结合律) 4 ) ( x a y ) v x = x ，( x v y ) a x = x ( 吸收律) 则称工是格。 定义2 6 【2 3 1 一个格叫做分配格，是指三满足下列条件： 1 ) x v ( y z ) = ( x v y ) a ( x vz ) ； 2 ) x a ( y v z ) = ( x a y ) v ( x z ) 。 在任一格中这两个等式是等价的。 定义2 7 1 2 4 1 一个格三叫做模格，是指三满足下列条件： 1 ) 若x z ，贝, l j x v ( y z ) = ( x v y ) z ；或者 2 ) 若zs x ，贝, l j x ( y v 2 ) = ( x a y ) v z 。 如果格三具有零元素及全元素( 它们常分别记为0 及1 ) ，对溉l ，称x 7 l 为z 的余 元素是指x vx = 1 ，x ax = 0 。 定义2 8 【2 4 】具有零元素及全元素的格三叫做有余格，是指任意x l ，都有余元素。 定义2 9 1 2 4 】一个格三叫做有余模格，是指既是有余格又是模格。 定义2 1 0 【2 5 】一个格叫做完备格，是指上的任意非空子集a ，v 彳及 a 都存在。 定义2 1 1 2 2 1 ( 厶 ，v ) 是个格，是一个偏序关系是指x y 的充分必要条件是 x y = x 和i v y = y 同时成立。 第二章预备知识 引理2 1 2 2 ( 三， ，v ) 是一个格，如定义2 1 0 在三上定义一个二元关系“”。则( 三，) 是 一个偏序集且对任意x y = g 。a 以力，x v y = 1 u b ( x ，力。 由引理2 1 ，我们看到格不仅仅是一个代数系统还是一个偏序结构。 定义2 1 2 1 2 6 】称口是格三一m 上的同态映射( 简称同态) ，则9 满足以下条件： 0 ( x y ) = e ( x ) o ( 少) 和e ( x v y ) = e ( 工) v 0 ( 少) 勺k ，y l 当口分别是单射，满射和双射时，分别称e 是单格同态，满格同态和格同构( 简称为单 同态，满同态和同构) 。 定义2 1 3 【2 7 1 设p 是从格工到m 的一个映射，对于任意的工，y l ，如果工y ，则有 o ( x ) o ( y ) ，则称9 是一个保序映射。 定义2 1 4 f 1 】格上的一个非空子集，称为三的理想，如果满足： ( 1 ) x y ，y i 蕴涵x i ， ( 2 ) x ，y i 蕴涵x + y i 。 若五和厶是格三的理想，则厶 厶也是格三的理想 定理2 2 【冽设三为完备格，：三一为保序映射，则厂有不动点，即存ha 三，使 厂( 口) = 口。 就格而言，上述定理的逆定理也成立，即有： 定理2 3 1 2 9 设三为格，且上的任一保序映射有不动点，则为完备格。 2 3 格上的微分 微分的概念是分析学在连续变量的基础上提出的，能否基于离散变量建立微分结 构，国内外数学工作者为此做了大量的研究。1 9 5 7 1 9 8 9 年，文 1 5 1 8 在环、近似环、 近似域、素环等代数系统中引入微分的概念，辛小龙教授于2 0 0 4 年在文 1 9 1 5 b ，将微分 的概念引入到b c i 代数系统中，并讨论了相应的性质，2 0 0 8 年在文【2 0 】中又将微分的概 念引入到格这一代数系统中，研究了格微分的若干性质，给出了含有最大元1 的格，模 格以及分配格的微分保序的等价条件，并用保序微分刻画了模格和分配格，而且还证明 了格上保序微分的不动点集是格的理想。本节我们介绍文【2 0 】中格微分的定义和相关性 质。 2 3 1 格上微分的定义【2 0 l 定义2 1 5 设d 是格一工上的一个映射，我们称d 是格上的微分，若d 满足下列条 6 西北大学硕士学位论文 件： d ( x a y ) = ( d x a y ) v ( x a d y ) 。 例2 1 设是含有最小元0 的格，d 是格上的映射，若对于任意的x 上，d x = 0 ， 则d 是三上的微分，此时称d 是三上的零微分。 例2 2 设d 是格上上的恒等映射，则d 是格三上的微分，此时称d 是三的恒等微分。 定义2 1 6 设是格，d 是格上的映射。 ( 1 ) 若x y 蕴涵d x d y ，称d 为保序微分； ( 2 ) 若d 是单射，称d 是单射微分； ， ( 3 ) 若d 是满射，称d 是满射微分。 例2 3 设是格，口。在三上定义映射d ：矗= x 口，v x l ，则d 是三上的保序微分， 称为主微分。 注：设三是格，d 是格l 上的微分。d 的不动点集记为触d ) = x 三：d x = x 。若d 是 保序微分，则不动点集f i x a ( l ) 是格三的理想。 定理2 4 设是格，d 是格三上的微分。对任意x 三，定义d 2 x - - d ( d x ) ，则有d 2 = d ， 故d x f i x d ( l ) 。 定理2 5 设工是格，吐和破是格三上的两个保序微分。则4 = 吐当且仅当 f i x d 】= f i x d 2 。 2 3 2 格上微分的性质 辛小龙教授在文【2 0 】中讨论了格的性质，并利用微分的性质刻画了格的结构，为代 数学的研究开辟了新的研究领域，提供了新的思路和方法，极大的扩展了代数学应用的 范围。下面我们给出文 2 0 中j l 个重要的结构定理： 定理2 6 设d 是格上的微分，则以下条件是等价的： ( 1 ) d 是恒等微分； ( 2 ) d ( x v y ) = o v 劝 ( 出v 力； ( 3 ) d 是单同态； ( 4 ) d 是满同态。 定理2 7 设工是含有最大元l 的格，d 是格上的微分。则以下条件是等价的： ( 1 ) d 是保序微分； 第二章预备知识 ( 2 ) d x = x a d l ； ( 3 ) 撒 力= d x d y ； ( 4 ) d r y 砂撒v 力。 定理2 8 设三是模格，d 是格上的微分。则以下条件等价： ( 1 ) d 是保序微分； ( 2 ) d 八力= d x d y ； ( 3 ) 凼= 工蕴涵d r y 砂= d ( x v y ) 。 定理2 9 设三是分配格，d 是格乞上的微分。则以下条件等价： ( 1 ) d 是保序微分； ( 2 ) d 力= d x d y ； ( 3 ) d r y d y = d ( x v y ) 。 定理2 1 0 设是格，则以下条件等价： ( 1 ) 三是分配格； ( 2 ) 三上的每一个保序微分都满足么v 砂= d ( x v y ) 。 定理2 1 l 设三是格。则以下条件等价： ( 1 ) 上是模格； ( 2 ) 三上的每一个保序微分满足么= 工，蕴涵d x v 痧= d ( x v y ) 。 西北大学硕士学位论文 第三章a 一格的微分 在偏序集中，若对任意两元素而言，上下确界如果不存在，则格中定义的并、交 两种运算就无意义。l e u t o l ak 和n i e m i n e nj 在文 7 1 5 b 定义的z 一格，以及vs n a s e l 在文【8 】中定义的a 一格就成功的解决了这一问题。在上下确界都存在的条件下，这两类 格就为一般意义上的格，故允一格可以视为一种广义格。本章将介绍a 一格的相关概念， 建立a 一格上的微分，并讨论旯一格微分的相关性质。 3 1a 一格的相关概念 本节我们讨论了a 一偏序集、a 一格的定义，a 一格理想的定义，并给出了a 一格和 a 一格理想的例子。 设( p ，) 是一有序集，对任意a ，b p ，记 l ( a ，6 ) = x p ；x a _ l t x c ，i 故a + b c + c 不能成立。在例3 2 所示的九一格( p ，+ ) 中， b c ，b d ，6 6 = 6 ，c d = 口，但口和b 间无关系存在，故b b c d 不能成立。从而微分 在格中成立的性质，在九一格中不一定成立。以下我们来讨论a 一格微分的性质。 定理3 3 若d 是a 一格尸上的微分，则 ( 1 ) d x x ： ( 2 ) 若p 含有最小元0 和最大元l ，则d o = 0 ，d l 1 ； ( 3 ) 若，是尸的理想，则刃g ，。 证明：( 1 ) 因为d ( x ( ( x y ) x ) ) = d ( ( x y ) x ) = d ( x y ) = ( x d y ) + ( y d x ) ， 贝0d x = d ( x x ) = x d x + x d x = x d x ，所以d x x 。 ( 2 ) 设o 1 p ，由( 1 ) 知d l 1 ，d o 0 易知d o = 0 。 ( 3 ) 任取y d i ，则存在x i 使得y = d x ，由( 1 ) 知y = d x x ，而，是理想，故 x y = y ，即刃s ，。 在格中( d x ) ( d y ) d ( x y ) 出+ 砂这条性质成立而在允一格中不成立，因为 d ( x y ) = ( x 方) + ( 少出) ，x d y5d y ，y d x d x ，而d ( x y ) 出+ 方在旯一格中不成立。 定理3 4设d 是a 一格p 上的微分，d 是恒等微分的充要条件是 d ( x + y ) = ( x + d y ) ( y + 出) 。 证明：充分性：x = y ，d ( x + x ) = ( x + d x ) o + 出) = x + 出，则出x ；由定理3 3 ( 1 ) 知d x x ，所以d x = x ，即d 是恒等微分。 1 2 西北大学硕士学位论文 必要性：因为d 是恒等微分，故d ( x + y ) = x + y = o + y ) o + y ) = o + a y ) ( y + d x ) 。 可见，a 一格中恒等微分的充要条件与格是一致的。 定理3 5 设p 是含有最大元1 的a 一格，d 是a 一格p 上的微分，则对任意的x p ，有 出= i ，d 1 ) + 出。 证明：由d x = d ( x 1 ) = ( d x 1 ) + ( x d 1 ) = d x + ( x d 1 ) 得证。 推论l 设尸是含有最大元1 的a 一格，d 是a 一格尸上的微分，则有 ( 1 ) 若x d l ，贝4 d x d l ； ( 2 ) 若x d l ，贝0d r = z 。 证明： 由定理3 5 知，对任意的x 尸，有出= 仅d 1 ) + d x ，故d x o d 1 ) 。 ( 1 ) 因为x d l ，所以x d l = d l ，即d r d l ； ( 2 ) 因为x d l ，所以工d l = x ，即出工；再由定理3 3 ( 1 ) 知d xsx ，故有d x = x 。 定理3 6 设d 是a 一格尸上的微分，若y z ，且出= x ，则d y = y 。 证明：设y x ，则y = x y ，所以 d y = d ( x 少) = 工d y + y d x = d y + x y = d y + y = y 。 例3 7 如图1 所示，在含有最小元0 和最大元l 的a 一格尸上定义映射d 为： ，1 0x = 0 ，a ，b ， a x = 【c x 2 c ，l ， 因a c 且d c = c ，而d a a ，与定理3 6 矛盾，所以d 不是a 一格尸上的微分。 注：设尸是a 一格，d 是a 一格p 上的微分。d 的不动点集记为础d ( 尸) = x e p d x = x ) 。 在格三中若d 是保序微分，则不动点集f i x d ( l ) 是格三的理想。但在a 一格中，不动点集 f i x d ( p ) 不一定是旯一格p 的理想。因为，对x ，y f i x d ( p ) ， zsx + y ，y x + y ， x + y = 出+ 砂，由d 的保序性知，d x d ( x + y ) ，d y d ( x + y ) ，但出+ d y d ( x + y ) 在a 一 格中不一定成立。 定理3 7 设尸是允一格，d 是力一格尸上的微分。对任意x p ，定义d 2 x = d ( d x ) ，则有 d 2 = d ，故d x 盹( 尸) 。 证明：由d 2 x = d ( d x ) = d ( x d r ) = ( d x 出) + o d 2 工) = d x + d 2 x = d x 得证。 定理3 8 设尸是九一格，碣和畋是a 一格p 上的两个保序微分。则呸= 吐当且仅当 f i x d , = f i x a 2 。 第三章卜格的微分 证明：若碣= 吐，显然有强= r k 。反之，若龟= 魄，对任意z 户，由定理3 7 知4 x 俄( ) = r k ( ) ，故畋盔x = 4 z ，同理吐吐x - - d ：x 。由4 ，畋保序，知 d ：d l x 呸x = 4 畋x ，即d ：d l x 碣破x ，同理碣吐x 吐4 x 。故碣吃x - - d ：d 一。从而， 碣x - - d ：d , x = 4 以x = d ：x ，即有4 = 畋。 定理3 9 设d 是a 一格p 上的微分，则对任意的x ，y p ，d r = d x + ( x d ( x + 少) ) 证明：因为x + y x d x ，所以 出= d ( ( x + y ) x ) = ( x d ( 工+ 少) ) + ( ( z + y ) d x ) = d x + ( x d ( x + y ) ) 。 推论：设p 是含有最大元1 的旯一格，d 是a 一格尸上的微分，则d l = 1 的充要条件是d 是恒等微分。 证明：充分性显然。下证必要性：因为对任意x p ，有x 1 ，而d 1 = 1 ，从而d r = x ， 所以d 是a 一格尸上的恒等微分。 由定理2 4 知在格中d 保序的充要条件为撒 力= 破 砂，而在a 一格中必要性不成 立，故对a 一格有： 定理3 1 0 设d 是a 一格p 上的微分，则d 保序的充分条件是d ( x y ) = d x d y 。 证明：设x y ，则x = x y ，d r = d ( x y ) = d r d y ，所以出d y ，即d 保序。 定理3 1 1d 是a 一格p 上的微分，则以下条件等价： o ) d 是恒等微分； ( 2 ) d ( x + y ) = ( x + 砂) ( y + 出) ； ( 3 ) d 是单射微分； ( 4 ) d 是满射微分。 证明： ( 1 ) ( 2 ) ，( 1 ) j ( 3 ) ，( 1 ) j ( 4 ) 显然。 ( 2 ) = 今( 1 ) 令y = 石，贝0 d ( x + x ) = ( x + d x ) ( x + d x ) 。由于d r d y ，贝0 有d x = x x = x 。 ( 3 ) j ( 1 ) 设d 是单射，若存在口p 使得d a a ，则d a a ，记口1 = d a ，即有a 】 口。故 d a i = d ( a l 口) = ( d a l 口) + ( 口1 如) = d a l + c l l = a l = d a ，但口1 a ，矛盾，故d 是恒等微分。 ( 4 ) ( 1 ) 设d 是满射，即d l l ，则对任意x l ，存在y l ，使得x = d y 。由定理3 7 ， 有d r = d ( d y ) = d 2 y = d y = z ，即d 是恒等微分。 注：我们在定义九一格上的微分时并没有要求微分满足：d ( x y ) = 0 d y ) + d r ) 且 1 4 西北大学硕士学位论文 d ( x y ) = ( x + d y ) ( d y + y ) ，这是因为满足以上定义的微分为恒等微分。 定义3 6 设d 是九一格p 上的微分，若满足d o + y ) - - d x + d y ，则称d 是正则微分。 定理3 1 2 恒等微分是正则微分。 证明：设d 是九一格尸上的恒等微分，贝l jd ( x + y ) = x + y = 出+ 方。 定理3 1 3 正则微分是保序微分。 证明：设d 是a 一格尸上的正则微分，设x 少，则d y = d ( x + y ) = 出+ d y d x ，即d 保 序。 第四章w a 格及w a 格的微分 第四章w a 格的微分 将偏序关系的传递性去掉，保持上下确界定义不变，就得到了w a 格( w e a k l y a s s o c i a t i v el a t t i c e ) 【1 4 1 ( 也称为t r e l l i s l 9 1 ，或者t o u r n a m e n t i l 0 1 ) 。本章将介绍w a 格的相 关概念，并建立w a 格上的微分，讨论w a 格微分的相关性质。 4 1w a 格的相关概念 本节我们讨论了伪序集、w a 格的定义，并给出了是w a 格的例子。 定义4 1 1 9 1 集彳中的一个关系“叫做伪序关系，是指对任意a ，b a ，下述条件成立： ( 1 )自反性a a ； ( 2 )反对称性a b ，b aja = b ； 一个伪序集是指一个有序二组( 彳，匀，其中a 妒，“”是彳中的一个伪序关系。当 上下文中伪序关系清楚的时候，有时我们也简伪序集彳以代替( 彳，) 。 设( a ，) 是一个伪序集。若口b ，但a b ，则记为口 b 。 定义4 2 【1 q 具有两个二元运算“v ”，a 的代数系( 厶v ，人) 称为w a 格，如果对任意 a b ，c 满足： ( 1 ) aa a = 口，口v 口= 口；( 幂等律) ( 2 ) a b = b 口，a v b = b y 口；( 交换律) ( 3 ) a v ( b a 口) = 口，口 ( b y 口) = 口；( 吸收律) ( 4 ) ( ( 口a c ) v ( 6 a c ) ) v c = c ，( ( 口v c ) ( b v c ) ) c = c( 弱结合律) 定义4 3 网设( 厶a ，v ) 是一个w a - ；恪，是一个伪序关系是指x y 的充分必要条件是 x y = x 和x v y = y 同时成立。 定理4 1 1 9 设( 厶a ，v ) 是一个w a 格，如定义4 3 在上定义一个二元关系“”， 则 ( ，) 是一个伪序集且对任意x y = g l i b ( x ，j ，) ，i v y = ，剧易( x ，y ) 。 由定理4 1 ，我们看到w a 格不仅仅是一个代数系统还是一个伪序结构。 定义4 4 1 9 1 称9 是w a 格三一m 上的同态映射( 简称同态) ，则口满足以下条件： 0 ( xa y ) = e ( x ) e ( y ) 和e ( xv y ) = o ( x ) v o ( y )v x ，y 。 当p 分别是单射，满射和双射时，分别称8 是单w a 格同态，满w a 格同态和w a 格同 构( 简称为单同态，满同态和同构) 。 1 6 西北大学硕士学位论文 定义4 5 【9 】设p 是从w a 格至= i j m 的一个映射，对于任意的x ，y e 三，如果z y 则有o ( x ) p ( 少) ，则称9 是一个保序映射。 定义4 6 【9 1w a 格三的一个非空子集，称为l 的理想，如果满足： ( 1 ) x y ，y i 蕴涵x i ， ( 2 ) x ，y i 蕴涵x + y i 。 若和厶是w a - 格三的理想，贝f j s , s 2 也是三的理想。空集是w a - 格的理想。 例4 1 如图3 所示，含有最大元1 和最小元0 的w a 一格- - o ，口，b ，c ，1 ) ，由运算表3 ( 口) 一( 6 ) 易验证( 厶v ， ) 是w a 一格；i - - 0 r 口，b ) 是三的理想。 1 o 图3 例4 1 中的w a 格 表3 例4 1 中的运算表 0 a b c 1 0 00000 口0a口0口 b0 口 bbb c 00b cc 10 abc 1 4 2w a 格的微分 ( a ) v0 a bc1 00 口 b c 1 口口口 b11 bbbb c 1 cc l cc 1 1111l1 ( b ) 基于格上微分及a 一格上微分的建立，我们将微分的概念引入w a 格中，研究w a 格代数系统上的微分结构。本章引入了w a 格上微分的概念，对w a 格中“ ”“v 二元 运算进行了微分形式的设计，得到了一些有用的性质。 第四章w a 格及w a 格的微分 4 2 1w a 格微分的定义 本节我们将给出w a 格微分的定义及例子。 定义4 7 设d 是w a - 格j 上的一个映射，我们称d 是格的上微分，若d 满足： d ( x y ) = ( 出 y ) v ( 工人d y ) ， v x ，y 。 例4 2 如图3 所示，在含有最小元0 和最大元1 的w a - 格( 厶v ， ) 上经p y t h o n 程序( 见 附录) 实现得到w a 格三上的所有微分： 碣x = 三三三；6 ，c ，。，吐x = 丢二三三抚c ，。呜x = 三二三主6 ，厶。， 咖矗盖6 g 0 咖s 薯印凡咖信二篡。； i x 工= 口，b ，0 ， d 7 x = ox = c ，4 x = 工o = a , b ，c ，0 ，1 ) ；西x = 0 = 口，b , c , 0 ，1 ) l 口x = 1 ； 若在图3 所示的w a 格中定义映射d 为： ，f 口工= a ，1 缎= i bx = 6 ，c ，o ； 显然d 不是w a 格三上的微分。 例4 3 设d 是含有最小元0 的w a 格三上的映射，若对于任意的x l ，d x = 0 ，则d 是 三上的微分，此时称d 是三上的零微分。 例4 4 设d 是w a 格工上的恒等映射，则d 是格上的微分，此时称d 是上的恒等 微分。 定义4 8 设三是w a 格，d 是w a 格三上的映射。 ( 1 ) 若x y 蕴涵d x s d y ，称d 为保序微分； ( 2 ) 若d 是单射，称d 是单射微分； ( 3 ) 若d 是满射，称d 是满射微分。 4 2 2w a 格微分的性质 在格三中，对任意的a , b ，c ，d l 若口6 ，c d 贝j j a v c b vd ，aa c ba d 而在w a 格中这条性质未必成立。比如：例4 1 所示的w a 一格( 厶v ， ) 中，口6 ，0 c ， c i v 0 = 口，6 v c = c ，但t t i 与c 无关系“”存在，故a v 0 b v c 不能成立。同样的，例4 1 西北大学硕士学位论文 中，口l ，b c ，aa b = 口，1 c = c ，但口和c 间无关系存在，故a a b 1 c 不能成立。 从而微分在格中成立的性质，在w a 格中不一定成立。以下我们来讨论w a 格中微分的 性质。 定理4 2 若d 是w a 格三上的微分，则： ( 1 ) d r x ： ( 2 ) 若p 含有最小元0 和最大元1 ，则d o = 0 ，d l 1 ； ( 3 ) 若，是尸的理想，则刃，。 证明：( 1 ) 因为d x = d ( x a x ) = o ad x ) v d x ) = x ad x ，所以d x x 。 ( 2 ) 设0 。1 上，由( 1 ) 知d l 1 ，d o 0 易知d o = 0 。 ( 3 ) 任取y d i ，则存在x 1 使得y = d x ，由( 1 ) 知y = d x x ，而，是理想， 故x a y = y i ，即d i i 。 在格中( d r ) a ( d y ) d ( x ay ) d x vd y 这条性质成立而在w a - 格中不成立，因为 d ( x a y ) = 人d y ) v ( y d r ) ，x a d y 方，y a d x d x ，而d ( x a y )