（计算数学专业论文）cvi过程的多尺度建模.pdf

摘要本文以碳纤维增韧s i c 的陶瓷基复合材料( c s i c ) 制备过程c v i ( 化学气象渗透) 过程的模拟为主要研究对象。这个制各过程是将具有多孔介质结构的碳纤维预制体置入反应器中，在高温压的条件下将反应气体通入反应器当反应气体接触到预制体表面时产生碳化硅沉淀，当生成的沉淀几乎将预制体内的孔隙封填，制备过程结束。由于c v i 过程持续时间很长，碳纤维预制体结构复杂并有多尺度的性态，如果用传统的数值方法全局求解将耗时非常大，因此需要通过建立等效的宏观模型对c v i 过程进行模拟。本文利用多尺度方法对c v i 过程进行数学建模。主要处理方法是，将碳纤维的预制体内的孔隙分成两个尺度的孔隙，由此将预制体等效的视为两相复合材料，并分别在每个尺度的孔隙上建立孔隙模型，从而建立微观上浓度的反应扩散方程。结合均匀化理论，可以推导出等效的宏观反应扩散方程方程。最后再联立孔隙演化的方程，得到一个封闭的等效宏观系统。通过均匀化理论和渐进展开的分析可以看到，新建立的多尺度模型有效的模拟了孔隙在化学反应过程中的状态，即，在反应初始的几十个小时内小孔迅速封闭，而在随后的几百个小时内，大孔才逐渐封闭。更重要的是相比于经典的宏观建模，由均匀化理论推出来的等效宏观方程中的等效系数更加符合实际实验情况。经典模型中，等效的宏观扩散系数在小孔几乎封闭的时候会接近于0 ，而修正的模型中在小孔封闭时刻，等效宏观扩散系数的变化较初始时刻相比较小，由于化学实验要持续几百小时，于是等效系数应该随时间缓慢的递减为0 。同时文章还给出了具体的算法和算例，以及在h m m 框架下的数学建模。对于修正模型，我们利用边界校正以及有限元理论中的迹定理，误差估计等方法和定理，得到了收敛性的结论，确保了模型的正确性。另一方面，本文还研究了如何在c v i 过程中，在微观尺度上刻画孔隙结构随反应的发生而改变。这部分主要利用l e v e l s e t 方程对孔隙界面在反应过程中的变化进行模拟。其中l e v e l s e t 方程的方向速度是通过求解我们在微观上建立的浓度反应扩散方程而确定的。求解微观的浓度反应扩散方程时，我们利用了i i m ( i m m e r s ei n t e r f a 。c em e t h o d ) 方法，使得这个具有间断系数和d i r a c6 函数项的方程得以数值求解。同时，我们还提出将微观孔隙刻画的模型耦合到h m m 的框架下，使得总体计算量得到减少。但由于时间上的原因，此部分建模只给出了模型以及算法，但没有给出具体的算例和相应的理论分析。关键词：( c s i c ) 复合材料，c v i 过程，多尺度，均匀化，渐进展开，h m m ，l e v e l -s e t ，i i ma b s tr a c tt h i st h e s i st a k e st h en u m e r i c a ls i m u l a t i o nt ot h ec v if c h e m i c a l 、，a p o ri n f i l u a -t i o n ) p r o c e s sa st h em a i ns u b j e c t ，w h i c hi st h gp r o d u c t i o np r o c e d u r eo ft h es i l i c o nc a r b i d ec o m p o s i t ec e r a m i cm a t e r i a l sr e i n f o r e e d 坶c a r b o nf i b e r s i nt h ep r o c e s s ，f i r s tp u tt h ep o r o u sc a r b o nf i b r ep r e f o r mi n t ot h er e a c t o r u n d e rt h ec o n d i t i o no fh i g ht e m p e r a t u r ea n dp r e s s u r e jl e tt h ea g e n tg a s e sg e tt h r o u g ht h er e a c t o r j 纬西劬t h ea g e n tg a s e sr e a c ht h es u r f a c et h ep r e f o r m ，c h e m i c a lr e a c t i o nw i l lh a p p e na n ds i cs o l i dw i l lb eg e n e r a t e d t h er e a c t i o nw i l ll a s tu n t i lt h ep o r e so ft h ep r e f o r ma r ea h n o s to c c l u d e d b e c a u s eo ft h el o n gt i m eo ft h ep r o c e s s ，a n dt h ec o m p l e x i t yo ft h ep r e f o r ms t r u c t u r e ，i fw eu s eg l o b a ln u m e r i c a ls i m u l a t i o nw i t ht r a d i t i o n a ln u m e r i c a lm e t h o d s ，t h et i m ec o s tw i l lg ot ot h ee x t r e m e s ow en e e dt ou s em u l t i s c a l em o d e l i n gw h i c hs o l v et h ec o m p l i c a t e dp r o b l e mw i t hi t se f f e c t i v em a c r om o d e l t h em a i np o i n to ft h em u l t i s c a l em o d e l i n gd e a l st h ep r e f o r mw i t hat w op h a s em a t e r i a lm o d e lw h i c hc o n t a i n st w od i f f e r e n ts c a l ep o r e sa n dt h e ns e tu pd i f f e r e n tp o r em o d e l so ne a c hp h a s e c o m b i n i n gt h er e a c t i o nd i f f u s i o ne q u a t i o n ，w ec a nd e d u c et h ee f f e c t i v eh o m o g e n i z a t i o ne q u a t i o n w i t hp o r o s i t ye v o l u t i o ne q u a t i o nt o g e t h e r ，ac l o s e ds y s t e mc a nb es e tu p v i at h eh o m o g e n i z a t i o nt h e o r ya n da s y m p t o t i ce x p a n s i o n ，w ec a ns e et h en e wm o d e ls i m u l a t et h ec v ip r o c e s sb e t t e ra n da v o i dt h ed e f e c to ft h ec l a s s i c a lm o d e l i nt h em e a n w h i l e ，t h i st h e s i sg i v e so u ts p e c i f i ca l g o r i t h ma n de x a m p l ea sw e l la 8t h em o d e lu n d e rt h ef l a m ew o r ko fh m m ( h e t e r o g e n e o u sm u l t i s c a l em e t h o d ) t oo u rr e v i s e dm o d e l ，w eg i v eo u tt h ec o n v e r g e n c ea n a l y s i sb yf e mt h e o r yt om a k es u r et h ec o r r e c t n e s s i na n o t h e ra s p e c t ，t h i st h e s i sr e s e a r c h e so nh o wt od e s c r i b et h ep o r es t r u c t u r ei nd e t a i ld u r i n gt h ec h e m i c a lr e a c t i o n t h i sp a r tm a i n l yu s e st h el e v e l s e tm e t h o d t og e tt h en o r m a lv e l o c i t yo ft h el e v e ls e tf u n c t i o n ，w en e e dt os o l v et h em i c r or e a c t i o nd i f l u s i o ne q u a t i o nw i t has u r f a c ed i r a cs o u r c et e r mw h i c hw ew i l ls o r t t oi i m ( i m m e r s ei n t e r f a c em e t h o d ) w h a t sm o r e ，w ec o u p l et h em i c r om o d e lw i t hh m mf r a m es ot h a tt h ec o m p u t a t i o nc o s tw i l lb es a v e d h o w e v e r f o rt h et i m er e a s o n ，t h et h e s i sd o e sn o tg i v eo u tt h en u m e r i c a le x p e r i m e n t k e yw o r d s ：( c s i c ) c o m p o s i t em a t e r i a l s ，c v ip r o c e s s ，n m l t i s c a l e ，a s n p t o t i ce x p a n s i o n ：h h ，i m ，l e v e l s e t ，i i m中国科学技术大学学位论文原刨性声明本人声明所呈交的学位论文，是本人在导师指导下进行研究工作所取得的成果。除己特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含任何他人已经发表或撰写过的研究成果。与我一同工作的同志对本研究所做的贡献均已在论文中作了明确的说明。作者签名：签字目期：中国科学技术大学学位论文授权使用声明作为申请学位的条件之一，学位论文著作权拥有者授权中国科学技术大学拥有学位论文的部分使用权，即：学校有权按有关规定向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅，可以将学位论文编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。本人提交的电子文档的内容和纸质论文的内容相一致。位论文在解密后也遵守此规定。作者签名：签字日期：口保密( 年)叠羔导师签名：曩苤丝导师签名：j 医2 ：塾签字日期：趁里2 ：厶! 立第一章绪论本章将阐述碳纤维增韧的碳化硅陶瓷基复合材料( c s t c ) 的基本构成与制各方法。数值模拟的研究现状和存在的问题据此提出本文的选题依据研究目的，研究内容和方法。1 1c s i c 复合材料概述在热效率受卡诺循环限制的领域，人么致力于研究开发有实用价值的，能耐更高温度的材料，以突破高温合金使用温度极限带来的困扰。陶瓷基复合材料具有耐高温，耐腐蚀，耐蘑损和低密度的优良性能。但脆性是陶瓷基复合材料致命弱点其临界裂纹长度仅为几十微米，因此它没有像金属那样的塑性形变能力。如何改善陶瓷基材料的脆性，成为陶瓷研究者一直关注的命题。连续纤维增韧陶瓷基复合材料( c o n t i n u o u sf i b e rr e i n f o r c e dc e r a m i cm a t r i xc o m p o s i t e s ) 被认为是解决陶瓷脆性的最有效途径，并被美国国防部列为二十项关键技术之首。f 1 ，2 c s i c 复合材料通常有四太组元构成：碳纤维界面层，s i c 基体和s i c 涂层，如图ll 剐，界面层和基体可以通过化学气相渗透 法( c b e m i c a lv a p o ri n f i l t r a t i o 简称c v i ) $ 1 j 造。图1 hc s i c 的四个组元磊鞫2 0 0 8 焦第一聿绪论中国科学技术大学硕士学位论文第2 页1 2c s i c 制备过程的数值模拟以凰为载体和a 7 等作为稀释气体，将岛日鸪! i 者c h 3 s i c l 3 ( 简称、一i t s ) 等碳硅元素的可气化有机先驱气体依次渗入碳纤维编织体，发生化学反应，并进行原位沉积，可分别制得热解碳( p y c ) 界面f 新n s i c 基体，这个过程被称作化学气相渗透。c s i c $ 0备工艺复杂，生产周期长( 3 0 0 5 0 0 h 或更长) ，而且服役环境恶劣，完全依靠实验研究进行该材料的工艺改进和服役性能评估，将导致研发成本的大幅增加。而且，对于制备过程中材料微结构的生成过程以及服役过程中材料微结构与性能的演变过程而言，其中间信息都很难实时采集，因此开展工艺过程和服役过程的数值模拟日益受到重视。1 2c s i c $ i j 备过程的数值模拟目前国内外c v i 过亿模拟中汇医药分为两大类：流动显示物理模拟和计算机数值模拟 4 ，5 1 。但流动显示物理模拟不能降低成本，也不能高效的适应多变的c v i 构件制造过程，因而开展数值模拟具有重要的研究价值。美国纽约州州立大学化工系的g u p t es m 博士于1 9 8 9 年首先采用有限差分方法对单个圆柱形碳纤维编织体的c v i过程进行数值模拟f 6 1 。美国d e l a w a r e 大学的t a in h 与c h o ut w 、l o sa l a m o s 国家实验室的r o b e r tp 、橡树岭国家实验室的b r i a nw 和b e s m a n nt 、n o t r ed a m e大学的m c a l l i s t e rp 、g e o r g i a 理工学院的s t a r rt l 等对c v i 反应器流场、温度场和气体在多孔介质中的输运等过程进行了数值模拟f 4 ，7 ，9 1 1 1 国内主要有西北工业大学的魏玺和曾庆丰博士利用有限元方法对c v i 过程的流场，密度和孔隙度进行了模拟。但是这些研究有一下不足：1 编织体内部孔隙可分为单丝纤维间的小孔隙( 直径约l # m ) 和纤维束间的大孔隙( 直径约1 0 0 p r o ) 。多数模型没有考虑碳纤维预制体的多尺度结构，只在单一尺度上进行数学建模。2 已有的多尺度模型仅利用了经典的扩散理论来处理。然而在反应发生到一定阶段时，经典模型会出现奇异性，其计算结果与实验相悖。而现有的模型为了避免这样的奇异性，采用了一些简单而缺少理论依据的解决方法。3 对三维问题的模拟尚还缺乏。而实际应用中，三维的c v i 过程模拟更具有价值。2 0 0 8 年第一章绪论中国科学技术大学硕士学位论文第3 页1 3 本文的选题依据，研究内容和基本方法1 3 本文的选题依据，研究内容和基本方法1 选题依据由前面所述，陶瓷基复合材料比传统的复合材料有显著的性能优势，但由于制备工艺复杂，制备周期长，于是数值模拟c v i 过程也就非常必要。而现有的模型都有一些数学理论上的不足，于是为了更好的得到数值模拟的结果，我们将修正以前的经典模型，消除它的一些缺陷使其具有理论支持。同时我们希望修正后的数值模型能够更好的监控整个化学反应状态。材料学家提出的一个观点是把材料的制备和服役结合在一起。也就是说，材料服役时出现脆弱部位有可能是在制备过程中产生的缺陷。如果能够在制备的过程中捕捉到制备缺陷的信息，在设计材料服役时可以采取有效的方法抑制这些缺陷带来的影响，从而增加材料的安全性，延长材料使用寿命。于是，我们希望能够找到一个有效的数值模型去模拟在c v i 过程中，碳纤维预制体内部结构。2 研究内容和基本方法首先我们对周期结构的预制体进行多尺度划分，建立微观的反应扩散模型。同时，我们对不同尺度的空隙结构进行建模。而后，利用均匀化理论f 1 2 1 我们得到宏观上的反应扩散模型，再结合孔隙度随时间演化的方程，我们得到了一个封闭的系统。通过理论分析和数值算例可见，修正后的多尺度模型很好的解决了经典模型中的奇异性问题，并且更加准确的模拟预制体在反应过程中的结构变化。我们利用渐进分析的思想 1 4 】，对我们的多尺度模型进行了收敛性分析，从而模型的正确性在理论上得到保证。对非周期结构的预制体，我们采用了h e t e r o g e n o u sm u l t i s c a l em e t h o d 思想进行建模 1 7 】。对于精确刻画材料制备过程预制体结构的变化，我们利用了对材料微观的反映扩散模型，结合l e v e ls e tf 1 8 1 方法，可以跟踪在c v i 过程中，固体沉积所导致的空隙的改变。对于l e v e ls e t 方程的初始，我们需要用到f a s ts w e e p i n gm e t h o df 1 9 1 。而求解微观的反应扩散方程，需要利用i i m 方法提出的六点差分格式 2 0 】1 4 本文的主要结果本文的章节主要作如下安排：1 第二章将简单的介绍陶瓷基复合材料的制备过程，经典的数值模拟方法及其缺陷，从而提出我们本文要解决的一个关键问题。2 0 0 8 年第一章绪论中国科学技术大学硕士学位论文第4 页1 4 本文的主要结果2 第三章将介绍本文提出的建模方法一多尺度建模。通过给出的算例，以及建模的理论分析可见新的模型克服了经典模型的一些缺陷。同时给出算例，以及模型的收敛性分析。在第五小节对非周期的结构提出建模，根据h m m 的理论，也得到相应的误差估计。3 第四章，我们将介绍本文数值建模的另一个重点，对于微观尺度进行多采样，与宏观结合的方式进行模拟。在这一章里，我们给出了具体算法。第二章经典的c v i 过程数值模拟从1 9 9 0 年开始，有许多计算化学家对这个生产陶瓷基复合材料的经典实验方法进行了数值模拟。下面我们将在这一章里简单的介绍一下陶瓷基复合材料c v i 过程，以及经典的数学模型。2 1 陶瓷基复合材料制备方法耐高温、低密度是航空航天材料的主要发展趋势，其对于降低结构重量和提高飞行器的结构效率、服役可靠性及延长寿命具有极为重要的作用 2 1 。在众多材料体系中，陶瓷基复合材料( c g c s ) 作为一类很有发展前途的新型超高温结构材料，以其优异的性能引起了国内外的极大关注，成为航空、航天高技术领域的制高点之一。在陶瓷基复合材料的基体选择上，主要是结合材料的熔点，弹性模量，晶体结构，挥发性，抗蠕变性和抗氧化性等因素综合考虑( 2 2 】。非氧化物硅基陶瓷是最有发展前途的一类超高温结构材料，其中碳化硅陶瓷具有极好的高温性能和高温抗氧化性能，成为陶瓷基复合材料基体材料的首选f 1 ，2 3 1 。连续纤维增韧碳化硅陶瓷基复合材料( c m c s i c ) 不但具有耐高温、低密度、高比模、高比强、抗氧化和抗烧蚀等碳化硅陶瓷材料的优异性能，而且克服了陶瓷材料脆性大和可靠性差的致命弱点，具有对裂纹不敏感、无灾难性损毁等特点，在航空航天和国防领域有着巨大的应用潜力，受到世界各国的高度重视2 1 1碳化硅陶瓷基( c s i c ) 复合材料的主要制备方法化学气相渗透法化学气相浸渗是一个极为复杂的过程，涉及到包括化学、热力学、动力学和晶体生长等多方面的内容。在c v i 过程中，反应物是以气体的形态存在，能渗入到预制体的内部并发生化学反应生成s i c 基体。c h 3 s i c l 3 ( m t s ) 是化学气相沉积s i c 时最常用的反应气体，其分子中s i 和c 的原子数相等，易于获得化学计量的s i c ，具有很宽的沉积温度范围。用c v i 法制备c m c s i c 时，由于整个过程都有气体参与，并且反应生成的中间产物繁多，沉积条件的细小变化往往会导致沉积产物组成和形态的显著差异，同时也直接影响复合材料的致密化过程。因此与其它方法相比，c v i 法在工艺上具有很强的经验性。c v i 的工艺主要有五种2 4 ，2 5 】：等温c v i ( i c v i ) 、热梯度c v i ( t c v i ) ，等温强制对流c v i 、热梯度强制对流c v i ( f c v i )和脉冲c v i ( p c v i ) 等，对应的气体输运模式及温度特征如图2 1 2 6 】。下面介绍比较52 0 0 8 年中国科学技术大学硕士学位论文第6 页第二章经典的c v i 过程数值模拟2 1 陶瓷基复合材料制备方法常用的三种制各方法 2 6 】：所示【2 4 ，2 5 】。1 等温c v i 过程( i c v i )裹勇( a ) l l h 钉m 缸c v l( b ) t h m n a lg r a d i 髓lc v i鞯雕精( c ) i s o t h e r m d f o r ef l o wc w i( d ) t h m n dg r a d i 舶t ，f 。托ef l o wc v i( e ) i m s e dc v !图2 1 ：c v ip r o c e s s是将纤维预制体放入温度均一且无明显强制气体流动的反应室，气态先驱体按一定比例进入反应室并主要通过扩散作用渗入到多孔纤维预制体内，在纤维表面发生化学反应并原位沉积；在生成s i c 固体产物的同时放出气体副产物，副产物从反应壁面上解附并借助于扩散传质进入主气流，随后排出沉积炉，从而完成整个c v i 过程。由于气态先驱体在预制体中的传质主要靠扩散作用，预制体表面的输运状态远好于内部，使得沿气体扩散方向上存在着一定的浓度梯度，导致在预制体入口处先驱体气体浓度高，沉积速率大于内部沉积速率。随着浸渗过程的进行，预制体表面的孔洞过早封闭而切断气体向预制体内部的传输通道，从而使复合材料产生密度梯度，影响沉积质量。为了防止表面的过度沉积，i c v i 法通常采用较低的制备温度和压力，因此致密化速度低，周期长。i c v i 虽然致密化速度低，但其工艺稳定，只要构件壁不太厚，可对任意复杂的构件进行致密化处理，并且可以一炉同时制各多个构件，并不失其经济性，因此目前商用c m c s i c 多采用i c v i 工艺。本文主要是针对这种c v i 过程进行模拟。2 热梯度c v i在热梯度c v i 中，反应气体仍然是靠气体的扩散作用进行物质传递，但使用了特定的加热和冷却手段，预制体上形成了显著的温度梯度。气态前驱体首先经过预制体的低温面，由于温度低，热力学条件不满足，反应气体还不能分解，达不到沉积的目的；当气体到达高温区附近时，由于温度较高，s i c 开始发生原位沉积。随着沉2 0 0 8 年中国科学技术大学硕士学位论文第7 页第二章经典的c v i 过程数值模拟2 1 陶瓷基复合材料制备方法积过程的进行，高温区逐渐被致密化，该区域的孔隙率逐渐减小，热导率也不断提高，致使原先温度较低的临近区域受热温度升高，因此沉积区逐渐由高温面向低温面移动，最终完成整个预制体的致密化。此法可以有效的防止预制体表面结皮，提高材料的密度均匀性。且由于高温面可采用沉积温度上限，沉积速率较快，整个致密化过程可在较短的过程中得到较高的密度。但由于存在较大的温度梯度，制件各部位形成的组织结构和微观形貌会有一定的差异，另外，热梯度c v i 适于形状简单的厚壁件的致密化，对制备复杂形状的构件有较大困难。3 等温强制对流c v i预制体内外温度相同，不存在温度梯度。由于采取了气体强制流动措施，气态先驱体向预制体内部进行质量传递的过程不但靠扩散作用，而且靠对流作用，预制体内部的气体输运状况好于i c v i 。但前驱体进入面气体浓度高于内部，当某些区域沉积基本充分后，仍会堵塞其它区域的气体通道，影响致密化的进一步进行。与i c v i 法相比，由于压力强制反应物气体流动，浸渗时间显著降低，生成率相对提高。此法特别适用于筒形件，对形状不规则制品采用适当的夹具后也有一定的适用性。2 1 2 孔隙演变模型最早的孔隙演变模型是单孔模型，即用特定长度的圆筒形孔表征预制体中的孔隙。在c v i 过程中，孔隙直径的变化是时间和位置坐标的函数。r f i t z e r 等人【2 7 1 首次用单孔模型和t h i e l e 数来对不同工艺条件下s i c 的浸渗深度进行了预测，并预测了达到均匀浸渗的最优工艺条件。v a n d e nb r e k e l 等人将单孔模型发展成为二维模型，并假设c v i 过程的化学反应为一级反应而且扩散以f i c k 扩散为主，但为了计算简便，将孔隙的半径视为不变，即其不是浸渗时间的函数。r o s s i g n o l 利用v a n d e nb r e k e l 的分析结果来评估t i c 在纤维预制体内沉积的i c v i 过程，发现用该模型所预测的致密化时间要比实验过程测得的实际致密化时间小一个量级。这说明单孔模型忽略了预制体在c v i 过程中复杂的孔隙演变规律，尽管有助于对c v i 过程中动力学和质量传输的理解，但是圆柱型孔和预制体的孔隙结构相差较大，预测结果与实验结果相差较大【2 8 】。r m o e n e 等人2 9 】提出了的圆柱孔隙连续模型，该模型考虑了孔隙几何尺寸的变化。通过与实验结果的对比表明，用该模型来描述s i c 浸渗的一级反应过程是较为有效的。另外，m o e n e 等人用沉积的动力学过程并不符合理想条件下的沉积动力2 0 0 8 年中国科学技术大学硕士学位论文第8 页第二章经典的c v i 过程数值模拟2 1 陶瓷基复合材料制备方法学理论来解释实验结果和模拟结果之间的误差。n h t a i 等人 7 ，3 0 ，3 1 1 建立了平行纤维模型，将预制体理想化为含有非交叉的圆筒形孔隙并且扩散反应仅在微小的孔隙中进行，如图2 2 所示。他们将由纤维束编织而成的预制体看成是由根根平行排列并且在预制体横截面上均匀分布的纤维所组成的整体，纤维间的距离由预制体的平均孔隙率来确定，反应气体通过纤维间的间隙向预制体内部浸渗。t a i 等人采用该模型对c m c s i c 的i c v i 过程和f c v i 过程进行了模拟，取得了较合理的结果。o oooo 护翟幽o qo qo qo qo qo go 33 吕33 3p f i b e r s3 吕吕吕吕吕g图2 2 ：平行纤维模型r p c u r r i e rf 3 3 ，3 4 1 提出了纤维束渗透过程中的随机重叠模型。在此模型中，当沿纤维束横截面观察时，纤维在空间是随机排布的，并且基体仅沿径向方向生长，这有助于理解纤维柬间的沉积。另外，对于含有大量纤维束的预制体来说，预测模型需加大。s m g u p t e 6 ，3 5 ，3 7 1 应用b e t h e n 络和渗透理论描述了预制体中的多孔结构，并考虑了预制体中的开孔孔隙、闭孔孔隙及已填充的孔隙。他采用了等温和非等温模型分别模拟计算了c v i 过程，认为非等温时充填效果好，并得到实验验证，他建议在实际生产中采用非等温c v i 工艺。姜开宇等人f 3 2 1 将预制体内部的纤维束间和碳布层间的孔隙抽象成单元上均匀分布的圆柱形孔隙( 图2 3 ) ，提出了孔隙模型并利用该模型来描述2 dc c 复合材料预制体致密化过程中的孔隙演变。t l s t a r r 等人f 1 1 ，3 8 ，3 9 1 对陶瓷基复合材料c v i过程的数值模拟进行了较为系统和深入的研究。s t a r t 在早期利用呈体对称分布的相互交错的圆柱来描述由随机组合的短纤维组成的预制体结构。他假设预制体内孔隙的尺寸呈对数正态分布并采用蒙特卡罗( m o n t e c a r l o ) 法建立了由平行纤维组成的2 0 u 8 芷中国科学技术大学硕士学位沧文第9 页第二童经典的c v l 过程数值模拟s 22 经典的1 0 订数值模型图23 孔隙模型结构模型。然而上述模型并不适用于c v i 工艺中常用的连续纤维预制体。图24 ：n o de _ b o n d 模型为了较好的描述这类预制体的结构，s t a r t 应用”结点一通道模型”( n o d e - b o n dm o d e l ) m 24 i r f f 2 d 纤维布叠层预制体进行了模拟计算。该模型中将预制体的几何特性、传输方程和反应动力学结合起来用以预测不同工艺条件下的致密化时间，预测结果与实验结果符台较好。在本文后面的建模中主要是用这一种孔隙结构模拟。2 2 经典的i c v i 数值模型在过去的二十年里，已经有许多关于c v i 过程建模的工作。这些模型的主要思想可以在 7 ，1 01 l ，2 5 4 0 等里看到。下面我们就简单的介绍一下经典的i c v i 模型。繁2 0 0 8 年中国科学技术大学硕士学位论文第1 0 页第二章经典的c 过程数值模拟2 2 经典a 寺i c v i 数值模型2 2 1c v i 模型我们假设在预制体内发生的是如下反应：m t s ( c h 3 s i c l 3 ( 。) ) 畎霉日2s i c ( 。) + 3 h c i ( u )( 2 叫1 浓度方程假设c v i 过程中，物质在预制体内的传输是准静态的，也就是面d c = 0 ，这里c 表示反应物的浓度( ( m o u m 3 ) ) ，在c v i 过程中c 即为m t s 的浓度。于是浓度方程可以写成：- v ( d 。i ：v c ) = r( 2 2 2 )方程里的眈，为m t s 的有效扩散系数，r 为反应项。由于我们假设气体发生的是一级表面反应，于是反应项可以写成r = 一k c & ，k 是一级表面反应速率常数( 仇s ) ，鼠是单位体积里的有效沉积面积( m 2 m 3 ) 2 扩散模型在经典的模型里，有效扩散系数是正比于孔隙度反比与预制体的一个结构参数一扭曲因子：d 。，= 三d( 2 2 3 )这里7 - = 竿，乃是初始的扭曲因子，o 是预制体初始的孔隙度。扩散系数d 是混合扩散系数，如下公式定义：寺= 赤- 4 - 壶协2 q一= 一一izz 吐jdd a bd x、。当扩散通道的平均直径大于分字平均自由程的时候，发生f i c k 扩散，扩散系数为d a b ( 仇2 s ) ，此时扩散主要是由于分子传输所引起的。这个系数可以由c h a p m a n -e n s k o g 定理来估计 1 3 】ok n u d s e n 扩散发生在扩散通道的直径比分子平均自由程要小的多的时候。k n u d s e n 扩散发生是由分子与扩散通道的壁面碰撞所引起的。在c v i 过程中，气体在纤维之间的小孔里主要发生k n u d s e n 扩散，而在纤维束的大孔之间主要发生的是f i c k 扩散。2 0 0 8 年中国科学技术大学硕士学位论文第l l 页第二章经典的c 过程数值模拟2 2 经典的i c 数值模型d k 是k n u d s e n _ j y 散系数可以由下面的公式计算出：d k = 亏2 ( 而8 r t ) 1 2 ( 2 2 5 )这里元是理想气体常数( j k m 0 1 ) ，t 是温度，m 是扩散气体的摩尔质量，n 是扩散通道的平均半径。在c v i 过程中的改变可以有下面的公式来估计：坠d t 叫等k c( 2 2 6 )2 一口了k u( 2 2 旬)q 是化学方程式( 2 2 1 ) 里s i c 与m t s i 拘系数比例。慨f c 是s i c 的摩尔质量( k g m 0 1 ) 3 孔隙度演化方程c v i 过程中的孔隙度局部演化方程可以写成：f 害i ! 鼠t 竺c 0( 2 2 7 )i= o=方程里p 是s i c 的密度( 蛞m 一3 ) 。如是预制体初始的孔隙度。鼠是单位体积内有效的表面沉积面积( m 2 m 3 ) 。通过计算孔隙度，整个c v i 过程可以的到监控。当孔隙度多足够小的时候，也就是沉积物将预制体内的孔隙基本填充完全时，c v i 过程结束。2 2 2关于经典n c v i 模型的讨论经典的c 模型是结合我们在前一节里提到的各种孔隙模型，通过建立一系列的方程，最后计算局部的孔隙度刻画c v i 过程中孔隙结构的变化，从而达到了跟踪c v i 过程发展的目的。然而我们下面将说明经典的c v i 数学模型中存在一些问题。首先我们应该注意到碳纤维的预制体具有多尺度的结构：纤维细丝之间的小孔尺寸要比纤维束之间大孔的尺寸小很多。在c v i 过程的初始阶段，化学反应主要是在小孔里面发生，也就是生成的s i c 沉淀主要是沉积在小孔的表面上。当小孔基本上封闭了，沉积会转移到大孔里。在这个时刻，大孔里几乎只发生f i c k 扩散，而且k n u d s e n 扩散系数d 0 。于是有公式( 2 2 4 ) ，我们可以推出d 0 ，也就是有效扩散系数d 。f ，0 。然而这个结果是与实际实验相悖的。整个c v i 过程往往会长达几百甚至上千小时，而初始阶段，也就是反应基本只发生在小孔的阶段，只有几十个小时。在初始阶段之后，反应气体在预制体内的扩散速率主要是由大孔的半径的大小来决定。由此，我们可知，有效扩散系数不应该2 0 0 8 年中国科学技术大学硕士学位论文第二章经典的c v 过程数值模拟第1 2 页2 3 本章小结在初始阶段就趋向于零，相反的，在初始阶段结束时，有效扩散系数不应有很大变化。为了避免这个矛盾，有些数值模拟里将公式( 2 2 6 ) 的n 取成为预制体内所有孔隙的平均半径，于是7 。不会在初始的阶段结束时减少为零。但是这样的处理方法，是缺少理论支持的。经典模型的另外一个问题是经典模型用了统一的一个孔隙度来跟踪c v i 过程。但是这个孔隙度却不能够区分反应的某个阶段大孔和小孔各自的封闭情况，也就是说经典模型不能够刻画小孔封闭，反应转向大孔的时刻。于是我们需要改进经典的模型，来避免经典模型中出现的这些问题。2 3 本章小结在这一章里我们介绍了陶瓷基复合材料的基本性质，应用以及制各陶瓷基复合材料的基本方法。在制备方法的比较中我们看到由于等温c v i 过程可以制得比较均匀的材料，所以这个制备方法得到了化学工业界的广泛使用。但是由于c v i 过程是由反应气体在预制体内均匀扩散来实现，这个过程往往需要经历比较长的时间，所以对于数值模拟这个过程的需要便自然产生了。在过去的二十年里，许多化学家做了这方面的工作。他们把预制体的内部结构简化成一些方便计算的孔隙结构。基于这些孔隙模型，根据质量守恒的原理，和一些实验经验，建立了数学模型。然而，在经典的c v i 的数学模型里存在着一些问题，使得模型与理论和实验有些偏差。在本论文后面的章节里，我们要介绍改进的c v i 数学模型来解决在经典模型中出现的一些问题。第三章修正的c v i 过程数学模型多尺度模型在这一章里，我们将用多尺度建模的思想来修正经典的c v i 数学模型。3 1均匀化问题提出：计算的对象具有微结构，计算的方程是建立在微观尺度上的，而计算的区域比微结构的尺度要大很多，此类问题为有尺度分离的问题。例如计算一块复合材料的导电性，由于材料内部结构是在微观尺度下体现的而计算的面积是为一个宏观尺度的量，这就产生了尺度的分离。对于尺度分离的问题，如果直接数值求解微观方程，一方面计算量会非常的大以至于在现在的计算水平往往无法实现，另一方面，有些时候我们并不非常关心微观上的变化，而是希望获得计算对象的一些宏观上的性质，例如复合材料的导电性。这个时候我们希望能够通过某些方法得到这个问题的等效宏观模型来实现我们的计算，以及对计算对象的一些性质的刻画。3 1 1h - 收敛 1 2 】为了简单起见，我们考虑标量形式的二阶椭圆方程。令- a i n 为n 阶实方阵构成的线性空间。对于正常数a ，p ，我们可以定义a 知的子空间a 毛，p坂p = a m ns u c ht h a ta 荨2q i 引2 ，a 一1 p i 引2 k r )( 3 1 1 )即 厶，p 中的元素是a i n 中那些满足强制性条件，并且其逆也满足强制性条件的元素。从螈，口的定义可以知道，对v a 地，8 满足q 2 敷9 - 1 2 ，k r n 。因此，集合a 瓦，p 不空当且仅当q p 1 。令q 为兄中的有界开集。考虑序列_ 小( z ) ) 。 o ，。o l 。o ( q ， 缸，p ) 。对于一个给定的源项( x ) h 一1 ( q ) ，我们考虑下面带d i r i c h l e t 边界条件的二阶椭圆问题：一v ( 岔( z ) v u e ( z ) ) = m ) ，i nq( 3 1 2 )【坎( z ) 20，o i l 挑2我们将方程3 1 2 写成弱形式：，a ( z ) v u 。( z ) v 咖( x ) d x = 日，础( q ) ，v 硪( q )( 3 1 3 )1 32 0 0 8 年中国科学技术大学硕士学位论文第三章修正的c v i 过程数学模型一多尺度模型第1 4 页3 1 均匀化 h - 1 日3 ( n ) 是日一1 与明( q ) 之间的对偶积。如果，l 2 ( q ) ，则 日，硪f n )可以写成通常的积分形式正2 ，( z ) ( z ) 如。由( 3 1 2 ) 和( 3 1 3 ) 可以得到存在唯一的弱解u 。硪( q ) 。令f l u x ( 7 e = a v u 。，由，定义3 1 1 可以知道如下的收敛关系：( 3 1 4 )那么u 和仃之间的关系是什么? 乱满足的方程是什么? 下面我们给出h - 收敛的定义。定义3 1 定义在厶o 。( q ，a 毛，口) 中的矩阵序列小在均匀化的意义下收敛，或者简称为皿收敛到一个均匀的极限( z ) l 。o ( q ， 缸，p ) 是指对任意的右端项，( z ) h 。( q ) ，序列魄是方程j v ( ( z ) v u e ( z ) ) = m ) i nq( 3 1 5 )l “。( z ) = 0o na q、7的解，并满足 羞二：毯篓器，其中让是下面均匀化方程的解一v ( 小( z ) v u ( z ) ) = m ) i nq( 3 1 7 )lu ( z ) = 00 7 2 锄、下面的这个定理保证了h 一收敛的定义是有意义的。定理3 2 对于l o o ( q ， 幺，p ) 的任何序列a 6 ( z ) ，存在予列，仍记为( z ) ，和一个均匀的矩阵a + ( z ) 己o o ( q ，地，口) 使得群p ) 皿收敛到这个定理的证明可以参见( 【1 2 】c h a p t e r l 3 1 】。下面一个定理说明h 一极限的唯一性。定理3 3 令小( z ) 和b ( z ) 为三o 。( q ，地，p ) 中的两个序列，分别皿收敛到岔和b 。钿为一个紧嵌入到q 的开区域，即ocq 。如果小( z ) = b ( z ) 在u 中，则= b +亘：础以mmqyylb ukaa ，一吖钍矿矿jj乃筹书2 0 0 8 年中国科学技术大学硕士学位论文第三章修正的c v i 过程数学模型一多尺度模型第1 5 页3 1 均匀化h 一收敛还保证了能量的收敛。如下面的定理所述：定理3 4 令岔( z ) 为l 。( q ， 纪，臼) 中的一个序列，皿收敛到a + 。对于任意给定的右端项，( z ) h 一1 ( q ) ，序列u 。是方程j v ( a 6 ( z ) v u 。( z ) ) = y ( x )i nql 乱e ( z ) = 0o na q的解。满足，a v u 。v u eja 4 v u v ui nd 7 ( q )上v u 。v u 。如_ 上v u v 乱其中札是陇在础( q ) 中的弱极限，即是均匀化方程的解。( 3 1 8 )( 3 1 9 )i v ( a 4 ( z ) v 乱( z ) ) = y ( z )i nf 2【u ( z ) = 0o na q我们给出了均匀化的定义，但是我们还不知道如何求出。一般来说，无法求出，但是对某些特殊的问题，我们可以显式的表达出。下面我们将介绍周期问题的均匀化。3 1 2周期问题的均匀化下面我们将利用二尺度的渐进展开来求出我们周期问题的均匀化矩阵。假设方程( 3 1 5 ) 的解u 。( z ) 可以形式上的展开成：+ 饥( z ) = e u i ( z ，詈)( 3 1 1 0 )i = 0其中每一项u ( z ，秒) 都是关于变量z ，可的函数，并且关于可是以y = ( 0 1 ) 为周期。于是我们可以重新定义微分算子：v u t ( x ，三) = ( v z u t + e 一1 v 掣) ( z ，詈)( 3 1 1 1 )通过我们重新定义的算子，由表达式( 3 1 1 0 ) 口- - - j 得：一e d i v y a v 可乱o 】( z ，)一e d i v 可a ( v z u o - i - v 可钆1 ) + d i v = a v ! ，咖】( z ，享)一e o d i v 工a ( v z 乱 + v v + 1 ) + d i v y a ( v 。缸件1 + v ! ，u 件2 ) 】( z ，- - ；)= y ( x )( 3 1 1 2 )2 0 0 8 年中国科学技术大学硕士学位论文第三章修正的c v i 过程数学模型一多尺度模型第1 6 页3 1 均匀化由于每个的系数都要等于0 。于是我们可以得到e 一2 ：d i v f ( a v 可仳o ( z ，y ) ) = 0u o ( z ，y ) = u ( x )一1 ：一d i v a ( v 可