（运筹学与控制论专业论文）抛物型方程的carleman不等式及其应用的研究综述.pdf

独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得 的研究成果据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方夕卜 论文中不包含 其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得东北师范大学或其他教 育机构的学位或证书而使用过的材料与我一同工作的同志对本研究所做的任 何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意 学位论文作者貔罐喘哗。1 4 冽 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解东北师范大学有关保留、使用学位论文的规定， 即s 东北师范大学有权保留并向国家有关部门或机构送交学位论文的复印件 和磁盘，允许论文被查阅和借阅本人授权东北师范大学可以将学位论文的全 部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其它复制手段 保存、汇编学位论文 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名：受堡盘指导教师签名： 日 规驰矽铲汨 学位论文 工作单位： 通讯地址： 饕 捧 ， 期：上啤川 7 日 摘要 本文是一篇关于抛物型方程和方程组的c a r l e m a n 估计及其在相关系统的能控性、强唯一延拓性等 问题研究中的应用的综述文章 近十多年来，由于c a r l e m a n 估计在发展方程( 如波方程、热方程、s c h r 6 d i n g e r 方程、n a v i e r - s t o k e s 方程等) 支配系统的能控性、强唯一延拓以及逆问题研究中所起的关键作用，已经引起了非线性发展方程、 分布参数系统控制理论与偏微分方程系统逆问题研究领域众多数学工作者的极大关注对干线性和半线 性发展方程( 组) ，在对偶原理和i - i u m ( h i l b e r tu n i q u em e t h o d ) 方法的框架下讨论能控性问题，首先建立 c a r l e m a n 估计，进而得到能观不等式已经成为一种经典模式，也是迄今为止最为有效的技术手段之一 本文主要介绍近十几年来抛物型方程c a r l e m a n 不等式的证明方法及其在能控性中的应用我们接 线性抛物方程，非线性抛物方程及方程组，非光滑边界条件的抛物方程，分别介绍它们的c a r l e m a n 不等式 的形式及其在能控性问题研究中的应用 关键词：c a r l e m a n 不等式，精确能控，零能控，抛物型方程 a b s t r a c t i nt h i ss u m m a r yw ei n t r o d u c et h ec a r l e m a ni n e q u a l i t yo f p a r a b o l i ce q u a t i o n sa n di t sa p p l i c a t i o n si n t h ec o n t r o l l a b i l i t y , s t r o n gu n i q u ec o n t i n u a t i o ne t c s i n c et h ec a r l e m a ni n e q u a l i t yp l a y sac r i t i c a lr o l ei nt h ec o n t r o l l a b i l i t y ，u n i q u ec o n t i n u a t i o na n dt h e i n v e r s ep r o b l e mo ft h ee v o l u t i o n a r ye q u a t i o n s ( s u c ha st h ew a v ee q u a t i o n ，t h eh e a te q u a t i o n ，s c h r t i d i n g e r e q u a t i o n ，n a v i e r - s t o k e se q u a t i o n s ) ，i nt h er e c e n td e c a d e ，i th a sa l r e a d ya t t r a c t e d t h ea t t e n t i o no fm a n y m a t h e m a t i c i a n s f o rt h el i n e a ra n ds e m i l i n e a re v o l u t i o n a r ye q u a t i o n s ，e s t a b l i s h i n gt h ec a r l e m a ni n e q u a l i t y a n dh e n c eo b t a i n i n gt h eo b s e r v a b i l i t yi n e q u a l i t yh a sb e e nac l a s s i c a lf a s h i o nt ot r e a tt h ec o n t r o l l a b i l i t y p r o b l e mu n d e rt h ef r a m e w o r ko ft h ed u a l i t yp r i n c i p l ea n dh u m ( h i l b e r tu n i q u em e t h o d ) m e t h o d i ti sa l s o o n eo ft h em o s tp o w e r f u lt e c h n i q u ei ni n v e s t i g a t i n gt h ec o n t r o l l a b i l i t yo ft h ee v o l u t i o n a r ye q u a t i o n s t h i sp a p e rm a i ni n t r o d u c et h ep r o o fo fc a r l e m a ni n e q u a l i t i e sa n di t sa p p l i c a t i o ni nc o n t r o l l a b i l i t yi n r e c e n td e c a d e s w eg i v et h ei n t r o d u c t i o no ft h ec a r l e m a ni n e q u a l i t i e sa n di t sa p p l i c a t i o n so nt h el i n e a r p a r a b o l i ce q u a t i o n ，t h es e m i l i n e a rp a r a b o l i ce q u a t i o n s ，t h ep a r a b o l i cs y s t e m se t c k e yw o r d s ：c a r l e m a ni n e q u a l i t y ，e x a c t l yc o n t r o l l a b l e ，n u l lc o n t r o l l a b l e ，p a r a b o l i ce q u a t i o n i i 目录 中文摘要i 英文摘要 目录i l 引言1 2 抛物方程的c a r l e m a n 不等式及证明4 3c a r l e m a n 不等式在线性抛物方程的能控性中的应用1 9 3 1 热方程的能控性1 9 3 2 线性抛物方程的能控性2 l 4c a r l e m a n 不等式在系数不光滑的抛物方程能控性中的应用2 6 5c a r l e m a n 不等式在抛物方程组能控性中的应用3 3 参考文献3 9 一冀 致谢4 l i i i 东北师范大学硕士学位论文 l 引言 这是一篇关于发展方程的c a r l e m a n 不等式及其在能控性中的应用的综述文章，主要介绍 近十几年来有关发展方程的c a r l e m a n 不等式的形式及其在能控中的应用的情况 白2 0 世纪5 0 年代末现代控制理论诞生以来，控制理论得到了飞速的发展，并在2 0 世纪 6 0 年代的航天领域中得到成功的应用能控性的概念首先是由r e 卡尔曼在1 9 6 0 年针对有 限维线性系统提出的，很快就成了现代控制理论中的一个基础性概念其后由y u v e g o r o v 推 广到分布参数系统。但两个系统有着本质的区别有限维系统可以由k a l m a n 条件来刻画，但 对于发展方程的能控性却没有这样的理论，俄罗斯数学家o y u i m a n u i l o v 在1 9 9 5 年的文章中 建立了线性抛物方程的c a r l e m a n 不等式，由它可以直接推导出逼近能控性所需要的唯一连续 性，也可以推导出能控性所需要的能观性估计 c a r l e m a n 估计最早是c a r l e m a n 本人于1 9 3 7 年给出的，它是一种全局由部分控制的一种类 型的估计正因为如此，在需要由部分信息推测整体信息的分布参数系统的能控性和偏微分 方程的反问题研究中，c a r l e m a n 不等式发挥出极强的威力现在人们通常建立的c a r l e m a n 不 等式本质上是一种加权的能量不等式，所以，c a r l e m a n 不等式可以看成是偏微分方程弱解的 加权的驴估计 由于c a r l e m a n 估计在发展方程( 如波方程、热方程、s c h r 3 d i n g e r 方程、n a v i e r - s t o k e s 方程 等) 支配系统的能控性、强唯一延拓以及逆问题研究中所起的关键作用，已经引起了非线性 发展方程、分布参数系统控制理论与偏微分方程系统逆问题研究领域众多数学工作者的极 大关注对于线性和半线性发展方程( 组) ，在对偶原理和h u m ( h i l b e r tu n i q u em e t h o d ) 方法的框 架下讨论能控性问题，首先建立c a r l e m a n 估计，进而得到能观不等式已经成为一种经典模式， 也是迄今为止最为有效的技术手段之一至此，关于线性抛物型偏微分方程的能控性问题得 到突破性进展，并且受到了广大数学工作者的广泛关注 作为控制中的一个重要分支，相对于集中参数系统的能控性问题。分布参数系统具有高 度复杂性以及所描述的物理现象更加复杂性的特点，对它们的研究一直是国际数学界所关注 的主要研究领域之一近年来，许多学者关于抛物型偏微分方程的精确能控性，近似能控性， 零能控，内部能控与边界能控性的研究取得了一系列的重要成果 c a r l e m a n 估计在能控性中有着广泛的应用，v b a r b u 在文献【1 9 】中对于线性抛物型方程和 非线性抛物方程应用c a r l e m a n 给出了能控性的有关结论文献1 1 3 中用c a r l e m a n 不等式证 明了关于光滑系数抛物方程的能控性，证明的思路是选择合适的权函数卢在文献【8 】中，作 东北师范大学硕士学位论文 者对待分段常系数的情况下引入非光滑权函数。应用c a r l e m a n 不等式解决了能控性的问题 法国人r o u s s e a u 在2 0 0 6 年文献h 8 中应用c a r l e m a n 不等式对于带b v 系数的一维线性抛物 方程砩- 1 - a a c a a 的能控性问题进行了研究同时，2 0 0 6 年a s s i ab e n a b d a l l a h 等在文献【2 2 中 对于带有间断系数的热方程的能控性应用c a r l e m a n 不等式进行了研究2 0 0 4 年a d o u b o v a ， e f e m z i n d e z - c a r a 和m g o n z 矗l e z b u r g o s 在文献【2 3 】中研究了带有非线性边界条件的经典零能 控性和近似能控性问题文献【2 3 】工作重要结果是当，是单调非减函数时关于能控性的结论 2 0 0 7 年s e r g i og u e r r e r o 在文献1 2 5 1 的工作中，建立了新的c a r l e m a n 不等式并且应用c a r l e m a n 不 等式证明了抛物线性方程组的能控性另外张旭在2 0 0 0 年在文献1 2 0 中通过c a r l e m a n 不等式 和常用的能量不等式得到了关于带时变和低阶项的线性波动方程的两个能观不等式 本文的目的是综述性地介绍抛物方程的c a r l e m a n 不等式及其在能控性中的应用，在文献 【1 9 】中对于下面的线性抛物方程进行了研究 y t ( x ，t ) 一y ( 工，t ) + 玖工，t ) v y ( 工，t ) + a ( x ，t ) y ( x ，f ) ， = m ( x ) u ( x ，t ) + f ( x ，f ) ，( x ，t ) q = q ( 0 ，丁) ， 口l 象( 工，f ) + a 2 y ( x ，f ) = 0 ， ( 工，f ) = a q ( o ，7 ) ， y(x，0)=yo(x)，xq 其中q 是舻中边界适当光滑的有界开集，m 是开集u q 的特征函数v 是砌的外法向 量，t 2 l 为大于等于0 的常数， 口2 c 1 ( ) ，口2 o ，口l + 口2 0 ， 并且 a l ”( q ) ，b c 1 ( q ：) ，f ( q ) f 是给定的函数，“l 2 ( q ) 为控制输入 通过伴随系统 ( 五r ) a ， ( 工，f ) ， 的c a r l e m a n 不等式不但可以得到能控性的结论，而且还可以得到的唯一延拓性的结论 本文安排如下；2 中的主要内容是介绍抛物方程的c a r l e m a n 不等式，给出其的主要结果 和证明方法，随后我们在3 中介绍了c a r l e m a n 不等式在热方程和线性抛物方程的能控性中 的应用以及关于能控性的结论，4 中介绍了c a r l e m a n 不等式在系数不光滑抛物方程的能控性 中的应用和关于能控性的结论，5 中介绍了c a r l e m a n 不等式在非线性抛物方程及线性抛物方 程的能控性中的应用以及关于能控性的结论鉴于发展方程的c a r l e m a n 不等式以及在能控性 的应用的研究结果比较丰富以及本文作者的能力所限，本文只是对该领域的已有结果部分地 2 帆= 0 p 仅眈吼麓锄 + j l 塑c 黾n 川m 烈 东北师范大学硕士学位论文 进行阐述与总结读者可以从本文的参考文献及文献中的参考文献中获得更多的信息总之， 该领域的研究具有重要的应用价值，并且仍有诸多问题尚待解决 3 东北师范大学硕士学位论文 2 抛物方程的c a r l e m a n 不等式及证明 本节的主要内容是给出抛物方程和抛物方程组的c a r l e m a n 不等式，出于一般性的考虑， 我们主要对v b a r b u 的主要工作，一般线性抛物方程的c a r l e m a n 不等式，即文献【1 9 】内容的证 明方法给出详细的介绍，而对于热方程和其它抛物型方程的c a r l e m a n 不等式只给出结论，使 大家对c a r l e m a n 估计有个大概的了解下面根据文献1 1 9 介绍关于下面形式方程的c a r l e m a n 不等式 考虑线性抛物方程 y t ( x 。t ) 一a y ( x ，f ) + b ( x ，t ) v y ( 工t ) + a ( x ，t ) y ( x ，f ) ， 2 7 工) “( 工，r ) + f ( x ，f ) ， ( 工，7 ) q = q ( o ，丁) ， ( 2 1 ) 口l 象( 工，r ) + a 2 y ( x ，r ) = 0 ， ( 工，f ) = m ( o ，丁) ， ) ，( 工，0 ) = y o ( x ) ，x q 其中q 是胪中边界足够光滑的有界开集。腕是开集叫q 的特征函数y 是砸的外法向 量，口1 为大于等于0 的常数， 口2 c 1 匹) ，口2 o ，口l + a 2 0 并且 口l ”( q ) ，b c 1 ( 虿；) ，f l 2 ( q ) f 是给定的函数，u l 2 ( q ) 为控制输入 系统( 2 1 ) 的伴随系统记为下式， ip t ( x ，f ) + a p + d i v j ( 易( 工，t ) p ( x ，f ) ) 一口( 工，) 烈工，r ) = g ， ( 工，f ) q ， l 口l 筹+ ( 口2 + 口1 6 v ) p = 0 ， ( 工力， 烈丁) f ( q ) 对于比( 2 1 ) 更一般形式的线性抛物方程的伴随系统记为( 2 1 ) ， ip f + a p + d i v j ( 助) + c v p a p = g ， ( 工，f ) q ， 。黎+ 。a ：+ 口。二v ，p ：。， 。石，。 ( 2 一y 山是q 的一个开子集，w o 是u 的开子集，并且丽c 叫 接下来我们给出在证明c a r l e m a n 不等式中非常重要的一个引理 引理2 1 【1 9 】存在沙c 2 ( f i ) 使得 4 东北师范大学硕士学位论文 o ( x ) 0 ，x q ， 砂= 0 ，工堰2 ，( 2 2 ) i v o ( x ) l 0 ，x = _ 蛐 引理的证明可以在参考文献 1 9 1 中查阅 对于满足的2 0 和满足函数( 2 1 ) 的砂，定义 ， 州j ) p 2 , 1 1 1 t o l l c f f i j似j ) 似五归丽彳舢j ) a ，认州) = 南以r ) a ( 2 3 ) 这里要求k 是大于等于1 的自然数，在这一节中我们选择k = 1 下面给出这文献1 1 9 的主要结果一一线性抛物方程的c a r l e m a n 不等式 定理2 11 1 9 设口r ( q ) ，b c 1 ( 百；彤) ，c c ( 百) ，则存在a o 0 和函数s o ( a ) ：矿_ 矿，使 得对于( 2 1 ) 7 的解p ，五a o 和s s o ( a ) ，下式成立 fp 2 跗( j 3 妒3 p 2 + s o l v p l 2 + ( 印) - 1 骈+ 恻2 ) ) d x d t j 口 、 a ( ，l ，s c r - 0 3 p 2 d x d t + 上e 2 s a 9 2 叫 亿4 ， 其中q 。= 甜x ( 0 ，7 ) ，瑚是一个不依赖与p 和s 的常数 c a r l e m a n 不等式的重要作用在于对于( 2 1 ) 的解p 在q 上加权的某种范数，被p 在瓯上 加权的某种范数控制住了特别的，由c a r l e m a n 不等式还可以得到唯一延拓定理，也就是说如 果在ux ( o ，丁) 内p = 0 ，我们能得到在整个区域p 兰0 由于c a r l e m a n 不等式在能控性中起的重要作用，我们将根据文献1 1 9 1 给出不等式的详细 证明过程 证明：设z = 严p 易知z 满足边界条件， 玉+ + ( a 2 产矿l v 砂1 2 2 2 印i v 砂1 2 ) z 一( 2 s , t o v 砂一b c ) v z 一0 一咖b + 豇沁怕+ 力v 砂+ 观+ 删砂k = 秽舳，( 五d q ，( 2 5 ) 口- 嘉+ ( 口2 + f f l _ 口l 嘶筹) z = o ， ( 州， z ( x ，0 ) = z ( x ，r ) = 0 ， j q 不失一般性，假设z h 2 , 1 ( q ) 则得 x ( o z = 一2 ( s 2 2 妒i v 砂1 2 z + s 1 1 9 0 v z v 砂) b ( t ) z = 一a z 一( 五2 5 2 妒2 l v 砂1 2 + s 2 2 妒i v 沙1 2 ) z + $ o r r z ， s 东北师范大学硕士学位论文 则( 2 5 ) 可以记做 其中 z ，+ x ( t ) z b ( t ) z = p ”g + z ( t ) z ， ( 五t ) q ， z ( t ) z = 一( 一j 如沙+ d i vb s , t o ( b + c ) v 砂一a ) z 一( 易+ c ) v z 故通过分部积分及边界条件可以得到 其中 注意到 2 上c 蛾c 州，) 2 d 矗m 上c 即国( x , t ) ( z ( t ) z + e s a g 黼脚铊y 一f o 0v 工p , o = q 蛐，c o oc c 叫， ( 2 2 1 ) 东北师范大学硕士学位论文 故由( 2 2 1 ) 得到 ，桫j 厂q o 妒3 2 2 拗矧爷2j 厂q o 删2 拗 c ( j ：q9 2 e 2 s a 拗彬a 2 y ( a ) + s 3 3 3 ) f o 形d 砌州小v 矛拗) ， 其中q o = x ( o ，7 ) 因此存在a o o , s o = s o ( a ) ，使得对于l a o 和j s o ( a ) 有 f ( ，i 4 妒3 孑+ s , 1 2 i ，o l v z l 2 ) d x d t j q o c l c ，1 4 - 0 3 孑+ 洲呀删h j：q9 2 e 2 s a 拗 所以 正( 鲋形+ 幽嘞拗 a 丘c ，1 4 妒3 2 2 + 泖矛脚+ 肛2 舳拗 对于考虑p 的情形下 j 尹”( ， 4 妒3 p 2 + s 3 2 妒l s ，p p v 砂+ v p l 2 ) d x d t j q 蚂( l 矿喇桫加小却p v t k + v p l 2 ) 拗+ o f f a9 2 e 2 s 。叫 对于所有6 ( o ，1 ) ，有 2 s 2 3 3f 产妒3 p w , v p d x d t j q 一扩1s 3 a 4 卜2 船妒3 脚1 2 p 2 d x d t 一6 s a 2 厂产妒i v 川2 d 础 口dq 当旷1 v 别巳- ) 0 ，8 0 = s o ( a ) 和c = c a ，p = 砌， 使得对于，l 知，5 s s o ( a ) 对于方程的f 2 2 5 ) 所有解p ，下面的不等式成立 肛棚邮c ( 厶e 2 s a l p 3 p 2 揪+ 正9 2 抛) 注2 1c a r e l e m a n 不等式中的常数a 仅仅依赖l a l 。，i d i vb l 。和例。，事实上，如果 a i j w 兰( q ) b l o o ( o ，t ；l ( q ) ) r 2 n 并且对于0 0 ，我们考虑下面形式的线性抛物方程 iy t ( x ，f ) 一a y ( x ，f ) + a y = v l 埘，( 工，f ) q ( o ，7 ) ， y = 0 ， ( 工，f ) 0 t ) ( o ，丁) ， ( 2 2 8 ) 【y ( 五o ) = y o ( x ) ， 工q 其中是q 的子集令q = q ( o ，r ) ，= 0 1 2 ( 0 ，r ) ，我们引进下面的伴随系统 朦? 一0 篓呈 1 3 ( 2 2 9 ) 东北师范大学硕士学位论文 厂矿_ f ) r 1 2 倒2 砌 + f f o p - 2 s t - ( t - t ) - 1 l v 训2 蚴+ j 3f 上p - 2 s t - 3 ( t _ 0 - 3 妒捌r c 2 3 。， c 驴佃阳呦。j r l 咄，- 3 ( ) - 3 吲2 砌) 其中c 仅依赖于q ，似并且s 1 具有下面的形式 c = r r ，f o ，j j 、r 丁- 4 - 丁2 、 矿1 是仅依赖于q ，u 的正常数，并且 z = i q c 2 ( 西) ：9 = o ，( 五f ) 接下来我们介绍j pr a y m o n d 和m v a n n i n a t h a n 在文献11 6 中关于下面形式方程的c a r - l e m a n 不等式，并对证明给予简单的介绍 设。是r 2 中的简单连通区域并且带有规则边界l ，s 是 中的简单连通区域并且s 带有 规则边界l 假设可c ，q = o 可因此f = f euf i 是q 的边界，f = l1 3n = 0 我们假设n 是r 边界的单位外法向量 考虑下面的系统 妒一妒= 厂，( 工，f ) a ， 驴= 0 ， ( x ，t ) z e ? ，：、厂。：j 二墨 ( 2 3 1 ) ( o ) = 妒”，x q ， 、 r ，+ r = 一ea 一妒n ， f ( o ，丁) ， 厂( o ) = r o ，r ，( 0 ) = r 1 我们假设q = qx ( 0 ，丁) ，t o ，i ex ( o ，7 ) ，f ix ( o ，丁) ，并且= fx ( 0 ，7 ) 在给出对于系统 ( 2 3 1 ) 的c a r l e m a n 不等式之前，我们先介绍下面的引理 引理2 2f 1 6 】假设qcr 2 是非空有界开集，w o 和u 是q 中的开子集，并且满足山oc c 山c c q 则存在函数r c 4 ( ) 和正常数c l 和c r i 使得 r j j 野( x ) 0 ，工( q ) f 2 jr t ( x ) = c r , ，o n r 0 ，工l 口j 巧( 曲= c r ；，o n r = 一1 , a r ( x ) = 0 ，工f i ) i v 叩( x ) l 0 ，x 西- 1 4 东北师范大学硕士学位论文 对于足够大的参数l 1 ，我们引进下面的函数 口( 工) = e a 眉l p 却( j ) ，工五 其中k 1 是大于0 的正常数，并且k l 嬲k 孬i 叩( 工) l ，设 肌r ) _ 孝，p ( x , t ) = 秒) ( 2 3 2 ) 其中k 是大于等于2 的常数因为叩在l 和r f 上等于常数，所以函数卢和p 在l 和r f 上也等 于常数设p r ，( f ) = 烈，t ) l r , ，对于足够大的参数s 1 ，定义下面的函数 五( z ，f ) = p 一5 ( 工，t ) f ( x ，f ) ，妒 0 和正常数c = c ( f 2 。，c ) 对于s2s 2 ，l 五2 和所有的 q n 使得下面的不等式成立 s 五2f f q e - 2 m 妒i 巩训2 d 砌+ ，五4f f q e - 2 m 妒3 酽拗 c 洲r r m 。e - 2 s r l 妒酽拗+ f f qe -2mtaj j ( o jj 附拗 7 l o + 烈2f f q e - 2 气a 2 n1 2 如出 同时还可以得到对于下面的系统的弱解q ，上述形式的c a r l e m a n 不等式仍然成立 f：otqi，+乌o：(c口orx。q力)，=。甙f,。，曲：卯。力，圣薹q 接下来我们介绍a s s i ab e n a b d a l l a h ，y v e sd e r m e n j i a n 和j r 6 m el er o u s s e a u 在文献【2 4 】对于 带间断系数的一维热方程的c a r l e m a n 不等式，考虑下面形式的算子a = 0 1 ( c 0 ，) l 2 ( q ) ，在一维 的情况下，令q = ( 0 ，1 ) cr 假设口，beq ，口 0 ，s 1 = ( 丁+ t 2 ) 矿1 ( q ，山) 0 和 常数c = c ( q ，u ) ，使得对于所有的s s t , a , t l ，q k ，有下面的不等式成立 i i m l ( e - m q ) l l i 2 ( q ，) + i i m 2 ( e - m q ) 1 1 2 2 ( q ，) + j r 正e - 2 s r - a i o t q l 2 d x d t + s 3 j r 上e - 2 s t l 妒3 岍q d x d t c 2 川， 0 可以有 c ( 。，y ；) p 印( c ( - + ；+ ( g 二学) 2 ) ) i l y ，： 叫三h 2 拗+ 圭j ! ：如肭 u 6 = m p ，a e ( 五f ) q ， 其中p 。是反馈方程的解，可以得到 l j ：删m 刚s c p ：a x a 籼： 则通过c a r e l e m a n 不等式( 2 4 ) 有 ij ! ：f 船抛( 上州虞叫5 ( 上帕叫5 2 1 东北师范大学硕士学位论文 c ( 厶 3 p ；拗胁忆： 所以可以得到 廖捌r + 圭肪2 灯胁c ( 呐i ；+ i i f o l i ；：) ，刚 令s 一0 ，则一矿，故可以得到下面的结论 定理3 31 1 9 】设q 是彤中的有界开集，并且m c 2 , a l 0 。( q ) ，b c l ( q ：彤) 设v o l 2 ( q ) ， 且满足 i f ( x ，t ) l i f o ( x ，t ) l e s a ( x , t ) 妒1 3 ( x ，f ) ，口p ( 工，r ) a 其中s i 如定理2 j 中的s s o ( , o ， 勘则对于所有的y o l 2 ( q ) ，存在h l 2 ( q ) ，使得 ) ，l i ( 五丁) 三0 ，并且 i l u l i l z ( q ) c ( 陟o h + i i f o l i l ：( q ) ) 其中) ，l l c ( 【0 ，刀；l 2 ( q ) ) nl 2 ( o ，丁；h 1 ( q ) ) 是方程陀j j 的解，且c = c ( 1 l a l l o 。，i v b l l 。) 特别的，通过定理3 3 ，关于方程( 2 1 ) 的稳定解的精确零能控可以得到下面的推论 推论3 11 1 9 1 在定理3 3 的条件下，设髓a ，f 是不依赖，的量，设y e 是方程r 2 j j 的解，则对 于每一个y o ( q ) ，存在“l 2 ( q ) ，使得少( 丁) 三r e 令歹= y y e ，应用定理3 3 易知萝满足方程( 2 1 ) 其中初值歹= y y ， 注意到定理3 3 同样说明了边界控制系统的边界精确能控性问题 y t ( x ，t ) 一a y ( x ，f ) + b ( x ，t ) v y ( 五t ) + a ( x ，t ) = f ( x ，f ) ，( 五t ) a ， 口l 象+ a 2 y = h ， ( 工，r ) f l ( o ，丁) = l ， o 1 嘉+ a 1 2 y = 0 ， ( 工，f ) f 2 ( o ，丁) = 7 - , 2 ， ) ，( 五0 ) = ) ，o ( 曲 其中勰= f lu r 2 ，一f in f 2 = o 推论3 2 【1 9 】假设在定理i 3 的条件下，对于每一个y o 1 ( q ) ，则存在u l 2 ( 1 ) 和y c ( 【o ，7 _ 】；h 1 ( q ) ) n 己2 ( o ，丁；h 2 ( q ) ) ，使得y t l 2 ( q ) m 满足上述方程，并且) ，( 丁) = 0 回到定理3 3 ，发现通过c a r n l e m a n 不等式可以得到比定理3 3 更清晰地关于能控性的结 设 e a * 一p 2 a l l o l l o f i l 2 而葛矿丙j ( f 十) ( 丁+ s f ) 东北师范大学硕士学位论文 其中是足够小的正数考虑最优控制问题 肭正p 屯v 3 粕谢3 正p - 2 溉护捌r 设魄，u ) 是最优对则通过p o n t r i a h g i n 最大值原理，可以有 u s = m e 2 m 妒3 m ，口e ( 五r ) q 其中p 。是下面方程的解 【p s ) r + p s + d i v ( b p s ) 一a p s = ，) k p 2 5 ， ( 五f ) q ， 口l 孥+ ( 口2 + b v ) p e = h ， ( 五f ) ， pt(t)=0xq 令s 一0 ，则有 u 8 一u ，( 工，r ) l 2 ( q ) ， ) k y ， ( 五f ) l 2 ( q ) 则( ) ，“) 满足系统( 2 1 ) ，故得到下面的定理 定理3 4d 9 假设在定理3 3 的条件下，存在u l 2 ( q ) ，和y c ( 【o ，刀；弘( q ) ) nl 2 ( o ，t ；h 1 ( q ) ) ， y 满足方程但j j 并且使得 正p - 2 船妒- 3 “2 d x d t + s 3 上e - 2 s a y 2 d x d t c 上e - 2 s u o - 3 f 2 d x d t ： 下面我们讨论方程( 2 1 ) 带有控制器“l 。的精确零能控问题 定理3 5 1 9 1 设f = f e 2 m 矿，y o l 1 ( q ) a ”( q ) 和b c 1 ( 虿；彤) 则存在知