（计算数学专业论文）基于montecarlo计算的高能物理数值模拟系统shield的改造及其应用.pdf

2 0 0 6 年上海大学硕士学位论文 摘要 计算机的发展开创了航天事业的新局面，如何解决恶劣的空间辐射环境中的 抗辐射问题是航天事业发展面i 临i 均一个重要课题。抗辐射计算机模拟是解决空间 辐射问题的一个重要组成部分，模拟程序的有效与否直接关系着抗辐射模拟数据 的有效与否。因此，一个有效的数值模拟程序是我们解决空间辐射问题的重要基 础。本文主要工作在于对s h i e l d 输运程序进行改造，使其更有效地进行模拟。 我们的任务是用s h i e l d 程序对复杂卫星模型进行辐射模拟，但我们发现该 程序无法实现这个模拟过程，所以基于这个实际问题，本文主要是针对s h i e l d 程 序的不足之处进行讨论分析并解决这些问题。 本文首先介绍了s h i e l d 程序的功能及其不足之处，例如：几何模块构建过 于简单，不能模拟带电粒子能谱入射的情况，没有给出模拟累积误差计算，对一 些特殊粒子运动处理存在问题等。然后，本文阐述了对s h i e l d 程序进行改 造的理论基础，包括二次曲面的基本理论和空间坐标变换等，并且说明如何运用 这些理论基础实现s h i e l d 程序的改造；本文还对s h i e l d 程序中存在的一些问 题进行讨论和修改，而且增加了几个新的功能，如：能谱入射、误差计算等，以此 来完善改造后的s h i e l d 程序。同时，本文还介绍了一些有关粒子输运问题中的 m o n t e c a r l o 方法。最后，我们给出了用改造后的s h i e l d 程序对复杂卫星模型进 行能谱入射模拟的模拟结果，并对这个模拟结果进行分析说明。 本文的主要贡献在于改造s h i e l d 程序，拓展该程序的模拟范围，使其更高 效地运行并提供更有效的模拟数据。 关键词s h i e l d 改造，几何模块，m o n t e c a r l o 方法，二次曲面，坐标变换 辐射模拟 2 0 0 6 年上海大学硕士学位论文 i i s u m m a r y w i t ht h ed e v e l o p m e n to fc o m p u t e rs c i e n c e ，t h es p a c e f l i g h tt e c h n o l o g yg e t san e w l e v e l b u ta ni m p o r t a n tt a s ki st os o l v et h ea n t i r a d i a t i o np r o b l e mi nas e r i o u sr a d i a t e s p a c e c o m p u t a t i o n a la n t i r a d i a t i o ns i m u l a t i o ni sa i m p o r t a n tp a r to ft h a t t h eq u a l i t y o fae m u l a t i o np r o g r a me f f e c ti t sv a l i d i t yd i r e c t l y s ow er m e da ne f f i c i e n tp r o g r a m ，i ti st h e b a s i ci s s u et os o l v et h a tp r o b l e m t h em a i nt a s kf o rt h i st h e s i si st or e b u i l dt h es h i e l d p r o g r a m 】an u m e r i c a ls i m u l a t i o ns y s t e mo fh i g h e n e r g yp h y s i c s ，s oi t c a nb eu s e dm o r e e f f i c i e n t l y w ew a n t e dt oc r e a t ear e p l i c ao fac o m p l i c a t e da r t i f i c i a ls a t e l l i t es i m u l a t i o nw i t h s h i e l d ，b u tw ef o u n dt h a tt h ep r o g r a mc a n td ot h i s i no r d e rt os o l v ei t ，w ea n a l y z e d s o n i cs h o r t a g e so fs h i e l da n dc o r r e c t e dt h e s eb u g si nt h i sp a p e r i n t h i sa r t i c l e 、w ef i r s ti n t r o d u c e dt h ef u n c t i o n so fs h i e l da n di t ss h o r t a g e s ：f o r e x a m p l e s h i e l d sg e o m e t r ym o d u l ei st o os i m p l e ；t h ep r o g r a mc a n tr e p l i c a t eap a r t i c l e w i t he n e r g ys p e c t r a ；t h ep r o g r a md i d n tg i v et h ec u m u l a t ee r r o r sf o rt h ew h o l ee o m p u - r a t i o n a ls y s t e m ；t h e r e ss o n mm i s t a k e si nt h ep r o g r a mw h e ni tc o m e st od e a l i n gw i t h s e i n ep a r t i c u l a rm o v e m e n t so fp a r t i c l e s a f t e rt h a t ，t op e r f e c tt h en e wp r o g r a m ：w e e x p o u n d e dt l mb a s i ct h e o r yt h a tw eu s e dt or e b u i l ds h i e l d ，i n c l u d i n gt h eb a s i ct h e e - t i e so fe o n i c o i da n dc o o r d i n a t et r a n s f o r m a t i o ne t c ，a n dw ee x p l a i n e dh o wt or e b u i l dt h e p r o g r a mw i t ht h e s et h e o r i e s w ea n a l y z e da n dc o r r e c t e dt h eb u g sw ef o u n d ，a n dw ea l s o a d d e ds o m en e wf u n c t i o n si nt h ep r o g r a mi n c l u d i n gi n c i d e n c ew i t he n e r g ys p e c t laa n d c a c u l a t i o no fac u m u l a t e de r r o r 一m e a n w h i l e ，r ei n t r o d u c e dt h et h e o r i e so fm o n t e - c a r o m e t h o d sf o rt h ep a r t i c l e s m o v e m e n t i nt h ee n d ，w eu s e dt h en e ws h i e l dp r o g r a mt o e m u l a t eac o m p l i c a t e da r t i f i c i a ls a t e l l i t em o d e l ，a n da n a l y z e di t sr e s u l t t h em a i nc o n t r i b u t i o n so ft h i sa r t i c l ei n c l u d et h ea l t e r a t i o no fs h i e l d ，e x t e n d i n g t h es i n m l a t i o nr a n g eo fs h i e l d jm a k i n gt h ep r o g r a mm o r ee f f i c i e n ta n do f f e r i n gam o r e 2 0 0 6 年上海大学硕士学位论文 i i i u s e f u lr e s u l t k e yw o r d st h ea l t e r a t i o no fs h i e l d ：g e o m e t r ym o d u l e ，m o n t e c a a i om e t h o d c o n i c o i d ，c o o r d i n a t et r a a l s f o r m a t i o n a n t i r a d i a t i o ns i m u l a t i o n 原创性声明 本人声明：所呈交的论文是本人在导师指导下进行的研 究工作。除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包 含其他人已发表或撰写过的研究成果。参与同一工作的其他同 志对本研究所做的人和贡献均已在论文中作了明确的说明并 表示了谢意。 签名：日期 本论文使用授权说明 本人完全了解上海大学有关保留、使用学位论文的规定， 即：学校有权保留论文及送交论文复印件，允许论文被查阅和 借阅；学校可以公布论文的全部或部分内容。 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 签名： 导师签名：污匹专 日期：动。f z 3 2 0 0 6 年上海大学硕士学位论文 第一章绪言 随着科技的发展，飞翔于太空已不再是天方夜谭，2 0 0 3 年中国“神州5 号” 飞船成功地实现了中国首次载人航天飞行，这是我国航天事业史上一个光荣的里 程碑；美国的探测器已经两次成功地登陆火星这些都标志着人类已经具有 相当的能力与知识去探索太空，世界各国也都投入了大量的人力、物力以及资金 来发展国家的航天事业，航天科技的发达与否已经成为一个国家综合国力强弱的 重要标志。在我国，航天科技也成为提高国家综合国力的重要组成部分。 但在发展航天事业的同时，一个严峻的问题摆在我们面前，那就是恶劣的空 间辐射环境我们知道，在宇宙空间中充满了能量很高的宇宙射线、辐射带粒子 和等离子体，以及从无线电波到7 射线的各种频率的电磁辐射，它们是自然和人 工造成的辐射环境。轨道空间还有运动极快的流星体和随着人类空间活动增加而 逐渐累积的遗弃在空间的人工“垃圾”如此恶劣的空间辐射环境严重影响 了卫星的有效运行及其寿命，一个典型的例子就是：在我国，“风云一号”在发 射后就出现故障与地面控制台失去联系。因为空间辐射环境是引发卫星故障的重 要原因之一，所以必须发展一种有效的辐射防护技术以确保卫星的生存和可靠运 行。抗辐射加固技术就是为了使卫星能在复杂的空间环境下正常工作而采取的一 种辐射防护技术，是关系卫星在轨生存能力，取保卫星高可靠、长寿命的关键基 础技术【”，但由于技术、人力、物力以及资金的限制，我们不可能进行大量的科 学试验来获得电子器件抗辐射实验的数据，因此，我们只能依靠计算机模拟来获 得数据。 计算机技术的飞快发展使得原本无法实现或很难实现的科学试验能在计算机 的模拟下实现。在众多抗辐射模拟程序中，s h i e l d 是运用最广泛的程序之一。 s h i e l d 输运程序是模拟高能粒子和复杂宏观靶的相互作用的一个工具。此程 序的最初版本是1 9 7 0 7 2 年由n s o b o l e x r s k y 在j i n r ( d u b n a ) 研究出来的。s h i e l d 2 0 0 6 年上海大学硕士学位论文 2 程序的现代版本( 看参考文献 1 4 和相关参考) 允许模拟核子( 包括低能中子) 、 ”介子、一介子、反核子和p 子在能量上限达1 t e v 的输运，它不但可以计算出物 质的电离能损和非电离能量损失，还可以计算介子衰变模式。 s h i e l d 程序在它的模拟实现过程中完整地存储了强子的级联辐射树。强子 级联辐射模拟结束后，级联树作为结果在物理信息上毫无损失地安置起来，以用 于接下来的过程。 在s h i e l d 程序产生后的3 0 多年的历程中，它已经被成功地用于解决大量的 问题，涉及的领域有： ( 1 ) 质子束辐照下重靶的散裂过程的研究； ( 2 ) 在高能物理上，模拟深地物理、卫星测量的试验装备； ( 3 ) 研究材料的辐照损伤； ( 4 ) 辐射防护和环境。 当前的软件允许模拟： ( 1 ) 在延伸宏观靶中强子的级联辐射( 用总的s h i e l d 程序) ； ( 2 ) 非弹性强子一核子相互作用( 作为s h i e l d 程序中的一部分，用h a 一相互 作用的m s d m g e b e r a t o r ) 。 我们所考虑的是在延伸宏观靶中强子的级联辐射，即s h i e l d 总程序。 在模拟强子在延伸宏观靶中的级联辐射时，使用者需要连接下面的2 3 个模块 来执行s h i e l d 模块( s h i e l d 程序) ： s h i e l d + g e n t r e e + r a n g e + m e d i u m + m i c r o d + 1 9 e c a y l + i n s p a r 十c a s e v p + 0 矿t p 矿t + e l s c a t + g e m c a + l o e n t 2 8 + l n d a t a 2 8 + g e n a g t + g q a a r + g q a m n + g q s t n + p r e c o + d e e x + q g s m n i + q g s m n 2 + r a n l u x + c o a l e s 使用者需要准备5 个输入文件： a t a bd a t ，t a b n u c d a t ，f o r 2 3d a t ( 输入文件) ，p a s i n d a t ( 几何文件) ，f o r 2 2 d a t ( 材料文件) ，来开始这个模 块的执行。 根据自己的要求来定义入射粒子的空问位置、入射角度、入射粒子的能量的 分布，使用者可以改动文件i n s p a r p 中的子程序i n s p a r 的相关变量值来实现。 2 0 0 6 年上海大学硕士学位论文 3 我们所要模拟的是能量按能谱分布的质子入射复杂卫星模型，但我们发现 s h i e l d 无法实现这个模拟，因为s h i e l d 只能对单能带电粒子入射简单几何体进 行模拟，它不能实现带电粒子能谱入射，也不能对诸如卫星那样的复杂模型进行 模拟计算。显然，原本的s h i e l d 程序不能满足我们的要求，所以针对这些问题， 我们对s h i e l d 程序做了相应的改造。本文主要介绍了s h i e l d 程序的几何体的 构造方法的改换，几何模块的改造以及其他诸多扩充功能的实现，并给出了改造 后的软件包实施于能量按能谱分布的质子入射复杂几何模型的模拟结果。 2 0 0 6 年上海大学硕士学位论文 4 第二章s h i e l d 程序软件包的改造 7 s h i e l d 的原几何模块g e m c a 是以9 种基本几何体为基础【1 8 ) ，用这9 种基 本几何体来构建它的几何模型，这9 种基本几何体是： ( 图2 1 球一s p h )( 围2 2 棱柱一一w e dj 图2 1 所表示的是一个球形的几何体。它以( p 1 ，p 2 ，p 3 ) 作为球的中心坐标，以 p 4 作为球体半径。 图2 2 所表示的是底面为三角形、侧棱垂直于底面的三棱柱。( p l ，p 2 ：局) 是底 边的一个顶点坐标，然后作由该顶点出发的垂直于底面的侧棱矢量( p 4 ：p 5 ，p 6 ) ， 最后再作由该顶点出发的底面矢量( p 7 ，p 8 ，p 。) 和( p l o ，p 1 l ，p 1 2 ) 。 y 4 87 3 p 4 2 0 0 6 年上海大学硕士学位论文 5 来描述几何体，点的次序不重要。我们在描述该几何体时，只要给出该几何体的 各个顶点坐标。 图2 4 所表示的是一个直角平行六面体。该六面体的边界都平行于坐标轴。 p 1 和p 2 对应的是最小和最大的x 轴坐标，p 3 和r 对应的是最小和最大的y 轴 坐标，岛和p 6 对应的是最小和最大的z 轴坐标。 p 7 ，8 ， p 1 ，2 ，3p 4 ，5 ，6 ( 图2 5 平行六面体一一b o x ) ( 图2 8 直角圃柱一一r c c ) 图2 5 所表示的是一个任意取向的平行六面体。给定该六面体的一个顶点坐 标( p 1 ：p 2 ，p 3 ) ，然后依次给出由该顶点出发的三条边棱的向量。 图2 6 所表示的是一个底面为圆、侧面垂直于底面的圆柱。( p 1 ，恳，p 3 ) 是底 面的圆心坐标，( p 4 ，p 5 ，p 6 ) 是由该圆心坐标出发的高度矢量，p 7 表示底面圆的半 径。 p 7 8 ，9 p i o ，1 1 ，1 2 ( 图2 7 二圆柱一r e c ) ( 囤2 , 8 圆台一一t r c 】 图2 7 所表示的是一个底面为椭圆、侧面垂直于底面的柱状体。 ( p l ，p 2 ：p 3 ) 是底面的中心坐标，( p 4 ，p 5 ，p 6 ) 是由该中心坐标出发的高度矢量， ( p 7 ，p 8 ，p 9 ) 和 ( n o p 】，马。) 是由底面中心坐标出发的底面半轴矢量。 图2 8 所表示的是一个圆台。( 马，岛，p 3 ) 是下底面的圆心坐标，( p 4 p 5 ，p 6 ) 是 p 1 0 ，1 1 ，1 2 ( 围2 9 旋转椭球一一e l l ) p 7 ，8 ，9 。，2 g 所表示的是一个椭球- ( o ，昂，尼) 是中心坐标，( 局，尼，r ) 、( p 7 ，p 8 ，玛) 和( p 1 0 ，p 1 - ，p 1 2 ) 是由中心坐标出发的半轴矢量。 例如我们要描述下图所示的几何模型： z 囝2 l o 两个上下相叠的立方体 那么原s h i e l d 程序几何模块的描述文件如下： o o t r a c i n go fb o d i e s ；f t r u n c a t e ( c o n er p p r p p1 1 _ 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 2 3 2 1 3 3 2 i u p p2 l ，01 10 1 01 10 1 0 3 212 3 2 r p p3 0 0 5 0 ，0 0 ：05 0 0 0 0 5 0 0 o t l + 1 o t 2 + 2 2 0 0 6 年上海大学硕士学位论文 7 o u t e n d 111 l20 其中，第一部分所描述的是该几何体由哪几个基本几何体组成，并根据上述 定义给出这几个基本几何体的信息；第二部分所描述的是我们所给出的几个基本 几何体如何组合，才能构成我们所需要的几何体，也就是我们平常所说的“靶”， 其中“十”表示一个几何体“包含”另一个几何体，“”表示一个几何体“不包 含”另一个几何体，也就是扣除重复定义的部分，在此，为了模拟需要，我们必须 在几何体外面定义一个真空层；第三部分表示的是每个几何体所用的材料，0 表 示真空。 从上述几何体模块的说明中，我们可以看出，原s h i e l d 几何模块所能模拟 的几何体是极有限的比较特殊的简单的几何体，而像卫星那样的一个复杂的几何 模型仅仅用这几类几何体是无法描述的，所以，原s h i e l d 软件包的几何体的构 造方法是不能满足我们的要求的，必须改换构造法。 我们对构造法进行改造的基本思想是用一般的二次曲面来描述几何体。在本 章中，我们首先介绍一下在s h i e l d 程序改造过程中用到的二次曲面的一些基本 理论。 2 1 二次曲面的记号说明 在三维空间中，由三元二次方程 。儿茁2 + a 2 2 y 2 + a 3 3 ：2 + 2 a 1 2 x y 十2 a 1 3 x z + 2 a 2 3 y z + 2 a 1 4 $ + 2 a 2 4 掣+ 2 a 3 4 z + 。4 4 = 0 所表示的曲面叫做二次曲面。基于我们所要模拟的几何体是在笛卡尔坐标系下的 几何体，所以，在此我们只考虑实系数二次曲面方程及其实根。为了讨论方便起 见，我们引进一些记号如下： f ( x ，y ，。) 兰a l i x 2 + a 2 2 y 2 + a 3 3 。2 十2 a 1 2 x y + 2 a 1 3 x z + 2 a 2 3 y z 2 0 0 6 年上海大学硕士学位论文 + 2 a 1 4 x + 2 a 2 4 y + 2 a 3 4 z + a 4 4 f l ( 。，y z ) 三n 1 1 。+ a 1 2 y + a 1 3 z + a i d f 2 ( z ，y ，z ) 三盘1 2 0 + a 2 2 y + a 2 3 z + a 2 4 玛0 ，y ，：) a 3 x 十a 2 3 y 十a 3 3 z + a 3 4 丹( 。：y ，) 三a 1 4 x + a 2 4 y + a 3 4 z + a 4 4 壬( z ，y ，z ) 兰a l l x 2 + a 2 2 y 2 + a 3 3 2 2 + 2 a 1 2 x y + 2 a 1 3 z z + 2 a 2 3 y z 垂l ( z ，y ，z ) 三0 1 1 z + 。1 2 可十a 1 3 z 壬2 ( x ) y ，。) ia 1 2 x + a 2 2 y + a 2 3 z 圣3 向，y ，。) 三a 1 3 x 十a 2 3 y 十a 3 3 z 垂4 恤j y ，。) 三a 1 4 x + o 。4 掣+ a 3 4 z 由上述定义，我们得出以下两个恒等式 f 扛：y ，z ) 三z f l ( x ，y ：z ) + y f 2 扛：y ，= ) + z f 3 0 ：y ，。) + f 4 ( z ，可，。) 西( z ，y ，2 ) 三z 西l ( x ：y ，名) + 垂2 忙，y ，z ) + z 0 3 ( z ，y ，= ) 最后，我们再引入几个常用记号 五= a l l + a 2 2 + a 3 3 a 1 1a 1 2 a 1 2a 2 2 + 虮l0 1 2 0 1 3 a 1 2a 2 2a 2 3 n 1 3a 2 3a 3 3 a l la 1 3 a 1 3a 3 3 + a 2 2a 2 3 a 2 3a 3 3 a l l0 1 2a 1 3a 1 4 a 1 2a 2 2a 2 3a 2 4 a 1 3a 2 3a 3 3a 3 4 a 1 4a 2 4a 3 4a 4 4 有了上述定义，下面我们将要进一步讨论二次曲面的一般性质。 2 2 二次曲面的渐近方向与中心 2 0 0 6 年上海大学硕士学位论文 9 1 二次曲面的渐近方向 定义2 2 1 满足条件西伍，y ) z ) = 0 的方向x ：y ：z 叫做二次曲面的渐近方 向，否则叫做非渐近方向。 给定二次曲面 现在我们考虑通过任意给定的点( z o ，y o ，。o ) 且以曲面( 1 ) 的任意渐近方向x y ：z 为方向的直线( 2 ) ，因为渐近方向x ：y ：z 满足条件 中( x ，z ) = 0 所以过点( x o ，y o ，z o ) 且以渐近方向x ：y ：z 为方向的一切直线上的点的轨迹是曲 面 巾( z 一。o ，y y o ，。一。o ) = 0 即 a l l 扛一x o ) 2 + a 2 2 白一y o ) 2 + 0 , 3 3 ( z z o ) 2 + 2 a 1 2 ( z z o ) ( 可一y o ) + 2 a 1 3 ( x 一。o ) ( z 一幻) + 2 a 2 3 ( y y o ) 一z o ) = 0 这是一个关于z z o ，y y o ，z z o 的二次齐次方程，所以它是一个以( x o ，y o z ) 为顶点的锥面，锥面上每一条直母线的方向，都是二次曲面的渐近方向，显然，过 锥面顶点的非直母线的方向都是二次曲面的非渐近方向。 2 二次曲面的中心 我们把以非渐近方向为方向的直线与二次曲面的两个交点所决定的线段叫做 二次凸面的弦。下面我们给出二次曲面中心的定义。 | | 啦 + m o 免 讲 m 栅 蚴 孙 知 蜘 幻 + l l = = 蚶 茁 z 乳，、0 + 牡 乳 + 线_ l 皿和 2 0 0 6 年上海大学硕士学位论文 1 0 定义2 2 2 如果点c 是二次曲面的通过它的所有弦的中点( 因而c 是二次曲 面的对称中心) ，那么点e 叫做二次曲面的中心。 定理2 21 点g ( 。o ，y l l ，z o ) 是二次曲面( 1 ) 的中心，其充要条件是 ， lf 1 ( x 0 ，y o ，z 0 ) e0 1 1 x 0 + a 1 2 y o + a 1 3 2 0 + a 1 4 = o 毋( x o ，y o ，z 0 ) ia 1 2 x 0 + a 2 2 y o + a 2 3 z o + n 2 4 = 0( 2 2 1 ) l 玛( x o ，y o z o ) ；a 1 3 2 0 + a 2 3 y o + a 3 3 z o + 。3 4 = 0 推论坐标原点是二次曲面的中心，其充要条件是曲面方程里不含z 、y 与z 的一次项。 定义2 23 有唯一中心的二次曲面叫做中心二次曲面，没有中心的二次曲面 叫做无心二次曲面，有无数中心且中心构成一条直线的二次曲面叫做线心二次曲 面，有无数中心且中心构成一个平面的二次曲面叫做面心二次曲面，二次曲面中 的无心曲面、线心曲面与面心曲面统称为非中5 - - 次曲面。 推论二次曲面( 1 ) 成为中心二次曲面的充要条件为如0 ，成为非中心二次 曲面的充要条件为厶= 0 。 2 3 二次曲面的径面与奇向 定理2 3 1 二次曲面一族平行弦的中点轨迹是一个平面。 定义2 3 1 二次曲面的平行弦的中点轨迹 x f l ( x ，z ) + y f 2 ( x ：r z ) + z f 3 ( x ，z ) = 0( 2 3 一1 ) 叫做共轭于平行弦的径面，而平行弦叫做这个径面的共轭弦，平行弦的方向叫做 这个径面的共轭方向。 定理2 3 2 二次曲面的任何径面一定通过它的中心( 假如曲面的中心存在的 话) 。 推论1 线心二次曲面的任何径面通过它的中心线。 推论2 面心二次曲面的径面与它的中心平面重合。 2 0 0 6 年上海大学硕士学位论文 1 1 定义2 , 3 2 满足条件 ， i 西l ( x ，e z ) 三a 1 1 x + n 1 2 y + a 1 3 z = 0 西2 ( x ，k z ) 三a 1 2 x + a 2 2 y + a 2 3 z = 0 i 西3 ( x ，f z ) 三a 1 3 x + 。2 3 y + a 3 3 z = 0 、 的渐近方向x ：y ：z 叫做二次曲面 n 1 1 2 2 + a 2 2 y 2 十a 3 3 2 2 + 2 a 1 2 z 掣+ 2 a 1 3 x z + 2 a 2 3 y z + 2 a 1 4 x + 2 a 2 4 y + 2 a 3 4 z + a 4 4 = 0 ( 1 ) 的奇异方向，简称奇向。 定理2 3 3 二次曲面( 1 ) 有奇向的充要条件是如= 0 。 定理2 3 4 二次曲面的奇向平行与它的任意径面。 2 4 二次曲面的主径面与主方向，特征方程与特征根 定义2 4 1 如果二次曲面的径面垂直于它所共轭的方向，那么这个径面就叫 做二次曲面的主径面。 显然，主径面就是二次曲面的对称面。 定义2 4 2 二次曲面主径面的共轭方向( 即垂直于主径面的方向) 。或者二次 曲面的奇向，叫做二次曲面的主方向。 通过以卡方法，我们可以求得曲面的主方向与主径面。 设二次曲面为 f 扛，可 z ) 三n 1 1 2 + a 2 2 y 2 + n 3 3 2 2 + 2 a 1 2 m y4 - 2 a 1 3 z z4 - 2 a 2 b y z - t - 2 a 1 4 嚣+ 2 a 2 4 可+ 2 a 3 4 z + 。4 4 = 0 ( 1 ) 方向x ：y ：z 如果是( 1 ) 的渐近方向，那么它成为( 1 ) 的主方向的条件是 ， l 中l ( x ，y ：z ) 三0 1 1 x + 吼2 y + a 1 3 z = 0 西2 ( x ，y z ) 三。1 2 x 十。2 2 y + a 2 3 z = o ( 2 ) l 壬3 ( x ，z ) 三a l a x 十a 2 3 y + a 3 3 z = 0 成立，即x ：y ：z 必须是( 1 ) 的奇向。 2 0 0 6 年上海大学硕士学位论文 1 2 a 竺1 l x 嚣+ a l l y + a 薹l a z 凳= a x 。a 叫 侄麓 ( 2 4 2 ) y ，z 不能全为零，因此 0 ( 2 4 3 ) 即 一a 3 + a 2 一厶a + 如= 0f 2 4 4 ) 定义2 4 3 方程( 2 4 3 ) 或( 24 4 ) 叫做二次曲面的特征方程，特征方程的根 叫做二次曲面的特征根。 从特征方程( 2 4 3 ) 或( 2 4 4 ) 求得特征根a ，代入( 24 1 ) 或( 2 4 2 ) ， 就可以求出相应的主方向x ：y ：z 。容易看出，当a = 0 时，与它相应的主方向 ” 孙 一 n 0 3 o a 2 3 m r 毗 眈 一 吨 n ， o o o 2 0 0 6 年上海大学硕士学位论文 1 3 为二次曲面的奇向；当 0 时，与它相应的主方向为非奇主方向，将非奇主方向 x ：y ：z 代入( 2 3 1 ) ，就求得共轭于这个非奇主方向的主径面。 定理2 4 1 二次曲面的特征根都是实数。 定理2 4 2 特征方程的三个根至少有一个不为零，因而二次曲面至少有一个 非奇主方向。 证明：如果特征方程的三个根全为零，那么有 从而有 = a l l + a 2 2 + a 3 3 = 0 如七卦：州麓引 a l l a 2 2 + a l l 铷3 + a 2 2 a 3 3 一a 1 2 2 一a 1 3 2 a 2 3 2 = 0 0 】1 a 1 2a 1 3 a 1 2 a 2 2a 2 3 a t 3a 2 3a 3 3 o 厶2 2 如2 = 扣u + a 2 2 + a 3 3 ) 2 2 ( 。1 l 。2 2 十a , l l a 3 3 + a 2 2 a 3 3 一n 1 2 2 一a 1 3 2 一a 2 3 2 ) = 0 即 a 1 1 2 + a 2 2 2 + a 3 3 2 + 2 a 1 2 24 - 2 a 1 3 2 + 2 a 2 3 2 = 0 因而得a 1 1 = a 2 2 = 0 3 3 = a 1 2 = a 1 3 = “2 3 = 0 于是二次曲面( 1 ) 将不含二次项而变成 2 a i 4 x 2 a 2 4 y 2 a 3 4 z _ _ a 4 4 20 这样便不成为二次方程，矛盾因此，二次曲面( 1 ) 至少有一个非奇主方向。 推论二次曲面至少有一个主径面。 2 5 空间直角坐标变换 设在空间中给出了两个坐标轴标架 o ；7 7 ，i ) 与 o ，；i ，五，_ k i 决定的右旋 直角坐标系，为了便于叙述，我们把前面的一个叫做旧坐标系，后面的一个叫做 2 0 0 6 年上海大学硕士学位论文 1 4 新坐标系，它们之间的位置关系完全可以由新坐标系的原点0 ，在旧坐标系内的坐 标，以及新坐标系的坐标矢量在旧坐标系内的分量所决定。在这里，我们先讨论 两种特殊的坐标变换，然后再研究一般坐标变换。 1 移轴 设标架 o ；了，了，言) 与 o l ；百，元，焉) 的原点0 与0 。不同，0 。在旧坐标系 的坐标为( 。o ，y o ，z o ) ，但是了= i ，7 = 五，i = 焉，如图2 1 0 所示： 图2 1 0 坐标系的平移 这时新坐标系可以看成由 o ；i ，九i ) 平移到使0 与0 1 重合而得来的，我 们把这种情况下的坐标变换称为移轴。 设p 为空间中的任意一点，它在 o ；1 i ，了，i ) 与 o 。；百，芫，焉) 下的坐标分 别为( z ，y ，z ) 与( z 1 ，y 1 ，z 1 ) ，那么 op=zi+yj + z f 1 1 此外又有 瓦：z l i + 可1 齐+ z 。焉= z 1 7 + ”1 7 + 乱言( 2 ) - - - - - - 一 - - 4- - - 4 0 0 1 = 2 n i + y oj + z o - - 一 - - - 4 - - - - 一 o p = 0 0 1 + o l p 将( 1 ) ，( 2 ) ，( 3 ) 三式代入( 4 ) 式得： z 彳+ 可7 + z i = 扛l + 知) 7 十( ”l + 珈) 7 + ( z 1 十如) i ( 3 ) ( 4 ) 2 0 0 6 年上海大学硕士学位论文 1 5 窭 ， 巨雾 ， 2 0 0 6 年上海大学硕士学位论文1 6 所示 2 转轴 设标架f o ；7 ，7 i ) 与 o ，；i ，五，i ) 的原点相同，但坐标矢量不同，如图2 1 1 囝2 1 1 坐标系的旋转 这时，新坐标系可以看作是由旧坐标系绕原点0 旋转，使得了，了，言分别与 才：五，_ 斗k l 重合而得到的，我们把这种情况下的坐标变换叫做转轴。 具有相同原点的两坐标系，它们之间的位置关系完全由新、旧坐标轴之间的 交角( 也就是坐标矢量。i l ，五，赢分别与1 i ，7 ，育之间的交角) 来决定，我们用下 表来说明坐标轴之间的交角。 x 轴( 7 )y 轴( 7 ) z 轴( 言) 。，轴( 矗) 0 1伪 v 1 l 轴( 石) 血2岛，y 2 砚轴f 石)0 3岛7 3 表2 5 1 坐标轴之间的夹角 从上面所列的表格内容我们容易知道 _ 一 i 1 = ic o s 0 1 + jc o s 卢1 十kc o s m 血= ic o s a 2 + jc o s 历+ kc o s 讹 _ 一 _ l = ic o s “3 + jc o s 角+ c o s 柏 ( 5 ) 设p 为空间任意一点，它在旧坐标系内的坐标为( 。，y ，z ) ，在新坐标系内的坐 ，、 标为( z 1 ，y l ：z 1 ) ，那么有 由( 6 ) ，( 7 ) 得 把( 5 ) 代入( 8 ) 中得 2 0 0 6 年上海大学硕士学位论文 甜：z 7 + 7 + ：i 甜：z l i 十1 元+ 幻焉 1 7 z 7 + 7 + z i = z 1 才+ 1 五+ ：1 碚( 8 ) z 7 + 可7 + z i = ( 。1c o s 。1 + 掣1c o s a 2 + z 1c o s o e 3 ) 7 + 扛l c o s 1 + 可lc o s # 2 + z 1c o s 岛) 7 所以有 + ( z 1c o s 7 1 + 可1c o s 7 2 + 钆c 0 8 ) 言 z = z 1c o s 0 1 + y lc o sc t 2 + o lc o s 0 3 y = z 1c o s p l + y lc o s 卢2 + z lc o s 卢3 ( 2 5 3 ) o = z 1c o s 吖l + y lc o s 7 2 + 2 1c o s 柏 这就是空间直角坐标变换的转轴公式。 同样地，由上面 道 将( 9 ) 代入( 8 ) ，就得到用旧坐标表示新坐标的公式，也就是转轴的逆变换公式为 0 1 = zc o s l + yc o s 卢1 + z c o s m 1 = x c o s o 。2 + y c o s 卢2 + 2c o s 7 2 ( 2 - 5 4 ) 钆= zc o s 0 1 3 + y c o s 口3 + 2c o s 7 3 转轴变换公式( 25 3 ) 及其逆变换公式( 2 5 4 ) 都是齐次线性变换。它们的 一次项系数不是独立的，这是因为- z - + ，- 呻j ，言与i ，五，赢是两组两两相互垂直的右 旋系的单位矢量，即有 1 7 1 ：1 7 1 ：1 i i = 1 77 = 7 i = i 1 i = 0 6 7 ，i，tlf 黝 一确帅割+ m + 徊+ 旧 m 1 _ h 1 h 1 - h 羽 眈胁仡 氯 l ! l ； 的一“。“。一 扣 | 宝 姜墨 孵 ，-，、【 2 0 0 6 年上海大学硕士学位论文1 8 l i i = i 元| = i 爵= 1 ，1 i l 方：齐焉：i 才：0 所以变换公式( 2 5 3 ) 和逆变换公式( 25 4 ) 中的一次项系数分别满足下列约束 条件： 和 c o s 2 。1 + c o s 2 0 2 + c o s 2 。3 = 1 c o s 2 历十c o s 2 屈+ c o s 2 岛= i c o s 2 7 1 + c o s 2 v 2 + c o s 2 舶= 1 c o s 。1c o s 卢l + c o s 0 2c o s 阮+ c o s 。3c o s 岛= 0 5 5 f 21 c o s8 1c o s m + c o s8 2 c o s t 2 + c o s 魄c o s 7 3 = 0 c o s o qc o s 7 l + c o s o i 2c o s 7 2 + c o s 0 3c o s 7 3 = 0 c o s 2o q + c o s 2 岛+ c o s 2 加= 1 c o s 20 = 2 + c o s 2 伤+ c o s 2 7 2 = 1 c o s 2 + c o s 2 岛+ c o s 2 7 3 = l c o s0 = 1c o s o l 2 + c o s 卢lc o s 屈+ c o s 7 lc o s 地= 0 c o so l 2c o s 锄+ c o s 疡c o s 风+ c o s 忱c o s 7 3 = 0 c o s 。lc o s 0 3 + c o s 岛c o s 风+ c o s mc o s v 3 = 0 这两组条件分别叫做正交条件。 我们把1 i ，7 ，言的混合积( 7 7 ) 苫记做( 7 ，- j - e ：言) ，则从 ( i ：j ，k ) = ( i 1 ，j 1 h ) = l 又可以得出( 2 5 3 ) 与( 2 5 4 ) 的系数行列式 c o s d l c o s i c o s 吖1 c o s 0 2 c o s 岛 c o s 忱 c o s a 3 c o s 岛 c o s7 3 c o s d l c o s ( x 2 c o s a 3 c o s 吼 c o s 岛 c o s 岛 c o s 7 1 c o s 优 c o s 加 ( 2 5 7 ) 3 一般变换公式 设在空间给出了由标架 0 ；。i ：7 ：i ) 决定的旧坐标系和由标架 。，；i ，石，爵) 决定的新坐标系，0 1 在旧坐标系的坐标为( z o ，珈，z 0 ) ，两个坐标系的坐标轴之问 的交角仍由表格2 5 一i 决定，那么在这种一般情况下，由旧坐标系变到新坐标系 可以分成两步来完成。 2 0 0 6 年上海大学硕士学位论文 z 2 1 9 图2 1 2 坐标系的复合变换1 如图2 1 2 所示，我们可以先移轴，使原点0 与新坐标系原点0 l 重合，变成 辅助坐标系0 1 一x 2 y 2 砘。然后再由辅助坐标系转轴变到新坐标系0 1 一x y 1 ；l 。 如果p 为空间任意一点，它在旧坐标系、新坐标系和辅助坐标系内的坐标分 别为( 。，g ，z ) ，( 。，y ，z ) 和( x 2 ，y z z 2 ) ，那么根据( 2 5 1 ) 与( 2 5 3 ) 我们有 将( 1 1 ) 代入( 1 0 ) 得 g = 2 十可0 z = 0 2 十如 此外，一般坐标变换公式也可以通过先转轴后移轴得到。 f 1 0 1 ( 2 5 8 ) | ； ! 为 嘲风怕 诅孙彭 | ! ； l ； l ； | ； 一 眈屉 住 虮讥虮能 ；| 栅协黜 一一一 卅斛”端 栅协栅茹激叶斛” 三篡篡一 竺堡堕塑笙奎 翌 。、。? 果p 为空间任意一点，它在旧坐标系、新坐标系和辅助坐标系内的坐标分 别为( 哪j i m 狮蝴矧，那么根据( 2 , 5 - 4 ) 钟5 ：猫群。 窿豢 | 耋 螂 韧 句 如蝴哪嘶 如 珈 驹 + + 十 扪 雪 ； 、垦 饥 弛 怡 嘶 哪 | 刍历成风 呱 瞄 冒 剪 耵 删 | 刍 l l l “ 虮 玑 乱 2 0