（运筹学与控制论专业论文）关于扩展的垂直线性互补问题的vp性质.pdf

摘 要 线性互补间 题( l c p ) 是数学规划中的 基本问 题之一， 对它的 广泛研 究始于二十世纪六十年代中 期.它由 某一给定的向量和某一给定的矩阵 所定义的一系列不等式组成， 内 容涉及丰富的数学原理及各种算法， 在经 济、 工程等方面有广泛的应用. 线性互补间题的许多理论和算法都依赖于 所定义的矩阵的特定性质. 例如， 定义的矩阵具有 p性质是线性互补问 题有唯一解的充要条件. 此时也称线性互补问题具有p性质. 由 于数学发展本身及实际间 题的需要， 人们 关注线性互补问 题的各 种推广， 如扩展的垂直线性互补间题 ( e v l c p ) ， 扩展的水平线性互补间 题( e h l c p ) 及扩展的线性互补问题 ( e l c p ) . 它们在控制理论、 非线性 网 络问 题、 弹性生产系统等方面有重要应用. 其解集与定义该问题的矩阵 组密切相关. v - p性质是线性互补间 题的p性质在扩展的垂直线性互补间 题中的 推广. 它是扩展的垂直线性互补间 题有唯一解的充要条件. 我们对扩展的 垂直线性互补间 题的v - p性质做了进一步的研究. 通过使用行表示及行 重排思想，我们在第二章中给出v - p性质的三个新等价特征描述， 从而 对v - p性质有了 更清楚的认识. 在此基础上， 在第三章我们给出了 具有 v - p性质的扩展的垂直线性互补问 题的两个全局误差界结果， 对扩展的 垂直线性互补问题的理论和算法有一定的意义. 关健词: 扩展的 垂直线性互补间题; v - p性质; 行表示;行重排; 全局 误差界. 2 ab s t r a c t t h e li n e a r c o m p l e m e n t a r it y p r o b l e m ( l c p ) is o n e o f t h e f u n d a m e n t a l p r o b l e m s o f m a t h e m a t i c a l p r o g r a mm i n g , w h o s e c o n c e n t r a t e d s t u d y b e g a n i n t h e m i d 1 8 6 0 s . i t i s a n i n e q u a l i t y s y s t e m d e fi n e d 场 a g i v e n v e c t o r a n d a g i v e n m a t r i x , w i t h a r i c h m a t h e m a t i c a l t h e o r y , a v a r i e t y o f a l g o r i t h m s , a n d a w i d e r a n g e o f a p p l i c a t i o n s i n e c o n o m i c s , e n g i n e e r i n g , e t c . . mu c h o f t h e t h e o r y o f l c p a s w e l l a s m a n y a l g o r i t h m s f o r i t s s o l u t i o n a r e b a s e d o n t h e p r o p e r t i e s o f t h e d e fi n i n g m a t r i x . f o r e x a m p l e , t h e d e fi n i n g m a t r i x i s o f p - p r o p e r t y i f a n d o n l y i f l c p h a s a u n i q u e s o l u t i o n f o r a n y d e fi n i n g v e c t o r . u r g e d 妙 t h e d e m a n d s o f m a t h e m a t i c a l p r o g r e s s i n g a s w e l l a s p r o b - l e m s i n r e a l i t y , m o r e a n d m o r e a t t e n t i o n i s p a i d t o v a r i o u s g e n e r a l i z a t i o n s o f l c 只s u c h a s t h e e x t e n d e d v e r t i c a l l c p ( e v l c p ) , t h e e x t e n d e d h o r i - z o n t a l l c p ( e h l c p ) a n d t h e e x t e n d e d l c p ( e l c p ) . t h o s e g e n e r a l i z a - t i o n s p l a y i m p o r t a n t r o l e s i n c o n t r o l t h e o r y , n o n l i n e a r n e t w o r k s , fl e x i b l e ma n u f a c t u r i n g s y s t e m s , e t c . . a n d t h o s e s o l u t i o n s e t s a r e c l o s e l y r e l a t e d t o t h e d e fi n i n g s e t s o f m a t r i c e s . v - p - p r o p e r t y o f e v l c p is t h e e x t e n s i o n f o r p - p r o p e r t y o f l c p . a n d e v l c p i s o f v - p - p r o p e r t y i f a n d o n l y i f e v l c p h a s a u n i q u e s o l u t i o n f o r a n y d e fi n i n g s e t o f v e c t o r s . v - p - p r o p e r t y i s f u r t h e r s t u d i e d h e r e . b y u s i n g t h e t h o u g h t s o f r o w r e p r e s e n t a t i v e a n d r o w r e a r r a n g e m e n t , w e g i v e t h r e e n e w e q u i v a l e n t c h a r a c t e r i z a t i o n s o f v - p - p r o p e r t y i n c h a p t e r 2 , w h i c h m a k e u s m o r e c l e a r a b o u t i t . b a s e d o n t h e s e r e s u l t s , w e d e r i v e t w o g l o b a l e r r o r b o u n d s f o r t h e e v l c p u n d e r v - p - p r o p e r t y i n c h a p t e r 3 , w h i c h a r e w h i c h a r e u s e f u l f o r b o t h t h e t h e o r y a n d a l g o r i t h m f o r e v l c p t o s o m e e x t e n t . ke y w o r d s : e x t e n d e d v e r t i c a l l c p ; v - p - p r o p e r t y ; r o w r e p r e s e n t a t i v e ; r e a r r a n g e m e n t ; g l o b a l e r r o r b o u n d . 全文通用记号 尺n x m 几 维欧氏空间 nx m 维实矩阵空间 矩阵a 的第i 行 矩阵a 的第 7 列 矩阵 a 的转置矩阵 单位矩阵 向 量a 的第价分量 取分量最小 取分量最大 人丸尸1久 另 外， 给定 矩阵a = ( a - ) n x n ， 本文 使 用的 矩阵 范 数!ia ii， 均如 下 定 义， iia i 一 简 骂iia - ii, v p 1 十 - j 第一章预备知识 在这一章我们首先给出线性互补问题和它的各种推广的发展简介和 数学模型， 并简要说明它们的相互关系和应用背景. 在此基础上我们介绍 线性互补问 题的p性质 及其各种推广， 并特别地列出v - p性质的若干已 有结果，为后面各章做准备. 1 . 1 线性互补问题及各种推广 线性互补间题是数学规划的一个重要分支， 研究者对该问题的广泛 关注和集中 研究开始于二十世纪六十年代中期.线性互补问题的重要性 最初是在二次规划的一阶最优性条件中被发现的，且在其发展初期一直 与线性规划和二次规划的研究紧密相联. 直到l e n i k e 和h o w s o n 发表了 他们著名的解决双矩阵 对策间题的算法， 线性互补间题又有了一个新的 应用和发展空间. 随 着数学规划领域的成熟和解决复杂平衡间 题的需要的急剧增加， 线 性互补问 题的 重要性变得越发明显. 利用线性代数、 矩阵理论、 实分析、 线性不等式、 线性规划及二次规划的知识， 线性互补问题的研究趋于丰富 和完善， 逐渐 形成了一套丰富的数学原理和一系列的求解算法 研究的最 终目 的是探讨该问 题解的情况， 主要途径有分析的方法和构造的方法两 种. 其中 分析的方法是借助于线性互补间题的等价数学变形， 从而给出诸 如解的 存在性、 唯一性、 稳定性等性质的证明. 由 子定义线性互补间 题的 矩阵的性质对其解的情况至关重要，人们研究了与线性互补问题解密切 第一章 预备知识 相联的若干种矩阵类，如与解的全局唯一性相联的 p矩阵类，与解的局 部唯一性相联的非退化矩阵 类和与解的存在性相联的余正矩阵类等.而 构造的方法是通过假定适当的条件， 并且借助于某种算法确实求出 一个 解或证明通过有限步， 该算法能够终止或最终收敛到该问 题的解， 如主轴 旋转算法、l e m k e 算法和参数算法等.关于线性互补问 题的详细内容可 见文献3 . 由 于实际间 题的需要及数学本身的不断进展，人们又提出了线性互 补问 题的各种推广， 使纷比 互补间 题的研究范围 有了明显的 扩展. 有线性 方面的推广， 如扩展的垂直线性互补间题、 扩展的水平线性互补问题和混 合线性互补问题等; 有非线性方面的推广， 如非线性互补间题和变分不等 问题等; 还有将线性互补间 题与其它问 题相结合产生的推广， 如随机的线 性互补问 题. 本文主要关注扩展的垂直线性互补问 题， 特别是关注保证该 间 题解的全局唯一性的 v - p性质. 利用分析的方法研究定义该问 题的矩 阵组具有 v - p性质的等价特征描述及此时扩展的垂直线性互补问题具有 的全局误差界结论. 下面我们具体地给出线性互补问 题和它的三种重要的线性推广的数 学模型，从而对它们的数学表达式有清楚的、直观的认识. 1 . 线 性互补问 题( l c p ) 给定 矩阵me r “ 和向 量q e r ， 标准的线 性互补间 题l c p ( m, 哟就 是求向量x r 满足 (ll) 二 八( mx +q ) =0 , 该间题在应用科学和技术方面有广泛的应用， 市场平衡、 最优停步等，可见文献 3 . 如二次规划、 双矩阵对策、 l . 1线性互补问 题及各种推广 2 . 扩 展的 垂直 线 性 互补 间 题( e v l c p ) 给定矩阵 组b e r n x ( k + l )n 和向 量组b e r n x ( k + l ) ， 这 里 b= b o , b l , . ， ， b k , b = b o , b 1 ， 二， b k ,( 1 . 2 ) 马e r n x n , b ; r n , j =1 , 2 , k . 扩 展的 垂 直 线 性 互补问 题e v l c p ( b , b ) 就是求向量 二r n 满足 ( b o 二 十b o ) 八 ( b l x + b 1 ) 八 二八 ( b k x +b k ) =0( 1 . 3 ) 关 于扩 展的 垂直线 性互补问 题 详见文献9 . 当k =1 、b o 为单位矩阵 且 b o 为 零向 量 时，e v l c p ( b , b ) 转 化 为 标 准的 线 性互 补问 题l c p ( b i , b 1 ) ; 当b o 为单位矩阵且b 。 为零向 量时，e v l c p ( b , b ) 转化为垂直线 性互 补问 题v l c p . c o t t l e 和d a n t z i g 首先 研究了v l c p间 题， 见 文献 2 . v l c p在控制理论2 5 、 推广的 双矩阵 对策间 题 1 0 、 流体润滑 1 7 、 非 线 性网 络 7 等 方 面 有 许多 应用. 显 然e v l c p 是标 准 的 线 性互 补间 题 及垂直线性互补问题的一种推广. 3 . 扩 展的 水 平线 性 互补间 题( e h l c p ) 给 定矩阵 组c r n x (k + i ) n 和向 量组c r n x k ， 其中 c二 co, c l , ， ， . , c k , ( 1 . 4 ) i f k二 1 ( 1 . 5 ) 么_ 1 , i f k _ 2 qe r n x n , .7 =0 , 1 ， 一， k 和q e r i , o c , bx= 己 ( 1 .8 ) ( 1 .9 ) ( 1 . 1 0 ) 该间 题由b . d e s h u u t t e r 和b . d e m o o r 2 2 首 先 提出 . 进而 他们 证明 了 e l c p可以 看作l c p和它的各种线性推广， 如上面所提到的e v l c p、 e h l c p的 统一框架. 在 文献2 3 中 ， 通过引 入剩余变 量及在e l c p 可行 域有界的条件下，b . d e s h u t t e r 等人证明了e l c p与l c p等价 除上述三种线性互补间题的推广外，许多研究学者给出了另外的推 广 . 例 如m a n g a s a r i a n 和p a n g 1 3 ) 利 用多 面 集 定 义的x l c p ; g u l e r 1 1 、 m o o r 1 6 和y e 2 8 等人 分别定义的 不同的g l c p 等。 这里不再详述. 1 .2尸性 质及各种推 广 1 . 2 p性质及各种推广 一个矩阵me r ” 被称作p矩阵， 或说具有p性质， 如果它的所 有主 子 式 均 为 正.p 矩阵 的 概 念由f ie d l e r 和p t a k 阵 ， 司 最先引 入， 在 不 同 领域由 多 种应用， 详见文献1 . 当 定义线 性互补间 题的 矩阵m e r 为p矩阵， 我们也称该线性互补间题l c p ( m, 的具有p性质.p矩阵 有若干好的性质， 详见文献 3 , 1 4 1 . 其中与本文关系密切的有 定理 1 . 1 令m e r x , 则下列陈述等 价: 自 夕 m是p # e 阵 . ( 2 ) m 不倒换任何非攀向全的符号，即改含关系 【 x ; ( mx ) , 0对所有 成s 睁【 x =0 成立. ( 3 ) 矩阵m 及它的所有主子阵的 特征值均为正数. 定理 1 . 2 矩阵m e r 是 尸矩阵q 对任意的向全 9 e r , 线性互补 问题l c p ( m, 的有唯一 解. 定理1 . 1 ( 2 ) 等价于 对任意的向 量x e r 0 ， 我们 均有 m a x x i ( m x ) i1 i 0 . 定义与 p矩阵相关联的数量 a ( m) = r n n- 11- = 1 搜 怂x i (m x )i , ( 1 .1 1 ) rri m 具有p性质时a ( m 有定义且为有限正数. 此时，m a t h i a s 和 p a n g 1 4 利用上述数量给出了线性互补间 题的全局误差界的结论: 第一章 预备知识 定理1 .3给定矩阵m e r 具有p性质， 令x 是l c p ( m, 的的唯一 解.则对任意的向 蚤 xe r ， 我们有 不 丽 1 而 ilel(x )lh 1 + llm ll-”一 x ”二 a ( m) ile , ( 二 ) 二 ， ( 1 . 1 2 ) 其中。 1 ( x ) =m i n x , mx + q 我们 称 矩阵 组b= b o , b l ， 二， b k 具有v - p 性 质， 如 果它 的 所有 行表示矩阵有相同的非零行列式符号， 即均为正或均为负. 行表示矩阵的 定义见5 2 . 1 当 定义扩展的垂直线性互补间 题的矩阵 组 b具有v - p性 质， 我们也 称此e v l c p ( b , b ) 具有v - p 性质.v - p 性质的已 有 研究成 果可见8 , 9 , 2 1 , 2 4 , 2 7 ， 与本文关系密切的有 定理1 .4令b= b o , b l , . . . , b k , 其中b o 可逆.a 9 下列陈 述等 价: ( 1 ) 对任意的6 7 蚤 纽b , e v l c p ( b , b ) 有 唯一解. ( 2 ) 下面的组含关系 成立 ! b o x 八 b l x n ， 二 h b k x b k b o 具 有v - p 性 质 ， 1 .2 p性质及各种推广1 1 定理1 .6矩阵# k . b = b o , b i , . . . , b k 具有v - p性 质q对任意的向 t x e r n 0 亦 存 在 某 个 e 1 , 2 , . . , 时， 使 得 对 任 意 的 矩 阵马e b , j e 0 , 1 , ， 时， 有x ; ( b ; x ) j 。 当k =1 时 ， 若 矩阵 组b = b o , b i 具 有v - p 性 质 ， 则由 定 理1 截2 ) 知对任意的向 量x r 0 ， 有 搜 ax ( b o x ) : ( b i x ) ; 0 . 定义与具有 v - p性质相关联的数量 a b o , b l 一 !.黑， 腮(b o x );(b lx ); , (1 .1 3 ) 显然此数量有定义且为有限正数. x i u和 z h a n g 2 7 ) 利用上述数量和 m a t h ia s 和p a n g 在!1 4 中 所用的证明 技巧， 给出了k =1 情况下e v l c p 的全局误差界的结论: 定 理1 . 7给 定 矩阵 组b= b o , b i 其有v - p 性 质. 令x 是e v l c p ( b , b ) 的唯一解，a ll 对任意的向全 二 尸， 我们有 i lx 一二 * 二丛 iib o +b 1 1二 a b o , b i i l e 2 ( 二 ) 。 ，( 1 . 1 4 ) 共中e 2 ( 二 ) = m in b o x 十b o , b l x +b , . 许多文献关注扩展的 垂直线性互补间 题， 其中 有些考虑解的存在性、 唯 一 性、 有 界 性、 稳 定 性 等 理论间 题， 可见8 , 9 , 1 3 , 1 5 , 2 4 , 2 6 , 2 7 1 ; 有 些 发展了 求解 上述间 题的数值算法， 可见 1 9 , 2 0 1 . 这些 工作都极大 地丰富 了该研究领域并对本论文的工作有一定的启发和帮助. 第一章 预备知识 我们 称 矩阵 组c= c o , c, , c k 具 有h - p 性质 ， 若 矩阵 组c t = 叮， 叮， 二， 叮 具有v - p 性质 h - p 性 质 与 扩 展的 水平 线 性 互 补问 题 紧密相连.当定义扩展的水平线性互补问 题的矩阵组具有 h - p性质。 此 时 我们 也称e h l c p ( c c ) 具有h - p 性质.h - p 性质的已 有研究成果见 文献8 , 2 6 , 2 7 , 2 9 ， 其中比 较重要的有 定理1 . 8令矩阵组c= c o , c, ， 臼 夕 c具有 h - p性质. ( 3 ) 矩阵c o x 0 +c l x , +c k x k 可逆， 意的非负 对角矩阵，满足对方矩阵 c k j , 则下列陈述等 价: 其中x o , x 1 , . . . , x k e r x ”为任 xo +x1 + + xk 为正对角矩阵. ( 3 ) c o 可 逆 且 矩 阵 组c 一 i , c o c 1 , ， c o 1 c k 具 有h - p 性 质 . 闭对 任 意的c i m ( 1 . 习所 定 义， 扩 展的 水 平线 性互补问 题e h l c p ( c , c ) 有唯一解. 定理 1 .9 拒阵组c= c o l c 有 h - p性质 q 对任意的非零向t ( 。 ， 讨e r a 满 足c o 、 一 c l v =0 ， 均有 u , v i 0 显 然当k =1 时， 扩展的水平线性 互补问 题e h l c p ( c , c ) 简化为求 向量x o , x 1 r , 满足 c o x 0 一c l x l =叭 ( 1 . 1 5 ) 1 2尸性质及各种推广 x o n x 1 =0( 1 .1 6 ) 其中 矩阵c o , c l e r n x n ， 向 量g e r i 当 矩阵 组 c=co, c l 具有h - p性 质时， 记l=( l t ， l t ) t eo , 1 r 2 n x n 为c o x 。 一 c l x l =0 的基 础解系， 则任意的向 量( u , v ) r 2 n , 满足 c o 二 一c l v = 0 ， 均存在唯一的向 量 x e r i ， 使得 u=l o x , v=l l x 因 此当k =1 时 ， 若 矩 阵 组c= c m c 1 具有h - p 性 质 ， 则由 定 理 1 .9 和上面的 分析知 对任意的向 量二 e r n 0 ， 有 摺 忍 1( l o x ) i ( l l x ) :is n 0 . 据此定义与具有 h - p性质相关联的数量 a c o , c , 一 耀， 器(l o x ):(l i x ): , (1 .1 7 ) 显然此数量有 定义且为有限正数. x i u和 z h a n g 2 7 利用上述数量和 k =1 时具有v - p性质的e v l c p的全局误差界结论， 给出了k =1 情 况下e h l c p的全局误差界的结论， 定 理1 . 1 0给 定 矩阵 组c= c o , c l具有h - p 性 质 ， 设( 咤 ， 心 ) e r 2 n 是 e h l c p ( c , c ) 的 唯一 解 ， 则 对 任意的( x o , x l ) e r 2 n 满 足c o x o - c l x l = 几 我们有 ii ( 二 。 ， 2 i ) 一( 二 言 , x l ) ih ( i il o l 二 十日 l 1 i二 ) 2 o c g , c i m i n 二 。 , 2 i 1二 .( 1 . 1 8 ) 上述两种p性质的推广与扩展的线性互补间题紧密相关， 均保持相 应问 题解的 全局唯 一 性; 还 有其它 方面的 推 广( 如 ) 这 里 不 再 详 述 第二章v - p性质的新等价特征描述 在这一章， 我们首先给出行表示、 行重排的定义及有用的引理. 然后 给出v - p 性质的三个新的等价特征描述及相关的 例子， 从而对 v - p 性质 有了更清楚的认识. 2 . 1 行表示和行重排 令 ( b , b ) 由( 1 . 2 ) 给出 的 一个行表示是指对每个 ， 我们称 ( m, m )r n x n x r 是 ( b , b ) 行，e 0 , 1 ， 二 ， k . 。 1 , 2 , . ， ， 。 ， m的 第 行 是 某 个b i 的 的 第 i 个分 量 是对应的b ; 的 第云 个分 即 ( m) i=( 马) 、 . f ( b o ) j. , ( b 1 ) i ， ， 二 ， ( b k ) i ， 同 时、 =( b ; ) i e 第量 ( b o ) i , ( b l ) i , . ， . ， ( b k ) i 此时 也分别称m是b的 行表示矩阵 ，。是b的 行 表 示向 量 由 文献g 1 定 理1 7 和2 s 定 理3 ， 我们 有 弓 !理2 . 1 ( b , b ) 由( 1 - 3 ) 给出 ，则下列陈述等价: ( 1 ) b奥有 v - p 性质. ( 2 ) 对v b r n x (k + l ) , e v l c p ( b , b ) 有 唯一 解 . ( 3 ) b a 可逆， 且嫂含关系 ( b o x a b i x a - 、 a b k x 三0 b o 工 v b l x v， ， v b k x 踌 x =o 成立. 阿 ) b o 可 逆， 且对v b， e v l c p ( b , b ) 至多有一个解. 2 . 1行表示和行重 排 我 们 称( b , b ) r n x (k + l ) n x r n x (k + l ) 是 ( b , b ) 的 一 个 行 重 排 是 指把 b的每个矩阵的每一行看作一个元素， 对 b的每一行的元素作重 排列. b的 每一行作与 b对应行相同的重排列. 此时也分别称b = 瑞, b 主 ， 二， 风 是b的 行 重排 矩阵 组，b 二 佑 ， 从 ， ， ， 雌 是b 的 行 重排向量组.则有下面的引理: 引理2 .2 令( b , b ) 由( 1 . 2 ) 给出，( b , b ) 是( b , b ) 的任意行重排，则 e v l c p ( b , b ) 与e v l c p ( b , b ) 有相p 7 的解集. 证 明 : 设x 是e v l c p ( b , b ) 的 解， 则 对 任 意的 行i e 1 , 2 , , n ， 均 有 m in ( b o x + b 0 ) . , ( b l x + b l ) ; , ， ( b k x + b k ) . =0 由 行重排定义，显然有 m i n ( 瑞二 十 蜘 ， ( 斌x 十 均: ， ， ( 风x + 砌 = m i n ( b o x +b o ) . , ( b l x +b l ) + ， 二 ， ， ( b k x +b k ) i 故二 也是e v l c p ( b , b ) 的解 反 之， 同 样 可证 若: 是e v l c p ( b , b ) 的 解， 则x 是e v l c p ( b , b ) 的解.因此，e v l c p ( b , b ) 与e v l c p ( b , b ) 有相同的解集. 结合引理2 . 1 和引理2 .2 ， 我们有 引 理2 .3若矩阵 纽b二 b o , b l , . 卜 ， b k 县有 v - p性质，则 夕 夕 b的任意行重排拒阵组bi= 瑞， 斌， ， 风 具有 v - p性质 第二章 v - p性质的 新等价特征描述 ( 2 ) b的任意扩张 ， b t , ， 二 ， b t 、.、沪 . 口 t b- bj b一 b r峨l 一一 -b 县有 v - p性质，其中t k , a o , 勺， . ， a t 均为je整数. ( 3 ) b的 任 意 子 节旦= b i o , b j. . . , b 具 有v - p 性 质 . 其中 7 o , 7 i , 是 o , l ， 二 ， 码 的任意子集. ( 4 ) 弓可 逆 且b i 弓- i 是尸 矩 阵 ， 其中， =/ l 0 , 1 , . ， ， ， k . ,7 t 卯 . 2 v - p性质的第 一个新等价特征描述 定理2 . 1 给定矩阵组b二 b o , b 1 , b x 任 r n 0 , 满 足 . ， 凡 ， 则b奥有 v - p性 质a对 方1 e 0 , 1 ， 二 两个矩阵. m a x # 0 , 岭 ， 其 中弓、月为b的 任 意 行 重 排 矩 阵 纽b ( 2 . 1 ) 中的 证明: “ 睁. 已 知b具有v - p性质， 由引 理2 .2 知b 也具有v - p 性质. 由 引 理2 .3 知斌可 逆. 且b i ( b ; ) - i 是p 矩阵 . 即 对v y r n 0 ， 有 m a x1 0 . “ “ 由 式( 2 .1 ) 知 ，弓可 逆 ， v i = 0 , 1 ， 一， k . 若 不 然 ， 一 定 存 在 e r 0 满 足弓 一 0 . 故m a x1 i n 弓 x ) ;(b ix ) 、 一 。 1 与 式伶 1 ) 矛 盾 当 2 .2 v - p性 质的 第一 个 新等价特征描述 然有b o 可逆.因此由引理2 . 1 ， 要证b具有v - p性质， 只要证明蕴含 关系 b o x n b l x n二 n b k 二 0 b o x v b 1 x v - 二 v b k x = = * x =o j 成立. 设b x r n 满足 b o x n b l x八 ab k xo sb o x vb i xv v b k x . 即 对每个i ， =1 , 2 , ， 。 ， 有 m i n ( b o x ) ; , ( b l x ) i , ， ( b o x ) i 5 0 :5 m a x ( b o x ) i , ( b : 二 ) ， ， ( b k x ) i - 对b= b o , b l , . . . , b k 进 行如 下 行 重排b = 瑞， 风， ， 凡 ， 使 得 对 每一个 有( b o x ) i ( b o x ) i g 5 ( b o x ) i ， 于是知 - a x ( b o x )i ( b k x ) i 5 0 .1 i n 故由 式( 2 .1 ) 知x 只能为0 . 证毕. 推论2 . 1 给 定拒阵 组b二 b o , b l , 则b具有 v - p性质g 对b x e r0,满足 m- ( b o x ) i ( b l x )i1 i 0 . 证明:“ 冷，由 定理2 .1 ， 必要 性显然成 立 “ 幸” 令b = 瑞， 风 为 b的任意行重排矩阵 组.由 行重排定 义， 对任意的i 任 1 , 2 , . . . , 叮， 有 ( 瑞二 ) =( b o x ) 、 且 ( b i x ) i =( b o x ) i 第二章 v - p性质的 新等价特征描述 ( 瑞x ) ; =( b i x ) 且 ( b i x ) : =( b 。 二 ) ， 无论哪种情况总有 ( 瑞- k ( 斌二 ) =( b o x ) , ( b l x ) ; . m a x1 : n 民 x ). ( 斌 x )i = m a x ( b o x ) i( b l x1 i n 由定理 2 . 1 ， 知充分性成立. 证毕. 推论2 .2低设b具有 v - p性 质. 则对任意给定的b， e v l c p ( b , b ) 的 唯一解 x ， 必可表示为b 的某一矩阵的逆与b 中所对应向全的乘积的 相反数. 证明. 因 为x 是e v l c p ( b , b ) 的 唯 一 解. 则一 定 存在( b , b ) 的 一 个 行 重排( b , b ) ， 其中 b = 瑞, b 至 ， 二 ， ， 风 ，b = 佑 ， 试 ， , b k 使 得对 每个 ， =1 , 2 , ， n , ( b o x + b o ) i ( b i x 十 b , ) ; 0 . 。 冷” 用 反 证 法 . 若 存 在沦 。 r n 0 及b ? ) 。 满 足e j ! e d , l , . . . , k 中明 其证 0 ， 使得对每一个 2 ,8 =1 , 2 , , n ， 有 m ax 、 舔卜.、， b ,!)(b jl )i(b ii )i1 in . fed,l,.,k: 。 . 则 对 每 一 个2 ， = 1 , 2 , , n , e b g ) ( b j : ) . ( b !x ) i _ 0 . j i e d , 1 , 故( 几x ) i ( 马 :i ) i , i l e 0 , 1 , , k ， 好中 至 少有 一项非正. 不 妨设( b j , 幻 i ( b t; 幻 三 0 ， 其中i i l i e 0 , 1 , . . . , k . 注意 x 1 1 : . z u ni 变动 对b做 行重排 得 b f = 风， 风， ， 风 ， 使得( 凡) . 二( 马 ) 、 . 且 ( 风) ; . =( 马 ) . . 则 1m a x i n ( b o x ) i (b k x )i _ 0 , 与定理 2 . 1 矛盾 “ 今” 由 式( 2 . 2 ) 易 知b o可逆. 用反证法. 性 质 则由 引 理2 . 1 ， 知 对 某 一b , e v l c p ( b , b ) 为二 、， . 则对每一个 i , i =1 , 2 , . . . , n , 若矩阵组b不具有v - p 至少有两个不同的解。 设 m i n ( b o x +b o ) i , ( b i x +b l ) i , ， ( b 、 二 +b k ) i =0 , 第二章 v - p性质的 新等价特征描述 m i n ( b o y +b o ) i , ( b l y +b l ) i , ， ( b k y + b k ) i =0 对应 项 相减 ， 知( b o ( - 一 y ) ) j , ( b 1 ( x 一 y ) ) i , ， ( b k ( 二 一 ， ) ) 中 至 少 有 一 项 非 正， 且 有 一 项 非负. 因 此， 对每一 个i 声=1 , 2 , , n , m i n ( b o ( x 一， ) ) 、 ， ( b 1 ( 二 一y ) ) i ， 一， ( b k ( x 一 ， ) ) 0 , e b (j ,i) ( b j ( 二 一 。 ) ) i ( b i ( 二 一 ， ) ) 、 0 , j i e o , 1 , . . ., k ) 与式 ( 2 助 矛盾. 故由引理 2 . 1 知矩阵组b具有v - p性质. 证毕. 2 .3 v - p性 质的第二个新等价特征描述2 1 由 定理 2 .2 可以 得到一些有益的启示， 从而更好地理解 v - p性质的 特征. 比 如， 若b二 b o , b 1 , b 2 具有v - p 性质， 则对v x e r n 0 ， 有 m-. ( b o x ) i ( b 1 x ) i1i 0 , m a x 韶 ( b o x ) i ( b 2 x ) i1 i 0 , - a x . ( b 1 x ) i (1 i 0 , m a x ( b o x ) i ( b l x ) i1 i 0 , m a x ( b o x ) i ( b 1 x ) i1 i 0 , m a x . (b o x )i ( b 2 x ) i1 i 0 , m a x ( b o x ) i ( b 1 x ) i1 i 0 等一系 列不等式成立. 但 是值 得 注 意的 是这 些 不等式只 是b= b o , b 1 , b 2 具有v - p 性质 的必要条件，而不是充分条件.我们通过下面的例子来说明这一点. 例2 . 1给定 矩阵 组b= b o , b 1 , b 2 ， 其中 、十. nu01.1 ，二u11 了一、 b 2 、1口 n01.上 日，且n 1-10 了一、 一一 、!/ -101 null11 linn /一、 一一 b o 、.十2 -l01 日一.上n 110 2一、 首先， b o , b l 的所有行表示矩阵为 b o , b 1 , i 和 第二章 v - p性质的 新等价特征描述 b o , b 2 的 所有 行表示矩阵 为b o , b 2 , i 和 b 1 , 场 的所有行表示矩阵为b l , 马, i 和 不难验证所有的这些行表示矩阵的行列式均为正. 故由引理 2 . 1 和定理 2 . 1 知对v x e r 0 1 ， 上述不等式组中 的 前三 个不等 式成立. 其次。对接下去的三个不等式，经直接计算得其左端依次为 m a x 2 x 1 ( 二 : 一 二 3 ) , x 2 ( 2 x : 一 x 1 ) , x 3 ( 2 x : 一 二 2 ) , m a x x l ( 2 x : 一 x 3 ) , 2 x 2 ( x : 一 x 1 ) , x 3 ( 2 x 3 一 x 2 ) 1 , m a x x l ( 2 x : 一 x 3 ) , x z ( 2 x ， 一 x l ) , 2 x 3 ( x : 一 x 2 ) 1 - 有 趣的 是， 通 过重 排向 量二 =( 二 ， , x 2 , x 3 ) 的 分量 位 置， 我们 从 其中 任何 一 项都能得到其它两项.因此我们只需证明对v x e r 0 1 ， 式子 m a x 2 x 1 ( x : 一x 3 ) , x 2 ( 2 x 2 一二 ， ) , x 3 ( 2 x 3 一二 ， ) 恒为正. 分情况讨论: 若x 2 ( 2 x : 一 x 1 ) 和x 3 ( 2 x : 一 x 2 ) 中 至少有一项为正， 则上式为正. 否则，