（概率论与数理统计专业论文）金融时间序列的多重分形特征研究.pdf

中 文 摘 要 i 中中 文文 摘摘 要要 人们研究金融时间序列的主要目的是对价格、收益或其波动进行预测，主要工 作可分为理论研究和实证研究这相辅相成的两方面。近半个世纪来，在众多经济、 数学甚至物理方面的研究者的共同努力下已取得了很大的进步。 上世纪初法国数学家 louis bachelier1首先将收益波动描述为布朗运动。这个 理论在上世纪 50 年代之后应用非常流行。但人们没有满足于这个近似完美的数学 模型，而是在不断地改进发展，逐渐形成了时间序列波动理论模型的两系：其一是 arch(autoregressive condition heteroscedasticity)模型2以及它的各种变形和复合， 其二就是随机波动(stochastic volatility)模型， 或称随机方差(stochastic variance)模型， 简称 sv 模型。虽然模型的发展比较完善，但总是不能解决现实中的很多问题。分 形（factal）的提出，使我们对序列本身有了新的认识。 1963 年，b.b.mandelbrot 在研究棉价变化的长期变化特征时，发现了价格在大 小尺度间的对称性3。同年在研究信号的传输误差时，发现误差传输与无误差传输 在时间上按康托尔集排列。这些并非偶然的现象使他用新的眼光来看大家习惯了的 自然现象，并提出了几乎可以涵盖一切具有自相似性的不规则现象的新概念分 形。1975 年，b.b.mandelbrot 用法文出版了分形几何第一部著作fractal: form, chance and dimension 标志着分形理论的正式诞生。 分形理论相比其它理论更能合 理解释很多自然现象，因此在很多领域得到了广泛的应用。用分形理论来分析金融 市场就产生了分形市场理论，它描述了一种更接近于真实市场的市场结构分形 结构，主要包括序列的长记忆(long memory)性，又称为长程相关性（long range dependence）、持续性（persistence）或反持续性（anti-persistence）、标度不变性 （scale invarance）、间歇性（intermit-tency）或非同质性（inhomogeneity）、极 端易变性（volatility）。 研究序列单分形特征最早的方法是重标极差分析 （rescaled range analysis， r/s） 方法。r/s 分析法最先是 hurst（1951）在研究水库由降雨等不可控因素引起的容量 变化而提出的非参数统计方法4，同时提出了一个很有用的指数，后称为 hurst 指 数，以下简记为 h。hurst 指数的提出，使人们对时间序列的长程相关性有了一个 量化的认识。hurst 指数能描述时间序列波动的标度属性，能判断时间序列的非随 机性，它的大小反映时间序列持续性或反持续性的强弱。而对持续性较强的时间序 金融时间序列的多重分形特征研究 ii 列， 我们才有预测的可能。 c.-k.peng 等 (1993) 5-6 在研究 dna 分子时， 发现 nda 分子顺序在其分子个数大于 104时， 呈现一种长程的、 幂指数分布， 随后提出了 dfa （detrended fluctuation analysis）方法。dfa 方法可以分析非平稳时间序列的长记忆 性，并得到 hurst 指数。2002 年 e. alessio 等 7在 dfa 方法上提出了 dma 方法， 主要是将前者中的多项式拟合换成了滑动平均。 dma 方法可以计算 hurst 指数， 而 且相对于 dfa 算法，dma 的运算更加快捷和准确，因为滑动平均比拟合多项式简 单且误差小8-9。dfa 算法有很多变形，amir bashan10特别加以比较，其中 cma （centered moving average）方法在 n 较小时也有较好的稳定性，而 cma 与 bma （backward moving average，dma 的别称）基本相似。 但要刻画股市真正存在的精细结构需要研究多重分形结构。所谓多重分形，是 定义在分形结构上的由多个标度指数的分形测度组成的无限集合，它刻画了分布在 子集上的具有不同标度和标度指数的分形子集的局部标度性。从几何的观点看，组 成分形集的若干个子集的标度、分形维数都不同。随着分形理论的发展，多重分形 分析成了金融时间序列研究的一个前沿问题。 分形的创始人 mandelbrot 最先提出了 资产收益的多重分形模型(multifractal model of asset return, 简称 mmar)11-13，此 模型考虑了厚尾和长期记忆性。mmar 不一定含有无限方差，因此有别于列维稳 定分布(levy stable distribution)；它又区别于分数布朗运动(fractional brownian motion, fbm)，当资产价格增量自身不相关时，mmar 显示出在价格增量的绝对 值中具有长期记忆性。2002 年 kantelhardt 等14在 dfa 方法的基础上提出的多重分 形消除趋势分析(mf-dfa)方法， 可以分析非平稳时间序列的多重分形特征。 从此考 察时间序列的分形特征不仅仅是单一的 hurst 指数，而是变化的广义 hurst 指数。 2005 年 ramirez 等15在研究原子核反应堆中的中子功率振动( neutronic power)的长 程相关性时， 利用 hlder 范数直接推广了 dfa 方法， 得到一种新的 mf-dfa 方法。 本文在学习和总结前人思想和方法的基础上，主要研究了分形特征指标的估计 方法和统计算法。 首先， 将一些算法再改进为滑动窗算法， 并做了模拟比较； 其次， 借鉴 dma 的思想，将 mf-dfa 方法改进为 mf-dma；最后利用多种方法，包括 新提出的方法对中国沪深股市指数收益序列加以实证分析。另外还探讨了沪深股市 存在多重分形特征的原因。 关键词: 分形；多重分形方法；滑动窗 r/s 分析；mf-dma 方法 中图分类号：o212；o415 第一章 引 言 1 abstract the main objective of the financial time series research is to model and predict for the price, earning and its volatility. it can be divided into two aspects, theoretical and empirical examinations, which are complementing each other. the most recent half century, it has made great progress under the efforts of many economic, mathematical and even physics researchers. french mathematician louis bachelier was the first person who described fluctuation in return as a random walk at the beginning of last century 1. this theory was very popular since 1950s. but the perfection model is hadnt stopped the improvement. two-line of the theoretical time-series fluctuations model has gradually formed: one is the arch (autoregressive condition heteroscedasticity) model 2, as well as its various deformation and compound, and the second is the stochastic volatility model, or random variance model, referred to as sv model. although the development of models is perfect, it always can not solve many problems in reality. fractal proposed, allows us to sequence a new understanding of the time series itself. in 1963, b.b.mandelbrot found the symmetry between large and small-scale on price when he studied the long-term behavior of cotton price 3. the same year, on studing the transmission error of signal, he found that errors transmission and error-free transmission ordered by time according to the cantor set. these phenomena on which is not happened by chance make he viewed newly with the natural phenomenon that we are accustomed to, and then he proposes a new concept fractal, which can cover almost all of the phenomenon. it can describe any nature phenomenon which is rregular but self-similar, and the phenomenon with the rules with which people is familiar is a special case of fractal. in 1975, b.b.mandelbrot published the first book of fractal geometry fractal: form, chance and dimension in french marking the official birth of fractal theory. fractal theory is more reasonable to explain many natural phenomena compared to other theories, 金融时间序列的多重分形特征研究 2 so it has been widely used in many areas. fractal market theory, which is used to analyze market by fractal theory, describes the market as fractal structure which is closer to a real one. fractal characteristics include the long memory, also known as long range dependence, persistence or anti-persistence, scale invarance, intermit-tency or inhomogeneity, volatility and so on. the earliest method of fractal analysis is rescaled range analysis (r/s). the r/s method is a non-parametric statistical method, which was proposed by hurst (1951) at first 4, when he studied the change of the reservoir capacity caused by the uncontrollable factors such as rainfall. the hurst exponent (h in short) proposed at the same time, which makes researchers have quantification knowledge about the long-range dependence. hurst exponent could describe scale feature of time series fluctuation and estimate its non-randomness. its value can reflect the strength of the persistent or anti-persistent. only the time series with strong persistent could make prediction possible. c. k. peng and other scholars (1993) have found in dna molecular research that the dna molecular orders showed a long-range dependence and exponential distribution when the number of molecular is more than 104, and then proposed dfa method 5. the dfa method could detect long memory of the non-stationary time series and get h value. e alessio and other scholars 6 have proposed dma method based on the dfa method in 2002. its main improvement is that the polynomial fitting is substituted by moving average. comparing with the dfa algorithm, the dma method could estimate h much faster and more accurate because the moving average is easier and more precise than polynomial fitting 7-8. the dfa algorithm has many deformations. by particular comparison, amir bashan 9 has pointed out that the cma (centered moving average) method has more stability when n is rather small while the cma and bma methods （backward moving average, that is, dma in this article) are basically similar. 第一章 引 言 3 but to characterise the real stock market structure only with monofractal structure is not enough, and then it need to study the multi-fractal structure. the so-called multifractal, which is defined on a fractal structure, is an infinite set composed by fractal measure of many scaling exponents. it depicts the local scale of fractal subset with different scales and scaling exponents. from the view point of geometric, the finite sub-sets that make up of the fractal sets have different scaling exponent and fractal dimensions. with rapid development of fractal theory, the multi-fractal analysis of financial time series has become a frontier issue. mandelbrot proposed the multifractal model of asset return (mmar) first 10-12, this model takes into account heavy-tail and long-term memory. mmar do not necessarily contain infinite variance, so it is different from the levy stable distribution. it is also different from fbm (fractional brownian motion). when increment of asset prices is not relevant, mmar shows the absolute value of the increment in prices with long memory. kantelhardt and other scholars 13 have proposed the multi-fractal detrended fluctuation analysis (mf-dfa) in 2002 based on the dfa method. it can detect multi-fractal characteristics of the non-stationary time series. from then on, the research on fractal characteristics of time series is not only the single hurst exponent, but also the changing generalized hurst exponent. ramirez and other scholars 14 have derived a new mf-dma method in 2005, which is a direct promotion of the dfa method by studying neutronic power of atom nuclear reactor under h lder norm. in order to distinguish, then the former is called k-mfdfa and the later is r-mfdfa. on the basis of learning and summaring the methods and thinking of our predecessors, the paper studies mainly the estimation methods and statistical algorithms of the fractal characteristics. first of all, the paper will improve the original algorithm using the moving technology and it does a simulation comparison. second, drawing on the idea of dma, it proposes the mf-dma method on mf-dfa method. finally, a number of methods, including the new method were used to analysis empirically the chinese shanghai and 金融时间序列的多重分形特征研究 4 shenzhen stock market index. in addition, reasons of the existence of shanghai and shenzhen stock markets multi-fractal characteristics were researched. key words: fractal; multifractal methods; moving r/s analysis; mf-dma method clc：o212; o415 承诺书 63 承 诺 书 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是在导师指导 下独立完成的，学位论文的知识产权属于山西大学。如 果今后以其他单位名义发表与在读期间学位论文相关的 内容，将承担法律责任。除文中已经注明引用的文献资 料外，本学位论文不包括任何其他个人或集体已经发表 或撰写过的成果。 学位论文作者（签章） ： 2009 年 月 日 第一章 引 言 1 第一章 引 言 在谈分形理论之前，我们先了解一下时间序列波动模型的发展，这也是我们始 终关注的另一方面重要工作。 1.1 金融时间序列波动模型回顾 经过大量的实证研究，我们已经接受了这样一个事实：资产的价格波动并不服 从高斯分布，而是具有“尖峰厚尾”性和长记忆性等分形特征，表现出分数布朗运 动的特征。因此，对金融市场资产价格或收益率的波动性的研究成为了金融研究的 一个重要内容。目前研究金融时间序列波动性的模型主要包括两大类，其一是 arch 模型以及它的各种形式的扩展，其二是随机波动(stochastic volatility)模型，或称随 机方差(stochastic variance)模型，简称 sv 模型。 1.1.1 arch 模型及其发展 arch 模型 1982 年美国经济学家 engle 首次提出了自回归条件异方差(arch) 2模型，该模 型能反映方差的时变性和波动簇族性，从而为解决回归分析及预测中的异方差问题 提出了新的途径。模型如下： = + 其中 = = + 11 2 + 22 2 + + 2 |1 0, ，i t1表示已知信息集合。 为白噪声， 且 = 0， = 1。 0， 0( = 1,2,)。如果 q i=1 0， 0 = 1,2, ， 0( = 1,2,)。garch(p, q)为平稳过程 的充分必要条件是 =1 + =1 0表示预期收益与条件方差存在正相关 关系。当 1，表示投资者对市场风险要求更高的报酬，属风险厌恶型；当 1， 表示投资者对市场风险要求较小的股票报酬，基本属于风险爱好型；当 = 1，属于 风险中性投资者。 正如 black(1976)，christie(1982)，french，schwert 与 stambaugh(1987)， nelson(1990)，schwert(1990)等研究者所发现得那样，好消息与坏消息对于股价波 动的预测能力并不相同，例如坏消息所引发的波动比好消息要大。如果忽略不对称 信息，以往波动模型会低估坏消息之后波动量，而高估好消息之后波动量，从而导 致波动预测能力的降低。因此一些学者在 garch(arch)模型的基础上，提出了具有 预测波动不对称性的 garch 模型。 egarch 模型 nelson(1991) 提出了 egarch(exponential garch)模型20， 考虑了信息不对称 现象的正负冲击所引起的不同影响，而且不需要 garch 模型中系数参数的非负性 约束。egarch 模型方差方程的常用形式如下: loght= + =1 + =1 log 式中 = + ，= 为白噪声，且 = 0， = 1。 tgarch 模型 第一章 引 言 3 zakoian(1994)21和 glostem, jaganthan 式中 是分数布朗运动，(0 1)为 hurst 指数，()是随机交易时间， 为时间的增函数。 ii. 交易时间()是定义在 0, 上的多重分形测度的累积分布函数，也就是一 个连续但非减的并且具有平稳增量的多重分形过程； iii. 和 () 是相互独立的。 定理定理 3.5 ： ：如果满足以上三条假设，过程 ,0 是多重分形的，且具 有平稳的增量，尺度函数及多重分形谱分别满足： () () () ( ) 股票收益的多重分形模型体现了序列的四种基本特征：标度不变性，重尾性， 异方差性和价格波动的长记忆性。相比以往的模型如 arch/garch、lvy 过程、 证明参见文献11-13。 金融时间序列的多重分形特征研究 30 分数布朗运动(fbm)等只能抓住价格波动的某一特征来说具有许多优点。如 arch/garch、lvy 过程虽然可以描述价格的暴涨暴跌特性，却不能反映波动的 长记忆性；而 fbm 情况恰好相反。 3.4.2 配分函数法 分形几何中有一个随机分形的例子：每棵树上枝丫的生长位置和大小是随机的， 但同一种树的外形是相似的。多重分形就是研究分形几何体在“生长”过程中不同 层次（时间段）的行为特征。研究的思路就是，将研究对象的生长界面分成一个个 小区域（时间段） ，然后估计分形体在每个小区域内的“生长”概率。如果不同区域 有一致的“生长”概率，则说明分形体是单分形的。如果不同区域有不同的“生长” 概率，则说明分形体可能具有多重分形性。研究者的目的就是试图用一些特征指数 来描述这些不同的局部“生长”特征。 局部“生长”概率常用来表示，称为奇异指数，它的大小用来衡量局部生长概 率的大小。将具有相同奇异指数的小区域构成一些子集，并记这些子集的分形维为 f()，常称为对应于的分形维或分形谱，则f()可以描述分形体不同生长界面上的 生长概率。 显然f()是函数， 两者的平面图形就是分形谱的形状。 分形谱的宽度即： = max min 反映了不同区域最大“生长”概率和最小“生长”概率的差别。越大说明多重分 形性状越明显。相应的最大“生长”概率和最小“生长”概率子集对应的分形维数 的极差： = 则可以反映“生长”快慢出现频率的变化。因此分形谱图像的不对称性也是多重分 形性的判断根据。配分函数法(partition function approach)就是给予以上思想提出的， 计算步骤如下： 1）计算各段累积和，如第 j 段为 = ( 1 + ) =1 2）计算质量概率（又称质量密度） = =1 3）给定 q 值，计算配分函数的值，即 = =1 第三章 金融时间序列的分形理论与算法 31 4）改变 n 的取值，重复以上 3 步。通过幂律关系 () log( )()log() 5）改变 q 的取值，重复以上 4 步 q 的函数()，称为质量指数或尺度指数； 6）考察()的关系，判断序列是否具有多重分形性。 理论上，为任意实数，但是太大或太小都容易造成计算机的“溢出”问题。一 般取-60，60，间距为 10。 3.4.3 mf-dfa 算法 2002年kantelhardt等人在传统dfa方法的基础上提出的多重分形消除趋势分析 (mf-dfa)方法 14，2005年ramirez等在研究原子核反应堆中的中子功率振动 ( neutronic power)的长程相关性时，利用h lder范数直接推广了dfa方法,得到一种新 的mf-dfa方法。为了区别，前者记为k-mfdfa方法，后者记为r-mfdfa方法。以 下介绍应用较广的k-mfdfa方法的具体步骤。 1）构造“侧面”(profile)： ， = 1,2,，也就是累积离差序列。 = ( ) =1 ，式中， = 1 () =1 2）把序列()分成个长度为的不重叠的数据段。因为不一定被整除，为 了不丢失尾部数据信息，将序列从尾部开始，同样分成等长度的段。 3）然后按如下方法处理第段( = 1,2,2)： a对第段中个数据进行最小二乘多项式拟合，得到(任意正整数)阶拟合 多项式； b消除该段数据的趋势，计算第段上平均残差平方，记为： 2 , = 1 1 + () 2 =1 式中 ()为该段拟合多项式的第个值，作为 1 + 的估计值。倒 序拟合类似。 4）重复第 3）步，算出各段数据的残差平方平均值，给定(任意实数)，得到阶 消除趋势波动函数： = 1 2 2(,) 2 2 =1 1 5）当分割长度取遍2,/2中的各个整数后，根据幂律关系 () 金融时间序列的多重分形特征研究 32 对(log(),log()的散点图作线性回归，斜率即为对应于的()； 6）改变值，重复以上 2） 5）得到 q 的函数 h(q)，称为广义 hurst 指数； 7）考察()的关系图，判断序列是否具有多重分形性。 以上的取值一般为-10，10，间距为 0.2。n 一般为n+1，n/4之间的所有整 数。 = 0时 变为： = exp 1 4 log 2(,) 2 =1 (0) 3.4.4 滑动窗 mf-dfa 算法 滑动窗(k-)mfdfa 方法也是针对不重叠分段过程提出的。原方法忽略了很多数 据的局部性质。滑动分段包括了任何数据点的步距离的幂律性质。所以统计意义更 加完整。 因为改进后的方法不会遗漏任何数据， 所以不需要从尾部开始重新分割。 给定后 的分段数= + 1。将原程序中的2换为 + 1即可。 模拟数据同上。因为判断多重分形存在性的三个指标都可以互相推导，我们以质 量指数为例比较说明（见下图） 。其中-为原方法所得结果， *为滑动方法所得 结果。不难看出，滑动方法得出的()与的关系更接近于直线，可以说结果更为可 靠。 需要说明的是，有人108用滑动窗r-mfdfa方法（同本文思想）与原r-mfdfa 方法对上证综指收益序列实证比较，结果表明滑动窗技术确实可以减少由多项式拟 合在分割连接点的不连续性所引起的伪波动误差,即滑动窗r-mfdfa方法具有比一 般的r-mfdfa方法更高的精确度。 第三章 金融时间序列的分形理论与算法 33 图 2：滑动窗 mfdfa 方法与 mfdfa 方法所得质量函数比较 3.4.5 mf-dma 方法的提出 已知时间序列, = 1,2,。 1）构造“侧面”(profile)： , = 1,2,，也就是累积离差序列 = ( ) =1 , = 1 () =1 ; 2）窗宽为 n，计算滑动平均序列 = 1 1 =0 , = , + 1, ; 3） 0时，计算如下波动函数： = 1 + 1 = 1/ ; 4）改变的值，根据幂律关系 h() ; 两边取对数， 对(log(), log( )的散点图作线性回归， 斜率即为对应于的 ()； 5）改变值，重复以上 2） 5）得到的函数 ()，称为广义 hurst 指数； 金融时间序列的多重分形特征研究 34 6）考察 () 的关系图，判断序列是否具有多重分形性，见第四部分。 对计算步骤中和的取值范围可参考文献14。特别地，在 = 0的情况下，波动 函数按如下定义： = exp 1 2 log =1 h 0 . 我们注意到，在 k-mfdfa 方法中 2 , = 1 1 + 2 =1 . 式中 为 1 + 的拟合值。然后计算 q 阶消除趋势波动函数 = 1 2 2 , 2 2 =1 1 . 而在 r-mfdfa 方法中，波动函数的形式为： = 1 (;) =1 1 q . 其中，(;)为相应分段内的局部线性趋势函数所计算的第个拟合值。 相比之下，本文所提的方法（mf-dma）可以看作是 r-mfdfa 的直接推广，区别 在于新的波动函数的计算式中应用了滑动平均的思想， 用窗宽为的滑动平均函数来 代替趋势函数。 第四章 分形相关指数关系探讨 35 第四章 分形特征指数关系探讨 4.1. hurst 指数与分数布朗运动 前文中，我们已经使用了一个重要结论，即 fbm 中的h(0 1)就是 hurst 指数，从而选用了相同的字母 h。以下是对 hurst 指数的解释，不难看到 fbm 中的 h 取 hurst 指数的理由。 命题命题 4.14.1： hursthurst 指数是分形布朗运动的指数指数是分形布朗运动的指数 设时间序列yt是布朗运动 的现实，作以下记号： = =1 ， = 1 =1 = 2 = 1 2 =1 4.10 ， = (4.11) 式中 = max 1 ， = min 1 4.12 根据 r/s 分析方法，得到： = 由(,2)，得(,2), (,2 ), 。令 = ，0 1， 有 = () = ( ) = 1 ，0 1 max 1 min (1) = (1/2) 进一步，对分数布朗运动，有 = () 这时可以认为 hurst 指数即为自相似指数 h。 命题命题 4.24.2：分数布朗运动不是：分数布朗运动不是 markovmarkov 过程过程 引用文献109。 金融时间序列的多重分形特征研究 36 证明： 设分数布朗运动(,)， h 为 hurst 指数(0 1)， 对任意时间， 有： e + , , = 0 var + , , = 22 由此可得： e , + , = 2 2 + 2+ 2 2 所以： e , + , , = 2 2 + 2 2 2 再利用分数布朗运动的平稳性，得增量的相关函数为： , = e , + , , var + , , = 1 2 + 2 2 2 2 特别地， = 时，有： = (2)2 22 22 = 221 1 显然，当 = 1/2时， = 0，即未来的增量与过去不相关。当 1/2时， 即分数布朗运动(,)就不是 markov 过程了。 进一步不难得出以下性质。 性质性质 4.34.3：分数布朗运动：分数布朗运动时间间隔为时间间隔为 t t 的增量的增量的的自自相关函数相关函数 有有 t 与 t 无关； 0.5 = 221 1 1； 1，即不可能完全负相关； 当0.5 1时，0 1，即正相关，且越接近 1，相关越 强， = 1时，完全正相关。 定理定理 4.44.4：对于对于分数分数布朗运动布朗运动，其，其一步增量序列一步增量序列的的阶自相关函数阶自相关函数满足满足： 2 1 22, . 以上说明 hurst 指数可以反映分数布朗运动增量的相关性。 4.2. hurst 指数与自相关函数 对平稳时间序列，其滞后 k 阶的自