（计算数学专业论文）外区域上dirichletneumann算子的对角化和广义逆的正则逆表示.pdf

论文摘要 本文是在法方导师n a n g o i 8a l o u g e s 和中方导师陈果良教授的共同指导下完成的， 全文共分成五个部分，第一部分是外区域上的d i r i c h l c t - n e u m a n n 算子的对角化，这部 分工作是在法国期间由法方教授f r a n s o i sa l o u g c s 指导完成，其余四个部分关于互补 广义逆的性质推导及应用则是中方导师陈果良教授悉心指导的结果 若q 是f ( d = 2o u3 ) 中的一个闭的凸集，在实际应j 1 j 中经常需要求如下的能量 积分( 例如铁磁学中关于磁能的计算) l v 咖1 2 ， r d q 其中满足在q 上调和并且在无穷远处趋于零利用d i r i c h l e t n c u m a n n 算子的定义，上 式可以改写为 i v 1 2 = 如d ( 九) ，r d n，踟 然而众所周知，已有的求解d i r i c h l e t - n e u m a n n 算子的近似算法的时间是与边界a q 上的 点的个数成平方关系，当点的个数足够多时，这将导致实际计算的困难，区域是三维的 情形这一困难尤为突出 本文的想法是利j 1 j d i r i c h l e t n e u m a n n 算子d 的特征值和特征向量( a n ，饥) 砭1 来 逼近上述能量方程若 如= ( 九，以) 以， n 2 l 那么很自然的我们有 d ( 如) = k ( 加，饥) 以， n 1 i i i 此时能量方程转化为 厶n 附2 蚤州如川2 我们可以用有限项来逼近上式， ， p 厶n m “薹h ( 九川2 通过本文第一部分的实例我们知道当区域为规则的圆或椭圆时，上式将很快收敛，即 能量是南d i r i c h l e t - n e u m a n n 算子d 的最小的若干个特征值和特征向量来决定从而 上述问题转化为求解d i r i c h l e t n e u m a n n 算子d 的最小的若干个特征值和相应的特 征向量 在本文的第一章中我们首先分析了当区域为圆和球的情形，通过f o u r i c r 分析和调 和分析，我们得出了如下结论： 当区域为圆时，d i r i c h l e t n e u m a n n 算子d a r 的特征值为k = m ，其重数为2 ，相应 的特征向量为= e 加，即f o u r i c r 基 当区域为球时，d i r i c h l c t n e u m a n n 算子d 的特征值为入n = n ，但其重数为2 n + 1 ， 相应的特征向量为m ，为调和函数的基 利用无限元的思想，通过类比三角流我们给出了求解d i r i c h l e t n e u m a n n 算子d 最 小若干个特征值和档应的特征向量的一个线性算法 通过大量的实例，与已有的方法相比我们的算法精度更高，且计算时间与区域上 的点的个数成线性关系，这导致虽然当点数较少时，我们的算法需要较多的时间，但当 点数足够多时，我们的方法将体现出其优越之处 矩阵理论在数值计算、线性规划、数据分析、网络优化等重大领域有着极其广泛 的应用随着科技进步，矩阵理论在实际中应用越来越广泛，矩阵理论的研究也显得越 来越重要在实际应用中，经常遇到如下的线性方程组： a z = 6 ，其中a c m x n ，z 伊，6 c m ( 1 ) 若a 为方阵且非奇异，则( 1 ) 一定有唯一解为z = a _ 1 6 若( 1 ) 为相容方程组( 即6 r ( a ) ) ，则一定有解但当其解有无数个时，通常我们关心 一个范数极小的解 若( 1 ) 为矛盾方程组，通常我们求解使残差向量6 一a z 范数最小的那个解，即最小二 乘解 为了统一解决上述问题，广义逆理论应运而生，并最终解决了这些问题 1 9 2 0 年，e h m o o r e 在美国数学会通报上给出了任意矩阵的广义逆的如下定义： 设a c m n ，则满足 a g = 岛( ) ，g a = p r ( g ) ( 2 ) 的矩阵g c 似”称为a 的广义逆矩阵，记做a + ，其中r ( ) 和珞( g ) 分别是r ( a ) 和r ( g ) 上的正交投影矩阵 1 9 5 5 年，r p e n r o s e 在美国剑桥哲学学会学报上以非常简单、直观的形式叙述了 广义逆矩阵a + 满足的四个条件： 设a c m 姗，则满足 ( 1 ) a g a = a ；( 2 ) g a g = g ； ( 3 ) ( 3 ) ( a g ) + = a g ；( 4 ) ( g a ) = g a 的矩阵g 伊m 称为a 的广义逆矩阵，记做a + 可知上述两个广义逆的定义是等价的，可参阅参考文献 8 1 】- 上述定义的j “义逆， 通常称为m o o r 争p e r m s e 广义逆，简记为m p 逆，也称作伪逆在此基础上，又衍生 出了其它许多类型的广义逆设o ，7 1 ，2 ，3 ，4 ，则所有满足7 7 中条件的矩阵集称 为a 的俨逆 根据广义逆的相关理论，矛盾线性方程组的最小二乘解与a 的 1 ，3 ) 一逆有关，相 容线性方程组的极小范数解与a 的 1 ，4 ) 一逆有关，矛盾线性方程纽的极小范数最小二 乘解则与a 的m 一尸广义逆有关 随着广义逆研究的深入，又产生了群逆，d r a z i n 逆，b 0 0 t d u f l i n 逆，加权广义逆， o 一卢广义逆，a 熟逆等其它广义逆它们的部分定义罗列如下，相关性质可参阅参考 文献【5 ，8 1 ，8 2 ，8 3 ，8 4 ，8 5 】等 设a 伊黼，满足r a n k ( a 詹+ 1 ) = r a n k ( a 七) 的最小正整数七称为a 的指标，记为 z n d ( a ) = 七贝0 满足： ( 1 七)4 七g a = a 知； ( 2 )g a g = g ； ( 4 ) ( 5 ) a g = g a 的矩阵g c n n 称为a 的d r a z i n 逆，记做a 当饥d ( a ) = l 时，d r a z i n 逆称为群逆，记做a 襻 设a c 似n ，三cc 竹，且a 巴+ 兄上非奇异，则称 a 1 = 咒( a r + 咒上) 一1 ( 5 ) 为a 的b o o t - d u 伍n 逆 设a c 似n ，lc 伊，当a 为”l 零”阵时( 当a lnl 上= 0 时，a 称为”l 零”阵) a = 兄( a 兄+ 兄上) +( 6 ) 称为a 的广义b o o t d u 伍n 逆 近十几年来，国内外许多专家学者，如b e ni s r a c la ，g r e v i l l et n e r a o ，s t e w a r t ， 魏木生，王国荣，孙文瑜，陈永林，陈果良，魏益民等，在广义逆方面做了大量的研究，在 各种不同的刊物上发表了有价值的论文，出版了相关的专著 本文首先类比b o o t d u f i i n 逆和广义b o o t d u 伍n 逆存在的条件，b 0 0 t d u f i i n 逆和 广义b o o t - d u 伍n 逆存在的条件分别为 a 三。三上= 矿，( 7 ) a ln 上，上= 0 ( 8 ) 我们进一步考虑另外两种情形 即当a c 似n ，6 伊，t 和s 是c n 的子空间且tos = g n 时， a 丁os = g n ， ( 9 ) a tns = 0 ， ( 1 0 ) 通过( 9 ) 式定义了一种新的互补广义逆a 铝= 片，s ( a s + p s ，t ) 一，这里我们将传 统的空问正交直和分解改为空间的直和分解，通过改变其值域空间和零空间，建立了 d r a z i n 逆、群逆与正则逆之间的如下的显式表达式： a 襻= _ j ( a ) ，似) ( a + 只v 似) ，r ( a ) ) 一1 ， a ( d ) = p 反a ) ，) ( a 尸r 。) ，似) + 尸) ，r 。) ) 1 通过类比，猜测并证明了m o o r e p c n r o s e 逆如下的两个显式表达式： a + = a ( a a + + 局v ( a ) ) 一1 ， a + = ( a + a + 昂( a ) ) 一1 a 并利用这两个表达式证明了第三章的主要定理 通常a 夥逆包含了d r a z i n 逆、群逆、m o o r e - p e n r o s e 逆、b 0 0 t d u 伍n 逆和广义 b o o t - d u f i i n 逆本文进一步考虑了e r d e l y i 在参考文献【2 2 】中所定义的拟交换逆，证 明拟交换逆其实也是互补广义逆的一种特殊情形接着给出互补广义逆相关的扰动分 析及迭代计算方法 通常研究广义逆的思路，都是由p e n r o s e 条件的四个方程出发，通过研究m 一尸 逆的结构与性质，进而构造特殊的 1 ) 逆来给出a 鬟的定义，最终得出d r a z i n 逆、 群逆、m 0 0 r e p e n f o s e 逆、b o o t d u 国n 逆和广义b o o t d u m n 逆都是特殊的a 呈第二 章则直接推广b o o t d u m n 所用的矩阵的限制逆这一工具，直接给出互补广义逆的表达 式，反过来得出其性质，并指出其也包含了d r a z i n 逆、群逆、拟交换逆、b o o t d u f i i n 逆在本章最后，我们研究了互补广义逆与a 关的关系，通过一系列的转换，我们 发现在方阵情形，互补广义逆是a 器中的一个特殊集合，其与雒；具有相同的表达 式，区别在于存在条件略为加强这即为第二章的主要内容 在第三章中，通过分析，证明( 1 0 ) 式的条件不够确切，论证了广义b o o t - d u m n 逆 中将三，三上改为t ，s 后，仍然成为a 乒；的必要条件为该矩阵为工广零阵且其值域空 间和零空间互为正交补空间( 即必须为通常的广义b o o “d u m n 逆) 前面两章，都只考虑了方阵的情形在第四章中，我们利用两个投影矩阵，建立了 一般的鸶；逆与正则逆之间如下的三个显式表达式：a c m ”) a 关= 毋e ( 三) c a 片e ( 三) + p s f ，( 三) c n m ，当m n 时 a 笋= 片e ( jo ) ( a 坪e ( jo ) 十p s f ) 一1 ，( jo ) c n t ，l ，当n m 时 a 关= ( e l ，o ) ( a 毋，易) 一1 = ( 1 ，2 ，矗，o ，o ) ( a l ，a 2 ，a 矗，聊+ 1 ，叩m ) ，( 且，o ) c n m 并给出其在约束线性方程组求解中的应用 在最后一章我们给出了广义逆这种正则逆表示在广义逆的反序性，l o w n e r 偏序， 连续性中的一系列应用，并给出了一种计算广义逆的直接算法，通过与第二章中迭代 计算方法的比较，体现出该方法的优越性 自从p e n r o s e 条件的给出，人们已经系统的研究了d r a z i n 逆、群逆、m o o r e p c n r o s e 逆、b 0 0 t - d u m n 逆和广义b o o t d u 伍n 逆等各种常用广义逆的相关结构和性 质本文的创新之处在于通过类比b o o t d u m n 逆和j 义b o o t d u f i i n 逆的存在条件，推 广了b o o t d u m n 所用的矩阵的限制逆这一工具，构造出了特殊的互补广义逆，并通 过改变其值域空间和零空间，得到了一系列的常用j “义逆的正则逆表示，进而简化了 广义逆的显示结构，并直观解释了各种常用，“义逆的存在条件，从而使一些复杂问 题变得简誓，可行 关键词：d i r i c h l e t n e u m a n n 算子，对角化，互补广义逆，正则逆表示 a b s t r a c t c em a n u s c r i tr e g r o u p el e n s c m b l ed ut r a v a i lq u ej a ir 6 a l i s 6e nt h 括ee nc o t u t e l l e f r a n c o _ c h i n o i s e c c t t et h 商ea6 惦e 行e c t u 6 es o u 8l ad i r e c t i o nd cf r a n g o i sa l o u g c sp o u rl a p a r t i ef a n s a i s ee td eg u o l i a n gc h e ne nc eq u ic o n c c r n el ap a r t i cc h i n o i s e l em a n u s c r i t e s td 6 c o u p 6e n5c h a p i t r e s l ep r e m i c rc o n c e r n el ad i a g o n a l i s a t i o nd cd i s c r 6 t i s a t i o n d o p 6 r a t c u r sd et y p ed i r i c h l e t n e u m a n na1 e x t 6 r i e u rd o u v c r t sb i d i m c n s i o n n c l so ut r j d i m e n s i o n n e l s i lc o r r e s p o n da ut r a 、，a i lf a i tc nf r a n c e ，t a n d i sq u el e s4a u t r e sc h a p i t r c s t r a i t c n td e 酌n 6 r a l i s a t i o nd i i c r s c sd em a t r i c e sd et y p eb o t t d u 甩n ，e td 6 c r i v c n tl ct r 斗 v a i lq u ej a if a i tc nc h i n e p l u sp r 6 c i s 6 m e n t ，s iqe s tu no u v e r tb o r n 6 ，r 亡g u l i c rd er d ( d = = 2o u3 ) ，s il o n s o u h a i t e6 v a l u e rn u m 亡r i q u e m c n tl 6 n e r g i e 厂酬2 ，r d 、o p o u r h a r m o n i q u ee nd e h o r sd eq e td 6 c r o i s s a n t 色l i n f i n i lc o n n a i s s a n tl at r a c e 如d c s u rq ，o np c u tg r 钯eal o p 6 r a t u e rd ed i r i c h l e t n e u m a n nd 6 c r i r e fl v 1 2 ：如d ( 加) ， ，r o n j ，硼 d es o r t eq u el o nr a m 色n el ep r o b l 夺m eal ac o n n a i s 潞a n c ed ed ( c eg e n r ed eq u e s t i o n a p p a r a tt r 白n a t u r e l l e m e n td a n su ng r a n dn o m b r ed es i t u a t i o n sp h y s i q u e sc o m m ep a r 1 l eb o nc a d r et b 幻啦u ep d u fp o s e rc ep r o b l 色m ee s d ec h e r c h e r d 柚sl 锄p a c ed eb 印p 0 - l e 、，i 彬1 ( r d l x e x e m p l el ec a l c u ld el 6 n e r g i e 舶m a g n 6 t i s a n t ed u n6 c h a n t i l l o nf e r r o m a g i l 6 t i q u e ) m a l h e u r e u s e m e n t ，i le s tb i e nc o n n uq u ez ) e s tu no p 6 r a t e u rn o n l o c a l ，d es o r t eq u el a d i s c 托t i s a t i o nd el af o r m u l ep r 6 c 甜e n t ef a i ti n t c r v e n i rd e sm a t r i c e sp l e i n e sd o n tl at a i l l e c s tp r o p o r t i o n n e u ea uc a r r 6d un o m b r ed i n c o n n u e s s u ra q c e c ip e u t 夺t r er 6 d h i b i t o i r e ， p r i n c i p a l c m e n tl o r s q u ed ：= 3 l i d 6 ed up r e m i e rc h a p i t r ee s td cd 6 c o m p o s e rs p e c t r a l e m e n td e ne n e t ，s il o nc o n n a i tl e s6 1 6 m c n t sp r o p r e s ( k ，) n 2 ld ed ，o np o u r r a 6 c r i r ee nd 6 c o m p o s a n t s e l o nl e sv e c t e u r sp r o p r e s 九= ( 九，九) 如 n 1 e tl ，a p p l i c a t i o nd ed ( e ta i n s il ec a l c u ld el 6 n e 唱i cp r 6 c 6 d e n t e ) d c v i e n d r at r i v i a l e e n e 最e t o naa l o r s d ( 咖) = h ( 锄，) 如 n l e tl 6 n e r g i ep r 6 c 6 d e n t es ec a l c u l eg r a c ea 厶nl v 卯。p ( m ) 2 o np c u ta l o r se n v i s a g e rd et r o n q u c rc e t t es 6 r i ce td u t i l i s e rl a p p r o x i m a t i o n lm 一耋u 如川2 u nc o m p r o m i s6 t a n tat r o u v e rr c l i a n tl en o m b r epd ev c c t c u r sp r o p r c s 色t r o u v e re tl a v i t e s s ed cd 6 c r o i s s a n c ed e ( ，) v e r so ( e ta u s s il ac r o i s s a n c ed ek ) a i n s i ，0 nc h e r c h e d a n sl ep r e m i e rc h a p i t r eac a l c u l e rl c sp r i n c i p a u xv e c t e u r sp r o p r e 8 写kc o r r e s p o n d a n ta u x p l u sp e t i t e 8v a l e u r 8p r o p r e 8k d ed e ns i n t e r d i s a n tt o u t ed i s c r 6 t i s a t i o nd ed q u i d o n n e r a i tu nc o n tp r o h i b i t i fal am 6 t h o d e o np r o d u i ta i n s iu n em 6 t h o d ed o n tl ac o n 卜 p l e x i t 6e s tp r o p o r t i o n n e l l ea e ta un o m b r ed ev e c t e u r sp r o p r e sps o u h a i t 6 s p l u s i e u r s t e c h n i q u e ss o n tu t i l i s 6 e sp o u rc e i a ，o nr 6 s o u tl e sp r o b l e m e sd el a p l a c ee x t 6 r i e u r sp a ru n e m 6 t h o d ed et y p e 嗨1 6 m e n t si n f i n i s u t i l i s a n td e sm a i l l a g e se x p o n e n t i e l s ，e to nu t i l i s eu n 丑o ta d a p t 6p o u rc a l c u l e rl e s6 1 6 m e n t 8p r o p r e s p l u s i e u r sf o r m u l a t i o n ss o n te n v i s a 9 6 e 8e t v a i i d 6 e sp a rd e se x e m p i e sn u m 6 r i q u e se nd i m e i l s i o n sd = 2e td = 3 d a n sl e sc h a p i t r e s2a5 ，c o r r e s p o n d a n ta ut r a 、r a i le f r e c t u 6e nc h i n e ，o n6 t u d i ep o u r u n em a t r i c ea 嗄y ”u n e9 6 n 6 r “i s a t i o nd es o n ( p s e u d c 卜) i n v e r s ea us e n sd eb o t te t d u 丘i n p l u sp r 6 c i s 6 m e n t ，o n6 c r i tp o u rd e u xs o u se s p a c e 8s u p p l e m e n t a i r ete tsd ec n l ep r o b l 6 m e 加+ 掣= 6 ， p o u rz te ty s c e c ic o n d u i te nc o n s i d 6 r a n t 尸t s ( r e s p p 毫t ) l ep r o j e c t e u rs u rt p a r a l l 6 l e m e n tas ( r e s p s u rsp a r a l l 6 i e m e n ta 丁) ，e te ni n t r o d u i s a n tz = = z + 可d es o r t e q u e z = j s ze t 可= j ) s ，r z ， a6 c r i r el ep r o l b l 6 m ep r 6 c 6 d e n ts o u sl af l o r m e 墨s + 黾r ) z = 6 ， p u i s ，l o r s q u ea 矗s + p s ，te s ti n v e r s i b i e ，ap o s e rz = a 撼6o 矗 a 嚣= 危s ( a 墨s + 丁) 一 l e sp r o p 水t 6 sd ec ep s e u d oi n v e r s es o n t6 t u d i 6 e sd a n sl e sc h a p i t r c s2e t3a l o r sq u e1 e c h a p i t r e4e s tc o n s a c 托a l a9 6 n 6 r a l i s a t i o nd ec c t t en o t i o ns o u sl af o r m ed i n v e r s e9 6 n 6 r a l i s 6 a 笋d eap o s s 6 d a n tu nn o y a ue tu n ei m a g ep r e s c r i t e s k e yw o r d ：o p 缸a t e u r sd et y p ed i r i c h l e t n c u m a n n ，d i a g o n a l i s a t i o n ，p s e u d 伊 i n v e r s ea us e n sd eb o t te td u 伍n ，i n v e r s e 醇n 6 r a l i s 6 符号说 明 若不特别加以说明，本文采用参考文献【5 】中的记号 舻加，c m 期m n 的实矩阵和复矩阵的集合； 礼阶单位矩阵； r ( a ) ，( a )矩阵a 的值域和零空问； r a n k ( a ) a 丁小 矩阵a 的秩； a 的转置和共轭转置； a ( m ) ，p ( m ) m 的特征值和谱半径； 忍s值域为丁，零空间为s 的投影 p r ( a ) 值域为冗似) 的正交投影 学位论文独创性声明 本人所呈交的学位论文是我在导师的指导下进行的研究工作及 取得的研究成果据我所知，除文中已经注明引用的内容外，本论文 不包含其他个人已经发表或撰写过的研究成果对本文的研究做出重 要贡献的个人和集体，均已在文中作了明确说明并表示谢意 作者签名： 牛 日期：卵矛! 氢叶 学位论文授权使用声明 本人完全了解华东师范大学有关保留、使用学位论文的规定，学 校有权保留学位论文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电 子版和纸质版。有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论 文进入学校图书馆被查阅有权将学位论文的内容编入有关数据库进 行检索有权将学位论文的标题和摘要汇编出版。保密的学位论文在 解密后适用本规定 孑 l 等 名 弘一 神珥 师 耻 别 嘲 办叭 育-=i 涵生 名 ，| 摊 上 作 肋 姗 v l 论 ： 位 期 葛l r 日 c h a p t e r1 d i a g o n a l i z a t i o no fe x t e r i o rd i r i c h l e tt o n e u m a n nm a po ng e n e r a ls h a p e si n2 d a n d3 d 1 1i n t r o d u c t i o n l c 乞1 1 0b eac o n v e xs m o o t hb o u n d a r yi nap l a n e ，a n dqb et h ed o m a i ne x t e r i o rt o r o w bs o l v et h ed i r i c h l c tp r o b l e m f t i lt 正lr o 0t q 妒， o rt h en e u m a n np r o b l e m ，w h e r et h eb o u n d a 珂c o n d i t i o ni sr c p l a c e db y r o2 妒n ( 1 1 ) l e tc 铲( q ) b et h es e to ff u n c t i o n sw i t hc o m p a u c ts u p p o r tw h i c ha r ei n f i n i t e l yd i 行e r e n t i a b l e 0 nq w 色r e c m lt h el l s u a ls o b o l e vs p a c 镐妒( q ) 柚dw m ，p ( q ) w i t ht h en o r n l sa n d 蛔t n - 衅如卜独p 扎 w h c r e i u k ，n = e s s s u p l 扩乱i ，七o ， i m 概n = ；，m 。，p 1 ， n = 呲p ，q ，m o ，p 1 ， l 七= 0j 扩u f = 钆i i m ，。n =。婴够i 缸i 南，q ， o 七 m i 暑l 南l f 口i = 口1 + + 锄 i fp = 2 ，t h ea b o v en o r m sa n ds e m i n o r m sa r ed e n o t e db yi i u l f m ，oa n di “l 七，nr e s p c c t i v c l y w ew i l lo m i tt h es y m b o lqi nt h o s en o t a t i o n w h e nt h e r ei sn op o s s i b l ec o n f u s i o n f i n a l l y t h e 上，2 一i n n e rp r o d u c ti sd e n o t c db y ( ，) e d ra ne x t c r i o rd o m a i nqcr 2 ，w ba s s u m et h a tt h eb o u n d a 盯a qi sa 山p s c h i t z c l 。s e dc u r v ei nr 2a n dd e n 。t 0b y 豆t h ec l 。s u r eo fq t h cs e t 曙( 孬) c 。n s i s t so fa l l i n 6 n i t c l yd i 圩c r c n t i a b l ef u n c t i o n so nqw h i c hh a v ec o m p a c ts u p p o r t ，a n dt h en o r mf o r e v c r y “l ：翟。( q ) i sd e l i n e da s = ( 加出) 1 2 + 而蒜，如) 5 ， a n dt h ea s s o c i a t e di n n e rp r o d u c t t h ec o m p l e t i o no f ( 孑( q ) w r t t ot h i sn o r mi sa h i l b e r ts p a c e ，d e n o t e db y 日1 ，+ ( q ) f b rat h r e ed i m e n 8 i o n a le x t e r i o rd o m a i nq c 珏f ，t h es p a c e 日1 ，+ ( q ) i 8e q u i p p e dw i t h t h en o r m n 户( 加出) 1 2 + 揣，如) 5 t h ct r a c eo fu 日1 ，+ ( q ) o na qi sd e n o t e db yt 正i 铀w bd e 6 n et h es u b s p a c e 硪+ ( q ) o f 日1 ，+ ( q ) b y 硪( q ) = 仳日1 + ( q ) ；札l 舰= o ) ! ：! ：型! 曼q 2 型旦翌旦盟! 璺2 曼! w bc a l ld t h ed i r i c h l e tt on e u m a n no p e r a t o rd e f i n e db y d ：日 ( r o ) 一日一 ( r o ) 妒一d 妒= 荔 w h e r eu s o l v e s ( 1 1 ) d i sn o tk n a w ni ng e n e r a lb u tf o rs o m et y p i c a le q u a t i o n s ( e 夕w h e nqi sa ni n t e r i o r o re x t e r i o rc i r c u l a ro rs p h e r i c a ld o m a i n ) ，d c a nb eo b t a i n e dc x p l i c i t l y i n d e e d ，f o rh a r m o n i cf h n c t i o n 8o u t s i d et h ec i r c l er o = ( np ) i r = r ，o 1 ，w ed r a wt h es i m i l a rc u r v e so fr ow i 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gf o mo n en o d e ，w ea r r a n g et h en 9 d e s o fni n 锄0 r d e r a c c o r d i n gt ot h e 粕t i c l o c k w j s ed i r e c t i o n c h a p t e r1 d l a g o n a l l z a t l 0 n0 fe x t e r l o rd l r l c h l e tt 0n e u m a n nm a po ng e n e r a ls h a p e sl n 璺窒! 曼 兰2 垒盟2 兰2 f i g u r e1 1 ：t h ei n f i n i t ee l e m e n tm e s h l e tt h en u h l b e ro fn o d e sb en t h cn o d a lv a l u c so ft h cs o l u t i o no f ( 1 1 ) a r ea l s o a r r a n g e di na no r d e ra c c o r d i n gt ot h ea n t i c l o c k w i s cd i r e c t i o n ， w h i c ha r ed e n o t c db y 可：1 ，可孑，可0 ，a n dt h e y f o r man d i m c n s i o n a lc o l u m nv c c t o r 鲰= ( 可：1 ，可：2 ，矽0 ) 丁， w h e r cts t a n d sf b rt h et r a n s p o s i t i o no p c r a t o r e d l l o w i n gt h eb o o kb yl a y i n g 5 9 】，w c o n s i d e ras e to f2 。u = o ，1 ，) l a y e r s ，f o r w h i c ht h es t i f f h e s sm a t r i xo fs i z e2 佗木2 ni s a = ：) - u s i n gt h ef a c tt h a tt h es o l u t i o nt ot h el a p l a c ee q u a t i o nm a k e ss t r a i ne n c r g yr e 耐li t s m i n i m u mv a l u e ，w ec a ng e tt h er e c u r r e n c er e l a t i o n 酽刃匕引 镏卜啦等) ( ：) 帕v ，匕：) ( ：) ) ( 1 3 ) w h e r ej pi st h en - d i m e n s i o n a lr e a lv e c t o rs p a c e e v a l u a t i n gt h ep a r t i a ld c r i v a t i v e so ft h e e x p r c s s i o ni nt h eb r a c e sw i t hr e s p e c tt o 口，a n ds e t t i n gi tt ob ez e r o ，w eg e t w h i c hg i v c s 一2 a l + 2 “，+ 2 u 一2 a f z = o ， u = ( k + ) 一1 ( a l y + a f 名) s u b s t i t u t i n g ( 1 4 ) i n t o ( 1 3 ) a n dc o m p a r i n gt h cc o r r c s p o n d i n gt c r m s ，w eo b t a i n 硒+ 。= 硒一卵( 硒+ ) 一1 a ， k 0 。= 一a l ( k + ) 一1 a r ， a l + l = a l ( 硒+ ) 一1 a 1 ( 1 4 ) ( 1 5 ) ( 1 6 ) ( 1 7 ) b y ( 1 5 ) - ( 1 7 ) w eo b t a i nt h ec o m b i n e ds t i f f n e s sm a t r i 【o f2 。l a y c r sr e c u r s i v c l yf o ra l lz n o ww e 鹪s u m et h a t 珈i sk n o w n ，ci sac o n s t a n tt ob ed e t c r m i n e d a s s u m et h a t 可g = cf o r 七2 l ，i = l ，2 ，a n de q u a t i o 璐一a 弧一l + k 鲰一a r 弧+ 1 = oh o l df o r 尼= 1 ，2 ，2 一1 u n d e rt h e s er e s t r i c t i o n s ，t h es t r a i nc n e r g y 舀v c nb y w = 三z 2 + c 别蛐 i s w = 丢c 订硼( 三：) = 三菇k 珈一凹 a 珈+ 丢c 2 9 1 钆 ( 1 8 ) c h a p t e r1 d 1 a g o n a l l z a t l o n0 fe x t e r l o rd l r l c h l e tt on e u m a n nm a po n g e n e r a ls h a p e sl n w bt a k et h ev a l u e