（运筹学与控制论专业论文）非完整系统的镇定问题.pdf

摘要 本文讨论的是非完整系统的镇定问题我们首先讨论了一类带有非线性参数的非完 整系统自适应控制问题利用参数分离技术将非线性参数转化为线性参数，设计控制律使 闭环系统的所有信号最终一致有界，系统状态收敛到零的小邻域内其次研究了一类带有 时滞项的链系统镇定问题通过构造积分型l y a p u n o v - k r a s o v s k i i 函数来设计状态反馈控 制器，该控制器使闭环系统渐近稳定最后对一类带有强漂移项的高阶非完整系统，我们 利用模糊系统的逼近能力提出了一种自适应控制策略此方案能使闭环系统的所有参数 最终一致有界，系统状态收敛到零的小邻域内 关键词：非完整系统，非线性参数，时滞，模糊控制，一致有界 1 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，t h es t a b i l i z a t i o np r o b l e mo fn o n h o l o n o m i cs y s t e m si sd i s c u s s e d f i r s t l y , t h er o b u s ta d a p t i v ec o n t r o lp r o b l e mf o rac l a s so fn o n h o l o n o m i cs y s t e m sw i t hn o n l i n e a r p a r a m e t e ri sd i s c u s s e d b yt h ep a r a m e t e rs e p a r a t i o nt e c h n i q u e ，w et r a n s l a t et h en o n l i n e a r p a r a m e t e ri n t ol i n e a rp a r a m e t e rt od e s i g na na d a p t i v ec o n t r o ll a ww h i c hc a ng u a r a n t e e t h a ta l lt h es i g n a l si nt h ec l o s e & l o o pa r eu n i f o r mu l t i m a t eb o u n d e d n e s sa n dt h es y s t e m s t a t e sa r ec o n v e r g e n tt oas m a l ln e i g h b o r h o o do fz e r o s e c o n d l y ，t h es t a b i l i z a t i o np r o b l e m o fc h a i n e ds y s t e m sw i t hu n k n o w nt i m e - d e l a yi sd i s c u s s e d b ya p p r o p r i a t el y a p u n o v - k r a s o v s k i if u n c t i o n t h ec o n t r o ll a wi sc o n s t r u c t e dw h i c hc a ng u a r a n t e et h ec l o s e d - 1 0 0 p s y s t e m ss t a b l e f i n a l l y , an e wd e s i g ns c h e m eo fr o b u s ta d a p t i v ef u z z yc o n t r o lf o rac l a s so f u n c e r t a i nh i g ho r d e rn o n h o l o n o n f i cs y s t e m sw i t hs t r o n gn o n l i n e a rd r i f t si sp r o v i d e d t h e d e s i g ni sb a s e do nt h ea p p r o x i m a t i o nc a p a b i l i t yo ff u z z ys y s t e m s u n i f o r mu l t i m a t eb o u n d - e d n e s so fa l lt h es i g n a l si nt h ec l o s e d - l o o pa r eg u a r a n t e e d ，a n dt h es t a t e sa r ec o n v e r g e n t t oas m a l ln e i g h b o r h o o do fz e r o k e yw o r d s ：n o n h o l o n o m i cs y s t e m s ，n o n l i n e a rp a r a m e t e r ，f u z z yc o n t r o l ，t i m e - d e l a y , u n i f o r mb o u n d e d n e s s 2 引言 在工程实践中，许多力学系统受到一种不可积速度约束，即此约束不能通过积分化 为几何约束，这种约束称为非完整约束，而受到非完整约束的力学系统就称为非完整力学 系统( 简称非完整系统) 早在1 5 0 多年前，在经典力学中就开始了对非完整系统的研究 具有控制输入的非完整系统称为非完整控制系统对该系统的研究是近二十年的事，自从 法国学者s a m s o m 在文献【1 】中提出了非完整约束的移动机器人的时变镇定律后，非完整 系统的控制问题得到了广泛的关注，成为非线性控制的热点之一究其原因无外乎两点： 工程实际的需要和理论发展的需要 在工程实际中，有许多控制系统是非完整控制系统例如移动机器人【2 】，车辆控制【3 】， 平面上滑行的冰刀【4 ，5 】，平面上无滑动的滚动圆盘【4 , 5 j 等，对这些具有实际意义的控制 问题的研究推动了非完整系统控制问题的进展 另一方面，在六七十年代，线性控制问题取得了很大的进展，其理论日渐成熟，但是 非线性控制问题的研究结果不尽人意，非完整系统作为一类特殊的非线性系统进入研究者 的视野，希望通过对它的研究，得到结果进而推广到一般非线性系统 在众多力学系统中，我们感兴趣的是这样一类系统，它在运动过程中，受到如下形 式的线性约束 j ( z ) 圣= 0( o 1 ) 其中j ( z ) = m ( z ) ，厶一。( z ) 】t ( m n ) 是m m ) x 扎矩阵，口0 = 1 ，1 , 一m ) 是 u 上的n 维光滑向量场，对所有z ，j ( x ) 满秩如果设夕1 ( z ) ，蜘；( z ) 构成j ( x ) 零空间 的一组基，记g ( x ) = b l ，】t 由( o 1 ) 式知圣位于t ，( z ) 的零空间内故存在m 维 向量就= 【趾l ，“。】t 使得 圣= g ( z ) 钍= g l ( x ) u l + + 9 。 ) “。( 0 2 ) 于是满足约束条件( o 1 ) 的力学系统就化为寻找仳的非线性控制系统由判据( 1 1 ) 我们 知道当夕( z ) 满足一定条件时，此非线性系统为完全非完整系统定理( 1 3 ) 指出完全非 完整系统是能控的我们研究的主要对象是完全非完整系统，这类系统虽然能控但不满足 1 b r o k e t t 镇定的必要条件，所以不能被任何时不变的连续状态反馈镇定，为解决其镇定问 题，我们必须寻找新的控制策略在已有的的文献中，控制律大致分为以下三类： ( 1 ) 不连续时不变控制律；( 2 ) 时变控制律；( 3 ) 混合控制律 1 9 9 3 年，m a r r a y 和s a s t r a y 对于n 阶非完整系统提出了一种标准型，即链式系统 针对标准型的控制系统，有许多文献进行了研究，并取得了各有特色的结果由于实际系 统常处于复杂的工作环境中，受外界干扰具有很强的不确定性，因而建立的链式系统模型 往往带有一定的漂移，我们对这种现象进行研究得到了一些有用的结论 本文的内容分为四部分； 第一章主要介绍非完整系统的一些预备知识，包括非完整系统的判据，能控性定理， b r o k e t t 镇定的必要条件，标准型等 第二章讨论了一类带有非线性参数的非完整系统自适应控制问题首先利用参数分 离技术将非线性参数转化为线性参数，然后基于b a c k s t e p p i n g 和s t a t e - c a l i n g 技术设计控 制律使闭环系统的所有信号最终一致有界，系统状态收敛到零的小邻域内 第三章研究了一类带有时滞项链系统的镇定问题基于b a c k s t e p p i n g 和s t a t e - s c a l i n g 变换技巧，通过构造积分型l y a p u n o v - k r a s o v s l 【i i 函数来设计状态反馈控制器该控制器 能有效克服控制的奇异问题并保证闭环系统的所有状态渐近稳定 第四章对于一类带有强漂移项的高阶非完整系统，漂移项未知且不存在任何限制条 件，我们利用模糊系统的逼近功能，对系统进行模糊建模并给出了一种自适应控制方案 此方案能使闭环系统的所有信号最终一致有界，系统状态收敛到零的小邻域内 2 第一章预备知识 本章给出了非完整系统的判据，能控性定理，b r o c k e t t 镇定的必要条件，标准型等 1 1非完整系统的判据及能控性 我们考虑一类特殊的力学系统，它在整个运动过程中，受到如下形式的线性约束 j ( z ) 圣= 0 其中j ( x ) = 【j l ( x ) ，厶一。( z ) 】t ( m 扎) 是一m ) x 礼矩阵，v ( i = 1 ，n m ) 是 u 上的礼维光滑向量场，对所有为j ( x ) 满秩如果设g l ( z ) ，( z ) 构成t ，( z ) 零空间 上的一组基，记g ( x ) = b ，1 t 由式( 1 1 ) 知圣位于j ( z ) 的零空间内故存在m 维 向量= f u t ，乱。】t 使得 圣= g ( z ) = 9 1 ( z ) “1 + + 饥( z ) “。( 1 2 ) 由9 - ( z ) ，g m ( x ) 张成的分布 x ( z ) = s p a n 9 1 ，9 2 ，如。) ( 1 3 ) 如果( z ) 在z 点的一个邻域内常秩，则称x 是分布的一个正则点如果分布在每一点 都是正则的，则称此分布是正则分布 定义两个向量场，g 之间的李括号为： 胁】= 塞，一鬈夕 ( 1 4 ) 经计算能够证明李括号具有如下性质。 【f ，g 】= - i f ，鲥 ( 斜对称性) 【，b ，+ b ，【h ，】+ 【h ，【， g 】= 0 ( 雅可比恒等式) 设厶是在李括号下的正则对合闭包显然 3 m d i m ( a ) n 记d i m ( a ) = m + ( m + 2m ) ，则有以下关于系统的完整性判断 判据l 1 ( 1 ) 若m + = m ，称系统( 1 2 ) 是完整的 ( 2 ) 若m = n ( 即d i m ( a ) = n ) ，称系统( 1 2 ) 是完全非完整的 ( 3 ) 若m m + i c 0 1 考虑候选李雅普诺夫函数v o ；j 1 * 0 2 ，则有 = 一( k o c o ) 瑞0 由拉塞尔不变原理可知当t o o 时z o 一0 把控制律( 2 6 ) 带入到原系统( 2 1 ) 可得 圣o = 一( 一c o ) x o 9 ( 2 6 ) ( 2 7 ) 解得：x o ( t ) = x o ( t o ) e 渤一。p 因此有，当z o ( t o ) 0 时，有z o 0 2 2 2 弘子系统的控制设计 对系统作s t a t e - s c a l i n g 变换； 盈2 矛 则系统( 2 1 ) 在上述变换下化为： 滢芸搿柏 仁8 ， i | o ( z i ) = ( n i ) ( k o c o ) z i 。( z 。，磊，毋) ：至掣 2 9 引理2 4 ：对h i ，1 i 礼，存在非负连续函数厦使得 f h i ( x o ，而，1 ，) is ( i 。l i + + i 磊i ) 厦( z o ，磊，移) 显然，( i z z i + + l i ) 厦( z o ，磊，移) 是一个连续函数由引理2 2 ，我们知道存在光滑函数 五21 和未知常数口1 ，使i h ix o ，盈，毋) l 五( 勘，磊) 口， 下面用后推法设计控制器 第1 步：令e 1 = 2 l ，e 2 = 砘一a 1 ，考虑正定函数 m = e ：+ 去伊 ( 2 1 0 ) 其中，百= 0 一口，自为口的估计，r 为设计常数 k= 0 ( 2 3 1 ) 在任意给定的一个有限时间t 。，因z o ( t 。) 0 ，所以控制设计的s t a t e s c a l i n g 变换能够执 行 在时间【t o ，t 。】选取由( 2 3 1 ) 定义的a o 产生新的控制律和更新律分别为u l = u l ( x o ，叠肛) 豇= 2 ( x o ，x ，p ) ；而当t = t 。时，x o ( t j ) 0 ，因而t t 。时，我们可切换控制输入u o ，u l 到( 2 6 ) ，( 2 2 9 ) 定理2 1 对于一类带有非线性参数的非完整系统( 2 1 ) 满足假设2 1 ，在控制律和更新律 ( 2 6 ) ，( 2 2 9 ) 下并应用切换策略有： ( 1 ) 所有信号最终一致有界； ( 2 ) 自适应闭环系统的状态最终一致有界，进一步选择适当的设计常数将使系统的状态将 收敛到零的一个小邻域内 证明：由设计过程很容易得到该定理的证明 第三章带有时滞项链系统的鲁棒控制 本章针对一类带有时滞项的链系统，基于b a c k s t e p p i n g 和s t a t e - s c a l i n g 变换技巧， 通过构造积分型l y a p u n o v - k r a s o v s k i i 函数来设计状态反馈控制器，该控制器能有效克服 控制的奇异问题并保证闭环系统的所有状态渐近稳定 3 1被控对象模型及问题的描述 本章研究如下带有时滞项的链系统： x o = u o 翰2 i t o x i +1 + h i ( 2 t ( t 一7 _ ) )1 i 0 ，3 o 0 且更新律为： 圣。= 一z 。( 、j 鼋j = - f 诱i i 面+ 谚3 r 岛+ c 一u 。) 解得：z 。( ) = z 。( 如) e e 砌油，a ( s ) = j 虿f 雨虿露面+ 鳐岛+ 瓯一岫 慝豪攀，砌_ 娜一 2 1 ( 4 5 ) ( 4 6 ) ( 4 7 ) ( 4 8 ) ( 4 9 ) 其中， a v i ( u 。，z 。，霸) = 一n 磐+ 毒咖( “。，茁。，毛) 1 i n 由( 4 3 ) 我们可设： 垂i ( u o ，x o ，或) = u ? r s i ( x o ，磊) + u fx o ，磊) 慨一1 + a i 斧一) 垂i ( t 正o ，x o ，盈) = 曙s ( z o ，磊) + 妣，2 ( z o ，磊) ( 4 王o ) o ( x o ) = w z s o ( z o ) + w o 1 ( x o ) 用后推法设计控制律首先作如下坐标变换： e l = 帮+ p o z l 勖= z 9 1 + p l z 2 - a l ( m ，l 5 1 )( 4 1 1 ) e 。= 2 ：n 一1 + p n 一1 z n o n 一1 ( 跏，z ，睨，l ，n 一1 ，5 1 ，靠一1 ) 其中b i ，巩， 分别为酵，w 仁 的估计，b i ，w 玉的定义由后面给出 为统一符号，我们定义如下正常数： 岛12 m i n 2 ，南，巩z m ) f 4 1 2 1 如2 = 譬o 。2 7 8 5 e i + 口h 。，； 1 w z ；一w 翟ij | + ；( 壤一6 0 ) 2 。7 令n = 铌屈1 ，侯选李雅普诺夫函数为 k = e ；+ ( 睨# 一h z ；) t r i - 1 ( j w ，主t ) + 去( 抚一酵) 2 ( 4 1 3 ) 其中r = r t 0 ，竹 0 未知常数譬， 磁f 和已知函数磊( 跏，磊) ，r ， 定义如下： 譬= m a x f 罐t ，u ；，唾t ，峨。 吣t = 【1 ，暇尹，嘟，w t ，嘲】2 = 1 + o o t l - - 1 + 蔓l 等i 岛，t = 慨，躁，等蹯，一蓦筹譬j ? 屈= 一锐厩一哿古。一j 掣= l * = 鲶d w a , j 协a 。薹等毛 当珏= 1 对，睢1 = 岷2 ，醒= 彬t 2 ，西l = 1 2 2 ( 4 1 4 ) 自适应模糊控制律为； 啦2 面= 再三习j 可f 一砬q j ( p z z + p i 一- 墨“1 一) 3 e ；+ 等毋 + 蔓等( 盘t + 岛砸t ) 一吆厂良五t a n h 簪】 f 4 1 5 ) 矾， = r t e t j r 。盯眈；( 服，i i 吧 ) 玩= m 岛堍也t a n h 笔 一，、i a b 。( 反一6 0 ) 其中矗小的正常数，觑 0 ，仃，； 0 ，o b 。 0 ，w 。o 0 ，鸳 0 为设定常数 第1 步； e l = + p o 妒一1 ) ( 罐1 + p l 。2 + 圣l ( 札o ，x o ，z 1 ) ) ( 4 1 6 ) 考虑侯选李雅普诺夫函数v 1 ( 4 1 3 ) 和控制律( 4 1 5 ) ，并应用如下不等式： 一。( 巩，i h 儡) r ( ，f h 伫。) 一 一，川睨，f 1 。1 1 2 + ：1 0 - 帆，；l l p 一w 雀i i l 2 o b 。( h i 一醇) ( 醛一b o )( 4 1 7 ) 一 ( 茸一睇) 2 + 。1 0 - c d 。* 一b o ) 2 0 j z l x t a n h ) 0 2 7 8 5 e v c 0 、z r 我们得到 m 一e l l h + c 1 2 十e ；( 4 1 8 ) ( 4 1 8 ) 式在( o ，t j 上积分有 k ( ) p ltk ( o ) + 8 _ c 1 1z 钙2 c t i l t d 7 - ( 4 1 9 ) 注4 ：在不等式( 4 1 8 ) 中若没有e _ c 1 1z e ! e 。打这一项，我们很容易推得k ，e 1 和眦，1 ，葫 在【o ，t 1 ) 是有界的且当t l = 。时，e l ，巩，1 6 1 最终一致有界，而 e 1 z 。妒1 打se s 删u pe 韬严1 打s t t p r ；6 。 。o t e g ) 若8 2 有界，则e 1 1 1 oe ；e 。1 1 打有界，从而e 1 有界 第i 步：相似的计算可得 b 由e i f f 一1 + 鼽一l z ”1 - 1 ) ( 番l 十鼽铒i ) 一杀1 姥 一簋 ( 撂。+ 聊+ ，) + w 孑岛，d + 醛尚磊 ( 4 2 1 ) 注5 ：类似于注3 的讨论只要e i + l 有界就司以推得e i 有界和e i l 2 第n 步，递推的最后一步，实际的控制律为u 。，类似上面的运算 e n i 。e 。【( 鳓一l + 醒”1 1 ) 遥”一曼；挚廿 一董筹( 辔，+ 功+ ，) + w 嚣岛，。】+ 螃l e 。i 西。 豇7 k 瓦鬲b 巧【一e 。+ 警媚。+ 警等 ( 承l + p j z j + 1 ) 嘿，。一) 砂nt a n h 警】 考虑侯选李雅普诺夫函数k 和上述控制律有： 一c n l u + c n 2 ( 4 2 2 ) ( 4 2 3 ) ( 4 2 4 ) 0 k ( ) p n + ( k ( o ) 一肌) e c ，i ，肪- i - k ( o ) ( 4 2 5 ) 于是有，k ，e 。，睨。k 最终一致有界，由e 。有界，我们进一步得到第n - 1 步的 e 一“，z 舒e ；e 一“2 打也是有界的这样依次向前类推，易知k ，e i ，巩 i ，b l 最终一致有界， 因此是最终一致有界到这里我们完成了。o ( o ) 0 的控制设计 4 2 3 切换控制策略设计 当x o ( o ) = 0 时，选择“o 为； 嚣( z o ) = z o g o ( x o ) + 嵋， u 0 0 ( 4 2 6 ) 在任意给定的一个有限时间t 。，由于x o ( t ，) 0 因而控制设计的s t a t e s c a l i n g 变换能够执 行在时间，划选取由( 4 2 6 ) 定义的蛳产生新的控制律和更新律分别为u l = 札：( z o ，z ，p ) 血= 1 i * x o ，z ，肛) ，而当t ：屯时，x o ( t 。) 0 ，当t t 。时我们切换控制输入o ，l 到 ( 4 4 ) ，( 4 2 3 ) 定理4 1 对于类带有强漂移项的高阶非完整系统( 4 1 ) ，满足假设4 1 4 2 ，在控制律和 更新律( 4 4 ) ，( 4 6 ) ，( 4 1 5 ) ，( 4 2 3 ) 下应用切换策略有： ( 1 ) 所有信号最终一致有界： ( 2 ) 自适应闭环系统的状态最终一致有界，进一步选择适当的设计常数系统 的状态将收敛到零的一个小邻域内 2 4 证明：根据以上分析不难证明由x o 一0 ( t o o ) 和z 最终一致有界，推得 x o ，x l ，x n - 1 0 ( t o o ) 和i x 。i 肛，其中p 依赖于逼近误差劬( 或o j i 2 ) 和 控制参数k i ，n ，o w a ；，m ，。易证，控制增益k i 和增加规则数目l j ，减小岛，盯。吼。将减 小肛，因此可推得选择适当的设计参数，将使系统的状态收敛到零的一个小邻域内 参考文献 【1 】c s a m s o n ，v e l o c i t ya n dt o r q u ef e e d b a c kc o n t r o lo fan o n h o l o n o m i cc a r t ，a d v a n c er o b o t c o n t r o l ，1 9 9 1 ，1 2 5 - 1 5 1 【2 1 2r m m u r r a y , n i l p o t e n td a s e sf o ra c l a s so fn o n - i n t e g r a b l ed i s t r i b u t i o n sw i t ha p p l i c a t i o n st o t r a j e c t o r yg e n e r a t i o nf o rn o n h o l o n o m i cs y s t e m s ，d y n a m i c so fc o n t r o ls i g n a l sa n ds y s t e m s 1 9 9 4 ，v 0 1 7 ，n o 1 ，p p 5 8 - 7 5 【3 】3l b u s h n e l l ，d t i l b u r ya n ds s a s t r y , s t e e r i n gt h r e e i n p u tc h a i n e df o r mn o n h o l o n o m i c s y s t e m su s i n gs i n n s o i d s ：t h ef i r et r u c ke x a m p l e ，p r o c e u r o p e a nc o n t r o lc o n f 1 9 9 3 ，p p 1 4 3 2 - 1 4 3 7 【4 】a m b l o c h ，m r e y h a n o g l ua n dn h m c c l a m r o c h ，c o n t r o la n ds t a b i l i z a t i o no fn o n h o l o - n o m i cs y s t e m s ，i e e et r a u s a u t o m a t c o n t r 1 9 9 2 ，v 0 1 3 7 ，p p 1 7 4 6 - 1 7 5 7 【5 】5 a m b l o c ha n dn ，h m c c l a m r o c h ，c o n t r o lo fm e c h a n i c a ls y s t e m sw i t hc l a s s i c a ln o n h o l o - n o m i cc o n s t r a i n s ，p r o c c o n f d e c i s i o na n dc o n t r o l ，1 9 8 9 ，p p 2 0 1 2 0 5 【6 】r h e r m a r ma n da j k r e n e r ，n o n l i n e a rc o n t r o l l a b i l i t y a n do b s e r v a b i l i t y , i e e et r a i l s a u t o m a t c o n t r 1 9 7 7 ，v 0 1 a c 一2 2 ，p p 7 2 8 - 7 4 0 【7 】r w b r o c k e t t ，a s y m p t o t i cs t a b i l i t ya n df e e d b a c ks t a b i l i z a t i o n d i f f e r e n t i a lg e o m e t r y c o n t r o lt h e o r y 1 9 8 3 p p 1 8 1 2 0 8 8 】j b p o m e t ，e x p l i c i td e s i g no ft i m e - v a r y i n gs t a b i l i z i n gc o n t r o ll a w sf o rac l a s so fc o n t r o l l a b l e s y s t e m sw i t hd r i f t ，s y s t e m s c o n t r o ll e t t e r s ，1 9 9 2 ，v 0 1 1 8 ，p p 1 4 7 - 1 5 8 【9 】r m m u r r a ya n ds s s a s t r y n o n h o l o n o m i cm o t i o np l a n n i n g ：s t e e r i n gu s i n gs i n u s i o d s i e e et r a u s a u t o m a t c o n t r 1 9 9 3 v o l ，3 8 ，p p 7 0 0 - 7 1 6 【1 0 1g c w a i s ha n dl g b u s h n e l l ，s t a b i l i z a t i o no fm u l t i p l ei n p u tc h a i n e df o r mc o n t r o ls y s t e m s ， s y s t e m s & c o n t r o ll e t t e r s ，1 9 9 5 ，v 0 1 2 5 ，p p 2 2 7 7 - 2 3 4 【1 1 1d t i l b u r y , r m u r r a ya n ds s a s t r y , t r a j e e t o r yg e n e r a t i o nf o r t h en - t r a i l e rp r o b l e mu s i n g g o u r s a tn o r m a lf o r m ，i e e et r a n s a u t o m a t c o n t r 1 9 9 5 ，v 0 1 4 0 ，p p 8 0 2 - 8 1 9 f 12 】d t i l b u r ya n ds s s t r y , o ng o u r s a tn o r m a lf o r m ，p r o l o n g a t i o n sa n dc o n t r o ls y s t e m s ，p r o - c e e d i n g so ft h e3 3 n di e e ec o n f e r e n c eo nd e c i s i o na n dc o n t r o l ，1 9 9 4 ，1 7 9 7 - 1 8 0 2 f 1 3 】d t i l b u r ya n ds s a s t r y , t h em u l t i - s t e e r i n gn t r a i l e rs y s t e m s ：ac a s es t u d yo fg o u r s a t n o r m a lf o r ma n dp r o l o n g a t i o n ，i n t e r n a t i o n a lj o u r n a lo fr o b u s ta n dn o n l i n e a rc o n t r o l ，1 9 9 5 【l4 】h j s n s s m a n n ，l o c a lc o n t r o l l a b i l i t ya n dm o t i o np l a n n i n gf o rs o m ec l a s s e so fs y s t e m sw i t h d r i f t ，p r o c c o n f d e c i s i o na n dc o n t r o l ，1 9 9 1 ，p p 1 1 1 0 - 1 1 1 4 【1 5 】g a l a f f e r r i e r ea n de d s o n t a g ，r e m a r k so nc o n t r o ll y a p u n o vf u n c t i o n sf o rd i s c o n t i n u o u s s t a b i l i z i n gf e e d b a c k ，p r o e c o n f d e c i s i o na n dc o n t r o l ，1 9 9 1 ，p p 2 3 9 8 - 2 4 0 3 【1 6 】h k h e n n o u fa n dw c c a n u d a s d e ，o nt h ec o n s t r u c t i o no fs t a b i l i z i n gd i s c o n t i n u o u sc o s - t r o l l e r sf o rn o n h o l o n o m i cs y s t e m s ，n o n l i n e a rs y s t e m sd e s i g ns y m p o s i u m ，i f a c ，1 9 9 5 ，p p 6 6 7 - 6 7 2 【17 】a a s t o l i o nt h es t a b i l i z a t i o nn o n h o l o n o m i cs y s t e m s ，p r o c