（应用数学专业论文）一类脉冲系统的参数最优化算法.pdf

学位论文独创性声明 本人所呈交的学位论文是我在导师的指导下进行的研究工作及 取得的研究成果据我所知，除文中已经注明引用的内容外，本论文 不包含其他个人已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出重 要贡献的个人和集体，均已在文中作了明确说明并表示谢意。 作者签名： 霍端螂 学位论文授权使用声明 本人完全了解华东师范大学有关保留、使用学位论文的规定，学校有权保留 学位论文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电子版和纸质版。有权将学 位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进入学校图书馆被查阅。有权将学 位论文的内容编入有关数据库进行检索。有权将学位论文的标题和摘要汇编出版。 保密的学位论文在解密后适用本规定。 学位论文作者签名：霍怖即 日期：丝生生! 鱼鲨日 导师签名：也- 俅魄 日期：竺! 堑! 兰日 一类脉冲系统参数最优化算法 摘要 本文以一类脉冲系统微分方程为背景，考虑到实际问题中有很多函数是隐式的 或者是不可微，所以介绍了h 0 0 b j e e v e s 优化算法从而避免了对函数的求导，并介 绍了传统的h 0 0 b j e e v e s 优化算法的不足之处，然后构造改进的h o o b j e e v e s 优 化算法，再通过数值例子来说明改进后的h o o k e - j e e v e s 优化算法具有更高效的收 敛特性且能得到较为满意的全局最优解另外本文还阐述了均匀设计法的优越性。 这些成果可以推动脉冲微分方程、最优控制理论与算法的研究，因此该项研究具有 重要的理论意义和应用价值 本文所研究的内容与取得的主要结果可概括如下；概述了均匀设计法和优化算 法的基本原理，阐述了均匀设计法的优越性和传统h o o 妊j e e v e s 优化算法的不足， 并予以改进，数值结果表明，改进后的算法具有更高效的收敛特性且能得到较为满 意的全局最优解。 关键词脉冲微分方程；参数辨识；均匀设计法；改进的h 0 0 b j e e v e s 优化 a b s t r a c t b a s e do nt h ei m p u m v ed i 脑e n t i a le q u a t i o n 姐di t 8 p a r a m e t e ri d e n t j | i c a t j o n m o d e i - m a r l yp r a c t i c a lp r o b l e m 8t ot a k ei n t oa c c o u n t 龃eo fi m p l i c i t o ru n d i 往色r e n _ t i a b l ef u n c t i o n s s ot h i 8p 印e ri t r o d u c e st h eh o o k e - j e e v e so p t i m i z a t i o na l g o r i t h i i l s w h i c hd on o tr e q u i r ed e r i v t i v e s b u tt h e r ea r es o i i l ed 西e i e n c yo ft h et r a d i t i o n a l h 0 0 虹j e e v e so p t i m i z a t i o n 以g o r i t h i l l s s ow ec o n s t r u c ti m p r o v e dh o o b j e e v e s o d t i m i z a t i o n8 l g o r i t h n l s ，a n dw ei 1 1 u s t r a t et h a tt h ei m p r o v e dh o o k e - j e e v e so d t i m j z a t i o n a 1 9 0 r i t h m 8i 8m o r ee 伍c i e n ta n d 1 0 r e8 a t i 8 舶dt h a nt h et r a d i t i o n a lo n eb yn u n l e r i c a l e x 嘲p l e 8 i na d d 托i o nt h i 8p a p e r 如oe x p o l l n d st h ea d v a n t a g e s0 fh 哪o g e n e o u sd e - s j g nm “h o d - t h j ss t u d yc 锄n o to n i ya c e e l e r a 七et h er 髑e a r c ho fp u i s i n gd i 艉r e n t i 赶 e q u a t i o n ，b u ta 1 8 0p m v i d eb a s i c 曲e 田e t j c 柏r e 矗孽e n c e 妇o p t j m j 地t j o n8 1 9 0 “出m s t h e r e f o r e ，t h i sr e 8 e 盯c l lw o r kh a 8i m p o r t a n tt h e o r e t i c a lm e a n i 蜡a n d p r a c t i c 猷训u e t h ec o n t e n to ft h i 8p a p e r 缸dt h em a i nr e s u l t s 础i e v e d c a nb es u m m a r i z e da s f 。l l o w s ：w eo u t l i n e 8u n i f o 咖d e s i g no p t i m i z a t i o na 1 9 0 r i t h n l 8a n d h o m o g e n e o u sd e s i g n 1 a w ，a n d 唧o u n d st h e8 u p e r i o r i t yo fh o m o g e n e o u sd e 8 i g nm e t h o da n dd e f i c i e n c yo f t h et r a d i t i o 蹦h 0 0 胁j e e 、惜o p t i m i z a t i o n 啦o r i t h i n s n l l i l l e r i c a lr e 8 u l t 8s h o wt h a t t h ea l g o r i t h mh 髂i m p r 钾e dm 0 t ee 蕊c i e n tm e a n s t ob em o r e8 a t i s 壬i e dw i t ht h eo v e r a u c l l a r a c t e ro fc e r t 越no p t i m a ls o l u t i o n 8 k e yw o r d s i m p u j s i v e8 y 8 t e m ；p a r a m e t e ri d e n t i 矗c a t i o n ；u n i f o r md e s i g n i m p v 8 d 日o o l c e j e e v 嚣叩t j m “a l 印r i t h m 1 绪论 这一部分，我们将介绍一些本文所需要的背景知识，主要包括以下几个方面 参数辨识概论、非线性脉冲及动力系统、脉冲微分方程的发展概况当然由于篇幅 关系，只有一些相关的概念和主要的结论会被列在这里 1 1 参数辨识概论 1 l 1 参数辨识的基本内容和形式 系统辨识是现代控制理论中的一个领域，它是一门应用范围很广的学科，它的 理论正在日趋成熟，其实际应用已遍及许多领域目前不仅工程控制对象需要建立 数学模型，而且在其它领域，如航空、航天、海洋工程、生物学、生态学、医学、天 文学以及社会经济学等领域也常常需要建立数学模型确定最优控制决策1 1 对于 上述各领域，由于系统比较复杂，人们对于其结构和支配其运动的机理，往往了解 不多，甚至很不了解，因此不可能用理论分析的方法得到数学模型，只能利用观测 数据来确定数学模型，所以系统辨识受到了人们的重视所谓系统辨识，就是利用 被辨识系统输入输出实验数据或正常运行数据，来确定该系统的数学建模结构和估 计参数的理论和方法 参数辨识是系统辨识的一个重要环节，其目的是寻求系统的一组最优参数，是 系统更好地描述实际过程可以说，对系统进行辨识是研究系统各种性质的前奏， 因此，参数辨识的意义重大 本文研究的一类脉冲微分方程及其参数辨识模型，可推动脉冲微分方程与算法 的研究，因此，该研究具有重要的理论意义和实用价值 3 1 1 2 参数模型辨识的方法 辨识方法包括非参数模型辨识方法和参数模型辨识方法参数模型辨识方法必 须确定一种模型结构，通过极小化模型与过程之间的误差准则函数来确定模型的参 数，即参数估计这类辨识算法常用的有三种不同的方法t 第一种为最小二乘类法：利用最小乘法原理，通过极小化广义误差函数的平方 和函数来确定模型的参数最小二乘法( l s ) 是一种经典的数据处理方法，但由于 最小二乘法估计是非一致的、有偏差的，因而为了克服它的不足，形成了一些以最 小二乘法为基础的辨识方法：广义最小二乘法( g l s ) 、辅助变量法( i v a ) 和增广短 阵法( e m ) ，以及将一般的最小二乘法与其它方法相结合的方法，有相关分析法一 最小二乘两步法( c o r - l s ) 和随机逼近乘法 第二种为梯度校正法，利用最速下降法原理，沿着误差准则函数关于模型参数 负梯度方向，逐步修改模型的参数估计值，直至误差准则函数达到最小值。 第三种为极大似然法：根据极大似然原理，通过极大化似然函数来确定模型的 参数极大似然法( m l ) 对特殊的噪声模型有很好的性能，具有很好的理论保证；但 计算耗费大，可能得到的是损失函数的局部极小值传统的系统辨识方法f 1 3 1 虽 然已经发展的比较成熟和完善，但也存在着一定的不足和局限： ( 1 ) 基于最小二乘法的系统辨识一般要求输入信号已知且必须具有较丰富的变 化，这一条件在许多普通闭环控制系统是可以满足的，而在某些动态预测系统和过 程控制系统中，系统的输入往往无法精确获得或不允许随意改变，因此这些传统的 方法不便直接应用； ( 2 ) 传统的系统辨识方法对于线性系统的辨识具有很好的辨识效果，但对于非 线性系统往往不能得到满意的辨识结果； 4 ( 3 ) 传统的辨识方法普遍存在着不能同时确定系统的结构与参数以及往往得不 到全局最优解的缺点基于神经网络的系统辨识神经网络技术【1 - 3 】是2 0 世纪末迅 速发展起来的一门高技术，由于神经网络具有良好的非线性映射能力、自学习适应 能力和并行信息处理能力 姐2非线j 陛脉冲动力系统及最倪控制 非线性脉冲动力系统是一类非线性分段光滑动力系统，其最优控制问题普遍存 在于生命科学、工程科学、计算机科学及经济学等学科，它是无穷维函数空间中以 非线性分段光滑动力系统为约束的泛函优化问韪，对这类问题的数值优化理论与算 法的研究，不仅是非线性不可微动态规划领域的前沿课题，也是控制论与其他学科 交叉发展的前沿课题目前该领域的主要成果集中在定性理论研究，极需实用、有 效的数值优化理论与算法 关于脉冲微分方程解的存在性、唯性，解对初值的连续性，解的稳定性，l y a p u n o v 方法，边值问题解的存在性、唯一性，周期解以及解的动力学系统性质，分歧 理论，脉冲微分方程，泛函脉冲微分方程等，经过近三十年来的研究，已经有一个 比较完整的雏形但对以脉冲微分方程为约束的最优控制问题的研究很少，且都集 中于定性理论研究，缺乏对系统的可辨识性、可控性研究和实用有效的数值优化理 论和算法在应用方面，生命科学、工程科学、经济学中的很多问题可建立非线性 脉冲动力系统模型，通过模型的研究来进一步对某些生物现象、经济现象进行优化 控制 控制论科学是n 、v i e n e r 等人于2 0 世纪4 0 年代创立的2 0 世纪5 0 年代，l s p o 一 t r y a g i n 等人发展的最大值原理，r b e l l m a n 的动态规划和r e k a l m a n 关于线性二 次最优调节器的理论，于2 0 世纪6 0 年代形成最优控制理论非线性动力系统的最优 5 控制理论与算法是非线性规划与控制论的重要内容，它处于数学规划、工程科学、生 命科学计算机科学与经济学等交叉发展的前沿自1 9 7 0 年以来，r _ 0 c l m 如l l a r ，c l a r k e ， l o e w e n ，m 。r d u l c l l o v i c l l 和v i n t e r 等人研究了微分包含与广义b o l z a 等问题的最优 性条件 4 6 j 近十几年来，h a r t l 7 】，z e i d e n f 8 ，李训经与雍炯敏 9 等人研究了约束 最优控制的极大值原理、满足彤c c a t i 方程的充要条件以及无限维空间中的控制理 论p o l a k 1 0 】，d o n t c h e v 1 1 ，h a g e 1 2 】，s c l w a r t z 【1 3 1 等在可微或n e c h e t 可微条件 下，研究了非线性动力系统的最优性条件、稳定性、乘子法与r n n g e k u t t a 法迭代 的逼近 2 0 0 0 年以来，a h m e d i l 2 - 1 3 】，r d d r i g u e 8 1 6 】，c u z z a l a 【1 7 】，e l f a r r a f l8 ，f c r - n a n d o 【1 9 1 等人研究了b a 丑a c h 空间中脉冲动力系统与分段仿射系统中测度解、适 度解的存在性、正则性与可控性，并用l y a p u n o v 函数论述了在有界噪声影响下的 r o b u 8 t 性，以及r o b u s t 混杂预测控制结构。我国学者对最优控制理论进行了一系列 研究，并取得了不少引人注目的结果我国科学家钱学森、宋键、张嗣赢等人较早 开始了最优控制的研究汪更生【2 0 一2 1 】、楼红卫【2 2 2 3 1 、高夯 2 4 1 等人对多种类 型的抛物型方程( 如非适定半线性的、n a v i e r - s t o k e 8 型、带有非单调算子的半线性 的) 和退化拟线性、半线性椭圆方程等动力系统的最优控制问题，论述了最大值原 理，对应的倒向线性伴随系统的k 甜1 1 8 不等式，松弛控制及应用s m 0 1 e n 【25 】江 胜宗、冯恩民【2 6 - 2 8 】对基因网络中转录作用控制、侧钻水平井轨道控制等非线性分 段光滑动力系统研究了解的存在性、可控性及优化算法陈任昭( 2 9 】等人对各种非 线性种群系统的控制论述了其最优性条件刘康生等人【3 0 】研究了非均匀各向异性 问题的辨识性及应用姚鹏飞【3 l 】等人研究了薄壳等各种模型的能观性不等式王 康宁【3 2 1 对最优控制理论的数学基础作了详细的论述。喻文焕【3 3 】就参数带有逐点 6 约束与不等式约束的识别问题作了详细的探讨，将原问题抽象为一个约束最优化问 题宫锡芳对最优控制问题的计算方法作过系统的研究，陈祖浩研究了约束最优控 制问题的罚函数钟万勰，邓子辰 3 4 】利用精细积分方法计算非线性动力系统。最 优控制理论在工业过程控制和航天、武器控制等方面应用上取得许多成果 1 3 脉冲微分方程的发展概况 脉冲微分方程描述了某些运动状态在固定或不固定时刻的快速变化或跳跃，它 是对自然界的发展过程更真实的反映，科学和技术的许多领域如理论物理、机械、种 群动力系统、流行病动力系统、生物技术、经济等许多方面的变化规律都可以用脉 冲微分方程来刻画或描述脉冲微分方程一般按脉冲时间可划分为t 在固定时刻的 脉冲微分方程和在非固定时刻的脉冲微分方程。若按方程类型又可分为：脉冲常微 分方程、脉冲时滞微分方程、脉冲积分方程等由于脉冲微分方程的相关理论远比无 脉冲内容丰富，1 9 8 9 年l a l ( s h m i k m t h 黝等人著“t h e o r yo 儿m p u l s i v ed i 如r e n t i a l e q u a t i o i l s ”一书标志脉冲微分方程从常( 偏) 微分方程中分离出来，自此脉冲微分 方程的理论研究吸引了国内外的众多学者，已有很大发展【3 5 3 7 】，特别是对一般脉 冲微分方程解的定性理论已基本完善，如脉冲微分方程解的存在性、唯一睫，解对 初值的连续性，解的稳定性，l ”p u n o v 方法，边值问题解的存在性、唯一性，周期 解以及解的动力学系统性质，分歧理论，时滞脉冲微分方程，泛函脉冲微分方程等。 l a k s h m i k m t h 锄，b 面n o v ，s i m e o n o v ，l i ux i n z h i 等人研究了维欧氏空间脉冲 系统解的存在性、正则性，初边值问题、系统稳定性、振荡性、比较原理等理论 【3 8 4 0 】近几年，出现了许多无限维欧氏空间及b a n a c h 空间中的结果，a h m c d 4 1 - 4 2 卜k a u l 、l i ux i n z h i 4 3 】，董玉君等( 4 4 】研究了b a n a c h 空间中半线性脉冲系统适 度解的存在性、正则性，系统的稳定性；c o o k e 【4 5 】给出周期解的存在性结果；孙金 7 丽 4 6 、郭大均【4 7 、申建华等 4 8 - 4 9 j 讨论了非线性脉冲系统初值、边值问题新的 极大值原理、无限时滞泛函脉冲系统的稳定性和有界性；傅希林、刘衍胜等【5 0 一5 1 】 得到可变时间脉冲系统极限环的存在性和广义比较原理；燕居上5 2 1 考虑了一类高 阶非线性脉冲微分方程的广义振动性和广义非振动性，给出了该类方程广义振动和 广义非振动的判定定理所研究范围涉及微分方程的各领域 在应用方面，脉冲微分方程广惩应用于疾病的脉冲免疫 5 3 】种群的控制、杀 虫剂的脉冲投放、药物的新陈代谢【5 4 、具有脉冲需求的最优物流控制问题【5 5 等 实际问题，涉及的学科范围很广，有药物动力学、经济学、医学、生物学等等。对 实际问题的分析用到脉冲微分方程中的分支理论、解的周期性、振动性，稳定性等 等 目前脉冲微分方程领域的定性理论研究集中于系统解的周期性、振动性、稳定 性，时滞脉冲系统，基于脉冲微分方程的最优控制理论等方面在与其他学科的交 叉研究中，陈兰荪、马知恩等【5 6 - 5 7 l 研究了脉冲微分方程理论在流行病学及种群生 态学中的应用，脉冲时滞微分方程在草原生态系统中的应用；b o b i s u d 5 8 】，王克等 5 9 】研究了种群脉冲系统的拟稳态解和周期解；a b d e l 洲e rl a k m e c h e 5 4 】考虑了医 药学中新陈代谢的非线性脉冲模型，得出疾病稳定性条件及系统非平凡勰的分歧理 论但具有时滞的脉冲微分方程和般脉冲方程在种群动力学和流行病动力学方面 的应用研究才刚刚起步，很不完善，需要进一步加以研究 到目前为止，以脉冲微分方程为约束的最优控制问题的研究很少，且都集中于 定性理论研究a h m e d 和x i a n g 6 0 - 6 5 】研究了无限维空间中半线性脉冲系统的最 优控制问题，得出最优控制的存在性及最优性条件；a k h m e t o vf 6 6 】给出了拟线性 脉冲系统的最优控制同题解的一致逼近方法；p e r e i r a 等【6 7 】得出向量值脉冲控制 8 问题的最优性必要条件 总的来说，众多学者的研究都集中在定性理论研究，缺乏对系统的可辨识性、 可控性研究和实用有效的数值优化理论和算法极需实用、有效的数值优化理论与 算法在应用方面，生命科学、工程科学、经济学中的很多问题可建立非线性脉冲 动力系统模型，通过模型的研究进一步对某些生物现象、经济现象进行最优控制 可脉冲动力系统及其最优控制在这些领域的应用尚在起步阶段，要实现对实际过程 的模拟和控制还需要进一步的理论和应用上的深入探讨 1 4 本文的主要工作 本文以一类脉冲系统微分方程为背景，考虑到实际闯题中有很多函数是隐式的 或是不可微的，所以介绍了h o o b j e e v e s 优化算法从而避免了对函数的求导，并介 绍了传统的h 0 0 b j e e v e s 优化算法的不足之处，然后构造改进的h o o k e j e e v 鹧优 化算法，再通过数值例子来说明改进后的h o o b j e e v e s 优化算法具有更高效的收 敛特性且能得到较为满意的全局最优解另外本文还阐述了均匀设计法的优越性 这些成果可以推动脉冲微分方程、最优控制理论与算法的研究，因此该项研究具有 重要的理论意义和应用价值 本文所研究的内容与取得的主要结果可概括如下； l 、概述了均匀设计法和优化算法的基本原理。阐述了均匀设计法的优越性和 传统h 0 0 虹j e e v e s 优化算法的不足，并予以改进，数值结果表明，改进后的算法具 有更高效的收敛特性且能得到较为满意的全局最优解 2 、给出改进的h 0 0 虹j e e v e s 优化算法程序，经过数值实验，数值结果说明了 本文给出的模型与优化算法的有效性 9 2 1 最佳逼近问题 2 预备知识 逼近理论主要研究用较简单的函数去近似代替较复杂的函数，例如，在微积分 中，我们曾用泰勒( | i 钳1 0 r ) 多项式近似代替已知任何阶光滑的函数，应用波恩斯坦 多项式来逼近连续函数( w e i e r s t r a s s 定理) ，还应用f o u r i e r 级数的部分和来逼近绝 对可积函数，这些都是应用简单函数逼近复杂函数的例子w j i e r s t r a s s 定理告诉我 们，给定函数，g 【o ，1 】，v e o ，总能找到波恩斯坦多项式 玩= 毫鹕脖砸叫椭 满足 目k 一，( 刃) l e 这里b 的系数扎可能很高，现在的问题是对多项式的次数加以限制，要求出n 次 多项式r ( 。) 使l r ( z ) 一，( z ) i 最小，这就是最佳逼近问题 2 1 1 线性赋范空间中的最佳逼近 命题2 1 ( 最佳逼近) 设x 是线性赋范空间，y 是x 的线性子空间，对o x ，如果存在使 1 1 一蜘l = d 讧，y ) 2 嘉 协一引l ( 2 1 ) 则称珈是z 在y 中的一个最佳逼近 由命题2 j 易知，。在y 中的最佳逼近蜘是y 中到。距离最短的点，这样的 g o y 可能存在，也可能不存在 1 0 引理2 2 ( 最佳逼近的存在性) 设x 是线性赋范空间，y 是x 的有限维子空间， 则对z x ，$ 在y 中存在最佳逼近 引理2 3 x 是线性赋范空问，y 是x 的有限维子空间，z x ，则茁在y 中的最 佳逼近构成的集合m 是凸集 由引理2 1 可知，如果z 在y 中具有两个以上的最佳逼近，例如，z 是。在 y 中的最佳逼近，刚连接与z 的线段= 扣i 叫= 柚+ ( 1 一a ) 2 ，a o ，1 】) 上 的每一点都是z 在y 中的最佳逼近，为了得到最佳遁近的唯一睦条件，我们给出 以下命题： 命题2 4 ( 严格凸) 设x 是线性赋范空间，如果x 的某种范数f l ij 满足：对 v 文口x ，z ，j 蚓f = | | = l ，都有i l 。+ 训 2 ，则称范数| | | l 是严格凸的， 并称( x ，| | 1 1 ) 是严格凸的赋范空间 在g 【8 ，6 上定义范数和度量如下： r 6巾 i i ，2 = ( ，2 ) d z ) ，d ( ，g ) = l i ，一9 l i 。= ( i ， ) 一g 峰) 1 2 d 嚣) j 口jd 其中，9 g 口，6 】则由命题2 4 易知g 0 ，6 】为严格凸的线性赋范空间 引理2 5 ( 最佳逼近唯一性定理) 设y 是严格凸的线性赋范空间x 的有限维子空 闽，则砖每一个给定的z x ，必在y 中存在唯一的最佳逼近 由以上定义和定理知，如果y 是x 的m 维子空间，设 l ，珈，) 是y 的一组基，则最佳逼近珈在y 中可用基 f l ，f 2 ，) 唯一表示为： 蜘= 啦轨 ( 2 2 ) 其中啦r ，t k 则最佳逼近问题就变为：求m 个标量a 1 ，a 一，a 。， 使得忙一珈| | 达到最小 我们知道，偏微分方程的数值求解常常是把偏微分方程离散成常微分方程求 解。 2 2 均匀设计法 2 2 1 背景 均匀设计属于近3 0 年发展起来的“伪蒙特卡罗方法”的范畴将经典的确定的 单变量计算方法推广后用于多变量问题的计算时，计算量往往跟变量个数有关即 使计算机技术再进步很多，这种方法仍无法实际应用乌拉母( s u l a m ) 与冯诺 依曼( j m nn e u m a n n ) 在4 0 年代提出了蒙特卡罗方法，即系统模拟方法。早在5 0 年代末，外国刚开始研究伪蒙特卡罗方法时，华罗庚教授就倡议并领导了这一方法 在我国的研究。 6 0 年代，日本统计学家田口玄一将试验设计中应用最广的正交设计表格化，他 的方法对我国试验设计的普及和广泛应用有巨大的影响 在广泛使用试验设计的过程中，许多实际问题要求一种新的试验方法，能够解 决诸如当试验范围较大，试验因素需要考察较多等级时要求做大量实验的问题于 是王元和方开泰1 9 7 8 年提出了均匀设计，该设计考虑如何将设计点均匀地散布在 试验范围内，使得能用较少地实验点获得最好的信息 均匀设计只是效论方法的一个应用数论方法还有广泛应用的园地例如多重 插值公式的建立，某些积分方程与微分方程的近似求解，求函数的整体极值，求某 些多元分布的近似代表点，以及用于统计推断的一些问题，如多元正态性检验及多 元球性检验。 2 2 2 均匀设计方法概述 均匀设计是由王元和方开泰首次提出的，他们将数论方法应用于实验设计，以 均匀分散为准则，在试验范围内均匀分布试验点，使每个试验点具有充分代表性， 均匀设计的试验点比正交设计的试验点分布更均匀，又由于不考虑“整齐可比性”， 因而大大减少了试验次数 均匀设计就是只考虑试验点在试验范围内均匀散布的一种试验方法，它有其独 特的布点方式，其特点表现在： ( 1 ) 每个因素的每个水平做一次且仅做一次试验 ( 2 ) 任两个因素的试验点在平面的格子点上，每行每列有且仅有一个试验点。 性质( 1 ) 和( 2 ) 反映了实验安排的均衡性，即对各因素，每个因素的每个水平 一视同仁。 ( 3 ) 均匀设计表任两列组成的方案一般并不等价因此，每个均匀设计表必须 有一个附加的使用表 ( 4 ) 当因素的水平数增加时，试验数按水平数的增加量在增加而正交设计当 水平增加时，试验数按水平数的平方的比例在增加由于这个特点，使均匀设计更 便于使用 2 2 3 均匀设计表的构造算法 下面介绍用均匀设计方法产生初始点方法设度量个数s ，选m 个初始点，即 有m 个水平以好格子点法( g o o dl a t t i cp o i n t ) 构造确定初始点的算法，其主要步 骤如下： 1 3 ( 1 ) 用穷举法产生点集 a = ( o z + i o o ，最大迭代次数i t e r m a x ，置 ( ) = z ( “，( ) = ， ( 2 ) ，= l ，= l ； 第二步：如果危 i t e r m o 。，则z ( ) 是极小值点，( 。) 是极小值；或不 收敛。否则进行第三步； 第三步：在竹个方向依次试探函数值，求使函数值下降的下一点o ( 。+ 1 ) ： ( 1 ) 如果， o + 娩o ) 歹船) ，则令管叶1 ) = 沪1 + k o 进行步( 3 ) j 否则， 进行步( 2 ) ； ( 2 ) 女果，0 0 ) 一如) ，( # u ) ，皿怜弩a + 1 ) ：= 暂o ) 一丸e o ) j 否则，令w u + 1 ) = 暂o ) 进行步( 3 ) ； ( 3 ) 如果j 札+ l ，则置j # j + 1 ，转步( 1 ) ；否则，置茁( 。+ 1 ) = 口( 珏+ 1 ； 第四步：如果函数值下降，在下降方向取点t 如果，( 。( 。+ 1 ) 0 ，最大迭代次数i t e r m “，置g ( m = z ( 蚋，( ) = ，( ( ) ，= 1 ，j = 1 ； 第二步；如果 e ，则$ ( ) 是极小值点，( 砷是极小值；当迭代次数超过 i t e r m a x 时不收敛或未达到给定的误差要求否贝4 进行第三步； 第三步：在个方向依次求函数值的最小值，得到最小值点z ( + “，并记下相 继两次下降的最大方向e ，确定新的搜索方向出= 。( + 1 ) 一。( 和试探点z ( + 2 ) = 。( b + 1 ) + d 嚣； 第四步：如果，( 。( + 2 ) ) ，( z + 1 ) ，令e = 矿，e “= 如，置：= + 1 ，j = 1 ， 转第三步；否则转第二步 为了求全局最优解，应用均匀设计方法取初始点。其主要步骤可参见文献 6 1 8 和 7 算法的说明：和传统的h 0 0 虹j e e v 算法相比，主要差别之一在第三步，新的 方法是用抛物插值和黄金分割法进行线搜索，线搜索不要求精确搜索，从而达到加 快收敛的目的另一主要差别在第四步，我们的新方法是把每次得到的最大下降方 向作为搜索方向之一，从而达到加快收敛的目的。 1 9 3 非线性脉冲系统的参数辨识 3 1 参数辨识模型 考虑如下带有参数p s c 开的非线性脉冲系统 院篡二一h t 江t ， 凹( j ( p ) ：2 一。( 靠) ( 3 2 ) 我们将用一个具体的数值例子来验证我们的方法的有效性为有对比性，我们 仅考虑含有二个参数且有精确解的一维问题如下： 例：考虑带有脉冲项的l o g i s t i c 模型： 萋若!_-：62z)，t【。，1； c s s ， 一 嘉， 当f 【o ，j ) 时 当t ( ，1 】时 【3 4 ) 若浏得在n = ，功= ；时解的值分别为l = 1 1 2 4 3 5 3 ，啦= 2 1 8 5 7 1 2 ，求参数 ( o ，砷这组数据是取口= 1 ，b = 譬得出的近似僮 通过编程计算可知t 与传统的h o o 虹j e e v e s 优化算法相比，改进的优化算法加 快了算法的收敛速度，取得了较为满意的全局最优解我们编了一个通用的程序， 该程序可以对形如( 3 1 ) 系统的参数求拟合问题的目标函数，只要在程序中做相应 的修改即可程序见附录下面将对目标函数的编程说明如下- 第一步t 给定常微分方程的初值、采样点，以及采样点的函数值。 第二步：设定脉冲点( 如果没有脉冲点也可) ，计算出脉冲点小于等于最后一个 采样点的脉冲个数几；并设定常微分方程的相对精度和绝对精度，以及常微分方程 向量场函数的函数名 第三步：计算采样点的个数和向量z o 的维数，设定零矩阵x = z e r o s ( d i m ，m ) ， 用与存放m 个样本点上的计算值。 第四步，设= 1 ，从1 到n 做循环，找出采样点小于脉冲点的下标刀如果 2 1 找不到，就在时间区间t 印n n = p “f s 印t ( k ) 】上求初值问题的解；否则在时间区 间t 印o n = s o 印z 印t ( 力) ，p f s 印t ( ) 】上求初值问题的解，并将样本点的计算值 赋值给x 把第七个脉冲函数取名为p 札f s 幽，并把上一个脉冲点的函数值加上脉 冲量后作为新的初值，以脉冲时刻作为新的时间初值，并删除已经计算过的样本点， 计算到最后一个脉冲点退出 第五步t 在最后一个脉冲点到最后一个样本点上计算初值问题的解，采样点以 后的时间区间不做计算 4 结论 在传统优化算法基础上，构造改进的h o o 虹j e e v e s 算法来求解脉冲方程的参 数辨识问题，数值结果表明，该算法有更良好的优化特性，优化后的系统更好地描 述了实验过程，有较强的理论参考价值和现实意义 参考文献 ( 1 1 李言俊，张科系统辨识理论及应用，北京：国防工业出版社2 0 0 3 2 1 吴旭光系统建模和参数估计理论与算法，北京：机械工业出版社2 0 0 2 ，7 3 】张成乾，张国强凉统辨识与参数估计，北京：机械工业出版社1 9 8 6 【4 l o e ，e npd ，r o c k a 庙1 l 盯rt e 山卵e s s 口叫0 b n 垅矗。珊，0 r 地eg e 礼e m 托暑甜尸m 6 k m o ，b o f 托s i a mj c o n t r o lo p t i m ，1 9 9 6 ，3 4 ：1 4 9 6 - 1 5 1 1 【5 1l o e 咖pd ，r o 出烈l a rrt ，b o 觇p 渤! e 册积臻g 8 挖e f 亚m e 缁t m 讯扫s i a m j c o n t r o lo p t i m ，1 9 9 7 ，3 5 ：2 0 5 m 2 0 6 9 6 】e l 盯k efh ，l e d y a e vs ，s t e r nr je ta 1 d 珊m 饥。佗n 蜘妇n n dc d n 打训纨叫n c w y o r k ：s p r i n 驴v e r l a g ，1 9 9 8 【7 1 h 8 r t lrf ，s a t h isp ，v i c k 8 0 nrg a 伸叼够撬e 埘b 疵 燃确钯c 劫j e s 如r0 珏 m 耐礼t m fp 伸6 k 椰 溉把c b 础删n 缸s i a mr e v ，1 9 9 5 ，3 7 ( 2 ) ：1 8 1 - 2 1 8 f 8 】z e i d e hv ，孙e 五i o c n “毋删。竹加t z m n f 函n 咖fp r d 姚瑚埘娩 纯耐口e c d n 州 0 b m t m 机t s ? 竹e c e 8 s 枷a 埘s 叼i c 钯n 四s i a mj c o n t r o lo p t i m ，1 9 9 4 ，3 2 ：1 2 9 7 _ 1 3 2 1 【9 l ix ，y 0 n g j 印t t m 面 耐邢i孙付如郴n 池d i m e n 毹。竹村却鲥e 粥 b o s t o n ：b i r k h a u s e r 1 9 9 5 【1 0 】p 0 l a ke l m 缸n “o 竹 a 幻。州忱伽 dc b 删s t e 耐 a 即m 砌l o “d 舭 n e w y 0 r k ：s p 血g e r - v h l a g ，1 9 9 7 【1 1 d o n t c h e vas ，h a g e rw w ，p 0 0 r eabe t 龃o p t i m a l i t y 乩曲托匆n n d n 口e 田e n c e 协d n “n r ( b 礼加，fj a p p i i e dm 8 t h e m a t i c 8a n do p t i m i z a t i o n ，1 9 9 5 ，3 1 ：2 9 7 - 3 2 6 1 2 】h a g eww ，埘砒i o 托e r 胁地d 出盯0 n 蹦犯e n 打吐s i a mj n u m e r i c a la n a l y s 拓， 1 9 9 0 ，2 7 ( 4 ) ：1 0 6 0 _ 1 0 8 0 【l3 】s c h w a r t za ，p 0 1 a ke ( b 瑚诂把ma p p m 戚m 甑。肿，d r0 聱t f m 口lc b 扎m fp m 6 把m sb 缸 o n 矾竹9 e - 胁“t 埘e 舭“d n s i a mj c o n t r o la n do p t i m ，1 9 9 6 ，3 4 ( 4 ) ：1 2 3 5 1 2 6 9 【1 4 】a h m e dnu j d 铷佯n 扰口f 血c 地s o 瑚d n 曰b n d 如跏凸o e s 埘觇o 竹f o f o t ec b n s m i 礼扭n o n l i n e a rh n c t i o n a la n a l y s i 8a n da p 曲c 8 t i o n 8 ，2 0 0 1 ， f l5 】a h m e dnu ag e n e m ? r e s u no n 朋色御占d 址 o 5 ，0 r 占e m l 托n rj 知。轧坷d nb 州。一 “d n s n o n l i e a ra n a l 妒i s ，t m a ，2 0 0 0 ，4 2 ：1 3 3 5 - 1 3 4 9 【1 6 ir d d r i g l l e 8l ，h 佣j ， d 6 础删e 卜妇础n 加zo ，觑础埘s e - 蜘e 跏e m s i n t e m a t i o n a l j 叫r n a l0 fc o t r o l ，加0 3 ，7 6 ：4 5 9 - 4 7 7 6 f 3 ) ：3 9 5 4 0 1 【l7 】c u z z a l afa ，g e r o m e ljc ，m o r a r im a 竹伽毕m 耐a 卯，讹曲，o rc b n s 打u i 钉甜m b q “ 盯o d e zp i 锄c “ e ( 勋扎打d f a u t o m a t i c a ，2 0 0 2 ，3 8 ：1 1 8 3 _ 1 1 8 9 f 1 8 1e l _ f n anh ，c h r i s i 曲d e spd 口o n d e d 勘6 毹c b 砌讲0 ，n s t m z n e d 胁胁口州口 k 礼l 撕e n r 尸m 钾s s e s c h e m e n g s c i ，2 0 0 3 ，5 8 ：3 0 2 5 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2 2 5 】s m o l e np ，b 般t 盯da ，b ”n ejh 如d e j 砌9 肿c 呦统o n 耐砌u j 伽g b 佗e 肌 叫。心s ：胁地0 d s ，且删m 且e s 缸船n 佗d 凡抛他三k 眦“。傩b u n m a t h b i 0 1 ，2 0 0 2 ，6 2 ： 2 4 7 _ 2 9 2 2 6 】江胜宗等侧钻水平井轨道三维优化设计模型及应用石油学报，2 0 0 1 ，2 2 ( 3 ) ：9 8 - 1 0 5 【2 7 】江胜宗，冯恩民三维水平井井眼轨迹设计最优控制模型及算法大连理工大 学学报，2 0 0 2 ，4 2 ( 3 ) ：2 6 1 2 6 4 f 2 8 】j i a