（光学专业论文）复宗量拉盖尔高斯光束在强非局域非线性介质中的传输.pdf

摘要 自第一台红宝石激光器于1 9 6 0 年问世以来，人们从理论和实验上对激光光束 的传输展开了广泛而深入的研究，并得到了各种各样的激光光束，如：高斯光束， 厄米高斯光束，拉盖尔高斯光束，因斯( i n c e ) 高斯光束等，每一种光束因其自身的 特点以及传输系统的差异而有不同的用途自由空间非傍轴光束和强非局域非线 性高阶高斯光束的传输研究足激光物理及激光应用中的基本课题该项研究有利 于人们对光束传输的基本性质及其规律更加广泛而全面地理解，对实际应用如光 开关，逻辑门等研究具有理论指导意义 孤子是物理学中重要的非线性现象之一，存在于多个物理领域，如：流体力学， 凝聚态物理学，非线性光学，等离子体物理学等空间光孤子( s p a t i a lo p t i c a ls o l i t o n ) 又称自导光束，是由于衍射效应与非线性效应( 如自聚焦效应) 达到平衡，所以光 束能够保持稳定，自导传输这种诱导孤子波导可以用来引导信号光，从而进行光 控光控制，实现光子开关和光子逻辑门等光子信息处理因为空间光孤子在全光控 制技术，光子信息处理和全光通信技术中具有潜在应用价值，所以近2 0 年来引起 人们大量的关注 回顾过去十余年对强非局域非线性介质中光束传输问题的研充基本都局限于 孤子和呼吸子问题，即传输过程中形状保持不变光束的传输问题对于孤子和呼吸 子问题，分离变量法和变分法是常用和行之有效的数学处理方法，但这些方法不适 用于处理形状变化的光束的传输问题因此对于传输过程中形状变化的光束在强 非局域非线性介质中传输的研究很少涉及 本文主要研究了一类形状随传输而改变的光束在强非局域非线性介质中的传 输问题首先得到了柱坐标下强非局域非线性介质中偏离束腰入射的复宗量拉盖 尔一高斯光束解以及二阶矩束宽的解析解然后结合例子详细分析了偏离束腰入射 的高阶模复宗量拉盖尔一高斯光束的形状以及束宽的演化 本文总共分三章，具体内容安排如下： 第一章：介绍了本论文的研究背景，介绍了空间光孤子的研究现状以及利用分 数傅里叶变换研究强非局域非线性介质中光传输问题的概况 i l l t r lr r l l l l l l l f f i i f l l r f r l l f l r l r l l l r lrrlllrlli r i f y 17 6 812 7 第二章：从光束在自由空间中传输和在强非局域非线性介质中传输的对应关 系出发，定量地得到了柱坐标下强非局域非线性介质中偏离束腰入射的复宗量拉 盖尔一高斯光束在强非局域非线性介质中传输的解析表达式以及二阶矩束宽的解 析表达式，结合例子研究了偏离束腰入射的复宗量拉盖尔一高斯光束的形光束形状 以及束宽的演化，得到了强非局域非线性介质中复宗量拉盖尔一高斯光束的传输规 律 第三章：总结以及研究展望 关键词：强非局域非线性，复宗量拉盖尔高斯光束，二阶矩束宽，空间光孤子，呼 m a b s t r a c t s i n c et h ef i r s tl a s e rw a sb o r ni n19 6 0 ，t h ep r o p a g a t i o no fb e a m sh a sb e e ns t u d i e d t h e o r e t i c a l l ya n de x p e r i m e n t l y , a n dv a r i o u ss u c h a 8g a u s s i a nb e a m ，h e r m i t eg a u s s i a n b e a m s ，l a g u e r r eg a u s s i a nb e a m s ，i n c eg a u s s i a nb e a m s ，h a v eb e e no b t a i n e d e a c hb e a m h a sd i f f e r e n tu s eb e c a u s eo fi t so w np r o p e r t i e si n l i n e a ra n dn o n l i n e a rm e a d i a t h ep r o p - a g a t i o no ff r e e - s p a c en o n p a r a x i a ll a s e rb e a m sa n ds t r o n g l yn o n l o c a lh i g h o r d e rm o d e g a u s s i a nb e a m sp l a y sa ni m p o r t a n tr o l ei nl a s e rp h y s i c sa n dl a s e ra p p l i c a t i o n s t h ei n - v e s t i g a t i o ni su s e f u lf o ru st ou n d e r s t a n dw i d e l yt h eb a s i cp r o p e r t i e sa n dl a w so fo p t i c a l p r o p a g a t i o n i ti so fs p e c i a ls i g n i f i c a n c et os t u d yt h en o v e lb e a m si nf r e es p a c ea n dt h e n o v e ls o l i t o n si ns t r o n g l yn o n l o c a ln o n l i n e a rm e d i a ，w h i c hh a v eat h e o r e t i c a lf o rp r a c t i c a l a p p l i c a t i o ns u c ha so p t i c a ls w i t c ha n do p t i c a ll o g i cg a t e s o l i t o n ，a r eo n eo ft h ei m p o r t a n tn o n l i n e a rp h e n o m e n ai np h y s i c s ，w h i c he x i s ti nd i i i i - c u l tp h y s i c a lf i e l d ss u c ha sf l u i dm e c h a n i c a l ，c o n d e n s a t ep h y s i c s ，n o n l i n e a ro p t i c sa n dp l a s - m a sp h y s i c se t c o p t i c a ls p a t i a ls o l i t o n sw h i c ha r es e l f - t r a p p e do p t i c a lb e a m se x i s tb y v i r t u eo ft h eb a l a n c eb e t w e e nd i f f r a c t i o na n dn o n l i n e a r i t y t h e s eo p t i c a ls o l i t o n sc a nt r a p s i g n a ll i g h tt oc o n t r o ll i g h t ，a n dt or e a l i z eo p t i c a ls i g n a lp r o c e s s i n ge q u i p m e n ts u c ha sp h o - t o n i cs w i t c h i n ga n dl o g i cg a t i n ge t c o p t i c a ls p a t i a ls o l i t o n si nn o n l o c a ln o n l i n e a rm e d i a h a v er e c e i v e sm u c ha t t e n t i o nl a t e l yd u et ot h e i rr i c hp o t e n t i a la p p l i c a t i o n st op h o t o n i c s w i t c h i n g ，a l l o p t i c a ls w i t c h i n ga n dl o g i cg a t i n g ，a n da l lo p t i c a ls i g n a lp r o c e s s i n g l o o kb a c kf o rt h ep a s tt e ny e a r s ，t h ep r o p a g a t i o no ft h eb e a m si nt h en o n l o c a ln o n - l i n e a rm e d i aj u s tl i m i tf o rt h es o l i t o n sa n db r e a t h e r s ，n a m e l yt h es h a p ei n v a r i a n td u r i n g t h ep r o p a g a t i o n f o rs o l i t o n sa n db r e a t h e r s ，t h em e t h o ds e g r e g a t i o na n dv a r i a t i o n a l 印一 p r o a c hi st h ea v a i l a b l y b u tt h e s em e t h o da r en o ta p p l yf o rt h es h a p ev a r i a n tb e a m s p r o p a g a t i o n ，s of o rt h ep r o p a g a t i o no ft h es h a p ev a r i a n tb e a m si sr a r e l yr e f e r r e d i nt h i st h e s i s ，t h et r a n s m i s s i o no fb e a mt h a tt h es h a p ec h a n g e si n f r e es p a c ea r e i n v e s t i g a t e di ns t r o n g l yn o n l o c a ln o n l i n e a rm e d i a w eo b t a i nt h es o l u t i o no ft h eo f f - w a i s ti n p u t t e dc o m p l e xa r g u m e n tl a g u e r r e - g a u s s i a nb e a m sa n dt h e i rm e a ns q u a r e db e a m w i d t hi ns t r o n g l yn o n l o c a ln o n l i n e a rm e d i a t h ep r o p a g a t i o no ft h ec o m p l e xa r g u m e n t l a g u e r r e - g a u s s i a nb e a m si nt h en o n l o c a ln o n l i n e a rm e d i ai si n v e s t i g a t e di nd e t a i l t h i st h e s i si sd i v i d e di n t ot h r e ec h a p t e r s ，w h i c hi sa r r a n g e da sf o l l o w s ： c h a p t e rhi n t r o d u c t i o nt ot h er e s e a r c hb a c k g r o u n do ft h i st h e s i s ，d e s c r i b e st h e r e s e a r c hs t a t u so fs o l i t o n sa n di n t r o d u c et h ef r a c t i o n a lf o u r i e rt r a n s f o r mt or e s o l v et h e b e a mt r a n s m i s s i o ni ns t r o n g l yn o n l o c a ln o n l i n e a rm e d i a c h a p t e r2 ：w eu s et h ec o r r e s p o n d e n c er e l a t i o n s h i pb e t w e e no p t i c a lb e a mp r o p a g a r t i o ni nf r e es p a c ea n di nt h es t r o n gn o n l o c a ln o n l i n e a rm e d i at oo b t a i nt h es o l u t i o no f t h eo f f - w a i s ti n p u t t e dc o m p l e xa r g u m e n tl a g u e r r e - g a u s s i a nb e a m s ，a n a l y s e dt h e i rs h a p e a n dm e a ns q u a r e db e a mw i d t hi nn o n l o c a ln o n l i n e a rm e d i a ，o b t a i n e dt h ec h a r a c t e r i s t i co f t h i sk i n do fb e a m sp r o p a g a t i o ni ns t r o n g l yn o n l o c a lm e d i a c h a p t e r3 ：c o n c l u s i o n sa n dt h ep r o s p e c to fr e s e a r c h k e y w o r d s ：s t r o n g l yn o n l o c a l i t y ，c o m p l e xa r g u m e n tl a g u e r r e - g a u s s i a nb e a m s ，m e a n s q u a r e db e a mw i d t h ，s p a t i a ls o l i t o n v 摘要 a b s t r a c t 目录 插图目录 目录 l l l v v l v i i i 第一章序论 1 1 1 引言 1 1 2 非局域空间光孤子研究进展 1 5 1 3 强非局域非线性介质中高阶模光束传输的理论和实验进展 4 1 4 分数傅里叶变换的发展历史以及处理光束传输的理论研究8 1 5 本论文的目的以及主要研究内容1 1 第二章强非局域非线性介质中的复宗量拉盖尔高斯光束的传输特性 1 2 5 2 1 强非局域非线性介质中的复宗量拉盖尔一高斯光束解1 2 2 2 强非局域非线性介质中复宗量拉盖尔一高斯光束光束形状的演化1 3 5 2 2 1n 0 时，( n ，m ) 模复宗量拉盖尔一高斯光束在强非局域非线性介 质中的演化1 3 2 2 2 礼= 0 时，( n ，m ) 模复宗量拉盖尔一高斯光束在强非局域非线性介 质中的演化1 5 2 3 偏离束腰入射的复宗量拉盖尔一高斯光束束宽的演化1 8 2 3 1 偏离束腰入射的复宗量拉盖尔一高斯光束在强非局域非线性介 质中传输的等价传输系统1 8 2 3 2 偏离束腰入射的非( 0 ，m ) 模复宗量拉盖尔一高斯光束束宽的演化1 9 5 2 4 本章小结2 3 、，i 第三章总结与研究展望 2 4 3 1 本文总结与不足2 4 3 2 研究展望。2 5 参考文献 致谢 公开发表或待发表论文 个人简历 联系方式 凹 驺 靳 号 插图目录 1 1 不同程度的非局域性r ( x ) 是介质的响应函数，i ( x ) 为光强分布( a ) 局域，( b ) 弱非局域，( c ) 一般非局域，( d ) 强非局域1 1 1 2 1 2 强非局域介质中高斯光束的传输，只有当输入功率p 与临界功率r 相等时才会 形成光孤子，否则形成呼吸子【1 2 】 4 1 3 ( a ) 没有外加电压，光束发生很强的衍射效应( b ) 外加电压为1 2 5 v ，输入功率 为2 2 5 m a 时可以形成孤子传输【4 5 】 5 1 4 强非局域条件下( a ) 双峰孤子( b ) 三峰孤子的稳定传输图1 4 s 1 6 1 5 标量多峰孤子的传输实验结果与理论结果比较图a , b 双峰孤子；c ，d 三峰孤子；e ，f 四峰孤子；g , h 链状孤子左边竖排：入射光束；中间竖排；传输了8 4 r a m 后，由 于衍射作用，初射光束展宽；右边竖排：传输8 4 m m 。光束稳定传输 7 2 1 i t = 2 ，m = 0 ，z s = 0 ，不同功率入射时，强非局域非线性介质中复宗量拉盖 尔一高斯光束正交于传输轴线上的光强分布p o = 0 5 足( 上排) ；p o = p c ( 中 排) ；p o = 2 只( 下排) ；z c = 1 衙，p c = 1 k 2 1 2 伽3 1 4 2 2 n = 4 ，m = 2 ，晶= p c 时，强非局域非线性介质中偏离束腰入射的复宗量拉盖尔 一高斯光束沿传输轴方向的演化磊= 一0 5 z r 1 5 2 3 几= 4 ，仇= 2 ，p o = p c 时，强非局域非线性介质中偏离束腰入射的复宗量拉盖尔 一高斯光束沿传输轴方向的演化= 0 5 z n 1 6 2 4 几= 0 ，p o = b ，不同位置入射的复宗量拉盖尔一高斯光束在强非局域非线性介 质中的演化( a ) m = 1 ，磊= z r ，( b ) m = 3 ，z s = z r ，( c ) m = l ，= - - z r ，( d ) m = 3 ，z s = 一细。1 7 2 5 礼= 0 ，p o = p c ，z s = 0 ，束腰入射的复宗量拉盖尔一高斯光束在强非局域非线性 介质中沿传输轴方向的演化( a ) m = 1 1 7 2 6 礼= 0 ，p o = p c ，z 3 = 0 ，束腰入射的复宗量拉盖尔一高斯光束在强非局域非线性 介质中沿传输轴方向的演化( b ) m = 3 1 8 v i i i 2 7 偏离束腰入射的复宗量拉盖尔一高斯光束在强非局域非线性介质中传输的等价 传输系统f s 代表自由空间；s n n 代表强非局域非线性介质；啊为束腰面1 处 的二阶矩束宽；w 2 为强非局域非线性介质入射面2 处的二阶矩束宽；w 3 为偏离 束腰入射的复宗量拉盖尔一高斯光束在强非局域非线性介质中传输的二阶矩束宽1 9 2 8 不同位置入射时，( 1 ，1 ) 模复宗量拉盖尔高斯光束在强非局域非线性介质中 传输时二阶矩束宽与传输距离的关系入射位置为( a ) p o = o 2 5 p c ，( b ) p o = p c ， ( c ) p o = 4 r 。 2 2 2 9 不同位置入射时，( 1 ，1 ) 模复宗量拉盖尔一高斯光束在强非局域非线性介质中 传输时二阶矩束宽与传输距离的关系入射位置为( a ) p o = 0 2 5 p c ，( b ) p o = p c ， ( c ) p o = 4 r 2 2 2 1 0 不同位置入射时，( 1 ，1 ) 模复宗量拉盖尔一高斯光束在强非局域非线性介质中 传输时二阶矩束宽与传输距离的关系入射位置为( a ) p o = o 2 5 p c ，( b l l p o = p c ， ( c ) p o = 4 b 2 3 第一章序论 1 1 引言 孤子在自然界中普遍存在，1 8 3 4 年，苏格兰科学家r u s s e l l 在狭窄的河道中观察 到水的孤立，现象1 1 】1 8 9 5 年荷兰数学家k o r t e w e g 和其学生g d e v r i e s 研究浅水波 的运动，建立了著名的k d v 方程( 2 】，给出了方程的孤立解，解析了r u s s e l l 观察到的 现象1 9 6 5 年，美国科学家k r u s k a l 和z a b u s k y 用数值模拟研究了等离子体中孤波的碰 撞过程，发现各自碰撞的波形不变，称其为弧子 【3 】孤子具有独特奇妙性质，它在 基本粒子物理、材料科学、统计力学、流体力学、等离子物理、分子生物学以及非 线性光学等领域都得到广泛的关注，其理论及应用研究得到飞速的发展，掀起了世 界范围内的研究热潮对孤子领域的探索与研究不仅可以加深我们对基本物理现 象的理解，而且具有很大的应用价值和潜在意义 上世纪光纤通讯得到迅猛的发展，到了上世纪7 0 年代，由于光孤子在光通讯的 巨大应用价值，对其研究引起了人们的高度重视，h a s e g a w a 和t a p p e r t 于1 9 7 3 年首次 提出了光孤子的概念【4 】光孤子一般分为时间光孤子和空间光孤子两种时间光孤 子足光脉冲在介质中传播时群速度色散引起的脉冲展宽和自相位调制效应导致的 光脉冲压缩相互平衡出现的一种效应；而空间光孤子是光束在介质中传播时衍射效 应和非线性效应达到甲衡时的一种状态 1 2 非局域空间光孤子研究进展 近年来由于e d f a 的出现取代了时间光孤子的很大部分功能，人们开始把关注 重点转移到空间光孤子上，特别是非局域空问光孤子，其在光开关，光逻辑，光信息 处理，光路由，智能光网络等方面具有不可估量的广泛应用前景，近年来引起了广泛 的研究兴趣和热潮 5 - 1 0 非局域空间光孤子成为非线性科学中的一个研究热点 空间非局域性足指介质中某点对光场的响应与该点及其周围的光场有关，即该 位置的折射率的改变与该点的光强有关，而且还受到其周围的光强的影响产生非局 域的物理机制有很多，如：原子的扩散、热传递、电荷漂移和分子间较大范围内的相 1 ( a ) 厂、。 l r ( x t x ) ( 协 厂、 r ( x - x ) i ( x ) 1 i ( x - ) - 。l7j i 一 0x x 0 x x ( c ) ( d ) ，一 脚x ) 烈 ，、 取 l 0 x x 0x x 。 图1 1 不同程度的非局域性r ( x ) 是介质的响应函数，i ( x ) 为光强分布( a ) 局域，( b ) 弱非局 域，( c ) 一般非局域，( d ) 强非局域 1 1 】 互作用液晶的非局域机制就源于分子间较大范围内的相互作用对于这种非局域介 质折射率的改变我们通常构造一种唯象模型，而不管引起改变的物理机制譬如，我们 仿照局域的情况，对应非局域情况下，非线性折射率为a n = n 2 ，r ( x x 7 ) j ( ) c ，z ) d d x ， 其中r ( x ) 是材料的非线性响应函数，体现的是材料的本身的特性，由材料的性质决 定，( x ，z ) 是材料z 处的光强分布，x 和x ，是d 维横向坐标( d = 1 或2 ) 我们根据 介质响应函数的特征宽度和光束宽度的相对大小，通常把非局域程度划分为四种： 局域，响应函数的特征宽度远远小于光束宽度；弱非局域，响应函数的特征宽度小于 光束宽度；一般非局域，响应函数的特征宽度跟光束宽度差不多；强非局域响应函数 的特征宽度远远大于光束宽度图1 1 给出了这种分类的示意图 非局域空间光孤子是存在于空间非局域非线性介质中的光孤子，本质是光场与 非局域介质相互作用，介质的非局域响应所引起的非线性作用产生的空间光孤子 也就是空间光束在非线性介质中传输时会由于衍射效应而发散，然而介质的非线性 效应又会对光束产生汇聚的作用当衍射效应与非线性效应达到平衡时，光束在非 局域非线性介质中形成的一种自陷( s e l f - t r a p p i n g ) 或自导( s e l f - g u i d i n g ) 酌稳定传输状 2 态的现象 空间光孤子的研究在很长一段时间内都局限在局域介质方面，孤子在这类介 质中传输满足局域非线性薛定谔方程，对它的精确求解需用到十分复杂的数学方 法一一逆散射法1 9 9 7 年，s n y d e r 和m i t c h e l l 对光束在强非局域介质中的传输做 出了开创性的工作，把复杂的非线性问题化为简单的线性问题 1 2 1 ，使得此后至今 非局域光孤子研究成为孤子研究领域的一大热点，而他们的开拓性工作得到了沈 元壤院士的高度评价【蚓s n y d e r 和m i t c h e l l 的核心思想是对于强非局域介质光 束会在其中激发出圆对称的非线性折射率，其特征长度远大于光束的宽度，光感 受到的不仅是它附近的折射率变化，因此可在光束中心把非线性折射率展到二阶 a n 2r ，p ) = a n 2 ( o ，p ) 一r 2 a 2 ( p ) ，其中p = f 2 d d x 是光束的功率，q ( p ) 是由介质性 质决定的实函数，有a ( o ) = 0 对于非局域克尔介质则n ( p ) 2 = g p ，这里的g 是由介质 ( 聚焦型) 性质决定的正常数根据上述折射率模型，建立了强非局域介质中光束传 输的线性模型一一s n y d e r - m i t c h e l l 模型( s m 模型) 【1 2 】：其中r = i x i 是离z 轴的横向距 离，此方程的求解不复杂，s n y d e r 和m i t c h e l l 求得了该方程的高斯型解析解【1 2 】， r 2 m ) = k ( z ) e x p ( 一南) ， ( 1 1 ) 其中i ( z ) = 2 ，1 + 1 d 的情况下，k ( z ) = p v 历叫( z ) ；l + 2 d 的情况下，( z ) = p 7 r 埘2 ( z ) 而光束束宽w ( z ) 的演化规律为【1 2 】： 州= w 0 2 c o s 2 ( q z ) + 豁s i n 2 ( q z ) 】j ( 1 2 ) 其中q = a ( p ) n o ，p c 是产生孤子传输所需要的临界功率，由式a ( r ) = 1 ( k o a ) 定义， w o 为入射光束束腰宽度 对于非局域克尔介质( 0 1 2 ( p ) = g p ) 则上式变为： w 2 = w 0 2 c o s 2 ( q z ) + 鲁s i n 2 ( q 名) 】 ( 1 3 ) 这说明光束束宽演化规律取决于输入功率和临界功率的相对大小当输入功率等 于临界功率时( p = p c ) ，光束宽度不变得到被称为a c e s s i b l es o l i t o n s 的孤子解当 ( p p c ) 时 光束束宽做先 压缩后展宽的周期性振荡，在这两种情况下，光束束宽展宽或压缩的最大值或最小 值以及振荡周期都取决于临界功率和输入功率之比 3 图1 2 强非局域介质中高斯光束的传输，只有当输入功率p 与临界功率足相等时才会形成光 孤子，否则形成呼吸子【1 2 1 在s n y d e r 和m i t c h e l l 的开创性工作之后，关于强非局域空间光孤子的研究不断 的取得进展，譬如发现反相孤子的相互吸引，大相移现象【1 4 1 ，暗孤子的相互吸引现 象等等同时人们不断的寻找不同的材料来研究非局域空间孤子，近年来人们陆续 在光折变材料( p h o t o r e f r a c t i v e ) 1 s - l q ，二次材料( q u a d r a t i cm a t e r i a l ) 1 8 】，玻色一爱因斯坦 凝聚( b o s e e i n s t e i nc o n d e n s a t i o n ) 【1 9 i ，向列相液晶( n e n m t i cl i q u i dc r y s t a l ) 【舢2 引，铅玻璃 ( 1 e a dg l a s s ) 3 0 - s 6 等众多不同的非局域介质中观察到了稳定传输的非局域空间光孤 子同时人们还展开了在非局域情况下孤子相互作用的研究，2 0 0 4 年，郭旗等人在 s n y d e r - m i t c h e l l 模型的基础上提出了强非局域模型，对光束传输过程中束宽和相位 的演化进行研究，发现强非局域介质中圆对称空间光孤子具有很大的相位改变，还 分析了双孤子平行垂直入射以及对称斜入射时的相互作用和演化规律，并且还数 值模拟了不同程度下光孤子的传输特性，对孤子的应用性进行了大量的探讨，取得 了大量的成果【3 删 1 3强非局域非线性介质中高阶模光束传输的理论和实验进展 高斯型孤子在传输方向的正交截面上强度分布只有一个峰值，被认为是在传 4 图1 3 ( a ) 没有外加电压，光束发生很强的衍射效应( b ) 外加电压为1 2 5 v ，输入功率为2 2 5 m a 时可以形成孤子传输 4 5 】 输介质中最能有效自导的光束，高斯型孤子为最低阶孤子，也即基模孤子高阶模 孤子在其强度截面上有两个或者两个以上的峰值，它在介质中诱导的折射率变化 相当复杂高阶模孤子有潜在的应用价值，例如，以足够强度的入射光入射到非线 性介质中最重演化为一些相应的本征模，可以产生纯净的光束；多峰结构也为全 光控制方面提供了更多的研究价值 在局域非线性介质中，高阶模孤子由于反相模瓣之间的排斥力使得它无法自 导然而，在非局域非线性介质中，由于非局域性的存在，( 1 + 1 ) 维反向的亮孤子间 或者同相的暗孤子间 4 4 - 5 0 , 5 2 可以抵抗相薄膜间的排斥力，而形成一种复杂的约束 态稳定传输1 9 6 6 年，d a v i dw m c l a u g h l i n 等人预言高阶模孤子可以在n l c 中稳定传 输，并通过数值模拟给出了高阶孤子稳定传输的数值解2 0 0 4 年，h u t s e b a u t 【4 5 】等人 通过实验证实了d a v i dw m c l a u g h l i n 的预言，图1 3 给出了在n l c 中稳定传输的高 阶模孤子 2 0 0 5 年z x u 等人证明了非局域非线性介质中的多峰模式的孤子的稳定性 通过数值模拟，图1 4 给出了强非局域条件下( a ) 双峰孤子；( b ) 三峰孤子的稳定传 输图2 0 0 6 年，r o t s c h i l d 等人通过实验观察到在强非局域非线性介质中传输的标量多 峰孤子，图1 5 为实验观察到的标量多峰孤子的传输实验结果与理论结果比较图 郭旗小组成员从传统的非线性薛定谔方程以及利用变分法给出了强非局域非线 5 疆狮 露 图1 4 强非局域条件下( a ) 双峰孤子( b ) 三峰孤子的稳定传输图【钙】 性介质中厄米高斯( h e r m i t e - g a u s s i a n ) 孤子传输的解析式和拉盖尔高斯( l a g u e r r e - g a u s s i a n ) 孤子 5 1 , 5 2 传输的解析式，因此对于强非局域非线性介质中厄米高斯光束 传输时的一般解( 呼吸子解) 的研究则更有利于我们更加广泛，全面的理解强非局 域非线性介质中光传输的基本性质，规律，从而对实际应用的研究，如光开关，逻 辑门等研究具有理论指导的意义但我们看到，到目前为止，强非局域非线性介质 中，对于高阶光束的传输规律的研究，仅限于传统的分离变量法以及变分法，而且 基本都局限于孤子和呼吸子问题，即传输过程中形状保持不变光束的传输问题对 于孤子和呼吸子问题，分离变量法和变分法足常用和行之有效的数学处理方法，但 这些方法不适用于处理形状变化的光束的传输问题因此对于传输过程中形状变 化的光束在强非局域非线性介质中传输的研究很少涉及2 0 0 8 年郭旗，胡巍小组从 分数傅里叶的角度出发深入研究了强非局域非线性介质中光束的传输问题【5 3 】，并 且得到了强非局域非线性中光传输与自由空间光传输的对应关系酬光束在强非 局域非线性介质中的传输问题又有了新的突破傅立叶光学和非线性光学从表面上 看似乎没有什么联系，但在强非局域条件下，非线性薛定谔方程可以简化成线性 模型，这时，两门学科就产生了有趣的联系 6 弘蹴 豢羹彝翱r i 棵l 嘲嚷 d i p o l e s i m 激a t i ( m 静劬抛 e z p e r u n e n 下唧秘 s i r e l l l a t l o n q u a d r u p l e e x p e r j m e n ! 锄毋d r 翟秘协 曩鼬纨t i o n n e c k l a c e e x p e r i m e n t n e c k l a c e s i m u l a t i o n w p t o t i t 触钒疆刚 b e a m s l i n e a rn o r , j l n o a r d i f f r a c t i o n s o , t o n 圈口 一口 嗍翻坳檬 融獬l i n e a r 翻田 豳口 o u t p u t i r t o n i 6 n o a r s o f i l o n 圈豳 囵圈 图1 5 标量多峰孤子的传输实验结果与理论结果比较图a , b 双峰孤子；c , d 三峰孤子；e ，f 四峰 孤子；g , h 链状孤子左边竖排；入射光束；中间竖排：传输了8 4 m m 后，由于衍射作用，初射 光束展宽；右边竖排：传输8 4 i l l 】m ，光束稳定传输 7 1 4 分数傅里叶变换的发展历史以及处理光束传输的理论研究 早在1 9 7 3 年，c o n d o n 首次用连续群的方法确定了分数傅立叶变换概念的雏形 b a r g m a n n 在1 9 6 1 年进一步发展了这些概念1 9 8 0 年v n a m i a s 从傅立叶变换的特征函 数和特征值的角度出发，利用特征值的任意次乘方运算明确提出分数傅立叶变换的 概念间之后a c m c b r i d e 给出分数傅立叶变换的积分形式，为后来研究人员奥定了 理论基础 2 0 世纪的9 0 年代是分数傅立叶变换发展的黄金时期在1 9 9 3 年，o z a k t a s 利用平 方渐变折射率光纤实现分数傅立叶变换，a w l o h m a n n 将图像旋转、w i g n e r 旋转和分 数傅立叶变换三个概念结合起来阐释分数傅立叶变换的物理意义，即幂次p 的分数 傅立叶变换相当于w i g n e r 分布函数相空间中角度是的旋转提出利用透镜和自由 空间组合来实现光学分数傅立叶变换【5 5 ，5 6 】；他们的研究成果，吸引许多学者参与研 究，而使分数傅立叶变换的研究在光学领域得到广泛关注作为信号时一频描述的 新工具应用于信号处理中、利用分数傅立叶变换来研究光线传播问题、指导透镜 设计、制作光学相关器件、光学神经网络、光学信息处理系统、光计算机、多载波 通讯系统、语音信号处理中一h m o z a k t a s 总结了光学分数傅立叶变换的发展过程， 提出分数傅立叶光学的新概念分数傅立叶变换凭借其自身比傅立叶更具灵活性 及其便利的光学实现，已经成为信号处理领域的有力工具，将分数傅立叶变换推广 应用在各个领域是现在的一个研究热点 傅里叶变换和分数傅里叶变换法是线性变换，在光学领域中主要是用来研究线 性系统的而非线性光学足一个非线性系统，描述光束在非线性介质中传输的非线 性薛定谔方程是一个非线性方程，但自从s n y d e r 和m i t c h e l 的开创性工作后，在强非 局域的条件下，非局域非线性薛定谔方程可以退化成线性方程 1 2 1 ： 2 i k o z 皿+ v 主皿一k 2 7 2 岛r 2 雪= 0 ( 1 4 ) 式中7 是材料常数，p o = f 2 d 2 f 是输入功率对于强非局域非线性介质，可以利用 s n y d e r m i y c h e l l 模型来研究光束的传输问题，这样就可以利用线性系统来研究一定 条件下的非线性问题 我们设方程( 1 4 ) 的试探解为皿名) = n ( r ) e x p ( 一i z z ) ，o ( 而为复振幅分布，p 为传 8 播常数将试探解代入方程( 1 4 ) 可得 2 七o = k 2 7 2 岛7 2 口一v i 8 其本征解在直角坐标系中可为轭米高斯孤子族【5 7 】： ( 1 5 ) n = z z ? n = ( 恚) 巩( 差) e - r 2 2 w 2 , ( m + n = p ) ( 1 6 ) 也可在柱坐标系中表示为拉格朗日高斯孤子族或【5 7 】在椭圆坐标系中写为i n c e 高斯 孤子族 s s ，5 9 其中p = 0 ，1 ，2 是孤子的阶数，c p 归一化系数，使f l n ( p ) 1 2 d 2 r = p o ，麟) 为轭米多项式孤子的本征值就可以直接得到： p ( p ) = ( p + 1 ) 岛( 1 7 ) 其中：毗= ( 七2 7 2 p o ) _ 1 4 是光场的整体束宽伪= 川研= 1 后谴分数傅里叶变换的本 征函数为 6 2 ： 或 夕( 删( 而) = 1 e x p i 币( o e - f l r 2 ) e x p 獗i r 2 ) fe x p ( 击一盟w c 2s i na ) 9 ( “1 8 ) 我们发现本征孤子解n o ) 和分数傅里叶变换的本征函数具有相同的数学形式，也就 是说方程或 o o ) ( 矗) 】= n ( p ) ( 而) e 一枷的本征解也为为n ，本征值为e 一枷，其阶数： o = z o z = 圻_ 7 z ( 1 9 ) 所以在z 处的光场分布的本征解可以通过分数傅里叶变换得到 皿( p ) ( 而，z ) = r 佃) ( 厉，0 ) 1e x p ( 一 q ) ( 1 1 0 ) 我们知道任意一个二次可积的输入光场都可以有上述的三种本征孤子任意一 种通过线性叠加而得到：o ( r l ，0 ) = 巽。印国( p ) ( r l ，o ) 这样我们就可以将分数傅里叶变 换和非线性光学结合起来了根据s n y d e r - m i t c h e l 模型方程( 1 4 ) 和分数傅里叶变换 方程( 1 8 ) ，光束在强非局域介质中传输问题就可以转化为输入光场的分数傅里叶 变换问题了 皿( 而，名) = r 皿，o ) ) e x p ( - i a ) ( 1 1 1 ) 9 当取q = 丌2 时，光场经过传输后在z 处的分布可以变为输入光场的傅里叶变换问 题： = 鑫v ( r l 0 ) e x p ( 一警) d 2 巧 ( 1 1 2 ) 方程( 1 9 - 1 1 2 ) 表叽光场在强非局域介质中传输，介质的作用相当于对输入光场 做一个分数傅里叶变换其物理机制可以理解为：当光束输入强非局域非线性介质 时，介质会感应产生一个二次非线性折射率分布，形成光波导光束在其中传输就相 当于在传统的二次梯度折射率分布的介质中一样，不断做分数傅里叶变换但由于 介质的非线性折射率是由光场引起的，通过改变输入功率改变非线性折射率分布， 就可以控制介质中分数傅里叶变换的阶数 因此我们可以将傅里叶光学和非线性光学结合在一起利用分数傅里叶变换法， 将多光束的相互作用看成是一个叠加光场的传输，我们就可以很容易处理用传统方 法难以处理的多光束相互作用的问题以及高阶模光束的传输问题只要给出输入 光场的分布，很快就可以得到任意位置z 的光场分布，免除了十分复杂的数学计算， 对光传输的研究有重大意义 2 0 0 9 年郭旗小组通过对分数傅里叶变换和强非局域非线性介质中光束传输问 题关系的