（应用数学专业论文）完全广义拟似变分包含关系及广义向量f隐似互补问题.pdf

完全广义拟似变分 包含关系及广义向量f 隐似互补问题 学科专业：应用数学 指导教师：邓磊教授 研究方向：非线性泛函分析 研究生：苏小莉( s 2 0 0 5 0 9 5 9 ) 摘要 本文第一部分首先引进了h i l b e r t 空间中的两个新概念：叼- 次微分和，7 - 逼近映射，并 且给出了叼逼近映射的存在性和连续性定理本文利用这两个新的概念研究了非凸泛函 下的一类新的完全广义拟似变分包含关系，并提出了一种新的寻找逼近解的迭代算法，利 用这一算法证明了这类拟似变分包含关系的解的存在性及迭代算法生成的迭代序列的收 敛性 本文第二部分利用f a n k k m 定理，在一些恰当的假设条件下，研究了b a n a c h 空间 中的一类新的广义向量f 隐似互补问题及与其相应的一类广义向量f 隐似变分不等式问 题，并证明了在b a n a c h 空间中这两类问题在一定条件下的等价性，利用这一等价性提出 并证明了这类问题的解的存在性定理 关键词：完全广义拟似变分包含关系广义向量f 隐似互补问题k k m 定理 q c o m p l e t e l yg e n e r a l i z e d u a s i v a r i 矗i o n a l l i k ei n c l u s i o n sa n d c o m p l e m e n t a r i t y l i k ep r o b l e m s m a j o r ：a p p l i e dm a t h e m a t i c 8 s u p e r v i s o r ：p r o f d e n gl e i s p 占c i a l i t y ：n o n l i n e a rf _ u n c t i o n a la n a l y s i s a u t h o r ：s ux i a 伊l i ( s 2 0 0 5 0 9 5 9 ) a b s t r a c t i nt h e6 r s tc h a p e ro ft h i 8p a p e r ，6 r s t ，t w on e wc o n c e p t 8o f 叼一s u b d i 踟r e n t i a l la n d 叼- p r 假i m l m 印p i n go fap r o p e rf u n c t i o n a li si n t r o d u c e di nh i l b e r t8 p a c e ，a n dt h ee x i s t e n c ea j l dl i p s c h i t z c o n t i n u i t yo f 叩p r o x i m a lm a p p i n ga r eg i v e d b ya p p l y i n gt h e s ec o n c e p sw es t u d yac l 嬲so t c o m p l e t e l yg e n e r a l i z e dq u 嬲i v a r i a t i o n d l i k ei n c l u s i o n sw i t han o n c o n v e xf u n c t i o n a lw h i c h 缸e n e wa n dan e wi t e r a t i v ea l g o r i t h mf o rf i n d i n gt h ea p p r o x i m a t es o l u t i o 瑚i sc o n s i d e r e da n d p r o v et h ee x i s t e n c eo ft h e8 0 l u t i o no ft h ec l 嬲so fp r o b k mb yt h ea l g o r i t h m ，w ea 1 8 0p r 0 、r et h e c o n v e r g e n c eo ft h ei t e r a t i v es e q u e n c e sw h i c h 盯eg e n e r a t e db yt h ea l g o r i t h m i nt h es e c o n dc h a p e r ，u n d e rs o m es u i t a b l ea s s u m p t i o n s ，陀s t u d yan e w c l a u s so fg e n e r a l i z e d v e c t o rf i m p h c i tc o m p l e m e n t a u r i t y - l i k ep r o b l e m sa n dt h ec o r r e s p o n d i n gg e n e r a l i z e dv e c t o rf - i n l p u c i tv a r i a t i o n a l - l i k ep r o b k m sb yu s i n gt h ef a n - k k mt h e o r e m ，a n dt h ee q u i 、赳e n c eb e t l 7 l 雠n o ft h e mu n d e rs o m es u i t a b l ea s 8 u m p t i o 璐i sp r e s e n t e di nb a n a c h8 p a u c e s b yt h ee q l l i v a 舱n c ew e d k op r o 、r et h ee x i 8 t e n c eo ft h e8 0 l u t i o no ft h i 8p r o b l e m 8 k e yw 0 r d s ：g e n e r a l i z e dq u 硒i 、，a r i a t i o n a l - l i k ei n c l u s i o 璐；g e n e r a h z e dv e c t o rf - i 1 p h c i t c o m p l e m e n t 缸i t y - l i k ep r o b l e m s ；f a n - k k mt h e o r e m 独创性声明 学位论文题目：塞全亡幺赵似变金鱼金差丕 丞亡义囱量里隐丝亘主l 闷题： 本人提交的学位论文是在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。论文中引用他人已经发表或出版过的研究成果，文中己加 了特别标注。对本研究及学位论文撰写曾做出贡献的老师、朋友、同 仁在文中作了明确说明并表示衷心感谢。 学位论文作者：荔小锄 签字日期： 砂o 年，月细日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解西南大学有关保留、使用学位论文的规 定，有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允 许论文被查阅和借阅。本人授权西南大学研究生院( 筹) 可以将学位 论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩 印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书，本论文：画不保密， 口保密期限至年月止) 学位论文作者签名：荪，j 、菊导师签名：眵p 貌学位论文作者签名：织厂j 、剥导师签名：睇纭渤 【 h 签字日期： 加d 睁，月o 日签字日期：哗广月o 日 第一章绪论 变分不等式自量9 弱年被毯硪磁氇n 和s 毫a 糯p a c 越a 提出并研究以来，已经广泛深入赛 力学、物理学、现代化控制、非线性规划、经济与交通平衡、管理科学等诸多领域。变分 不等式理论的最重要的内容是设计有效的迭代算法来计算它的近似解及分析算法的收敛 性在不动点理论方面，自2 0 世纪初著名的b a n a u c h 压缩映象原理和b r o u w e r 不动点定理 问世以来，特别是最近二三十年，由于实际需要的推动和数学工作者的不断努力，这门学 科的理论及应用的研究已取得重要的进展。本文第一部分就是应用了不动点的理论，首先 把研究的闻题转化成不动点盼表达式，这一不动点表达式使我们提蹬了一种迭代算法，烈 用这一迭代算法研究了完全广义拟似变分包含关系的解的存在性及解的迭代逼近问题， 即算法的收敛性 k k m 理论自1 9 2 9 年被k n 勰t e r ，k u r a t o w s k i 和m a z u r k i e w i c z 提出并研究以来，在非线 性分析方面的学习研究和应用已经得到了飞速发展近年来k yf 弧教授在这方面做出了 基大贡献，对k k m 理论及其在自然程社会科学中的重要应恩傲了穰多研究k k m 理论 及其在非线性分析中的应属的重点是对稳定性和唯一性的分析而且形成了有关集值分 析、广义抽象凸结构、极值定理等的一般的不动点理论近年来，k k m 理论已经广泛深 入到数学、物理学、电学、经济学、运筹学、计算机、控制论、机械制造等诸多领域本 文第二部分就是k k m 理论的简单应用利用k k m 理论研究了b a n a c h 空间中的一类新 的广义向量f 隐似互补问题，并证明了其解的存在性定理 本文的结果是对以往一些结果的改进和推广 第二章完全广义拟似变分包含关系 本文研究了嚣凸泛函下的一类新的完全广义拟似变分包含关系，并证明了其解的存 在性，也证明了迭代序列的收敛性 2 1 基础知识 设日为h i l b e r t 空间，其范数和内积分别用l l 与( - ，- ) 表示c b ( 日) 为日的非空 有界闭子集族 定义2 1 1 【l l 设9 ：嚣j 露为单值映射， ( i ) 如果存在常数? o 使得 9 ( z ) 一9 ( 彩) ，嚣一挈- l | 髫一衫1 2 ，v 霉，毫，磊 则称9 为t 强单调的 ( i i ) 如果存在常数盯 o 使得 0 夕( 搿) 一夕( 蓦，) f l 矍盯i l 霉一可0 ，v 茹，暑，点r 则称9 为伊一l i p s c h i t z 连续的 定义2 1 2 设a ：日一g 居( 日) 为集值映射，：日日一覃为单值映射， ( i ) 如果存在常数卢 o 使得 i l 、r ( t ，) 一( 钳，) i i 卢0 钍一t ，v 牡，t ，日 则称n ( ，) 为楣对于第一变量是l i p 8 c h i t z 连续的。类似地，可以定义( ，) 关于第二变 量的l i p 8 c h i t z 连续性 ( i i ) 如果存在常数e o 使得 日( a 0 ) ，a ( 箩) ) 0 窝一3 | i 比，掣鼠 裂称a 为毯瞪晓遣z 连续的其中嚣，) 为g 秀( 蟊) 上的毯a 珏s d o 疆度量。 定义2 。1 3 【2 】设，：日日一冗u o o ) 为泛函，若对丑中任意的有限子集 茹l ， c 日和任意的掣= 兰沁甄( 其中丸o 且量丸= 1 ) ，都有l 爨，( 掣) o ，则称，在z 点 是m 对角拟凹的 2 定义2 1 4 【3 】设，7 ：日日。日为单值映射， ( i ) 如果存在常数6 o 使得 ( 7 ( z ，y ) ，2 一! ，) 6 0 z y l l 2 ，v 童，耖日 则称7 为乒强单调的 ( 哟如果存在常数丁 0 使得 | | ，7 ( z ，! ，) f | 7 - 0 z 一耖0 ，v 2 ，暑，磊r 则称印为卜l i p c h i t z 连续的 定义2 1 5 设叩：日日_ 日为单值映射，咖：日。冗u ) 为真泛函如果存在 ，+ 日使得 妒( 可) 一咖( z ) ( ，+ ，7 ( 暑，z ) ) ，v ! ，日， 则称在点z 日是叼一次可微的，+ 称为在z 点处的t 7 次微分记在z 点处所有 的，7 次微分的集合为0 ) 其中：日_ 2 日，且 ( z ) = ，2 了：( 矽) 一( z ) ，+ ，7 ( 暑，z ) ) ，日)( 2 1 1 ) 注释2 1 1 如果，7 ( ! ，z ) = 秒一z ，z 日，且是日上的真凸下半连续泛函，那么定 义2 1 5 就变为次可微的定义如果西在点z 日次可微且满足 妒( 。+ 入叩( 可，z ) ) 入咖( ! ，) + ( 1 一入) ( z ) ，v 丑，入【o ，l 】 那么在z 日处是叩- 次可微的 4 ，p 4 2 4 】 定义2 1 6 设，7 ：日日_ 口为单值映射，：日_ 冗u o 。) 为口上中次可微的真 泛函如果对妇日和邯 o ，都存在唯一的珏日使得 ( t i z ，7 ( y ，t 上) ) p ( t 1 ) 一p ( 秒) ，v ! ，日， ( 2 1 2 ) 记映射矽( 。) ：z u ，称矽妒( z ) 为的叩- 逼近映射 由( 2 1 1 ) 式和映射带妒( z ) 的定义知z t 肚咖( t ) ，且珍妒( z ) = ( j + p 咖) - 1 ( 。) ，其 中j 为日上的恒等映射 3 注释2 1 2 如果露( ! ，岔) = 秒一茹，彩日，矽为髫上的真凸下半连续泛函，那么定 义2 1 6 就变为多的逼近映射的定义且归妒( z ) = 矿( z ) 盘( j 十炉咖) “( z ) 设a ，口，gd ，g ：日_ g b ( 日) 分别势集值映射，虬露：日日_ 日和9 ，m ，：日_ 嚣 分别为单值映射设：置嚣斗就u o 。 为嚣上的真泛函且对每一个确定的爹努，泛 函( ，爹) ：嚣。冗u 都是下半连续、咿次可微的，并且9 ( 霉) 一m ( ) d o m 始，秒) 考虑下面的完全广义拟似变分包含关系阕题：求z 嚣，珏a ，锄丑( 茹) ，忸g ( 奎) ， z d ( 。) ，封居( z ) 使得 ，铆) 一t l ，移) ，蟹矗，萝( 鬈) 一，羟( 影) ) ( 茹) 一，羚( 爹) ，z ) 一多( ，名) ，v 毳嚣。 ( 2 1 。3 ) 当恰当选敬映射盖，露，gd ，露，m 霹，萝，编，时，完全广义拟似变分包含关系闻题2 薹3 ) 可变为许多不同类别的问题如； ( 1 ) 如果m ( 乱，秽) = 一( “，钳) ，= m 兰o ，忱胃，那么完全广义拟似变分包含关系问 题( 2 1 3 ) 就可变为文献【5 】研究过的广义拟似变分包含关系：求$ c 日，u a ( $ ) ，t ，b ( 霉) ， t t ，c ( 茹) ，z d ( z ) ，耖e ( 口) 使得 ( l ( u ，口) ，叼( h ，夕( z ) ) ) 庐( 曰( z ) ，名) 一( ，z ) ，v h 日，( 2 1 4 ) ( 2 ) 如果( u ，钞) = 移一珏，= m 兰o ，v 茹嚣，且a ，b ：日- 日分别为单值映射，d 为 恒等映射，那么完全广义拟似变分包含关系问题( 2 1 3 ) 就可变为文献【6 】研究的广义拟变 分类问题：求茹盯，夕( z ) d o m 妒( ，z ) 使得 ( a ( 霉) 一b ( 髫) ，叩( ，9 ( 嚣) ) ) 曲( 夕( 茹) ，茹) 一妒( ，茹) ，v j 5 r ( 2 1 5 ) ( 3 ) 如果：日一2 日为集值映射且k ( 。) 为好上的闭凸子集( 或耳( 。) 一m ( 茹) + 彤， 其中m ：日。日为单值映射，k 为日的闭凸子集) ，若印( z ，耖) = 茹一掣，忱，掣日，泛函 ：日x 尉 死u o o 定义为： 妒( 茹，名) 一z k o ) ( 髫) v 2 ，z 日， 其中坛锄( 鬈) 为k ( 岩) 上的指标函数，即； 咄茹，= 0 ，茹茎；僦l 那么问题2 1 3 ) 就变为完全广义非线性拟变分不等式问题；求岔嚣，“a z ) ，移b ( z ) ， t t i c ( z ) ，名d ( 墨) ，耖曰0 ) 使得 箩嚣) ，n ( 暑，) k ( z ) ，( 链，) 一( 糕，誓) ， 一( 9 ( 霉) 一，n ( 秽) ) 0 ，讹毯k ( 名)( 2 1 。6 ) 4 ) 如果n 珏，嚣) = s 链) + 譬蛰) ，忱，静露，其中最t ：嚣。叠为单值映射，那么淘题 ( 2 王6 ) 就变为文献闭研究的完全广义强非线性隐拟变分不等式问题；求茹日，锃a ， 静b ( z ) ，协c ) ，名d ( 茁) ，秽e ( 茹) 使得 孽( 髫) 一m ( 爹) 爱( z ) ，( 彬) 一s ( 皂) t p ) ) ，毳( 多鬈) 一，殍( 爹) ) ) o ，v 盎j r ( z ) ( 2 1 。7 ) 变分不等式2 1 砩和2 1 。7 ) 改进和推广了很多变分、拟变分不等式，以及补和拟补 类阕题，先翦已有很多作者研究过，参看文献【弘王6 】。 2 2 辅助引理、命题及定理 在这一节中，将引入本章研究问题所需要的引理、命题及定理 引理2 2 1 【1 7 l 设d 是一个拓扑向量空间的非空凸子集，：d d 叶冗u 仕o o ) 为一 泛两，如果满足条件； 梆对任意的嚣d ，映射秽一，茹，彩在d 盼任意紧子集上是下半连续的； ( i i ) 对d 上任意的有限子集p l ，茹嫩，cd 和任意的爹= 囊a i 粕其中k q ，1 豆 m t = 器l 沁= 量) ，都有，婴鎏，( 髫i ，s ，) o ； ( i i i ) 存在一个非空紧凸子集玩d ，也存在一个非空紧子集kcd ，满足对任意的 d ，都存在一个茹c d ( d ou 掣) ) 使得，( z ，z ，) o 那么，存在雪d 使得，( z ，雪) o ，讹d 命题2 2 2 嘲设露：丑嚣- 嚣为弘l i p 掺c h i t z 连续和否强单调的且满足，7 ( 茹，秒) = 一翠( 爹，窭) ，坛，爹豆。泛函丸爹，铭) = 鬈一嚣，雄治，嚣) ) c 妇露) 在爹点是承对角拟凹的。设 ：露_ 瓮u 。 为嚣上的一个下半连续、咿次可微的真泛函那么对任意的常数p 0 和任意的茁盯，都存在唯一的社日使得 钍一茹，努( 箩，毫) p 乒毂) 一尹( 毫，) ，v 参五 即铭= 矽簪嚣) 称舻番是明确定义的的伊逼近映射。 5 注释2 2 1 命题2 2 。2 证明了一个下半连续，妒次可微的真泛函妒的伊逼近映射 跆咖：日一日的存在性我们强调的是命题2 2 2 中的泛函驴是非曲的 命题2 。2 3 设t 7 ：露日。日为弘l i p 8 c b j t z 连续和乒强单调的且满足叩掣) = 一t 7 茹) ，诳，耖日泛函i ；“) = 和一珏，叩暂，“) ( 忱嚣) 在簦点是m 对角拟凹的设 多：露j 髭u 为器量的一个下半连续、铲次可微的真泛函妒 o 为任意的常数， 那么多的咿逼近映射跆是r 肛l i p s 出i 七z 连续的 证明由命题2 2 2 知，妒的叼逼近映射跆咖是明确定义的，那么对任意的z 日，存 在唯一的让日使得u = 斧妒( 茹) 因此，忱l ，茹2 日，我们得“l = 舻妒( 霉1 ) 和t 2 号汐妒( 观) 满足： 牡l 一。l ，印( ，t 1 ) 砷( 珏1 ) 一砷笞) ，砌鼠 ( 2 。2 羔) ( u 2 一留2 ，t 7 ( 鲈，珏2 ) ) 却( 钍2 ) 厕秽) ，坳鬣( 2 2 2 ) 由予( 2 2 1 ) 和( 2 2 2 ) 式中的! ，是任意的，那么在( 2 7 2 1 ) 式和( 2 2 2 ) 式中分剐取 瞽= 锄，譬= t l ，然后把得到的不等式相加可以得到t 似1 一z l ，叩( t 2 ，t 1 1 ) + ( t 2 一z 2 ，t 7 ( 鼍正l ，t 2 ) o 因为野( $ ，挈) = 一露( 弘茹) ，那么由上式我们可得 t l 一髫l ，叼( 地，t 1 ) ) ( 娩一娩，巧( 锻2 ，“1 ) ) = ( “l 一鼍2 一如l 一娩) ，叩( “2 ，珏1 ) ) o 整理上式得如l 一铭2 ) ，露( 簦l ，“2 ) 墨( z l 一规) ，露铭l ，钝 又因为饕是r 屯i p 8 浊i t z 连续和矗强单调的，我们可得； 硼程l 一铆| | 2 露( 钍l ，魄) ，t l l 一钍2 智毫| l ，珏2 ) ，髫l 一茹2 l | 蟹( 程l ，铭2 ) | | | | 茹l 一髫2 h r h 茹l 一茁2 | | | | 牡l 一抛1 1 那么就得l l t | l 一铆n 丁硼霉1 一观| 1 综上所述可得 f l 举妒( z 1 ) 一矽爹( 茁2 ) f l = | | t l t 1 2 i lsr 艿0 嚣l 一娩| | 6 即跆妒是丁口l i p 8 c h i t z 连续的从而命题得证 注释2 2 2 若，7 ( z ，y ) = z y ，妇，y 日，那么命题2 2 3 就变为文献 1 8 】中的引理2 2 接下来，利用刁一逼近映射和刁次可微的定义把完全广义拟似变分包含关系问题( 2 1 3 ) 转化成一个不动点的问题 定理2 2 4 点( z ，u ，t ，加，名，) 为问题( 2 1 3 ) 的解的充要条件是：点( z ，t ，”，坩，z ，) 满 足等式 g ( z ) = m ( 可) + 庐爹( ，名囟( z ) 一m ( 剪) 一( 硼) + p ( u ，口) 】 ( 2 2 3 ) 其中t a ) ，钐b 扛) ，t t ，c ) ，z d ( z ) ，y 曰扛) ，庐( 石) = ( f + p 咖( ，z ) ) 一1 为( ，z ) 的矿逼近映射，f 为丑上的恒等映射，p o 为任意常数 证明假设( 2 ，锃，移，锄，z ，影) 满足等式( 2 2 3 ) ，即 ( 。) = m ( 秒) + 疹妒( 。：盈( z ) 一仍匆) 一( t i ，) + p ( t ，t ，) 】 因为p ( ，名) = ( ，+ 必( ，2 ) ) ，上面等式成立当且仅当 ( “，钞) 一，( 如) ( 夕 ) 一m ( 掣) ，z ) 由驴( ，z ) 的叼次可微的定义知，上式成立当且仅当 妒( ，z ) 一( 9 ( z ) 一m ( 可) ，名) ( ( t i ，钉) 一，( 凹) ， 7 ( ，9 ( z ) 一m ( 矽) ) ) ，v 危日- 因此 ( ，( t i ，) 一( t ，口) ，叩( ，夕( z ) 一仇( 耖) ) ) ( 9 ( z ) 一m ( 夕) ，名) 一( ，z ) ，v z l 即( z ，u ，秒，叫，z ，) 是问题( 2 1 3 ) 的一个解从而命题得证 同样地，也可以将完全广义强非线性隐拟变分不等式问题( 2 1 7 ) 转化为一个不动点 问题 定理2 2 5 点( z ，u ，钉，z ，可) 为问题( 2 1 7 ) 的解的充要条件是；点( z ，t ，u ，t l ，名，可) 满 足等式 窖( 宅) = ，n ) + p k ( 孑) 囟( z ) 一f n ) 一p ，( 叫) + p ( s ( 缸) + t 0 ) ) 1 ( 2 2 4 ) 7 其中t l a ( z ) ，管b ( z ) ，馏g 缸) ，岩d ( 茁) ，影昱( z ) ，马m ) 为日到k ( 名) 的投影算子， p o 为任意常数 2 3 迭代算法解的存在性及算法的收敛性 本节中，分析了完全广义拟似变分包含关系的迭代算法，证明了其解的存在性，也诫 萌了由该算法产生的迭代序列的收敛性 等式2 2 。3 ) 可以写成 霉= ( 1 一a ) 霉+ a 拓一多( ) + m ( 箩) + 孝烈，z ) 函( z ) 一m ( 暑，) 一力( 够+ 肛国，t ，) 羹( 2 3 。王) 利用定理2 2 4 及不动点表达式( 2 3 1 ) 构造下面的迭代算法：+ 算法2 。3 1 设a ，丑，gd ，露：嚣一g 嚣( 嚣) 分别为集值映射，越露：露露。嚣，编m ， 歹：嚣j 嚣分别势单值映射。泛函：丑曩_ 冗势日上的真泛函且对每一个定点名置， 泛函( ，名) ：日- 死都是下半连续、铲次可微的，而且夕( z ) m ( 彩d 锄( ，z ) 对给定的髫o 丑j t 正o a ( 彩o ) ，钉o b ( 茹o ) ，伽o g ( 茹o ) ，铷d ( z o ) ，暑o e ( z o ) ， 设 g l = ( 1 一天) 茹o + a 一窖( z o ) + m ( 绷) + 矽铤。，如匆( 黝) 一m ( 洳) 一( 蜘) + p f 猢，铷) ) 】+ 国。 卣文献【1 9 】知，存在钍l a 1 ) ，鬈l 君 1 ) ，铆l g z 1 ) ，名l d ( 墨1 ) ，彰l 露( 霪1 ) 使得 | | 铷一窆毒l | | 王+ 王) 露( a ( 髫1 ) ，a ( 鬈o ) ) ， l l l 钉o 秒1 0 ( 1 + 1 ) 日( b ( 茹1 ) ，b ( 髫o ) ) ， l l t 绚一锄l l ls ( 1 + 1 ) 嚣( e 扣1 ) ，g ( 鬈o ) ) ， | l l z l 一询| | ( 1 + 1 ) 日( d ( 茹1 ) ，d ( 嚣o ) ) ， 【可1 一珈0 冬( 1 + 1 ) 日( e 1 ) ，e ( 茹o ) ) 设 z 2 一( 1 一对z l + a 陋l 一9 ( z 1 ) 十m ( 毫，1 ) + 庐联，皇1 白( 茹1 ) 一m 白1 ) 一( 谢1 ) + p ( 材l ，移1 ) ) 】+ e 1 依次进行下去，我们可以得到迭代序列 茁n ， ， ， ， ， 鲰 满足t 鲰十l = ( 1 一砷露珏+ a 陋秸一9 ( 玩) + m ( 翰) + 妃。n 譬( 冬h ) 一懈( 溉) 一硝( ) + 斛( ，) ) 】+ 私，i 一锃黪+ l n 一 n + 1 i | t 一铆n + 一凫+ l l 一铷+ 1 i s ( 1 + ( 1 + 托) 一1 ) 努( a ( 髫n ) ，a ( + 1 ) ) ， 曼( 1 + ( 1 十他) 一1 ) 日( b ( 茹竹) ，b ( 茁付+ 1 ) ) ， ( 1 + ( 圭+ 他) 一1 ) 日( g ( ) ，( z 住+ 1 ) ) ， ( 1 + ( 1 + 姚) 一1 ) 日( d ( 搿珏) ，d ( 茁珏+ 1 ) ) ， 竖( 1 + ( 1 + 豫) 一1 ) 日( e ( 鬈靠) ，e ( z 行+ 1 ) ) ，n = o ，1 ，2 ， 8 l k 0 k 儿 a b e d e联 鲰 瓠 ；蓦，illiii-ll，ci-lllil 其中p o 和入( o ，1 】为常数，日为误差 注释2 3 1 若恰当选取映射a ，b ，g d ，e ，7 ，夕，m ，咖，算法2 3 1 可变为很多已知的 迭代算法，参看文献【1 ，3 8 ，2 0 - 2 4 】 同样地，等式( 2 2 4 ) 也可以写成 z = ( 1 一入) z + a 扣一9 ( z ) + m ( 毫，) + o ) 囟( z ) 一m ( 矽) 一( 伽) + p ( s ( u ) + t ( t ，) ) 】( 2 3 2 ) 用与算法2 3 1 相同的方法，构造如下迭代算法t 算法2 3 2 设a ，b ，c ，d ，e ：日一c b ( 日) 分别为集值映射；t 7 ：日日一日，夕，m ，s t ：日- 日分别为单值映射设：日o2 矗为集值映射且对每一个z 日，k ( z ) 都是非 空闭凸的 对给定的z o 日，“o a ( z o ) ，t ，o b ( z o ) ，伽o c ( z o ) ，加d ( z o ) ，珈e ( z o ) ，用与算法 2 3 1 相同的方法可得到迭代序列 z n ，( t n ) ， 钐n ， ) ， 钿) ， 且满足； z n + l = ( 1 一a ) 茹n + 入陋n 一夕( z n ) + m ( ) + 忍( 名。) 囟( z n ) 一m ( ) 一( ) + p ( s ( u n ) + t ( t ，n ) ) 】+ t n u n + 1 钉n 一”n + 1 i i 们n 硼n + 一+ l i ! ，n 一+ 1 i ( 1 + ( 1 + n ) 一1 ) 日( a ( z n ) ，a ( z n + 1 ) ) ， ( 1 + ( 1 + n ) 一1 ) 日( b ( z n ) ，b ( z n + 1 ) ) ， i ( 1 + ( 1 + n ) 一1 ) 日( c ( z n ) ：c ( z n + 1 ) ) ， ( 1 + ( 1 + n ) 一1 ) 耳( d ( z n ) ，d ( z n + 1 ) ) ， ( 1 + ( 1 + n ) 一1 ) 日( 刀( $ n ) ，刀( z n + 1 ) ) ， n = o ，1 ，2 ， 其中p o 和a ( o ，1 】为常数，e n 嚣为误差 接下来的部分，我们利用上面得到的算法来证明完全广义拟似变分包含关系问题( 2 1 3 ) 的解的存在性以及算法的收敛性 定理2 3 1 设映射a ，b ，g d ，e ：日_ c 召( 胃) 均为l i p s c h i t z 连续的且l i p s c h i t z 常 数分别为h ，入b ，入d ，入d ，h 映射卵：日日j 日为乒强单调和1 _ l i p s c h i t z 连续的且 7 ( z ，秒) = 一，7 ( 可，$ ) ，比，! ，日对每一个给定的点z 日，泛函 ( 耖，t ) = 徊一t ，7 ( ! ，t i ) ) 在可 点是阻对角拟凹的设映射：抒日_ 日，( ，1 关于第一变元是l i p s c h i t z 连续的， 关于第二变元是卢l i p s c h i t z 连续的映射夕，m ，：日_ 日均为l i p s c h i t z 连续的，l i p 8 c h i t z 常数分别为b ，k ，入，且9 又是，y - 强单调的设：e _ 冗为日上的真泛函，对每一个 给定的点名e ( ，z ) 都是下半连续、7 7 1 次可微的，且夕( z ) 一m ( 移) d o m ( ，z ) 9 l l 0 l l n n n n a b c d e 鼽 又有 0 矽妒( 声( 名) 一斧( y ( z ) l l p o z 一秒i l ，比，! ，名日 ( 2 3 3 ) 假设存在一个常数p o 使得 七= ( 1 + 下6 ) 、丁= 硒+ 入m 入e ( 1 + 丁6 ) + p 入d 入，入c ， 竺纵1 二笔三? r 2 二置谨嚣篙掣焉尝而婴仁3 q 卜丽瀚浆i 垣巫芝器罴等餐华型砸，。 i i e n 0 o 。 那么由算法2 3 1 生成的迭代序列 z n ) ， 让n ) ， ) ， ) ， ) ， 鲰) 分别收敛于童，砬，移， 国，2 ，雪，且( 岔，砬，移，而，2 ，雪) 为完全广义拟似变分包含关系( 2 1 3 ) 的一个解 证明由算法2 3 1 我们可得 i i z n + 1 一z n i i 。= l i ( 1 一入) z n + 入k n 一夕( z n ) + m ( ) + 珍妒( ，= n ( z 竹) 一m ( 铷) 一p ，( ) + ( u 二，可n ) ) 】+ e ，l 一( 1 一入) z n 一1 一入k n 一1 9 ( $ n 一1 ) + m ( 鼽一1 ) + 矽咖( ，玩一l 国( z n 一1 ) 一m ( 孙一1 ) 一( 一1 ) + ( 一l ，一1 ) ) 】+ 一l0 ( 1 一入) 0 z n 一$ 竹一1 0 + 入i i z n z n 一1 一( 夕( z n ) 一夕( z 五一1 ) ) 0 + 刈m ( ) 一m ( 一1 ) 0 + 刈斧妒( 渤( 夕( z 矗) 一m ( ) 一( ) + ( t n ，) 一声妒( ，2 n 一，( 9 ( 茹n 1 ) 一m ( 一1 ) 一j 口，( 伽n 一1 ) + j 口( t n 一1 ，t k 一1 ) ) f | + i l e n e n l i i ( 2 3 5 ) 由命题2 2 3 和条件( 2 3 3 ) 可得 8 疹妒( 洳) ( 夕( 2 n ) 一仇( 孙) 一( ) + ( t l n ，) ) 一旁( 。，钿一- 国( 髫n 1 ) 一m ( 珈一1 ) 一p ，( t t ，n 一1 ) + p ( t n 一1 ，一1 ) ) 0 si i 矽( ，( 夕( 。二) 一m ( 鼽) 一( 叫n ) + p ( u n ，) ) 一带妒( 。，2 n ( 夕( z n 一1 ) 一m ( 鼽一1 ) 一p ，( t k 1 ) + p ( 乱n l ，一1 ) ) 0 + | | 7 尹妒( 。，名n ( 9 ( z n 一1 ) 一m ( 一1 ) 一p ，( 锄。一1 ) + ( 一l ，一1 ) ) 一芦妃石n 一1 ( 夕( 磊一1 ) 一k ( 一1 ) 一( 一1 ) + ( 一l ，一1 ) ) 0 1 n ( 7 - 艿) i l 盘n 一茹付一l 一( 9 ( z 髂) 一9 ( 1 瓴一1 ) ) l l + ( 亍6 ) l l 茹怯一茹竹一l + p ( ( ，) ( u 件一l ，一1 ) ) i l + p 声) 0 m ( ) m ( 一1 ) l l + 圳一一1 i l + p ( r 6 ) l i ，( 螂t ) 一，( 戡k 1 ) | i ( 2 3 6 ) 因为9 是于强单调和b l i p s c b j t z 连续的，我们得 n 厶一茁n l 一 ( 茹牲) 一9 ( 孙一1 ) ) i i i 诵l 霉n 一一1 1 1 ( 2 3 7 ) 又因为| l 髫+ 训2 2 ( | | g l l 2 + | 2 ) ，( ，) 且a ，劈均为l i p 8 c h i t z 连续的，得 # 一鬈雠一l 妒，魄) 一( 锃露一l ，魄一1 ) ) | | 2 2 【l + 矿( 娃a a + 多a 嚣) 2 ( 1 + l 豫) 2 】| | 2 | l z n ll | 2 。2 3 。8 ) 壹勰，歹，g 刀的l i p s 幽毛z 连续性可得 | m ( 溉) 一m ( 孙一1 ) “k l l 鼽铷一l | | 入m a 露( 1 + l 札) l l 搿摊一z 椎一l i i ，( 2 3 9 l0 ，( t n n ) 一，( t u n 1 ) i lsa ，| l 叫n t 蜥i 一10 a ，入g ( 1 + 1 n ) i l 搿一$ 忭一1 f f 、 又由d 的l i p s c h i t z 连续性得 h 钿一锄一1 f | 5 ( 1 + l 扎) 胃( d ( 写n ) ，d ( z n 一1 ) ) sa d ( 1 + l 肺) | f 一一1 | | ( 2 3 1 0 ) 由( 2 3 5 2 3 1 0 ) 我们得到 l l 茹秸+ l 一| i 竖【( 1 一入) + a ( 1 + 丁d ) 、丁二硒+ a ( 丁j ) 、互i j i i 忑五j j i 秀函i l 丽 十入凡再a b ( 1 + r d ( 1 + 1 付) + 十a p a ，入g ( 丁6 ) ( 1 + l ) + a p 久d ( 1 + l n ) 】i | 嚣，l 一髫付一l l l + “e n e n 一1 i i 一 【( 1 一a ) + 入岛l + 入k ( p ) 】i i 髫靠一搿n 一1 i i + l i e ”一e n 一1 0 恕靠i l 茁n z n l i l + l | e “一e 似一1 i i ( 2 3 1 1 ) 其中 f 如= ( 1 一爻) + 天k + 爻( p ) ， k 一( 1 + r 7 回、l 一2 7 + a ；+ a m 入g ( 1 + 丁( 1 _ 卜1 n ) + p a d ( 1 + 1 礼) ， i 如( p ) = ( r 5 ) f 钥矿昂丽甄干瓦酽f 干可元河+ 砧，b ( 1 + l n ) 】 设秽= ( 1 一a ) + 又七+ a t ( j d ) ，其中 p = ( 1 十丁6 ) 酉两+ i k h ( 1 + r 回十p 坻 【需( p ) = ( f 艿) f 阿再币丙了翮+ 从，a g 0 当牡寸时，我们可得到k _ 奄，如( 力_ 孟( 力，靠_ 拶 由条件( 2 3 4 知参 王，因此孙一时靠 l ，两且l | 一一l l o ，瓣- o 。) ，那么萎l # ( 2 一( 1 一知) 2 ) ( 2 ( 玟天a + p 天日) 2 一a 久刍) ， l ：_ 黼l o ，则称映射f 是正齐次的。 定义3 1 2 f 2 6 j 设为拓扑向量空间x 的一个非空子集映射g ：蜀一2 x ，若对 的任意有限子集 盘l ，z 2 ， ，都有 拜 c o n 钳 2 l ，搿2 ，) cug ( z ) i = l 则称映射g 为k k m 映射 设x 为一个实的b a n a c h 空间，k x 是一个非空闭凸尖锥，有序b a n a c h 空间( e p ) 是由闭凸尖锥尸得到的记五( x ，y ) 为x 一y 的线性连续映射的空间，记( 厶z ) 为线性 连续映射考玉( x ，y ) 在茁点的值设映射a ，t ：x _ 2 x ，9 ：k _ 瓦f ：x _ k 露：x x - x ，：二x ，y ) 五( x ，y ) o 互( x ，y ) 考虑下面的广义向量f 隐似互补阊题8 y 正歹c 艺砷：求矿k 铭a 缸事) ，矿t ( z ) 使得 ( ，t ，) ，叼( 夕( 茹) ，夕( z ) ) ) + f ( 叼( 9 ( z ) ，9 ( 茹) ) ) 一o ， 且 1 4 ( 耄l 。，移+ ) ，蟹( 擘( 爹) ，夕z + ) ) + f ( 叩( 9 ( 掣) ，9 ( 茹+ ) ) ) o ，v 箩缸 ( 3 1 1 ) 当恰当选取映射a ，t ，9 ，只，叼时，广义向量f 隐似互补问题( g y f - j g l p ) 可以变为 不同类的问题如。 ( 1 ) 设映射a ，t ：x _ 五( x ，y ) ，f ：k - k 叩( $ ，爹) = z ，那么( g y 弘1 _ p ) 可变为文献 粒5 】研究的广义向量f 隐互补闻题( g y b j g p ) ：求茹幸x 使得 ( 触拿，j r 霉) ，寥( z ) + f ( 窖( $ ) ) 一0 且 ( n ( a 搿+ ，t 茹+ ) ，夕( 暑，) ) + f ( 夕( ! ，) ) 0 ，v k ( 3 1 2 ) ( 2 ) 若映射a = t 兰j ( ，为恒等映射) ，设映射，：k 。乞( x ，y ) 且，( g ) = 扛，茹) ，坛 肖，