（概率论与数理统计专业论文）马氏过程的遍历性理论及其应用.pdf

摘要 本学位论文研究了离散时间马氏链和连续时间马氏过程的遍历 性的理论及其应用我们研究了连续时问马氏过程的次几何收敛性， 指数遍历性和强遍历性以及离散时间马氏链的多项式遍历性和强遍 历性而且我们应用已有的遍历性理论和我们自己所得的新结果研究 了一些实际的模型，这些模型涉及到排队论衍生的马氏链和马氏过 程以及q 一过程中的生灭过程和分支过程等等 第一章介绍了问题提出的背景，列出了论文的结构和论文取得的 主要成果，陈述了论文牵涉到的基本概念 第二章研究马氏链的多项式遍历性先得到了m g 1 排队嵌入链 和m g i 型马氏链多项式遍历的准则，然后给出了随机序的马氏链 多项式收敛速度的估计，并讨论了m g 1 排队嵌入链多项式收敛速 度的估计 第三章研究了马氏过程的次几何收敛性先给出了一类马氏过 程次几何收敛的充分条件，讨论了休假m g 1 排队队长和m g 1 型马 氏过程的多项式收敛性而后，我们运用耦合的方法获得了随机序 的马氏过程次几何收敛速度的精确界，并应用该结果获得了经典 m g 1 排队的等待时间和生灭过程的多项式收敛速度的界 第四章研究马氏链的几何遍历性得到了m g 1 和g i m n 排队 嵌入链以及m g 1 型马氏链几何遍历性的准则，并给出了m g 1 排队 嵌入链和特殊的m g 1 型马氏链的最大几何收敛速度的精确值 第五章研究马氏过程的指数遍历性给出了类马氏过程指数 遍历的充分必要条件，并研究了休假m g 1 排队系统队长的指数遍 历性而后采用h 一逼近链的方法，得到了m g 1 型马氏过程指数遍 历的充分必要条件和一些连续时间马氏链的指数收敛速度的下界估 计 第六章讨论马氏链的强遍历性先给出了判断马氏链非强遍历 性的一个充分条件，而后对随机序的马氏链给出了最大强遍历收敛 速度的下界估计，并在最后一节通过例子将所得结果和已有的结果 进行了对比 第七章研究了连续时间马氏链的强遍历性通过漂移函数和首 达时的矩得到了随机单调的和可逆的这两类马氏链的最大强遍历收 敛速度的下界估计对这两类马氏链，可证明最大强遍历收敛速度 的上界和下界仅相差一个常数并且我们应用这些结果得到了生灭 过程、广义分支过程以及广义生灭过程的强遍历收敛速度的精确界 关键词马氏链，马氏过程，多项式遍历，次几何收敛，强遍历 a bs t r a c t i nt h ed i s s e r t a t i o n ，w ec o n s i d e re r g o d i ct h e o r ya n di t sa p p l i c a t i o n so f d i s c r e t e - t i m em a r k o vc h a i n sa n dc o n t i n u o u s t i m em a r k o vp r o c e s s e s w e s t u d ys u b g e o m e t r i cc o n v e r g e n c e ，e x p o n e n t i a le r g o d i c i t y a n d s t r o n g e r g o d i c i t yf o rm a r k o vp r o c e s s e s ，a n dp o l y n o m i a lc o n v e r g e n c ea n ds t r o n g e r g o d i c i t yf o rm a r k o vc h a i n s f u r t h e r m o r e ，w ea p p l yt h ek n o w ne r g o d i c t h e o r ya n do u ro w nn e wr e s u l t st os t u d ys o m er e a l i s t i cm o d e l s ，w h i c h i n c l u d es e v e r a lm a r k o vc h a i n sa n dm a r k o vp r o c e s s e sd e r i v e df r o mt h e q u e u e s ，a n d af e w g p r o c e s s e s s u c ha sb i r t h d e a t h p r o c e s s e sa n d b r a n c h i n gp r o c e s s e s i nc h a p t e r1 ，w ei n t r o d u c et h eb a c k g r o u n dw h e r et h ep r o b l e m sa r e p r o d u c e d ，l i s t t h e o r g a n i z a t i o n o ft h e p a p e r a n d r e v i e wt h eb a s i c d e f i n i t i o n si nt h ed i s s e r t a t i o n i nc h a p t e r2 ，p o l y n o m i a le r g o d i c i t yf o rm a r k o vc h a i n si sc o n s i d e r e d w ef i r s tg i v et h ec r i t e r i ao fp o l y n o m i a le r g o d i c i t yf o rt h ee m b e d d e d m g 1q u e u ea n dm g 1 一t y p em a r k o vc h a i n s ，a n dt h e ng e ta ne s t i m a t eo f p o l y n o m i a lc o n v e r g e n c er a t e so fs t o c h a s t i c a l l yo r d e r e dm a r k o vc h a i n s f i n a l l y , w ei n v e s t i g a t ep o l y n o m i a lc o n v e r g e n c er a t e so ft h ee m b e d d e d m g 1q u e u e i n c h a p t e r3 ，w es t u d ys u b g e o m e t r i cc o n v e r g e n c e o fm a r k o v p r o c e s s e s w e f i r s t g e t as u f f i c i e n tc o n d i t i o nf o r s u b g e o m e t r i c c o n v e r g e n c eo fa c l a s so fm a r k o vp r o c e s s e s ，a n dt h e nc o n s i d e r p o l y n o m i a lc o n v e r g e n c eo fb o t ht h eq u e u el e n g t ho ft h em g 1q u e u e s w i t hv a c a t i o n sa n dm g 1 一t y p em a r k o vp r o c e s s e s s u b s e q u e n t l nt h e e x p l i c i tb o u n d s o ns u b g e o m e t r i cc o n v e r g e n c er a t e so ft h ec l a s so f m a r k o vp r o c e s s e sa r eo b t a i n e d ，u s i n gt h ec o u p l i n gm e t h o d b ya p p l y i n g t h er e s u l t ，w eo b t a i nt h eb o u n d so np o l y n o m i a lc o n v e r g e n c er a t e so f b o t h w a i t i n gt i m eo f t h ec l a s s i c a lm g 1q u e u ea n db i r t h d e a t hp r o c e s s e s c h a p t e r4i sd e v o t e dt os t u d y i n gg e o m e t r i ce r g o d i c i t yo fm a r k o v c h a i n s t h ec o n d i t i o n ss u f f i c i e n ta n dn e c e s s a r yf o rg e o m e t r i ce r g o d i c i t y o ft h ee m b e d d e dm g 1a n dg i m nq u e u e sa n dm g 1 一t y p em a r k o v c h a i n sa r eg i v e n ，a n dt h e nt h ee x p l i c i tv a l u e so ft h el a r g e s tg e o m e t r i c c o n v e r g e n c er a t eo ft h ee m b e d d e dm g 1q u e u ea n das p e c i a lm a r k o v c h a i no f m g 1 t y p ea r ep r e s e n t e d i i i c h a p t e r5 i sd e d i c a t e dt o c o n s i d e r i n ge x p o n e n t i a le r g o d i c i t yo f m a r k o vp r o c e s s e s ac r i t e r i o nf o re x p o n e n t i a le r g o d i c i t yo fac l a s so f m a r k o vp r o c e s s e si sd e r i v e d a n dw e s t u d ye x p o n e n t i a le r g o d i c i t yo ft h e q u e u el e n g t ho ft h em g 1q u e u e sw i t hv a c a t i o n s ，u s i n gt h er e s u l t t h e n w eo b t a i nt h ec r i t e r i af o re x p o n e n t i a le r g o d i c i t yo f m g i - t y p em a r k o v p r o c e s s e s ，a n dg e te x p l i c i te s t i m a t e so ft h e1 0 w e rb o u n d so ne x p o n e n t i a l c o n v e r g e n c er a t e so ft w oc o n t i n u o u s t i m em a r k o vc h a i n s ，u s i n gt h e i r h - a p p r o x i m a t i o nc h a i n s i nc h a p t e r6 ，s t r o n ge r g o d i c i t yf o rm a r k o vc h a i n si sc o n s i d e r e d w e f i r s tg i v eas u f f i c i e n tc o n d i t i o nu n d e rw h i c hm a r k o vc h a i n s a r en o t s t r o n g l ye r g o d i c ，a n dt h e nf i n dal o w e rb o u n do nt h el a r g e s ts t r o n g l y e r g o d i cc o n v e r g e n c er a t e i nt h el a s ts e c t i o n ，w ec o m p a r eo u rm e t h o d w i t ht h ek n o w nm e t h o d sb ya ne x a m p l e i n c h a p t e r7 ，w es t u d ys t r o n ge r g o d i c i t yf o rc o n t i n u o u s - t i m e m a r k o vc h a i n s w eo b t a i nt h el o w e rb o u n d so nt h e l a r g e s ts t r o n g l v e r g o d i cc o n v e r g e n c er a t e so fb o t hs t o c h a s t i c a l l ym o n o t o n ec h a i n sa n d r e v e r s i b l ec h a i n s ，u s i n gs i m p l ed r i f tf u n c t i o n sa n dt h ef i r s th i t t i n gt i m e m o m e n t s f o rt h e s et w oc l a s s e so fm a r k o vc h a i n s ，t h eu p p e rb o u n d sa n d t 1 1 el o w e ro n e sa r ep r o v e dt ob eo n l yd i f f e r e n ti na c o n s t a n t b ya p p l y i n g m er e s u l t s ，w eg i v et h ee x p l i c i tb o u n d so nt h el a r g e s t s t r o n g l ye r g o d i c c o n v e r g e n c e r a t e so fb i r t h - d e a t h p r o c e s s e s ，g e n e r a l i z e db r a n c h i n g p r o c e s s e sa n dg e n e r a l i z e db i r t h d e a t hp r o c e s s e s k e yw o r d sm a r k o vc h a i n ，m a r k o vp r o c e s s ，p o l y n o m i a le r g o d i c i t y , s u b g e o m e t r i cc o n v e r g e n c e ，e r g o d i c i t y 在本论文中，我们约定 r = - o o ，0 0 ) r + = 【0 ，o o ) 互= o ，1 ，2 ，) 札= 1 州2 i 。( ) i ，( ) j ( q ，f ，p ) ( x ，占( x ) ) 只 e 。 符号说明 表示定义为 表示+ o o 表示实数集 表示非负实数集 表示非负整数集 表示正整数集 表示集合a 的特征函数 表示i ， ( 。) 表示蕴涵 表示除去一个玎零测集外 表示概率空间 表示状态空间 表示初始状态为x 时的条件概率 表示初始状态为x 时的条件期望 j ，( 个)表示单调递减( 递增) 趋近于 i 0 表示无穷多次( i n f i n i t e l yo f t e n ) g c d表示最大公因子( g r e a t e s tc o m m o nd i v i s o r ) g + ( r ) = f ( x ) ：r p “d f ( 工) 。且- i 掣焉r o 0 下面给出a 。中 函数的两个性质，这两个性质在后面会被经常用到 ( i ) r ( x + y ) r ( x ) r ( y ) ，v x ，y r + ： ( i i ) v 口( o ，) ，半掣一1 ，x 寸 r ( xj 这两个性质的证明如下：对任意的x 0 ( 当x = 0 显然有( i ) 成立) ，有 l n r ( x + y ) 一l n ，( x ) fl n r ( x + y ) 一1 n r ( j ) x + 生业y lx + y x x + y m ， 由此可得( i i ) 1 3 2 常用不等式 1 c ，不等式：研i x + 】，r 】m a x 1 ，2 1 ) ( 研l xr + 研l yr ) 2 j e n s e n 不等式： 设函数f ( x 1 是区间，上的凸函数，则对任意的 x ，( f = 1 ，2 ，h ) ，有 厂( 型警) l - - f ( x 0 + f ( x 2 ) + ，( k ) 】_ 疗玎 一 3 m a r k o v 不等式：如果x 是非负随机变量，则对任意的f 0 ，有 p x f 幽， 将x 换成p “，“ 0 ，则对任意的f r 。，有 竖主堂堡堡壅 塑二皇堑笙墨苎! 笙! ! 鱼 p x f 】= p e “p “ e - u * e e “】 4 h i 5 1 d e r 不等式：对正数p ，q 1 ，三+ 三：1 ，有 ，q e 1 彳y 口( e i x l 9 ) 9 ( e 【i y t 9 ) 9 特别地，令p = q = ：1 ，则有 e l lx y l l 0 j l ( x ，a ) ：= 坩n 0 称链。是一不可约，若对某个测度妒，它是妒一不可约的且测度是最 大不可约测度( m e y n 和t w e e d i e1 9 9 3 a ，p 8 8 ) 定义 b + ( ) = a b ( x ) ：p ( 爿) 0 ) 下面介绍细集和小集的概念，这两个概念在遍历性的研究方面作用很大- 定义3 4 称集合c 为细集，若对所有的x c 有 皇垡兰笙垡：! l 丝二里堑堡墨苎奎塑垒 a p ”( h ) 弛， n = 1 其中屹是曰( _ ) 上的非平凡测度，口= ，n + 是概率分布： 定义3 5 称集合c 为小集，若存在正整数n n + ，和曰( 爿) 上非平凡测 度k 使得对任意的z c ，b 口( ) 有尸”( x ，b ) v n ( b ) ： 定义3 6 称集合4 是常返的，若对任意的x a ，有 巨 玑】m ， 其中r l a ：= ：，i a ( o 。) 称为占有时，表示链巾。在时间。以后访问集合爿的次数 称链巾。是常返的，若b + ( ) 中的每个子集都是常返的 定义3 7 称集合爿是h a r r i s 常返的，若对任意的x a ，有 只 玑= 叫= 1 或l ( x ，爿) = 1 称链0 。是l l a r r is 常返的，若曰+ ( j ) 中的每一个子集都是h a r r i s 常返的 明显地，由定义可知若链o 。是h a r r i s 常返的，则必然是常返的对可数 状态空间的马氏链o 。，常返蕴涵了h a r r i s 常返，从而常返与h a r r i s 常返这两 个概念是等价的 定义3 - 8 称口( x ) 上盯一有限的测度万是不变测度，若对任意的彳口( x ) ， 有 万( 爿) = l 万( 出) p ( x ，) 如果链中。是常返的，则存在唯一( 相差常数则视为相同) 的不变测度，进一 步，不变测度是有限的，若存在细集c 使得 s u p 巨kj e c 定义3 9 称_ ；f ，一不可约的链中。是正常返的，若存在一个不变概率测度万 称链巾。是正h a r r i s 常返的，若中。h a r r i s 常返且正常返 下面定义马氏链的遍历性 博士学位论文第一章绪论及基本概念 定义3 1 0 设，是x 上的可测函数称马氏链e 1 ) 。是，一遍历的，若厂l 且满足 这里 ( i ) 中。是正h a r r i s 常返的，不变概率测度为万 ( i i ) 丌( ，) ： ( i i i ) 对任意的初始状态x ，有 ! i 。m 。i i p ( h ) 一万( ) i i s 2 0 i s = s u p 蒯；，iv ( g ) l 表示一范数，若厂= l ，则厂一范数变成通常的全变差范数 v 阃v i l l = s 耶- iv ( g ) 户亲凛、( 爿) - 。i n ( f ( 爿) 相应地，厂一遍历变成了( 普通) 遍历 定义3 1 l 称一般状态的马氏链巾。是，一几何遍历的，i 厂l ，若巾。是 正h a r r i s 的且z ( ，) 1 ，鸭 0 t 【】 0 ， 其中= f ( 巾，) 出为占有时 博士学位论文 第一章绪沦及基本概念 定义3 1 6 称称过程o ，是h a r r i s 常返的，若对任意的x a ，有 ( i ) 对某个盯一有限的测度v ，有v ( b ) 0 j 只 = 叫= 1 ：或 ( i i ) 对某个盯一有限的测度，有v ( b ) 0 j 硝 0 ，对任意的 r 皿平万一a e x 并，有 e “i ip f ( x ，) - x ( ) | 1 斗0 ，r 一0 0 定义3 2 2 称遍历的过程中，是强遍历的，若存在常数m ，口 0 ，对任意 的f 足，有 s u p l i p 。( x ，) 一万( ) i 峰m e 一“， e 对连续时间马氏过程，这些遍历性之间的强弱关系与离散的情况一样，即 强遍历j 几何遍历j 次几何收敛j ( 普通) 遍历 博士学位论文 第一章绪论及基本概念 1 3 5 轨道序与随机序 假设状态空间x = r + ， 中，f 皿或z + ) 是x 上的马氏过程( 或链) 先介绍随机序的概念称随机变量r 随机大于另一个随机变量e ，若对任 意的实数z ，p l y , 叫s 研e x 设m ：和o ；与，具有相同的转移函数， 其初始状态可能是随机的，分别为：和巾；称o ，为随机序的，若只要巾：随 机大于中：，则对任意的r ，有中：随机大于o ； 再介绍轨道序的概念所谓的轨道序意指：从较高状态出发的过程( 或链) 的样本轨道，永远不会低于从较低状态出发的样本轨道明显地，若中是轨道 序的，则必定是随机序由k a m a e ，k r e n g e l 和0 b r i e n ( 1 9 7 7 ) 和l i n d v a l l ( 1 9 9 2 ) 可知，对随机序的中，可以构造一个新的轨道序的过程( 或链) ，使其与 由，同分布因此，随机序的过程( 或链) 可以看成为轨道序的过程( 或链) 博士学位论文 第二章离散时间马氏链的多项式遍历性 第二章离散时间马氏链的多项式遍历性 摘要本章研究了马氏链的多项式遍历性及多项式收敛速度第二节和第 三节分别得到了m g 1 排队嵌入链和m g 1 型马氏链，一遍历的充分必要条件 第四节给出了随机序马氏链多项式收敛速度的一个估计最后一节运用第四节 的结果和已有的结果得到了m g 1 排队嵌入链多项式收敛速度的两个估计 关键词多项式遍历，嵌入链，m c i 型马氏链，矩阵分析 2 1 引言 设 中。，月z + ) 表示一般状态空问上的马氏链，用b ( x ) 表示可数生成的 盯一域，其转移概率核为p = p ( x ，4 ) ，x x ，a b ( ) 假设巾。是一不可约 且非周期的，这里是最大不可约测度 定义1 1 称集合a 为满集，若一。) = 0 ：吸收集若p ( x ，a ) = 1 ，x a 下面介绍( 厂，r ) 一正则集的概念 定义1 2 称集合a 为( ，) 一正则集，若对每一个c b + ( x ) 有 s 。u p e , 阱k0 卟o 。 i r ( 七) 厂( o 。) l o 。 x e a= 假设中。是( 普通) 遍历的，z 是唯一的不变概率测度研究次几何收敛就是 考虑在什么条件下，存在次几何速度函数，e 人，使得对任意的x x l i m r ( n ) | | 尸”( x ，) 一口( _ ) i i ，= 0 ( 1 1 ) 关于次几何收敛性的研究，最早的结果当属t w e e d i e ( 1 9 8 3 a ) 以及 n u m m e l i n 和t u o m i n e n ( 1 9 8 3 ) ，这两篇文献考虑了f ；1 和，a 的情况而 t w e e d i e ( 1 9 8 3 b ) 以及m e y n 和t w e e d i e ( 1 9 9 3 a ) 研究过f 1 和r = 1 的情况而 | 尊士学位论文第二章离散时间马氏链的多项式遍历性 最一般的次几何收敛的情况，即厂2 1 和r a ，则由t u o m i n e n 和 t w e e d i e ( 1 9 9 4 ) 研究，并得到了最完整的结果，他们的结果如下 命题1 1 假设中。是一不可约且非周期的，设f ：x 寸【l ，m ) 且，a 则 下面的命题等价 ( i ) 存在细集c b ( x ) ，使得 攀疋除小卟。攀疋l 荟“的厂( 吼i 锄 ( i i ) 存在函数序列( k ) ，k ：x 一 0 ，叫，细集c 曰( z ) 和常数b r + 使 得k 在c 上是有界的， 且 v o ( x ) = 。= k ( z ) = c 。 p v “一r ( n ) f + b r ( n ) l c ，n 互 ( 1 2 ) ( i i i ) 存在( ，) 一正则集a b + ( 彳) 若( i ) ( i i ) 和( i i i ) 中的任一条件成立，则对任意的x s ( f ，r ) ，有( 1 1 ) 成立 其中s ( f ，r ) 是一个满集、吸收集且包含了集合 m 之后，还是有大量的研究工作出现，这些工作主要集中在两个方面：一方 面围绕漂移函数的简化，比如：j a r n e r 和r o b e r t s ( 2 0 0 2 ) 利用简单的漂移函数 得到了多项式收敛的充分条件，这个结果后被d o u c 等( 2 0 0 4 ) 延伸到较般的 情况：另一方面则围绕收敛速度的界展开，即量化估计式子 r ( ”) l 吵( z ，) 一z ( ) i i s m ( x ) n = o 中m ( x ) 的界s c o t t 和t w e e d i e ( 1 9 9 6 ) 研究了随机序马氏链的次几何收敛速度 的界，而d o u c 等( 2 0 0 4 ) 研究了一般马氏链的情况两者的不同点在于：前者 使用的漂移函数( 1 2 ) 比后者使用的漂移函数复杂，而且所得的界也有差别 本章我们主要研究多项式遍历，即r ( 一) = n 7 ，r 注意：当f 乙时，多 博士学位论文 第二章离散时间马氏链的多项式遍历性 项式遍历又称为，一遍历关于f _ 遍历，m a o ( 2 0 0 3 ) 通过计算偏差矩阵给出了可 数状态空间上的离散时间马氏链z 一遍历的充分必要条件 本章的结构如下： 第二节通过分析首达时矩母函数f o 。( s ) 的七，k 胛阶导数在s = l 处的值，得 到了m g 1 排队嵌入链，一遍历的充分必要条件 第三节通过矩阵分析的办法，分析了首达时矩母函数k ( s ) 的k ，k h 阶导数 在j = 1 处的值，获得了m 6 1 型马氏链，一遍历的充分必要条件 第四节研究了随机序马氏链多项式收敛速度的界，通过简单的漂移函数给 出了多项式收敛速度的界 第五节运用已有的结果和第四节的结果得到了m g 1 排队嵌入链多项式收 敛速度的两个估计 2 2 m g 1 排队嵌入链 在经典的m c 1 队中，顾客到达服务系统的过程是参数为五的p o i s s o n 过程 用s 。表示第n 个顾客的服务时间，则 s n ，”e + 独立同分布，且矗服从一般的 分布b ( t 1 定义 一1 ： 。r 拈( ，) ，p ：兰 “ 4 1 z 设三( f ) 表示队长，即在时刻f 系统中的顾客数通常l ( t ) 不是马氏过程，除非 b ( t ) 服从指数分布令r 。= 0 ，用g n n n + 表示第n 个顾客离开系统的时间 令l 。= l ( r 。) ，则 三。，n z + ) 为队长的嵌入链m g 1 排队嵌入链首先由 k e n d a l ( 1 9 5 3 ) 引入并研究，在排队论的历史上起着重要的作用关于嵌入链的 详细介绍，可参考田乃硕( 2 0 0 1 ) 和徐光辉( 1 9 8 8 ) 用v 。表示在第n 个顾客接受服务的时间内到达的顾客数，则 v 。，n n + 是 1 4 博士学位论文第二章离散时间马氏链的多项式遍历性 独立同分布的随机变量，并且v ，的分布为 吼钢叫= e 簪“嘶) ，t 关于嵌入链有如下的关系 k 。= k 蠹 嵌入链。是状态空间= z + 上的马氏链，其转移概率矩阵为 p = q q 0 a o 00 n 2a 3 日2吩 d l口2 嘞“【 ( 2 1 ) ( 2 2 ) 显然l 。是不可约的且非周期已知嵌入链三。是( 普通) 遍历的充分必要条件是 p 皇鲁= ：。慨 0 ，有 o = 亭。一l + f ho ， i 2 根据转移矩阵e 的特殊结构有 产= 产1 产1 m ：= 工妒， i 2 由于色。，。相互独立，故当i 2 时有 证毕 ，。( s ) = e s 6 。 = e s e n ”】= ( e s 。 ) 。= _ 。( s ) 5 引理2 2 设转移概率矩阵p = ( p ( i ，朋，则厶( 5 ) ，i x ，s r 是下面方程 一= s p ( i ，j ) x j + s p ( i ，o ) ，i e x ( 2 4 ) 列 的解特别当s r + 时，z 。( s ) 是方程( 2 4 ) 的最小非负解 故 证明由于：? = p 。以及当1 时有 且当 1 时，有 盹j 麟，i e z 瓯? ls p ，o j “1 船“) = s p ( i ，) j ”船，ie x h 从而，。( s ) ，s r 是方程( 2 4 ) 的解并由最小非负解理论可知厶( s ) 是方程 ( 2 4 ) 的最小非负解证毕 注2 1 引理2 2 是h o u 和g u o ( 1 9 8 8 ) 中定理6 3 l 的简单推广，即把s 的 范围由 0 , 1 延伸到r + 上去引理2 2 在研究几何遍历时也起着重要的作用 博士学位论文 第二章离散时间马氏链的多项式遍历性 定理2 1 若m g 1 队嵌入链三。是( 普通) 遍历的，则对任意的f n + 且 ，2 ，链l 。是卜遍历的当且仅当 f x d b ( z ) o o 证明由引理2 2 可知，：。( j ) ，s 0 , 1 满足方程( 2 4 ) ，从而 z 。( j ) = s a z 。( s ) 】。+ s a 。= j 盯，【i 。( 5 ) ( 2 5 ) l，0 对方程( 2 5 ) 两边关于s 微分，次，可得 l ( s ) = c ( s ) + j a 。( 5 ) 川 ：o ) + 乱 j ( j 一1 ) ( 一l + 1 ) a ，( j ) r 局( j ) j i 其中c ( s ) 是有限项的和，其每一项具有如下的形式 l - i k + 1 ) a ，兀 ，i 护( 5 ) n e o ，1 ) j - 0 ( 2 6 ) 0 t ( ，一1 ) 4 一，1 k l - 1 ，0 茎f 一1 在( 2 6 ) 中取s = 1 ，有 ( 1 - p ) h 船= c ( 1 ) + j ( j 一1 ) ( ，一l + 1 ) a ，( 珑。) ， ( 2 7 ) ， 其中 器= j ( j 1 ) ( 一，+ 1 ) 馏， j i = 1c ( 1 1 是有限项的和，其每一项具有如下的形式 明显有 从而 1 ) ( ， l - l k + 1 ) a ，兀 月船 ，0 r ( t - 1 ) f _ 0 1 s k ，一1 ，0 i z 一1 1 i m ! ：1 n ( n 一1 ) ( ”一，+ 1 ) 博十学位论文 第二章离散时间马氏链的多项式遍历性 聆嚣 0 0 当且仅当晰品 。 ( 2 8 ) 再注意到 j ( j 一1 ) ( ，一t + 1 ) q j ：f 州_ 1 ) ( ，- k + 1 ) 学“船( x ) ( 2 9 ) = 4 p 招( x ) 由于矩阵只的第一行和第二行相同，因此有f o 。( s ) = i 。( s ) ，从而有m 等= m 乩 通过归纳，由( 2 7 ) 一( 2 9 ) 可知硝0 0 0 当且仅当 f x d b n o 。 证毕 注2 2 在第三节，我们用矩阵分析的办法研究了m g 1 型马氏链的f 遍 历性，所得主要结果定理3 1 延伸了定理2 1 的结果第五节的定理5 2 用不 同的方法给出了多项式遍历的充分必要条件，也延伸了这里的结果 2 3m g 1 型马氏链 m g 1 型马氏链涵盖t 5 1 ：多m g l 排队中出现的马氏链，如所有休假m g 1 排队系统的嵌入链，为许多排队问题提供了良好的模型n e u t s ( 1 9 8 1 ) 和 n e u t s ( 1 9 8 9 ) 系统介绍了m g 1 型马氏链所谓的m g 1 型结构是指：马氏链的 转移矩阵是上三角的h e s s e n b e r g 矩阵并且具有重复的结构关于m g i 型结构 一些文献( 如k i j i m a l 9 9 3 ) 采用另外一个描述性的术语：自由跳向左( s k i p f r e et ot h el e f t ) 由于这类结构的特殊性，已经取得了许多很好的结果，其 ( 普通) 遍历( 不变概率测度的存在性) 的充分必要条件已经得到而后，在此基 础上许多文献研究过口一不变测度( 如l i 和z h a 0 2 0 0 2 ) ，不变概率向量的计算 ( 如m e i n i l 9 9 8 ) 和平稳分布的尾巴渐近性( 如f a l k e n b e r 9 1 9 9 4 ) 与这些研究方 向不同，这节我们将研究m g 1 型马氏链的，一遍历性 博十学位论文第二章离散时间马氏链的多项式遍历性 设巾。为不可约且非周期的m g a 型马氏链，其转移概率矩阵j d 呈块状形式 其中矩阵 a 。，n z + 都是m 阶的方阵，矩阵b 。是m ，阶的方阵矩阵 b 。， z + ) 和c o 分别是维数为m 。x m 和m m 。的方阵假设p 是随机的，即 4 p = g ；或p = p ；c o e + 4 e = p n = on = on = l 其中e 是一个所有元素为1 的列向量该马氏链的状态空间为x = u ) ，其 中三。= ( o ，- ，) ；，= 1 ，2 ，m ，) 和上，= ( f ，n _ ，= 1 ，2 ，m 分别表示0 水平集和i 水 平集 令g ，( 女) 表示链中。从状态( f + 1 ，i ，) ，i 1 ，1 研出发，经过t 步后首次到 达i 水平集并且所到达的状态为( f ，j ) ，i 1 ，1 j m 这样一个条件概率矩阵 g ( t ) = ( g 。，( ) ，1 ，_ ，坍) 为m 阶的方阵定义 g ( z ) g ( k ) z ，z r 下面的命题是n e u t s ( 1 9 8 9 ) 中定理2 2 2 的简单推广，实际上就是z 从范围 一1 ，1 】到整个实数集尺上的推广这个命题的证明是微不足道的，完全平行于 n e u t s ( 1 9 8 9 ) 中定理2 2 2 的证明，但这个命题对我们的分析起着重要的作 用 命题3 1 对任意的z r ，g ( z ) 满足下面的方程 g ( z ) = 叫，g 。( z ) ( 3 1 ) 而且，当z 仅取值于r 时，g ( z ) 是方程( 3 1 ) 的最小非负解 9 西山办a易山a 山 马4 如o 玩q o o 博士学位论文第二章离散时间马氏链的多项式遍历性 令乞，( ) 表示链中。从状态( 1 ，) ，1 茎m 出发，经过k 步后首次到达0 水 平集并且所到达的状态为( o ，j ) ，1 ，m 这样一个条件概率矩阵 三( 七) = ( ( ) ，1 m ，1 m 1 ) 是维数为m m 。的矩阵令k ( 女) 表示链中。 从状态( o ) ，1 j m ，出发，经过k 步后首次回到0 水平集并且所到达的状态 为( o ， ，) ，1 ，7 m l 这样一个条件概率矩阵k ( k ) = ( k ( t ) ，1 ，7 m 。) 是m 阶的方阵 定义 三( z ) = l ( k ) z ，z e r 女= l 霞( z ) = y x ( k ) z ，z r = l 下面的命题揭示了6 ( z ) ，z ( z ) 和露( z ) 之间的重要联系，它是n e u t s ( 1 9 8 9 ) 中的 方程( 2 4 2 ) 和( 2 4 8 ) 由z 从范围 一l ，1 】到整个实数集r 上的简单推广 命题3 2 对任意的z r ，有 f ( z ) = z c 。+ z a ，p ( z ) 三( z ) v = o k ( z ) z b 。+ z b 。伊( z ) 三( z ) v = o ( 3 2 ) ( 3 3 ) 在n e u t s ( 1 9 8 9 ) 中，一个基本的假设就是g ：= g ( t ) 是不可约的g 中元 k = l 素g ，表示过程o 。从状态( f + 1 ，) ，i l ，1 ，出发，最终到达i 水平集并且 所到达的状态为( f ，) ，i l ，1 茎蔓m 这样一个条件概率令= ：。v a 。，并 设是矩阵爿：= 田- 。a ，的不变概率向量，即