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一、选择题1.(2008四川绵阳)如图，O是边长为1的正ABC的中心，将ABC绕点O逆时针方向旋转180，得A1B1C1，则A1B1C1与ABC重叠部分（图中阴影部分）的面积为（ ）A B C D答案：C2.(2008湖南衡阳)已知等腰三角形的一个底角为80，则这个等腰三角形的顶角为（ ）A.20 B.40 C.50 D.80答案：A3.（2008年龙岩市）如图，在边长为4的等边三角形ABC中，AD是BC边上的高，点E、F是AD上的两点，则图中阴影部分的面积是（ ）A4B3C2D 答案：C解析：此题考查三角形的面积及等边三角形的有关的性质.等边三角形一边上的高也是这边上的中线还是这边的对顶角的平分线,即三线合一.由AD是边长为4的等边ABC,BC边上的高可知ADBC,BD=DC=2,所以SBEF=SCEF,AD=2,所以S阴影=SABD=.在解决此类问题时注意图形面积的转化,在三角形中同底等高的三角形面积相等,等底等高的面积相等,根据这些原则可以将图形中的面积进行转化,转化到已知的三角形中.达到化未知为已知的目的.4. （2008年沈阳市）若等腰三角形中有一个角等于，则这个等腰三角形的顶角的度数为（ ）ABC或D或【参考答案】D.【解析】由于已知角未指明是顶角还是底角，所以要分类讨论。（1） 当50角是顶角时，则（18050）2=65，所以另两角是65、65。（2） 当50角是底角时，则180502=80，所以顶角为80。故顶角可能是50或80.5.（2008年南宁市）如图1，正三角形的内切圆半径为1，那么三角形的边长为：O图1（A）2 （B） （C） （D）3答案：B解析：过O点向正三角形的一边作垂线，则正三角形的半径、内切圆半径和正三角形边长的一半构成一个直角三角形，解这个直角三角形，可求出另一直角边是，所以这个正三角形的边长为5. （2008年南京市）8如图，是等边三角形的外接圆，的半径为2，则等边三角形的边长为（ ）ABCD【参考答案】C【解析】本题是圆的有关知识、等边三角形的性质及勾股定理的综合应用。连结OB，过点O作OMBC,在RtOBM中，OB=2，因为OBM=30，所以OM=4；由勾股定理，得BM=2。答案C。6.（2008乌鲁木齐）某等腰三角形的两条边长分别为3cm和6cm，则它的周长为（ ）A9cmB12cmC15cmD12cm或15cm答案C7.（云南省2008年）已知，等腰三角形的一条边长等于，另一条边长等于，则此等腰三角形的周长是（ ）A B C D或答案：C8.（2008年广东湛江市）图2CAB12 如图2所示，已知等边三角形ABC的边长为，按图中所示的规律，用个这样的三角形镶嵌而成的四边形的周长是（） 答案：C9. （2008嘉兴市）已知等腰三角形的一个内角为，则这个等腰三角形的顶角为（ ）ABC或D或答案： C10.(2008年安徽省)如图，在ABC中，AB=AC=5，BC=6，点M为BC中点，MNAC于点N，则MN等于【 】A B C D答案：C解析：本题主要考察等腰三角形的有关性质和三角形的面积计算公式。利用等腰三角形三线合一的性质，连结AM后根据M为BC的中点可以得到AMBC，得到MC=BC=3，AM=4.SABC=2SAMC，可以知道AMMC=ACMN，由题意可得MN等于，故答案选C二、填空题1.（2008年甘肃省白银市）已知等腰三角形的一条腰长是5，底边长是6，则它底边上的高为 答案：4ABCD解析：考查等腰三角形三线合一的性质与勾股定理。如图所示，由题意知AB=5，BD=BC=3，由勾股定理，得AD=4。2.（2008年泰安市）如图，将边长为1的正三角形沿轴正方向连续翻转2008次，点依次落在点的位置，则点的横坐标为 答案：2008解析：由题意得：的横坐标为1，的横坐标为2，有一定的规律，横坐标每翻转一次，就增加1，所以点的横坐标为2008。3.(08年宁夏回族自治区)已知a、b、c为三个正整数，如果a+b+c=12，那么以a、b、c为边能组成的三角形是：等腰三角形；等边三角形；直角三角形；钝角三角形。以上符合条件的正确结论是 。（只填序号）答案 点评 本题考查了三角形三边关系以及等腰三角形、等边三角形和直角三角形的条件。解答本题时，可以借助与列举法，再确定符合条件的结论。因此，本题正确应该填：。4.（2008年南昌市）如图，有一底角为35的等腰三角形纸片，现过底边上一点，沿与底边垂直的方向将其剪开，分成三角形和四边形两部分，则四边形中，最大角的度数是 【参考答案】.【解析】由等腰三角形的性质可知，定焦的度数为110，再根据四边形内角和，可求得四边形余下的内角度数为360-90-110-35=125.5. (2008年江苏省宿迁市)等腰三角形的两边长分别是和，则其周长为_答案：176.（2008年南京市）14若等腰三角形的一个外角为，则它的底角为 度【参考答案】35【解析】等腰三角形的一个外角为，则和这个角相临的内角为110度，它必为为顶角；所以底角=（180110）/2=35。答案为35。7. （威海市）如图，在正五边形ABCDE中，连结AC，AD，则CAD的度数是 CDABE（第15题）答案：368.(2008年江西省）如图，有一底角为350的等腰三角形纸片，现过底边上一点，沿与底边垂直的方向将其剪开，分成三角形和四边形两部分，则四边形中，最大角的度数是_.350350解析：由已知底角为350的等腰三角形可求得顶角为1100.再由剪得的四边形的内角和可求得最大角的度数是1250 答案：1250 9. (2008年益阳) 如图，在ABC中，AB=AC，AD是BC边上的高，点E、F是AD的三等分点，若ABC的面积为12cm2，则图中阴影部分的面积是 cm2. 答案:6解析:考查轴对称图形.沿AD所在直线对折,三角形BEF与三角形完全复合,所以阴影部分的面积是整个三角形面积的一半,即6cm2BACDFE图10.(2008年湘潭)如下图，将一副七巧板拼成一只小猫，则下图中 .答案 :900解析:考查七巧板,从七巧板的结构可知,分成的三角形都等腰直角三角形,所以每个锐角都450,因此2450=900,填900.AOB11. (2008年永州) 一棵树因雪灾于A处折断，如图所示，测得树梢触地点B到树根C处的距离为4米，ABC约45，树干AC垂直于地面，那么此树在未折断之前的高度约为 米（答案可保留根号）答案: 解析:考查等腰三角形的性质及勾股定理的应用.可知三角形ACB是等腰直角三角形,BC=AC=4,所以可求AB=4,整个树高为:ACAB=12. （2008年上海市）在中，如果圆的半径为，且经过点，那么线段的长等于 ABC答案：3或5解析：本题考察了等腰三角形的性质、垂径定理以及分类讨论思想。由，可得BC边上的高AD为4，圆经过点则必在直线AD上，若O在BC上方，则=3，若O在BC下方，则=5。13. （山东淄博）如图，在中，将绕点旋转得到，连接，当为 度时，四边形为矩形（第15题）BAEFC18014. （第15题）（图1）（图2）ABC(2008年丽水市)图1是一张纸片，如果用两张相同的这种纸片恰好能拼成一个正三角形（图2），那么在中，的值是 答案：15. （2008湖北孝感）如图，的垂直平分线交ABCD于点，那么 【参考答案】【解析】此题主要考查线段的垂直平分线的性质等几何知识.由，可得B=30. 因为点D是AB的垂直平分线上的点，所以AD=BD，因而BAD=B=30，从而ADC=60.16. （08凉山州）等腰两边的长分别是一元二次方程的两个解，则这个等腰三角形的周长是 图5答案：7或8 ，解方程求得它的2个解是2，3，当2是腰时，2+23，可以构成三角形，周长为7；当3是腰时，3+23，可以构成三角形，周长为8；所以周长是7或817.（2008年郴州市）如图5，D是AB边上的中点，将沿过D的直线折叠，使点A落在BC上F处，若，则 _度解：80知识点：折叠得到全等图形，对应的边、角相等，等腰三角形判定与性质。思路点拨：三角形ADE与三角形DEF全等，则AD=DF，三角形BDF是等腰三角形。18. (2008年湖州市)已知等腰三角形的一个底角为，则它的顶角为 度答案：40。三、解答题1.（2008年吉林省中考题）如图，在ABC中，AB=AC，DE=EC，DHBC，EFAB，HE的延长线与AB的延长线交于M，点G在BC上，且1=2，不添加辅助线，解答下列问题：（1）找出一个等腰三角形（不包括ABC） .（2）找出三对相似三角形（不包括全等三角形） 、 、 .（3）找出两对全等三角形分别是 、 并选择其中一对进行证明. 答案：（1）AHD，EFC，EGM（写出其中一个即可）（2）AHDABC，EFCABC，EFMHBM，AHDEFC，BMHCGE（写出其中三对即可）（3）DHEFGE，DHECME，FGECME，EGCEMF（写出其中两对即可）选DHECMEDHBC2=MDEH=CEM，DE=ECDHECME2.（2008黄冈市）已知：如图，在ABC中，AB=AC，以AB为直径的O交BC于点D，过点D作DEAC于点E求证：DE是O的切线答案：证明：连接OD，则OD=OB，B=1AB=AC，B=C，1=C， ODAC，ODE=DECDEAC，DEC=90，ODE=90，即DEOD，DE是O的切线提示：证明切线的方法通常是连接OD，然后证明DEOD，本题中解决的关键是抓住OD是ABC的中位线3.（2008襄樊市）如图14，直线AB经过O上的点C，并且OA=OB，CA=CB，O交直线OB于E，D，连接EC，CD（1）求证：直线AB是O的切线； （2）试猜想BC，BD，BE三者之间的等量关系，并加以证明；（3）若tanCED=，O的半径为3，求OA的长答案：解：（1）证明：如图3，连接OC（1分）OA=OB，CA=CB， OCAB（2分）AB是O的切线（3分）（2）BC2=BDBE（4分）ED是直径，ECD=90E +EDC=90又BCD +OCD=90，OCD =ODC， BCD =E（5分）又CBD =EBC，BCDBEC（6分）BC2=BDBE（7分）（3）tanCED=，BCDBEC，（8分）设BD=x，则BC=2x又BC2=BDBE，(2x)2=x(x+6)（9分）解之，得x1=0，x2=2BD=x0， BD=2OA=OB=BD+OD=3+2=5（10分）提示：（1）“证切线，连半径”；（2）第二问是原来的切割线定理；（3）因为OA=OB，所以将OA转化为OB来求，因此只须求出BD即可，结合（2）中的结论，问题容易获解4.（2008恩施自治州）如图，AB是O的直径，BD是O的弦，延长BD到点C，使DC=BD，连结AC，过点D作DEAC，垂足为E.EODCBA图10（1）求证：AB=AC；（2）求证：DE为O的切线；（3）若O的半径为5,BAC=60,求DE的长.答案:解：(1)证明:连接AD AB是O的直径 ADB=90 又BD=CD AD是BC的垂直平分线 AB=AC 3分 (2)连接OD 点O、D分别是AB、BC的中点 ODAC 又DEAC ODDE DE为O的切线 6分 (3)由AB=AC, BAC=60知ABC是等边三角形 O的半径为5 AB=BC=10, CD=BC=5 又C=60 DE=CDsin60= 9分5.（2008四川乐山）如图（11），E、F分别是等腰ABC的腰AB、AC的中点。ABFEC （1）用尺规在BC边上求作一点M，使四边形AEMF为菱形；（不写作法，保留作图痕迹）（2）若AB5cm，BC8cm，求菱形AEMF的面积分析：本题考查中点的作法和三角形中位线的性质，先作出线段BC的中点，利用三角形的中位线，即可作出菱形AEMF；考查等腰三角形的性质和菱形面积的计算方法，结合题目条件宜使用“对角线乘积的一半”。解：（1）作图（略）注：本题作法较多，如：方法一，作的中垂线：方法二，以为圆心，为半径画弧，交于点等等AFCBDE图（1）M（2）如图（1），为菱形，平分又，在中，则，又分别是、的中点，故菱形的面积（cm2）6.(2008年内江市) 如图，在中，点在上，点在上，与相交于点，试判断的形状，并说明理由BCDFAE【解】是等腰三角形.理由： ，B=B， ABDCBE AB=CB，BD=BE AE=CD又 EAF=DCF，EFA=DFC AEFCDF AF=CF是等腰三角形【点评】全等三角形的判定方法有：SSS、SAS、AAS、ASA，直角三角形除了这四种方法，还有HL. 7.（2008年龙岩市）（10分）如图，A=36，DBC=36，C=72，找出图中的一个等腰三角形，并给予证明.我找的等腰三角形是： .证明：（第20题图）答案：(10分)我所找的等腰三角形是：ABC（或BDC或DAB）4分证明：在ABC中，A=36，C=72，ABC=180（7236）=72. 7分C=ABC，AB=AC，ABC是等腰三角形. 10分注若找BDC或DAB参照给分.点评:此题为简单的几何证明,由所给的条件根据三角形内角和定理,三角形的外角等知识可以找出其中的等腰三角形并证明之.8. (2008年东莞市)（本题满分6分）如图3，在ABC中，AB=AC=10，BC=8用尺规作图作BC边上的中线AD（保留作图痕迹，不要求写作法、证明），并求AD的长 ABC 图3答案：（1）作图正确得2分（不保留痕迹的得1分）2分 （2）在ABC中，AB=AC，AD是ABC的中线， ADBC，3分 .4分 在RtABD中，AB10，BD4，5分 .6分解析：本题意在考查基本作图之一：找BC的中点即作线段的垂直平分线，等腰三角形的“三线合一”性质及勾股定理等相关知识，将简单的几何证明与计算融为一体，能够很好地考查学生的计算和推理能力。在等腰三角形中，“三合一”线即等腰三角形的底边上的高（或等腰三角形的底边上的中线或等腰三角形的顶角的平分线）是常作的辅助线，本题将添辅助线设置成了尺规作图，有效地降低了试题的难度，学生容易找出解题的切入点。9.(2008年东莞市)（本题满分7分）如图5，在ABC中，BCAC， 点D在BC上，且DCAC,ACB的平分线CF交AD于F，点E是AB的中点，连结EF.（1）求证：EFBC.（2）若四边形BDFE的面积为6，求ABD的面积.答案：（1）证明：， .1分又 ， CF是ACD的中线， 点F是AD的中点.2分 点E是AB的中点， EFBD,即 EFBC. 3分（2）解：由（1）知，EFBD， AEFABD , .4分 又 , ,5分 ,6分 , 的面积为8. 7分解析：本题集几何证明与计算为一体，综合考查等腰三角形的性质、三角形的中位线定理、相似三角形、比例的基本性质等知识。因为点E是AB的中点，只要证明F是AD的中点，利用三角形的中位线性质就证明（1）了，根据等腰三角形的“三线合一”性质，可证F是AD的中点。相似三角形面积比等于相似比的平方，易知AEF的面积是 ABD的面积的， 四边形BDFE的面积是ABD的面积的.10. （2008乌鲁木齐）在一次数学课上，王老师在黑板上画出图6，并写下了四个等式：，BEDAC图6要求同学从这四个等式中选出两个作为条件，推出是等腰三角形请你试着完成王老师提出的要求，并说明理由（写出一种即可）已知：求证：是等腰三角形证明：已知：（或，或，或）2分证明：在和中，6分，即是等腰三角形7分11.(2008年西宁市) 23如图10，已知：ABCD中，的平分线交边于，的平分线 交于，交于求证：图10ABCDEFG证明：四边形是平行四边形（已知），（平行四边形的对边平行，对边相等）1分，（两直线平行，内错角相等）2分又平分，平分（已知），（角平分线定义）3分，4分，（在同一个三角形中，等角对等边）5分6分，即7分12. （2008福建福州）（本题满分13分）如图，已知ABC是边长为6cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC匀速运动，其中点P运动的速度是1cm/s，点Q运动的速度是2cm/s，当点Q到达点C时，P、Q两点都停止运动，设运动时间为t（s），解答下列问题：（1）当t2时，判断BPQ的形状，并说明理由；（2）设BPQ的面积为S（cm2），求S与t的函数关系式；（3）作QR/BA交AC于点R，连结PR，当t为何值时，APRPRQ？答案：解：（1）是等边三角形当时又，是等边三角形（2）过作，垂足为由，得由，得（3），又，是等边三角形，四边形是平行四边形又，即解得当时，方法点拨：解决运动型的问题，关键是将其运用过程在头脑当中预演一遍，找准其运用时各个量的变化规律，再动中取静，得到相关量之间的关系13. (2008年永州) （8分）如图ABC与CDE都是等边三角形，点E、F分别在AC、BC上，且EFAB（1）求证：四边形EFCD是菱形；（2）设CD4，求D、F两点间的距离（1）证明：与都是等边三角形又 四边形是菱形（2）解：连结，与相交于点由，可知 解析: (1)考查菱形的判定.判定菱形可以从四条边相等来判定;可以从有一组邻边相等的平行四边形来判定;可以从对角线互相垂直平分的四边形来判定;也可以从对角线互相垂直的平行四边形来判定.方法较多.(2)考查等边三角形的性质和勾股定理的应用.要求DF,先连接DF,根据菱形对角线的性质,知CE垂直平分DF,而DF的一半恰是等边三角形的高,用勾股定理求出高,即可.14.(2008年永州) 如图，已知O的直径AB2，直线m与O相切于点A，P为O上一动点（与点A、点B不重合），PO的延长线与O相交于点C，过点C的切线与直线m相交于点D（1）求证：APCCOD（2）设APx，ODy，试用含x的代数式表示y（3）试探索x为何值时，ACD是一个等边三角形 解:（1）是O的直径，CD是O的切线PACOCD90，显然DOADOCDOADOCAPCCOD（2）由，得，（3）若是一个等边三角形，则于是，可得，故，当时，是一个等边三角形ABCDE图解析:动态几何题.(1)考查相似三角形的判定.证三角形相似有两个角分别对应相等的两个三角形相似;两条边分别对应成比例,且夹角相等的两个三角形相似;三条边分别对应成比例的两个三角形相似.本题可证两个角分别对应相等.(2)考查相似三角形的性质.善于利用第一问的结论,得出对应边成比例,找出y与x之间的关系.(3)动点问题探求条件.一般运用结论逆推的方法找出结论成立的条件.本题应从是一个等边三角形出发,逆推,于是，可得， 故，当时，是一个等边三角形.15.(2008年益阳)如图，在ABC中，AB=BC=12cm，ABC=80，BD是ABC的平分线，DEBC. (1)求EDB的度数； (2)求DE的长.解:( 1) EDB=DBC=ABC=400(2) ABBC， BD是ABC的平分线，D为AC的中点DEBC，E为AB的中点，DE解析:考查平行线的性质和角平分线的性质及三角形的中位线.16.(2008年益阳) (本题10分)ABC是一块等边三角形的废铁片，利用其剪裁一个正方形DEFG，使正方形的一条边DE落在BC上，顶点F、G分别落在AC、AB上.ABCDEFG图10(1) .证明：BDGCEF；. 探究：怎样在铁片上准确地画出正方形.小聪和小明各给出了一种想法，请你在a和b的两个问题中选择一个你喜欢的问题解答. 如果两题都解，只以a的解答记分.a. 小聪想：要画出正方形DEFG，只要能计算出正方形的边长就能求出BD和CE的长，从而确定D点和E点，再画正方形DEFG就容易了. ABCDEFG图10(2)设ABC的边长为2 ，请你帮小聪求出正方形的边长(结果用含根号的式子表示，不要求分母有理化) .b. 小明想：不求正方形的边长也能画出正方形. 具体作法是： 在AB边上任取一点G，如图作正方形GDEF；连结BF并延长交AC于F；作FEFE交BC于E，FGFG交AB于G，GDGD交BC于D，则四边形DEFG即为所求.ABCDEFG图10(3)GFED你认为小明的作法正确吗？说明理由.答案: .证明：DEFG为正方形，GD=FE，GDB=FEC=90 ABC是等边三角形，B=C=60BDGCEF(AAS) ABCDEFG解图10(2)H a.解法一：设正方形的边长为x，作ABC的高AH，求得 由AGFABC得： 解之得：(或) 解法二：设正方形的边长为x，则 在RtBDG中，tanB=， 解之得：(或) 解法三：设正方形的边长为x，则 由勾股定理得： 解之得： b.解： 正确 由已知可知，四边形GDEF为矩形ABCDEFG解图10(3)GFED FEFE ， ，同理， 又FE=FG， FE=FG因此，矩形GDEF为正方形解析:证明,求值和方法探究题.几何证明,求值题要弄清条件和结论,运用定理,定义,公理从条件出来说明结论的正确或错误或求出某一未知量.探究作图方法是否正确,其实就是把作法当作条件证明最后结论的正确性.17. （2008年重庆市）已知：如图，抛物线与y轴交于点C（0，4），与x轴交于点A、B，点A的坐标为（4，0）。（1）求该抛物线的解析式；（2）点Q是线段AB上的动点，过点Q作QEAC，交BC于点E，连接CQ。当CQE的面积最大时，求点Q的坐标；（3）若平行于x轴的动直线与该抛物线交于点P，与直线AC交于点F，点D的坐标为（2，0）。问：是否存在这样的直线，使得ODF是等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。答案：（1）由题意，得解得所求抛物线的解析式为：（2）设点的坐标为，过点作轴于点由，得， 点的坐标为， 即又，当时，有最大值3，此时（3）存在在中（）若，又在中，此时，点的坐标为由，得，此时，点的坐标为：或（）若，过点作轴于点，由等腰三角形的性质得：，在等腰直角中，由，得，此时，点的坐标为：或（）若，且，点到的距离为，而，此时，不存在这样的直线，使得是等腰三角形综上所述，存在这样的直线，使得是等腰三角形所求点的坐标为：或或或方法点拨：分类讨论思想是近几年中考常见解题法，分类时应作到不重不漏。本题使得ODF是等腰三角形，则可分为：（）若（）若（）若解决面积最大问题，我们常常要联想到二次函数，本题建立CQE的面积与点Q的横坐标之间的函数关系，利用二次函数的最值解决问题。18. （2008年巴中市）已知：如图10，在中，点是的角平分线上一点，于点，过点作交于点求证：点是过三点的圆的圆心答案：证明：点在的平分线上又，又于点，ABCDE123过三点确定一圆，又是所在的圆的直径点是所在的圆的圆心19. (2008年温州市)文文和彬彬在证明“有两个角相等的三角形是等腰三角形”这一命题时，画出图形，写出“已知”，“求证”（如图），她们对各自所作的辅助线描述如下：文文：“过点作的中垂线，垂足为”；彬彬：“作的角平分线”数学老师看了两位同学的辅助线作法后，说：“彬彬的作法是正确的，而文文的作法需要订正”（第19题图）已知：如图，在中，求证：ABDC（1）请你简要说明文文的辅助线作法错在哪里（2）根据彬彬的辅助线作法，完成证明过程答案：（1）只要合理即可（2）证明：作的角平分线，则，又，20. （2008年广东省中山市）（本题满分9分）（1）如图7，点O是线段AD的中点，分别以AO和DO为边在线段AD的同侧作等边三角形OAB和等边三角形OCD，连结AC和BD，相交于点E，连结BC求AEB的大小；BAODCE图8CBOD图7A（2）如图8，OAB固定不动，保持OCD的形状和大小不变，将OCD绕着点O旋转（OAB和OCD不能重叠），求AEB的大小.答案：.解：（1）如图7. BOC和ABO都是等边三角形， 且点O是线段AD的中点， OD=OC=OB=OA,1=2=60, 1分 4=5. 又4+5=2=60, 4=30.2分3同理，6=30.3分 AEB=4+6, AEB