（概率论与数理统计专业论文）序集抽样下m估计的渐近理论.pdf

摘要 序集抽样方法是上世纪5 0 年代m c i n t y r e 在寻求能较好估计牧场草的产量时提出 来的它是假定在一个无穷总体中，对每一个体进行准确测量的费用很高或时间很长， 而对他们或其相关的量进行某种排序的费用可以忽略不计的情形下，抽出一组样本对 它们按某种机制进行排序，只测量某个次序样本，而其它样本弃之不用的方法以往的 研究结果表明，在相同的样本大小下，只要排序不是完全随机的，序集抽样比简单抽样 具有更小的方差近年来关于序集抽样的研究成果有了很大的发展，但是关于序集抽样 下m 估计的研究还很薄弱 以往的关于非均衡序集抽样m 估计的研究主要集中在分位点的情形，而且是要求 抽样是完美的这些方法过于依赖分位点分布的特殊性质，无法向其它过程推广本文 中在抽样是相合的情形下，不要求抽样是完美的，给出了一般m 估计的表示形式我 们通过构造独立和表示的变量，证明了它和m 的距离是依概率收敛到0 的。从而证 明了m 估计的渐近正态性此外我们还给出了m 估计下的最优设计方案以及一些讨 论我们还对各种抽样方案做了模拟，模拟的结果验证了我们的结论 在计算m 估计的渐近分布的时候，通常要涉及到冗余参数的估计，而这些冗余参 数往往不能被精确估计为此我们考虑用随机加权的方法来逼近它在均衡序集抽样 下，我们构造了随机加权m 估计我们发现，以往的对每个样本进行加权的方法在这 里不能发挥出序集抽样的效用，为此我们采用了对一组样本加同一个权的方法我们同 样通过构造独立和变量的方法证明了在给定样本下随机加权估计逼近m 估计是强相合 的同时我们也对此做了模拟，模拟结果表明随机加权m 估计是渐近正态的，而且随 机加权逼近m 估计的效果也较好 另外我们还考虑了随机加权估计的精确逼近问题我们首先通过渐近展开的方法 构造了简单抽样情形下随机加权均值估计的精确逼近，而序集抽样下的精确逼近则是 简单抽样的直接推广以往的精确逼近问题采用的是d i r i c h l e t 分布，这里我们不再限 制权的分布，也不要求它期望为1 ，主要对它的偏度系数有所限制，大大扩大了权的选 i 择同时我们也对序集抽样下m 估计的精确逼近做了探讨 关键词：序集抽样，m 估计，随机加权，精确逼近 a b s t r a c t t h ei d e ao fr a n k e ds e ts a m p l i n g ( r s s ) w a sf i r s tp r o p o s e db ym c i n t y r ei nh i se f f o r tt o f i n dam o r ee f f i c i e n tm e t h o dt oe s t i m a t et h ey i e l do fp a s t u r e s t h eb a s i cp r e m i s ef o rr s s i sa ni n f i n i t ep o p u l a t i o nu n d e rs t u d ya n dt h ea s s u m p t i o nt h a tas e to fs a m p l i n gu n i t s d r a w nf r o mt h ep o p u l a t i o nc a l lb er a n k e db yc e r t a i nm e a n sr a t h e rc h e a p l yw h i l et h e a c t u a lm e a s u r e m e n to ft h ev a r i a b l eo fi n t e r e s tw h i c hi sc o s t l ya n d o rt i m e - c o n s u m i n g t h er s sp r o c e d u r ec a nb ed e s c r i b l e sa st h a tas a m p l eo fs i z eki sd r a w na n d r a n k e d ， b u to n l yt h es a m p l eo fi n t e r e s t e do r d e ri sm e a s u r e d i ti sp r o v e dt h a tw h e nr a n k i n gi s n o tr a n d o m ，t h ev a r i a n c eo nr s so fi sa l w a y ss m a l l e rt h a nu n d e rt h a tu n d e rs i m p l e r a n d o ms a m p l i n g t h e r eh a v eb e e nm a n yr e s e a r c hw o r ka b o u tt h e o r e t i c a lf o u n d a t i o n a n da p p l i c a t i o n so fr s si nr e c e n ty e a r s b u tt h er e s e a r c ha b o u tm e s t i m a t o ro nr s si s s t i l lw e a k t h er e s e a r c ha b o u tm e s t i m a t o ro nu n b a n l a n c e dr s si so n l ya b o u tq u a n t i l e s ，a n d t h ep e r f e c tr a n k i n gi sr e q u i r e d w ep r o v i d em e s t i m a t o ro fu n b a n l a n c e dr s sa n do n l y t h ec o n s i s t e n c yo fr a n k i n gi sn e e d e d a n dw ec o n t r u c ta nv a r i a b l eo fi n d e n p e n d e n ts u m s a n dp r o v et h ed i s t a n c eb e t w e e nt h ev a r i a b l ea n dm - e s t i m a t o ri sc o n v e r g e dt o0i np r o b - a b l i t y , h e n c et h ea s y m p t o t i cn o r m a l i t yo ft h em e s t i m a t o ri se s t a b l i s h e d f u r t h e r m o r e w ep r o p o s et h eo p t i m a ld e s i g no fi t a n ds i m u l a t i o nr e s u l t st e s t i f yo u rc o n c l u s i o n t h ea s y m p t o t i cd i s t r i b u t i o no ft h em - e s t i m a t o ri su s u a l l yr e l a t e dt ot h ee s t i m a t e o ft h en u i s a n c ep a r a m e t e r s ，w h i c ha r en o te a s yt ob ee s t i m a t e da c c u r a t e l y w eu s et h e r a n d o mw e i g h t i n gm e t h o d st os o l v et h ed i f f i c u l t y i ti sd i f f e r e n tf r o mo t h e r st h a tt h e s a m ew e i g h ti sg i v e nt oag r o u po fs a m p l e s w ep r o p o s er a n d o mw e i g h t i n ge s t i m a t o r t oa p p r o x i m a t et h ed i s t r i b u t i o no fm e s t i m a t o ru n d e rt h ec o n d i t i o nt h a tt h es a m p l e s a r eg i v e n w ei n v e s t i g a t et h er e s u l t sb ym o n t ec a r l os i m u l a t i o n so nb a l a n c e da n d u n b a l a n c e dc o n d i t i o n s t h ep r o p o s e dm e t h o d sa r es h o w nt ow o r kw e l lb yt h es i m u l a t i o n s t u d i e s w ep r o v i d et w or a n d o mw e i g h t i n ge s t i m a t o r so fm e a no ns r sw i t h o u tg i v e nt h e i i i d i s t r i b u t i o no fw e i g h ta n du s et h ee d g e w o r t he x p a n s i o nt og e tc o n v e r g e n c e a n dt h e c o n v e r g e n c yo fe s t i m a t o ro fm e a x lo nr s si sc o r o l l a r yo fi t a n dt h o s eo fm e s t i m a t o r a r ea l s op r o p o s e d k e y w o r d s ：r s s ，r a n d o mw e i g h t i n g ，e d g e w o r t he x p a n s i o n ，m - e s t i m a t o r i v 致谢 这篇论文完成之际，我要感谢所有在我读博期间帮助过我的人 首先我要感谢我的导师吴耀华教授吴老师从阅读文献，论文选题及写作等方面都 给予我悉心的指导和提出宝贵的意见，并在百忙之中对论文进行了详细的审阅在此， 我想向他表示我最衷心的感谢! 其次，我要感谢赵林城教授，杨亚宁教授，韦来生教授，苏淳教授，缪柏其教授， 方兆本教授，胡太忠教授，夏红卫老师感谢他们在我读研期间对我学习和生活给予了 很大的关怀和帮助 同时我还要感谢王占锋博士，胡晓鹏博士，陈子锦博士等，在读博期间与他们进行 了有益的讨论并得到了他们的帮助和鼓励在我的研究生阶段，还得到来自系里许多老 师和同学不少有益的帮助，在此一并向他们表示我最诚挚的谢意 最后，我要感谢我的家人，正是他们的鼓励和关怀我才得以顺利地完成学业 第一章绪论 寻找有效的抽样方法一直是统计上关心的问题当准确测量花费太高或者太花时 间，而对他们进行排序成本可以忽略不计的时候，可以考虑用序集抽样( r s s ) 的方法 近年来关于序集抽样下的统计理论有了很大的发展，但对于m 估计的研究还很薄弱 这里我们研究了在序集抽样下m 估计的相合性，并考虑了m 估计误差的渐近分 布但是对于未知的分布来说，这个渐近分布仍然是未知的，为了较好的估计它，我们 采用了随机加权的方法 本章给出了本文相关的背景和本文的主要目的方法和结果内容安排如下：第一节 介绍了序集抽样方法和相关文献；第二节介绍了随机加权方法和相关文献；第三节介绍 了m 估计方法和相关文献；第四节介绍了全文的主要研究内容 1 1 什么是序集抽样 5 0 年代初，m c i n t y r e 在寻求能较好估计牧场草产量的方法时，提出了序集抽样的 方法( r a n k e ds e ts a m p l i n g ) 序集抽样的基础，是假定在一个无穷总体中，对每一个 体进行准确测量的费用很高或时间很长，而对他们或其相关的量进行某种排序的费用 可以忽略不计的情形 我们来描述r s s 抽样过程：假设我们需要从关心的总体x ( 分布为f ) 中测量n 个 样本值首先我们从总体中随机抽出一组大小为k 的样本，我们对它按某种机制进行 排序( 此时并不需要对每个元素进行精确的测量) ，我们只测量排在第一位的样本值即 x 【1 l ，而其他的样本弃置不用同样的过程重复n 1 次接下来我们从总体中随机抽出另 外一组大小为k 的样本，对它们按照同样的机制进行排序，我们只测量排在第二位的 样本值即x n ，而其他的样本弃置不用然后同样的过程重复? 2 次这样我们对排在 k 第r 位的样本x 【r 】测量了嘶次，这里r = 1 ，k ，且有fn r = n 从图1 1 可以看 r - = - i 3 中国科学技术大学博士学位论文 x n n x n n 徘1 1 1 兮硝1 1 1 x 1 1 2 1 x 2 2 1 x n m 兮x 1 1 2 两1 】t i l l x n n l l x n ，1 1 1 净x x l n l x t 1 2 x 2 1 1 2 x k 1 2 辛x n l x 1 j 2 x n 2 2 x n 2 2 令x n 2 x t l n l 2 x n n l 2 x n n l 2 令x n n 2 墨1 l k x 2 l l k x n l k 净x n l x 1 1 2 k x n 2 k x k 1 2 k 辛x n 2 x 【1 】n l 知x 2 1 t l l 七x n n l 七毒x n t l k 图1 1 ：n s s 过程的描述 4 第一章绪论 到，我们得到竹个独立观测值s x 1 1 1 ，墨1 1 2 ，：，墨t i n l ； 两2 1 1 ，x 2 1 2 ，x 2 1 t 1 2 ； x k 1 ，确2 ，x l k l ，- 其中第r ( r = 1 ，七) 行的嘶个观测值服从相同的分布 这里我们选用的排序机制，不必与实际样本的排序完全吻合当它们完全吻合的时 候，即唧】= 段，) ( 第r 个次序统计量的分布) ，这种排序机制称为是完美的( p e r f e c t ) 当 n 1 = n 2 = = 讯时称为均衡r s s 抽样；当 1 k f ( z ) 2 去巧川 时，称为相合r s s 抽样完美的抽样是一个相合的抽样，此外还有一些抽样方法也是 相合的 七 在这里我们举两个相合但不完美抽样的例子f 1 】若我们有昂l ( z ) = 胁，品) ( z ) ， s = l 七 其中钆，表示第8 个次序统计量被判断成次序r 的概率，则在同一轮抽样中有p a r = 8 = 1 七 p s r = l - 因此， 去苫确( z ) 5 去萎萎孙( z ) ， k七 = 去e ( e p 。，) 鼠。) ( 。) = f ( z ) 即抽样是相合的【2 】我们再考虑根据协变量排序的情形，这里x 为观测变量，y 为 协变量令a i k ，) ( z i 可) 表示给定k r ) = y 下x 的条件密度，g ( r ) ( ! ，) 为k r ) 的边际密 度函数若有，【r 】( z ) = ff x l k ，( z l 剪) 鲫) ( ! ，) 匆，则 m ) = 1 ，k 水础舻i 1 ；k 荆 5 中国科学技术大学博士学位论文 具体来说，序集抽样一般用在这样两种情况：( 1 ) 样本排序相对与实际测量来说 十分简单( 2 ) 存在容易获得的协变量比如测量一大片牧场能够容纳的牲口数量我们 将牧场分成小块地作为样本准确的测量，是对该范围的草进行收割，干燥，再称重， 不仅费时而且破坏性强但是有经验的牧场工人都可以通过目测来对样本进行排序 再比如说，在人口调查中，我们想调查居民的收入状况通过相关部门可以很容易得到 关于性别，年龄，教育程度，工作，房屋等方面的数据，我们可以先根据这些数据对他 们进行一个初步的排序 序集抽样方法最早是1 9 5 2 年m c i n t y r e 就测量牧场草产量问题时提出的之后在 较长的时间里并没有受到太大关注直到1 9 6 6 年h a l l s d e l l 将其用在估计松树林的 草料产量中时，提出了序集抽样( r a n k e ds e ts a m p l i n g ) 这个名称关于序集抽样的理 论研究最早是由t a k a h a s i w a k i m o t o ( 1 9 6 8 ) 做出的，他们证明了，当抽样是完美的 时，序集抽样的样本均值是总体均值的无偏估计，并且方差要小于相同样本大小下简单 抽样均值的方差d e l l c l u t t e r ( 1 9 7 2 ) 则在不要求完美抽样的情形下得出了类似的结 果s t o k e s ( 1 9 7 6 ) ( 1 9 7 7 ) 则考虑了序集抽样下采用协变量的情形到这时，关于序集抽 样的关注基本集中在关于总体均值的非参数估计上之后，s t o k e s ( 1 9 8 0 a ) ( 1 9 8 0 b ) 中讨 论了总体方差的估计及二元正态总体相关系数的估计然而关于序集抽样的其它统计 过程和统计方法还没有得到发展 直到8 0 年代中期开始，关于序集抽样的统计理论有了长足进展 s t o k e s s a g e r ( 1 9 8 8 ) ，k v a m s a m a n i e g o ( 1 9 9 3 ) 和c h e n ( 2 0 0 0 ) 等讨论了序集抽样各种情形下的分 布函数的估计 b o h n w o l f e ( 1 9 9 2 ) ( 1 9 9 4 ) 则讨论了在序集抽样下的m a n n w h i t n e y - w i l c o x o n 检验h e t t m a n s p e r g e r ( 1 9 9 5 ) 则考虑了相应的符号检验p r e s n e l l b o h n ( 1 9 9 9 ) 讨论了序集抽样下的矿统计量问题p a t i l 等( 1 9 9 3 ) ，y u l a m ( 1 9 9 7 ) 和c h e n ( 2 0 0 1 ) 等研究了序集抽样下的回归估计 b h o j 等( 1 9 9 6 ) ，b h o j ( 1 9 9 7 ) ，f e i 等( 1 9 9 4 ) ，l i d c h u i v ( 1 9 9 7 ) 以及s h e n ( 1 9 9 4 ) 等研究了参数族下序集抽样的一些性质关于这些方面 详细的研究成果可参见专著c h e n ，z ，b a i ，z d a n ds i n h a ，b k ( 2 0 0 3 ) 与其它统计方法相比，关于在序集抽样下m 估计问题的研究还很薄弱仅x z h a o z c h e n ( 2 0 0 2 ) 中讨论了均衡序集抽样对称参数分布族下的m 估计的相合性和渐近 正态性主要结果为：在均衡序集抽样下下，针对参数分布f ，函数皿，定义t ( f ) 为 6 第一章绪论 , x f ( t ) = - 厂雪p t ) d f ( x ) = 0 的解而般情况，因为f 未知，若或琊为r s s 下 f 的估i - i ，则满足k ( 幺) = 0 的磊为r s s 下的t ( f ) 的m 估计令总体均值p 为 , x f ( t ) = 0 的解，即p = t ( f ) 则有如下引理t 引理1 1 令皿( z ) 连续奇函数，单调或有界f 是对称分布则存在满足f a s s ( t ) = 0 的磊使得 磊 以概率1 收敛到i f l 如果我们加上以下条件 ( a 1 ) 皿( z ) 为单调奇函数；b ( t ) 在t = 可微，且硌( t ) o ；f 皿2 0 一t ) d f ( x ) 在 p 的一个邻域内对t 有限，且在t = 肛连续 ( a 2 ) 皿( z ) 为连续奇函数，满足 舰卜皿( ，u ) l l v 。o ，皿2 一t ) d f ( x ) 0 0a f ( 0 在亡= 肛可微且入；( t ) 0 ( a 3 ) 皿( z ) 是一致连续奇函数；厂a 皿 一t ) 砒i t ：弘d f ( x ) 非零有限；- 厂皿2 一 t ) d f ( x ) 0 0 则有 引理1 2 假定f 是对称分布满足条件( a 1 ) ，( a 2 ) 或( a 3 ) 则 何( 磊一p ) 三n ( 0 ，蠡s ( f ) )( 1 1 ) 其中在条件( a 1 ) ，( a 2 ) 下 盯s ( f ) = 丢妻a c ，( p ) 丢妻a ，( p ) 】2 ( 1 2 ) 在条件( a 3 ) 下 = 毒4 ( r ) 睡州删崛硝 ( 1 3 ) 在这里我们考虑对般分布族下的m 估计，我们证明此时估计也是相合的我们 还用随机加权的方法来逼近m 估计，证明了随机加权方法可以较好的估计m 估计的 分布 中国科学技术大学博士学位论文 关于非均衡序集抽样下的统计性质也有了不少的进展 s t o k e s ( 1 9 9 5 ) 讨论了非均 衡抽样下的参数估计问题和抽样设计， o z t u r k w o l f e ( 1 9 9 8 ) ( 2 0 0 1 ) 研究了非均衡抽 样下符号检验问题和抽样设计，k a u r ( 1 9 9 7 ) 考虑了符号检验下的抽样设计问题，c h e n b a i ( 2 0 0 1 ) ，z h u w a n g ( 2 0 0 5 ) 研究了非均衡抽样下分位点的估计和抽样设计 在c h e n b a i ( 2 0 0 1 ) 中采用的是对每个次序样本的分布f | r 1 进行加权构造一个新 的分布，再计算新分布下的分位点的方法而z h u w a n g ( 2 0 0 5 ) 采用的是先对每个r ， 求分位点然后再进行加权的方法这两个方法都得出了不错的相合估计，但是因为这样 的构造用到了分位点分布的特殊性质，而且要求抽样必须是完美的，使之没有办法向其 它的统计过程上推广因此在这里我们考虑对一般相合的抽样过程，提出了一般的m 估计都适用的估计形式，我们证明这样的估计也是相合的，同时我们还提出了该情形下 的最优设计方法 为详细说明我们的结论，我们将在下面用一定的篇幅给出关于线性模型中m 估计 和随机加权方法中的相关结果 1 2 线性模型中的m 估计 考虑线性模型 轨= p + 色，i = 1 ，n 。 ( 1 4 ) 这里p 为p 维回归参数向量 y i ，兢和e i 分别为第i 次实验的观测值( 因变量) ，相关因 子协变量( 自变量) 和随机误差y i ，戤分别为1 维和p 维向量选定个函数p ，参数 p 的m 估计记为p ，即p 满足 善如一z ：向2 矧i n f k z ，如一国 ( 1 5 ) 此外，回归参数卢的m 估计还有另一种定义设皿为定义在r 上的个函数，p 的 m 估计为满足方程 皿( 玑一p ) 婉= 0 i = 1 的解 8 ( 1 6 ) 第一章绪论 事实上，在函数p 的导数处处存在的时候，( 1 5 ) 式与( 1 6 ) 式是等价的，此时 皿= d 关于m 估计是否存在的问题，我们有如下引理。 引理1 3 设以下的三条件成立 ( 1 1 ) p 在屠上处处连续 ( 1 2 ) 存在口，使得p ( u ) 当“a 时，非降且不恒等于一常数；当u a 时非增且不 恒等于一常数 ( 1 3 ) 矩阵x = ( x l ，) 的秩为p 则存在y ，使式( 1 5 ) 成立 定义( 1 5 ) 中的函数p 在一定限度内可以自由选择，以适应不同的需要我们通常 研究一类具有很好性质且很重要的函数一一凸函数 我们称p ( u ) 为钟上的凸函数，如果对任何u l r p ，u 2 r p 及0 入 1 ，都有 p ( a 乱1 + ( 1 一a ) 心2 ) a p ( u 1 ) + ( 1 一a ) p ( u 2 ) 如果当“1 仳2 及0 日p ( 岛) ，则当卢b 时，必有( 卢) 耳( 岛) 通过引理1 4 知道，当p 为非单调的凸函数时，如果x = ( z 1 ，z n ) 的秩为p ， 则由( 1 5 ) 定义的m 估计p 必定存在，且若p 为严凸，则p 唯一引理1 4 的( 2 3 ) 是 p 为凸函数最重要的性质，将在以后章节中起到重要作用 关于m 估计的相合性问题，对于l s e 和l a d e ( 最小一乘估计) 这两个特例研 9 中国科学技术大学博士学位论文 究得较多就一般m 估计而言，h u b e r ( 1 9 7 3 ) 就做了这方面的研究，以后很多人在这 方面都做过研究，发表了不少论文但这些工作大多所提的条件过于繁多直至1 9 9 3 年，赵林城等对p 为凸时m 估计的相舍陛提出了一个形式简单且很弱的条件，这方面 的工作才有确实的进展关于m 估计的渐近正态性有如下引理： 引理1 5 ( c h e n z h a o ，1 9 9 6 ，定理4 1 ) 在模型( 1 4 ) 之下，如果卢为真参数，并且以下假定( a 1 1 ) 一( a 1 5 ) 成立， ( a 1 1 ) 假定e 1 ，独立同分布，且共同分布为f ( a 1 2 ) 雯一和皿+ 是非单调的凸函数p 的左右导数，皿介于皿一和霍+ 之间的一个函 数，即 皿一) 霍( 乱) 皿+ ( u ) ，( 对任意的u r ) ( a 1 3 ) 函数g ( u ) 三e ( e l - i - u ) 在u = 0 附件存在有限，e 皿( e 1 ) = c ( o ) = 0 ，且g 在 u = o 有正的导数a ( a 1 4 ) 0 6 r 2 = e 皿2 ( e 1 ) 0 且e w i = 1 ，使条件更简 单 关于随机加权方法的精确逼近问题，涂冬生、郑忠国( 1 9 8 7 ) 用满足d i f i c h l e t 分布 队( 4 ，4 ，4 ) 的随机变量( m ，k ) 作权，构造均值的估计，并用渐近展开的方法 证明这样的收敛是o ( 击) 的主要结果为： 设x l ，为来自总体f 的i i d 样本，玩= ( 五一灾) k ，d ：= v a r * ( d n ) 表 示给定样本墨，下风的方差则有： 引理1 6 若e l x l 2 3 ， p 是可) 一西( 砌) ) 一薹国一础) ) | 蹁( 砉恻勺( 1 8 ) 其中 。 嘶卜去e 彬2 一们塾v x ( 莳杀枷州) k 9 ， 屈= v 2 e 竺n 2 2 哟2 玛一文一鼠 p ( 可) = 一2 i = 1 屈 这里 日m ( z ) = ( 一1 ) m e 即券e 。2 为m 次h e r m i t e 多项式，7 表示对满足下述条件的非负整数h ，b 求和 m k m = u ，k = s 引理1 7 设 咒) 为i i d 随机变量，托的分布为非格子点分布，并且e i x l l 3 o ，且对某个c 0 和0 0 ，6 0 和所有i “i a ，1 9 ( 让) 一夕( o ) i c l u l 6 ( b 1 6 ) e l 皿c e l ) 1 1 n ( b 1 7 ) 当入= 1 2 时，对某个e ，有e i v c e , ) 1 2 托 0 ) = 1 ，e w i = 1 ，e 砰= r 1 ，且 姚) 与( m ) 独立 令随机加权m 估计为下式的解 则有： 若以卜聊) = 刚i n f ，从址_ 国 ( 1 1 0 ) 1 3 中国科学技术大学博士学位论文 引理1 8 ，模型( 1 4 ) 中，假定( b 1 1 ) - ( b 1 7 ) 成立，则沿着几乎所有的样本序 列，当给定h ，k 且几一0 0 时， n s n , 1 2 ( 矿一卢) = 夕( o ) - 1 簖i 2 w i x i 皿( e t ) + d p ( 1 ) i = l 同时对几乎所有的样本序列，当n _ o o 时， n 霹7 2 ( p p ) = 夕( o ) 一1 岛1 2 x ( e t ) + d p ( 1 ) i = l 引理1 9 模型( 1 4 ) 中，假定( b 1 1 ) ( b 1 7 ) 成立，且r = 2 ，如( 1 5 ) 式定义， 则沿着几乎所有的样本序列，当仡_ o o 时， l + ( 岛2 ( p + 一矽) ) _ ( o ，g ( o ) 一2 2 ) 其中是p 阶单位阵 1 4 本文的主要工作 本文主要研究序集抽样下m 估计的渐近性质以及通过随机加权的方法对m 估计 进行逼近，从第二章到第四章构成了全文的中心内容下面我们来介绍本文的主要结 果，不特别指出时，符号c ，p + ，p ，v a r + 表示的是给定x 1 l t ，x n 竹。下的条件概率 值 第二章我们给出了在抽样不要求是完美的情形下，非均衡序集抽样下位置参数的 m 估计的表达式，研究了该情形下估计的渐近正态性，并对该情况下的最佳抽样设计 提出了建议主要结果有； 设总体x 满足 e p ( x 一肋) = m i n e p ( x p ) ( 1 1 1 ) 其中p 是r 1 上一个非单调的凸函数 考虑p o 的非均衡r s s 抽样的m 估计加，以为满足： 壹妻唑掣= i n f e p e r r = li = 1，耋，壹i = l 掣 厶厶 钆r厶 、叫 。 r = 1 。 第一章绪论 的一个解 假定； ( a 2 1 ) p 为凸函数，皿一和皿+ 分别为p 的左右倒数，函数皿满足皿一( u ) 皿( u ) 霍+ ( u ) ，对任意让r ( a 2 2 ) g ( u ) 三e f f l ( x i r l i 一脚+ u ) ，在u = 0 附近存在有限，g ( 0 ) = 0 ，且g 在 u = 0 有正的导数入 ( a 2 3 ) 0 0 ( a 3 4 ) 0 0 有e l 皿( e h t ) 1 2 + 6 o o 令风和旷分别如( 3 2 ) 和( 3 3 ) 定 义，则沿着几乎所有样本序列 c ( 何( 矿一风) ) _ n ( 0 ，盯s a 2 ) ，当死一o o( 1 2 2 ) 第四章我们首先考虑了简单抽样下均值估计的渐近展开和随机加权逼近而序集 抽样下的情形则是简单抽样情形的推广同时我们还对简单抽样和序集抽样下的肘估 计做了误差分布的随机加权逼近 考虑随机加权m 估计砘为 善聊( 五一础) 2 呼善酬五一曲 的解我们对均值做估计，取p ( 。) = z 2 的形式，则得到随机加权估计础= 五， i - - 1 乙屿 我们用( 砒一豇) 的标准化分布对m 估计误差分布进行逼近这里均值估计豇我们取 为叉 我们做如下假定： ( a 4 1 ) 蜀，为i i d 随机变量 e x = p ，v a r x = 盯2 ( 3 0 ， ( a 4 2 ) w l ，为i i d 随机变量且与( 五) 独立，且有e w l = ，v a r w = 2 ，e w o o ，w l 的特征函数u ( t ) 满足 1 i r a s u pl 口l ( ) i 1 t - - - o o ( a 4 3 ) e i x t 1 3 = p 3 o o ( a 4 4 ) e ( w l 一) 3 砣= 1 ，则我们有 定理1 4 假定( a 4 1 ) ，( a 4 2 ) 满足的情形下，有 叭掣彩叫础) ) - 志e 蝴2 吒3 附，刊3 ( 1 叱2 ) 妻i = 1 群j 1 7 中国科学技术大学博士学位论文 高薪 则有 这里s n 一0 ，其中 屈 0 i = 一 咄( 咒) 2 1 广一 乙j j = l 哟2 玛一戈一瓦a a w y p ( 秒) = 一i - - - - 1 屈 定理1 5 假定( a 4 1 ) 一( a 4 4 ) 满足，且p 3 = e i x - u 1 3 0 0 ，且e ( 叫l 一) 3 砣= 1 ， 刊p胴贾刊伽)学驯l=0(去)(124y ) “叫 iv ，6 考虑到甚巴元1 ：毗= p 埘，我们考虑采取更简单的随机加权表示式为此我们令 成= 毗( 五一贾) ，用比( y o r + 比) 的分布来估计误差分布则我们有 i = 1 定理1 6 假定( a 4 1 ) ，( a 4 2 ) 满足 p ( 忐驯叫卅扣- 1 ) 珊( w l - # ) 3 砉矧- d ( 击) ( 1 2 5 ) 其中 肛赫( ( 五一戈) ) v 2 定理1 7 假定( a 4 1 ) ，( a 4 2 ) 满足，且p 3 = e i x - p 1 3 o o ，且e ( w l 一) 3 砣= 1 ，在给定样本下，对几乎所有的样本序列 l i r a 元s u p i p 4 ( _ 筹生y ) 一p ( 元( 贾一p ) 耖) i = 0 (126)n-oo - - o o y o o 、h a w 7 、。 、 我们将结果应用到序集抽样的情形下考虑序集抽样样本x 1 l l ，x 【r i i ，r = 1 ，k ，i = 1 ，m 且e x = p ，e x 3 o 。 ( 1 2 3 ) 反 n：l 第一章绪论 对权 w d 我们做如下假定。w l ，为i i d 随机变量且与 x i ) 独立，且有 e w l = ，v a r w = 砖，e w t o o ，e ( 铆一) 3 3 = 1 ，讹的特征函数t ，( t ) 满足 l i m s u pi 仇( t ) l 1 令贾= 石1 x m 则我们有： 定理1 8 对于序集抽样样本x r i ，在给定样本下则对于固定的k ，对几乎所有的 样本序列 蹦警鲥叫卅南北) ( 1 吖) + d ( 击) ( 1 2 7 ) i p ( 掣鲥_ p 挪刊细) l = 。( 击) ( 1 2 8 ) 其中 蛾( ，p ) 矿= 丝兰 一 ( 1 2 9 ) j = l 巧2 = 专蓦( e 确2 一( e x h ) 2 ) 2 七2 e ( r = l 确t p ) 3 定理1 9 对于序集抽样样本杯l i ，在给定样本下则对于固定的七，对几乎所有的 样本序列 p 志鲥卸( 卅南删卜奶+ d ( 击) i p * 志鲥- p 何( 扎酬鲥( 击) 其中 口= w d x h - 2 ) w i ( 2 t r l i弘2 乙厶 ( 1 3 0 ) ( 1 3 1 ) ( 1 3 2 ) 我们还对序集抽样下的m 估计做了精确逼近 郑忠国( 1 9 8 8 ) 给出了简单抽样下在一定正则条件下m 估计规范化误差分布兄的 展开式 r l i - - m o o 何8 u p i础)叫沪等a(y,e)l-oo 0 为某一常数 ( b 4 2 ) 对每一个p ，都有 0 | 霍 一p ) 1 3 d f ( x ) 0 ) = 1 ，且有e w l = 加，v a r w = 吒，e w o o ，且e ( w l 一鼬) 3 吒= 1 ，w l 的特征函数u ( t ) 满足 l i m s u pl t ，1 ( t ) i 1 则我们有： 定理1 1 0 假定( b 4 1 ) 一( b 4 4 ) 成立，则 i p 而o n 蚓叫卅石1 删产1 ) 妻i - - 1 鳄l - d ( 去) ( 1 3 4 ) 其中 em ( x 【r 】i 一豇)