（计算数学专业论文）随机利率下的年金.pdf

摘要 年金是经济、金融、保险领域中的重要概念，随机利率下关于年金问题 的研究近年来引起了应用概率统计界的极大关注，并且取得了一系列深刻的 研究成果由于随机利率的复杂性和重要性，关于这一问题的研究方兴未艾 本文试图在随机利率条件下研究年金现值的数字特征基于文f 1 6 】，【17 】和 【2 6 】的思想方法以及鞅、反射b r o w n i a n 运动和随机序的理论，得到了控制随 机利率下连续年金现值的期望并给出了离散随机年金现值函数在凸序意义 下的上界，讨论了上界的分布函数和停止损失保费，进而得到了离散的随机 年金现值的期望 本文的主要结果如下： 一在随机利率为反射b r 0 w n i a n 运动的假设下，更正了p e r r y 和s t a d j e 1 6 1 研究中的一个错误，得到了随机利率下连续年金现值的期望，进而在最低利 率水平a ，中间利率水平b 和最高利率水平c 调整基准利率和年金届期日为 随机变量的条件下，得到了控制随机利率下连续年金现值的期望 二对于m 个相互独立的随机向量x x = ( x l ，1 ，x 1 ，2 2 ，x i ，。) ，恐= ( x 2 ，1 ，x z ，2 ，x 2 ，。) ，= ( x , n ，1 ，x m ，2 ，。) ，给出了s ( ”) = 冬lx 1 ，i x 2 , i x 。j 在凸序意义下的上下界，并且讨论了当m = 3 时上下 界的分布函数和停止损失保费最后讨论了离散随机年金，得到了随机利率 下离散随机年金现值函数在凸序意义下的上界，并给出了上界的分布函数和 停止损失保费，进而得到了随机利率下离散随机年金现值的期望 关键词：年金现值；随机利率：b r o w n i a n 运动；反射b r o w n i a n 运动；同单调； 凸序；停止损失序；停止损失保费 a b s t r a c t a 珈m i 锣i so n eo ft h em o s ti m p o r t a n tc o n c e p t si ne c o n o m i c ，f i n a n c ea n di n s u r a n c e ， t h es t u d yo fa n n u i t i e sw i t hr a n d o mi n t e r e s t sh a sb e e nr e c e i v e dal o to fa t t e n t i o nb ym a n y a u t h o r si na p p l i e dp r o b a b i l i t ya n ds t a t i s t i cf i e l d si nr e s e n ty e a r s ，a n das e r i e so fp r o f o u n d r e s e a r c hr e s u l t sa r ep r o v i d e d b e c a u s eo ft h ec o m p j e x i t ya n di m p o r t a n c eo ft h er a n d o m i n t e r e s t s ，t h er e s e a r c ha b o u tt h i sp r o b l e mi ss t i l lb ei nt h ea s c e n d a n t i nt h i sp a p e r ，w e t r yt oi n v e s t i g a t et h en u m e r i c a lc h a r a c t e r i s t i c so fp r e s e n tv a l u eo fa n n u i t i e sw i t hr a n d o m i n t e r e s t s b a s e do nt h ei d e aa n dt e c h n i c a li nt h er e f e r e n c e s 1 6 ，【1 7 a n d 【2 6 】a sw e l l a st h et h e o r i e so fm a r t i n g a l e ，b r o w n i a nm o t i o na n ds t o c h a s t i c a lo r d e r s ，t h ee x p e c t a t i o n o fp r e s e n tv a l u eo fa n n u i t i e sw i t hc o n t r o l l e dr a n d o mi n t e r e s t si so b t a i n e d ，a n dt h eu p p e r b o u n d so fp r e s e n tv a l u ef u n c t i o no fd i s c r e t es t o c h a s t i ca n n u i t i e sw i t hr a n d o mi n t e r e s t si n s g n s eo fc o n v e xo r d e ra r ed e r i v e d ，a n dt h en u m e r i c a lc h a r a c t e r i s t i c so fu p p e rb o u n d sa r e a l s o o b t a i n e d ，f u r t h e r m o r e ，t h e e x p e c t a t i o n o f p r e s e n t v a l u e f u n c t i o n s o f d i s c r e t e s t o c h a s t i c a n n u i t i e su n d e rr a n d o mi n t e r e s t si sp r o v i d e d t h em a i nr e s u l t so ft h i sp 碡p e rc a nb es u m m a r i z e d8 sf o l l o w i n g ： 1 u n d e rt h ea s s u m p t i o nt h a tt h er a x l d o mi n t e r e s t sv a r ya sr e f l e c t e db r o w n i a nm o t i o n ， am i s t a k eo fp e r r ya n ds t a d j e 1 6 1i sc o r r e c t e d a n dt h ee x p e c t a t i o no fp r e s e n tv a l u eo f c o n t i n u o u sa n n u i t i e si so b t a i n e d ，m e a n w h i l e ，t h ee x p e c t a t i o no f p r e s e n tv a l u eo f c o n t i n u o u s a n n u i t i e sw i t hc o n t r o l l e dr a n d o mi n t e r e s t si sd e r i v e du n d e rt h ec o n d i t i o nt h a tt h ea c t i v e l i f eo fa n n u i t vi sr a n d o mv a r i a b l ea n dt h er u l i n gr a t eo fi n t e r e s ti si m m e d i a t e l ya d j u s t e d w h e nt h ei n t e r e s t sr e a c ht h el o w e s ti n t e r e s t sl e v e la t h em i d d l ei n t e r e s t sl e v e lbo rt h e h i g h e s ti n t e r e s t sl e v e lc 2f o rm i n d e p e n d e n tr a n d o mv e c t o r sx _ a = ( x 1 ，1 x 旧2 ，x 1 ) ，垫： n l a b s t r a c t ( x 2 ，1 ，恐 2 2 ，x 2 ，n ) ，益= ( ，1 ，x m ，2 i 2 ，1 ) ，t h eu p p e ra n dl o w e r b o u n d sf o rt h er a n d o mv a r i a b l es c m ) = ：1x 1 ，i 恐，ii ns e n s eo fc o n v e xo r d e r a z eo b t a i n e d ，a n dt h ed i s t r i b u t i o nf u n c t i o na n ds t o p - l o s sp r e m i u mo ft h eu p p e ra n dl o w e r b o u n d sa r ed e r i v e df o rt h ec 8 s em = 3 a tt h el a s t t h ed i s c r e t es t o c h a s t i ca n n u i t i e sw i t h r a n d o mm t 蝴t si si n v e s t i g a t e da n dt h eu p p e rb o u n d si ns e n s eo fc o n v e xo r d e ra l ep r o - v i d e df o rt h ep r e s e n tv a l u ef u n c t i o no fd i s c r e t es t o c h a s t i ca n n u i t i e sw i t hr a n d o mi n t e r e s t s ， a n dt h ed i s t r i b u t i o nf u n c t i o na n ds t o p - l o a sp r e m i u mf o rt h eu p p e rb o u n d sa l ed e r i v e d ， f u r t h e r m o r e ，t h ee x p e c t a t i o no fp r e s e n tv a l u ef u n c t i o n so fd i s c r e t es t o c h a s t i ca n n u i t i e si s o b t a i n e d k e yw o r d s ：p r e s e n tv a l u eo fa n n u i t y ；r a n d o mi n t e r e s tr a t e ；b r o w n i a nm o t i o n ； r e f l e c t e db r o w u i a nm o t i o n ；c o m o n o t o n i c i w ；c o n v e xo r d e r ；s t o p - l o s so r d e r ；s t o p - l o a s p r e m i u m s l v 独创性声明 本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果 尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包括其他人已经发表或撰写 过的研究成果，也不包含为获得西北师范大学或其他教育机构的学位或证书而使用过的 材料与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表 示了谢意 签名：当奎扭数 日期： 警牡 关于论文使用授权的说明 本人完全了解西北师范大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留送 交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部或部分内容，可以采 用影印、缩印或其他复制手段保存论文 ( 保密的论文在解密后 签名：缢短坠日期塑2 垒丛丛日期：塑生! 型! 型 - 上j l _ 刖吾 年金是指一定期限内的系列现金流量年金的实际背景源自养老金、工资、分期付 款以及某些固定收益投资的定期回报等一些现实问题受利率影响，现金在不同时刻有不 同的价值，因此，在利率条件下确定它的现值和终值就成了年金研究中的基本问题传统 的精算理论中，利率通常被假定为常数，在这一假设下，关于年金的研究取得了一系列深 刻的研究成果事实上，受政府政策、经济周期、通货膨胀等诸多因素的影响，利率显然 是随机变量，因此，年金的现值和终值实际上也是随机变量，这就需要确定随机利率下年 金现值和终值的期望等一些重要数字特征，这也是近年来关于年金研究的热点和难点 其实，随机利率下关于年金的研究可以追溯到二十世纪七十年代早在七十年代初， 就有一批学者采用时间序列建模的方法，研究了随机利率问题1 9 7 1 年j h p o l l a n d p 】首 次把利率视为随机变量，对精算函数进行了研究随之，一大批学者采用各种随机模型 来模拟随机利率：b o y l e 【利用一阶自回归模型来描述随机利率的变化过程；w a t e r a 在 利率为独立同分布的正态随机变量的假设下，研究了精算函数的矩到了八十年代初， b e l l h o u s e 和p a n j e r 4 , 5 用一阶自回归模型进一步模拟随机利率，给出了年金现值的某些 矩；n o r b e r g 6 1 给出了随机利率下年金现值的估计方法；b e e k m a n 和f u e n i n g f f , s 9 】对利息 力分别采用o m s t e i n - u h l e n b e c k 过程和w i e n e r 过程建模得到了一些年金现值的前二阶 矩；d es c h e p p e r l l o l 和g o o v a e r t s 1 l l 等基于b r o w n i a n 运动对年金进行了研究，得到了一 些年金的矩母函数，分布函数和l a p l a c e 变换后来的文献，都是在随机利率为b r o w n i a n 运动的假设下，研究年金现值函数的分布、前三阶矩及其计算方法，如v a n n e s t e 等【1 2 ，1 3 l 给出了随机利率下年金的分布函数及其计算方法；m i l e v s k y 【1 4 , 1 5 给出了永续年金的分布 函数 在随机利率为b r o w n i a n 运动的假设下，利率就有可能为负值，这与现实是有出入 的为此，p e r r y 和s t a d j e l l 6 1 在随机利率为反射b r o w n i a n 运动的假设下，研究了年金届 期日分别为常数和随机变量的连续年金，得到了连续年金现值的期望；p e r r y , s t a d j e 和 1 前言 e 伊7 l 考虑了当利率在区间【d ，6 】内依反射b r o w n i a n 运动变化，并在市场利率触及最低 利率水平a 或最高利率水平b 时立刻调整基准利率的假设下，得到了连续年金现值的期 望 事实上，如果利率被假定为随机变量或者随机过程，那么，到某个时刻为止的所有支 付的总现值实际上是一个相依随机变量之和，由于随机变量之间相依结构的复杂性，直接 计算所有支付总现值的分布或期望等数字特征是非常困难甚至是不可能的一个有效的 方法是估计它的上下界，其中，最为成熟的理论是在同单调的假设下，利用同单调的性质， 借助凸序或者其它相关序，研究相依随机变量和在凸序意义下的上下界 同单调是经济领域中的一个重要概念，最早是由y 枷嗍引入，一直到二十世纪九 十年代中期，同单调理论才被成功地用来研究精算问题d h a e n e 等 x g 研究了随机变量 之间的相依性和停止损失序；m 证l l e r 2 0 1 利用超模序研究了相依随机变量的相关性质； w a n gs h a u n 和d h a e n e 2 1 】讨论了同单调性相关序和保费原理o o o v a e r t s 等嘲在超模 序下，给出了随机利率下年金现值函数的上界如今，同单调及随机序的方法引起了精算 界的普遍关注g o o v a e r t s 等嘲，v y n c k e 等 u 相继研究了年金现值函数在凸序意义下的 上下界；k a a s 等陶给出了年金总现值在凸序意义下的上下界；d es c h e p p e r 等闲研究 了随机利率和随机扩散下年金现值的上下界与此同时，d h a e n e 等1 2 7 ，嚣】相继研究了同 单调在精算和金融领域中的应用，讨论了随机利率下年金现值在凸序意义下的上下界； h o e d e m a k r s 等陋，删将年金假设为随机变量，研究了随机利率下生存年金现值函数在凸 序意义下的上下界 基于上述工作，笔者试图研究随机利率下年金现值的数字特征本文的结构如下： 第一章简要的介绍利息理论的基本内容和年金的相关概念 第二章是本文的核心部分首先指出t p e r r y 和s t a d j e 1 6 1 研究中的一个重要错误， 并且在随机利率为反射b r o w n i a n 运动的假设下得到了连续年金现值的期望，同时更正 t p e r r y 和s t a d j e l l 6 1 的错误其次，作为p e r r y , s t a d j e 和y o s e f 1 7 1 工作的一般化，在最低 利率水平a 中间利率水平b 和最高利率水平c 调整基准利率和年金届期日为随机变量 的条件下，给出了连续年金现值期望 2 第三章是本文的另一个核心部分基于凸序、同单调等概念以及相依随机交量之 和在凸序意义下的上下界等一系列重要结果，得到了三个相互独立的n 维随机向量 墨= ( x 1 ，x 2 ，矗) ，羔= m ，y 2 ，k ) 和量= ( z 1 ，z 2 ，磊) 对应分量乘积之和 在凸序意义下的上下界，并给出了凸序意义下上下界的停止损失保费和分布函数，同 时，成功地将三个随机向量的情形推广到m 个n 维随机向量的情形最后，基于d e s c h e p p e r 等嗍的研究，将离散年金假设为随机变量，研究了随机利率下年金现值在凸序 意义下的上界和更紧的上界，并给出了上界的停止损失保费和分布函数，进而得到了年金 现值的期望 3 1 基本概念和预备知识 在进入本文的主要研究之前，首先介绍和本文相关的一些基本概念 1 1 货币的时间价值 众所周知，所有金融活动的基础是投资和融资，因此对不同投、融资所产生的收益进 行定量刻画就成为金融定量分析的核心刻画和衡量投资收益最直观、最基本的概念是 收益率，而收益率在很大程度上取决于同期的利率，因此，利息理论便成为金融数学的基 础 定义1 1 在给定时问区间【t l ，t 2 】内，总量函数a ( t ) ( 原始投资为a ( o ) 经过时问 t ( t 0 ) 后的价值) 的变化量与期初货币量的比值称为时间区间p l ，t 2 l 内的利率，记 为i “b = 丛铲特别地，当t l = n 1 ，t 2 = n 加) 时，记i 。= 型戋尝铲，则 a ( n ) = z ( n 1 ) ( 1 + i 。) ，称i 。为第n 个时段的利率 利率是为了描述货币价值随时间相对变化而引入的概念，如果一个货币单位的投资 经过任何一个单位的计息期产生的利率为常数，则称对应的利息计算方式为复利方式 复利方式意味着在投资期间的每个时刻，过去所有的本利和都将用于下一时刻的再投资 由于货币在不同的时刻具有不同的时间价值，因此，在投资决策中，需要将不同时点 的货币价值换算在同一时点上，这就需要引入下面的 定义1 2 称( 1 + ) 为一个货币单位的本金在第t 个计息期末的终值，称两1 币为第 个计息期末一个货币单位在0 时刻的现值，其中i 表示利率， = 南称为贴现因子， d = 丧称为折扣率 显然，在任何一个计息期内，利率i 、折扣率d 和贴现 有如下关系：i = t 刁d ，d = i v 如果在每个瞬问都可以进行利息的换算，那么货币的价值就是连续变化的虽然这 是理想化的描述，但是这将有助于对离散情形的分析 4 1 基本概念和预备知识 定义1 3 设累积函数口( t ) ( 一个货币单位的本金在时刻t c t 0 ) 的价值) 是关于t 的 连续可微函数，则6 ( ) = 勰，t 艺0 为累积函数d ( ) 所对应的利息力函数，并称6 ( 0 为t 时刻的利息力 显然，累积函数a c t ) = 唧( j ：6 ( s ) d 8 ) ，贴现函数a - l ( t ) = e x p ( - f o t5 ( s ) d s ) ，t 0 如果利息力函数为常数，即6 ( t ) 三d ，那么口( d 一沙，1 1 - 1 ( t ) = e 一拜，且常利息力6 与 利率i 的关系式为一；l + t 1 2 年金 年金通常是指一定期限内的系列现金流量年金的核心问题是其现值和终值的计算 根据付款周期与利息换算周期相同与否，可将年金分为基本年金和广义年金两大类 1 2 1 基本年金 付款周期( 两次付款之间的问隔) 与利息换算周期相同的年金称之为基本年金基本 年金可分为先付年金和后付年金 定义1 4 若年金的现金流均发生在每个付款期的期初( 末) ，共计n 次，则称这种年金 为n 期先( 后) 付年金若年金的现金流恒为一个货币单位，则称这样的先( 后) 付年金为 ，l 期标准先( 后) 付年金 通常用记号嘲 表示，l 期标准后付年金的现值，其中i 为利率由定义1 2 ，可得 唧：t ，+ t 1 2 + + 矿：半， 其中t | 是与i 对应的贴现因子 定义1 5 若年金的支付永远进行下去，没有结束日期，则称这种年金为永续年金 一般用n 爵表示标准永续后付年金的现值，且有计算公式 俯一= ”+ ”2 + = 墨恐鲰“= 5 1 基本概念和预备知识 1 2 2 广义年金 基本年金是付款周期与利息换算周期相同的年金，其实，付款周期与利息换算周期未 必完全一致，称付款周期与利息换算周期不同的系列现金流为广义年金 计算广义年金的现值，需要将最初的名义利率调整到付款周期内的实际利率对于付 款总次数有限的，i 期广义年金。记m 为每个利息换算期内的付款次数，如果每个付款期 期末付款击个货币单位，共付款肌次，其现值记为删，并记i = 封( 1 + ) 击一i i ，则 有 谢= 去p 击+ t ，鲁+ + 矿一击+ 卟= 箐 对于付款总次数为无限的情形，即在每个付款期期末付款去个货币单位，直至永远 由于是永续年金，没有终值的概念，其现值用表示，则 搿= 去( ”击+ ”鲁+ ) = 丽1 - 如果将付款周期不断缩小，金额也任意小，那么最终的状态可视为一种连续性现金 流，但计息期内现金流的总量固定考虑每个瞬间的年金现金流为一个货币单位的n 期 连续年金，用礁i 表示其现值，则有计算公式 两= n v t d t = 竿= 知 其中，6 = i n ( 1 + i ) 为常利息力另一方面，砘l = l i m 。_ + 。甜，由此可知，上述标准连续 年金可看作广义年金的种极限结果 由于基本年金的理论十分成熟，加之先付年金与后付年金在一定条件下可以互相转 换，因此，在本文中我们只考虑后付广义年金 6 2 控制随机利率下的连续年金 在利率条件下确定年金的现值是金融、投资，保险领域中的重要问题由予现实利 率是随机变量，年金的现值实际上也是一个随机变量，这就需要确定年金现值的期望等一 些重要数字特征 2 1 随机利率下连续年金 设h ( s ) 为时刻s 的连续支付的现金流，则到时刻t ，年金的累积现值为 a l ，j i 垒l ( s ) 唧 一6 s y ( s ) d s ，( 2 1 ) 其中，6 为无风险利息力，y ( 8 ) 为随机利率不失一般性，这里只讨论h ( s ) ；1 的情形，即 a t , 垒唧 一6 s y ( s ) d s ( 2 2 ) 因为基于( 2 2 ) ，可以得到 面d n a t , h 皇z ( 叫”唧 - 6 s - y ( 3 ) ) d s ，n = l ，2 ， 于是就得到h ( 8 ) 是多项式的情形至于h ( 8 ) 是一般连续函数的情形，可通过b e r n s t e i n 多项式逼近当h ( s ) 具有更好的分析性质如n 阶连续可微时，还可以用在每的t a y l o r 展 开式逼近 2 1 1 随机利率为b r o w n i a n 运动时的连续年金 假设随机利率y ( 8 ) 的变化依照单位时间均值为p ，方差为口2 的b r o w n i a n 运动变 化，且y ( o ) = 0 p e r r y 和s t a d j e 1 6 】给出了年金届期日r 为随机变量情形下年金现值的 期望： 7 2 控制随机利率下的连续年金 曰防唧卜n 删，十z ”p 佴训叫侧州删d = z ”j c e - 5 e e - 一+ o a a , d s p ( 俐幻 记0 = 6 + p a 一盯2 舻，j l i jj e - ( 晰：一i 一一) r p ( r d t ) = 居e 一1 ，其中a 0 满足 j + 胆一 矿舻 0 取n = 1 ，就有e f 石唧 - 6 8 一a y ( s ) ) 山l = e o , a 当下兰t o 时，这里t o 为常数，则有e 【e 一r l = e - ( i + l u , 一一2 一，从而 e = e f 酬- 6 s - y ，十等 当r = r a i n ( t o ，刃，其中t ne x p ( a ) ，则e e 一打1 = 三= 铲，从而 e 陋曲，= e z 7 唧 - 6 s - y ( s ) d = ( a + p 一互1 矿) 一1 ( t 一三i 幸等) 当下服从r a y l e i 曲分布时，即p p z ) = e j 舻，则有研e 一打l = 1 一去【1 一西( 击) 】， 弛一= e 唧t - 6 s - y ( s ) d s = 去卜( 譬) 2 1 2 随机利率为反射b r o w n i a n 运动时的连续年金 在随机利率为b r o w n i a a 运动的假设下，；f ! l 率就有可能为负值，这和现实是有出入的， 为此，p e r r y 和s t a d j e i l 哪在随机利率为反射b r o w n i s h 运动的假设下，得到了连续年金现 值的期望遗憾的是，p e r r y 和s t a d j e i l q 在证明中误将 t 一( 硇+ 罨势唧 枷+ 譬) 仁唧 一虹掣 当成 - 一t l ( “) + 罨努唧卜轧s + 掣) 唧卜坠掣) 如， 这里圣。，表示正态分布似，矿) 的分布函数，从而得到错误的结论事实上，我们有 引理2 1 对任意t 0 。 p y ( s ) u ) = e x v j 2 # f u ) 西( 一( 矿s ) 一 ( p s + t ) ) + 圣( ( a z s ) 一 ( 脚一t ) ) ， 8 2 控制随机利率下的连续年金 这里西( ) 是标准正态分而豳效n ( 0 ，l 】 证明：当0 - 2 = 1 时，注意到 川- - w ( s ) 一。r a m i n 。w ( p ) = 睁m a s x ( w ( s ) 一w ( s l ，) ) 垒w ， 所以，y ( s ) 和刀= m a ) c o s l ( s ) 有相同的分布函数，利用g i m a a o v 定理【3 ”，取 吼= z ，则w = 眦，0 ts 研是相应于概率测度p 的一个标准b r o w n i a n 运动记 q ( a ) = 厶唧 p w ( s ) 一；# 2 s d p ，则q ( a ) 是一个概率测度1 , 2 w ( d = 彤( s ) 一_ s ，由 g i r s a n o v 定理可知，谚( s ) 是相应于q 的标准b r o w n i a n 运动，因此 p i - ( 。) 仳) = q ( 髭燎( 谚( 功+ p u ) ) = q ( 罡譬要f i 矿( z ，) ，) = 厶皑。州恻唧m ( s ) 一等2 ) d p ， 由文【3 1 】知，p ( 彤( s ) ) 池，m a x o 0 的反射b r o w n i a n 运动，直到y 首次击中6 ，记首次击中b 的时刻为 = i n f t 0 i y ( t ) = 6 ，在【o ，) 内固定利息力6 ( t ) = 南 0 ( 2 ) 在时刻t k ，银行将基准利息力调整为6 ( t ) = 而 0 ，而( y ( 丁k - 4 - u ) h 和在击 中口或c 之前是单位时问均值为m r ，方差为砰 0 的b r o w n i a n 运动且独立于 ( y ( t ) ) o 0 的反射b r o w n i a n ：运动，而且与( y ( 7 t 曲+ ) ) 0 5 。 0 l y ( + 0 = h ，此时重复过程( 2 ) 2 ) 若y 在首次击中c 之前返回口，记首次返回时刻为露k = i n f + tl t 0 ，y ( z t 曲十t ) = 口，y ( + c ，0 0 ，此时过程重复( 1 ) 为了行文方便，记上述假设为k ，显然，这里的利率变化过程较好地模拟了实际利率 的变化规律本节的主要工作是在假设k 下计算： a = 玩旷呻 - 耶卜d 斗 ( 2 3 ) 其中t ( a ) 表示年金届期日，假设t ( x ) 一e 印( a ) 且与y 独立，下标口表示随机过程y 的 初始状态为y ( o ) = o 记 舾玩旷唧t - 南s - y ，d s 肛b e 砷唧卜耶，s - y ( s ) ，d 0 其中t ( a ) a 丁k = m i n t 0 0 ，则a = a l + 如 引理2 2 在假设k 下， 伽m ) 岛l ，e x p ( 。u - y ( u ) ) d u | ， 其中k ( o ) = 晶【e ) ( p ( 一o 】是在条件y ( o ) = d 下的l a p l a c e 变换 2 控锏随机利率下的连续年金 证明：记r ( ) = p ( i y ( 0 ) = 曲，由假设( 2 ) r 一( 砷 1 a 2 = 只( t k t ( a ) ) e 。l 叩t 一6 ( s b y ( s ) d s l2 曲t ( a ) i l j 2 hj ：只( t ( 玩f e 一 f 州的山唧 一虱。沁一y ( + 让) d 。1 t ( a ) l l j 0 j ：只( t ( 枷忍【e 也i s t ( 划屁l 厂山e - 。s ( u ) 一炳州如i t ( a ) l ， l j 0 、 j 这里虱妨一矗，只要( y ( 死b + u ) ) 心o 口且( y ( + u ) ) 。邳 0 的 b r o w n i a n 运动记击中口前首次击中c 和击中e 前首次击中n 的概率分别为p l 和b ， 容易计算1 1 = 世c - - t 1 ，b = 。b 一- _ f i 。显然 a 3 = p 1 小t 。卅跏叫叫+ 局 t ( ：9e x p h 钍，j ) + 兄“广川砷唧t - , h u - y ( u ) ，小岛 e 州- 5 ( u ) u - y ( u ) d u ) 马= 日 广州”唧卜忙川d 肛昂 e ，c u - y ( u 叫， a = 昂旷哪e x p - 6 ，u - y ( u 舭q 伽昂 级计啦卜叫， 引理2 6 在引理2 2 的假设下 岛= 咖( 6 0 + a ) b 伤= 慨+ a ) e c z 州m 唧卜a c u ) u - y ( u ) ，d u z t “p t a c 让一y c “，d 1 其中如( o ) = 昂【e ) 【p 一a 露k 】，( 口) = 展【e ) 【p 一胡圳 类似于引理2 2 的证明，可证明引理2 6 ，这里不再赘述 1 6 由于到y 击中c 后，固定利息力j ( ) = 如 0 ，( y ( + u ) ) 。o 是单位时间均值为 他r 一，方差为磅 0 的反射b r o w n i a n 运动，记 旷州- 6 ( u ) u - y ，d 斗 由假设k ，可得 。= 忍 f 哪t - 毛u - y c ，叫+ 忍心：唧卜毗扣一y c 讲d ， 皿= 忍 f 唧t 一跏一y c u ，叫，岛= 乜【乞：。唧c 咖一y ，叫， 与a 2 的推导类似，可得现= 吼+ a ) a 3 ，其中如( a ) = 昂l e ) 【p - a t , d 1 c ad 2 一九( 国+ a ) p l 【a + ( 如+ a ) ) ( d 1 + d 2 ) 】+ b 【且+ 惦( 南+ a ) ( a l + a 2 ) 1 ) 得 眈= 业剑坐等觜麓垮笋巡坐必，( 2 。z ) 。 l 一九( 以+ a ) p l 仇( 如+ a ) 一o “叫 ( 2 2 2 ) 中的p o ( a 2 + a ) 、咖( 南+ a ) 、b i 、a 的解析表达式，由下面的引理2 7 给出 引理2 7 在引理2 2 的假设下，记h = 再硝石a e 习- b 两碍，则 妇。( 如+ a ) = e 6 0 ( 如+ 0 ) ( c - ，e b ( 6 + a ) = e 一；b ( 南+ o ) ( 6 一， 一一e 一6 e 矗。以+ 。