（管理科学与工程专业论文）随机寿命商品的（ss）库存模型及其应用.pdf

- 随机寿命商品的( s ，s ) 库存模型及其应用研究- 摘要 在医药、化工、食品等行业，有许多产品是具有有限寿命的。针对寿命有限 商品的库存研究，具有十分重要的实际意义，一直是库存研究的一个重要方向。 本文结合企业实际运营特点，针对需求是随机的和库存商品有随机寿命的条件， 构建了一个采用( s ，s ) 订货策略的库存模型。 本文在已有研究的基础上，对需求、商品寿命等做出了更为符合实际的假设。 通过选取适当的状态描述方式，采用一个离散时间m a r k o v 链反映库存变动过程， 并提出了使库存费用最小化的决策方法。本文还利用基于该方法的计算机程序， 通过实际算例，进行最优解的敏感性分析，讨论了需求、商品寿命、订货提前期 等参数的变动对最优决策以及最小费用的影响。 关键字：随机寿命商品( 易腐品) 、库存模型、m a r k o v 链、敏感性分析 随机寿命商品的( s ，s ) 库存模型及儿应用研究- a b s t r a c t m o s tp r o d u c t si np h a 咖a c e u t i c s ，c h e m i s t r yo rf o o d s t u f fi n d u s 研e sh a v e 枷d o m 1 i f e t i m e s t h er e s e a r c ho ni n v e n t o r yo fp e r i s h a b l eg o o d si sa l w a y sa ni m p o 姗t c o n c e mb e c a u s eo fi t sh e l p 削g u i d a i l c et ot h ep r a c t i c e so fm e s ei n d u s t r i e s i nt l l i s a n i c l e ，a ni n v e n t o r ym o d e lw i t hr a n d o md e m a i l d s ，r a i l d o m1 i f e t i m eo fg o o d s ，a n d ( s ，s ) s 仃a t e g yi sb u i l tt or e n e c tt 1 1 ep r a c t i c e so f t h e s ei n d u s 订i e s b a s e do ne x i s t i n gr e s e a r c h e s ，m o r er e a s o n a b l eh y p o t h e s e sa r em a d eo nd e m a l l d sa 1 1 d l i f e t i m eo fg o o d s b ys e l e c t i n gs u i t a b l em e a s u r e so fs t a t e ，am a r k o vc h a i nw i t h d i s c r e t et i m ei se m p l o y e dt od e s c r i b et h ep r o c e s so fi n v e n t o r yd e v e l o p m e m a n da m e t h o d 亡om i n i m i z ei n v e n t o r yc o s t si sp m v i d c d f i n a l l yt h ei f l f l u e n c eo f c h a n g e s 、v i m d e m a n d s ，l i f e t i m ea n dl e a d - t i m eo nm i n i m a lc o s t sa n do p t i m a ls t r a t e g yi ss t u d i e db y a i l a l y z i n gn u f n e r i c a le x 锄p l e sg e n e r a t e dt h r o u g hac o m p u t e rp r o g r 锄b a s e do nt 1 1 i s o d t i m i z a t i o nm e t h o d k e yw o r d s ：g o o d s 、v i t l lr a l l d o m1 i f e t i m e e r i s h a b l eg o o d s ) ，i n v e n t o r ym o d e l ，m a r k o v c h a i n ，s e n s i t i v i t ya l l a l y s i s - 随机寿命商品的( s ，s ) 库存模型及其应用研究 1 1 研究背景 第一章绪论 考虑商品寿命的库存研究，由于其在实际应用中的突出意义，一直是物流研 究的重要方向之一，而商品寿命随机则是其中最为常见、研究得最为深入的一种 情况。在库存研究中，对于随机寿命的商品，国外学者一般称之为p e r i s h a b l e c o m m o d i t y 。而国内文献中的称呼较为不统一，在应用研究中，对于食品类一般 称为易腐品，对于化工产品、医疗产品类则较多地称为变质品。本文中将统一称 此类商品为随机寿命商品。 早在2 0 世纪6 0 年代，v a i lz y l 1 就提出了关于有限寿命商品的研究，他构 建了一个商品寿命固定为两个周期的库存模型。而事实上，最早的有限寿命商品 模型可以追溯到众所周知的“报童问题”( 商品寿命固定为一个周期) 。此后， n a h m i a s 与p i e r s k a l l a 2 】，f r i e s 【3 】，以及n a h m i a s 4 】等接连研究了商品寿命为朋 个周期的库存模型。 然而随着医药、化工、食品等行业生产规模不断扩大，供应链结构日益复杂， 仅对固定寿命商品进行研究已不能满足实际应用的需要。例如在血浆存储等领域 中，一般采取分批冷藏定期抽检的管理方式，管理者通过对已往需求数据以及血 浆有效期限进行分析，在尽可能满足需求的前提下制定恰当的采血制度。在一些 航空器关键部件中，由于在安全性方面的高要求，对可能随时间而发生老化失效 的各种橡胶、阀门、机油等均有严格检查，由此也对这些产品的生产与存放策略 提出了特殊的要求 5 】。除了这些较为特殊的领域外，日常生活中许多涉及易腐 易变质产品的库存均面临着同样的问题。因此，随机寿命、提前期等等现代物流 研究的重要元素都被引入到有限寿命商品的库存研究中来。w 萌s s 【6 证明了在面 对外部泊松需求、零提前期的条件下，连续检查库存的( s ，s ) 策略是最优策略。尽 管在一些其它假设下，可能会有一些更好的库存策略 5 】【9 ，但由于这些策略较 大的局限性，使 s ) 策略始终成为研究此类库存问题最常见的策略。 由于有限的商品寿命在传统的随机库存模型中添加了一个新的考虑因素，使 得同时考虑商品寿命、提前期与外部随机需求变得相当复杂 7 f 5 】。不同的假设 往往导致完全不同的分析手段和结果【1 4 1 7 】。其中最为常见的是引入指数分布假 设来描述商品寿命以及提前期，这也是目前为止研究模型较为成熟的一种假设。 尽管指数分布相比一些多参数分布如平移伽玛分布或w e i b u u 函数来模拟能力较 差 1 8 】【1 9 】，但仍是反映商品寿命( 尤其是无生命商品) 的较好工具。利用指数 分布的无记忆性，能够对模型进行较为深入的分析。k a l p a k a m 与s 印i l a 【8 】建立 - 随机寿命商品的( s ，s 】库存模型及其应用研究- 了一个较为完整的模型，采用了指数分布提前期、指数分布寿命需求假设。在此 基础上，l i m i n g l i u 与t a o g 在同样的假设下添加了回供( b a c k o r d e r ) 考虑 7 】。 他们假设外部需求按照泊松流到达，由此建立了一个连续时间有限状态的马尔可 夫链来描述库存的变动，考虑其达到平稳状态后的情况，并由此得到了期望费用 函数以及数值最优解。 回顾已有研究可以发现，许多文献对于外部需求的到达都假设为一个泊松过 程。但需求按泊松流到达隐含了一个限制，即：每个顾客到达，其需求量都固定 为一单位商品。这种假设可能更为符合随机服务模型或是某些贵重商品，而与日 常生活中库存决策者所面对的需求相差较大。为了克服这一困难，本文考虑使用 复合泊松分布，即顾客到达符合泊松过程，而顾客需求数量为一随机变量，服从 某个特定分布。 1 2 研究内容与意义 本文在参考文献的基础上，研究关于有限寿命商品的库存模型。模型主要考 虑在库商品寿命终止( 死亡) 所带来的损失，以及其他有关库存决策的相关费用 如缺货费用、订货费用、存储费用等。文中建立了一个提前期、商品寿命指数分 布，外部需求到达符合泊松过程，每次需求量随机的库存模型。 r 船f a t f l 3 】与l j m i n g “u 等均曾在文献中提出可以用多维马尔可夫链来解决 一些更为复杂的问题如提前期假设的复杂化。事实上，将外部需求假设由泊松分 布改为复合泊松分布所造成的分析上的困难同样在于无法继续应用一维状态变 量的马尔可夫链进行分析。因此，如何选择状态参数保证马尔可夫性是解决此类 问题的关键。 本文选取库存量与未到订货量描述状态，保证了状态发展的马尔可夫性。由 此建立了一个离散时间的二维马尔可夫链来描述库存变动情况。文中通过大量算 例分析了外部参数对各种库存费用以及最优决策的影响。除该模型之外，文中还 对商品寿命、提前期以及允许回供等假设做了一些扩展研究，简略提出了对这些 问题进行进一步研究的思路。 相对目前已有的研究，本文主要在运用多维马尔科夫链作为分析工具方面做 了一些尝试，同时通过适当的决策时间离散化手段，简化了分析与计算难度。本 文中建立的模型假设更符合实际的库存运作情况。此外，本文中给出了一个应用 该模型的计算程序，作为对二维马尔可夫链平稳分布的计算工具，该程序中的算 法步骤可以看作是对许多类似问题的一个尝试。 随机寿命商品的( s ，s ) 库存模型及其应用研究- 1 3 本文结构 第一章绪论介绍本文研究的主要内容，目前相关的已有研究成果，以及本文 的创新之处。 第二章模型假设与符号索引介绍本文主要研究的库存模型及其假设 第三章单位时间区间内期望费用的计算介绍考虑马尔可夫链趋于平稳后的期 望费用的计算步骤 第四章费用函数分析与敏感性分析对各类库存费用函数的分析，研究库存系 统的运行特征 第五章对假设的扩展 给出了当商品寿命、提前期等假设变化情况下的研究思 路 第六章对本研究问题的展望，探讨未来研究的方向 附录给出文中一些公式的证明，以及计算过程的具体实例 参考文献列出了文中所借鉴的已有研究成果。 随机寿命商品的( s ，s ) 库存模型及其应用研究- 2 1 模型假设 第二章模型假设与符号索引 为单一品种商品建立库存模型。并假设： 假设1 ( 需求) 对商品的需求是随机的。 o ，f 】时间内需求次数为( 0 ，为一泊松 过程，参数如。每次需求量d ，互相独立，且同分布于d 0 。d 0 的分布为 一( d ，) = p r ( d 0 = d j ) ，2 1 ，2 ，弓均为有限大的f 整数，竹有限大a 则【0 ，d 内需求总量以f ) 为一复合泊松过程。 n 1 d ( f ) = d 假设2 ( 商品寿命) 库存商品的寿命为随机变量，商品寿命7 1 独立同分布，服 从指数分布唧 ) 。商品寿命终止称为商品死亡，死亡商品将从库存中清理出库。 假设3 ( 库存策略) 采取 s ) 库存策略( 规定s o 5 舅 也可通过同样原则进行讨论，但细节上复杂许多，工作量十分巨大，后文另外讨 论。 3 1 1m a r k o v 链的状态空间 每当库存量下降到j 以下，就补充订货至s 。由于每个单位时间区间内需求 总量可以从0 至无穷，因此，对于给定s 与s ，状态空间铆，：0 f 。) ，f _ 1 ，2 w 为： o ) ，( 1 ，o ) o + 1 ，0 ) ，( 5 ，q ) ，o l ，g ) ，0 1 ，q + 1 ) ( o ，q ) ，( 0 ，( 卜1 ) ，( 0 ，( 卜2 ) ( o ，i s ) ) 其中q = s - s w 为状态的个数，有，= q l 卜l + 2 + ( 什1 ) = 量斗o 5 0 + 1 ) ( j + 2 ) 。以 o ) 为第一个 状态彳l ，( o 渤为最后一个状态一。，则状态彳舡f 蝴的序数f 为： 当x 部， 当x f s ) 即可供后续分析。实际计算可直接通过计算若干个变量d ， 卷积获得，也可通过以下2 种方法进行，可根据凸的分布情况选择最便利的方 法进行： 方法一 若已知d = d j ，其中服从p o i s s o n q ) ，d ，分布为： h ( d ，) = p “d o = 以) ，_ ，。l ，2 ，h ，贝0 d = 一l + d 2 - 2 + 以。 其中，m 相互独立，服从参数为乃= a 氐( d ，) 的泊松分布( j 2 l ，2 ，行) 。这样， 当d f 所取离散值个数n 不大时，卷积变量个数大为减少。证明见附录l 。 方法二利用递推公式。 当所服从的分布对于任意即均满足嬲= 4 + 鲁的形式时( 碍6 为与以 无关的常数) ，口独立同分布，取值离散有限，对于d = d l 的分布列均有： f = l 删) = 蓦( 日+ 等) p “b 钏堋州) 捌，2 ，3 对于本模型，可以得知，满足上述形式，且日= o ，6 ，对于d 有 ，d ( = 萼号 厶( d 一，) d = 1 ，2 ，3 s 同样， = 五厶( ，) ，户1 ，2 ，h 。由于此处只需要考虑d s 的分布情况，因 此仅在此范围内求值。证明见附录2 。 3 1 3 单位时间区间内死亡商品数m 及订货到达数r 的分布 由于假设所有库存操作均在单位时间区间末尾进行，避免了需要考虑死亡与需求 的相互影响。很显然，m 与上一单位时间区间末的状态爿t o i f ) 有关，记为地，。 商品寿命丁服从e x p ) 。在单位时间区间初存活着的商品，在区间内死亡的概率 p m 奄： 嘞= p r r f + f i r f ) = l p r ，f + fj r f = 1 一b 一“ 则慨，服从两项分布曰，分布为：厶) = p r = m ) = c ：蹭( 1 一尸“ 随机寿命商品的( s ，s ) 库存模型及其应用研究- r 的分布也与所处状态爿肛。，) 有关。 当肝= d ，也即工p 百时，说明不存在尚未到达的订货，因此本区间内r = 0 否则，r 是一个两点分布：p r 职刊= 1 p 。k ，p r ( 月= 0 ) = e “ 3 1 4 一步转移概率矩阵p 令p = p ) 。p ，是p 的f 行列元素，表示状态4 - ：抛) 到4 ：国砌的一步转移概 率。为了便于讨论，根据搿所处状态不同，将j j 分为k # s ，舯，_ ， o ) 情况一 = s s ，j o 时，则该区间内不会订货，尸0 。否则，当 抒( 厶，+ d ) 可时就发生订货，概率为l 一芝先。( ) 。因此 一( 十1 ) c 。，= o l1 一厶矿，( ) l 当4 ： ，i = o ) ，也即f = 蚤s l = o j c 。= c 玎 3 2 3 单位时间内期望缺货费用g 设，状态下，该区间内缺货变量为y ，则： ro当d + 地舟f y 1 d “厶。喵。否则 因为d 的取值可以无穷大，直接计算e 【明有困难，因此，定义如下变量z ： rx r ( d + z _ 0当| d + 霸f 膏i z _ j o否则 由此。诗z + ( d + 一0 。e 【明= e z 】+ e 【d 】+ e 【 厶，】噶i 。d 作为复合泊松分布 e 【d 】= a e d 棚。因此， e y 】= ( x ，一d ) 厶。( d ) 】+ t e d 。】+ e 【 ，m 一x c d 。= 研y 】甜 c 。= c 万， w 由此，g ( s ，j ) = c “，石，= g + g + 巴+ c 口 3 3 一个计算c 鼬沁) 的算例 为说明以上计算过程，附录3 中给出一个具体数据的算例。 一随机寿命商品的( s ，s ) 库存模型及其应用研究- 第四章费用函数分析与敏感性分析 4 1 单位时间区间期望总费用g 的最小值 先给出g 关于 j ) 是如何变化的。一个典型的函数图像如下 j 一 乞。，。j 。、。、 = u 一 一 ( 1 ，0 )( i4 1 )( 2 0 o )f 2 4 6 )( 2 8 ，4 )( 3 l 。1 0 ) ( 3 4 1 1 ) ( 3 7 8 )( 4 0 o )( 蚰9 ) 相4 1 6 ) ( 4 6 z 1 ) ( 4 9 n ) 这是算例1 的图像( 所有算例参数详见附录4 ) 。图中横坐标为( & s ) ，依次为 ( 1 ，o ) ；( 2 ，0 ) ；( 3 ，0 ) ( 3 ，1 ) ；( 4 ，0 ) ( 4 ，1 ) ；( 5 0 ，o ) ( 5 0 ，2 4 ) 由此即可得到最小费用： g = 2 3 6 3 7 6 3 5 量1 5j = 3 4 2 费用函数分析 4 2 1g 函数关于s 的变动 大量数据计算结果显示当s 给定时，g j ) 随s 增大呈现有规律的变动趋势。例 如，上图两虚线所夹即为j s = 4 9 时，c ， 的图像。 以下是一些算例中g 关于5 的图像。从中也可以获得当给定s 时，令总费用最 小的s + 。 算例1 - 随机寿命商品的( s ，s ) 库存模型及其心用研究- l 二? f 7 7 ，i 一i 二五二d 巳。：一：上立上j 三i i = 百葛三羔 算例4 旷，俐j 。翊 肆：二二一五j = = = 坠三三二二二一队，一i ! 二五一邑二二三三：三一 8 雷i 圄一夕1 匪。! 赢= 羞= 一邑i 赢蔓一生! 。二! 五三一臣苴蕊= = = j 其他算例也均呈现类似趋势。可以看出：g ( 曲在某个s 之后就一直为一个单调增 函数。此外，c ，还显示出较有规律的凹凸性( 后文分析中可以看到，其凸性或 凹性主要取决于各参数) 。由于总费用c f 由死亡、存储、缺货、订货四部分费用 构成，即：g = 甜c 计g + 巴。故下文通过考虑这四部分费用来分析形成g o ) 趋 势的原因。 4 2 2o 、o 、g 、c d 函数关于s 的变动 各类费用关于s 的图像如下( 算例1 数据) o 函数可以预见，给定s 时，一般情况下死亡费用关于s 是递增函数。这是因 为当s 增大，平均库存量必然也增大，从而导致更多商品暴露在死亡风险之前。 同时，多数情况下西是一个凹函数。这是因为：在库存水平还较低时，由于外 部需求的存在，增加的库存中总会有一部分额外地用来满足原本不能满足的需求 - 随机寿命商品的( s ，s ) 库存模型及其应用研究- ( 或者说，库存中商品“流动”速度更快) ，因此当s 有一定增加时，需要有较多 的商品进入库存，才能支持增加的j ( 因为入库商品需经检验，至少会在库存中 保留一个单位时间区间) 。而当s 在较高的水平上时，大部分外部需求已经被满 足，因此进入库存的商品的增量相对较少就能够支持所增加的s 。不妨考虑极端 的情况，即使当库存水平已高到足以满足所有需求的情况下，商品的增量就将完 全被用来支持增大的s 。而实际上本模型中，外部需求可以为无穷大。因此，q 亘数虞这是= 仝递增的凹亘数! 羞查! 越太时接近王= 撅斜龅真线( 因为此时绝 大部分的增加的库存对满足需求已经没有多大帮助了) 。 o 函数g 函数的变动趋势与g 十分相似，因为这两个费用都是对库存水平的 反映a 一般也是= 仝遘攒的凹雪数。对大量数据观察后表明c m 正比于g 6 。 g 函数一般情况下q 星递越的凸酉数。函数的递减特性是十分直观的，而c 函数的凸性实际上与巴函数的凹性源于十分相似的原因。因为在任何库存水平 下，都存在一定的可能性使得库存供货和死亡损耗后仍有剩余，这样，当s 增加 时，总会有一定的可能性使得增加的库存水平对减少缺货费用没有帮助。随着s 的增大，这种对减少缺货费用没有帮助的可能性会越来越大，换言之，随着s 的 增大，缺货费用减少的幅度越来越小，也即凸函数的特点。与巴函数相似，g 函数也在查= 握浙近线：差别查王遮握赏堑缝是搓坐拯麴( 因为随库存水平增加， 缺货隋况越来越少，最终导致g 接近o ) 。 g 函数c 。一般是增函数，这是因为随s 的增大，订货会变得频繁。同时g 也 呈现出凸函数的特性，这是因为：随j 的增大，q 哪。减小，而每当若干时间单 位区间内的期望需求e d 耗尽q ，就将发生一次订货。因此，可以粗略地认为 每鲫【d 】个单位时间区间发生一次订货，于是c d 正比于1 q ，而1 q 是关于j 的严格递增凸函数。尽管决策时间的离散化导致当1 馏非整数时订货次数也会受 到影响，但总体来看c 0 的增长蝠廑按会随的缝太面增盔。 现在继续分析c j ) 的变动趋势： 据上述分析，巴+ q 应该体现出递增凹函数的特点，而在每次订货费用。不远大 于其他费用参数时，甜c 口体现出递减凸函数的特点。当s 在较高水平上时，再 增大s 对减少缺货费用的作用已经很小，也即上文提到的g 接近于x 轴，而此 时如与g 接近于一单调增的直线，因此，g 函数在某个j 后最终总会呈现出递 增趋势。直观上理解此时大部分外部需求已经被满足，增加的库存水平只能导致 死亡费用与存储费用的大幅度上升。 至于g 函数的凹凸性则取决于外部参数。除了受以，等影响外，各类费用参数 6 k 乩。的大小将直接决定在总函数中究竟是哪个费用函数占据主导地位，相应 - 随机寿命商品的( s ，s ) 库存模型及儿心用研究 地，c f 函数也显示出这个费用函数的凹凸性。例如下图，分别是算例1 、1 4 、1 5 、 1 6 、1 7 中肛5 0 的图像。 ，7 算例1 6 很明显可以看出相比算例1 ，算例1 4 与算例1 7 ，由于6 较小，g 函数更多地受 到g 函数的影响，凸函数特性较为明显。反之亦然。( 需要说明的是，由于各类 费用函数与各自参数6 ，t 玑d 均为线性比例关系，因此算例1 0 1 7 的库存运行完全 一致，也即如仅考虑死亡商品个数、缺货商品个数、存储商品个数时间的期望 值，这些算例的结果完全相同。) 综上所述，g 函数除了开始阶段外，一般只有一段递增函数，也即g 函数一般 存在三种常见形式：“增减增”、或“先减后增”、或单调增。不同的单位费用参数 是造成不同形式最主要的原因。这样的特性对于寻找最有解是十分有益的，可以 避免在晖5 ) 平面中逐点搜索的巨大计算量，而采用更为有效的搜索方法。 4 2 3 各费用函数关于s 的变动 回到4 1 节中的图像可以看到，随着s 的增大，g 有先下降后上升的趋势。这是 因为在s 过于小的阶段，即使订货频率再高，也会导致大量的缺货，同时订货费 用也很高。因此随s 增大，缺货费用会有个较大程度的下降。而在s 较大阶段， 由于多数需求已被满足，缺货费用的下降已越来越不明显，此时库存水平却进一 步提高，存储费用与死亡费用迅速增加，从而使总费用也由降转升。参见下图( 坐 标轴同4 1 节图) 。 仔细观察可以发现：各费用函数关于s 的变动趋势，与费用函数在某个s 范围内 关于j 的变动趋势十分相似( 参照4 2 2 节) 。以上图为例，死亡费用具有递增凹 函数特点，而组成它的也正是许多近似递增凹函数；同样地，每个s 范围内的存 储费用也是近似递增凹函数，由它们组成的存储费用图像也显示出递增凹函数的 特点。且，在每个s 范围内存储费用的倾斜程度小于死亡费用，对应地，上图中 随机寿命商品的( s ，s ) 库存模型及其应用研究- 存储费用的倾斜程度也小于死亡费用。这主要是由于它们均是受相似原因影响的 ( 如4 2 2 节中的分析那样) 。 j 缺货费用j 订货费用 4 2 3 参数敏感性分析 上文分析了各类费用函数的一些特性，但这还不足以深入研究总费用函数的特 性。为此下文针对丑，以及每次需求分布参数等进行敏感性分析。 a 对库存的影响 比较算例6 、7 发现： 1 ) 由于需求量较小导致缺货费用较小，算例6 的总费用远小于算例7 。 2 ) 算例6 的中费用较早地由下降转为上升，也即算例6 的最优解( 1 l ，0 ) 早于 算例7 的( 2 5 ，1 1 ) 。结合上一节关于g 与s 分析可知，外部需求的存在使缺 货费_ r i 随库存水平上升而下降，且随着越来越多的外部需求被满足，这种下 降速度会减缓。算例6 南于需求量较小，导致在较早阶段缺货费用的下降速 度就已经减缓，从而使总费用函数较早地开始呈现上升趋势。因此从最优策 略来看，外部需求较小会导致较小的s 与5 。( 直观分析也是如此，外部需求 较大时必须保持较高的库存水平，不然缺货费用会很高。) 下图是两算例缺货费用的变动趋势( 乒1 2 5 。为便于比较，算例6 数据经过 纵向上移) 。 总费用f ， 。一一一 l 耋j 3 ) 从总费用构成比例看，较大地外部需求导致了缺货费用比例较高，而库存及 死f 费用比例较低。见下表 算倒 死亡费用存储费用缺货费用订货费用 6 ( 乒i i j 一0 )3 3 3 7 8 6 9l1 0 4 8 3 21 1 5 07 7 52 7 83 2 1 6 爨硝绰位费率 o 6 6 7 5 7 43 6 8 2 7 7 323 0 1 5 5o 1 8 5 5 4 8 曼z 丘盐 s i 8 6 3 3 6 6 2 7 1 7 产1 l 善一0 )3 0 2 1 9 8 51 0 0 ，0 2 7 52 7 1 35 9 13 4 46 2 0 3 费蚓弹持赭率 0 。6 辨3 9 73 1 3 3 4 2 s5 ，4 2 7 1 8 2n 2 2 9 ，4 7 6 3 0 3 4 7 5 5 6 s 6 2 0 9 6 忙2 5 ，$ 1 1 ) ： t8 5 2 1 啦 _ _ 2 8 2 0 5 昭 ，：= 16 3 7 。7 5 7 4 3 4 8 6 5 5 2 赞塌壤健藏苹l 莉4 2 稿l 羹稿巍矗， ， ；l ，2 7 5 5 1 so 2 3 2 4 3 7 j 畿蠢薯。舀鍪落1 薹| i 主釜匿 、 薹壁：l i 塾 l 。s 4 ，6 7 译2 5 ，$ 一1 1 ) 7 3 7 0 9 酾2 4 3 ，9 7 9 2， 1 9 3 85 3 8 i 3 4 5 9 赞用，单位舞率1 d 1 9 8 8 1 3 2 6 4：，3 + 8 ” o2 5 4 2 3 1 ，墅墨监 一霸抽，嫠盔l 丝 蠢楚丝 菱| 娜 鲫 枷 啪 随机寿命商品的( s ，s ) 库存模型及其应用研究- 比较费用单位费率后的数字是为了去除各费率高低带来地影响，而直接比较 库存运行的特征。可见同一组 s ) 下2 较大导致了缺货费用比例较高，同时 也使在库积压的情况减少。( 下文中还将从费用构成比例角度进行分析，但 限于篇幅考虑不再列出表格，部分数据可在附录4 中查找到。) 4 ) 综上可知，较小的外部需求会使总费用下降( 认为失去销售利润也是一种机 会损失的角度考虑) ，且最优库存策略会在一个较低的水平上，同时库存运行 中缺货费用的比例也较小。 对库存的影响 算例4 、5 显示： 1 ) “较小意味着商品寿命的期望值较大。在单位死亡费用一般较高的情况下， 对降低死亡费用的影响十分大，从而能够使总费用显著地减小。 2 ) 由于死亡费用在总费用构成中的较大比例，较小的“产生的较为平缓上升的 死亡费用函数会使总费用函数的上升也在较后的位置出现。相反较大的使 死亡费用在初期就急剧上升，很快就抵消了由于缺货费用减少带来的效果， 导致总费用也很快就由降转升。因此刖较大时最优策略s 与s 较小。算例4 为( 2 5 ，9 ) ，算例5 为( 7 ，0 ) 。直观分析同样如此，当商品寿命较短时，库存 水平必须尽可能低，以避免大量商品死亡。如下图( s = 1 3 0 ) ： 3 ) 从构成总费用的比例来看，卢较大寿命较短时，一方面死亡商品的比例较大， 另一方面在面对同样外部需求时，由于死亡商品多，能够供货的商品就较少， 导致了缺货费用比例也较高。= 0 1 时，死亡费用与缺货费用比例分别为： 7 2 9 与1 4 4 9 ，= 0 4 时，对应上升为1 9 6 5 与1 8 9 3 。 4 ) 综上可知，较小的期望寿命会使总费用显著增加，且最优策略在较低的库存水 平上。同时，死亡费用与缺货费用占总费用比例也较高a o o 0 0 一 仰 加 ；1 咖 咖 彻 咖 。 随机寿命商品的( s ，s ) 库存模型及其应用研究 ，对库存的影响 对比算例8 、9 ： 1 ) ，较大表明提前期期望值较小，且波动较小( 方差较小) 。订货能够在较短时 间内到达。由于订货费用相比而言较小，因此两算例的总费用差别较小。 2 ) 提前期的长短对各类费用均有一定影响。算例显示，提前期较短时缺货费用 较少，这是因为订货总能迅速地被补充入库。同样原因，相同假5 ) 下，提前 期较短的库存水平较高，死亡费用与存储费用也较高。两者的变动相互抵消， 削弱了提前期对总费用的影响。而对于最优 s ) 策略而言，提前期较短更便 于控制，s 与s 可以小些。可以想象，若提前期为零，则j 也必然为零，库存 积压水平最低，且缺货费用也降低到最低程度( 因为需求是复合泊松分布， 因此缺货费用还不会为零) ，策略的决定就仅仅需要平衡死亡存储费用与订 货费用之间的此消彼长。因此较小或较为固定的提前期对于减少费用是十分 有益的。 顾客需求波动程度对库存的影响 我们以算例1 、2 、3 为分析目标。三算例中d o 的期望值相等，但在方差上算例 2 算例l 算例3 。 算例显示同一组 s ) 下：尽管d o 期望都相同，但由于d o 具体取值分布的不同， 对库存水平与缺货费用均有一定影响。较大的方差导致死亡、存储与缺货费用均 上升。( 举简单数例说明：某阶段初库存有4 个商品，面对两种需求：p “2 ) = 0 5 ； p r ( 3 ) = 0 5 或p “0 ) = 0 5 ；p r ( 5 ) = o 5 ，则期望的存储量分别为1 5 个和2 个，缺货量 为0 和0 5 个) 。 但需求波动程度不同对费用的影响并不十分大，比较算例1 、2 、3 可以发现各类 费用函数大体上仅仅纵向移动了一定距离，形状并未明显变化。( 下图p 1 5 0 ) 3 4 0 0 3 2 0 0 3 0 0 0 2 8 0 0 2 6 0 0 2 4 0 0 2 2 0 0 随机寿命商品的( s ，s ) 库存模型及其应用研究- 由此可以看到，除了d 0 方差特别大，造成各类费用提高，最终导致总费用较早 地结束下降过程而开始上升的情况以外，方差的大小仅对费用有较小程度的影 响。方差越小，费用越低。 - 随机寿命商品的( s ，s ) 库存模型及其应用研究一 第五章对假设的扩展 5 1 取消对s o 5 s 的限制 s ) 策略作为面对随机需求最常用的库存策略，由于其操作规则简单，在企 业日常运作中有着广泛的应用。许多基于( ss ) 的库存研究都假设s 0 5 s ，一方面， 这样的规定能够避免在一次订货尚未到达时由于需求或死亡对库存量的消耗又 需要进行再一次订货的复杂情况以及由此带来的分析上的困难，另一方面，也是 为了切合企业对便利可行的日常操作规则的需要。同时，由前文的算例分析也可 以看到，除了极个别的情况，最优策略中s 一般相对s 都较小。( 这是因为当s 增大时，存货量将维持在一个较高的水平，存储费用、死亡费用也将增大，且由 于s 较大导致订货频繁发生，订货费用也将增大，而只有缺货费用会减少。因此， 除非缺货费用相对其他费用很高，一般j 相对s 而言都较小。) 但是在一些管理水平比较先进的企业中，完全有能力多次订货操作，而在一 些特殊情况下( 主要是缺货费用很高) ，取消5 0 5 s 的限制很可能会对减少费用 有进一步的帮助，为此，本文在这里对这种情况加以分析。 现假定：前文中模型的各个假设仍然不变，但j 豹取值范围为 o ，习。由此， 订货规则将改为：当某时刻f ，的存货量“f j ) 自s 以上减少到j 以下，则订货爵，( f 小 此后，若订货尚未到达，而在幻时刻，存货量厦幻) 自m 小( 娶s ) 以上减少到厦f ，) - ( 娶曲 以下，则再次订货m j ) 坝功。( 也即：每当在库量与未到订货量之和小于j ，即再 次订货，使在库量+ 未到订货量+ 本次订货量书) 。 仍可以应用类似的思路来分析本问题。本问题与原问题的区别在于，当给定 j 时，求其期望费用过程中，单位时间区间末的状态中，除了当前存货量之外， 还将包含趴( 5 ) 维变量( y 表示整除) ，用以记录可能存在的各次已经订货的订 货量。现以o 弘5 ，s = 3 ) 为例，列出状态空间埘f 的元素： 5 f 5 3 ) = 2 ，因此，用第一维变量记录存货量，后两维记录订货量。由于提前 期的无记忆，各次订货量并没有先后顺序的差别，统一按由大到小的顺序排列。 4 ，有： ( 5 ，o ，o ) ( 4 ，o ，0 ) ( 3 ，2 ，0 ) ( 2 ，3 ，0 ) ( 2 ，2 ，o ) ( 1 ，4 ，o ) ( 1 ，3 ，o ) ( 1 ，2 ，2 ) - 随机寿命商品的( s ，s ) 库存模型及其应用研究 ( 0 ，5 ，o )( 0 ，4 ，0 ) ( o ，3 ，2 )( 0 ，2 ，2 ) 从中可以看出，各状态的结构仍具有与前相似的规律，即：存货量与订货量 总和大于一，小于等于& 每个订货量大于盛j 。符合这两条规律的所有数字组合 均是即，) 的组成元素。同样，如此构成的过程仍然具备m a r k o v 性质。任意两个 状态之间的一步转移概率是确定的。例如： ( 5 ，o ，o ) ( 4 ，0 ，o ) ，事件“需求量口 死亡量 归1 ”的概率： ( 0 ，3 ，2 ) ( 3 ，2 ，o ) ，事件一次到货，且d + 仁0 ”u “两次到货，且d + 肘之”的概 率： ( o ，5 ，o ) ( 2 ，2 ，o ) ，没有对应事件，概率为o 。 这样，仿照s o 5 s 的讨论步骤，也能获得对s 无限制问题的解决方法。由于 其中分析过于琐碎，本文中不作过多讨论。 5 2 对于商品寿命的其它假设 本文模型中假设商品寿命是一个服从指数分布的随机变量，这不仅是为了便 于应用马尔可夫链进行分析研究，事实上，指数分布的寿命一直是描述随机寿命 最常用的方式。下文先给出这种假设的依据。 关于随机寿命的假设一般有两种形式：一是将寿命作为随机变量，给出其服 从的分布假设；二是给出瞬间死亡率的假设。目前较为成熟的寿命研究中，更多 地采用瞬间死亡率( 又称死力) 形式的假设。死力采用的是极限形式的定义，即： 当r 趋于无穷小时，在r 至f + f 之间的死亡数量与f 时刻存活数量以及时间跨 度，之比。事实上，瞬间死亡率是对商品寿命特性最本质的反映。而寿命随机 变量究竟服从何种分布，就是取决于瞬间死亡率的特性。 例如：当死力在一段时间内为固定常数时，寿命随机变量在该时间段内即服 从指数分布。许多关于寿命的研究表明，在相对较短的时间内( 与整个寿命长度 相比) ，死亡的危险不会有明显的改变，因此死力十分接近于常数，这也就是许 多理论模型中采用指数分布寿命假设的根据。而在相对较长的时间内，死力则有 随年龄增长而增长的趋势，寿命随机变量均匀分布就是最常见的例子。( 附录5 ) 一般而言，当所研究对象为无生命商品如医疗仪器、一些有效期较长的药品、 化学制品时，由于库存决策期相对寿命周期而言较短，完全可以选择指数分布的 寿命假设。但当研究对象为有生命商品如食品、鲜花、血浆等等，若发现其寿命 分布与指数分布相差较大( 主要体现在数据样本方差与均值平方差距过大，或一穿 检验拟合误差较大) ，则有必要考虑其它寿命形式。目前寿险业内对各种条件下 的人群寿命已有许多研究，除了普通的大众人群适用的生命表( 死亡表) 以外， 针对各种危险职业、绝症患者等均有一些特殊的寿命分布研究。较常见的形式有 - 随机寿命商品的( s ，s ) 库存模型及其应用研究- g o m p e r t z 、w e i b u l l 、m a k c h 锄死力假设等。此外，三维参数的平移伽玛分布由 于其在均值、方差、偏度等方面较大的灵活性，在拟合给定数据时的效果也较好 2 1 】。 若有必要在本文所介绍的模型中应用除指数分布以外的其它寿命分布形式， 则也需要对模型的分析方法进行改变。分析的思路仍然是通过适当选取状态参数 来保持过程的马尔可夫性。在维持s o 5 s 的条件下，考虑用三个变量分别记录 状态的库存量、未到订货量与库存年龄。由于s 0 5 s ，因此在库商品只可能有一 个统一的年龄。而商品的寿命较短( 这也正是不采用指数分布的原因) ，可能取 的年龄个数较少，借助计算机程序的帮助使这种分析方法仍有可行性。 5 3 对于提前期的假设扩展 许多研究工作表明，提前期的假设对分析工作的影响很大。固定的提前期与 随机的提前期可能会采用完全不同的分析方法。上文模型中，假定提前期符合指 数分布，十分常见于许多已有的研究中，但此种假设的理由并不充分。 每种随机分布形式都有其产生的机制。例如正态分布是许多独立同分布随机 变量的和所形成的；泊松分布主要是对大量独立的随机到达的计数。又如上节所 说，指数分布主要描述的是较长时间内每个时点状态发生改变的概率相同情况下 原状态维持的时间长短。对于提前期而言，究其产生的主要原因，是由于生产准 备、生产过程、批量运输等所造成的，因此通常提前期并不会持续很长时间，且 波动并不会很大。所以有必要利用一个三维的马尔可夫链来分析提前期为固定常 数、或方差较小的随机量的情况。 在外部需求为泊松流的假设下( 也即每个顾客只需求一单位商品) ，固定提 前期的库存问题是相对容易解决的【1 2 】【1 5 】。当考虑某个s 时，对于每个s ，可以 容易地算出提前期中的缺货、死亡、存储费用期望值，而期望订货费用，则可以 通过( 到货后的期望库存量) ，